Leçons de niveau 16

Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Sylow

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Théorèmes de Sylow
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Exercices no10
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Théorèmes de Sylow

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Produit de groupes
Exo suiv. :Sous-groupes caractéristiques
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Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Sylow
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Problème 1 (Autre démonstration des théorèmes de Sylow)[modifier | modifier le wikicode]

Le but de cet exercice est de donner une démonstration des théorèmes de Sylow qui ne dépend que des notions de théorie des groupes exposées dans les précédents chapitres (et non de la théorie des espaces vectoriels).

a) Soient G un groupe fini et p un nombre premier. Soit E un ensemble non vide de p-sous-groupes de G possédant les deux propriétés suivantes :

1° si H est un sous-groupe de G appartenant à E, tous les conjugués de H dans G appartiennent à E ;

2° si H et K appartiennent à E, si H normalise K, alors H = K.

Montrer qu'alors, tous les éléments de E sont des sous-groupes de G conjugués entre eux dans G (de sorte que E est une classe de conjugaison de sous-groupes de G) et leur nombre est congru à 1 modulo p.

(Indication. Choisir un élément V de E, le faire opérer par conjugaison sur l’ensemble F de ses conjugués dans G et obtenir un renseignement sur le cardinal de F. Ensuite, supposer que, par absurde, il y ait un élément W de E qui ne soit pas conjugué de V dans G ; faire opérer W par conjugaison sur l’ensemble F déjà considéré (l'ensemble des conjugués de V) et obtenir sur le cardinal de F un renseignement qui contredit le précédent.)

b) Soient G un groupe fini et p un nombre premier. Appelons p-sous-groupe maximal de G tout élément maximal de l’ensemble des p-sous-groupes de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. (On verra plus loin que les p-sous-groupes maximaux de G sont ses p-sous-groupes de Sylow, définis comme les sous-groupes de G dont l’ordre est la plus grande puissance de p divisant |G|.) Prouver que si P est un p-sous-groupe maximal de G, si x est un élément de G dont l’ordre est une puissance de p, si x normalise P, alors x appartient à P.

c) Montrer que les p-sous-groupes maximaux de G forment une classe de conjugaison de sous-groupes et que leur nombre est congru à 1 modulo p. (Indication : montrer que l’ensemble des p-sous-groupes maximaux de G satisfait aux hypothèses sur E du point a.)

d) Soient G un groupe fini et p un diviseur premier de l’ordre de G. Prouver le théorème de Cauchy, à savoir que G comprend au moins un élément d'ordre p. (Indication. On peut utiliser la démonstration de McKay : faire opérer le groupe Z/pZ par « rotation » sur l’ensemble des p-uplets (x1, ... , xp) d'éléments de G tels que x1 ... xp = 1.)

e) Prouver que les p-sous-groupes maximaux de G sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G, c'est-à-dire les sous-groupes de G dont l’ordre est la plus grande puissance de p divisant |G|. (Indication : à l'aide des points b) et d), montrer que si P est un p-sous-groupe maximal de G, alors l'indice de P dans NG(P) n’est pas divisible par p.)

Remarques.

  1. Les théorèmes de Sylow, démontrés dans le chapitre théorique, résultent du point e) et de ce qui précède. On s'est ainsi passé de la théorie des espaces vectoriels.
  2. Certains énoncés démontrés ici serviront à prouver que tous les groupes simples d'ordre 360 sont isomorphes.

Problème 2 (Groupe p-clos)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et p un nombre premier. Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
a) tout p-sous-groupe de Sylow de G est distingué dans G;
b) il existe un p-sous-groupe de Sylow de G qui est distingué dans G;
c) G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow.

Remarque. Dans la littérature mathématique de langue anglaise[1], un groupe fini G est dit p-closed, pour un nombre premier p donné, si les conditions équivalentes a), b) et c) sont satisfaites. On trouve dans la littérature de langue française[2] l'expression « p-sous-groupe p-clos » d'un groupe fini G pour désigner un p-sous-groupe de G qui comprend tous les éléments dont l'ordre est puissance de p. Si un tel sous-groupe de G existe, il est unique et est l'unique p-sous-groupe de Sylow de G. Dire que G admet un p-sous-groupe p-clos dans le second sens de « p-clos » revient donc à dire que G est p-clos dans le premier sens. Dans le présent cours, on utilisera l'expression dans son premier sens.

