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Théorie des groupes/Exercices/Groupes alternés

Leçons de niveau 13
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Groupes alternés
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Exercices no14
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes alternés

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Groupes symétriques finis
Exo suiv. :Théorème de Jordan-Hölder
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes alternés
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Problème. Centre d'un groupe alterné

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Prouver que si n est un nombre naturel , le centralisateur du groupe alterné dans est réduit à l'élément neutre. (A fortiori, le centre de est réduit à l'élément neutre.)

Problème. Contre-exemple à une réciproque du théorème de Lagrange

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Prouver que le groupe alterné A4, qui est d'ordre 12, n'a pas de sous-groupe d'ordre 6. (Cela montre qu'on ne peut pas énoncer cette réciproque du théorème de Lagrange : « Si d est un diviseur de l’ordre d'un groupe fini G, G admet un sous-groupe d'ordre d. »)

Problème. Un sous-groupe maximal n'est pas forcément d'indice premier

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On a vu dans un exercice sur le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément que si G est un groupe, si M est un sous-groupe normal et maximal de G, alors M est d'indice (fini) premier dans G. Prouver que ce n'est pas forcément vrai si on ne suppose pas que M est normal. (Indication : on a prouvé dans un précédent exercice que le groupe alterné A4 n'a pas de sous-groupe d'ordre 6.)

Problème. Classes de conjugaison du groupe alterné A4

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a) Soit n un nombre naturel, soit un élément de ; on suppose qu'il existe une permutation impaire telle que (autrement dit, la permutation est sa propre conjuguée par une permutation impaire dans ). Prouver que la classe de conjugaison de dans est identique à sa classe de conjugaison dans .

b) Déterminer le nombre des classes de conjugaison dans le groupe alterné . Pour chaque classe, préciser le cardinal de cette classe et en indiquer un élément.

Remarque. Cet exercice nous servira dans un chapitre ultérieur (Caractères irréductibles de quelques groupes) pour déterminer les caractères complexes irréductibles du groupe .

Problème. Sous-groupes simples de Sn

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a) Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et S un sous-groupe simple de G. Prouver que S est contenu dans N ou isomorphe à un sous-groupe de G/N. (Indication : considérer le sous-groupe de S.)

b) Soient X un ensemble fini et G un sous-groupe de SX comprenant au moins une permutation impaire. Prouver que G a au moins un sous-groupe d'indice 2. Plus généralement, prouver que si H est un groupe, s'il existe un homomorphisme de H dans un groupe symétrique fini et un élément de H tel que f(x) soit une permutation impaire, alors H a au moins un sous-groupe d'indice 2.

Remarque. Le premier énoncé du point b) nous servira dans la suite du présent problème. Le second énoncé nous servira dans un problème de la série Premiers résultats sur les groupes simples.

c) Soient X un ensemble fini et G un sous-groupe simple de SX dont l’ordre est au moins égal à 3. Prouver de deux façons, l'une à l'aide du point a) et l'autre à l'aide du point b), que G est contenu dans AX.

Remarque. L'énoncé c) nous servira pour démontrer dans le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples que si un groupe simple G d'ordre au moins égal à 3 admet un sous-groupe propre d'indice fini n, G est isomorphe à un sous-groupe de An.

d) Soient n un nombre naturel impair et G un groupe d'ordre 2n. Prouver que G contient un sous-groupe d'ordre n. (Indication : utiliser le point b), en considérant un certain sous-groupe isomorphe à G dans le groupe SE, où E désigne l’ensemble sous-jacent de G.)

Problème. Sous-groupes normaux de Sn

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Prouver que si n est un nombre naturel distinct de 4, les sous-groupes normaux de Sn sont 1, An et Sn. Prouver que les sous-groupes normaux de S4 sont 1, V, A4 et S4, où V désigne le sous-groupe

V = {1, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)} de S4.

(Indication : on peut utiliser les résultats du chapitre théorique sur les sous-groupes normaux de An et le fait suivant, démontré dans un problème ci-dessus : si G est un groupe, N un sous-groupe normal de G et S un sous-groupe simple de G, alors S est contenu dans N ou isomorphe à un sous-groupe de G/N.)

Remarque. Le groupe quotient S4/V est isomorphe à S3.

