Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Automorphismes d'un groupe cyclique

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Théorie des groupes : Automorphismes d'un groupe cyclique
Théorie des groupes/Automorphismes d'un groupe cyclique
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Rappelons que nous avons défini les anneaux Z et Z/nZ au chapitre Groupes commutatifs finis, 1.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Nous appellerons groupe multiplicatif d'un anneau le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de cet anneau.

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Nous allons maintenant expliciter la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ, ce qui explicitera en même temps la structure du groupe des automorphismes des groupes monogènes. Si n = 0, l'anneau Z/nZ est isomorphe à Z, donc son groupe multiplicatif est formé des deux éléments 1 et - 1. Le cas n = 0 étant réglé, nous ne nous intéresserons plus qu'au cas n ≥ 1. On sait que dans ce cas, Z/nZ est fini et compte n éléments.

Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


D'après la proposition précédente, est égal à la quantité des nombres premiers avec n parmi 0, 1, ... , n -1.

Par exemple, et pour tout nombre premier p.

Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'un lemme
Fin du lemme
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d'un lemme
Fin du lemme
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Début d'un lemme
Fin du lemme
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Début d'un lemme
Fin du lemme
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration. Le groupe G est isomorphe au groupe additif Z/pZ, donc le groupe des automorphismes de G est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe additif Z/pZ, donc, d’après un théorème précédent, au groupe multiplicatif de Z/pZ, et nous venons de voir que ce groupe multiplicatif est cyclique.


Dans la suite, nous allons distinguer entre le nombre 2 et les autres nombres premiers. Comme les nombres premiers distincts de 2 sont exactement les nombres premiers impairs et que « nombre premier impair » est plus bref que « nombre premier distinct de 2 », on a coutume de dire « nombre premier impair » plutôt que « nombre premier distinct de 2 ».

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

On déterminera dans les exercices la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ pour tout nombre naturel n ≥ 1.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Ce résultat s'étend facilement aux corps gauches de caractéristique non nulle (I. N. Herstein, « Finite multiplicative subgroups in division rings », Pacific J. Math., vol. 3, no  1, 1953, p. 121-126 [texte intégral]).
  2. Pour une démonstration du théorème de Wedderburn, voir par exemple la démonstration de Witt reproduite dans André Weil, Basic Number Theory, 3e éd., Springer, 1974, p. 1.