Anneau (mathématiques)/Définitions

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Anneau

Définition

On appelle anneau (unitaire, ou unifère) , tout triplet $(A,+,\cdot )$ constitué d’un ensemble $A$ et de deux lois de composition internes $+$ et $\cdot$ sur $A$ qui vérifient :

• $(A,+)$ est un groupe commutatif de neutre $0_{A}$;
• $(A,\cdot )$ est associative de neutre $1_{A}$;
• la loi $\cdot$ est distributive par rapport à $+$ :

  $\forall a,b,c\in A\qquad (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad {\text{et}}\quad c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b$.

L'anneau est dit commutatif si, de plus, la loi $\cdot$ est commutative.

Début de l'exemple

Exemples

• L'ensemble $\mathbb {Z}$ des entiers relatifs, muni de l'addition et la multiplication usuelles, est un anneau commutatif unifère.
• Les polynômes à coefficients dans un anneau $A$ forment un anneau, noté traditionnellement $A[X]$. Plus généralement, les polynômes en plusieurs indéterminées $X_{i}$ (où $i$ parcourt un ensemble d'indices $I$ non nécessairement fini), forment l'anneau $A[(X_{i})_{i\in I}]$.
• Les matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un anneau $A$ forment un anneau, noté $\mathrm {M} _{n}(A)$.

Fin de l'exemple

Élément inversible d'un anneau

Un élément $x$ d'un anneau A est dit inversible s'il existe un élément $y$ de A tel que xy = yx = 1.

Remarque

Si A est un anneau, l'ensemble de ses éléments inversibles, noté A^×, forme naturellement un groupe pour la multiplication.

Corps

Un corps $(K,+,\times )$ est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul admet un inverse (pour la loi multiplicative de l'anneau), c'est-à-dire que pour tout élément $x$ de $K\setminus \{0\}$, il existe un élément $x'$ de $K$ tel que $x'x=xx'$.

Un corps a donc toujours au moins deux éléments. L'inverse d'un élément non nul d'un corps est toujours un élément non nul. Les éléments non nuls d'un corps forment un groupe pour la multiplication.

Sous-anneau

Définition

Un sous-anneau d'un anneau $(A,+,\cdot )$ est une partie $B$ de $A$ telle que :

• $(B,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ ;
• $B$ est stable par $\cdot$ ;
• L'élément neutre de $(A,\cdot )$ appartient à $B$.

Tout sous-anneau hérite d’une structure d'anneau.

Idéaux

Définition

Soient $(A,+,\cdot )$ un anneau et $I\subset A$.

• $I$ est un idéal à gauche de $A$ si :
  • $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ ;
  • $A\cdot I\subset I$.
• $I$ est un idéal à droite de $A$ si :
  • $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$ ;
  • $I\cdot A\subset I$.
• $I$ est un idéal bilatère de $A$ s'il est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite de $A$.

Remarques

• $\{0\}$ et $A$ sont des idéaux bilatères de $A$, appelés idéaux triviaux de $A$.
• On a toujours $I=1\cdot I\subset A\cdot I$, donc $A\cdot I\subset I\Rightarrow A\cdot I=I$. De même, $I\cdot A\subset I\Rightarrow I\cdot A=I$.
• Si $A$ est commutatif, ses trois types d'idéaux sont confondus.
• Un idéal (à gauche ou à droite) d'un anneau A est égal à A si et seulement s'il comprend l'élément 1 de A. Donc une réunion d'idéaux à gauche ou à droite de A distincts de A est distincte de A.

Idéal à gauche maximal, idéal à droite maximal

Un idéal à gauche (resp. à droite) maximal d'un anneau A est par définition un élément maximal de l'ensemble des idéaux à gauche (resp. à droite) de A distincts de A, cet ensemble étant ordonné par inclusion.

Un anneau nul n'a donc ni idéal à gauche maximal ni idéal à droite maximal.

On vérifie facilement le fait suivant :

Début d’un théorème

Théorème

Soient A un anneau et J un idéal à gauche de A. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :

a) J est un idéal à gauche maximal de A;

b) J est distinct de A et pour tout $x$ dans $A\setminus J$, $J+Ax=A$;

c) J est distinct de A et pour tout $x$ dans $A\setminus J$, il existe un élément $y$ de A tel que $yx-1$ appartienne à J.

On laisse le lecteur formuler les énoncés analogues pour les idéaux à droite.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Lemme

Soient A un anneau et X un ensemble non vide d'idéaux à gauche (resp. à droite) de A. On suppose que X est totalement ordonné par inclusion. Alors la réunion des idéaux à gauche (resp. à droite) formant l'ensemble X est un idéal à gauche (resp. à droite) de A.

Fin du théorème

Démonstration facile, laissée au lecteur.

Début d’un théorème

Théorème de Krull

Soient A un anneau et J un idéal à gauche (resp. à droite) de A, distinct de A. (A est donc non nul.) Il existe au moins un idéal à gauche (resp. à droite) maximal de A qui contient J.

