En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Relevés expérimentaux de l'évolution temporelle de grandeurs électriques dans l'exemple du « R L C série » soumis à un échelon de tension
Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension
Pour enregistrer la « réponse en du série soumis à un échelon de tension d'amplitude » à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant , il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, ce choix dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite ; enfin l'échelon de tension peut être créé par une A.S. [1] à amplitude variable que l'on choisira par exemple à , dans ce cas le zéro de l'A.S[1]. est reliée à la Terre[2] et il est nécessaire de positionner le condensateur comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses.
Si on automatise « la création et la suppression d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » [3] d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente , on obtient
sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant et
sur l'alternance de valeur basse une tension valant ;
pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la charge et la décharge du condensateur soient terminées c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite ;
enfin si on utilise un générateur de fonctions il est nécessaire de comptabiliser la résistance de sortie de ce dernier, laquelle vaut usuellement , ainsi que la résistance interne de la bobine, laquelle vaut usuellement , dans la résistance du série[4].
Ci-dessous les trois types de réponses en suivant la valeur de résistance du série soumis à un échelon de tension d'amplitude ; avec et on obtient, comme pulsation propre du série, [5]
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus à gauche, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine[6] on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[7] correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période [8] ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de [9] correspondant à peu près à pseudo-oscillations[10]on choisit comme sensibilité de base de temps [11], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus au centre, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine[13] on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[14] correspondant à un régime apériodique critiquerégime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations[15][16], on choisit comme sensibilité de base de temps [17], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-dessus à droite, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine négligeable en pratique[18] on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[19] correspondant à un régime apériodiquerégime sans pseudo-oscillations au-delà du régime apériodique critique[20][21], on choisit comme sensibilité de base de temps [22], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que c'est dans le cas du régime apériodique critique en rouge ci-contre que le régime forcé s'établit le plus rapidement.
Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la continuité de la tension aux bornes du condensateur du série soumis à un échelon de tension en , instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source[23].
Relevé expérimental de l'évolution temporelle de l'intensité du courant traversant le « R L C série » avec observation de sa continuité en t = 0
Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un série soumis à un échelon de tension
On rappelle que pour observer l'évolution temporelle d'une intensité instantanée de courant à l'oscilloscope on visualise la tension instantanée aux bornes d'un conducteur ohmique traversé par ce courant, ici nous regarderons la tension aux bornes du « conducteur ohmique de résistance » [24].
Pour enregistrer la « réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique additionnel du série soumis à un échelon de tension d'amplitude » à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant , il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, choix précisé par la suite[25] ;
enfin l'échelon de tension peut être
créé de façon unique par une A.S. [1] à amplitude variable que l'on choisira par exemple à , dans ce cas le zéro de l'A.S[1]. est reliée à la Terre[2] et il est nécessaire de positionner le conducteur ohmique comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses ou
automatisé par « création et suppression d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » symétrique d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente , permettant d'obtenir sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant et sur l'alternance de valeur basse une tension valant pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que l'intensité du courant traversant le série ne varie plus c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé, laquelle dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite.
Ci-dessous les trois types de réponses en suivant la valeur de résistance du série soumis à un échelon de tension d'amplitude ; avec et on obtient, comme pulsation propre du série, [5]
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus à gauche, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[7] correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période [26] ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de [9] correspondant à peu près à pseudo-oscillations[10]on choisit comme sensibilité de base de temps [11], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes du conducteur ohmique d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus au centre, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[14] correspondant à un régime apériodique critiquerégime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations[27][16], on choisit comme sensibilité de base de temps [17], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-dessus à droite, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine négligeable en pratique on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[19] correspondant à un régime apériodiquerégime sans pseudo-oscillations au-delà du régime apériodique critique[20],[21], sensibilité de base de temps choisie à [22], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que c'est dans le cas du régime apériodique critique en rouge ci-contre que le régime forcé nul s'établit le plus rapidement.
Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la continuité de l'intensité du courant traversant le série[28] soumis à un échelon de tension en , instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source[23].