Problème 3 (Sous-groupes de Sylow d'un sous-groupe et d'un groupe quotient)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini, H un sous-groupe de G, p un nombre premier et P un p-sous-groupe de Sylow de G.

a) Dans le chapitre théorique, on a prouvé à l'aide de l'équation aux classes qu'il existe un conjugué P1 de P dans G tel que P1 ⋂ H soit un p-sous-groupe de Sylow de H. Donner une démonstration qui ne repose pas sur l'équation aux classes, mais qui repose sur le fait que H a au moins un p-sous-groupe de Sylow. (On a démontré ce dernier fait au problème 1, sans utiliser l'énoncé à démontrer ici.)

b) On ajoute aux hypothèses que P ou H est normal dans G. Prouver que H ⋂ P est un p-sous-groupe de Sylow de H.

c) On ajoute aux hypothèses générales que H est normal dans G. Prouver que PH/H est un p-sous-groupe de Sylow de G/H et que tout p-sous-groupe de Sylow de G/H est de la forme QH/H pour un p-sous-groupe de Sylow Q de G.

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient p et q deux nombres premiers distincts et G un groupe d'ordre pq. Prouver que G n'est pas simple.

Problème 5. (Assez difficile.)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini, p un diviseur premier de l’ordre de G et P un p-sous-groupe de Sylow de G. Soient U et W des sous-groupes distingués de P. Prouver que U et W sont conjugués dans G si et seulement s'ils sont conjugués dans le normalisateur NG(P). (Burnside[3])

Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira à prouver que tous les groupes simples d'ordre 168 sont isomorphes.

Problème 6 (Congruence de Sylow à module renforcé)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe fini, p un nombre premier et P un p-sous-groupe de Sylow de G. Montrer que si un élément x de G dont l’ordre est une puissance de p normalise P, x appartient à P.

b) Soient G un groupe fini, p un nombre premier et P un p-sous-groupe de Sylow de G. Désignons par Syl(p, G) l’ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G et faisons opérer P sur Syl(p, G) par conjugaison. Prouver que pour tout élément Q de Syl(p, G), le stabilisateur de Q est P ⋂ Q.

c) Soient G un groupe fini, p un nombre premier et m le plus grand entier naturel tel que pm divise l’ordre de G. (Donc pm est l’ordre des p-sous-groupes de Sylow de G.) On suppose que, pour un certain entier naturel i ≤ m, l'intersection de deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts est toujours d'ordre ≤ pm-i. Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo pi. (Indication : utiliser le point b) et l'équation aux classes.)

d) Soient G un groupe fini, p un nombre premier et m le plus grand entier naturel tel que pm divise l’ordre de G. (Donc pm est l’ordre des p-sous-groupes de Sylow de G.) On suppose que les p-sous-groupes de Sylow de G se coupent trivialement deux à deux, c'est-à-dire que l'intersection de deux p-sous-groupes de Sylow de G distincts est toujours réduite à l'élément neutre. Prouver que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo pm.

Problème 7 (Intersection des p-sous-groupes de Sylow et intersection de leurs normalisateurs)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et p un nombre premier. Prouver que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G.

Remarque. On verra dans un exercice de la série Sous-groupes caractéristiques que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont en fait des sous-groupes caractéristiques de G, ce qui est plus fort que l'énoncé du présent problème.

Problème 8[modifier | modifier le wikicode]

Soit p un nombre premier, soit G un groupe fini, soit m le plus grand nombre naturel tel que pm divise |G|, soit a le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G, soient P1, ... , Pa les p-sous-groupes de Sylow de G.
Posons b = |G| / (pma). (D'après les théorèmes de Sylow, b est un nombre naturel.)
Prouver[4] que est l'unique p-sous-groupe de Sylow de et que les ordres de et de Z(G) divisent .

Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira à résoudre un exercice du chapitre Groupes alternés, qui nous permettra à son tour de prouver que le groupe des automorphismes du groupe des quaternions est isomorphe à S4.

Problème 9 (Nombre des p-sous-groupes de Sylow d'un sous-groupe)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe fini et p un nombre premier, soient P et Q deux différents p-sous-groupes de Sylow de G. Montrer que le sous-groupe <P,Q> de G engendré par P et Q n'est pas un p-groupe.

b) Soient G un groupe fini, H un sous-groupe de G, p un nombre premier. Notons Sylp(G) (resp. Sylp(H)) l'ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G (resp. de H). Prouver qu'il existe une injection f de Sylp(H)) dans Sylp(G)) telle que, pour tout élément S de Sylp(H)), f(S) contienne S (ce qui, en particulier, entraîne que le nombre des p-sous-groupes de Sylow de H est inférieur ou égal au nombre des p-sous-groupes de Sylow de G). (Indication : appliquer le point a) au groupe H.)

Remarque. On se servira du point b) dans un exercice sur le chapitre des groupes simples d'ordre 168.

Problème 10 (p-sous-groupes normaux)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et un nombre premier.

a) Soient Q un -sous-groupe de G et P un -sous-groupe de Sylow de G. On suppose que Q normalise P ou P normalise Q. Prouver que P contient Q.

b) Soit R un -sous-groupe normal de G. On a vu dans le chapitre théorique que R est contenu dans chaque -sous-groupe de Sylow de G. Prouver ce fait à l'aide du point a).

Problème 11[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini, soit un nombre premier, soit Q un -sous-groupe de G. On suppose que Q est normal dans chaque -sous-groupe de Sylow de G qui contient Q.

a) Notons H le sous-groupe de G engendré par les -sous-groupes de Sylow de G contenant Q. Prouver que les -sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les -sous-groupes de Sylow de H.
Indication : on peut utiliser le problème 10.

b) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque -sous-groupe de Sylow de G contenant Q, prouver que le nombre des -sous-groupes de Sylow de G contenant Q est congru à 1 modulo et divise le plus grand facteur de non divisible par

c) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque -sous-groupe de Sylow de G contenant Q, prouver que les -sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les -sous-groupes de Sylow de
(Comme au point b), on peut en déduire que le nombre des -sous-groupes de Sylow de G contenant Q est congru à 1 modulo et divise le plus grand facteur non divisible par de )

Remarque. Si G est un groupe fini, un nombre premier et Q un -sous-groupe de G, si on ne suppose pas que G est normal dans chaque -sous-groupe de Sylow de G contenant Q, il n'est pas forcément vrai que le nombre des -sous-groupe de Sylow de G contenant Q divise l'ordre de G. On en verra un contre-exemple dans les exercices sur les groupes simples d'ordre 168.

Problème 12[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini, soit un nombre premier. On suppose que les -sous-groupes de Sylow de G sont abéliens.
Soit Q un -sous-groupe de G.

a) Prouver que les -sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les -sous-groupes de Sylow de . Prouver que leur nombre est congru à 1 modulo et divise le plus grand facteur non divisible par de
Indication : on peut utiliser le problème 11.

b) Prouver que les -sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les -sous-groupes de Sylow de

c) Toujours dans l'hypothèse où les -sous-groupes de Sylow de G sont abéliens, soient et des -sous-groupes de G (non forcément distincts). Prouver que les quatre conditions suivantes sont équivalentes :

et sont contenus dans un même -sous-groupe de Sylow de G;
et se centralisent;
normalise ;
normalise

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir par exemple H. Kurzweil et B. Stellmacher, The theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, p. 64.
  2. Voir Félix Ulmer, Théorie des groupes, Paris, éd. Ellipses, 2012, p. 86.
  3. D. Gorenstein, Finite Groups, 2e éd., 1980, p. 240.
  4. Voir N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, ch. 1, § 6, exerc. 39, a, p. I, 142.