Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme

**Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme**
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)

Chapitre n^o 10
Chap. préc. :	Loi de la quantité de mouvement : Principe fondamental de la dynamique et théorème de la résultante cinétique
Chap. suiv. :	Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Définition et condition de réalisation de la chute libre d'un système fermé de points matériels dans un champ de pesanteur uniforme

Définition

Un système fermé de points matériels au voisinage de la Terre est « en chute libre » si la seule force extérieure s'appliquant sur lui est « son poids $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}\;$ » $\;{\big (}{\vec {g}}\;$ étant le champ de pesanteur terrestre au lieu considéré ${\big )}\;$ ^[1].

Conditions de réalisation

Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre

Préliminaire : On rappelle que la verticale en un lieu de la surface terrestre ne passe pas rigoureusement par le centre $\;O_{({\text{♁}})}\;$ de la Terre sauf aux pôles et à l'équateur ^[2], le poids dont la direction définit la verticale en un lieu ^[3] ne s'identifiant pas rigoureusement à la force de gravitation terrestre de direction passant par le centre $\;O_{({\text{♁}})}\;$ de la Terre ;

     Préliminaire : le poids « $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}\;$ » est en fait la somme de
     Préliminaire : $\;\succ \;$ de la force de gravitation terrestre « $\;-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}\;m_{\text{syst}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ » dans laquelle $\;r\;$ est la distance séparant le C.D.I. ^[4] $\;G\;$ du système fermé de points matériels du centre $\;O_{({\text{♁}})}\;$ de la Terre et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le 1^er vecteur de base sphérique liée à $\;G$ , de pôle $\;O_{({\text{♁}})}\;$ et d'axe « l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre » et
     Préliminaire : $\;\succ \;$ de la « pseudo force d'inertie d'entraînement » de rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique définie au lieu considéré « $\;m_{\text{syst}}\;\Omega _{({\text{♁}})}^{2}\;{\overrightarrow {C_{G}G}}=$ $m_{\text{syst}}\;\Omega _{({\text{♁}})}^{2}\;\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\;$ » ^[5] dans laquelle « $\;\Omega _{({\text{♁}})}\;$ est la vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de son axe égale à $\;\Omega _{({\text{♁}})}={\dfrac {2\;\pi }{T_{({\text{♁}}\,/\,{\mathcal {R}}_{\text{géoc}})}}}={\dfrac {2\;\pi }{24\times 3600}}$ $\simeq 7,27\;10^{-5}\;rad\cdot s^{-1}\;$ », « $\;\rho =r\;\cos(\lambda )\;$ la distance séparant le point $\;G\;$ de l'axe de rotation pôle Sud – pôle Nord » avec « $\;\lambda \;$ la latitude du lieu », « $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ le 1^er vecteur de base cylindro-polaire liée à $\;G\;$ d'axe pôle Sud – pôle Nord » se décomposant, dans la base sphérique de pôle $\;O_{({\text{♁}})}\;$ lié à $\;G\;$ selon « $\;{\vec {u}}_{\rho }=$ ${\vec {u}}_{r}\;\cos(\lambda )+{\vec {u}}_{\theta }\;\sin(\lambda )\;$ » avec $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le 2^ème vecteur de base sphérique liée à $\;G$ , de pôle $\;O_{({\text{♁}})}\;$ et d'axe « l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre » ;
     Préliminaire : on en déduit la « composante de $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ égale à $\;m_{\text{syst}}\;\Omega _{({\text{♁}})}^{2}\;r\;\cos(\lambda )\;\sin(\lambda )\;$ », composante qui est à l'origine de l'écart de la direction de la verticale par rapport à la direction de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ c.-à-d. de la direction passant par le centre $\;O_{({\text{♁}})}\;$ de la Terre, écart non nul sauf aux pôles et à l'équateur pour lesquels $\;\cos(\lambda )\;\sin(\lambda )=0$ ;

     Préliminaire : toutefois nous ne tiendrons pas compte de la différence entre le poids et la force de gravitation terrestre car
     Préliminaire : toutefois le terme correctif sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ à savoir « $\;m_{\text{syst}}\;\Omega _{({\text{♁}})}^{2}\;r\;\cos ^{2}(\lambda )\;$ » ne représente, à Paris et au niveau du sol, que $\;0,3\,\%\;$ en norme et
     Préliminaire : toutefois l'écart de $\;5\,{\text{'}}\;$ d'angle au même endroit entre la verticale et la direction passant par le centre $\;O_{({\text{♁}})}\;$ de la Terre ne représente que $\;0,15\,\%\;$ en direction ^[6],
     Préliminaire : aussi considérons nous, dans ce paragraphe, que

«

\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}\simeq -{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}\;m_{\text{syst}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;

».

Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : du préliminaire précédent on déduit la variation du champ de pesanteur terrestre $\;{\vec {g}}(M)\;$ avec la position $\;M\;$ considérée au voisinage de la Terre soit

«

\;{\vec {g}}(M)\simeq -{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;

»

dans laquelle « $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant le 1^er vecteur de base sphérique liée à $\;M$ , de pôle $\;O_{({\text{♁}})}\;$ et d'axe “ l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre ” », est aussi, localement, « le vecteur unitaire vertical ascendant noté $\;{\vec {u}}_{z}\;$ en la position $\;M\;$ considérée » et « $\;r=\Vert {\overrightarrow {O_{({\text{♁}})}M}}\Vert \;$ la 1^ère coordonnée sphérique de $\;M$ , encore égale à $\;r=R_{({\text{♁}})}+z\;$ » dans laquelle $\;R_{({\text{♁}})}\;$ est le rayon de la Terre et $\;z\ll R_{({\text{♁}})}\;$ l'altitude locale de $\;M$ , les deux autres coordonnées sphériques de $\;M\;$ étant « $\;\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\lambda \;$ avec $\;\lambda \;$ sa latitude » et « $\;\varphi =\mu \;$ avec $\;\mu \;$ sa longitude » ;

Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : « pour que $\;{\vec {g}}(M)\;$ soit uniforme à $\;1\,\%\;$ près », il faut donc que sa norme $\;{\big (}$ dépendant de l'altitude ${\big )}\;$ ainsi que sa direction $\;{\big (}$ dépendant de la latitude et de la longitude ^[7] ${\big )}\;$ varient de moins de $\;1\,\%$ , ce qui donne les conditions suivantes :

« quand $\;M\;$ est déplacé verticalement », « $\;g(z)=\Vert {\vec {g}}(M)\Vert \simeq {\Bigg \Vert }-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]^{\!2}}}\;{\vec {u}}_{r}{\Bigg \Vert }={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+z\right]^{\!2}}}\;$ reste constant à $\;1\,\%\;$ près » si « le déplacement vertical $\;z\;$ est inférieur à $\;h\;$ » tel que « $\;{\dfrac {g(0)-g(h)}{g(0)}}$ $=10^{-2}\;$ » ou, avec « $\;g(0)\simeq {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}\right]^{\!2}}}\Rightarrow {\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}\simeq g(0)\;R_{({\text{♁}})}^{\,2}\;$ » permettant de réécrire « $\;g(h)\simeq$ ${\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{({\text{♁}})}}{\left[R_{({\text{♁}})}+h\right]^{\!2}}}\simeq g(0)\left[{\dfrac {R_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}+h}}\right]^{2}=g(0)\left[1+{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\right]^{-2}\;$ » ^[8] soit encore, en considérant « $\;{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\ll 1\;$ comme un infiniment petit d'ordre un » ^[9] et en faisant un D.L. ^[10] d'ordre un de $\;{\dfrac {g(h)}{g(0)}}=\left[1+{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\right]^{-2}\simeq 1-2\;{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\;$ ^[11] d'où, comme « $\;{\dfrac {g(0)-g(h)}{g(0)}}=$ $1-{\dfrac {g(h)}{g(0)}}$ $\simeq 2\;{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\;$ », on en déduit le déplacement vertical maximal toléré $\;h\;$ pour que la variation de la norme du champ de pesanteur terrestre soit inférieure à $\;1\;\%$ , soit $\;2\;{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}=10^{-2}\;$ ou « $\;h=5\;10^{-3}\;R_{({\text{♁}})}\simeq 30\;km\;$ » ^[12] ;
« quand $\;M\;$ est déplacé horizontalement », « la direction de $\;{\vec {g}}(M)\;$ reste la même à $\;1\,\%\;$ près » si « le point $\;M\;$ décrit moins de $\;1\,\%\;$ de grand cercle de circonférence $\;2\;\pi \;R_{({\text{♁}})}\simeq 40000\;km\;$ » c.-à-d. si « le déplacement horizontal ^[13] est $\;\lesssim l_{\text{horiz}}=10^{-2}\;2\;\pi \;R_{({\text{♁}})}\;$ » soit « $\;l_{\text{horiz}}\simeq 10^{-2}\times 40000\;km\simeq 400\;km\;$ » ;

Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : en conclusion le champ de pesanteur terrestre pourra être considéré « uniforme » à $\;1\,\%\;$ près « dans un parallélépipède rectangle haut de $\;30\;km\;$ et dont la base est un carré de $\;400\;km\;$ de côté ».

