Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs

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Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs
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Chapitre no 32
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. : Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives
Chap. suiv. : Intermède : groupes simples d'ordre 360

Exercices :

Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs
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Théorie des groupes/Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

L'objet de ce chapitre est de prouver que si V est un espace vectoriel de dimension finie n au moins égale à 2 sur un corps commutatif K, le groupe linéaire spécial projectif PSL(V) (qu'on définira) est simple, sauf dans le cas où n est égal à 2 et le cardinal de K à 2 ou à 3.

On trouvera dans Marc Hindry, Université Paris 7, Cours d’algèbre au magistère de Cachan, en ligne, une démonstration un peu différente de celle qui suit.

Conventions et rappels sur les matrices[modifier | modifier le wikicode]

On définira une matrice à r lignes et à s colonnes (r et s étant des nombres naturels) comme une famille (« double ») indexée par le produit cartésien . Si est une telle matrice, les sont appelés les coefficients de la matrice; plus précisément, on dit que est le coefficient de la i-ième ligne et de la j-ième colonne.

Dans ce qui précède, les mots « ligne » et « colonne » ont un sens purement conventionnel. L'usage de ces mots s'explique par le fait qu'on représente couramment une matrice à r « lignes » et s « colonnes » par un tableau rectangulaire à r lignes et s colonnes, cette fois au sens courant des mots « ligne » et « colonne ». Les lignes de ce tableau étant numérotées de haut en bas et les colonnes de gauche à droite, on met le coefficient de la matrice à l'intersection de la i-ième ligne et de la j-ièmes colonne.

Au lieu de « matrice à r lignes et s colonnes », nous dirons parfois « matrice  ».

Si M et N sont deux matrices dont les coefficients appartiennent à un même anneau A, on définit la somme M + N des matrices M et N (relativement à l'anneau A) de la façon suivante : si , si , alors

où la somme est prise dans l'anneau A.

Si M est une matrice à r lignes et s colonnes à coefficients dans l'anneau A, si N est une matrice à s lignes et t colonnes à coefficients dans le même anneau A (N a donc autant de lignes que M de colonnes), nous définirons le produit MN des matrices M et N (relativement à l'anneau A) de la façon suivante : si , si si , alors

,

le calcul de se faisant dans l'anneau A.

Les seules matrices que nous rencontrerons dans ce chapitre seront des matrices à coefficients dans des corps commutatifs. Cela simplifie un peu ce qui suit en nous dispensant de distinguer entre espaces vectoriels à gauche et espaces vectoriels à droite.

Soit F un corps commutatif, soient V, W des F-espaces vectoriels de dimensions finies s et r respectivement, soit une base numérotée de V (on entendra par là une famille basique de V indexée par l'ensemble {1, ... , s}), soit une base numérotée de W; soit f un F-homomorphisme de V dans W; nous définirons la matrice de f dans les bases et comme la matrice , où désigne la i-ième composante de dans la base .

Si f et g sont deux F-homomorphismes de V dans W, si M (resp. N) désigne la matrice de f (resp. g) dans les bases et , alors la matrice de f + g dans ces bases est M + N.

Soit F un corps commutatif, soient , , des F-espaces vectoriels de dimensions finies, soient respectivement , , des bases numérotées de , et . Si f est un F-homomorphisme de dans , si g est un F-homomorphisme de dans , si M désigne la matrice de f dans les bases et , si N désigne la matrice de g dans les bases et , alors la matrice de dans les bases et est NM.

Les auteurs qui, contrairement au choix fait dans le présent cours, préfèrent les opérations de groupes à droite aux opérations à gauche, composent habituellement les applications de gauche à droite alors que nous les composons de droite à gauche. Autrement dit, ces auteurs écrivent là où nous écrivons . Ces auteurs définissent en général la matrice d'un F-homomorphisme de V dans W dans une base de V et une base de W comme la matrice , où désigne la j-ième composante de dans la base . Cette matrice est la transposée de celle que nous avons définie comme la matrice de f dans les bases de V et de W. Avec la définition donnée par les auteurs en question, on peut énoncer :

« Soit F un corps commutatif, soient V, W, U des F-espaces vectoriels de dimensions finies, soit une base numérotée de V, soit une base numérotée de W, soit une base numérotée de U. Si f est un F-homomorphisme de V dans W, si g est un F-homomorphisme de W dans U, si M désigne la matrice de f dans les bases et , si N désigne la matrice de g dans les bases et , alors la matrice de dans les bases et est MN. »

C'est en raison de l'existence de ces conventions différentes qu'on a fait la présente mise au point.

