Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Automorphismes d'un groupe cyclique

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Automorphismes d'un groupe cyclique
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Chapitre no 21
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes commutatifs finis, 2
Chap. suiv. :Produit semi-direct

Exercices :

Automorphismes d'un groupe cyclique
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Théorie des groupes/Automorphismes d'un groupe cyclique
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Rappelons que nous avons défini les anneaux Z et Z/nZ au chapitre Groupes commutatifs finis, 1.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. Puisque [1] = 1 + nZ est un générateur du groupe additif Z/nZ, il est clair qu'un élément [a] = a + nZ est un générateur de ce groupe si et seulement s'il existe un entier rationnel r tel que r [a] = [1], autrement dit si et seulement s'il existe un entier rationnel r tel que [r] [a] = [1], autrement dit si et seulement si [a] est un élément inversible de l'anneau Z/nZ.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. C'est une conséquence immédiate du théorème précédent, puisque nous avons vu au chapitre Groupes commutatifs finis, 1 que a + nZ est inversible dans l'anneau Z/nZ si et seulement si a est premier avec n.

Remarque. Les deux théorèmes qui précèdent peuvent être considérés comme des variantes de la proposition suivante, démontrée dans le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément : soient G un groupe fini d'ordre n, g un générateur de G et r un entier rationnel; pour que gr soit un générateur de G, il faut et il suffit que r soit premier avec n.

Nous appellerons groupe multiplicatif d'un anneau le groupe multiplicatif formé par les éléments inversibles de cet anneau.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. Pour tout entier rationnel r, désignons par [r] l'élément r + nZ de Z/nZ. On sait que [1] est un générateur du groupe additif Z/nZ. Soit f un automorphisme du groupe additif Z/nZ. Puisque f est un homomorphisme, nous avons, pour tout nombre entier rationnel r,

Puisque f est surjectif, il existe un élément [r] de Z/nZ tel que f([r]) = [1]. D'après (1), ceci s'écrit [r] f([1]) = [1], donc f([1]) est un élément inversible de l'anneau Z/nZ. Soit g l’application de Aut(Z/nZ) dans le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ qui applique f sur f([1]). Prouvons que g est un isomorphisme. Prouvons d’abord que g est une surjection. Soit [a] un élément inversible de l'anneau Z/nZ; il s'agit de prouver qu’il existe un automorphisme f du groupe Z/nZ qui applique [1] sur [a]. Cela résulte par exemple du fait que [a] est un générateur de Z/nZ, et d'un théorème démontré au chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément (à savoir que si G et H sont des groupes monogènes de même ordre, g un générateur de G et h un générateur de H, il existe un isomorphisme de G sur H qui applique g sur h). Ainsi, g est une surjection. Prouvons que g est une injection. Il s'agit de prouver que si f1 et f2 sont des automorphismes de Z/nZ, si f1([1]) = f2([1]), alors f1 = f2. Cela résulte de ce que [1] est un générateur de Z/nZ et de ce que deux homomorphismes d'un groupe G dans un groupe H qui coïncident en tout point d'une partie génératrice de G sont égaux. (Voir Groupes, premières notions. Nous avons donc prouvé que g est une bijection. Pour prouver que g est un isomorphisme, il reste à prouver que g est un homomorphisme de Aut(Z/nZ) dans le groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ. Pour cela, il s'agit de prouver que

Le premier membre est égal à f(g[1]). Choisissons un entier rationnel r tel que g([1]) = [r]. Alors le premier membre de (2) est égal à f([r]) et donc, d’après (1), à [r] f([1]), autrement dit à g([1]) f([1]), ce qui prouve (2).




Démonstration. On sait que G est isomorphe au groupe additif Z/nZ. L'énoncé se déduit donc facilement du théorème précédent.




Démonstration. D'après ce qui précède, le groupe des automorphismes d'un groupe monogène est isomorphe au groupe multiplicatif d'un anneau commutatif.