Condition de réalisation du caractère libre de la chute

Pour qu'un objet puisse être considéré « en chute libre » il faut que « chaque force $\;{\big (}$ autres que le poids de l'objet ${\big )}\;$ réellement appliquée soit de norme négligeable devant celle du poids de l'objet » c.-à-d., en travaillant à $\;1\;\%\;$ près, que « leur norme soit $\;\lesssim 10^{-2}\;m_{\text{syst}}\;g\;$ » ^[14], en particulier, si l'objet se déplace dans l'air, les deux forces de contact de l'objet avec l'air doivent pouvoir être négligées à savoir :

« la poussée d'Archimède » ^[15]^, ^[16], « considérée comme négligeable si la masse volumique de l'air $\;\rho _{\text{air}}\;$ est $\;\lesssim 10^{-2}\;\rho _{\text{moy. syst}}\;$ » où $\;\rho _{\text{moy. syst}}\;$ est la masse volumique moyenne de l'objet ^[17] soit, avec « $\;\rho _{\text{air}}\simeq 1,2\;kg\cdot m^{-3}\;$ ^[18] dans des conditions usuelles de température et de pression », « la nécessité d'utiliser un objet de masse volumique moyenne $\;\rho _{\text{moy. syst}}\gtrsim 120\;kg\cdot m^{-3}\;$ ^[19] ou de densité moyenne $\;d_{\text{moy. syst}}\gtrsim 0,120\;$ » ^[20]^, ^[21] et
« la résistance de l'air » ^[22], dépendant de la forme plus ou moins aérodynamique de l'objet $\;{\big (}$ ceci n'étant pas réellement un obstacle si on sélectionne une forme aérodynamique « pointue en amont et convexe en aval » ou même un peu moins aérodynamique comme une « boule » ${\big )}\;$ et
« la résistance de l'air », dépendant de la vitesse de ce dernier, le caractère négligeable de la résistance de l'air dépendant surtout de la limitation de la vitesse, on pourra être amené à envisager uniquement un début de chute sans vitesse initiale pour pouvoir considérer la chute comme « libre » mais, même avec cette restriction, cela constituera toujours une mauvaise approximation $\;\ldots$

Remarque : La seule façon d'obtenir une bonne approximation est de réaliser une chute dans le vide, par exemple en utilisant un tube à vide de Newton ^[23].

Application du théorème du mouvement du C.D.I. dans le référentiel terrestre galiléen

Conditions de « lancement » du système fermé (indéformable) de points matériels et choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre supposé galiléen

Le système fermé de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ ^[24], de C.D.I. ^[4] $\;G$ , est lancé « à un instant choisi comme origine des temps », « d'un endroit fixe du référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$ $\;{\big [}$ le C.D.I. ^[4] de $\;({\mathcal {S}})\;$ étant en la position fixe de $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ notée $\;G_{0}{\big ]}\;$ avec un vecteur vitesse initiale du C.D.I. ^[4] de $\;({\mathcal {S}})\;$ égal à $\;{\vec {V}}_{0}\;$ ^[25] ».

Choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre dans le cas où le vecteur vitesse initial de l'objet en chute libre n'est pas vertical

Choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre : on choisit l'origine $\;O\;$ du repère confondu avec $\;G_{0}$ , l'axe vertical $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ étant choisi ascendant, $\;xOy\;$ est le plan horizontal passant par $\;G_{0}\;$ et les axes horizontaux $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ y sont choisis de façon que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ soit orthogonal direct ^[26], d'une part et d'autre part selon la règle suivante :

« si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ n'est pas vertical », l'axe horizontal $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ est choisi dans le plan vertical de lancement initial $\;{\big (}$ c.-à-d. le plan vertical passant par $\;G_{0}\;$ et contenant $\;{\vec {V}}_{0}{\big )}\;$ tel que « $\;V_{0,\,x}\;$ soit $\;>0\;$ » et on notera « $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$ », « les angles du plan $\;xOz\;$ étant orientés par $\;-{\vec {u}}_{y}\;$ » ^[27], angle de valeur absolue aigüe $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre ${\big )}$ ;
« si $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est vertical », les axes horizontaux $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ sont choisis quelconques ^[28].