Généralités sur les groupes linéaires[modifier | modifier le wikicode]

V étant un espace vectoriel sur un corps commutatif K, nous appellerons automorphisme de V toute permutation K-linéaire de V.







Démonstration. Notions classiques d'algèbre linéaire.




Il est clair que SL(V) est le noyau de l'homomorphisme de GL(V) dans K - {0} et est donc un sous-groupe normal de GL(V).





Démonstration. Notions classiques sur les déterminants.




Remarque. Nous adoptons ici une terminologie selon laquelle, par définition, une homothétie est non nulle. Selon une autre terminologie, l'endomorphisme nul est lui aussi une homothétie.

On vérifie facilement que si V n’est pas nul, le scalaire est défini de manière unique à partir de f et que définit un isomorphisme du groupe multiplicatif K - {0} sur Z(V). Le scalaire est appelé le rapport de l'homothétie f et f est appelée l'homothétie de rapport . On vérifie facilement que tout automorphisme d'un espace vectoriel de dimension 1 est une homothétie.





Démonstration. La condition est évidemment nécessaire. Prouvons qu'elle est suffisante. Supposons donc que pour tout élément x de V, il existe un scalaire a tel que f(x) = ax, et prouvons que f est une homothétie. Il est clair que si l'élément x de V est non nul, il existe un et un seul scalaire a (correspondant à x) tel que f(x) = ax. Nous noterons ce scalaire ax (et nous éviterons de définir a0).
Si dim(V) < 2, tout automorphisme de V est une homothétie et notre thèse est banale dans ce cas. Supposons donc dim(V)
Pour prouver que f est une homothétie, il revient au même de prouver que pour tous éléments x, y de V - {0}, ax = ay.
Supposons d’abord x et y linéairement indépendants. Alors et nous pouvons écrire

.

Puisque x et y sont supposés linéairement indépendants, ax et ay sont donc tous deux égaux à ax + y, donc ax = ay comme annoncé.
Si maintenant x et y sont linéairement dépendants, alors, puisque dim(V) nous pouvons choisir un élément z de V qui n'appartient pas à Kx = Ky. Alors x et z (resp. y et z) sont linéairement indépendants, donc, d’après ce qui précède, ax et ay sont tous deux égaux à az, d'où encore ax = ay.



Démonstration. Soient a un scalaire non nul et f un élément de GL(V). La relation f(ax) = a f(x), vraie pour tout élément x de V, montre que donc toute homothétie commute avec tout élément de GL(V) et, en particulier, avec tout élément de SL(V).
Prouvons maintenant que si un élément de GL(V) commute avec tout élément de SL(V), c’est une homothétie. Il revient au même de prouver que si un élément f de GL(V) n’est pas une homothétie, il ne commute pas avec tout élément de SL(V). D'après l'énoncé 3, il existe un élément x de V - {0} tel que x et f(x) soient linéairement indépendants. Complétons (x, f(x)) en une base (x, f(x), x3, ... , xn) de V. Alors la famille (x, x + f(x), x3, ... , xn) est elle aussi une base de V (si à un élément d'une base on ajoute un autre élément de la même base, on obtient encore une base). Il existe donc un (et un seul) automorphisme g de V qui applique la première de ces deux bases sur la seconde, c'est-à-dire tel que

pour tout

Le déterminant de g est égal à 1 (par exemple parce que la matrice de g dans la base (x, f(x), x3, ... , xn) est une matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1), donc g appartient à SL(V). Enfin, f et g ne commutent pas, car, par définition de g, g(f(x)) = x + f(x) et, d’autre part, f(g(x)) = f(x).
Nous avons donc prouvé que toute homothétie commute avec tout élément de GL(V) et que si un élément de GL(V) commute avec tout élément de SL(V), c’est une homothétie. Il en résulte clairement que le groupe Z(V) des homothéties est le centralisateur de SL(V) dans GL(V) et est aussi le centre de GL(V). Le centre de SL(V) est donc c'est-à-dire SZ(V).



