Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Premiers résultats sur les groupes simples

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Premiers résultats sur les groupes simples
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Exercices no28
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Premiers résultats sur les groupes simples

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Transfert, théorème du complément normal de Burnside
Exo suiv. :Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
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Théorie des groupes/Exercices/Premiers résultats sur les groupes simples
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Problème 1 (Groupes simples d'ordre 60)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple d'ordre 60. En appliquant au nombre des 2-sous-groupes de Sylow de G une conséquence du théorème du complément normal de Burnside démontrée dans un exercice de la série Transfert, théorème du complément normal de Burnside, montrer que G est isomorphe à A5.

Problème 2 (Groupes simples d'ordre 60)[modifier | modifier le wikicode]

Le but de cet exercice est de prouver de nouveau, mais sans utiliser le théorème du complément normal de Burnside ou une de ses conséquences, que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe au groupe alterné A5.

a) Soit G un groupe simple d'ordre 60. Montrer que G comprend exactement 24 éléments d'ordre 5.

b) On suppose que les 2-sous-groupes de Sylow de G ont deux à deux une intersection triviale (c'est-à-dire que l'intersection de deux de ces sous-groupes est toujours réduite à l'élément neutre). Prouver que le nombre des 2-sous-groupes de Sylow de G est 5. (On pourra utiliser le point a), ou encore un exercice de la série Théorèmes de Sylow.)

c) Supposons maintenant que, contrairement à l'hypothèse faite au point b), il existe deux sous-groupes d'ordre 4 de G dont l'intersection n’est pas triviale (et est donc un sous-groupe d'ordre 2 de G). Montrer que le centralisateur de l'élément non neutre de cette intersection est un groupe d'ordre 12.

d) Montrer que (dans les hypothèses du point b) aussi bien que dans celles du point c)) G admet un sous-groupe d'indice 5.

e) Déduire du point d) que G est isomorphe au groupe alterné A5.

Remarque : on trouvera au problème 3 une autre preuve du fait que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A5.

f) De l'hypothèse du point b) (deux sous-groupes d'ordre 4 de G se coupent toujours trivialement) et de celle du point c) (il existe deux sous-groupes d'ordre 4 de G dont l'intersection n’est pas triviale et est donc un sous-groupe d'ordre 2 de G), laquelle est vraie ?

Problème 3 (Groupes simples d'ordre 60)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit n un nombre naturel non nul et H un sous-groupe d'indice n de An. Prouver que H est isomorphe à An-1. (Indication. Se ramener au cas , auquel cas An est simple. Faire opérer An par translation à gauche sur l’ensemble An/H de ses n classes à gauche modulo H et noter que, dans cette opération, chaque élément du sous-groupe H de An fixe le point H. Considérer l'homomorphisme de An dans associé à cette opération, montrer qu’il est injectif et prend ses valeurs dans , puis considérer sa restriction à H.)

b) Déduire du point a) une nouvelle preuve du fait que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A5. (Indication : raisonner sur le nombre des 5-sous-groupes de Sylow de G.)

Problème 4 (Résolubilité des groupes d'ordre < 60)[modifier | modifier le wikicode]

On va prouver que tout groupe d'ordre < 60 est résoluble.

a) Soit G un groupe d'ordre 3 × pn, avec p premier et n > 0. Prouver que G n’est pas simple. (En particulier, aucun groupe d'ordre 12 n'est simple, ce qu'on sait déjà, car on a prouvé dans les exercices sur le chapitre Groupes dicycliques que tout groupe d'ordre 12 est résoluble.)

b) Soit G un groupe d'ordre 4 pr, avec p premier et r entier naturel ≥ 0. Prouver que G n’est pas simple.

c) Prouver qu'il n'y a pas de groupe simple non abélien d'ordre < 60.
(Indication : raisonner par l'absurde en supposant qu'un certain groupe G d'ordre < 60 soit simple et non abélien. On peut abréger les raisonnements en utilisant une majoration du plus grand facteur premier de donnée dans les exercices sur le chapitre Transfert, théorème du complément normal de Burnside.)

d) Prouver que tout groupe d'ordre < 60 est résoluble.

Remarque : le fait que tout groupe d'ordre < 60 soit résoluble nous servira dans le chapitre Théorie des groupes/Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs.

