Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Groupes de symétries continues et globales, énoncé du théorème d'Emmy Nœther

**Groupes de symétries continues et globales, énoncé du théorème d'Emmy Nœther**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)

Chapitre n^o 12
Chap. préc. :	Notion d'angle solide
Chap. suiv. :	Utilisation de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Groupes de symétries continues et globales, énoncé du théorème d'Emmy Nœther
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Groupes de symétries continues et globales, énoncé du théorème d'Emmy Nœther », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

     Après une introduction rapide de la notion de « groupe de symétries »,
     Après une introduction rapide on développera le théorème de Nœther ^[1] liant l'invariance de lois physiques par transformation d'un groupe de symétries
         Après une introduction rapide on développera le théorème de Nœther liant à la conservation d'une grandeur physique ^[2].

Notion de groupe et de morphisme

Structure de groupe

     Un groupe est un ensemble $\;{\mathcal {G}}\neq \emptyset \;$ ${\big (}$ c.-à-d. non vide ${\big )}$ ,
     Un groupe est un ensemble $\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}\neq \emptyset }\;$ muni d'une loi de composition interne ${\big [}$ que nous noterons $\;*{\big ]}$ ,
     Un groupe est un ensemble $\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}\neq \emptyset }\;$ muni d'une loi de composition interne $\bullet \;$ associative ${\big [}$ c.-à-d. telle que $\;(a*b)*c=a*(b*c)\;\;\forall \;(a\,,\,b\,,\,c)\in {\mathcal {G}}^{3}\;$
     Un groupe est un ensemble $\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}\neq \emptyset }\;$ muni d'une loi de composition interne $\color {transparent}{\bullet }\;$ associative $\color {transparent}{\big [}$ permettant de définir sans ambiguïté « $\;a*b*c\;$ » ${\big ]}$ ,
     Un groupe est un ensemble $\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}\neq \emptyset }\;$ muni d'une loi de composition interne $\bullet \;$ possédant un élément neutre $\;e\in {\mathcal {G}}\;$ ${\bigg [}$ c.-à-d. telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a*e=a\\e*a=a\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;a\in {\mathcal {G}}{\bigg ]}\;$ et
     Un groupe est un ensemble $\;\color {transparent}{{\mathcal {G}}\neq \emptyset }\;$ muni d'une loi de composition interne $\bullet \;$ telle qu'elle associe un élément symétrique $\;x^{-1}\in {\mathcal {G}}\;$ à tout élément $\;x\in {\mathcal {G}}\;$ ${\bigg [}$ c.-à-d. telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x*x^{-1}=e\\x^{-1}*x=e\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;x\in {\mathcal {G}}{\bigg ]}$ .

     Propriétés : l'élément neutre $\;e\;$ est unique et il existe un unique symétrique pour chaque élément de $\;{\mathcal {G}}$ ;
     Propriétés : tout élément de $\;{\mathcal {G}}\;$ est « régulier » $\;{\big (}$ ou « simplifiable » ${\big )}\;$ c.-à-d. que si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a*x=a*y\\{\text{ou}}\\x*a=y*a\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;a\in {\mathcal {G}}\;$ alors $\;x=y$ ;
     Propriétés : un groupe n'est pas nécessairement commutatif c.-à-d. qu'il est possible que $\;a*b\neq b*a$ .

Morphisme de groupes

     Une fonction $\;f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}\;$ entre deux groupes $\;{\mathcal {G}}\;$ et $\;{\mathcal {H}}\;$ munis respectivement de la loi de composition interne $\;\bullet \;$ et $\;\star \;$
     Une fonction $\;\color {transparent}{f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}}\;$ entre deux groupes $\;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;$ et $\;\color {transparent}{\mathcal {H}}\;$ est un morphisme de groupes si l'égalité « $\;f(a\bullet b)=f(a)\star f(b)\;\;\forall \;(a\,,\,b)\;\in {\mathcal {G}}^{2}\;$ » est valable ;
     Une fonction $\;\color {transparent}{f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}}\;$ entre deux groupes $\;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;$ et $\;\color {transparent}{\mathcal {H}}\;$ cette définition $\Rightarrow$ même résultat en utilisant la loi de composition interne $\;\bullet \;$ avant d'appliquer le morphisme de groupes $\,f\,$ « $\;a\bullet b\,\mapsto \,f(a\bullet b)\;$ »
Une fonction $\;\color {transparent}{f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}}\;$ entre deux groupes $\;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;$ et $\;\color {transparent}{\mathcal {H}}\;$ cette définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ même résultat en utilisant la loi de composition interne ou $\;\star \;$ après emploi du morphisme de groupes $\,f\,$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a\,\mapsto \,f(a)\\b\,\mapsto \,f(b)\end{array}}\right\rbrace$ suivi de
Une fonction $\;\color {transparent}{f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}}\;$ entre deux groupes $\;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;$ et $\;\color {transparent}{\mathcal {H}}\;$ cette définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ même résultat en utilisant la loi de composition interne ou $\;\color {transparent}{\star }\;$ après emploi du $f(a)\star f(b)\;$ », c.-à-d. le même résultat $\;f(a\bullet b)$ .