Fin du théorème

Démonstration

Prouvons l'énoncé pour les idéaux à gauche. Désignons par E l'ensemble des idéaux à gauche de A distincts de A et contenant J. Ordonnons E par la relation d'inclusion. On vérifie facilement que les idéaux à gauche maximaux de A contenant J sont exactement les éléments maximaux de l'ensemble ordonné E. Il s'agit donc de prouver que l'ensemble ordonné E a au moins un élément maximal. D'après le théorème de Zorn, il suffit de prouver que E est inductif. Il est clair que E comprend J et n'est donc pas vide. Donc pour prouver que E est inductif, il s'agit de prouver que toute partie totalement ordonnée non vide de E est majorée dans E. Cela revient à prouver que

(thèse 1)$\qquad$ si P est un ensemble non vide d'idéaux à gauche de A distincts de A et contenant J, si P est totalement ordonné par inclusion, il existe un idéal à gauche K de A, distinct de A et contenant J, qui contient tous les idéaux à gauche de A appartenant à P.

Notons $I$ la réunion des idéaux à gauche formant l'ensemble P. D'après le lemme qui précède, $I$ est un idéal à gauche de A. Puisque chaque idéal appartenant à P est distinct de A, aucun de ces idéaux ne comprend l'élément 1 de A, donc la réunion $I$ de ces idéaux ne comprend pas l'élément 1, ce qui revient à dire que $I$ est distinct de A. De plus, puisque P n'est pas vide et que chaque idéal à gauche appartenant à P contient J, $I$ contient J. Notre thèse (1) est donc vraie avec $K=I$, d'où l'énoncé pour les idéaux à gauche. On pourrait rédiger la démonstration de façon qu'elle règle simultanément le cas des idéaux à gauche et celui des idéaux à droite. On peut aussi déduire le cas des idéaux à droite de celui des idéaux à gauche en passant à l'anneau opposé de A.

 

Début d’un théorème

Cas particulier du Théorème de Krull

Soit A un anneau non nul. A admet au moins un idéal à gauche (resp. à droite) maximal.

Fin du théorème

Démonstration. Puisque A est non nul, on peut faire J = 0 dans le théorème qui précède.

Anneau quotient

Soient A un anneau et J un idéal bilatère de A.

En particulier, A est un groupe additif abélien et J un sous-groupe de A. Puisque le groupe additif A est abélien, le groupe quotient A/J du groupe A par son sous-groupe J est défini. Rappelons que les éléments de ce groupe sont les classes relatives à la relation d'équivalence « x - y appartient à J » (relation d'équivalence en $x$ et $y$ dans A). Cette relation s'écrit aussi $x\equiv y{\pmod {J}}$ (« x et y sont congrus modulo J »). Les classes d'équivalence sont les parties de A de la forme $x+J$, où $x$ parcourt A. Si X est une de ces classes et $x$ un élément quelconque de X, alors X est égal à $x+J.$ La loi du groupe quotient A/J peut se caractériser comme l'unique application de $A/J\times A/J$ dans $A/J$ qui, pour tous éléments $a,b$ de A, envoie le couple $(a+J,b+J)$ d'éléments de A/J sur l'élément $a+b+J$ de A/J. C'est une loi de groupe abélien, qu'on notera +, comme la loi additive de A.

Nous allons munir A/J d'une seconde loi de composition interne, qui, avec la première, en fera un anneau. Soient $a,a',b,b'$ des éléments de A tels que $a\equiv a'{\pmod {J}}$ et $b\equiv b'{\pmod {J}}.$ Prouvons que $ab\equiv a'b'{\pmod {J}}.$ Nous avons $a-a'\in J$, d'où, puisque J est un idéal à droite de A, $(a-a')b\in J$, autrement dit

(1)$\qquad ab-a'b\in J.$

D'autre part, nous avons $b-b'\in J$, d'où, puisque J est un idéal à gauche de A, $a'(b-b')\in J$, autrement dit

(2)$\qquad a'b-a'b'\in J.$

De (1) et (2) résulte

$(ab-a'b)+(a'b-a'b')\in J$, autrement dit

$ab-a'b'\in J$, ou encore

$ab\equiv a'b'{\pmod {J}}$, comme annoncé.

Il en résulte que si X et Y sont des classes modulo J (autrement dit des éléments de A/J), il existe une et une seule classe Z modulo J telle que pour tout élément $x$ de X et tout élément $y$ de Y, Z soit la classe de $x+y.$ Cela revient à dire qu'il existe une et une seule application de $A/J\times A/J$ dans $A/J$ (autrement dit une et une seule loi de composition interne dans A/J) qui, pour tous éléments $a,b$ de A, applique le couple $(a+J,b+J)$ sur l'élément $ab+J$ de A/J. Si cette loi est notée $\star$, on a donc

(3)$\qquad (a+J)\star (b+J)=ab+J$ pour tous éléments $a,b$ de A.