Au lieu de « groupe linéaire spécial projectif », on rencontre aussi « groupe projectif spécial linéaire » et « groupe projectif unimodulaire[1] ».



Démonstration. On sait (algèbre linéaire) que les éléments de GL(V) sont en correspondance biunivoque avec les n-uplets de vecteurs linéairement indépendants de Kn. Pour construire un tel n-uplet, nous avons qn - 1 choix possibles pour le premier vecteur (tous les vecteurs non nuls). À un choix du premier vecteur correspondent qn - q choix possibles pour le second vecteur (tous les vecteurs n'appartenant pas au sous-espace de dimension 1 de Kn engendré par le premier vecteur choisi). Il y a donc (qn - 1) (qn - q) choix possibles pour les deux premiers vecteurs. À un choix des deux premiers vecteurs correspondent qn - q2 choix possibles pour le troisième vecteur (tous les vecteurs n'appartenant pas au sous-espace de dimension 2 de Kn engendré par les deux premiers vecteurs choisis). En poursuivant, on obtient la valeur de donnée dans l'énoncé.
Puisque V est supposé non nul, l'homomorphisme est surjectif. Comme SL(V) est le noyau de cet homomorphisme, le premier théorème d'isomorphisme donne

d'où la valeur de donnée dans l'énoncé.
Si a est un scalaire non nul, le déterminant de l'homothétie a idV est an, donc (puisque définit un isomorphisme du groupe multiplicatif K - {0} sur Z(V)), est le nombre d'éléments a de K - {0} tels que an = 1. On sait (chapitre Automorphismes d'un groupe cyclique) que K - {0} est un groupe cyclique d'ordre q - 1, donc, d’après le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément, le nombre d'éléments a de K - {0} tels que an = 1 est pgcd(n, q - 1), d'où la valeur de donnée dans l'énoncé.
Puisque PSL(V) = SL(V)/SZ(V), la quatrième assertion de l'énoncé résulte de la seconde et de la troisième.

Définition et caractérisations des transvections[modifier | modifier le wikicode]

Début d'un lemme


Fin du lemme

Démonstration. L'hypothèse d’après laquelle f fixe chaque point de H entraîne a fortiori donc f induit une transformation linéaire de V/H telle que, pour tout élément v de V,

Puisque V/H est de dimension 1, il existe un scalaire tel que soit l'homothétie de rapport , autrement dit, tel que, pour tout élément v de V,

Si était un autre sacalaire possédant cette propriété, on aurait d'où pour tout élément v de V, d'où H = V, contradiction. Donc il existe un et un seul scalaire tel que (1). Il reste à prouver que est le déterminant de f.
Choisissons une base de H et un élément w de V - H. Alors forment une base de V.
Soit où les sont des scalaires. Alors d'où, d’après (1), Si était distinct de on aurait contradiction. Donc et la matrice de f dans la base de V est

On a donc (mineurs de la dernière ligne) ce qui achève de démontrer l'énoncé.



Il est clair que si V admet au moins une transvection, sa dimension est au moins égale à 2. D'autre part, deux différents hyperplans de V engendrent V, donc un automorphisme de V distinct de l'identité ne peut pas fixer chaque point de deux différents hyperplans. Il en résulte que l'hyperplan dont il est question dans la définition d'une transvection est unique.





Démonstration. On peut dire par exemple qu'une matrice élémentaire de transvection est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1.

Notation. Pour i et j distints dans {1, 2, ... , n} et pour scalaire, nous noterons la matrice à n lignes et n colonnes dont le coefficient de la i-ième ligne et de la j-ième colonne est égal à et dont tout autre coefficient est égal au coefficient correspondant de la matrice identité. (Le nombre n est sous-entendu dans la notation.) Si est donc une matrice élémentaire de transvection. Si est la matrice identité.

L'expression « matrice élémentaire de transvection » est justifiée par le théorème qui suit.



