Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Action de groupe

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Action de groupe
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Chapitre no 8
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Conjugaison, centralisateur, normalisateur
Chap. suiv. :Produit de groupes

Exercices :

Action de groupe
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Théorie des groupes/Action de groupe
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Définition d'une action[modifier | modifier le wikicode]



Remarques

  • Pour un élément g de G et un élément s de X, on écrit souvent gs au lieu de g.s. On utilise aussi parfois la notation exponentielle [1]. La relation ci dessus devient alors .
  • On rappelle que l’ensemble des bijections d'un ensemble X dans X muni de la composition forme un groupe noté S(X) ou ou (groupe des permutations de X) ; il a été introduit au chapitre Groupes, premières notions. Si G agit sur X, l’application est une bijection dont l'inverse est . Les propriétés ci-dessus se traduisent :
    •  ;
    • .

Autrement dit, l’application est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de G sur X[2]. Réciproquement, tout morphisme de groupes définit une action du groupe G sur X par : .

En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) :

Les actions de groupes de G sur X sont exactement les morphismes de groupes .

Nous dirons indifféremment : « soit G un groupe agissant sur un ensemble X », « soit G un groupe opérant sur un ensemble X » et « soit X un G-ensemble ». Le noyau de l'opération sera aussi appelé le noyau de l'action en question. Il nous arrivera même d'employer les mots action et opération l'un pour l'autre.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

(On notera par juxtaposition aussi bien l'action de G sur X que la composition dans G.)

  • Action triviale de G sur X : pour tout élément g de G, la permutation de X associée à g est la permutation identique; autrement dit, g.x = x pour tout élément g de G et tout élément x de X; l'homomorphisme de G dans est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de ).
  • G agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément g de G, la permutation associée à g est la translation à gauche , où gx désigne le produit de g et de x dans le groupe G; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de dans , est identique à la loi de composition du groupe G.
  • Si H est un sous-groupe de G, G agit par translation à gauche sur l’ensemble G/H des classes à gauche de G suivant H : pour tout élément g de G, la permutation de G/H associée à g est la permutation . (Si X est une classe à gauche xH, gX en est une aussi, à savoir la classe (gx)H de gx.)
  • Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément g du groupe G, la permutation (de l’ensemble sous-jacent) de G associée à g est l'automorphisme intérieur , autrement dit . Il s'agit bien d'une opération du groupe G sur (l'ensemble sous-jacent de) G, car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur de G, l’application définit un homomorphisme de G dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) G.
  • Si un groupe G opère sur un ensemble X, si H est sous-groupe de G, l'opération de G sur X induit de façon évidente une opération de H sur X : l’application est la restriction de l’application et l'homomorphisme est la restriction de l'homomorphisme .

Actions équivalentes[modifier | modifier le wikicode]

Si G agit sur deux ensembles X et Y, une application est appelée[3] un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout x dans X et pour tout g dans G, on a :

.

Si un homomorphisme f de G-ensembles est bijectif, son application réciproque est elle aussi un homomorphisme de G-ensembles et on dit que f est un isomorphisme de G-ensembles.

Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dira[4] que ces opérations sont quasi équivalentes s'il existe un isomorphisme de G sur H et une bijection f de X sur Y tels que, pour tout élément g de G et tout élément x de X, on ait

.

On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes[5]. Nous dirons que le couple (f, σ) est un isomorphisme du G-ensemble X sur le H-ensemble Y, ou encore un isomorphisme de la première opération sur la seconde. Nous dirons aussi que f et σ constituent un tel isomorphisme (ou que les deux actions sont équivalentes via f et σ).

On dira qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X et une action du même groupe G sur un ensemble Y sont équivalentes s'il existe un isomorphisme de G-ensembles de X sur Y. Deux actions équivalentes sont quasi équivalentes (avec la transformation identité comme automorphisme de G).

Remarque. Deux opérations appelées ici quasi équivalentes sont appelées équivalentes par certains auteurs[6]. Il arrivera qu'on dise dans le présent cours « équivalentes » au lieu de « quasi équivalentes ».

Groupes de permutations[modifier | modifier le wikicode]

Soient X un ensemble et G un groupe de permutations de X, c'est-à-dire un sous-groupe de . G opère de façon naturelle sur X par . Si G est un groupe de permutations d'un ensemble X et H un groupe de permutations d'un ensemble Y, nous dirons que G et H sont semblables si l'opération naturelle de G et l'opération naturelle de H sont quasi équivalentes.