Équations différentielles (scalaires) du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

Le référentiel terrestre étant supposé galiléen, l'application du théorème du mouvement du C.D.I. ^[4] nous conduit à « $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G}\;$ » soit finalement, la masse inerte étant identifiée à la masse grave ^[29] d'après le principe d'équivalence ^[30], « $\;{\vec {a}}_{G}={\vec {g}}\;$ » dont nous pouvons déduire que le mouvement du C.D.I. ^[4] du système $\;({\mathcal {S}})\;$ lors de sa chute libre est un mouvement à vecteur accélération constant ^[31] ;

compte-tenu de « $\;{\vec {a}}_{G}={\dfrac {d{\vec {V}}_{G}}{dt}}(t)\;$ » d'une part et « $\;{\vec {V}}_{G}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)\;$ » d'autre part, nous pouvons

trouver les équations vectorielles horaires de vitesse et de position de $\;G\;$ par deux intégrations successives puis projeter ces équations vectorielles horaires sur les trois axes pour en déduire les trois équations scalaires horaires de vitesse ainsi que les trois de position de $\;G\;$ ^[32] ou
projeter cette équation différentielle vectorielle en $\;{\overrightarrow {OG}}(t)\;$ sur les trois axes pour en déduire les trois équations différentielles scalaires en $\;x_{G}(t)$ , $\;y_{G}(t)\;$ et $\;z_{G}(t)\;$ puis, par deux intégrations successives chacune, déterminer les trois équations scalaires horaires de vitesse ainsi que les trois de position de $\;G\;$ ^[33] ;

projetons l'équation différentielle vectorielle « $\;{\vec {a}}_{G}={\vec {g}}\;$ » sur les trois axes pour obtenir les trois équations différentielles scalaires du mouvement de $\;G\;$ soit « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x,\,G}=0\\a_{y,\,G}=0\\a_{z,\,G}=-g\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[34].

Cas particulier de mouvement à vecteur accélération constant, lois horaires de vitesse et de position du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

Conséquence de l'expression de l'équation différentielle vectorielle du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

Le mouvement du C.D.I. ^[4] $\;G\;$ du système fermé de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ étant un cas particulier de mouvement à vecteur accélération constant, nous pouvons dès à présent affirmer la nature plane $\;{\big (}$ ou rectiligne ${\big )}\;$ du mouvement de $\;G$ , la « trajectoire de ce dernier, dans le cas d'un mouvement plan, étant une parabole » ^[35].

Lois horaires de vitesse du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

Intégrant les équations différentielles « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {V}}_{x,\,G}=0\\{\dot {V}}_{y,\,G}=0\\{\dot {V}}_{z,\,G}=-g\end{array}}\right\rbrace \;$ » par rapport à $\;t$ , on trouve « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,G}=cste_{x}\\V_{y,\,G}=cste_{y}\\V_{z,\,G}=-g\;t+cste_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ », les constantes se déterminant à l'aide de la « C.I. ^[36] $\;{\vec {V}}_{G}(0)={\vec {V}}_{0}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,G}(0)\\V_{y,\,G}(0)\\V_{z,\,G}(0)\end{array}}\right.$ $\left.{\begin{array}{l}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\=0\\=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ », d'où les lois horaires de vitesse de $\;G$

«

\;{\vec {V}}_{G}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,G}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\V_{y,\,G}(t)=0\\V_{z,\,G}(t)=-g\;t+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;

».

Lois horaires de position du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

Intégrant « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dot {x}}_{G}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\{\dot {y}}_{G}=0\\{\dot {z}}_{G}=-g\;t+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ » par rapport à $\;t\;$ $\Rightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t+{cste'}_{x}\\y_{G}={cste'}_{y}\\z_{G}=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t+{cste'}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ », les constantes se déterminant à l'aide de la « C.I. ^[36] $\;{\overrightarrow {OG}}(0)={\vec {0}}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(0)\\y_{G}(0)\\z_{G}(0)\end{array}}\right.$ $\left.{\begin{array}{l}=0\\=0\\=0\end{array}}\right\rbrace \;$ », d'où les lois horaires de position de $\;G$

«

\;{\overrightarrow {OG}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\\y_{G}(t)=0\\z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;

»,
ces dernières constituant aussi les équations paramétriques de la trajectoire de

\;G

.

