Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur

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Conjugaison, centralisateur, normalisateur
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Exercices no7
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Conjugaison, centralisateur, normalisateur

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Groupes monogènes, ordre d'un élément
Exo suiv. :Action de groupe
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Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient A et B deux sous-groupes conjugués d'un même groupe G. Si AB = G, alors A et B sont égaux à G[1].

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et A un sous-groupe de G. Pour tout élément g de G, désignons par Ag le conjugué de A, de sorte que (Ag)h = Agh. Supposons que et que pour tout . Alors [2].

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et A un sous-groupe de G. Pour tout élément g de G, désignons par Ag le conjugué de A, de sorte que (Ag)h = Agh. Prouver que si , alors , autrement dit G n’est pas la réunion des conjugués de A[3].

Remarque : on verra dans les exercices sur le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples que l'énoncé du présent problème peut s'étendre au cas où A est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini.

Problème 4[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe fini > 1 tel que deux différents sous-groupes maximaux de G aient toujours une intersection triviale. Alors un au moins des sous-groupes maximaux de G est normal dans G[4]. (Indication : étant donné un sous-groupe maximal M de G, appliquer deux problèmes ci-dessus à la réunion des conjugués de M.)

Problème 5 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Soit K le cœur de H dans G, c'est-à-dire l'intersection des conjugués de H dans G (y compris H). Prouver que K est un sous-groupe distingué de G.

Problème 6 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe et X une partie de G. Prouver que le sous-groupe distingué de G engendré par X est le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de X.


Problème 7 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe fini et H un sous-groupe normal d'ordre 2 de G. Prouver que H est contenu dans le centre de G.

Problème 8 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient a1, ... , an des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux. Prouver que le sous-groupe de G engendré par a1, ... , an est l’ensemble des éléments de la forme où r1, ... , rn parcourent les entiers rationnels[5].

Problème 9 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe (non forcément commutatif) et X une partie de G. Les deux conditions suivantes sont-elles équivalentes :
1° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à gauche modulo ce sous-groupe;
2° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à droite modulo ce sous-groupe.

Problème 10[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe. Pour deux éléments a et b de G, on posera , de sorte que, pour a, b et c dans G, et . Pour une partie X de G et un élément g de G, on désignera par l’ensemble des , x parcourant X.

a) Soient G un groupe et X une partie de G telle que

pour tout élément g de G.

Supposons que X soit la réunion de n parties X1, ..., Xn de G :

Prouver que tout produit d'éléments de X peut se mettre sous la forme

avec

pour tout () et tout ,

en admettant que puisse être nul, auquel cas est le produit d'une famille vide et est donc égal à 1.

b) Soient G un groupe et A un sous-groupe de G. On suppose que les conjugués de A dans G sont en nombre fini. Soient ces conjugués. Alors

[6]. (Appliquer le point a).)

c) Soient G un groupe, x un élément de G et deux sous-groupes de G. Désignons par C l’ensemble des conjugués de x dans G. Supposons que et . Prouver que ou [7]. (Appliquer le point a).)

Problème 11 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient A, B deux groupes, un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que

b) Soient A, B deux groupes, un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que

c) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et a un élément de G. Prouver que


et

d) Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Prouver que le centralisateur de H dans G est normal dans G.

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. (H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 5, p. 9.)
  2. (H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 11, p. 10.)
  3. Attribué à Jordan par Jean-Pierre Serre, Groupes finis, révision de 2004, théor. 6.1, p. 45, en ligne.
  4. Voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents », Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), en ligne, lemme 4.2, p. 17.
  5. Énoncé dans J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 127.
  6. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 13, p. 10.
  7. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.2, exerc. 5, p. 15.