Relevé expérimental de l'évolution temporelle de la tension aux bornes de la bobine, observation de sa discontinuité de 1ère espèce en t = 0
Nous cherchons à visualiser la tension aux bornes de la composante parfaite de la bobine réelle, mais ceci n'étant pas possible directement, deux possibilités s'offrent à nous :
la résistance de la bobine est petite relativement à la résistance additionnelle et nous pourrons assimiler la tension aux bornes de la bobine réelle à sa composante parfaite selon , ce sera le cas pour les régimes apériodiques critique ou non,
la résistance de la bobine n'est pas petite relativement à la résistance additionnelle ce sera le cas pour le régime pseudo-périodique avec alors que donnant et , nous visualiserons c'est-à-dire ce que l'on cherche avec une erreur systématique de [29] qu'il conviendrait théoriquement de « soustraire à » [30] pour obtenir ce que l'on souhaite.
Dans les exemples proposés nous supposons que d'où le schéma de circuit ci-dessous.
Schéma d'observation de la réponse en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tension
Pour enregistrer la « réponse en tension aux bornes de la bobine du série soumis à un échelon de tension d'amplitude » à partir du schéma représenté ci-contre en faisant apparaître l'instant , il faut lancer l'enregistrement légèrement avant la fermeture de ; il faut d'autre part choisir la sensibilité de base de temps pour obtenir la courbe entière sur l'écran, choix précisé par la suite[25] ;
enfin l'échelon de tension peut être
créé de façon unique par une A.S. [1] à amplitude variable que l'on choisira par exemple à , dans ce cas le zéro de l'A.S[1]. est reliée à la Terre[2] et il est nécessaire de positionner la bobine comme sur la figure ci-contre pour des raisons d'unicité de masses ou
automatisé par « création et suppression d'un échelon de tension d'amplitude » à l'aide d'un G.B.F. délivrant une tension « créneau » symétrique d'amplitude à laquelle on ajoute une composante permanente , permettant d'obtenir sur l'alternance de valeur haute du créneau, une tension délivrée par le G.B.F. valant et sur l'alternance de valeur basse une tension valant [31]pour que la création et la suppression soient indépendantes il est nécessaire que la dérivée temporelle de l'intensité du courant traversant le série ne varie plus c'est-à-dire qu'il faut adapter la durée d'une alternance conformément à la durée de l'établissement du régime forcé en , laquelle dépendant des valeurs des paramètres du série sera précisé par la suite.
Ci-dessous les trois types de réponses en suivant la valeur de résistance du série soumis à un échelon de tension d'amplitude ; avec et on obtient, comme pulsation propre du série, [5]
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tensionDiagramme horaire d'une réponse apériodique critique en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus à gauche, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[7] correspondant à un régime pseudo-périodique de pseudo-période [32] ; dans la pratique le régime forcé est considéré comme établi après une durée de [9] correspondant à peu près à pseudo-oscillations[10]on choisit comme sensibilité de base de temps [11], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-dessus au centre, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[14] correspondant à un régime apériodique critiquerégime à partir duquel on n'observe plus de pseudo-oscillations de l'intensité du courant [33][16], on choisit comme sensibilité de base de temps [17], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Superposition des diagrammes horaires des réponses pseudo-périodique, apériodique critique et apériodique en tension aux bornes de la bobine d'un série soumis à un échelon de tension
Ci-dessus à droite, avec c'est-à-dire de résistance additionnelle par boîtes A.O.I.P. s'ajoutant aux de résistance de bobine négligeable en pratique on obtient un cœfficient d'amortissement [5],[19] correspondant à un régime apériodiquerégime sans pseudo-oscillations de l'intensité du courant au-delà du régime apériodique critique de cette dernière[20],[34], on choisit comme sensibilité de base de temps [35], l'oscillogramme ayant été tronqué à droite[12].
Ci-contre la superposition des trois réponses précédentes sur un même diagramme horaire, ce qui permet de constater que, contrairement aux réponses en ou en pour lesquelles le régime forcé est établi le plus rapidement dans le cas apériodique critique, c'est dans le cas du régime apériodique en bleu ci-contre que le régime forcé nul de s'établit le plus rapidement[36].
Quel que soit le régime pseudo-périodique, apériodique critique ou apériodique, on observe la discontinuité de 1ère espèce de la partie inductive de la tension aux bornes de la bobine du série soumis à un échelon de tension en , instant de discontinuité de 1ère espèce de l'échelon source.
