Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément

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Groupes monogènes, ordre d'un élément
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Exercices no6
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes monogènes, ordre d'un élément

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
Exo suiv. :Conjugaison, centralisateur, normalisateur
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe, x et y deux éléments de G. Prouver que xy et yx ont le même ordre[1].

Indication : utiliser le fait que si l’ordre d'un élément z est fini, cet ordre est le plus petit nombre naturel n > 0 tel que zⁿ = 1.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient f un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe H et x un élément de G. Montrer que l’ordre de f(x) divise celui de x. (On admet que la notion de divisibilité peut s'étendre aux cardinaux infinis, un cardinal a étant dit diviser un cardinal b s'il existe un cardinal c tel que ac = b.) Si, de plus, f est injectif, montrer que x et f(x) ont le même ordre.

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient f un homomorphisme d'un groupe G dans un groupe H d'ordre fini a. Soit x un élément de G d'ordre fini premier avec a. Montrer que f(x) = 1.

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe, a et b deux entiers rationnels premiers entre eux. Prouver que si x est un élément de G tel que x peut se mettre sous la forme avec , et que y peut être pris égal à une puissance de x.

b) Soit G un groupe fini d'ordre a, soit b un entier rationnel premier avec a. Prouver que l’application de G dans lui-même est une permutation de G (et, bien sûr, un automorphisme de G si G est commutatif).

Remarque : l'énoncé b) nous servira dans la démonstration du théorème de Gaschütz.

Problème 5. Ordre du composé de deux éléments commutant entre eux[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe, a et b deux éléments de G, d'ordres finis r et s respectivement. On suppose que a et b commutent.

a) Prouver que l’ordre de ab est fini et divise le ppcm de r et s.

b) Montrer que l’ordre de ab n’est pas forcément égal à ppcm(r, s).

c) On suppose que ⟨a⟩ ⋂ ⟨b⟩ = 1 (où ⟨x⟩ désigne le sous-groupe de G engendré par l'élément x de G). Prouver que l’ordre de ab est égal à ppcm(r, s).

d) Dans le groupe des permutations de l’ensemble à trois éléments {1, 2, 3}, on considère la permutation (1 2) qui échange 1 et 2 (c'est-à-dire applique 1 sur 2 et 2 sur 1) et laisse 3 fixe ; on considère de même la permutation (2 3) qui échange 2 et 3 et laisse 1 fixe. Montrer que l’ordre de (1 2)(2 3) ne divise pas le ppcm des ordres de (1 2) et (2 3). (Ceci montre que l'énoncé du point a) devient faux si on en supprime l'hypothèse selon laquelle a et b commutent.)

e) Prouver que si r et s sont premiers entre eux, l’ordre de ab est rs.

f) Montrer qu'il existe deux entiers u et v tels que l'ordre de aubv soit égal à ppcm(r, s).

g) Il résulte du point a) que si deux éléments d'un groupe commutent entre eux et sont d'ordres finis, leur composé est d'ordre fini. Puisqu'un élément et son inverse ont le même ordre (voir chapitre théorique), les éléments d'ordre fini d'un groupe abélien G forment donc un sous-groupe de G. Montrer que dans le groupe (groupe multiplicatif des matrices carrées inversibles de taille 2 à coefficients dans ), les éléments

et

sont d'ordres finis mais que AB est d'ordre infini.

Problème 6[modifier | modifier le wikicode]

Prouver que tout groupe d'ordre 4 est commutatif.

Problème 7[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et p un nombre premier.

a) Montrer que si H et K sont deux sous-groupes distincts d'ordre p de G, H et K ont une intersection triviale, c'est-à-dire que H ⋂ K = 1.

b) Montrer que le nombre des éléments d'ordre p de G est égal à n (p - 1), où n désigne le nombre des sous-groupes d'ordre p de G.

Remarque. On trouvera une démonstration un peu différente et plus générale dans les exercices de la série Automorphismes d'un groupe cyclique.

Problème 8[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe cyclique d'ordre n noté multiplicativement, k un entier naturel et d le plus grand diviseur de k et n.

a) Montrer qu'un élément x de G est puissance k-ième dans G si et seulement s'il est puissance d-ième dans G.

b) Sous les hypothèses du point a), montrer que si un élément x de G est puissance k-ième dans G, les éléments y de G tels que yk = x sont en nombre d.

Problème 9 (Ordre d'une puissance)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe, soit un élément d'ordre fini de G; on notera cet ordre ; soit un nombre naturel. Prouver que l'ordre de est

Problème 10 (Ordre d'une racine)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe. Pour tout élément , on notera l'ordre de . Soit un élément d'ordre fini de G, soit un nombre naturel dont tout diviseur premier divise (donc n'est pas nul), soit un élément de G tel que yd = x.

a) Prouver que est d'ordre
Indication : on peut utiliser le problème « Ordre d'une puissance » et le théorème de Bézout.

b) Montrer par un exemple que l'énoncé du point a) cesse d’être exact si on supprime l'hypothèse selon laquelle tout facteur premier de divise l’ordre de .

Remarque. L'énoncé du point a) admet le cas particulier suivant (qui peut d'ailleurs se démontrer un peu plus simplement que le cas général) : soit G un groupe, soit un élément de G dont l'ordre est une puissance naturelle de nombre premier, soit cet ordre; soit un élément de G tel que , étant un nombre naturel; alors l'ordre de est Dans la suite du cours, on utilisera ce cas particulier sans référence.

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, New York, 1999, p. 44.