Démonstration. Soit f une transvection de V. Il existe donc un hyperplan H de V dont f fixe chaque point. Choisissons un élément w de V - H. Par définition d'une transvection, det(f) = 1, donc, d’après le lemme 6,

(1) f(w) = w + h,

avec h dans H. Si h était nul, f fixerait w, donc (puisque f fixe chaque oint de H) f serait l'identité, ce qui contredit la définition d'une transvection. Donc et on peut compléter {h} en une base de H. Alors est une base de V et, d’après (1), la matrice de f dans cette base est . Ceci prouve la partie i) de l'énoncé.
Prouvons maintenant la partie ii) de l'énoncé. Soit f un automorphisme de V dont la matrice dans une base de V est , avec et Alors f fixe chaque point de l'hyperplan et det(f) = 1 (énoncé 7), donc f est une transvection.



Démonstration. Cela résulte de l'énoncé précédent, compte tenu que la matrice d'un élément de GL(V) dans une base de V et la matrice du même élément de GL(V) dans une autre base de V sont toujours semblables dans GL(n, K) (résultat classique d'algèbre linéaire).

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soient f et g deux transvections de V. Il s'agit de prouver que f et g sont conjuguées dans GL(V). D'après l'énoncé 8, il existe une base A et une base B de V telles que la matrice de f dans A et la matrice de g dans B soient toutes deux égales à Or, de façon générale, si f et g sont deux éléments de GL(V), s'il existe une base A et une base B de V telles que la matrice de f dans la base A et la matrice de g dans la base B soient égales, alors f et g sont conjugués dans GL(V). En effet, soient et , soit la matrice de f dans A et de g dans B: désignons par h l'élément de GL(V) tel que pour tout i. Alors

,

donc et f coïncident en tout et sont donc égaux.

Remarque. Si la dimension de V est au moins égale à 3, on peut même prouver (voir les exercices[2]) que les transvections de V sont toutes conjuguées dans SL(V), mais cela ne nous servira pas.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soit f une transvection de V. D'après l'énoncé 8, il existe une base de V dans laquelle la matrice de f est la matrice élémentaire de transvection Désignons par la forme linéaire qui applique sur 1 et, pour tout i > 1, sur 0. Posons Alors est une forme linéaire non nulle sur V, h est un élément non nul du noyau de et, pour tout i, on a

d'où, par linéarité, pour tout élément v de V, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé.
Réciproquement, supposons que est une forme linéaire non nulle sur V et h un élément non nul de et prouvons que l’application est une transvection de V.
Puisque est une forme linéaire non nulle, son noyau est un hyperplan de V. Complétons {h} en une base de et complétons cette base de en une base de V. Quitte à remplacer w par , nous pouvons supposer que Aors la matrice de f dans la base de V est donc, d’après l'énoncé 8, ii, f est une transvection.




Si la forme et le vecteur h sont non nuls, il résulte du précédent théorème que {, h} est une transvection.

Notons que si f est une transvection, la forme non nulle et l'élément non nul h du noyau de tels que ne sont pas définis de manière unique, mais seulement à un facteur scalaire de proportionnalité près, comme le montre le point iii) du lemme suivant.

Début d'un lemme


Fin du lemme

Démonstration. Les deux assertions du point (i) et le point (ii) se démontrent par un calcul facile.
Démontrons le point (iii). S'il existe un scalaire non nul tel que et nous avons, d’après (ii),

Réciproquement, soient des formes linéaires non nulles sur V, h un élément non nul de et k un élément non nul de tels que
Pour tout élément v de V, nous avons donc

d'où, pour tout élément v de V,

Puisque est non nulle, il existe un élément v de V tel que , donc il existe un scalaire (à savoir ) tel que ; puisque h est non nul, le scalaire est non nul.
L'hypothèse peut s'écrire , d'où, pour tout élément v de V,

Puisque k est non nul, on a donc ce qui achève de prouver le point (iii).
Démontrons le point (iv). Il revient au même de prouver que

et il suffit pour cela de prouver que pour toute forme linéaire sur V et tout vecteur h tel que

C'est bien vrai car les deux membres appliquent l'élément v de V sur

Remarque Le point (ii) peut se déduire du point (iv). On note d’abord que si est nul, les deux membres de (ii) sont égaux à l'identité. Dans le cas où n’est pas nul, on pose dans (iv) et on y remplace par .

Engendrement de SL(V) par les transvections[modifier | modifier le wikicode]


Démonstration. Calcul facile.



Démonstration. Calcul facile.