Étude théorique du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réponse en tension aux bornes du condensateur
L'équation différentielle en , tension aux bornes du condensateur, du circuit de charge ci-contre s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que comme inconnue, le circuit série étant traversé par un même courant d'intensité :
pour tout , où il convient d'éliminer au profit de selon [37] d'où soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en suivante
«»[38] ; on remarque que l'excitation est discontinue de 1ère espèce en .
Discontinuité de 1ère espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension uC(t) aux bornes du condensateur en t = 0
Nous avons admis dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »[39] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre « la dérivée temporelle 2nde de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en », et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité[40] à chaque prise de primitive « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale ainsi que la solution générale elle-même sont discontinues de 0ème espèce c'est-à-dire continues en » ;
en conclusion on induit que et sont continues en [41] et on justifie ces inductions par la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite et celle de la tension aux bornes d'un condensateur parfait[42] dans un circuit « réel »[43].
Établissement de la réponse en tension uC(t) aux bornes du condensateur d'un « R L C série » soumis à un échelon de tension, réduction canonique du « R L C série » (pulsation propre, cœfficient d'amortissement ou facteur de qualité), régime libre, réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
La solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en [51] étant la solution générale de l'équation différentielle homogène[52]
Préliminaire : résolution d'une équation algébrique du 2ème degré avec le monôme de degré un faisant apparaître un facteur soit
«» ;
Préliminaire : sans utiliser cette particularité le discriminant s'écrit , la factorisation par permet d'introduire la notion de « discriminant réduit», le discriminant étant alors quatre fois ce dernier et par l'étude « du signe du discriminant réduit » [55], on obtient :
Préliminaire : « pour , il y a deux racines réelles distinctes »[56][57] ;
Préliminaire : « pour , il y a une racine réelle double »[56],[58] ;
Préliminaire : « pour , il n'y a aucune racine réelle mais, quand on résout dans , deux racines complexes conjuguées »[56],[59].
Utilisation du préliminaire : le discriminant réduit de l'équation caractéristique «»[60] vaut ou encore
«».
Discussion suivant la valeur du cœfficient d'amortissement σ
« étant » les racines de l'équation caractéristique sont réelles et distinctes égales à «»[61], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est apériodique et s'écrit
«[62] et étant deux constantes réelles arbitraires «».
Remarques : La condition de positivité du discriminant réduit de l'équation caractéristique se réécrit en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique
« étant » l'équation caractéristique a une racine réelle double égale à «»[65], la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est apériodique critique et s'écrit
«[66] et étant deux constantes réelles arbitraires «».
Remarques : La valeur du cœfficient d'amortissement critique se transforme, en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique
en valeur critique du facteur de qualité soit «»[63] et
en valeur critique de la constante de temps soit «»[64].
« étant » l'équation caractéristique n'a aucune racine réelle mais deux racines complexes conjuguées «»[67] ou, «» en introduisant la notion de « pseudo-pulsation»[68],[69],
« étant » la solution générale libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre à laquelle obéit est pseudo-périodique et s'écrit
«»[70], et étant deux constantes réelles arbitraires.
Remarques : La condition de négativité du discriminant réduit de l'équation caractéristique se réécrit en utilisant la 2ème ou 3ème réduction canonique
L'énergie stockée dans le condensateur sous forme électrostatique ainsi que celle stockée dans la bobine sous forme électromagnétique dans le circuit résistif série soumis à un échelon de tension étant continues[42], on en déduit la continuité de la tension aux bornes du condensateur ainsi que celle de l'intensité du courant traversant la bobine soit, avec leur valeur respective à l'instant nulle, et d'où
Faisant dans l'expression de on trouve «» puis Faisant dans l'express. formant pour y faire on trouve «» ou encore, avec , la C.I[76]. «» ;
les deux équations aux deux variables et ne sont pas linéaires mais, en considérant les deux variables et on obtient un « système de deux équations linéaires algébriques aux deux inconnues et »[79] selon «», on en déduit «» d'une part et «» d'autre part ;
on détermine alors par élimination de selon «» ou soit, en conservant la valeur positive de [80],
«» et
on détermine alors par «» ou encore, en choisissant la valeur de dans l'intervalle [81] telle que soit, en inversant et en tenant compte de son intervalle de définition[82]
«» ou «» avec «» ;
finalement la réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit
Remarque préliminaire : En absence de conducteur ohmique, le circuit n'est pas résistif[84], on ne peut donc pas invoquer la continuité de l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrostatique ni celle de l'énergie stockée par la bobine sous forme électromagnétique car l'établissement de celles-ci a nécessité d'utiliser le caractère résistif du circuit[42],[85] ;
Remarque préliminaire : toutefois on a induit dans le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce de l'excitation et conséquence induite sur la tension uC(t) aux bornes du condensateur en t = 0 » plus haut dans ce chapitre, que la discontinuité de 1ère espèce de l'excitation de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2nd ordre en avec ou sans terme du 1er ordre entraînait la « continuité de et de sa dérivée temporelle » que le circuit soit résistif ou non soit, compte-tenu de la nullité de et de à l'instant , les C.I[76]. suivantes encore valables dans un circuit série soumis à un échelon de tension : «» et «».