Prouvons que la loi + qu'on a définie plus haut dans A/J et la loi $\star$ qu'on vient de définir font de A/J un anneau. De (3), on déduit facilement que la loi $\star$ est associative et admet $1+J$ pour neutre. Il reste à prouver les deux formules de distributivité de $\star$ par rapport à l'addition dans A/J.

Soient $a,b,c$ des éléments de A. Nous allons transformer l'expression

(4)$\qquad (a+J)\star ((b+J)+(c+J))$

(où le même symbole + est employé dans deux sens différents).

Par définition de l'addition dans A/J, cette expression peut s'écrire

$(a+J)\star (b+c+J)$

ou encore, par définition de $\star$,

$a(b+c)+J$

ou encore, d'après la distributivité dans l'anneau A,

$ab+ac+J$

ou encore, par définition de l'addition dans A/J,

$(ab+J)+(ac+J)$,

ou encore, par définition de $\star$

$((a+J)\star (b+J))+((a+J)\star (b+J))$,

La comparaison avec l'écriture (4) de cette expression donne

$\qquad (a+J)\star ((b+J)+(c+J))=((a+J)\star (b+J))+((a+J)\star (b+J)).$

C'est une des deux formules de distributivité de $\star$ par rapport à + dans A/J. L'autre formule de distributivité se démontre de façon semblable, donc les lois + et $\star$ font bien de A/J un anneau.

Anneau quotient

Soient A un anneau et J un idéal bilatère de A. Les deux lois + et $\star$ qu'on vient de définir sont respectivement une loi additive et une loi multiplicative d'anneau, L'ensemble A/J, muni de ces deux lois, est appelé l'anneau quotient de A par J ou encore le quotient de A par J. Il est noté A/J. La loi $\star$ est généralement notée par juxtaposition, comme la loi multiplicative de l'anneau A.

On vérifie facilement que si A est un anneau et J un idéal bilatère de A, l'application $A\to A/J:a\mapsto a+J$ est un homomorphisme surjectif de l'anneau A sur l'anneau A/J. Cet homomorphisme est appelé l'homomorphisme canonique de A sur A/J.

Début d’un théorème

Théorème

Soit A un anneau commutatif non nul. (Puisque A est commutatif, il n'y a pas à distinguer entre idéaux à gauche, à droite et bilatères.)

a) Pour tout idéal maximal J de A, l'anneau A/J est un corps commutatif;

b) il existe un homomorphisme surjectif de A sur un corps commutatif.

Fin du théorème

Démonstration

Soit J un idéal maximal de A. Pour tout élément $a$ de A, notons ${\bar {a}}$ l'image $a+J$ de $a$ par l'homomorphisme canonique de A sur A/J.

Soit X un élément non nul de l'anneau A/J. Choisissons un élément $x$ de X. Puisque X est un élément non nul de A/J, $x$ n'appartient pas à J. Donc puisque J est un idéal à gauche maximal de A, il résulte d'un précédent théorème

(1)$\qquad$qu'il existe un élément $y$ de A tel que $yx-1\in J.$

Puisque l'anneau A est commutatif, cela s'écrit aussi

(2)$\qquad xy-1\in J.$

En appliquant l'homomorphisme canonique $A\to A/J:a\mapsto {\bar {a}}$ aux résultats (1) et (2), nous obtenons

${\bar {y}}{\bar {x}}={\bar {1}}$ et ${\bar {x}}{\bar {y}}={\bar {1}}$, autrement dit

${\bar {y}}X={\bar {1}}$ et $X{\bar {y}}={\bar {1}}.$

Nous avons donc prouvé que pour tout élément non nul X de l'anneau A/J, il existe un élément Y de A/J tel que

$XY=YX={\bar {1}}.$

Joint au fait que l'anneau A/J est non nul (puisque J est un idéal maximal de A et est donc distinct de A), cela prouve l'anneau A/J est un corps. Puisque A est supposé commutatif, le corps A/J est commutatif, donc nous avons prouvé le point a) de l'énoncé.

Puisque A est supposé non nul, il a au moins un idéal maximal J d'après le (cas particulier du) théorème de Krull. Alors, d'après le point a), l'homomorphisme canonique de A sur A/J est un homomorphisme surjectif de A sur un corps commutatif, d'où le point b) de l'énoncé.

 

Anneau intègre

Définition

Un anneau commutatif $A$ est dit intègre si :

• $A$ n'est pas réduit à $\{0\}$ ;
• $A$ ne possède pas de diviseurs de zéro, c'est-à-dire :
  $\forall a,b\in A\quad \left(ab=0\Rightarrow \left(a=0{\text{ ou }}b=0\right)\right)$.

Remarque

La première condition équivaut à $1_{A}\neq 0_{A}$, et la seconde à : pour tout élément non nul $a$ de l'anneau, la multiplication par $a$ (qui est un endomorphisme du groupe $(A,+)$) est injective.