     Propriétés : l'image de l'élément neutre du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ est l'élément neutre du groupe $\;({\mathcal {H}}\,;\;\star )\;$ c.-à-d. « $\;f(e_{\mathcal {G}})=e_{\mathcal {H}}\;$ » ^[3] et
     Propriétés : l'image du symétrique d'un élément quelconque $\;a\;$ du groupe $({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )$ est le symétrique de l'image de $\;a$ ,
     Propriétés : l'image du symétrique d'un élément quelconque $\;\color {transparent}{a}\;$ du groupe $\color {transparent}{({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )}$ est le symétrique de l’image qui est un élément décrivant le groupe $({\mathcal {H}}\,;\;\star )$ , c.-à-d.« $\;f(a^{-1})=\left[f(a)\right]^{-1}\;\;\forall \;a\;\in \;{\mathcal {G}}\;$ » ^[4].

Groupes isomorphes, isomorphisme entre groupes

     Deux groupes $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ et $\;({\mathcal {H}}\,;\;\star )\;$ sont dits isomorphes s'il existe deux morphismes de groupes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}\\g\;{\text{:}}\;{\mathcal {H}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\end{array}}\right\rbrace \;$ tels que leur composé donne l'identité quel que soit l'ordre d'application c.-à-d.
     Deux groupes $\;\color {transparent}{({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {H}}\,;\;\star )}\;$ sont dits isomorphes si « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}g\left[f(a)\right]=a\;\;\forall \;a\;\in \;{\mathcal {G}}\\f\left[g(b)\right]=b\;\;\forall \;b\;\in \;{\mathcal {H}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » ou si « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}g\circ f=id_{\mathcal {G}}\\f\circ g=id_{\mathcal {H}}\end{array}}\right\rbrace \;$ »,
     Deux groupes $\;\color {transparent}{({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )}\;$ et $\;\color {transparent}{({\mathcal {H}}\,;\;\star )}\;$ sont dits isomorphes si « $\;id_{\mathcal {G}}\;$ et $\;id_{\mathcal {H}}\;$ étant respectivement les identités des groupes $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ et $\;({\mathcal {H}}\,;\;\star )\;$ ».
     Les deux morphismes de groupes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}\\g\;{\text{:}}\;{\mathcal {H}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\end{array}}\right\rbrace \;$ sont alors réciproques l'un de l'autre à gauche et à droite,
        Les deux morphismes de groupes $\;\color {transparent}{\left\lbrace f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}\right\rbrace }\;$ réalisant chacun une bijection entre les deux groupes et définissant un isomorphisme de groupes entre ces derniers.

Endomorphisme d'un groupe

Un morphisme $\;f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\;$ du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ sur lui-même constitue un endomorphisme du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )$ , c.-à-d. que « l'égalité $\;f(a\bullet b)=f(a)\bullet f(b)\;\;\forall \;(a\,,\,b)\;\in {\mathcal {G}}\;$ » est valable ;
Un morphisme $\;\color {transparent}{f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}}\;$ du groupe $\;\color {transparent}{({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )}\;$ sur lui-même cette définition $\Rightarrow$ même résultat en utilisant la loi de composition interne avant d'appliquer l'endomorphisme $\,f\,$ ce qui donne « $\;f(a\bullet b)\;$ »
Un morphisme $\;\color {transparent}{f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}}\;$ du groupe $\;\color {transparent}{({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )}\;$ sur lui-même cette définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ même résultat en utilisant la loi de composition interne ou après emploi de l'endomorphisme $\,f\,$ ce qui donne « $\;f(a)\bullet f(b)\;$ »
Un morphisme $\;\color {transparent}{f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}}\;$ du groupe $\;\color {transparent}{({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )}\;$ sur lui-même cette définition $\color {transparent}{\Rightarrow }$ même résultat en utilisant la loi de composition interne ou après emploi c.-à-d. le même résultat « $\;f(a\bullet b)=f(a)\bullet f(b)\;$ ».

