Théorie des groupes/Exercices/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux

Problème 1

Si G est un groupe, désignons par G^l le sous-groupe de S_G formé par les translations gauches g^l : G → G : x ↦ gx, où g parcourt G. On sait que G^l est isomorphe à G. (Voir le chapitre Holomorphe d'un groupe.)
Soit G un groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre). Prouver que G^l est sous-groupe normal minimal de l'holomorphe Hol(G) de G.

Solution

Puisque G^l est isomorphe à G, il est caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre). Prouvons que G^l est sous-groupe normal minimal de Hol(G). Soit N un sous-groupe normal de Hol(G) contenu dans G^l; il s'agit de prouver que N est égal à 1 ou à G^l. D'après le chapitre Holomorphe d'un groupe, le fait que N soit normal dans Hol(G) et contenu dans G^l entraîne que N est caractéristique dans G^l. Nous avons noté que G^l est caractéristiquement simple, donc N est égal à 1 ou à G^l, ce qu’il fallait démontrer.

 

Remarque. Puisque G^l est isomorphe à G, l'énoncé prouve que tout groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre) peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. C'est une réciproque au théorème, démontré dans le chapitre théorique, selon lequel tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est un groupe caractéristiquement simple.

Problème 2

Soit G un groupe fini résoluble, soit M un sous-groupe maximal de G. Prouver que l'indice de M dans G est une puissance de nombre premier.
Indication : raisonner par récurrence sur l'ordre de G; choisir un sous-groupe normal minimal N de G et déduire du chapitre théorique une propriété de $\vert N\vert$; puis, distinguer selon que M contient N ou ne le contient pas; s'il le contient, appliquer l'hypothèse de récurrence au groupe G/N.

Solution

On va raisonner par récurrence sur l'ordre de G.
Puisque G est supposé avoir un sous-groupe maximal, il n'est pas trivial, donc nous pouvons choisir un sous-groupe normal minimal N de G. D'après le chapitre théorique (et compte tenu que G est résoluble), il existe un nombre premier $p$ tel que N soit un p-groupe abélien élémentaire. Retenons seulement que

(1)$\qquad$ l'ordre de N est une puissance de nombre premier.

Puisque N est normal dans G,

$\qquad$MN est un sous-groupe de G.

Supposons d'abord que

(hyp. 2)$\qquad$M ne contienne pas N.

Alors MN > M, donc, puisque M est un sous-groupe maximal de G,

$\qquad$MN = G,

$\qquad \vert MN\vert =\vert G\vert$,

ce qui, d'après la formule du produit, peut s'écrire

$\qquad \vert M\vert \cdot \vert N\vert /\vert M\cap N\vert =\vert G\vert$,

donc $\vert G\vert$ divise $\vert M\vert \cdot \vert N\vert$,

$\qquad \vert G\vert /\vert M\vert$ divise $\vert N\vert .$

Puisque nous avons vu en (1) que $\vert N\vert$ est une puissance de nombre premier, il en résulte que l'indice $\vert G\vert /\vert M\vert$ de M dans G est une puissance de nombre premier. Donc

(3)$\qquad$l'énoncé est vrai dans notre hypothèse (2), où M ne contient pas N.

Supposons maintenant que

(hyp. 4)$\qquad$M contient N.

Alors N est un sous-groupe normal de M, donc nous pouvons considérer le groupe M/N.
Puisque M est un sous-groupe maximal de G, il résulte du théorème de correspondance que

(5)$\qquad$M/N est un sous-groupe maximal de G/N.

Puisque, par définition, un sous-groupe normal minimal est non trivial, N est non trivial, donc

(6)$\vert G/N\vert <\vert G\vert .$

De plus,

(7)$\qquad$G/N est résoluble.

De (5), (6), (7) et de notre hypothèse de récurrence, il résulte que

l'indice de M/N dans G/N est une puissance de nombre premier.

Mais l'indice de M/N dans G/N est égal à l'indice de M dans G, donc

l'indice de M dans G est une puissance de nombre premier,

donc l'énoncé est encore vrai dans notre hypothèse (4), où M contient N.
Joint à (3), cela achève la démonstration.

 

Remarque. L'énoncé de cet exercice était connu de Galois.