Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Transfert, théorème du complément normal de Burnside

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Transfert, théorème du complément normal de Burnside
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Exercices no27
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Transfert, théorème du complément normal de Burnside

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Groupes dicycliques
Exo suiv. :Premiers résultats sur les groupes simples
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Théorie des groupes/Exercices/Transfert, théorème du complément normal de Burnside
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe, Q un sous-groupe d'indice fini de G et T une transversale droite de Q dans G. Tout élément x de G peut se mettre d'une et une seule façon sous la forme

avec et
Pour tout élément a de G, on pose (le produit étant pris dans le groupe commutatif Q/Q'). Prouver que R est égal au transfert de G vers Q/Q' défini dans la théorie à partir des transversales gauches. (Indication : d’après un exercice de la série Classes modulo un sous-groupe, est une transversale gauche de Q dans G.)

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe fini opérant (par exemple à gauche) sur un ensemble X, soit Q un sous-groupe de G, soient x et y deux points fixes de Q dans X. (Donc Q est contenu dans Gx et dans Gy.) On suppose que x et y appartiennent à la même G-orbite et que Q est un sous-groupe de Sylow de Gx. Prouver que x et y appartiennent à la même -orbite.

b) Soient G un groupe fini opérant (par exemple à gauche) sur un ensemble X, soit Q un sous-groupe de Sylow de G, soient x et y deux points fixes de Q dans X. (Donc Q est contenu dans Gx et dans Gy.) On suppose que x et y appartiennent à la même G-orbite. Prouver que x et y appartiennent à la même -orbite.

c) Tirer de b) une nouvelle preuve du fait suivant : si G est un groupe fini et Q un sous-groupe de Sylow de G, si deux éléments de sont conjugués dans G, ils sont conjugués dans . (Ce fait a été démontré dans le chapitre théorique Transfert, théorème du complément normal de Burnside.)

d) Déduire de b) ce théorème de Burnside qui a été démontré dans les exercices sur les théorèmes de Sylow : soient G un groupe fini, p un diviseur premier de l’ordre de G, P un p-sous-groupe de Sylow de G, U et W des sous-groupes distingués de P; U et W sont conjugués dans G si et seulement s'ils sont conjugués dans le normalisateur NG(P).

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient un groupe fini et un sous-groupe de Hall normal de . Prouver que est l’ensemble des éléments de dont l'ordre divise , que est seul de son ordre parmi les sous-groupes de et est un sous-groupe caractéristique de . (Cet énoncé est utilisé dans le chapitre théorique.)

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit G un groupe fini. On suppose que pour tout diviseur premier p de l’ordre de G, G admet un p-sous-groupe de Sylow cyclique. (Puisque deux p-sous-groupes de Sylow sont toujours conjugués et donc isomorphes, ceci revient à supposer que tous les p-sous-groupes de Sylow sont cycliques.) Prouver que G est résoluble. (Indication. Raisonner par récurrence sur . Appliquer l'hypothèse de récurrence au complément normal N d'un p-sous-groupe de Sylow de G, p désignant le plus petit facteur premier de l’ordre de .)

b) On dit qu'un nombre naturel est sans carrés s'il n'est divisible par le carré d'aucun nombre naturel > 1, ce qui revient à dire qu’il n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier. Prouver que si n est un nombre naturel sans carrés, tout groupe d'ordre n est résoluble.

Problème 5[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit un groupe simple fini non abélien, soit un diviseur premier de On note le nombre des -sous-groupes de Sylow de
Prouver que n'est égal ni à ni à

b) Soit un groupe simple fini non abélien, soit un diviseur premier de On note le nombre des -sous-groupes de Sylow de On suppose que n'est pas divisible par Prouver que

, où est égal à ou à et où est premier avec et

c) Soit un groupe simple fini non abélien, soit un diviseur premier de Prouver que

(d'où ).

d) Soit un nombre premier. Prouver qu'aucun groupe d'ordre ni aucun groupe d'ordre n'est simple.

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel impair, soit G un groupe d'ordre 2n. On a vu dans les exercices de la série Groupes alternés que G admet un sous-groupe d'ordre n. Prouver ce fait à l'aide du théorème du complément normal de Burnside.

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit p un nombre premier impair (autrement dit > 2), soit G un groupe fini d'ordre Prouver que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow. (Cette partie du problème ne fait intervenir que les propriétés classiques des sous-groupes de Sylow démontrées au chapitre Théorèmes de Sylow.)

b) Soit G un groupe d'ordre 2p (p2 + 1), où p est un nombre premier > 3. Prouver que G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow. (Indication. Dans le chapitre théorique, on a démontré un « cas particulier » du théorème du complément normal de Burnside. Appliquer ce cas particulier à un 2-sous-groupe de Sylow de G, puis utiliser le point a).)