Propriétés : l'image de l'élément neutre du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ est l'élément neutre de ce dernier c.-à-d. « $\;f(e_{\mathcal {G}})=e_{\mathcal {G}}\;$ » ^[5] et
Propriétés : l'image du symétrique d'un élément quelconque $\;a\;$ du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ est le symétrique de l'image de $\;a$ , c.-à-d. « $\;f(a^{-1})=\left[f(a)\right]^{-1}\;\;\forall \;a\;\in \;{\mathcal {G}}\;$ » ^[6].

Automorphisme d'un groupe

     Deux endomorphismes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\\g\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\end{array}}\right\rbrace \;$ du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ sur lui-même, réciproques l'un de l'autre à gauche et à droite,
       Deux endomorphismes $\;\color {transparent}{\left\lbrace f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}\right\rbrace }\;$ réalisent, pour chacun d'entre eux, une bijection sur ce groupe et
       Deux endomorphismes $\;\color {transparent}{\left\lbrace f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {H}}\right\rbrace }\;$ définissent un automorphisme de groupe sur ce dernier.

     Définition équivalente : un automorphisme sur un groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ est un endomorphisme de ce groupe qui est aussi un isomorphisme de groupes sur ce dernier c.-à-d.
     Définition équivalente : « si $\;f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\;$ est un automorphisme de $\;({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )\;$ », « $\;\exists !\,g\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\;$ automorphisme réciproque à gauche et à droite de $\;f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}\;$ » tel que
     Définition équivalente : « si $\;\color {transparent}{f\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}}\;$ est un automorphisme de $\;\color {transparent}{({\mathcal {G}}\,;\;\bullet )}\;$ », « $\;\color {transparent}{\exists !\,g\;{\text{:}}\;{\mathcal {G}}\;\mapsto \;{\mathcal {G}}}\;$ automorphisme réciproque à gauche et à droite de $\;\color {transparent}{f}\;$ « $\;f\circ g=id_{\mathcal {G}}=g\circ f\;$ ».

Groupes de symétries en physique

1^ers exemples de symétries en physique classique

On se propose de chercher quelle est l'influence de certaines transformations de l'espace-temps dans certains contextes par exemple :
On se propose de chercher $\bullet \;$ quelle est l'influence d'une translation d'espace ? Dans le cas où on étudie une grandeur physique homogène, celle-ci n'est pas modifiée par translation de l'espace $\;\ldots$
On se propose de chercher $\bullet \;$ quelle est l'influence d'une translation de temps ? Dans le cas où on étudie une grandeur physique stationnaire, celle-ci n'est pas modifiée par translation du temps $\;\ldots$
On se propose de chercher $\bullet \;$ quelle est l'influence d'une rotation d'espace ? Dans le cas où on étudie une grandeur physique isotrope, celle-ci n'est pas modifiée par rotation dans l'espace $\;\ldots$

     Toutes ces transformations de l'espace-temps sont des exemples de symétries en physique classique,
     Toutes ces transformations de l'espace-temps sont ces exemples étant caractérisés par un ou des paramètres pouvant varier continûment ^[7] constituent des symétries continues de l'espace-temps ;
     Toutes ces transformations de l'espace-temps sont ces exemples de symétries en physique classique correspondant à une même transformation en tous les points de l'espace-temps
     Toutes ces transformations de l'espace-temps sont ces exemples de symétries en physique classique constituent des symétries globales de ce dernier.

Dans ce qui suit nous nous limiterons aux symétries continues et globales de l'espace-temps.

Groupes de symétries de l'espace temps

Angles d'Euler $\;\left(\psi \,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$ ^[8] ; le système fixe est indiqué en noir $\;\left(Oxyz\right)$ , le système mobile en rouge $\;\left(Ox'y'z'\right)\;$ et la ligne des nœuds ^[9] en bleu $\;\left(Ou\right)$

« Si un ensemble de symétries continues et globales correspondant à des transformations particulières de l'espace-temps ^[10]
« Si un ensemble de symétries continues et globales est un groupe », celui-ci définit un « groupe de symétries de l'espace-temps ».

