Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes symétriques finis

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Groupes symétriques finis
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Exercices no12
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes symétriques finis

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sous-groupes caractéristiques
Exo suiv. :Groupes alternés
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes symétriques finis
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient un ensemble et une partie de (On ne suppose pas que ou soit fini.) Prouver que le groupe est isomorphe à un sous-groupe de

b) Soient des nombres naturels tels que Prouver que est isomorphe à un sous-groupe de

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit E un ensemble d'au moins trois éléments. Prouver que le centre du groupe est réduit à l'élément neutre.

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel. Pour toute permutation de , désignons par l’ensemble des inversions de et par la permutation de l’ensemble des paires d'éléments de .
Soient et deux permutations de .
Prouver la relation . (Il en résulte évidemment que le nombre d'inversions de est congru modulo 2 à la somme des nombres d'inversions de et de , fait utilisé dans la théorie.)

Problème 4 (Centralisateur d'un long cycle)[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre naturel > 1, soit X un ensemble de cardinal ou , soit un -cycle dans Prouver que le centralisateur de dans est le sous-groupe de engendré par

Remarques. 1° La dénomination « Centralisateur d'un long cycle » qu'on donne ici à l'énoncé du présent problème n'est pas standard.
2° La façon dont on a déduit le cas du cas permet de prouver cet énoncé plus général : si X est un ensemble fini et un cycle dans , le centralisateur de dans est formé par les éléments de de la forme , où parcourt les puissances de et où parcourt les permutations de X dont le support est disjoint de celui de


Problème 5 (Inverseurs d'un long cycle)[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre naturel impair > 1, soit X un ensemble de cardinal ou , soit un -cycle dans , soit un élément de tel que

.

Prouver que est le produit de transpositions à supports disjoints (et est donc une involution).
(Indication : on peut utiliser le problème « Centralisateur d'un long cycle ».)

Remarques. 1° L'énoncé montre que si est impair, la signature des inverseurs de est déterminée par  : les inverseurs de sont des permutations paires si et des permutations impaires si Il n'en est pas de même si est pair. Par exemple, le cycle est inversé par conjugaison par , qui est une permutation impaire, mais aussi par , qui est une permutation paire. Le fait que, pour impair, la signature des inverseurs de est déterminée par nous servira dans un exercice de la série « Premiers résultats sur les groupes simples » : si est un nombre premier tel qu'il existe un groupe simple d'ordre , alors
2° La dénomination « Inverseurs d'un long cycle » qu'on donne ici à l'énoncé du présent problème n'est pas standard.

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre naturel impair > 1, soit X un ensemble de cardinal ou , soient et deux n-cycles à supports disjoints dans , soit un élément d'ordre 2 (involution) de qui commute avec Prouver que est le produit de transpositions à supports deux à deux disjoints.
Indication. On peut utiliser le problème « Centralisateur d'un long cycle » ci-dessus.

Remarques. 1° Faisons toutes les hypothèses de l'énoncé sauf celle selon laquelle est d'ordre 2. Si et , il n'en résulte pas forcément que soit d'ordre 2. Prendre par exemple et
2° Le présent problème nous servira dans un exercice de la série Premiers résultats sur les groupes simples.