Leçons de niveau 14

Anneau (mathématiques)/Définitions

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Chapitre no 1
Leçon : Anneau (mathématiques)
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Anneau[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple
Fin de l'exemple





Un corps a donc toujours au moins deux éléments. L'inverse d'un élément non nul d'un corps est toujours un élément non nul. Les éléments non nuls d'un corps forment un groupe pour la multiplication.

Sous-anneau[modifier | modifier le wikicode]

Tout sous-anneau hérite d’une structure d'anneau.

Idéaux[modifier | modifier le wikicode]



Un anneau nul n'a donc ni idéal à gauche maximal ni idéal à droite maximal.

On vérifie facilement le fait suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration facile, laissée au lecteur.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Puisque A est non nul, on peut faire J = 0 dans le théorème qui précède.

Anneau quotient[modifier | modifier le wikicode]

Soient A un anneau et J un idéal bilatère de A.

En particulier, A est un groupe additif abélien et J un sous-groupe de A. Puisque le groupe additif A est abélien, le groupe quotient A/J du groupe A par son sous-groupe J est défini. Rappelons que les éléments de ce groupe sont les classes relatives à la relation d'équivalence « x - y appartient à J » (relation d'équivalence en et dans A). Cette relation s'écrit aussi (« x et y sont congrus modulo J »). Les classes d'équivalence sont les parties de A de la forme , où parcourt A. Si X est une de ces classes et un élément quelconque de de X, alors X est égal à La loi du groupe quotient A/J peut se caractériser comme l'unique application de dans qui, pour tous éléments de A, envoie le couple d'éléments de A/J sur l'élément de A/J. C'est une loi de groupe abélien, qu'on notera +, comme la loi additive de A.

Nous allons munir A/J d'une seconde loi de composition interne, qui, avec la première, en fera un anneau. Soient des éléments de A tels que et Prouvons que Nous avons , d'où, puisque J est un idéal à droite de A, , autrement dit

(1)

D'autre part, nous avons , d'où, puisque J est un idéal à gauche de A, , autrement dit

(2)

De (1) et (2) résulte

, autrement dit
, ou encore
, comme annoncé.

Il en résulte que si X et Y sont des classes modulo J (autrement dit des éléments de A/J), il existe une et une seule classe Z modulo J telle que pour tout élément de X et tout élément de Y, Z soit la classe de Cela revient à dire qu'il existe une et une seule application de dans (autrement dit une et une seule loi de composition interne dans A/J) qui, pour tous éléments de A, applique le couple sur l'élément de A/J. Si cette loi est notée , on a donc

(3) pour tous éléments de A.

Prouvons que la loi + qu'on a définie plus haut dans A/J et la loi qu'on vient de définir font de A/J un anneau. De (3), on déduit facilement que la loi est associative et admet pour neutre. Il reste à prouver les deux formules de distributivité de par rapport à l'addition dans A/J.

Soient des éléments de A. Nous allons transformer l'expression

(4)

(où le même symbole + est employé dans deux sens différents).

Par définition de l'addition dans A/J, cette expression peut s'écrire

ou encore, par définition de ,

ou encore, d'après la distributivité dans l'anneau A,

ou encore, par définition de l'addition dans A/J,

,

ou encore, par définition de

,

La comparaison avec l'écriture (4) de cette expression donne

C'est une des deux formules de distributivité de par rapport à + dans A/J. L'autre formule de distributivité se démontre de façon semblable, donc les lois + et font bien de A/J un anneau.

On vérifie facilement que si A est un anneau et J un idéal bilatère de A, l'application est un homomorphisme surjectif de l'anneau A sur l'anneau A/J. Cet homomorphisme est appelé l'homomorphisme canonique de A sur A/J.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Anneau intègre[modifier | modifier le wikicode]

Remarque
La première condition équivaut à , et la seconde à : pour tout élément non nul de l'anneau, la multiplication par (qui est un endomorphisme du groupe ) est injective.