Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Premiers résultats sur les groupes simples

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Premiers résultats sur les groupes simples
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Exercices no28
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Premiers résultats sur les groupes simples

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Transfert, théorème du complément normal de Burnside
Exo suiv. :Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
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Théorie des groupes/Exercices/Premiers résultats sur les groupes simples
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple d'ordre 60. En appliquant le théorème du complément normal de Burnside à un 2-sous-groupe de Sylow de G, montrer que G est isomorphe à A5.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Le but de cet exercice est de prouver de nouveau, mais sans utiliser le théorème du complément normal de Burnside ou une de ses conséquences, que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe au groupe alterné A5.

a) Soit G un groupe simple d'ordre 60. Montrer que G comprend exactement 24 éléments d'ordre 5.

b) On suppose que les 2-sous-groupes de Sylow de G ont deux à deux une intersection triviale (c'est-à-dire que l'intersection de deux de ces sous-groupes est toujours réduite à l'élément neutre). Prouver que le nombre des 2-sous-groupes de Sylow de G est 5. (On pourra utiliser le point a), ou encore un exercice de la série Théorèmes de Sylow.)

c) Supposons maintenant que, contrairement à l'hypothèse faite au point b), il existe deux sous-groupes d'ordre 4 de G dont l'intersection n’est pas triviale (et est donc un sous-groupe d'ordre 2 de G). Montrer que le centralisateur de l'élément non neutre de cette intersection est un groupe d'ordre 12.

d) Montrer que (dans les hypothèses du point b) aussi bien que dans celles du point c)) G admet un sous-groupe d'indice 5.

e) Déduire du point d) que G est isomorphe au groupe alterné A5.

Remarque : on trouvera au problème 3 une autre preuve du fait que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A5.

f) De l'hypothèse du point b) (deux sous-groupes d'ordre 4 de G se coupent toujours trivialement) et de celle du point c) (il existe deux sous-groupes d'ordre 4 de G dont l'intersection n’est pas triviale et est donc un sous-groupe d'ordre 2 de G), laquelle est vraie ?

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit n un nombre naturel non nul et H un sous-groupe d'indice n de An. Prouver que H est isomorphe à An-1. (Indication. Se ramener au cas , auquel cas An est simple. Faire opérer An par translation à gauche sur l’ensemble An/H de ses n classes à gauche modulo H et noter que, dans cette opération, chaque élément du sous-groupe H de An fixe le point H. Considérer l'homomorphisme de An dans associé à cette opération, montrer qu’il est injectif et prend ses valeurs dans , puis considérer sa restriction à H.)

b) Déduire du point a) une nouvelle preuve du fait que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A5. (Indication : raisonner sur le nombre des 5-sous-groupes de Sylow de G.)

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient p, q, r trois nombres premiers distincts et G un groupe d'ordre pqr. Puisque l’ordre de G n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier, il résulte d'un exercice de la série Transfert, théorème du complément normal de Burnside que G est résoluble et, en particulier, n’est pas simple. On va démontrer ici la non-simplicité de G sans utiliser le théorème du complément normal de Burnside. On désigne par np (resp. nq, resp. nr) le nombre des p-sous-groupes (resp. q-sous-groupes, resp. r-sous-groupes) de Sylow de G.

a) Prouver que

b) Nous pouvons évidemment supposer p < q < r. Montrer que si np > 1, alors npq; que si nq > 1, alors nqr; et que si nr est > 1, alors nr = pq.

c) Déduire de a) et b) que si G est un groupe d'ordre pqr, où p, q et r sont des nombres premiers distincts, G n’est pas simple.

Groupes simples d'ordre < 168[modifier | modifier le wikicode]

On va prouver dans cette section que tout groupe simple non commutatif d'ordre < 168 est d'ordre 60 (et est donc isomorphe à A5 d’après un problème ci-dessus). La tâche nous serait évidemment facilitée si nous disposions du théorème de Feit et Thompson (tout groupe simple fini d'ordre non premier est d'ordre pair) et du théorème de Burnside selon lequel tout groupe fini d'ordre paqb, p et q étant des nombres premiers, est résoluble.

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit p un nombre premier et G un groupe simple fini dont l'ordre est divisible par p2. Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est ≥ 2p+1.

b) Soient p un nombre premier, m un nombre naturel non nul et G un groupe d'ordre pm(p+1). Prouver que G n'est pas simple. (On l'a prouvé pour m = 1 dans les exercices de la série Transfert, théorème du complément normal de Burnside, donc on peut supposer m ≥ 2.)

c) Prouver qu'aucun groupe d'ordre 12 n'est simple.

d) Soit G un groupe d'ordre 4 pr, avec p premier et r entier naturel ≥ 0. Prouver que G n’est pas simple.

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

Prouver qu'aucun groupe d'ordre 5 × 2r, avec r ≥ 1, n'est simple.

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe d'ordre 3 × pn, avec p premier et n > 0. Prouver que G n’est pas simple.

Problème 8[modifier | modifier le wikicode]

a) Prouver qu'aucun groupe d'ordre 56 n'est simple.

b) Prouver qu'aucun groupe d'ordre n = 7 × 2 r, avec r > 0, n'est simple.

Problème 9[modifier | modifier le wikicode]

Prouver qu'aucun groupe d'ordre 72 n'est simple.

Problème 10[modifier | modifier le wikicode]

Prouver qu'aucun groupe d'ordre 84 n'est simple.

Problème 11[modifier | modifier le wikicode]

Prouver qu'aucun groupe d'ordre 120 n'est simple.

Problème 12[modifier | modifier le wikicode]

On va prouver qu’il n'y a pas de groupe simple d'ordre 144[1].

a) Le prouver en utilisant le théorème du complément normal de Burnside.

b) Le prouver sans utiliser le théorème du complément normal de Burnside ou un résultat reposant sur ce théorème. (Indication. Si, par absurde, G est un groupe simple d'ordre 144, prouver que deux 3-sous-groupes de Sylow de G distincts ont une intersection triviale. Pour cela, imiter la façon dont on a résolu le point c) du problème 2.)

Problème 13[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe simple d'ordre < 168 et non premier. (Autrement dit, soit G un groupe simple non commutatif d'ordre < 168.) L'objet de ce problème est de prouver que G est isomorphe à A5.

a) Prouver que tout facteur premier de |G| est ≤ 7. (Indication : on peut utiliser un problème de la série Transfert, théorème du complément normal de Burnside.)

b) Prouver que |G| est divisible par 8 ou par 12.

c) Prouver que |G| est divisible par 12.

d) Prouver que G est isomorphe à A5.

Problème 14[modifier | modifier le wikicode]

a) Prouver que tout groupe fini d'ordre < 60 est résoluble.

Remarque : ce fait nous servira dans le chapitre Théorie des groupes/Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs.

b) Prouver le fait suivant, plus fort que le point a) : tout groupe fini d'ordre < 168 et non divisible par 60 est résoluble.

Problème 15[modifier | modifier le wikicode]

On a vu dans la série d'exercices Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur que si G est un groupe fini et H un sous-groupe de G, si G est la réunion des conjugués de H, alors H est égal à G tout entier. Étendre ce résultat au cas où H est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini. (Se ramener au cas où G est fini, en notant que, d’après la théorie, H contient un sous-groupe normal de G qui est d'indice fini dans G.)

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir par exemple John S. Rose, A Course on Group Theory, exerc. 281, pp. 100-101 (réimpr. Dover, 1994), consultable sur Google Books.