Trajectoire du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels et quelques propriétés de la trajectoire

Cas de lancement vertical

Correspondant à «

\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=\alpha _{0}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}\;

».

Les équations scalaires horaires de position du C.D.I. ^[4] $\;G\;$ du système $\;({\mathcal {S}})\;$ sont donc « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(t)=0\\y_{G}(t)=0\\z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}\pm V_{0}\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ », lesquelles représentant aussi les équations paramétriques scalaires de la trajectoire de $\;G$ , nous obtenons aisément les deux équations scalaires cartésiennes de la trajectoire de $\;G\;$ par élimination évidente du paramètre $\;t$ , ce qui donne « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}=0\\y_{G}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ » c.-à-d. l'« équation de la droite $\;(Oz)\;$ » correspondant à

une « trajectoire suivie par

\;G

verticale passant par

\;O\;

» ;

« dans le cas d'un lancement vers le haut c.-à-d. $\;\alpha _{0}=+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ », l'équation horaire de position de $\;G\;$ sur sa trajectoire étant « $\;z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;t\;$ » et celle de vitesse « $\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t+V_{0}\;$ » on observe

une 1^ère phase de mouvement retardé vers le haut

\;{\bigg [}

l'accélération

\;a_{z,\,G}=-g\;

est

\;<0\;

et la vitesse

\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t+V_{0}\searrow \;

en restant

\;>0\;

pour tout

\;t<{\dfrac {V_{0}}{g}}=t_{S}{\bigg ]}\;

puis

une 2^ème phase de mouvement accéléré vers le bas

\;{\bigg [}

l'accélération

\;a_{z,\,G}=-g\;

est

\;<0\;

et la vitesse

\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t+V_{0}\;

devenue

\;<0\;

pour tout

\;t>{\dfrac {V_{0}}{g}}=t_{S}\;

est

\;\nearrow \;

en valeur absolue

{\bigg ]}

;

« dans le cas d'un lancement vers le bas c.-à-d. $\;\alpha _{0}=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$ », l'équation horaire de position de $\;G\;$ sur sa trajectoire étant « $\;z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}-V_{0}\;t\;$ » et celle de vitesse « $\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t-V_{0}\;$ » on n'observe qu'une seule phase de mouvement accéléré vers le bas $\;{\bigg [}$ l'accélération $\;a_{z,\,G}=-g\;$ est $\;<0\;$ et la vitesse $\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t-V_{0}\;$ est aussi $\;<0\;$ pour tout $\;t\geqslant 0\;$ en étant $\;\nearrow \;$ en valeur absolue ${\bigg ]}$ .

Cas particulier de chute libre sans vitesse initiale : « la trajectoire de $\;G\;$ est verticale passant par $\;O\;$ », les équations horaires de position et de vitesse de $\;G\;$ sur sa trajectoire étant « $\;z_{G}(t)=$ $-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}\;$ » et « $\;V_{z,\,G}(t)=-g\;t\;$ », on n'observe qu'une seule phase de mouvement accéléré vers le bas $\;\ldots$

Cas de lancement oblique

Correspondant à «

\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=\alpha _{0}\neq \pm {\dfrac {\pi }{2}}\;

».

Les équations scalaires horaires de position du C.D.I. ^[4] $\;G\;$ du système $\;({\mathcal {S}})\;$ sont donc « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\\y_{G}(t)=0\\z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ », lesquelles représentant aussi les équations paramétriques scalaires de la trajectoire de $\;G$ , nous obtenons aisément que

la « trajectoire de

\;G\;

est plane ^[37], dans le plan

\;{\big (}

vertical

{\big )}\;

de lancement

\;\left(O\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;

d'équation

\;y=0\;

» ;

le mouvement de $\;G\;$ sur sa trajectoire résulte alors de la « composition de deux mouvements rectilignes »

« celui de $\;G_{x}$ , projeté de $\;G\;$ sur $\;Ox$ , uniforme le long de $\;Ox\;$ » et
« celui de $\;G_{z}$ , projeté de $\;G\;$ sur $\;Oz$ , uniformément varié le long de $\;Oz\;$ ».

