Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
Image logo représentative de la faculté
Exercices no30
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Premiers résultats sur les groupes simples
Exo suiv. :Théorème de Gaschütz
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
Théorie des groupes/Exercices/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Si G est un groupe, désignons par Gl le sous-groupe de SG formé par les translations gauches gl : G → G : x ↦ gx, où g parcourt G. On sait que Gl est isomorphe à G. (Voir le chapitre Holomorphe d'un groupe.)
Soit G un groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre). Prouver que Gl est sous-groupe normal minimal de l'holomorphe Hol(G) de G.

Remarque. Puisque Gl est isomorphe à G, l'énoncé prouve que tout groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre) peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. C'est une réciproque au théorème, démontré dans le chapitre théorique, selon lequel tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est un groupe caractéristiquement simple.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini résoluble, soit M un sous-groupe maximal de G. Prouver que l'indice de M dans G est une puissance de nombre premier.
Indication : raisonner par récurrence sur l'ordre de G; choisir un sous-groupe normal minimal N de G et déduire du chapitre théorique une propriété de ; puis, distinguer selon que M contient N ou ne le contient pas; s'il le contient, appliquer l'hypothèse de récurrence au groupe G/N.

Remarque. L'énoncé de cet exercice était connu de Galois[1].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. J.S. Rose, A Course on Group Theory, réimpression Dover, 1994, p. 279.