Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes nilpotents

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Groupes nilpotents
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Exercices no18
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes nilpotents

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Groupes résolubles
Exo suiv. :Groupes commutatifs finis, 1
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes nilpotents
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Problème 1 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe (non forcément nilpotent).
a) Prouver que pour tout nombre naturel n ≥ 1, G/Cn(G) est nilpotent de classe ≤ n – 1.

b) Sous les hypothèses du point a), on suppose que, pour tout i tel que 1 ≤ i < n, Ci(G) est distinct de Cn(G). Prouver que G/Cn(G) est nilpotent de classe n – 1.

c) Soit G un groupe nilpotent de classe n ≥ 1. Prouver que G/Cn(G) est nilpotent de classe n – 1.


Problème 2 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soit une famille finie de groupes. Prouver que pour tout nombre naturel n ≥ 1,

où le symbole désigne le produit direct externe.

Problème 3 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soit une famille finie de groupes. On suppose que, pour chaque i, Gi est nilpotent de classe ci. Prouver que le produit direct des Gi est nilpotent de classe c, où c désigne le plus grand des ci.

Problème 4. Suite centrale ascendante[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Posons K = φ-1(Z(G/H)), où φ désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H. Il est clair que :
1) K est un sous-groupe de G qui contient H et peut être caractérisé comme le seul sous-groupe K de G contenant H tel que K/H = Z(G/H);
2) K est formé par l’ensemble des éléments x de G tels que, pour tout élément y de G, le commutateur [x, y] appartienne à H; cette caractérisation de K permet de montrer facilement que si H est caractéristique dans G, K est lui aussi caractéristique dans G.
3) K est le plus grand sous-groupe de G tel que [G, K] ⊆ H.

Ces remarques légitiment la définition suivante :

Soit G un groupe. On appelle suite centrale ascendante de G la suite croissante (ζi(G))i ≥ 0 de sous-groupes caractéristiques de G définie par récurrence sur i par :
ζ0(G) = 1;
pour tout i, ζi+ 1(G) est l’ensemble des éléments x de G tels que, pour tout élément y de G, le commutateur [x, y] appartienne à ζi(G).

Prouver que G est nilpotent si et seulement s'il existe un nombre naturel r tel que ζr (G) = G et que, dans ce cas, le plus petit nombre naturel r possédant cette propriété est égal à la classe de nilpotence de G.

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe et X une partie génératrice de G. Considérons la suite (Xn)n ≥ 1, définie par récurrence sur n, telle que X1 = X et que, pour tout n ≥ 1, Xn+1 soit l’ensemble des commutateurs de la forme [x, y] avec x dans X et y dans Xn. Prouver que, pour tout n ≥ 1, Cn(G) est le sous-groupe distingué de G engendré par Xn. (Énoncé dans N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, exerc. 15, b), Paris, 1970, p. 137.)

b) Soient G un groupe et X une partie génératrice de G. Dans les notations du point a), montrer que, pour tout nombre naturel n ≥ 1, l'image canonique de Xn dans Cn(G)/Cn+1(G) est une partie génératrice du groupe Cn(G)/Cn+1(G). (Énoncé dans N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, exerc. 15, b), Paris, 1970, p. 137.)

c) Soit G un groupe nilpotent de classe n et X une partie génératrice de G. Dans les notaions du point a), montrer que Xn est une partie génératrice de Cn(G).

d) Dans le notations et hypothèses du point a); montrer que Xn+1 = 1 si et seulement si G est nilpotent de classe ≤ n. (Énoncé dans N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, exerc. 15, a), Paris, 1970, p. 137.)

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe et c un élément de ζ2(G) (où (ζn(G))n est la suite centrale ascendante de G, définie dans un précédent problème). Prouver que pour tous éléments a, b de G, [ab, c] = [a, c] . [b, c].(Énoncé dans J. Delcourt, Théorie des groupes, 2e éd., Paris, 2007, p. 141.)

b) Soient G un groupe nilpotent de classe n ≥ 2 et c un élément de Cn-1(G). Prouver que pour tous éléments a, b de G, [ab, c] = [a, c] . [b, c].