Faisant dans l'expression de [86], on trouve «» soit «» puis Faisant dans l'express. formant pour en prendre la valeur initiale on trouve «» soit «» ;
finalement la réponse périodique en tension aux bornes du condensateur s'écrit
Diagramme horaire d'une réponse pseudo-périodique en tension aux bornes du condensateur d'un série soumis à un échelon de tension avec tracé de ses enveloppes
La courbe est pseudo-périodique de pseudo-période ou, en introduisant la période propre , une « pseudo-période toujours à la période propre »[88] et ceci d'autant plus que le cœfficient d'amortissement se rapproche de sa valeur critique ;
ci-contre, ont également été tracées les « enveloppes » [89] supérieure et inférieure dont « les contacts avec le graphe de correspondent respectivement à et » ;
on en déduit les propriétés suivantes :
deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure ou inférieure sont de temps séparés de ;
deux points de contact successifs de la courbe avec l'enveloppe supérieure et inférieure sont de temps séparés de ;
un point de contact de la courbe avec l'enveloppe supérieure ou inférieure et le 1er point coupant la droite sont de temps séparés de ;
variation exponentielle des enveloppes supérieure et inférieure avec une « constante de temps égale à »[90]justifiant que l'on estime le régime forcé atteint à moins de près au bout de , une conséquence étant que les tangentes aux enveloppes à recoupe la droite à la date ;
toutes ces propriétés sont largement suffisantes pour assurer un tracé correct du diagramme horaire.
Remarque : les points de contact de la courbe avec les enveloppes correspondent aux instants tels que et non aux instants pour lesquelles la courbe prend des valeurs « extrémales » [91] ; il n'est pas a priori nécessaire de déterminer les instants pour tracer la courbe mais s'il est demandé de les évaluer pour d'autres raisons on procède comme suit :
Remarque : « sont définis par » avec la dérivée temporelle 1ère de s'explicitant selon «» d'où, après simplification évidente, l'équation «» que l'on résout en évaluant la tangente de l'angle «», les racines étant définies à près selon «» et enfin, compte-tenu de la valeur de précédemment déterminée, soit finalement «»[92], établissant que les valeurs extrémales sont régulièrement réparties avec une périodicité de .
Étude théorique du « R L C série » soumis à un échelon de tension, réponse en intensité du courant traversant le D.P.L.
Schéma d'un série soumis à un échelon de tension d'amplitude avec sens d'utilisation de l'équation de maille
Rechercher une réponse en intensité du courant traversant le série soumis à un échelon de tension peut se faire en cherchant la réponse en tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance car la loi d'Ohm liant les deux grandeurs en convention récepteur est une relation de proportionnalité.
Équation différentielle en intensité du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension
L'équation différentielle en , intensité du courant du circuit série ci-contre, s'obtient par équation de maille dans laquelle ne doit rester que :
pour tout , où il convient d'éliminer au profit de en utilisant [37] d'où, en dérivant temporellement[93], [94] soit finalement, en normalisant et ordonnant, l'équation différentielle en suivante
«»[95] ; on remarque que l'excitation est discontinue de 2ème espèce en .