Démonstration. Nous allons raisonner par récurrence sur n. Pour n = 1, le groupe SL(n, K) est réduit à l'élément neutre et l’ensemble des matrices élémentaires de transvection est vide, donc l'énoncé est banalement vrai. Soit ; supposons que l'énoncé soit vrai pour n - 1 au lieu de n et prouvons-le pour n. D'après les deux énoncés précédents, il suffit de prouver que si M est une matrice appartenant à SL(n, K), on peut obtenir la matrice identité à partir de M par des applications répétées de l'opération suivante : ajouter à une ligne de la matrice le produit d'une autre ligne par un scalaire.
Cette opération ne modifie pas le déterminant (par exemple parce qu'elle revient à multiplier à gauche par une matrice de transvection élémentaire), donc toutes les matrices que nous obtiendrons ainsi à partir de M appartiendront à SL(n, K).
Soit Puisque et en particulier la première colonne de M n’est pas nulle. Si sont tous nuls, alors ne l'est pas et en ajoutant la première ligne à la seconde, on obtient une matrice où le second coefficient de la première colonne est non nul. Cela montre que, dans tous les cas, on peut obtenir à partir de M, par une ou par zéro opérations du type considéré, une matrice où au moins un des coefficients , soit (avec ), est non nul. En ajoutant à la première ligne un multiple convenable de la i-ième ligne, nous obtenons une matrice dont le coefficient supérieur gauche est égal à 1. En ajoutant à la seconde, à la troisième, ..., à la n-ième ligne un multiple convenable de la première, nous obtenons une matrice de la forme

Désignons par N la matrice

Puisque , il est clair que det(N) = 1 (voir les mineurs de la première colonne de Par hypothèse de récurrence, des opérations du type considéré transforment la matrice

en la matrice : il en résulte clairement que des opérations du type considéré transforment la matrice en la matrice

Ajouter fois la seconde ligne à la première remplace par 0 et ne change pas les autres coefficients. Ensuite, ajouter fois la troisième ligne à la première remplace par 0 et ne change pas les autres coefficients. En poursuivant, on obtiendra la matrice identité, comme annoncé.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Soient n la dimension de V et K son corps de base. Choisissons une base de V. Si f est un élément de SL(V), la matrice M(f) de f dans la base est un élément de SL(n, K) et définit un isomorphisme de SL(V) sur SL(n, K). D'après le lemme 15, les matrices élémentaires de transvection engendrent SL(n, K), donc les images de ces matrices par engendrent SL(V). D'après l'énoncé 8, ces images sont des transvections de V, d'où la thèse.

Action de SL(V) sur l'espace projectif P(V)[modifier | modifier le wikicode]



La relation d'équivalence en question revient à dire que v et w sont des éléments non nuls de V et qu’il existe un scalaire (non nul) tel que
Nous noterons [v] la classe d'un élément de V - {0} selon cette relation d'équivalence. Cette classe est évidemment égale à Kv - {0}.

Soit f un élément de GL(V). Si v et w sont des éléments de V - {0} tels que [v] = [w], alors [f(v)] = [f(w)]. (En effet, il existe un scalaire tel que d'où .) Ceci montre que la relation d'équivalence considérée dans V - {0} est «compatible» avec l'opération naturelle de GL(V) sur V - {0}. On en tire facilement qu’il existe une et une seule opération de GL(V) sur P(V) telle que, pour tout élément f de GL(V) et tout élément x de V - {0},

Puisque SL(V) est un sous-groupe de GL(V), cette opération de GL(V) sur P(V) induit une opération de SL(V) sur P(V). Quand nous parlerons de l'opération de SL(V) sur P(V), il s'agira toujours de l'opération qui vient d’être définie.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Il suffit clairement de prouver que le noyau de l'opération de GL(V) sur P(V) est le groupe Z(V) des homothéties de V.
Un élément f de GL(V) appartient au noyau de cette opération si et seulement si, pour tout élément non nul v de V, [f(v)] = [v]. Autrement dit, un élément f de GL(V) appartient au noyau de l'opération de GL(V) sur P(V) si et seulement si, pour tout élément non nul v de V, il existe un scalaire tel que Or, d’après l'énoncé 3, un élément f de GL(V) possède cette propriété si et seulement si c’est une homothétie.



