Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes dicycliques

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Groupes dicycliques
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Exercices no26
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes dicycliques

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Holomorphe d'un groupe
Exo suiv. :Transfert, théorème du complément normal de Burnside
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes dicycliques
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Problème 1 (Classification des groupes d'ordre 8)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe non abélien d'ordre 8. Prouver que G est isomorphe à D8 (groupe diédral d'ordre 8) ou à Q8 (groupe des quaternions). (Indication : choisir un élément a d'ordre 4 dans G et un élément b de G n'appartenant pas à <a>. Prouver que bab-1 = a-1. Examiner ensuite le cas où b est d'ordre 2 et le cas où b est d'ordre 4.)

Problème 2 (Classification des groupes d'ordre 12)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe non abélien d'ordre 12. Prouver que G est isomorphe au groupe alterné A4,à D12 (groupe diédral d'ordre 12) ou à DC3 (groupe dicyclique d'ordre 12). (Rappel : on a vu dans un problème de la série Groupes alternés que tout groupe d'ordre 12 ayant plusieurs sous-groupes d'ordre 3 est isomorphe à A4. Si G n'a qu'un sous-groupe d'ordre 3, raisonner sur l'indice dans G du centralisateur d'un élément d'ordre 3 pour montrer que ce centralisateur comprend un élément d'ordre 2 et en conclure que G contient un sous-groupe cyclique d'ordre 6.)

Problème 3 (Dérivé d'un groupe dicyclique)[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel non nul, soit G un groupe dicyclique d'ordre 4n.
Soit a un élément d'ordre 2n de G, soit b un élément de G tel que et
(On sait que a et b existent, que b est d'ordre 4 et n'appartient pas à <a>.)
a) Prouver que le dérivé D(G) de G est

b) Expliciter les éléments de G/D(G). Prouver que si n est impair, G/D(G) est un groupe cyclique d'ordre 4 et que si n est pair, G/D(G) est un groupe de Klein.

Problème 4 (Classes de conjugaison d'un groupe dicyclique)[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel non nul, soit G un groupe dicyclique d'ordre 4n.
Soit a un élément d'ordre 2n de G, soit b un élément de G tel que et
(On sait que a et b existent, que b est d'ordre 4 et n'appartient pas à <a>.)
Déterminer les classes de conjugaison d'éléments de G et le nombre de ces classes.

Problème 5 (Homomorphismes partant d'un groupe dicyclique)[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel non nul, soit G un groupe dicyclique d'ordre 4n.
Soit a un élément d'ordre 2n de G, soit b un élément de G tel que et
(On sait que a et b existent, que b est d'ordre 4 et n'appartient pas à <a>.)
Soit H un groupe, soient A et B des éléments de H tels que A2n = 1, B2 = An et B-1 A B = A-1.
Prouver qu'il existe un et un seul homomorphisme de G dans H qui applique a sur A et b sur B. (Indication. On peut utiliser la « table de multiplication » de G qui a été donnée dans le chapitre théorique et noter quelque chose d'analogue concernant H, A et B.)

Remarques. 1° Si nous connaissions déjà les éléments de la théorie des présentations de groupes, l'existence et l'unicité de l'homomorphisme en question se déduiraient facilement d'un théorème de cette théorie, le théorème de von Dyck. On a fait une remarque analogue au sujet des groupes diédraux.
2° Cet exercice servira dans un exercice de la série Caractères irréductibles de quelques groupes.