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

Soient p, q, r trois nombres premiers distincts et G un groupe d'ordre pqr. Puisque l’ordre de G n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier, il résulte d'un exercice de la série Transfert, théorème du complément normal de Burnside que G est résoluble et, en particulier, n’est pas simple. On va démontrer ici la non-simplicité de G sans utiliser le théorème du complément normal de Burnside. On désigne par np (resp. nq, resp. nr) le nombre des p-sous-groupes (resp. q-sous-groupes, resp. r-sous-groupes) de Sylow de G.

a) Prouver que

b) Nous pouvons évidemment supposer p < q < r. Montrer que si np > 1, alors npq; que si nq > 1, alors nqr; et que si nr est > 1, alors nr = pq.

c) Déduire de a) et b) que si G est un groupe d'ordre pqr, où p, q et r sont des nombres premiers distincts, G n’est pas simple.

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe simple fini et p un diviseur premier de l'ordre de G tel que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G soit égal à p + 1. On va prouver que

, où a est un nombre naturel divisant p - 1.

(En particulier, n'est pas divisible par )
On désigne par l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G et on choisit une fois pour toutes un p-sous-groupe de Sylow P de G.

a) Prouver que , où a est un nombre naturel non divisible par p. (Donc n'est pas divisible par et les p-sous-groupes de Sylow de G sont d'ordre p.)

b) On a convenu sous l'énoncé général que X désigne l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G et que P est un de ces p-sous-groupes de Sylow. Prouver que P agit sur par conjugaison et que cette action n'a aucun point fixe.

c) Prouver que l'action de sur par conjugaison est transitive. (Indication : raisonner sur le cardinal d'une orbite.)

d) Prouver que opère librement sur par conjugaison. (Indication : pour prouver que l'opération est libre, montrer qu'un élément de qui normalise un p-sous-groupe de Sylow de G autre que P normalise tous les p-sous-groupes de Sylow de G.)

e) Déduire du point d) que , puis, à l'aide du lemme N/C (chapitre Conjugaison, centralisateur, normalisateur), prouver l'énoncé général, à savoir que le nombre naturel a divise p-1.

f) Prouver qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 560.

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple fini, soit un nombre premier tel que l'ordre de G soit divisible par et que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G soit égal à On va prouver que

a) Prouver que G est isomorphe à un sous-groupe de

b) Prouver que est impair.

c) Prouver que n'est pas divisible par

d) Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. Prouver que est divisible par

e) Toujours si P est un p-sous-groupe de Sylow de G, prouver qu'il existe un élément d'ordre 2 de G (involution) tel que, pour tout dans P, (Cela revient à dire que contient un sous-groupe diédral d'ordre )
Indication : utiliser les points a) et d).

f) Prouver que (Indication : utiliser les points a) et e) et le problème « Inverseurs d'un long cycle » de la série Groupes symétriques finis.)

g) Prouver qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 336.

Problème 8[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple d'ordre , où est un nombre premier. On va prouver que

a) Prouver que est distinct de et de

b) Prouver que les p-sous-groupes de Sylow de G sont d'ordre p.

c) Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est p+1.

d) Prouver que le normalisateur dans G d'un p-sous-groupe de Sylow de G est diédral d'ordre 2p. (Indication : on peut utiliser le problème 7, ou encore des énoncés du chapitre Transfert, théorème du complément normal de Burnside.)

e) Prouver que et en déduire que les 2-sous-groupes de Sylow de G sont des groupes de Klein.
Indication : on peut utiliser le problème 7.

f) Soit un élément d'ordre 2 (involution) de G normalisant au moins un p-sous-groupe de Sylow de G. Prouver que normalise exactement deux p-sous-groupes de Sylow de G.
Indication. L'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G étant désigné par X, considérer, au lieu de l'homomorphisme utilsé au problème 7, point f), une version plus précise de cet homomorphisme, à savoir l'homomorphisme F de G dans correspondant à l'action de G sur X par conjugaison. Appliquer de nouveau le problème « Inverseurs d'un long cycle » de la série Groupes symétriques finis.

