Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Conjugaison, centralisateur, normalisateur

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Conjugaison, centralisateur, normalisateur
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Chapitre no 7
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes monogènes, ordre d'un élément
Chap. suiv. :Action de groupe

Exercices :

Conjugaison, centralisateur, normalisateur
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Centre d'un groupe[modifier | modifier le wikicode]


Il est clair que Z(G) est un sous-groupe distingué de G : si a est un élément de Z(G), alors, pour tout élément g de G, nous avons gag-1 = agg-1 = a, donc gag-1 appartient à Z(G), ce qui montre bien que Z(G) est distingué dans G. En fait, la même démonstration prouve que tout sous-groupe de Z(G) est distingué dans G.


Conjugaison[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et g un élément de G. L'application de G dans lui-même est appelée la conjugaison par g (dans G). Nous la noterons Int(g). On a déjà noté au premier chapitre que c’est un automorphisme de G, admettant pour réciproque la conjugaison

.

Comme déjà vu également, on dit qu'un automorphisme f de G est intérieur s'il existe un élément g de G tel que f soit la conjugaison par g.
L'ensemble Int(G) des automorphismes intérieurs de G est un sous-groupe du groupe Aut(G) des automorphismes de G; plus précisément, l’application Int : est un homomorphisme de G dans Aut(G) et Int(G) est l'image de cet homomorphisme.
Le noyau ker Int de cet homomorphisme est l’ensemble des éléments g de G tels qu'Int(g) soit l'automorphisme identité de G, autrement dit ker Int est l’ensemble des éléments g de G tels que gxg-1 = x pour tout élément x de G; la condition gxg-1 = x revient à gx = xg, donc le noyau considéré est le centre Z(G) de G. (Ceci montre de nouveau que Z(G) est un sous-groupe normal de G.) Le premier théorème d'isomophisme permet donc d'énoncer :

Début d’un théorème
Fin du théorème


On peut aussi montrer que

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Soient g un élément de G et un endomorphisme de G. Alors

(car les deux membres appliquent x sur ). Si est un automorphisme, cela peut s'écrire

,

ce qui montre bien qu'Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G).

Soient x, y et g des éléments de G tels qu'y = gxg⁻¹. Nous dirons alors qu'y est le conjugué de x par g. Si un élément y de G est image d'un élément x de G par un automorphisme intérieur, autrement dit s'il existe un élément g de G tel qu'y soit le conjugué de x par g, on dit qu'y est (un) conjugué de x (dans G). Du fait que les automorphismes intérieurs forment un groupe pour la composition, il résulte que la relation « y est un conjugué de x » est une relation d'équivalence dans G. En effet :

x = 1x1-1 (réflexivité)
si y = gxg-1, alors x = (g-1)yg = (g-1)y(g-1)-1 (symétrie)
si y = gxg-1 et z = hyh-1, alors z = hgxg-1h-1 = (hg)x(hg)-1 (transitivité).


De même, si un sous-ensemble A de G est image d'un sous-ensemble B de G par un automorphisme intérieur, c'est-à-dire s'il existe un élément g de G tel que , on dit qu'A est conjugué de B (dans G), ou, plus précisément, est le conjugué de B (dans G) par g. Ici encore, on vérifie que cela définit une relation d'équivalence entre sous-ensembles de G.

Tout conjugué d'un sous-groupe H de G est image de H par un automorphisme (intérieur) de G et est donc un sous-groupe de G isomorphe à H.

Si H est un sous-groupe de G, le conjugué de H (dans G) par un élément h de H est égal à H. (En effet, puisque h et h⁻¹ appartiennent à H, la classe à gauche hH et la classe à droite Hh⁻¹ sont égales à H, donc hHh⁻¹ = (hH)h⁻¹ = Hh⁻¹ = H.)
En particulier, le conjugué de G (dans G) par n’importe quel élément de G est G lui-même.

Notons que certains auteurs[1] définissent le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg. Ce qui suit montre un avantage de cette définition.

