Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur

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Conjugaison, centralisateur, normalisateur
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Exercices no7
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Conjugaison, centralisateur, normalisateur

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Groupes monogènes, ordre d'un élément
Exo suiv. :Action de groupe
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Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et A, B deux sous-groupes conjugués. Montrer que si AB = G, alors A et B sont égaux à G[1].

(Généralisation) Soient K et H deux sous-groupes d'un groupe G et x, y deux éléments de G. Montrer que

si G = HK alors G = HxKy

où, pour tout élément g et toute partie A de G, Ag désigne la partie conjuguée g-1Ag de A.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et A un sous-groupe de G. Pour tout élément g de G, désignons par Ag le conjugué de A, de sorte que (Ag)h = Agh. On suppose que et que pour tout . Prouver que

[2].

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et A un sous-groupe de G. Pour tout élément g de G, désignons par Ag le conjugué de A, de sorte que (Ag)h = Agh. Prouver que si , alors , autrement dit G n’est pas la réunion des conjugués de A[3].

Remarque : on verra dans les exercices sur le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples que l'énoncé du présent problème peut s'étendre au cas où A est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini.

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini > 1 tel que deux différents sous-groupes maximaux de G aient toujours une intersection triviale. Alors un au moins des sous-groupes maximaux de G est normal dans G[4]. (Indication : étant donné un sous-groupe maximal M de G, appliquer deux problèmes ci-dessus à la réunion des conjugués de M.)

Problème 5 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Soit K le cœur de H dans G, c'est-à-dire l'intersection des conjugués de H dans G (y compris H). Prouver que K est un sous-groupe distingué de G.

Problème 6 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et X une partie de G. Prouver que le sous-groupe distingué de G engendré par X est le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de X.

Problème 7 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et H un sous-groupe normal d'ordre 2 de G. Prouver que H est contenu dans le centre de G.

Problème 8 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient a1, ... , an des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux. Prouver que le sous-groupe de G engendré par a1, ... , an est l’ensemble des éléments de la forme où r1, ... , rn parcourent les entiers rationnels[5].

Problème 9 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe (non forcément commutatif) et X une partie de G. Les deux conditions suivantes sont-elles équivalentes :
1° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à gauche modulo ce sous-groupe;
2° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à droite modulo ce sous-groupe.

Problème 10[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe. Pour deux éléments a et b de G, on posera , de sorte que, pour a, b et c dans G, et . Pour une partie X de G et un élément g de G, on désignera par l’ensemble des , x parcourant X.

a) Soient G un groupe et X une partie de G telle que

pour tout élément g de G.

Supposons que X soit la réunion de n parties X1, ..., Xn de G :

Prouver que tout produit d'éléments de X peut se mettre sous la forme

avec

pour tout () et tout ,

en admettant que puisse être nul, auquel cas est le produit d'une famille vide et est donc égal à 1.

b) Soient G un groupe et A un sous-groupe de G. On suppose que les conjugués de A dans G sont en nombre fini. Soient ces conjugués. Alors

[6]. (Appliquer le point a).)

c) Soient G un groupe, x un élément de G et deux sous-groupes de G. Désignons par C l’ensemble des conjugués de x dans G. Supposons que et . Prouver que ou [7]. (Appliquer le point a).)

Problème 11 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient A, B deux groupes, un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que

b) Soient A, B deux groupes, un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que

c) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et a un élément de G. Prouver que

et

d) Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Prouver que le centralisateur de H dans G est normal dans G.

Problème 12[modifier | modifier le wikicode]

Soient un groupe et un élément d'ordre . On note :

  • le sous-groupe engendré par  ;
  • le centralisateur de  ;
  • le normalisateur de .

Remarquons que l'on a toujours .