     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\bullet \;$ « groupe de translations d'espace » ${\big [}$ l'élément neutre étant la translation de vecteur nul,
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\color {transparent}{\bullet }\;$ « groupe de translations d'espace » $\color {transparent}{\big [}$ l'élément symétrique de la translation de vecteur $\;{\vec {u}}\;$
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\color {transparent}{\bullet }\;$ « groupe de translations d'espace » $\color {transparent}{\big [}$ l'élément symétrique étant la translation de vecteur $\;-{\vec {u}}{\big ]}$ ,
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\bullet \;$ « groupe de translations de temps » ${\big [}$ d'élément neutre, la translation de décalage horaire nul,
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\color {transparent}{\bullet }\;$ « groupe de translations de temps » $\color {transparent}{\big [}$ d'élément symétrique de la translation d'avance $\;\Delta t$ ,
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\color {transparent}{\bullet }\;$ « groupe de translations de temps » $\color {transparent}{\big [}$ d'élément symétrique de la translation de retard $\;\Delta t{\big ]}\;$ et
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\bullet \;$ « groupe de rotations d'espace » ${\big [}$ l'élément neutre étant la rotation de précession, nutation et
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\color {transparent}{\bullet }\;$ « groupe de rotations d'espace » $\color {transparent}{\big [}$ l'élément neutre étant la rotation de rotation propre tous nuls,
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\color {transparent}{\bullet }\;$ « groupe de rotations d'espace » $\color {transparent}{\big [}$ l'élément symétrique de la rotation d'angles d'Euler
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\color {transparent}{\bullet }\;$ « groupe de rotations d'espace » $\color {transparent}{\big [}$ l'élément symétrique de la rotation d'angles $(\psi \,,\,\theta \,,\,\varphi )$
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\color {transparent}{\bullet }\;$ « groupe de rotations d'espace » $\color {transparent}{\big [}$ l'élément symétrique étant la rotation d'angles d'Euler
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\color {transparent}{\bullet }\;$ « groupe de rotations d'espace » $\color {transparent}{\big [}$ l'élément symétrique étant la rotation d' $(-\psi \,,\,-\theta \,,\,-\varphi ){\big ]}$ ,
     Exemples de groupes de symétries de l'espace-temps : $\color {transparent}{\bullet }\;$ ${\big (}$ voir définition des angles d'Euler sur le schéma ci-contre et dans la note « ⁸ » de ce chapitre ${\big )}$ .

     Remarque : dans le cas où les symétries envisagées sont appliquées à un groupe $\;{\mathcal {G}}\;$ muni de la loi de composition interne $\;\star$ ,
     Remarque : dans le cas où les symétries envisagées on peut encore « définir un groupe de symétries de $\;({\mathcal {G}}\,;\;\star )\;$ comme
     Remarque : dans le cas où les symétries envisagées on peut encore « définir un groupe d'automorphismes du groupe $\;({\mathcal {G}}\,;\;\star )\;$ ^[11] ».

Énoncé du théorème d'Emmy Nœther

Le théorème d'Emmy Nœther est admis, la démonstration sortant du niveau d'exigence de ce chapitre.

Énoncé du théorème d'Emmy Nœther

     « À toute invariance ${\big (}$ de l'espace-temps muni de lois physiques adéquates ${\big )}$ selon un groupe de symétries
   « À toute invariance $\color {transparent}{\big (}$ de l'espace-temps muni de lois physiques adéquates $\color {transparent}{\big )}$ selon un groupe de ${\big (}$ symétries continues et globales ${\big )}$
     « À toute invariance est nécessairement associée une grandeur physique conservée en toutes circonstances » ^[12].

     Remarques : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car il existe des cas où l'invariance de l'espace-temps muni d'une loi physique particulière
     Remarques : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car il existe des cas où l'invariance de l'espace-temps réalisée en absence d'objets sensibles à la loi
     Remarques : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car il existe des cas où l'invariance de l'espace-temps n'est plus valable si un de ces objets est présent :
     Remarques : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car $\succ \;$ en un lieu vide de matière on peut considérer que l'espace-temps est invariant par translation d'espace mais
     Remarques : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car $\succ \;$ s'il y a un corps céleste, la loi de gravitation de Newton ^[13] $\;{\big (}$ en restant hors relativité générale ${\big )}\;$ implique que
     Remarques : il faut préciser le contexte d'utilisation de ce théorème car $\color {transparent}{\succ }\;$ s'il y a un corps céleste, l'espace-temps n'est plus invariant par translation d'espace.
     Remarques : Les exemples de validité de ce théorème sont à trouver dans les leçons « Mécanique 1 (PCSI) » ^[14] et auraient pu l'être dans la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ^[15].