Nous allons maintenant expliciter la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ, ce qui explicitera en même temps la structure du groupe des automorphismes des groupes monogènes. Si n = 0, l'anneau Z/nZ est isomorphe à Z, donc son groupe multiplicatif est formé des deux éléments 1 et - 1. Le cas n = 0 étant réglé, nous ne nous intéresserons plus qu'au cas n ≥ 1. On sait que dans ce cas, Z/nZ est fini et compte n éléments.




Démonstration. On a vu au chapitre Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z que tout élément de Z/nZ est la classe d'un et un seul des nombres 0, 1, ... , n - 1. On a vu aussi (chapitre Groupes commutatifs finis, 1) que si a est un entier rationnel, a + nZ est un élément inversible de l'anneau Z/nZ si et seulement si a est premier avec n. L'énoncé en résulte.




D'après la proposition précédente, est égal à la quantité des nombres premiers avec n parmi 0, 1, ... , n -1. Par exemple, et pour tout nombre premier p.




Démonstration. Puisque G est isomorphe au groupe additif Z/nZ, il suffit de le prouver dans le cas où G = Z/nZ. Or nous avons vu que est le nombre des éléments inversibles de l'anneau Z/nZ et nous avons vu aussi que les éléments inversibles de l'anneau Z/nZ sont les générateurs du groupe additif Z/nZ.




Démonstration. Choisissons un groupe cyclique G d'ordre ab, que nous noterons additivement. D'après un exemple donné au chapitre Produit de groupes, G est somme directe interne de son sous-groupe (cyclique) A d'ordre a et de son sous-groupe (cyclique) B d'ordre b. À tout élément x de G, faisons correspondre le couple (y, z) tel que x = y z, avec y dans A et z dans B. Nous définissons ainsi un isomorphisme de G sur la somme directe de A et B. L'ordre de x est le ppcm des ordres de y et de z, l’ordre de y divise a et l’ordre de z divise b. Il est donc clair que x est d'ordre ab si et seulement si y est d'ordre a et z d'ordre b. Ainsi, induit une bijection de l’ensemble des générateurs de G sur le produit cartésien de l’ensemble des générateurs de A par l’ensemble des générateurs de B. Le nombre des générateurs de G est donc égal au produit du nombre des générateurs de A par le nombre des générateurs de B, ce qui prouve l'énoncé.

Remarque : l'énoncé précédent peut aussi se déduire de ce théorème : si a et b sont deux nombres naturels ≥ 1 et premiers entre eux, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/abZ est isomorphe au produit direct du groupe multiplicatif de l'anneau Z/aZ par le groupe multiplicatif de l'anneau Z/bZ. (Voir les exercices.)

Début d'un lemme


Fin du lemme


Démonstration. La preuve de l'équivalence des conditions 1° à 3° est facile et laissée au lecteur. Prouvons la dernière assertion de l'énoncé.
Première démonstration. D'après l'équivalence de 1° et 2° et le fait que toute classe modulo pn comprend un et un seul des nombres naturels < pn, la quantité des classes modulo pn satisfaisant aux conditions 1° à 3° est égale à la quantité des nombres divisibles par p parmi 0, 1, ... , pn - 1. Ces nombres sont les nombres de la forme p x, où x parcourt les nombres naturels tels que px < pn, autrement dit les nombres naturels x < pn-1. Ces nombres naturels x sont en quantité pn-1, donc les nombres divisibles par p dans la suite 0, 1, ... , pn sont en quantité pn-1.
Seconde démonstration. La démonstration qui précède repose sur l’ordre usuel défini dans N et dans Z. Voici une démonstration un peu différente, qui peut se généraliser à des anneaux où un ordre tel que celui de Z n’est pas défini. Deux entiers rationnels a et b sont congrus modulo pn-1 si et seulement pa et pb sont congrus modulo pn. On en déduit facilement
1° qu’il existe une et une seule application f de Z/pn-1Z dans l’ensemble des éléments non inversibles de Z/pnZ telle que, pour tout entier rationnel x, on ait f(x + pn-1Z) = p x + pn-1Z;
2° que f est une bijection.
Le nombre des éléments non inversibles de Z/pnZ est donc égal au nombre pn-1 des éléments de Z/pn-1Z.

