Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes diédraux

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Groupes diédraux
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Exercices no24
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes diédraux

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Produit semi-direct
Exo suiv. :Holomorphe d'un groupe
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes diédraux
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un entier naturel non nul, soit G un groupe d'ordre 2n. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° G est diédral ;

2° G contient un sous-groupe cyclique C d'ordre n tel que tout élément de G n'appartenant pas à C soit d'ordre 2.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit p un nombre premier. Prouver que tout groupe d'ordre 2p est cyclique ou diédral. (Indication : utiliser les théorèmes de Sylow et, par exemple, le problème précédent.)

b) Prouver que S3 est isomorphe à D6.

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

a) Prouver que les 2-sous-groupes de Sylow de sont isomorphes à (groupe diédral d'ordre 8).

b) Prouver que les 2-sous-groupes de Sylow de et ceux de sont isomorphes au produit direct

Remarque. Dans le chapitre Produit en couronne, nous « expliciterons » la structure de tous les sous-groupes de Sylow de tous les groupes symétriques finis.

Problème 4 (Centre d'un groupe diédral)[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer le centre du groupe D2n.

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que si n est un nombre naturel impair, D4n est isomorphe à D2n × Z/2Z (produit direct) et que c’est faux si n est un nombre naturel pair (> 0).

Problème 6 (Dérivé et suite centrale descendante d'un groupe diédral)[modifier | modifier le wikicode]

a) Déterminer le dérivé du groupe diédral D2n. Montrer que ce dérivé est un groupe commutatif. En déduire que D2n est résoluble.

b) Déterminer la suite centrale descendante du groupe diédral D2n. Prouver qu'un groupe diédral est nilpotent si et seulement si son ordre est une puissance de 2. Préciser alors sa classe de nilpotence.

Remarque. D'après le point a), la classe de résolubilité de tout groupe diédral est inférieure ou égale à 2. D'autre part, d’après la solution du point b), il y a des groupes diédraux nilpotents dont la classe de nilpotence est aussi grande qu'on veut. Cela montre que la classe de nilpotence d'un groupe nilpotent ne peut pas être bornée en fonction de sa classe de résolubilité (alors que sa classe de résolubilité est bornée en fonction de sa classe de nilpotence).

c) On a vu dans le chapitre théorique Groupes nilpotents que, pour tout groupe G et tous nombres naturels i, j non nuls, [Ci(G), Cj(G)] ≤ Ci+j(G). Prouver qu'on n'a pas forcément l'égalité.

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

On a vu au chapitre Groupes nilpotents que si G est un groupe nilpotent et H un sous-groupe normal de G non réduit à l'élément neutre, alors H ⋂ Z(G) n’est pas réduit à l'élément neutre. Donner un exemple de la situation suivante : G est un groupe nilpotent, H est un sous-groupe de G non réduit à l'élément neutre et H ⋂ Z(G) est réduit à l'élément neutre. (Indication : prendre pour G un groupe diédral convenablement choisi.)

Problème 8 (Sous-groupes et sous-groupes normaux d'un groupe diédral)[modifier | modifier le wikicode]

Le but de cet exercice est de déterminer tous les sous-groupes et tous les sous-groupes normaux du groupe diédral D2n. Le lecteur appréciera si cette question l'intéresse. (Un des résultats sera utilisé dans la démonstration de l'isomorphie des groupes simples d'ordre 168.) Les cas n = 1 et n = 2 étant banals, on supposera n ≥ 3, ce qui permet de parler de l'unique sous-groupe cyclique d'ordre n de D2n. On désignera ce sous-groupe par Cn. Pour tout diviseur d de n (diviseur signifiant toujours diviseur naturel dans cet exercice), on désignera par Cd l'unique sous-groupe d'ordre d de Cn.

a) Prouver que tout sous-groupe de Cn est normal dans D2n.

b) Soient H un sous-groupe de Cn et b un élément de D2n - Cn (ensemble des éléments de D2n qui n'appartiennent pas à Cn). Prouver que l’ensemble H ∪ Hb (qui, d’après le point a), peut s'écrire aussi H ∪ bH) est un sous-groupe de D2n.

c) Soit H un sous-groupe de Cn. Prouver que les sous-groupes de D2n de la forme H ∪ Hb, où b parcourt les éléments de D2n - Cn, sont en quantité n/|H|. Prouver que si est un ensemble de sous-groupes de Cn, le nombre des sous-groupes de D2n de la forme H ∪ Hb, où H parcourt et où b parcourt D2n - Cn, est

d) Prouver que les sous-groupes de D2n sont d’une part les sous-groupes de Cn et d’autre part les ensembles H ∪ Hb, où H parcourt les sous-groupes de Cn et b les éléments de D2n - Cn. Prouver que le nombre des sous-groupes de D2n est τ(n) + σ(n), où τ(n) désigne le nombre des diviseurs (naturels) de n et σ(n) la somme de ces diviseurs.

e) Prouver que tout sous-groupe de D2n est cyclique ou diédral.

f) Prouver que si n est impair, les sous-groupes normaux de D2n sont D2n et les sous-groupes de Cn. Prouver que si n est pair, les sous-groupes normaux de D2n sont d’une part les sous-groupes de Cn et d’autre part D2n et les sous-groupes de la forme Cn/2 ∪ (Cn/2b), où b parcourt D2n - Cn. Quel est le nombre des sous-groupes normaux de D2n ?