D'après la définition des opérations quasi équivalentes, cela signifie qu'il existe une bijection f de X sur Y et un isomorphisme de groupes σ de G sur H tels que, pour tout élément g de G et tout élément x de X, on ait

où les points représentent respectivement l'opération naturelle de G (sur X) et celle de H (sur Y).
Vu la définition des opérations naturelles, cela revient à dire qu'il existe une bijection f de X sur Y et un isomorphisme de groupes σ de G sur H tels que, pour tout élément g de G, on ait

On voit que σ est entièrement déterminé par f, donc G et H sont semblables si et seulement s'il existe une bijection f de X sur Y telle que H soit l'image de G par l'isomorphisme sfsf-1 de SX sur SY.
Nous dirons qu'une telle bijection f de X sur Y est une similitude de G vers H.

Deux groupes de permutations d'un même ensemble X sont semblables si et seulement s'ils sont conjugués dans SX.

  • Remarque. Si X et Y sont des ensembles équipotents, tout groupe de permutations de X est semblable à un groupe de permutations de Y. (Soit f une bijection de X sur Y, soit G un groupe de permutations de X. Désignons par H l'image de G par l'isomorphisme de groupes ; H est un groupe de permutations de Y semblable à G.)

Vocabulaire[modifier | modifier le wikicode]

  • Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément g de G agit trivialement (sur X) si, pour tout élément x de X, g x = x. Cela revient à dire que g appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans SX correspondant à l'action de G sur X.
  • Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite fidèle si l'homomorphisme de G dans SX correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre.
  • Remarque. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Supposons que cette opération soit fidèle, c'est-à-dire, comme vu plus haut, que l'homomorphisme de G dans correspondant à cette opération soit injectif. Alors l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle du groupe de permutations . Plus précisément, la bijection identité de X sur lui-même et l'isomorphisme de groupes constituent un isomorphisme de la première de ces deux opérations sur la seconde.
  • L'orbite d'un point x de X pour une opération d'un groupe G sur l’ensemble X est l’ensemble des éléments g.xg parcourt le groupe G. On parle de G-orbite d'un élément de X si la mention du groupe G suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes, les orbites partitionnent X. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle[7].
  • Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes. Alors les orbites de la première opération peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde opération de façon que deux orbites se correspondant aient le même cardinal. (Soit f une bijection de X sur Y formant avec un isomorphisme du groupe G sur le groupe H un isomorphisme de la première opération su la seconde. Le lecteur vérifiera que si à toute orbite A de la première opération, on fait correspondre f(A), on définit une bijection g de l’ensemble des orbites de la première opération sur l’ensemble des orbites de la seconde opération et que, pour toute orbite A de la première opération, g(A) a le même cardinal que A.)
  • Si g est un élément de G et x un élément de X, si g.x=x, on dit que g fixe x ou que x est un point fixe de g. Les points fixes de g⁻¹ sont exactement les points fixes de g. (En effet, on passe de l'égalité g(x) = x à l'égalité g⁻¹(x) = x en multipliant les deux membres à gauche par g-1 et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par g.)
  • Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes par une bijection f de X sur Y et un isomorphisme de groupes de G sur H. Alors un élément g de G fixe un élément x de X pour la première opération si et seulement fixe f(x) pour la seconde opération.
  • On dit qu'un élément x de X est point fixe pour l'opération de G sur X si x est fixé par tout élément de G[8], ce qui revient à dire que l'orbite de x est réduite à x.
  • Le stabilisateur d'un élément x de X est l’ensemble des éléments g de G qui fixent x, autrement dit tels que g.x=x. C’est un sous-groupe de G. Il en résulte qu'un élément x de X est point fixe d'un élément g de G si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <g> de G sur X. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.)
  • Une action est dite transitive lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide[9].) Si un groupe G opère transitivement sur un ensemble X, on dit que X est un G-ensemble homogène[10] ou encore un G-espace homogène[11]. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive.
  • Une action est dite libre lorsque tout élément non neutre de G est sans points fixes.
  • Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite simplement transitive si elle est transitive et libre. On dit alors que X est un G-ensemble homogène principal[12]. Pour tout élément x de X, l’application est alors une bijection de G sur X. En particulier, X est équipotent à G. (L'application est appelée l’application orbitale définie par x.)

Relations entre orbite et stabilisateur[modifier | modifier le wikicode]

  • Si x est un élément donné d'un G-ensemble X, il résulte d'un des exemples ci-dessus qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application induit un isomorphisme de G-ensembles . En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point : . (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.) Comme le noyau K de l'opération est évidemment contenu dans Stab(x), il en résulte que est multiple du cardinal de chaque orbite. A fortiori, évidemment, est multiple du cardinal de chaque orbite.
  • On montre facilement (voir exercices) que si deux points x, y de X appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans G sont conjugués dans G. (Plus précisément, si g est un élément de G tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g-1.) Les orbites de x et de y sont dites de même type lorsque les stabilisateurs des éléments de l'une sont conjugués dans G aux stabilisateurs des éléments de l'autre.

