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Théorie des groupes/Exercices/Groupes symétriques finis

Leçons de niveau 13
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Groupes symétriques finis
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Exercices no13
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes symétriques finis

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sous-groupes caractéristiques
Exo suiv. :Groupes alternés
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes symétriques finis
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



a) Soient un ensemble et une partie de (On ne suppose pas que ou soit fini.) Prouver que le groupe est isomorphe à un sous-groupe de

b) Soient des nombres naturels tels que Prouver que est isomorphe à un sous-groupe de

c) Soient des nombres naturels. Prouver que contient un sous-groupe isomorphe au produit direct .

Soit E un ensemble d'au moins trois éléments. Prouver que le centre du groupe est réduit à l'élément neutre.

Soit n un nombre naturel. Pour toute permutation de , désignons par l’ensemble des inversions de et par la permutation de l’ensemble des paires d'éléments de .
Soient et deux permutations de .
Prouver la relation . (Il en résulte évidemment que le nombre d'inversions de est congru modulo 2 à la somme des nombres d'inversions de et de , fait utilisé dans la théorie.)

Soit X un ensemble fini, soit un cycle dans , soient et des permutations de X à supports mutuellement disjoints telles que

Prouver qu'une des deux permutations , est égale à et l'autre à la permutation identique de X. (C'est une sorte d' « irréductibilité » des cycles.)

Soient X un ensemble et Y une partie de X, soient et des permutations de X coïncidant en tout point de Y. Prouver que

,

est une permutation de X à support disjoint de Y.

Problème 6 (Centralisateur d'un cycle)

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a) Soient X un ensemble et un cycle dans . Prouver que le centralisateur de dans est formé par les éléments de de la forme , où parcourt les puissances de et où parcourt les permutations de X dont le support est disjoint de celui de

b) (Centralisateur d'un long cycle.)
Soit un nombre naturel > 1, soit X un ensemble de cardinal ou , soit un -cycle dans Prouver que le centralisateur de dans est le sous-groupe de engendré par

Remarque. La dénomination « Centralisateur d'un long cycle » qu'on donne ici à l'énoncé du point b) n'est pas standard.

Soit X un ensemble fini, soient et des cycles dans , commutant l'un avec l'autre. Prouver qu'alors ou bien les supports de et de sont disjoints ou bien et sont puissances l'un de l'autre.

Problème 8 (Inverseurs d'un long cycle)

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Soit un nombre naturel impair > 1, soit X un ensemble de cardinal ou , soit un -cycle dans , soit un élément de tel que

.

Prouver que est le produit de transpositions à supports disjoints (et est donc une involution).
(Indication : on peut utiliser le problème « Centralisateur d'un cycle ».)

Remarques. 1° L'énoncé montre que si est impair, la signature des inverseurs de est déterminée par  : les inverseurs de sont des permutations paires si et des permutations impaires si Il n'en est pas de même si est pair. Par exemple, le cycle est inversé par conjugaison par , qui est une permutation impaire, mais aussi par , qui est une permutation paire. Le fait que, pour impair, la signature des inverseurs de est déterminée par nous servira dans un exercice de la série « Premiers résultats sur les groupes simples » : si est un nombre premier tel qu'il existe un groupe simple d'ordre , alors
2° La dénomination « Inverseurs d'un long cycle » qu'on donne ici à l'énoncé du présent problème n'est pas standard.

Soit un nombre naturel impair > 1, soit X un ensemble de cardinal ou , soient et deux n-cycles à supports disjoints dans , soit un élément d'ordre 2 (involution) de qui commute avec Prouver que est le produit de transpositions à supports deux à deux disjoints.
Indication. On peut utiliser le problème « Centralisateur d'un long cycle » ci-dessus.

Remarques. 1° Faisons toutes les hypothèses de l'énoncé sauf celle selon laquelle est d'ordre 2. Si et , il n'en résulte pas forcément que soit d'ordre 2. Prendre par exemple et
2° Le présent problème nous servira dans un exercice de la série Premiers résultats sur les groupes simples.

Dans le groupe S4, trouver le normalisateur du sous-groupe à deux éléments .

Démontrer que tout sous-groupe d'indice n de Sn est isomorphe à Sn–1.

Problème 12 (Automorphismes de Sn)

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Soit φ un automorphisme de Sn pour n (entier ≥ 2) différent de 6.

  1. Notons Tk (pour k > 0) l'ensemble des éléments de Sn composés de k transpositions de supports disjoints. Montrer qu'il existe un entier j tel que φ(T1) = Tj.
  2. Calculer le cardinal de chaque Tk et en déduire que j = 1 (donc pour i de 2 à n, φ((1 i)) est une transposition).
  3. Montrer qu'il existe même une permutation σ ∈ Sn telle que pour tout i de 2 à n, φ((1 i)) = (σ(1) σ(i)).
  4. En déduire que l'automorphisme φ est intérieur.

Problème 13 (Le cas particulier S6)

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  1. Montrer que S5 possède 6 sous-groupes d'ordre 5 et qu'il est isomorphe à un sous-groupe transitif de SX, où X désigne l'ensemble de ces 6 sous-groupes.
  2. Soit K un sous-groupe transitif de S6 d'indice 6 (il en existe d'après la question précédente) et Y l'ensemble des six classes à gauche de S6 modulo K. Soit θ : S6 → SY ≅ S6 le morphisme représentant l'action par translation de S6 sur Y. Montrer que θ est un automorphisme.
  3. Montrer que le sous-groupe θ(K) de S6 n'est pas transitif et en déduire que θ n'est pas intérieur.