Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Théorèmes de Sylow

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Théorèmes de Sylow
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Chapitre no 10
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Produit de groupes
Chap. suiv. :Sous-groupes caractéristiques

Exercices :

Théorèmes de Sylow
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Théorie des groupes/Théorèmes de Sylow
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Les théorèmes de Sylow sont d'une grande importance dans l'étude des groupes finis.

Ils concernent les p-sous-groupes, autrement dit, les sous-groupes ayant pour ordre une puissance d'un nombre premier p donné. Le premier théorème affirme l’existence d'un sous-groupe dit de Sylow, un sous-groupe dont l’ordre est la plus grande puissance de p divisant le cardinal de G. Le deuxième théorème permet une information supplémentaire sur leur quantité. Il s'appuie sur l'équation aux classes.

On donnera dans ce chapitre une démonstration des théorèmes de Sylow qui repose sur la théorie des espaces vectoriels. Le lecteur trouvera dans les exercices une démonstration qui ne fait intervenir que les notions de théorie des groupes exposées dans les précédents chapitres.

Les p-groupes[modifier | modifier le wikicode]

Dans tout le chapitre, p désigne un nombre premier.


Début d'un lemme
Fin du lemme
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Les premiers exemples de p-groupe fini sont les groupes cycliques d'ordre pⁿ. Par le théorème de classification des groupes abéliens finis (qui sera démontré dans la suite de ce cours), les p-groupes finis commutatifs sont exactement les produits directs de groupes cycliques d'ordre pⁿ. La structure des p-groupes non commutatifs est beaucoup plus complexe. Ils ne sont pas « classifiés » et rien ne laisse espérer qu’ils le soient un jour. Indiquons cependant quelques propriétés.

Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

En particulier, tout groupe d'ordre 4 est cyclique ou produit direct de deux groupes d'ordre 2. Un produit direct de deux groupes d'ordre 2 est appelé un groupe de Klein.

Premier théorème de Sylow[modifier | modifier le wikicode]


Remarque. On n'exclut pas le cas où p ne divise pas l’ordre de G. Dans ce cas, le seul p-sous-groupe de Sylow de G est 1. Si on s'interdisait de parler des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini d'ordre non divisible par p, on alourdirait inutilement certains énoncés et certaines démonstrations.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque préliminaire : Le groupe muni de la multiplication est un corps de cardinal p.

On peut admettre que les corps finis sont classifiés selon leurs cardinaux : à isomorphisme près, il existe un unique corps de cardinal (), noté . Le groupe est un groupe fini dont le cardinal est :

(On trouve ce résultat par dénombrement des systèmes libres de vecteurs de correspondant aux colonnes d'un élément de  — voir par exemple Théorie des groupes/Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs#Généralités sur les groupes linéaires énoncé 5.)

étant un nombre premier qui ne divise aucun des facteurs , , ..., , il ne divise pas leur produit et par conséquent est premier avec . Il en résulte que la valuation p-adique de l'ordre du groupe est . Or il se trouve que l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille n à coefficients dans et avec des 1 sur la diagonale est un sous-groupe de G, d'ordre . En effet, il y a valeurs possibles pour la première ligne d'une telle matrice, pour la deuxième, ..., pour l'avant-dernière et une seule pour la dernière. Le premier théorème de Sylow est donc confirmé dans cet exemple.

Début d'un lemme
Fin du lemme


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Il résulte du théorème de Cauchy qu'un groupe fini G est un p-groupe fini si et seulement chaque élément de G a pour ordre une puissance de p. De façon générale,

La remarque précédente montre que cette définition est cohérente avec celle d'un p-groupe fini donnée initialement.

Deuxième théorème de Sylow[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarques. 1) On trouvera dans les exercices une forme plus forte du théorème de congruence de Sylow, selon laquelle, sous certaines hypothèses, le nombre des p-sous-groupes de Sylow est congru à 1 modulo une plus grande puissance de p que la première. Cette forme forte n'est pas toujours mentionnée dans les exposés d'initiation, mais elle est d'un usage fréquent.
2) Le théorème de congruence de Sylow a aussi été renforcé dans une autre direction par L. Weisner : soit G un groupe fini, soit p un nombre premier, soit un p-sous-groupe de G, soit s un nombre naturel tel que l'ordre de divise et que divise l'ordre de G. Alors le nombre des sous-groupes d'ordre de G qui contiennent est congru à 1 modulo p[1].

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarque. Ce théorème servira dans l'étude des groupes nilpotents finis.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. L. Weisner, « Some properties of prime-power groups », Trans. Amer. Math. Soc. 38 (1935), 485–492. Voir une démonstration dans Keith Conrad, « Transitive Group Actions », théorème 7.9, p. 19, en ligne.