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

On va prouver sans utiliser les produits tensoriels quelques résultats qui ont été obtenus à l'aide des produits tensoriels dans le chapitre théorique. (On indiquera encore une autre méthode au problème 8.)

a) Soient G un groupe nilpotent de classe ≤ n, X une partie génératrice de G et r un nombre naturel tel que, pour tout élément x de X, xr = 1. Prouver que, pour tout élément y de Cn(G), yr = 1.

b) Soient G un groupe nilpotent de classe ≤ n, X une partie de G et r un nombre naturel tel que, pour tout élément x de X, xr = 1. Prouver que pour tout élément y du sous-groupe <X> de G engendré par X,

où, conformément aux conventions en usage,

désigne .

(Voir un énoncé plus fort dans J.C. Lennox and D.J.S. Robinson The theory of infinite soluble groups, 1.2.14; Clarendon Press, Oxford, 2004, p. 11.)

c) Soient G un groupe nilpotent et H l’ensemble des éléments de G d'ordre fini. Prouver que H est un sous-groupe de G. (Énoncé dans N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, exerc. 12, a), Paris, 1970, p. 137.)

d) Soient G un groupe nilpotent et H l’ensemble des éléments de G d'ordre fini. Montrer que toute partie finie de H engendre un sous-groupe fini. (Énoncé dans N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, exerc. 12, b), Paris, 1970, p. 137.)

Problème 8[modifier | modifier le wikicode]

On va prouver sans utiliser les produits tensoriels, et par une aute méthode qu'au problème 7, quelques résultats qui ont été obtenus à l'aide des produits tensoriels dans le chapitre théorique.

a) Soient G un groupe, A et B des sous-groupes de G. Prouver que [A, [A, B] ] est un sous-groupe normal de [A, B]. Prouver que si a1, a2 sont des éléments de A et b un élément de B, on a dans le groupe [A, B]

Prouver que pour tout élément a de A, pour tout élément b de B, pour tout nombre naturel n, on a dans le groupe [A, B]

b) G étant un groupe et d un nombre naturel, nous désignerons par Gd le sous-groupe de G engendré par les d-ièmes puissances d'éléments de G. (Ce n’est pas une notation standard.) On vérifie facilement que Gd est un sous-groupe caractéristique de G (et est même stable par tout endomorphisme de G).
Soient G un groupe, A et B deux sous-groupes normaux de G et d un nombre naturel ≥ 0. Prouver que

c) Soient G un groupe, n un nombre naturel ≥ 1 et d un nombre naturel ≥ 0. Prouver que

d'où

et a fortiori

d) Soient G un groupe, n un nombre naturel ≥ 1 et d un nombre naturel ≥ 0. Si l'exposant de Cn(G)/ Cn+1(G) divise d, alors pour tout r ≥ n, l'exposant de Cr(G)/ Cr+1(G) divise lui aussi d. (Autrement dit : pour tout r ≥ n, l'exposant de Cr(G)/ Cr+1(G) divise l'exposant de Cn(G)/ Cn+1(G).)

e) Soit G un groupe nilpotent de classe c, tel que l'exposant de G/D(G) divise un nombre naturel e. Prouver que l'exposant de G divise ec. (Autrement dit, l'exposant de G divise la c-ième puissance de l'exposant de G/D(G).)

f) Soit G un groupe nilpotent de classe c, engendré par des éléments (en quantité finie ou infinie) dont les ordres divisent tous un même nombre naturel e. Prouver que l'exposant de G divise ec.

g) Soit G un groupe nilpotent de classe c, soit e un nombre naturel, soient a et b deux éléments de G tels que ae = bn = 1. Prouver que

h) Soit G un groupe nilpotent. Les éléments d'ordre fini de G forment un sous-groupe caractéristique T de G. Pour tout nombe premier p, les éléments de G dont les ordres sont des puissances de p forment un sous-groupe Tp de T, caractéristique dans T et dans G. Le groupe T est somme restreinte des Tp.

i) Soit G un groupe nilpotent tel que G/D(G) soit de type fini. Prouver que G est de type fini.

j) Soit G un groupe nilpotent tel que G/D(G) soit fini. Prouver que G est fini. (Rappel : on a vu dans les exercices de la série Groupes résolubles que tout groupe de torsion résoluble de type fini est fini.)

k) Soient G un groupe nilpotent engendré par un nombre fini d'éléments d'ordres finis. Prouver que G est fini.

l) Soient G un groupe nilpotent, x et y des éléments d'ordres finis de G dont les ordres sont premiers entre eux. Prouver que x et y commutent.

