Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux

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Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux
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Exercices no29
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes caractéristiquement simples, sous-groupes normaux minimaux

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Premiers résultats sur les groupes simples
Exo suiv. :Théorème de Gaschütz
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Si G est un groupe, désignons par Gl le sous-groupe de SG formé par les translations gauches gl : G → G : x ↦ gx, où g parcourt G. On sait que Gl est isomorphe à G. (Voir le chapitre Holomorphe d'un groupe.)
Soit G un groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre). Prouver que Gl est sous-groupe normal minimal de l'holomorphe Hol(G) de G.

Remarque. Puisque Gl est isomorphe à G, l'énoncé prouve que tout groupe caractéristiquement simple (et non réduit à l'élément neutre) peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. C'est une réciproque au théorème, démontré dans le chapitre théorique, selon lequel tout sous-groupe normal minimal d'un groupe est un groupe caractéristiquement simple.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]