Action à droite[modifier | modifier le wikicode]

(Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.)

Soient G un groupe et X un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que :

pour tout élément x de X, ,

mais supposons maintenant que :

pour tous éléments g et h de G et tout élément x de X, .

Une telle application est appelée action à droite de G sur X.

On vérifie facilement que, pour tout , l’application de X dans lui-même est une bijection et que l’application est un homomorphisme de G dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l’ensemble des permutations de X muni de la loi de composition , de sorte que .)
Réciproquement, pour tout homomorphisme de G dans l'opposé du groupe des permutations de X, il existe une et une seule action à droite de G sur X telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit .

Soient G un groupe et X un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants :

  1. une application est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de G ;
  2. une application est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l’application est une action à gauche relativement au même groupe G.

Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe G sur un ensemble X, on préfère placer l'élément (soit g) de G à droite de l'élément (soit x) de X et écrire xg plutôt que gx. La règle g(hx) = (hg)x prend alors la forme plus élégante (xh)g = x(hg). Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi au lieu de gx; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante.

Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe des permutations d'un ensemble X le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de X[13]. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe G sur un ensemble X qui correspondent aux homomorphismes de G dans le « groupe des permutations » de X. Ces auteurs désignent l'image d'un élément x par une permutation en plaçant à droite de x, c'est-à-dire que là où nous écrivons , ils écrivent ou . La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) :

,

ce qui rend l'harmonie des notations complète.

Théorème de Cayley[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Équation aux classes[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit l’ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons

,
parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal.
Soit une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite , appartienne à . (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire

désigne l'orbite de x.
Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point, donc
.
Il revient au même de dire que si est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite ω, il existe un et un seul tel que , on a
.

En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l’ensemble des points fixes, soit une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle ω, il existe un et un seul pour lequel , alors
.

L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois[14] appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l’expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre de G et les sont les centralisateurs des , donc si est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison ω non réduite à un élément, il existe un et un seul pour lequel , alors
.

Cette équation est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy[15] ou encore la non-trivialité du centre de tout groupe fini non trivial dont l’ordre est une puissance de nombre premier[16].

Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et x un élément de G. Le centralisateur de x, c'est-à-dire le sous-groupe de G formé par les éléments de G qui commutent avec x, est le stabilisateur de x pour l'action du groupe G sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de x pour cette action est l’ensemble des conjugués de x dans G. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Soient maintenant G un groupe et H un sous-groupe de G. Le groupe G agit transitivement par conjugaison sur l’ensemble des conjugués de H dans G. Le stabilisateur de H pour cette action est son normalisateur dans G. Donc, comme précédemment :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Argument de Frattini[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

L'argument de Frattini nous servira dans les chapitres Théorème de Gaschütz et Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 6, no 1, définition 2, Paris, 1970, p. 64.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, no 1, Paris, 1970, p. 49. N. Bourbaki, ib., p. 50, appelle loi d'opération ce qui est appelé ici action. Il donne un sens plus général au mot action (ib., § 3, no 1, p. 23). D. Perrin, Cours d'algèbre, Paris, 2004, p. 13, ne parle que d'opération d'un groupe sur un ensemble, et non d'action.
  3. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, Paris, 1970, p. 50.
  4. M. Aschbacher, Finite Group Theory, Cambridge University Press, 2000, p. 9.
  5. J. J. Rotman, An introduction to the theory of groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 282.
  6. Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 206.
  7. J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 184.
  8. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, $ 6, no 5, Paris, 1970, p. 73.
  9. Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, no 5, Paris, 1970, p. 56.
  10. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, no 5, Paris, 1970, p. 56.
  11. P. Tauvel, Algèbre, 2e éd., Paris, 2005, p. 65.
  12. N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, no 6, Paris, 1970, p. 58.
  13. Voir par exemple P.J. Cameron, Permutation groups, Cambridge, 1999, p.2; H. Kurzweil et B. Stellmacher, The theory of finite groups, New York, 2004, p. 55.
  14. Voir par exemple Jean Delcourt, Théorie des groupes, 2e éd., Paris, 2007, p. 63.
  15. J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e édition, 2e tirage, 1999, théor. 4.2, p. 74.
  16. J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e édition, 2e tirage, 1999, théor. 4.4, pp. 74-75.