Discontinuité de 2ème espèce de l'excitation et conséquence induite sur l'intensité i(t) du courant traversant le « R L C série » en t = 0
Nous avons admis dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »[39] que le numéro d'espèce de discontinuité de l'excitation se reporte sur le plus haut ordre de dérivée du 1er membre « la dérivée temporelle 2nde de la solution générale est discontinue de 2ème espèce en », et que le numéro d'espèce de discontinuité d'une unité[40] à chaque prise de primitive[93] « la dérivée temporelle 1ère de la solution générale est discontinue de 1ère espèce en » et « la solution générale discontinue de 0ème espèce c'est-à-dire continue en » ;
en conclusion on induit que est continue et discontinue de 1ère espèce en , on justifie la 1ère induction par la propriété de continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite[96] dans un circuit « réel »[43] et la 2ème en traçant le circuit à dans lequel on remplace la bobine et le condensateur par leur équivalent, à savoir, dans la mesure où la bobine n'est initialement[97] traversée par aucun courant et le condensateur est initialement[97] déchargé :
équivalent de la bobine à un interrupteur ouvert on utilise de nouveau la continuité de l'intensité du courant traversant une bobine parfaite[96] dans un circuit « réel »[43] et
équivalent du condensateur à un court-circuit on utilise ici la propriété de continuité de la tension aux bornes d'un condensateur parfait[98] dans un circuit « réel »[43].
Établissement de la réponse en intensité i(t) du courant traversant le « R L C série » soumis à un échelon de tension, réduction canonique, régime libre, absence de réponse forcée (ou permanente), réponse transitoire
Les réductions canoniques ne dépendant que du 1er membre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre et celui-ci étant le même pour une réponse en ou en d'un série, on a les mêmes réductions canoniques qu'au paragraphe « réductions canoniques {de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre en uC(t)} » plus haut dans ce chapitre ;
on utilisera la 1ère pour la suite avec introduction
![{\displaystyle =A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00938ab2c0e4f3a0eabaec36d41bfb0393782690)
![{\displaystyle =E+A_{+}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]+A_{-}\,\exp \!\left[-\omega _{0}\left(\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right)\,t\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3258975bf5f13a048e7d9d76212f1f243d1768fb)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{C}(t)={\dfrac {1}{2}}\,C\,\left[u_{C}(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eedd5f6f4c12a444ed8da6dc658266aa82e903e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}_{L}(t)={\dfrac {1}{2}}\,L\,\left[i(t)\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/399f46c96a36603e8f7e656b80a1fc0d2729ff9e)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1-{\dfrac {\sigma +{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{+}\;t\right)+{\dfrac {\sigma -{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}{2\;{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}}}\,\exp \!\left(s_{-}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c8a4cfe0c705537a75c51825dbfcdd5c950320)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\,\left[1-\left(1+\omega _{0}\;t\right)\,\exp \!\left(-\omega _{0}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef83f8bcafdfe3ef1e8ec071063c8dfe91ee107d)
![{\displaystyle \;\left[A\;\cos \!\left(\varphi \right)\right]^{2}+\left[A\;\sin \!\left(\varphi \right)\right]^{2}=A^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3aeac2f3ebd23a043875594f2346fad04776d8)
![{\displaystyle \;\left]{\dfrac {\pi }{2}}\,;\,+\pi \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b54733037e6df68142af743cd71c516381487d)
![{\displaystyle \;\varphi =\pi +\arctan \!\left[-{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3204ada0f982d73a733393ec0eb61fb1c4e39cef)
![{\displaystyle \;\alpha =\arctan \!\left[{\dfrac {\sigma }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a450cde83ef746d238a65edf9b52f1ac6ee13f81)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1+{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha +\pi \right)\right]=E\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78eba6fe2d714d61765981beda39a0536ae24e67)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1-\cos \!\left(\omega _{0}\;t\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04676a2986eafaa2aab6c0911d61979c1117890d)
![{\displaystyle \;u_{C}(t)=E\left[1-{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273e38149d631958ab1a3c3e60aa96ac7fd2929f)
![{\displaystyle E\left[{\dfrac {\sigma \;\omega _{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\cos \!\left(\omega \;t-\alpha \right)+{\dfrac {\omega }{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\,\exp \!\left(-\sigma \;\omega _{0}\;t\right)\,\sin \!\left(\omega \;t-\alpha \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1220900d243c571105ddb7bd1a85230fb8a18936)
