Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Groupes dicycliques

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Groupes dicycliques
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Exercices no25
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes dicycliques

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. : Holomorphe d'un groupe
Exo suiv. : Transfert, théorème du complément normal de Burnside
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes dicycliques
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Problème 1 (Classification des groupes d'ordre 8)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe non abélien d'ordre 8. Prouver que G est isomorphe à D8 (groupe diédral d'ordre 8) ou à Q8 (groupe des quaternions). (Indication : choisir un élément a d'ordre 4 dans G et un élément b de G n'appartenant pas à <a>. Prouver que bab-1 = a-1. Examiner ensuite le cas où b est d'ordre 2 et le cas où b est d'ordre 4.)

Problème 2 (Classification des groupes d'ordre 12)[modifier | modifier le wikicode]

Soit G un groupe non abélien d'ordre 12. Prouver que G est isomorphe au groupe alterné A4,à D12 (groupe diédral d'ordre 12) ou à DC3 (groupe dicyclique d'ordre 12). (Rappel : on a vu dans un problème de la série Groupes alternés que tout groupe d'ordre 12 ayant plusieurs sous-groupes d'ordre 3 est isomorphe à A4. Si G n'a qu'un sous-groupe d'ordre 3, raisonner sur l'indice dans G du centralisateur d'un élément d'ordre 3 pour montrer que ce centralisateur comprend un élément d'ordre 2 et en conclure que G contient un sous-groupe cyclique d'ordre 6.)

Problème 3 (Dérivé d'un groupe dicyclique)[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel non nul, soit G un groupe dicyclique d'ordre 4n.
Soit a un élément d'ordre 2n de G, soit b un élément de G tel que et
(On sait que a et b existent, que b est d'ordre 4 et n'appartient pas à <a>.)
a) Prouver que le dérivé D(G) de G est

b) Expliciter les éléments de G/D(G). Prouver que si n est impair, G/D(G) est un groupe cyclique d'ordre 4 et que si n est pair, G/D(G) est un groupe de Klein.

Problème 4 (Classes de conjugaison d'un groupe dicyclique)[modifier | modifier le wikicode]

Soit n un nombre naturel non nul, soit G un groupe dicyclique d'ordre 4n.
Soit a un élément d'ordre 2n de G, soit b un élément de G tel que et
(On sait que a et b existent, que b est d'ordre 4 et n'appartient pas à <a>.)
Déterminer les classes de conjugaison d'éléments de G et le nombre de ces classes.