Notes et références

↑ Emmy Nœther (1882 – 1935) mathématicienne allemande, spécialiste d'algèbre abstraite et de physique théorique à qui on doit, dans le domaine algébrique, de nombreuses contributions fondamentales comme celles sur la théorie des algèbres et, dans le domaine physique, le théorème portant son nom, théorème démontré en $\;1915\;$ et publié en $\;1918\;$ dont l'importance est considérée comme aussi grande que celle de la théorie de la relativité ;
Albert Einstein (1879 - 1955) $\;{\big [}$ physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique ${\big ]}\;$ disait qu'elle était « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ».
↑ Ce théorème, notion de mathématiques applicable à la physique, n'étant pas du programme de physique de P.C.S.I. est traité dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » et est à considérer comme un complément.
↑ En effet on a « $\;\forall \;a\in {\mathcal {G}}$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a\bullet e_{\mathcal {G}}=a\\e_{\mathcal {G}}\bullet a=a\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a\bullet e_{\mathcal {G}})=f(a)\\f(e_{\mathcal {G}}\bullet a)=f(a)\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'une part avec « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a\bullet e_{\mathcal {G}})=f(a)\star f(e_{\mathcal {G}})\\f(e_{\mathcal {G}}\bullet a)=f(e_{\mathcal {G}})\star f(a)\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'autre part $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a)\star f(e_{\mathcal {G}})=f(a)\\f(e_{\mathcal {G}})\star f(a)=f(a)\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;f(a)\in {\mathcal {H}}\;$ » dont nous déduisons, par unicité de l'élément neutre de $\;{\mathcal {H}}$ , « $\;f(e_{\mathcal {G}})=e_{\mathcal {H}}\;$ ».
↑ En effet on a « $\;\forall \;a\in {\mathcal {G}}$ , $\;\exists !\,a^{-1}\,\in {\mathcal {G}}\;$ tel que $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a\bullet a^{-1}=e_{\mathcal {G}}\\a^{-1}\bullet a=e_{\mathcal {G}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a\bullet a^{-1})=f(e_{\mathcal {G}})\\f(a^{-1}\bullet a)=f(e_{\mathcal {G}})\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'une part avec « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a\bullet a^{-1})=f(a)\star f(a^{-1})\\f(a^{-1}\bullet a)=f(a^{-1})\star f(a)\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'autre part dont nous déduisons « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a)\star f(a^{-1})=f(e_{\mathcal {G}})\\f(a^{-1})\star f(a)=f(e_{\mathcal {G}})\end{array}}\right\rbrace \;$ » ou, avec $\;f(e_{\mathcal {G}})=e_{\mathcal {H}}$ , « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a)\star f(a^{-1})=e_{\mathcal {H}}\\f(a^{-1})\star f(a)=e_{\mathcal {H}}\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;f(a)\in {\mathcal {H}}\;$ » soit, par unicité du symétrique de tout élément de $\;{\mathcal {H}}$ , « $\;\left[f(a)\right]^{-1}=f(a^{-1})\;$ ».
↑ En effet on a « $\;\forall \;a\in {\mathcal {G}}$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a\bullet e_{\mathcal {G}}=a\\e_{\mathcal {G}}\bullet a=a\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a\bullet e_{\mathcal {G}})=f(a)\\f(e_{\mathcal {G}}\bullet a)=f(a)\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'une part avec « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a\bullet e_{\mathcal {G}})=f(a)\bullet f(e_{\mathcal {G}})\\f(e_{\mathcal {G}}\bullet a)=f(e_{\mathcal {G}})\bullet f(a)\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'autre part $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a)\bullet f(e_{\mathcal {G}})=f(a)\\f(e_{\mathcal {G}})\bullet f(a)=f(a)\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;f(a)\in {\mathcal {G}}\;$ » dont nous déduisons, par unicité de l'élément neutre de $\;{\mathcal {G}}$ , « $\;f(e_{\mathcal {G}})=e_{\mathcal {G}}\;$ ».