Problème. Exemple de groupe simple infini

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a) Soient X un ensemble fini, Y une partie de X et une permutation de X dont le support est contenu dans Y. Il est clair que induit une permutation de Y que nous appellerons la birestriction[1] de à Y. Montrer que est une permutation paire de X si et seulement si est une permutation paire de Y.

b) Soient X un ensemble fini, Y une partie de X et une permutation de X dont le support est contenu dans Y. Comme noté à la question précédente, induit une permutation de Y que nous appelons la birestriction de à Y. Montrer que est un produit de cycles de longueur 3 de X si et seulement si est un produit de cycles de longueur 3 de Y.

Soit E l’ensemble (infini) des nombres naturels > 0. Comme pour un ensemble fini, on appelle transposition de E toute permutation de E pour laquelle il existe deux éléments distincts a, b de E tels que , et pour tout x distinct de a et de b. On désigne par l’ensemble des permutations de E qui peuvent s'écrire comme produit d'un nombre pair de transpositions de E (non forcément deux à deux distinctes). C'est clairement un sous-groupe infini de SE. On va prouver que ce groupe infini est simple.

c) Pour chaque nombre naturel n > 0, désignons par Bn le sous-groupe de formé par les permutations dont le support est contenu dans . Prouver que, pour tout élément de Bn, la birestriction de à est une permutation paire de et que Bn est isomorphe à An.

d) Soit un sous-groupe distingué de . En raisonnant sur le sous-groupe de Bn, montrer que , ce qui prouve que est simple.

Problème. Groupes d'ordre 12 ayant plusieurs sous-groupes d'ordre 3.

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Soit G un groupe d'ordre 12 ayant plusieurs sous-groupes d'ordre 3. Prouver que G est isomorphe à A4. (Indication : faire opérer G par conjugaison sur l'ensemble des 3-Sylow de G et raisonner sur le noyau de l'homomorphisme correspondant à cette opération.)

Remarques. 1° L'énoncé du présent problème nous servira à classifier les groupes d'ordre 12 dans un exercice sur le chapitre des groupes dicycliques.

2° Il nous servira aussi à prouver que tous les groupes simples d'ordre 168 sont isomorphes.

Problème. Sur certains groupes d'ordre 24

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a) Soit G un groupe d'ordre 24 ayant plus d'un 3-sous-groupe de Sylow. Prouver que G est isomorphe à S4 ou G/Z(G) isomorphe à A4. (Indication : G opère par conjugaison sur l’ensemble E de ses 3-sous-groupes de Sylow. Raisonner sur le noyau de l'homomorphisme de G dans SE correspondant à cette opération et appliquer un problème sur les sous-groupes de Sylow.)

b) Soit G un groupe d'ordre 24. On suppose que G a un sous-groupe normal d'ordre 4 qui est son propre centralisateur dans G. Prouver que G est isomorphe à S4. (Indication : prouver que G a plus d'un sous-groupe d'ordre 3 et que son centre est réduit à l'élément neutre.)

c) Soit G un groupe d'ordre 24 admettant plus d'un 2-sous-groupe de Sylow et plus d'un 3-sous-groupe de Sylow. Prouver que G est isomorphe à S4. (Indication. Il résulte du point a) que dans le cas contraire, G/Z(G) serait isomorphe à A4. Un exercice sur les théorèmes de Sylow permet d'exprimer les 2-sous-groupes de Sylow de G/Z(G) en fonction des 2-sous-groupes de Sylow de G. En déduire que A4 aurait plus d'un 2-sous-groupe de Sylow et conclure.)

Remarque. Le point b) nous servira à prouver que le groupe des automorphismes du groupe des quaternions est isomorphe à S4. Le point c) nous servira dans le chapitre sur les groupes simples d'ordre 168.

Notes et références

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  1. Si f est une application d'un ensemble A dans un ensemble B, si A' est une partie de A et B' une partie de B telles que f(A') soit contenu dans B', l’application de A' dans B' est appelée la birestriction de f à (A', B'). Voir par exemple Aleksandr Yakovlevich Khelemskiĭ, Lectures and Exercises on Functional Analysis, American Mathematical Soc., 2006, p. 3. On s'écarte ici légèrement de cette terminologie, puisqu'on ne parle pas de la birestriction à (Y, Y) mais à Y. De même, notre notation n’est pas conforme à celle de Khelemskiĭ, qui écrit, à droite de la barre verticale, l’ensemble de départ de la birestriction en bas et son ensemble d'arrivée en haut.