g) Avant de poursuivre, on va démontrer un petit lemme de nature combinatoire. Soient A et B deux ensembles finis, soit R une partie du produit cartésien ; on écrira pour (Une partie de est parfois appelée une relation binaire entre éléments de A et éléments de B, d'où la notation ) On suppose qu'il existe un nombre tel que, pour tout dans , les éléments de tels que soient en quantité On suppose aussi qu'il existe un nombre tel que, pour tout dans , les éléments de tels que soient en quantité Prouver que
Indication : calculer un certain nombre de deux façons.

h) Soit E l'ensemble des involutions de G normalisant au moins un p-sous-groupe de Sylow de G. Prouver que
Indication. X désignant l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G, considérer la partie R de formée par les couples (t, P) tels que normalise P et appliquer le point g) en tenant compte des points d) et f).

i) Prouver que le nombre des 2-sous-groupes de Sylow de G est au moins égal au nombre rationnel (Nous verrons plus loin que est un nombre entier, mais, pour l'instant, nous ne le considérons que comme un nombre rationnel.)

j) Soit V un 2-sous-groupe de Sylow de G. Prouver que (ce qui prouve que est divisible par 12, de sorte que le nombre rationnel considéré au point i) est entier) et en déduire que le nombre des 2-sous-groupes de Sylow de G est

k) Déduire de e), de h) et de j) que le nombre des 2-sous-groupes de Sylow de G est
Indication. Utiliser une « forme forte du théorème de congruence de Sylow » qui a été démontrée dans les exercices sur les théorèmes de Sylow.

l) Prouver que

m) Prouver qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 264, ni de groupe simple d'ordre 612, ni de groupe simple d'ordre 760.

Problème 9[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier impair, soit G un groupe fini d'ordre divisible par et non par On suppose que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est On va prouver que G n'est pas simple. On prouvera même quelque chose de plus précis que la non-simplicité de G, donc on évitera de raisonner tout de suite par l'absurde en supposant G simple.

a) Désignons par X l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G et par l'homomorphisme correspondant à l'action de G sur X par conjugaison, c'est-à-dire l'homomorphisme

tel que, pour tout élément de G, soit la permutation de X. (Nous ne supposons pas G simple, donc nous n'avons pas de raison de considérer comme injectif.)
Soit un élément d'ordre de G. Prouver que la permutation de X est le produit de deux p-cycles à supports disjoints.

b) Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. Prouver que contient un 2-sous-groupe de Sylow de G.

c) On ajoute aux hypothèses que les 2-sous-groupes de Sylow de G ne sont pas cycliques. Déduire du point b) que pour tout p-sous-groupe de Sylow P de G, il existe un élément d'ordre 2 de G qui centralise P.

d) Dans les hypothèses générales du problème, prouver que G satisfait à une au moins des conditions suivantes :
1° les 2-sous-groupes de Sylow sont cycliques;
2° il y a au moins un élément d'ordre 2 de G qui normalise tous les p-sous-groupes de Sylow de G;
3° G contient au moins un sous-groupe d'indice 2.
Indication. Supposer que la condition 1° n'est pas satisfaite (ce qui permet d'appliquer le point c)) et que la condition 2° ne l'est pas non plus. Alors l'élément d'ordre 2 considéré au point c) ne normalise pas tous les p-sous-groupes de Sylow de G. Raisonner sur la permutation , où est l'homomorphisme considéré au point a). À l'aide d'un exercice de la série Groupes symétriques finis, prouver que est une permutation impaire et, à l'aide d'un exercice de la série Groupes alternés, en déduire que la condition 3° du point d) est satisfaite.

e) Déduire du point d) que, dans les hypothèses générales du problème, G n'est pas simple.

f) Prouver qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 420.

g) Prouver qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 840.