↑ En effet on a « $\;\forall \;a\in {\mathcal {G}}$ , $\;\exists !\,a^{-1}\,\in {\mathcal {G}}\;$ tel que $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a\bullet a^{-1}=e_{\mathcal {G}}\\a^{-1}\bullet a=e_{\mathcal {G}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a\bullet a^{-1})=f(e_{\mathcal {G}})\\f(a^{-1}\bullet a)=f(e_{\mathcal {G}})\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'une part avec « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a\bullet a^{-1})=f(a)\bullet f(a^{-1})\\f(a^{-1}\bullet a)=f(a^{-1})\bullet f(a)\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'autre part dont nous déduisons « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a)\bullet f(a^{-1})=f(e_{\mathcal {G}})\\f(a^{-1})\bullet f(a)=f(e_{\mathcal {G}})\end{array}}\right\rbrace \;$ » ou, avec $\;f(e_{\mathcal {G}})=e_{\mathcal {G}}$ , « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f(a)\bullet f(a^{-1})=e_{\mathcal {G}}\\f(a^{-1})\bullet f(a)=e_{\mathcal {G}}\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;f(a)\in {\mathcal {G}}\;$ » soit, par unicité du symétrique de tout élément de $\;{\mathcal {G}}$ , « $\;\left[f(a)\right]^{-1}=f(a^{-1})\;$ ».
↑ Pour une translation d'espace, il y a trois paramètres qui sont les composantes du vecteur définissant la translation d'espace,
   pour une translation de temps, il y a un paramètre qui est le décalage temporel définissant la translation de temps et
   pour la rotation d'espace, il y a trois paramètres qui sont les angles d'Euler définissant la rotation d'espace ;
   Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ L'angle $\;\psi ={\widehat {({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Ou}})}}={\widehat {({\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Ov}})}}\;$ correspondant à une rotation autour de l(axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ définit la précession,
l'angle $\;\theta ={\widehat {({\overrightarrow {Ov}}\,,\,{\overrightarrow {Ow}})}}={\widehat {({\overrightarrow {Oz}}\,,\,{\overrightarrow {Oz'}})}}\;$ correspondant à une rotation autour de l(axe $\;{\overrightarrow {Ou}}\;$ définit la nutation et
l'angle $\;\varphi ={\widehat {({\overrightarrow {Ou}}\,,\,{\overrightarrow {Ox'}})}}={\widehat {({\overrightarrow {Ow}}\,,\,{\overrightarrow {Oy'}})}}\;$ correspondant à une rotation autour de l(axe $\;{\overrightarrow {Oz'}}\;$ définit la rotation propre.
↑ En astronomie la ligne des nœuds $\;{\big (}$ ou ligne nodale ${\big )}\;$ est la droite d'intersection du plan d'une orbite avec un plan de référence ;
en description des angles d'Euler permettant de définir la rotation d'un repère d'espace $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox'}}\,,\,{\overrightarrow {Oy'}}\,,\,{\overrightarrow {Oz'}}\right\rbrace \;$ relativement à un repère de référence $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ la ligne des nœuds est la droite d'intersection des plans $\left(x'Oy'\right)\;$ et $\left(xOy\right)$ .
↑ Cela signifiant que l'ensemble est muni de la loi de composition de ces transformations particulières.
↑ Voir la notion d'automorphisme de groupe dans le paragraphe « automorphisme d'un groupe » plus haut dans ce chapitre.
↑ On rappelle que ce théorème est un complément du programme de physique de P.C.S.I. $\;\ldots$
↑ Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton..
↑ Dans le paragraphe « en complément : le principe (ou théorèmes) de l'inertie, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther » du chap. $8$ pour l'invariance de l'espace-temps par translation d'espace et la conservation de la quantité de mouvement.
Dans le paragraphe « en complément : la conservation de l'énergie mécanique, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther » du chap. $17$ pour l'invariance de l'espace-temps par translation de temps et la conservation de l'énergie mécanique.
↑ Plus précisément dans le chap. $5$ intitulé « Loi du moment cinétique : théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou à un axe fixes » où nous aurions pu illustrer l'utilisation du théorème de Nœther sur l'invariance de l'espace-temps par rotation d'espace autour d'un point ou d'un axe.