Problème 9. Groupes nilpotents et pseudo-anneaux nilpotents[modifier | modifier le wikicode]

Rappelons quelques notions concernant les anneaux et les pseudo-anneaux.

On appelle pseudo-anneau un ensemble P muni
1° d'une loi de composition interne dite addition et notée par +, qui fait de P un goupe commutatif, avec élément neutre noté 0,
2° d'une loi de composition interne associative, dite multiplication, notée généralement par un point médian ·, par une croix de multiplication × ou par simple juxtaposition, cette seconde loi étant distributive à gauche et à droite par rapport à la première.
Si la multiplication est commutative, le pseudo-anneau est dit commutatif. Un pseudo-anneau dont la multiplication a un élément neutre (qui est alors noté 1) est appelé un anneau.

Un élément x d'un anneau A est dit inversible (dans A) s'il existe un élément x de A tel que xa = ax = 1. Les éléments inversibles de A forment un groupe multiplicatif.

Si P est un pseudo-anneau et S un sous-groupe additif de P stable pour la multiplication (c'est-à-dire que le produit de deux éléments de P appartient toujours à P), alors l'addition et la multiplication de P induisent sur S une addition et une multiplication qui font de S un pseudo-anneau. Nous dirons alors que S est un sous-pseudo-anneau de P. Si A est un anneau, on appelle sous-anneau de A un sous-pseudo-anneau de A qui comprend l'élément 1 de A.
Remarque. Un sous-pseudo-anneau d'un anneau A peut être un anneau sans être un sous-anneau de A : par exemple, les classes résiduelles modulo 6 dont les éléments sont des nombres pairs forment un sous-pseudo-anneau de Z/6Z et ce sous-pseudo-anneau est un anneau (son neutre multiplicatif étant la classe de 4) mais ne comprend pas le neutre multiplicatif de Z/6Z, c'est-à-dire la classe du nombre 1.

On appelle idéal bilatère d'un anneau A un sous-groupe additif J de A tel que, pour tout élément x de J et tout élément a de A, ax et xa appartiennent à J. Par exemple, si A est un anneau commutatif et c un élément de A, l’ensemble des éléments de A de la forme ac, où a parcourt A, est un idéal bilatère de A. (Si un anneau A est commutatif, on dit « idéal de A » plutôt que « idéal bilatère de A ».) Un idéal bilatère est un cas particulier de sous-pseudo-anneau, mais un sous-pseudo-anneau n’est pas forcément un idéal bilatère : par exemple, si R est un anneau commutatif, l'anneau R[X, Y] des polynômes à deux variables X et Y admet R[X] pour sous-anneau mais non pour idéal bilatère.

Si P est un pseudo-anneau et n un nombre entier ≥ 1, nous désignerons par P(n) l’ensemble des sommes de produits de n éléments de P, autrement dit l’ensemble des éléments de P qui peuvent se mettre sous la forme

r parcourant les nombres entiers ≥ 0 et (ai,1, ..., ai,n) parcourant les n-uplets d'éléments de P. Il est clair que P(1) = P.

a) Soit P un pseudo-anneau. S'assurer des faits suivants (démonstration facile laissée au lecteur) :
- pour tous nombres entiers r, s ≥ 1, le produit d'un élément de P(r) par un élément de P(s) est un élément de P(r+s);
- pour tous nombres entiers i, j tels que 1 ≤ i ≤ j, P(j) est un sous-pseudo-anneau de P(i) (et donc aussi de A);
- en particulier, pour tout nombre entier i ≥ 1, P(i) est un sous-pseudo-anneau de P.