    1. Expliciter , et dans le cas et .
    2. Même question, toujours dans le cas , avec .
  1. On revient au cas général. Montrer que pour tout , il existe un entier premier avec tel que . Cet entier est-il unique ? Montrer que si est premier, .
  2. Montrer que l'on peut définir une application en posant (où provient de la question précédente) et montrer que cette application est un morphisme de groupes.
  3. Calculer le noyau de .
  4. On suppose dans cette dernière question que est un groupe symétrique (où ).
    1. Montrer que les générateurs du groupe sont deux à deux conjugués dans .
    2. En déduire que les groupes et sont isomorphes.

Problème 13[modifier | modifier le wikicode]

L'objet de ce problème est de prouver que si est un homomorphisme d'un groupe dans un groupe G, alors est surjectif si et seulement pour tout groupe L et pour tous homomorphismes de G dans L, l'égalité entraîne

a) Soient G un groupe et H un sous-groupe propre de G. Notons G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H. (Puisque le sous-groupe H de G n'est pas supposé normal dans G, l'ensemble G/H ne doit pas être vu comme un groupe.) D'après la théorie des ensembles, nous pouvons choisir un « élément » qui n'appartient pas à G/H et que nous noterons Notons X l'ensemble et notons K le groupe des permutations de X.

Pour tout élément de G, notons la transformation de X qui applique sur lui-même et, pour tout élément C de G/H, applique C sur aC ; donc, pour tout élément de G, Prouver que pour tout élément de G, est une permutation de X, que l'application est un homomorphisme de G dans et que si alors la permutation fixe l'élément H de X.

b) Prouver que, dans les hypothèses du point a) (G est un groupe et H un sous-groupe propre de H), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes de G dans L qui coïncident en tout élément de H.

Indications. De façon générale, si T est un ensemble et deux différents éléments de T, on note la permutation de T qui applique sur , sur et qui laisse fixes les autres éléments de T. Une telle permutation est appelée une transposition de T.

Dans les hypothèses et notations du point a) on définit un homomorphisme de G dans par , où est l'homomorphisme de G dans considéré au point a) et où est l'automorphisme intérieur du groupe

Prouver que et sont deux différents homomorphismes de G dans K et que ce qui prouve le point b).

c) Soit un homomorphisme d'un groupe dans un groupe Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i) est surjectif ;
(ii) pour tout groupe L et pour tous homomorphismes de G dans L, l'égalité entraîne

Indication : utiliser le point b).

Remarque. Le point c) montre que dans la catégorie des groupes, les épimorphismes sont les homomorphismes surjectifs de groupes. L'énoncé analogue pour les groupes abéliens est démontré au problème 8 de la série Sous-groupe distingué et groupe quotient.

Problème 14[modifier | modifier le wikicode]

Soit Y une partie d'un ensemble X. Dans le groupe SX des permutations de X, on considère le sous-groupe A fixateur de Y :

.

Soit M le sous-monoïde de SX formé des éléments tels que

L'objet de ce problème est de montrer que M est un sous-groupe de SX si et seulement si Y ou X\Y est fini[8].

On pose pour cela :

.
  1. Vérifier que N ⊂ M.
  2. Si X\Y est un singleton, identifier A, puis M.
  3. Si X\Y n'est pas un singleton, montrer que M ⊂ N.
  4. Vérifier que si Y ou X\Y est fini, N est un sous-groupe de SX.
  5. Démontrer la réciproque.
  6. Conclure.

Problème 15[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe.

  1. Montrer que s'il existe un sous-groupe H de Z(G) tel que G/H soit monogène, alors G est abélien.
  2. En déduire que si Aut(G) est monogène, alors G est abélien.

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 5, p. 9.
  2. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 11, p. 10.
  3. Attribué à Jordan par Jean-Pierre Serre, Groupes finis, révision de 2004, théor. 6.1, p. 45, en ligne.
  4. Voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents », Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), en ligne, lemme 4.2, p. 17.
  5. Énoncé dans J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 127.
  6. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 13, p. 10.
  7. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.2, exerc. 5, p. 15.
  8. Bourbaki, Algèbre, 1970, ch. I, § 5, n° 3, p. I.54, dit que le cas se présente et renvoie à l'exercice 27 sur ledit § 5, p. I.134.