Remarque. Les éléments non inversibles de l'anneau Z/pnZ forment donc un sous-groupe du groupe additif de cet anneau, ce qui n'est évidemment pas le cas dans tout anneau.




Démonstration. D'après une proposition précédente, donc il suffit de prouver que si p est un nombre premier et r un nombre naturel ≥ 1, alors Puisque, d’après le lemme précédent, le nombre des éléments non inversibles de Z/prZ est égal à pn-1,

Début d'un lemme


Fin du lemme


Démonstration. Pour tout groupe cyclique C, désignons par gén(C) l’ensemble des générateurs de C. Si C est un sous-groupe cyclique d'un groupe G, si x est un élément de gén(C), alors C est le sous-groupe de G engendré par x; il en résulte évidemment que si C et D sont deux différents sous-groupes cycliques de G, alors gén(C) et gén(D) sont disjoints. D'autre part, puisque G est fini, tout élément de G engendre un sous-groupe cyclique de G et, en particulier, est contenu dans un tel sous-groupe. Donc G est réunion disjointe des ensembles gén(C), où C parcourt les sous-groupes cycliques de G. On a donc

où C parcourt les sous-groupes cycliques de G.
Cela peut encore s'écrire

où, pour chaque d, C parcourt les sous-groupes cycliques d'ordre d de G. Il résulte d'une précédente proposition que pour un tel C,

d'où

En portant ceci dans (1), nous obtenons l'énoncé.




Démonstration. Choisissons un groupe cyclique G d'ordre n. Nous savons que pour tout diviseur naturel d de n, G admet un et un seul sous-groupe d'ordre d et que ce sous-groupe est cyclique. Donc, dans les notations du précédent lemme, rd = 1 pour tout diviseur naturel d de n. Le précédent lemme fournit donc l'énoncé.

Début d'un lemme


Fin du lemme


Solution.Pour tout diviseur naturel d de n, désignons par rd le nombre de sous-groupes cycliques d'ordre d de G. Par hypothèse, rd est égal à 0 ou à 1. D'après un précédent lemme, nous avons

d parcourt les diviseurs naturels de n. D'après la précédente proposition, le premier membre peut être remplacé par d'où

Puisque chaque rd est ≤ 1, le terme correspondant à l'indice d dans la somme qui forme le second membre de (1) est inférieur ou égal au terme correspondant à l'indice d dans la somme qui forme le premier membre. Vu l'égalité des deux membres, on doit donc avoir rd = 1 pour tout d. C'est vrai en particulier pour d = n, donc G a un sous-groupe cycique d'ordre n, donc G est cyclique.

Début d'un lemme


Fin du lemme


Démonstration. Soit G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif de F. Il s'agit de prouver que G est cyclique. Soit d un diviseur naturel de l’ordre de G. D'après la théorie des polynômes, le polynôme Xd - 1 admet au plus d racines dans F et donc au plus d racines dans G. Autrement dit, il y a dans G au plus d éléments x tels que xd = 1. Il en résulte clairement que G admet au plus un sous-groupe d'ordre d. (Si G admettait deux sous-groupes distincts d'ordre d, soient H et K, la réunion de H et de K serait un ensemble de plus de d éléments x tels que xd = 1.) A fortiori, G admet au plus un sous-groupe cyclique d'ordre d. D'après le lemme précédent, G est donc cyclique.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. C'est évidemment un cas particulier du lemme qui précède.

Remarque. D'après un théorème de Wedderburn[1], tout corps fini est commutatif. L'expression « corps commutatif fini » est donc pléonastique.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. Cela résulte immédiatement de l'énoncé précédent, puisque nous avons vu que si p est un nombre premier, l'anneau Z/pZ est un corps (commutatif).