On note souvent xg (resp. Hg) le conjugué d'un élément x (resp. d'un sous-groupe H) par un élément g[2]. Si, comme nous l'avons fait, on définit le conjugué de x par g comme étant gxg⁻¹, on a alors

(xg)h = xhg;

si, au contraire, on définit le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg, on a

(xg)h = xgh,

ce qui est évidemment plus agréable. Nous retrouverons cette problématique dans le cadre plus général des opérations à gauche et à droite d'un groupe sur un ensemble.

Deux éléments conjugués dans le groupe G sont images l'un de l'autre par des automorphismes de G et on montre facilement que l'image d'un élément x par un automorphisme de G a le même ordre que x. Donc deux éléments conjugués ont toujours le même ordre.
Soient x et y deux éléments du groupe G. Nous avons , donc xy et yx sont conjugués. En particulier, ils ont le même ordre. (Nous l'avons démontré plus lourdement dans un exercice.)

Un élément de G est point fixe de la conjugaison par g si et seulement s'il commute avec g. Il est point fixe de tous les automorphismes intérieurs si et seulement s'il commute avec tout élément de G, autrement dit s'il appartient au centre de G.

Centralisateur[modifier | modifier le wikicode]


Il est clair que est l’ensemble des points fixes de la conjugaison par x; comme l’ensemble des points fixes d'un automorphisme est un sous-groupe, est un sous-groupe de G.
est aussi l’ensemble des tels que x soit point fixe de la conjugaison par g. Ce dernier point sera développé dans la leçon sur les actions de groupe.


Le centralisateur de A est donc l'intersection des centralisateurs des éléments de A. Puisqu'une intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G, le centralisateur de A est un sous-groupe de G. (Si A est vide, on ne peut théoriquement pas parler de l'intersection des centralisateurs d'éléments de A, car l'intersection d'une famille vide d'ensembles n’est pas définie, mais il est clair que si A est vide, le centralisateur de A est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G.)

Le centralisateur (dans G) de G lui-même est le centre de G. Le centre de G est contenu dans le centralisateur de toute partie de G.

Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

On se convainc facilement (voir exercices) que si a1, ... , an sont des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux, le sous-groupe de G engendré par a1, ... , an est l’ensemble des éléments de la forme

où r1, ... , rn parcourent les entiers rationnels.

Normalisateur[modifier | modifier le wikicode]

Rappelons la définition :


Comme on l'a vu, est le plus grand sous-groupe de G contenant H dont H soit sous-groupe normal.

On dit qu'un élément g de G normalise H si , autrement dit si g appartient à . On dit qu'un sous-groupe K de G normalise H si tout élément de K normalise H, autrement dit si K est contenu dans le normalisateur NG(H) de H.

Il est clair que contient à la fois H et le centralisateur de H (dans G).

On a vu que Z(G) est contenu dans CG(H); a fortiori, il est contenu dans NG(H).

Début d'un lemme
Fin du lemme

Démonstration. La condition est évidemment nécessaire. Prouvons qu'elle est suffisante. Soit g un élément de G tel que g-1Xg et gXg-1 soient tous deux contenus dans H. Désignons par fg l'automorphisme intérieur de G. L'hypothèse selon laquelle g-1Xg est contenu dans H revient à dire que

Puisque le second membre est un sous-groupe de G, on a donc

Cela peut s'écrire

autrement dit

ou encore

Les hypothèses sur g sont également satisfaites par g-1, donc on a aussi

Ces deux résultats montrent que g normalise H.

En particulier, si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G et X une partie génératrice de H, alors, pour prouver que K normalise H, il suffit, puisque K est une partie symétrique de G (c'est-à-dire que K-1 = K), de prouver que pour tout élément g de K, g-1Xg est contenu dans H.

Début d'un lemme
Fin du lemme


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarque. Selon W. R. Scott, « ce théorème presque trivial est d'une grande importance en théorie des groupes[3]. »

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Notre définition est conforme à J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, New York, 1999, exer. 1.47, p. 18, ou encore p. 44. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, p. 2, adoptent l'autre définition.
  2. J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, New York, 1999, p. 44, qui pose Hg = gHg⁻¹; H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, p. 2, qui définissent le conjugué de x par g comme égal à g⁻¹xg et posent xg = gxg⁻¹.
  3. W. R. Scott, Group theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 50.