b) Soient A un anneau et P un sous-pseudo-anneau de A. On notera <1, P> le sous-groupe additif de A engendré par 1 et P. S'assurer des faits suivants (démonstration facile laissée au lecteur) :
- <1, P> est un sous-anneau de A;
- <1, P> = f(Z) + P, où f désigne l'homomorphisme canonique (en fait, le seul homomorphisme) de l'anneau Z dans l'anneau A;
- pour tout nombre entier i ≥ 1, P(i) est un idéal bilatère de l'anneau <1, P>

c) Soient A un anneau et P un sous-pseudo-anneau de A. Soit n un nombre entier ≥ 1 tel que le produit de n éléments de P soit toujours nul. (Un pseudo-anneau pour lequel il existe un tel n est appelé un pseudo-anneau nilpotent.) Prouver que
- pour tout nombre entier i ≥ 1, 1 + P(i) est un sous-groupe du groupe multiplicatif des éléments inversibles de l'anneau A (et, en particulier, 1 + P est un sous-groupe du groupe multiplicatif des éléments inversibles de A);
- pour tous nombres entiers i, j tels que 1 ≤ i ≤ j, 1 + P(j) est un sous-groupe de 1 + P(i);
- pour tous nombres entiers r, s ≥ 1, [1 + P(r), 1 + P(s)] ⊆ 1 + P(r+s);
- pour tout nombre entier i ≥ 1, Ci(1+P) ⊆ 1 + P(i);
- le groupe 1 + P est nilpotent de classe ≤ n-1.

Problème 10. Groupes de matrices unitriangulaires[modifier | modifier le wikicode]

L'objectif de cet exercice est de démontrer que si R est un anneau non nul et n un nombre entier ≥ 1, le groupe des matrices unitriangulaires supérieures de taille n à coefficients dans R (groupe qu'on définira) est nilpotent de classe n-1.

Soient R un anneau (unitaire, non forcément commutatif) et n un nombre naturel ≥ 1. Nous supposerons que l'anneau R est non nul, ce qui revient à dire que ses éléments 0 et 1 sont distincts. Nous considérerons des modules à gauche ou à droite sur l'anneau R. Le lecteur qui est familier avec la notion d'espace vectoriel mais non avec celle de module sur un anneau peut supposer que R est un corps, et même un corps commutatif. Si l'anneau est commutatif, il n'y a pas lieu de distinguer entre modules à gauche et à droite. Si R est un corps, les R-modules sont les R-espaces vectoriels.

On sait que l’ensemble M(n, R) des matrices carrées de taille n à coefficients dans R est un anneau. De plus, il a une structure canonique de R-module à gauche, avec pour loi externe

et une structure canonique de R-module à droite, avec pour loi externe

Rappelons qu'une matrice carrée de taille n à coefficients dans R est dite triangulaire supérieure si tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale sont nuls. Autrement dit, une matrice carrée (ai,j) est dite triangulaire supérieure si ai,j = 0 chaque fois que i > j.

On montre en algèbre linéaire que les matrices triangulaires supérieures de taille n à coefficients dans R forment un sous-anneau, que nous noterons T(n, R), de l'anneau M(n, R). La diagonale de la somme de deux matrices A et B appartenant à M(n, R) s'obtient en additionnant coefficient par coefficient les diagonales de A et B; plus précisément, si A = (ai,j), si B = (bi,j), si A+B = (ci,j), alors ci,i = ai,i+ bi,i pour tout i. Si, de plus, A et B sont triangulaires supérieures, la diagonale de AB s'obtient en multipliant coefficient par coefficient les diagonales de Aet B; plus précisément, si A = (ai,j), si B = (bi,j), si AB = (di,j), alors di,i = ai,i bi,i pour tout i.

Nous noterons T0(n, R) l’ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille n à coefficients dans R dont tous les coefficients diagonaux sont nuls. D'après ce qui précède, T0(n, R) est un sous-pseudo-anneau de T(n, R). (Pour cette terminologie, voir l'exercice précédent).

Nous noterons T1(n, R) l’ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille n à coefficients dans R dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1. Ces matrices sont appelées les matrices unitriangulaires supérieures de taille n à coefficients dans R. Il est clair que T1(n, R) = 1 + T0(n, R), le symbole 1 du second membre désignant le neutre multiplicatif de l'anneau M(n, R), c'est-à-dire la matrice unité.