Démonstration. Classiquement, il existe telle que et  : prolonger (resp. ) en une base (resp. ) de V et prendre pour g par exemple l'automorphisme de V qui, pour tout , applique sur .
Soit le déterminant de g. Désignons par f l'automorphisme de V qui applique sur sur et sur pour tout Alors h est l'automorphisme de V tel que et pour tout On sait que donc L'énoncé est donc vrai (avec ).



Démonstration. Soient et deux éléments de V - {0}. Puisque V est supposé de dimension nous pouvons choisir et dans V - {0} tels que et (resp. et ) soient linéairement indépendants. D'après l'énoncé 18, il existe un élément f de SL(V) tel que ce qui démontre l'énoncé.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Puisque V est de dimension il est clair que P(V) compte au moins deux éléments. Il reste à prouver que si (resp. ) sont deux différents éléments de P(V), il existe un élément f de SL(V) tel que et .
Puisque les vecteurs sont linéairement indépendants. De même, les vecteurs sont linéairement indépendants. Donc, d’après l'énoncé 18, il existe un élément f de SL(V) tel que et que soit de la forme avec scalaire. Notre thèse en résulte.

Rappelons qu'un groupe est dit parfait s'il est égal à son dérivé.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Prouvons que si ou alors SL(V) est parfait. Si SL(V) est réduit à l'élément neutre et est donc parfait. Nous pouvons donc supposer dim(V) > 1.
Puisque, d’après le théorème 16, SL(V) est engendré par les transvections, il suffit, pour prouver que SL(V) est parfait, de prouver que toute transvection de V est un commutateur d'éléments de SL(V).
Montrons qu’il suffit de prouver qu’il existe une transvection de V qui est un commutateur d'éléments de SL(V). Soit f une transvection de V de la forme avec g, h dans SL(V), soit une transvection quelconque de V. D'après le théorème 10, et sont des éléments conjugués de GL(V). Donc si, pour tous éléments s, t de GL(V), nous posons , il existe un élément u de GL(V) tel que

Ceci peut s'écrire
Puisque g et h appartiennent à SL(V), et appartiennent eux aussi à SL(V) (car, comme noté plus haut, SL(V) est normal dans GL(V)), donc est un commutateur d'éléments de SL(V).
Nous avons donc prouvé que s'il existe une transvection de V qui est un commutateur d'éléments de SL(V), alors toute transvection de V est un commutateur d'éléments de SL(V). Il nous suffit donc, comme annoncé, de prouver qu’il existe une transvection de V qui est un commutateur d'éléments de SL(V).
Soit n la dimension de V.
Supposons d’abord Le calcul montre que si i, j, k sont trois indices distincts dans {1, 2, ..., n}, alors, pour tous scalaires a, b,

(Écrire , où 1 désigne la matrice identité et Ei,j la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la i-ième ligne et de la j-ième colonne, qui est égal à 1. Comme déjà noté, l'inverse de Bi,j(a) est Bi,j(-a) = 1 - aEi,j. En développant le premier membre de (1), on obtient une somme où tous les produits Er,sEt,u autres que Ei,jEj,k = Ei,k sont nuls.)
Il résulte clairement de (1) que (si ) toute matrice élémentaire de transvection est un commutateur d'éléments de SL(n, K).
Soit t une transvection de V. D'après l'énoncé 8, il existe une base A de V dans laquelle la matrice de t est D'après ce qui précède, la matrice de t dans A est donc un commutateur d'éléments de SL(n, K). En prenant les images par l'isomorphisme de SL(n, K) sur SL(V) qui applique une matrice sur l'automorphisme de V qui a cette matrice dans la base A, nous trouvons que t est un commutateur d'éléments de SL(V), ce qui démontre notre thèse dans le cas où .
Reste le cas où et
Il existe alors un scalaire tel que et La matrice

est une matrice élémentaire de transvection. C'est un commutateur d'éléments de SL(2, K), car elle est égale à