Groupes simples d'ordre < 168[modifier | modifier le wikicode]

On va prouver dans cette section que tout groupe simple non commutatif d'ordre < 168 est d'ordre 60 (et est donc isomorphe à A5 d’après un problème ci-dessus). La tâche nous serait évidemment facilitée si nous disposions du théorème de Feit et Thompson (tout groupe simple fini d'ordre non premier est d'ordre pair) et du théorème p-q de Burnside selon lequel tout groupe fini d'ordre paqb, p et q étant des nombres premiers, est résoluble. (Nous démontrerons le théorème p-q de Burnside dans la suite du cours, à l'aide de la théorie des caractères. La démonstration du théorème de Feit et Thompson dépasse le cadre d'une introduction à la théorie des groupes.)
Le lecteur intéressé par cette sorte de résultats peut se reporter à un exposé de Mark Reeder[1] qui, sans beaucoup plus de frais qu'ici, détermine tous les ordres possibles (mais non toutes les structures possibles) des groupes simples non abéliens d'ordre au plus égal à 720.
Dans ce qui suit, il y a un peu de double emploi avec le problème « Résolubilité des groupes d'ordre < 60 ». On y remédiera dans une future réorganisation.

Problème 10[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit p un nombre premier et G un groupe simple fini dont l'ordre est divisible par p2. Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est ≥ 2p+1.

b) Soient p un nombre premier, m un nombre naturel non nul et G un groupe d'ordre pm(p+1). Prouver que G n'est pas simple. (On l'a prouvé pour m = 1 dans les exercices de la série Transfert, théorème du complément normal de Burnside, donc on peut supposer m ≥ 2.)

c) Prouver qu'aucun groupe d'ordre 12 n'est simple.

d) Soit G un groupe d'ordre 4 pr, avec p premier et r entier naturel ≥ 0. Prouver que G n’est pas simple.

Problème 11[modifier | modifier le wikicode]

Prouver qu'aucun groupe d'ordre 5 × 2r, avec r ≥ 1, n'est simple.

Problème 12[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe d'ordre 3 × pn, avec p premier et n > 0. Prouver que G n’est pas simple.

Problème 13[modifier | modifier le wikicode]

a) Prouver qu'aucun groupe d'ordre 56 n'est simple.

b) Prouver qu'aucun groupe d'ordre n = 7 × 2 r, avec r > 0, n'est simple.

Problème 14[modifier | modifier le wikicode]

Prouver qu'aucun groupe d'ordre 72 n'est simple.

Problème 15[modifier | modifier le wikicode]

Prouver qu'aucun groupe d'ordre 84 n'est simple.

Problème 16[modifier | modifier le wikicode]

Prouver qu'aucun groupe d'ordre 120 n'est simple.

Problème 17[modifier | modifier le wikicode]

On va prouver qu’il n'y a pas de groupe simple d'ordre 144[2].

a) Le prouver en utilisant une conséquence du théorème du complément normal de Burnside démontrée dans les exercice de la série Transfert, théorème du complément normal de Burnside.

b) Le prouver sans utiliser le théorème du complément normal de Burnside ou un résultat reposant sur ce théorème. (Indication. Si, par absurde, G est un groupe simple d'ordre 144, prouver que deux différents 3-sous-groupes de Sylow de G ont toujours une intersection triviale. Pour cela, imiter la façon dont on a résolu le point c) du problème 2.)

Problème 18[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple d'ordre < 168 et non premier. (Autrement dit, soit G un groupe simple non commutatif d'ordre < 168.) L'objet de ce problème est de prouver que G est isomorphe à A5.

a) Prouver que tout facteur premier de |G| est ≤ 7. (Indication : on peut utiliser un problème de la série Transfert, théorème du complément normal de Burnside.)

b) Prouver que |G| est divisible par 8 ou par 12.

c) Prouver que |G| est divisible par 12.

d) Prouver que G est isomorphe à A5.

Problème 19[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que tout groupe fini d'ordre < 168 et non divisible par 60 (autrement dit tout groupe fini dont l'ordre est < 168 et distinct de 60 et de 120) est résoluble.

Problème 20[modifier | modifier le wikicode]

On a vu dans la série d'exercices Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur que si G est un groupe fini et H un sous-groupe de G, si G est la réunion des conjugués de H, alors H est égal à G tout entier. Étendre ce résultat au cas où H est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini. (Se ramener au cas où G est fini, en notant que, d’après le chapitre théorique, H contient un sous-groupe normal de G qui est d'indice fini dans G.)

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Mark Reeder, Notes on Group Theory, 20 août 2019, p. 80 et ss., en ligne.
  2. Voir par exemple John S. Rose, A Course on Group Theory, exerc. 281, pp. 100-101 (réimpr. Dover, 1994), consultable sur Google Livres.