Remarque. Soit p un nombre premier. Dire que le groupe multiplicatif de Z/pZ est cyclique revient à dire qu’il existe au moins un entier rationnel r (non divisible par p) tel que r0, r1, ... , rp-2 représentent les p - 1 classes résiduelles non nulles modulo p. Un tel entier rationnel est appelé « racine primitive modulo p ». En particulier, il y a au moins une racine primitive modulo p parmi les nombres naturels < p, et, d’après ce que nous avons vu sur le nombre de générateurs d'un groupe cyclique, il y en a exactement . Par exemple, pour p = 7, les racines primitives < p sont les nombres 3 et 5.



Démonstration. Le groupe G est isomorphe au groupe additif Z/pZ, donc le groupe des automorphismes de G est isomorphe au groupe des automorphismes du groupe additif Z/pZ, donc, d’après un théorème précédent, au groupe multiplicatif de Z/pZ, et nous venons de voir que ce groupe multiplicatif est cyclique.

Remarque. La preuve donnée ici du fait que le groupe des automorphismes d'un groupe (cyclique) d'ordre premier est cyclique dépend de la notion de polynôme. Il existe une démonstration qui ne dépend pas de la notion de polynôme mais seulement de notions élémentaires de théorie des groupes. Voir H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, pp. 50-51.

Dans la suite, nous allons distinguer entre le nombre 2 et les autres nombres premiers. Comme les nombres premiers distincts de 2 sont exactement les nombres premiers impairs et que « nombre premier impair » est plus bref que « nombre premier distinct de 2 », on a coutume de dire « nombre premier impair » plutôt que « nombre premier distinct de 2 ».

Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. Pour alléger les notations, désignons par G le groupe multiplicatif de l'anneau Z/pnZ. Nous savons déjà que l’ordre de ce groupe est . Prouvons que ce groupe est cyclique. L'ensemble A = 1 + p Z/pnZ, formé par les classes d'éléments congrus à 1 modulo p, est un sous-groupe (multiplicatif) de G. En effet, c’est clairement un sous-monoïde de G et, d’après un exercice de la série Groupes, premières notions, tout sous-monoïde fini d'un groupe est un groupe. (On pourrait aussi noter que la classe de 1 + xp modulo pnZ admet pour inverse la classe de 1 - x p + x2 p2 - ... + (- 1)n-1 xn-1 pn-1.) Nous avons vu que le nombre d'éléments de p Z/pnZ est pn-1, donc A, égal à 1 + p Z/pnZ, compte lui aussi pn-1 éléments. Autrement dit, le groupe multiplicatif A est d'ordre pn-1. Puisque p - 1 est premier avec pn-1, il résulte d'un corollaire de la décomposition d'un groupe commutatif en somme directe de ses composantes primaires que G est somme directe où B est un sous-groupe d'ordre p - 1 de G. Prouvons que chacun des groupes A et B est cyclique. Tout élément du groupe multiplicatif G de l'anneau Z/pnZ, étant une classe modulo pn formée de nombres non divisibles par p, est contenu dans un et un seul élément du groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ. Désignons par f l’application de G dans le groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ qui applique tout élément X de G sur l'unique élément du groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ qui contient X. Autrement dit, f(a + pnZ) = a + pZ pour tout entier rationnel a non divisible par p. On vérifie facilement que f est un homomorphisme surjectif de G sur le groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ et que le noyau de cet homomorphisme est A. Donc G/A est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ. Puisque G est somme directe (interne) de A et de B, G/A est isomorphe à B, donc B est isomorphe au groupe multiplicatif de l'anneau Z/pZ et est donc cyclique.
Prouvons maintenant que A est cyclique et pour cela, prouvons que la classe de 1 + p modulo pn engendre A. Il s'agit de prouver que l’ordre de la classe de 1 + p est pn-1. Comme cet ordre divise l’ordre pn-1 de A et est donc une puissance de p, il suffit de prouver le fait suivant :

(1) pour tout nombre naturel m tel que 0 ≤ m < n - 1, n’est pas congru à 1 modulo pn.