Si P est un pseudo-anneau et i un nombre entier ≥ 1, on désignera par P(i), comme dans l'exercice précédent, ou encore par Pi, le sous-groupe additif de P engendré par les produits de i éléments de P. On a vu à l'exercice précédent que P(i) est un sous-pseudo-anneau de P. En particulier, T0(n, R)(i) est un sous-pseudo-anneau de T0(n, R). On vérifie facilement que c’est aussi un sous-R-module à gauche (et un sous-R-module à droite) de M(n, R).

Soit A = (ai,j) une matrice appartenant à M(n, R). Nous conviendrons de dire que la première superdiagonale de A est le (n-1)-uplet formé par les coefficients situés juste au-dessus de la diagonale principale, que la seconde superdiagonale de A est le (n-2)-uplet formé par les coefficients situés juste au-dessus de la première superdiagonale etc. Plus précisément, si k est un nombre entier tel que 1 ≤ k ≤ n-1, la k-ième superdiagonale de A est le (n-k)-uplet (a1,k+1, a2,k+2, ... , an-k,n).

Soit s un nombre entier ≥ 1. Nous désignerons par T0,s(n, R) l’ensemble des matrices (ai,j) de M(n, R) telles que ai,j = 0 pour tous i, j tels que j ≤ i+s-1. (Si s ≤ n-1, cela revient à dire que la diagonale principale et les s-1 premières superdiagonales de A sont nulles.) En particulier, T0,1(n, R) = T0(n, R) et T0,n(n, R) = 0. Il est clair que T0,s(n, R) est un sous-R-module à gauche (et un sous-R-module à droite) de M(n, R). La suite (T0,s(n, R))s est décroissante et stationnaire en 0.

Pour 1 ≤ i, j ≤ n, on désignera par Ei, j la matrice (er, s) ∈ M(n, R) définie par er, s = 1 si r = i et s = j, et er, s = 0 dans le cas contraire. (Donc tous les coefficients de la matrice Ei, j sont nuls, sauf celui de la i-ième ligne et de la j-ième colonne, qui est égal à 1.) Les matrices de ce type sont appelées unités matricielles. Il est clair qu’elles forment une base du R-module à gauche M(n, R) et aussi une base du R-module à droite M(n, R). Il est clair aussi que si s est un nombre entier ≥ 1, les matrices Ei, j avec j ≥ i+s forment une base du R-module à gauche (et du R-module à droite) T0,s(n, R).

a) Prouver que si 1 ≤ i, j, k, l ≤ n, alors Ei,j Ek,l est égale à Ei,l si j = k et à = 0 dans le cas contraire.

b) Soit s un nombre entier ≥ 1. Prouver que T0(n, R)s = T0,s(n, R) (Indication : on pourra utiliser le point a)).

c) On désignera par 1 le neutre multiplicatif de Mn(R), c'est-à-dire la matrice unité In. Soient i et j deux nombres entiers distincts tels que 1 ≤ i, j ≤ n, soit a un élément de R. Prouver que la matrice 1 + a Ei,j admet pour inverse la matrice 1 - a Ei,j. (Note : dans le cas où R est un corps, une matrice de la forme 1 + a Ei,j, avec i et j distincts et a scalaire, est appelée une matrice de transvection.)

d) Soient i, j, k trois nombres entiers distincts tels que 1 ≤ i, j, k ≤ n, soient a et b deux éléments de R. Prouver que, dans le groupe multiplicatif des éléments inversibles de Mn(R),

e) De façon générale, si G est un groupe et x1, ... , xs des éléments de G, avec s ≥ 1, on définit [x1, ... xs] par récurrence sur s en posant [x1] = x1 et [x1, ... xs] = [ [x1, ... xs-1], xs]. Prouver que dans le groupe G = T1(n, R) (groupe des matrices unitriangulaires supérieures de taille n à coefficients dans R),

f) Prouver que le groupe T1(n, R) des matrices triangulaires supérieures de taille n à coefficients dans R est nilpotent de classe n-1. (Utiliser le problème précédent et le point e) du présent problème.)