Problème 9 (Classes de conjugaison d'un groupe diédral)[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel non nul, soit D2n un groupe diédral d'ordre 2n. Déterminer les classes de conjugaison d'éléments de D2n et préciser leur nombre.

Remarque. Cet exercice nous servira dans un chapitre sur les caractères des groupes finis.

Problème 10 (Une caractérisation des groupes isomorphes à Dih(A) )[modifier | modifier le wikicode]

a) On note respectivement et les éléments et du groupe (noté additivement). Donc est l'unique élément d'ordre 2 de
Soit A un groupe abélien, noté multiplicativement, de neutre On pose

et

Vérifier que

est un sous-groupe de Dih(A) isomorphe à A;
n'appartient pas à ;
est un élément d'ordre 2 de Dih(A);
pour tout élément de , (ce qui peut aussi s'écrire );
et engendrent Dih(A).

b) Soit A un groupe abélien, soit D un groupe.
Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i) D est isomorphe à Dih(A);
(ii) D est engendré par un sous-groupe isomorphe à et par un élément d'ordre 2 n'appartenant pas à et tel que, pour tout élément de , on ait

c) Soient A et B deux groupes abéliens isomorphes l'un à l'autre. Prouver que Dih(A) et Dih(B) sont isomorphes l'un à l'autre. (Indication : on peut utiliser le point b).)

Problème 11 (Une autre caractérisation des groupes isomorphes à Dih(A) )[modifier | modifier le wikicode]

Comme dans le problème précédent, on notera respectivement et les éléments et du groupe (noté additivement). Donc est l'unique élément d'ordre 2 de
Soit A un groupe abélien, noté multiplicativement, de neutre 1.
a) Vérifier que

(i) le sous-groupe de Dih(A) est d'indice 2 dans Dih(A);
(ii) tout élément de est d'ordre 2;
(iii) pour tout élément de et tout élément de ,

b) Soit D un groupe. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i) D est isomorphe à Dih(A);
(ii) D contient un sous-groupe d'indice 2 isomorphe à A et tel que tout élément de soit d'ordre 2.

Prouver aussi que si est tel qu'en (ii), alors, pour tout élément de et tout élément de ,
(Indication : pour prouver que (ii) entraîne (i), on peut utiliser le problème 10.)

Problème 12 (Classification des groupes d'ordre 18)[modifier | modifier le wikicode]

Soit un nombre premier impair (autrement dit un nombre premier distinct de 2). On va classifier les groupes d'ordre (et donc, en particuler, les groupes d'ordre 18). Dans le chapitre Groupes commutatifs finis, 1, nous avons classifié tous les groupes abéliens d'un ordre fini donné, donc il suffit de classifier les groupes non abéliens d'ordre Nous allons prouver que tout groupe non abélien d'ordre est isomorphe soit à , soit à , soit à (où désigne le produit direct).
Soit G un groupe non abélien d'ordre . On choisit une fois pour toutes dans G un élément d'ordre 2 (involution).

a) Prouver que G a un seul p-sous-groupe de Sylow, qui sera noté P, et que P est isomorphe à ou à . En particulier, P est abélien.

b) Prouver que G est engendre par P et s et que, plus précisément,

c) On suppose que P est cyclique (et donc isomorphe à ). Prouver que G est isomorphe à
(Indication : examiner comment agit par conjugaison sur un générateur de P.)

d) On suppose maintenant que P est isomorphe au produit direct et qu'il y a au moins un sous-groupe d'ordre de P qui n'est pas normalisé par Prouver que G est isomorphe au produit direct
Indication : on peut prouver qu'il existe un sous-groupe d'ordre de P qui est centralisé par et un autre sous-groupe d'ordre de P sur lequel la conjugaison par agit par inversion.

e) On suppose maintenant que P est isomorphe à et que tout sous-groupe d'ordre de P est normalisé par Prouver que G est isomorphe à

Puisque les cas c), d) et e) représentent tous les cas possibles, nous avons prouvé l'énoncé général, à savoir que tout groupe non abélien d'ordre est isomorphe à , à ou à En faisant , nous obtenons une classification des groupes d'ordre 18.