Nous avons donc trouvé une matrice élémentaire de transvection qui est un commutateur d'élément de SL(2, K). En choisissant une base de V et en passant aux images par l'isomorphisme de SL(2, K) sur SL(V) qui applique une matrice sur l'automorphisme qui a cette matrice dans la base choisie, nous trouvons une transvection de V qui est un commutateur d'éléments de SL(V), ce qui achève de prouver que si dim(V) est différent de 2 ou au moins égal à 4, alors SL(V) est parfait.
Si dim(V) est égal à 2 et à 2 ou à 3, alors, d’après l'énoncé 5, SL(V) est d'ordre égal à 6 ou à 24. D'après un exercice du chapitre Premiers résultats sur les groupes simples, tout groupe d'ordre < 60 est résoluble, donc SL(V) est résoluble. Il est clair qu'un groupe résoluble non réduit à l'élément neutre n’est pas parfait (car on a vu au chapitre Groupes résolubles qu'un groupe résoluble non réduit à l'élément neutre est distinct de son dérivé), donc SL(V) n’est pas pafait dans les présentes hypothèses.

Début d’un théorème


Fin du théorème

Démonstration. Supposons que ou et prouvons que PSL(V) est simple. Nous allons appliquer le critère d'Iwasawa.

Désignons par G le groupe SL(V). D'après le théorème 20, l'opération de G sur P(V) est deux fois transitive et donc (Opérations primitives) primitive.

Choisissons un élément h de V - {0} et posons

désigne l’ensemble des formes K-linéaires sur V.

H est donc formé de la permutation identique de V et de certaines transvections de V.

Tout élément de H fixe h et fixe donc [h], donc H est contenu dans le stabilisateur

On tire facilement du lemme 12, seconde assertion du point (i), que H est un sous-groupe de et que ce sous-groupe est commutatif.

Prouvons que H est normal dans . Soit f un élément de . Il s'agit de prouver que si est une forme linéaire sur V telle que alors

D'après le lemme 12, (iv),

Puisque f appartient à f(h) est de la forme pour un certain scalaire non nul, donc, d’après le lemme 12, (ii), notre relation (2) peut s'écrire

ce qui prouve notre thèse (1), donc H est un sous-groupe normal de Prouvons maintenant que les conjugués de H dans G = SL(V) engendrent G = SL(V). D'après le théorème 16, SL(V) est engendré par les transvections de V, donc il suffit de prouver que toute transvection de V est conjuguée dans SL(V) d'une transvection appartenant à H, c'est-à-dire d'une transvection de la forme , où h est le vecteur que nous avons choisi et une forme linéaire non nulle sur V telle que Soit donc une transvection de V, où est une forme linéaire non nulle et k un vecteur non nul tel que Il s'agit de prouver que est conjuguée dans SL(V) d'une transvection de la forme Nous avons vu (corollaire 19) que SL(V) opère transitivement sur V - {0}, donc il existe un élément f de SL(V) tel que f(h) = k. Posons Alors h appartient au noyau de donc est une transvection et, d’après le lemme 12, (iv),

ce qui prouve bien que toute transvection de V est conjuguée dans SL(V) d'une transvection appartenant à H. Nous avons donc prouvé que les conjugués de H dans G = SL(V) engendrent G = SL(V).

Ainsi, H est un sous-groupe commutatif de et les conjugués de H dans G = SL(V) engendrent SL(V). De plus, d’après le théorème 21, le groupe G = SL(V) est parfait. Toutes les hypothèses du critère d'Iwasawa (partie b)) sont donc satisfaites. Dès lors, si nous désignons par N le noyau de l'opération de SL(V) sur P(V), le groupe quotient SL(V)/N est simple. Nous avons vu (théorème 17) que N est le groupe SZ(V) des homothéties de déterminant 1, donc SL(V)/N = PSL(V), donc PSL(V) est simple dans nos hypothèses.

Si n est égal à 2 et à 2 ou à 3, alors, d’après l'énoncé 5, l’ordre de PSL(V) est égal à 6 ou à 12. Par exemple parce qu'aucun groupe fini d'ordre < 60 et non premier n'est simple (voir un exercice du chapitre Premiers résultats sur les groupes simples), PSL(V) n’est pas simple dans ce cas.

Remarque. Le lecteur peut vérifier que la partie a) du critère d'Iwasawa, utilisée comme la partie b) de ce critère dans la démonstration du théorème qui précède, permet d'énoncer le théorème suivant (dont le théorème 22 est un conséquence immédiate) :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. E. Artin, Algèbre géométrique, tr. fr. M. Lazard, Gauthier-Villars, 1962, réimpr. J. Gabay, 1996, p. 167.
  2. Ou encore J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 231.