Prouvons que pour tout nombre naturel m ≥ 0,

Pour m = 0, les deux membres de la congruence sont égaux à 1 + p, donc la congruence est vraie. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel m et prouvons qu'elle est vraie avec m + 1 au lieu de m. Par hypothèse de récurrence, nous avons

pour un certain entier k. En élevant à la p-ième puissance et en appliquant la formule du binôme, nous trouvons

On sait que et que, pour tout i tel que 1 ≤ i ≤ p - 1, est divisible par p. Donc (3) donne

avec r et s entiers. Puisque est multiple de , nous avons donc

Du fait que p est supposé ≥ 3, il résulte que p m + p ≥ m + 3. (Ce ne serait pas vrai avec p = 2 et m = 0. L'énoncé du théorème est d'ailleurs faux pour p = 2.) Dès lors, (4) donne

ce qui achève de démontrer (2) par récurrence. Dès lors, pour tout nombre naturel m tel que 0 ≤ m < n - 1, la plus grande puissance de p qui divise est pm+1. La thèse (1) en résulte et, comme nous l'avons vu, elle entraîne que la classe de 1 + p modulo pn engendre A, donc A est cyclique.
Nous avons donc prouvé que A est un groupe cyclique d'ordre pn-1 et B un groupe cyclique d'ordre p - 1. Comme la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres premiers entre eux est un groupe cyclique, G est cyclique.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Démonstration. Pour tout nombre entier rationnel r, nous désignerons par [r] la classe de r modulo 2mZ. Déterminons l’ordre de [5]. Puisque le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2mZ est d'ordre , l’ordre de [5] doit être une puissance de 2. Prouvons que, pour tout nombre naturel j ≥ 0,

C'est vrai pour j = 0. Prouvons que si c’est vrai pour un nombre naturel j, c’est vrai pour j + 1 au lieu de j. La relation (1) signifie qu’il existe un entier k tel que

En élevant au carré, nous trouvons

Les deux derniers des trois termes du second membre sont clairement divisibles par . Le premier terme, égal à , est congru à modulo . La relation (2) entraîne donc

Ceci prouve la relation (1) par récurrence sur j. Dès lors, pour tout nombre naturel j ≥ 0, est divisible exactement j + 2 fois par 2. Puisque nous supposons m ≥ 2, il en résulte que le plus petit nombre naturel j tel que soit divisible par 2m est m - 2. L'ordre de [5] dans le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2mZ est donc 2m-2. Ceci revient à dire que le sous-groupe <[5]> engendré par [5] est d'ordre 2m-2. Puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] est distinct de [1], donc [1] et [-1] forment un sous-groupe d'ordre 2 du groupe multiplicatif de l'anneau Z/2mZ. Comme tout élément de <[5]> est évidemment la classe d'un nombre congru à 1 modulo 4, l'intersection de <[5]> avec le sous-groupe {[1], [-1]} est réduite à l'élément neutre. (En effet, puisque nous supposons m ≥ 2, [-1] ne peut pas être la classe modulo 2m d'un nombre congru à 1 modulo 4.) Donc le sous-groupe engendré par le sous-groupe {[1], [-1]} et le sous-groupe <[5]> est la somme directe de {[1], [-1]} et de <[5]> et est donc d'ordre 2m-1, donc est égal à tout le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2mZ, ce qui prouve la première partie de l'énoncé. Si m est au moins égal à 3, il résulte de ce qui précède que le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2mZ est somme directe d'un groupe cyclique d'ordre 2 et d'un groupe cyclique d'ordre divisible par 2. On a vu au chapitre Théorie des groupes/Produit de groupes que la somme directe de deux groupes cycliques d'ordres non premiers entre eux n’est pas un groupe cyclique, donc, si m est au moins égal à 3, le groupe multiplicatif de l'anneau Z/2mZ n’est pas cyclique.

On déterminera dans les exercices la structure du groupe multiplicatif de l'anneau Z/nZ pour tout nombre naturel n ≥ 1.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour une démonstration du théorème de Wedderburn, voir par exemple la démonstration de Witt reproduite dans André Weil, Basic Number Theory, 3e éd., Springer, 1974, p. 1.