Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes alternés

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Groupes alternés
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Exercices no13
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes alternés

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. : Groupes symétriques finis
Exo suiv. : Théorème de Jordan-Hölder
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes alternés
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Problème[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que si n est un nombre naturel , le centralisateur du groupe alterné dans est réduit à l'élément neutre. (A fortiori, le centre de est réduit à l'élément neutre.)

Problème. Contre-exemple à une réciproque du théorème de Lagrange[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que le groupe alterné A4, qui est d'ordre 12, n'a pas de sous-groupe d'ordre 6. (Cela montre qu'on ne peut pas énoncer cette réciproque du théorème de Lagrange : « Si d est un diviseur de l’ordre d'un groupe fini G, G admet un sous-groupe d'ordre d. »)

Problème. Sous-groupes simples de Sn[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et S un sous-groupe simple de G. Prouver que S est contenu dans N ou isomorphe à un sous-groupe de G/N. (Indication : considérer le sous-groupe de S.)

b) Soient X un ensemble fini et G un sous-groupe de SX comprenant au moins une permutation impaire. Prouver que G a au moins un sous-groupe d'indice 2.

c) Soient X un ensemble fini et G un sous-groupe simple de SX dont l’ordre est au moins égal à 3. Prouver de deux façons, l'une à l'aide du point a) et l'autre à l'aide du point b), que G est contenu dans AX.

Remarque. L'énoncé c) nous servira pour démontrer dans le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples que si un groupe simple G d'ordre au moins égal à 3 admet un sous-groupe propre d'indice fini n, G est isomorphe à un sous-groupe de An.

d) Soient n un nombre naturel impair et G un groupe d'ordre 2n. Prouver que G contient un sous-groupe d'ordre n. (Indication : utiliser le point b), en considérant un certain sous-groupe isomorphe à G dans le groupe SE, où E désigne l’ensemble sous-jacent de G.)

Problème. Sous-groupes normaux de Sn[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que si n est un nombre naturel distinct de 4, les sous-groupes normaux de Sn sont 1, An et Sn. Prouver que les sous-groupes normaux de S4 sont 1, V, A4 et S4, où V désigne le sous-groupe

V = {1, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)} de S4.

(Indication : on peut utiliser les résultats du chapitre théorique sur les sous-groupes normaux de An et le fait suivant, démontré dans un problème ci-dessus : si G est un groupe, N un sous-groupe normal de G et S un sous-groupe simple de G, alors S est contenu dans N ou isomorphe à un sous-groupe de G/N.)

Problème. Exemple de groupe simple infini[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient X un ensemble fini, Y une partie de X et une permutation de X dont le support est contenu dans Y. Il est clair que induit une permutation de Y que nous appellerons la birestriction[1] de à Y. Montrer que est une permutation paire de X si et seulement si est une permutation paire de Y.

b) Soient X un ensemble fini, Y une partie de X et une permutation de X dont le support est contenu dans Y. Comme noté à l'exercice précédent, induit une permutation de Y que nous appelons la birestriction de à Y. Montrer que est un produit de cycles de longueur 3 de X si et seulement si est un produit de cycles de longueur 3 de Y.

Soit E l’ensemble (infini) des nombres naturels > 0. Comme pour un ensemble fini, on appelle transposition de E toute permutation de E pour laquelle il existe deux éléments distincts a, b de E tels que , et pour tout x distinct de a et de b. On désigne par l’ensemble des permutations de E qui peuvent s'écrire comme produit d'un nombre pair de transpositions de E (non forcément deux à deux distinctes). C'est clairement un sous-groupe infini de SE. On va prouver que ce groupe infini est simple.

c) Pour chaque nombre naturel n > 0, désignons par Bn le sous-groupe de formé par les permutations dont le support est contenu dans . Prouver que, pour tout élément de Bn, la birestriction de à est une permutation paire de et que Bn est isomorphe à An.

d) Soit un sous-groupe distingué de . En raisonnant sur le sous-groupe de Bn, montrer que , ce qui prouve que est simple.

Problème. Groupes d'ordre 12 ayant plusieurs sous-groupes d'ordre 3.[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe d'ordre 12 ayant plusieurs sous-groupes d'ordre 3. Prouver que G est isomorphe à A4. (Indication : choisir un des sous-groupes d'ordre 3 de G, soit P, faire opérer G par translations gauches sur l’ensemble des classes à gauche modulo P et raisonner sur le noyau de l'homomorphisme correspondant à cette opération.)

Remarque. On classifiera les groupes d'ordre 12 au chapitre sur les groupes dicycliques.

Problème. Sur certains groupes d'ordre 24.[modifier | modifier le wikicode]

a) Soit G un groupe d'ordre 24 ayant plus d'un 3-sous-groupe de Sylow. Prouver que G est isomorphe à S4 ou G/Z(G) isomorphe à A4. (Indication : G opère par conjugaison sur l’ensemble E de ses 3-sous-groupes de Sylow. Raisonner sur le noyau de l'homomorphisme de G dans SE correspondant à cette opération et appliquer un problème sur les sous-groupes de Sylow.)

b) Soit G un groupe d'ordre 24. On suppose que G a un sous-groupe normal d'ordre 4 qui est son propre centralisateur dans G. Prouver que G est isomorphe à S4. (Indication : prouver que G a plus d'un sous-groupe d'ordre 3 et que son centre est réduit à l'élément neutre.)

Remarque. Le point b) nous servira à prouver que le groupe des automorphismes du groupe des quaternions est isomorphe à S4.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Si f est une application d'un ensemble A dans un ensemble B, si A' est une partie de A et B' une partie de B telles que f(A') soit contenu dans B', l’application de A' dans B' est appelée la birestriction de f à (A', B'). Voir par exemple Aleksandr Yakovlevich Khelemskiĭ, Lectures and Exercises on Functional Analysis, American Mathematical Soc., 2006, p. 3. On s'écarte ici légèrement de cette terminologie, puisqu'on ne parle pas de la birestriction à (Y, Y) mais à Y. De même, notre notation n’est pas conforme à celle de Khelemskiĭ, qui écrit, à droite de la barre verticale, l’ensemble de départ de la birestriction en bas et son ensemble d'arrivée en haut.