Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Transfert, théorème du complément normal de Burnside

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Transfert, théorème du complément normal de Burnside
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Chapitre no 27
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes dicycliques
Chap. suiv. :Premiers résultats sur les groupes simples

Exercices :

Transfert, théorème du complément normal de Burnside
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Transfert[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe, Q un sous-groupe de G et T une transversale gauche de Q dans G. Pour tout élément x de G, nous désignerons par reprT(x) le représentant de x dans T, c'est-à-dire l'unique élément de T qui appartient à la même classe à gauche modulo Q que x. Nous désignerons par qT(x) l'élément reprT(x)-1 x de Q. Donc, si x = ab avec et , alors a = reprT(x) et b = qT(x).

Notons pour la suite que si Q' désigne le groupe dérivé de Q, le groupe quotient Q/Q' est commutatif, donc on peut parler du produit d'une famille finie d'éléments de Q/Q' sans préciser l’ordre des facteurs.

Début d’un théorème
Fin du théorème



Remarques.

  1. Si Q est commutatif, alors Q' = 1 et le groupe Q/Q' est canoniquement isomorphe à Q. Dans ce cas, on considère que le transfert est un homomorphisme de G dans Q.
  2. Même si Q n’est pas commutatif, certains auteurs disent « transfert de G vers Q » au lieu de « transfert de G vers Q/Q' ».
  3. On désigne couramment le transfert par la lettre V, qui est la première lettre du nom allemand du transfert : Verlagerung.
  4. Le transfert qu'on peut définir à partir des transversales droites est identique à celui qu'on a défini à partir des transversales gauches. (Voir exercices.)
Début d’un théorème
Fin du théorème


Théorème du complément normal de Burnside[modifier | modifier le wikicode]

Début d'un lemme
Fin du lemme


Remarque. On trouvera dans les exercices une forme plus générale du lemme qui précède.

Début d'un lemme
Fin du lemme
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d'un lemme
Fin du lemme
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Rappelons la définition d'un complément, qui a été donnée au chapitre Produit semi-direct :

Si G = HK, on a aussi G = KH (passer aux inverses, ou encore utiliser le fait, démontré dans la série Groupes, premières notions, que si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, alors HK = KH si et seulement si HK est un sous-groupe de G). Donc si K est un complément de H, H est un complément de K.

On vérifie facilement que K est un complément de H dans G si et seulement si K est une transversale droite (resp. gauche) de H dans G.


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Voir les exercices.

Début d'un lemme
Fin du lemme
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Soient G un groupe fini et p un nombre premier. Puisque, comme nous l'avons vu, un sous-groupe de Hall normal de G est seul de son ordre parmi les sous-groupes de G et que, plus précisément, un sous-groupe de Hall normal H de G est l'ensemble des éléments de G dont l'ordre divise , on vérifie facilement que les cinq conditions suivantes sont équivalentes :

  1. il existe un p-sous-groupe de Sylow de G qui admet un complément normal dans G;
  2. tout p-sous-groupe de Sylow de G admet un complément normal dans G;
  3. il existe un sous-groupe normal de G dont l'ordre est où pm désigne la plus grande puissance de p qui divise ;
  4. G a un et un seul sous-groupe d'ordre où pm désigne la plus grande puissance de p qui divise ;
  5. les éléments de G dont l'ordre n'est pas divisible par p forment un sous-groupe de G.


Le théorème de Burnside dit donc que si un p-sous-groupe de Sylow P d'un groupe fini G satisfait à la condition alors G est p-nilpotent.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Supposons que, par absurde, G soit p-nilpotent. Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P de G. Notre hypothèse selon laquelle G est p-nilpotent revient à dire que P admet un complément normal N dans G. Puisque G est un groupe simple fini non commutatif, on sait qu’il n’est pas résoluble, donc son ordre n’est pas une puissance de nombre premier, donc 1 < P < G, donc 1 < N < G. C'est impossible, puisque N est normal dans G et que G est supposé simple.

Applications du théorème du complément normal de Burnside[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

L'énoncé qui précède a évidemment le cas particulier suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d’un théorème
Fin du théorème
Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Remarque. D'après un théorème de Feit et Thompson dont la démonstration excède le cadre de la présente leçon, tout groupe simple fini non commutatif est d'ordre pair. Si on admet ce théorème de Feit et Thompson, le précédent théorème peut s'énoncer comme suit : si G est un groupe simple fini non commutatif, l’ordre de G est divisible par 8 ou par 12. Sans admettre le théorème de Feit et Thompson, nous pouvons énoncer cette conséquence évidente du théorème qui précède :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Cette démonstration du théorème du complément normal de Burnside est donnée par I.M. Isaacs, Finite Group Theory, American Mathematical Society, 2008, pp. 161-162.