Nature de la trajectoire

Représentation de la trajectoire du C.D.I. ^[4] $\;G\;$ d'un système fermé de points matériels $\;({\mathcal {S}})\;$ en chute libre dans le cas où le C.D.I. ^[4] $\;G\;$ est lancé obliquement vers le haut, sommet $\;S\;$ de la trajectoire et portée $\;OP\;$ du tir

Les équations paramétriques de la trajectoire étant « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\\y_{G}(t)=0\\z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ » et l'une des $\;2\;$ équations scalaires cartésiennes étant « $\;y_{G}=0\;$ », on détermine l'autre en « éliminant le paramètre $\;t\;$ entre les $\;2\;$ autres équations paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{G}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t\\z_{G}(t)=-{\dfrac {1}{2}}\;g\;t^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ » c.-à-d. « $\;t={\dfrac {x_{G}}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\;$ » reporté dans l'équation paramétrique non utilisée soit « $\;z_{G}=-{\dfrac {1}{2}}\;g\left[{\dfrac {x_{G}}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\right]^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\dfrac {x_{G}}{V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\;$ » donnant finalement

«

\;z_{G}=-{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\;x_{G}^{2}+\tan(\alpha _{0})\;x_{G}\;

» c.-à-d.
l'« équation cartésienne d'un cylindre parabolique de génératrices

\;\parallel \;

à

\;Oy\;

» ;

les deux équations cartésiennes de la trajectoire de $\;G\;$ étant « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y_{G}=0\\z_{G}=-{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\;x_{G}^{2}+\tan(\alpha _{0})\;x_{G}\end{array}}\right\rbrace \;$ », celle-ci est l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices $\;\parallel \;$ à $\;Oy\;$ avec le plan $\;xOz\;\perp \;$ aux génératrices c.-à-d. que

la « trajectoire de

\;G\;

est une parabole du plan

\;xOz

, d'axe

\;\parallel \;

à

\;Oz\;

et de concavité vers les

\;z<0\;

»

{\big (}

voir schéma ci-dessus à droite

{\big )}

.

Définition du sommet de la trajectoire

Le « sommet $\;S\,\left(x_{S}\,,\,z_{S}\right)\;$ de la trajectoire » peut être déterminé comme le « point d'altitude maximale atteint à l'instant $\;t_{S}\;$ tel que $\;V_{z,\,G}(t_{S})=0\;$ » ou $\;-g\;t_{S}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})=0\;$ donnant finalement « $\;t_{S}=$ ${\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\;$ » ;

« si le lancement oblique est dirigé vers le haut c.-à-d. si $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0\;$ », l'instant $\;t_{S}\;$ est $\;>0\;$ et « le sommet $\;S\;$ est atteint car d'instant postérieur à celui du lancement » d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{S}=x_{G}(t_{S})=\color {transparent}{\dfrac {V_{0}}{g}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\z_{S}=z_{G}(t_{S})=\color {transparent}{\left[{\dfrac {V_{0}}{g}}\right]^{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\end{array}}\right.$ $\left.{\begin{array}{r}V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\\-{\dfrac {1}{2}}\;g\left[{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\right]^{2}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{S}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})}{g}}\\z_{S}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{2\;g}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore « $\;S\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{S}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{2\;g}}\\z_{S}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{2\;g}}\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[38] ;
« si le lancement oblique est dirigé vers le bas c.-à-d. si $\;\alpha _{0}\;$ est $\;<0\;$ », l'instant $\;t_{S}\;$ est $\;<0\;$ et « le sommet $\;S\;$ n'est pas accessible car d'instant antérieur à celui du lancement » $\;\ldots$

Définition de la portée

La « portée est la distance horizontale séparant les points de lancement et de retombée à la même altitude du C.D.I. ^[4] $\;G\;$ du système $\;({\mathcal {S}})\;$ » c.-à-d. la « distance $\;OP=x_{P}\;$ où $\;P\;$ est le point de la trajectoire de $\;G\;$ de cote $\;z_{P}=z_{O}=0\;$ et d'abscisse $\;x_{P}\neq x_{0}=0\;$ » ;

de $\;z_{P}=0\;$ on déduit l'équation algébrique « $\;-{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\;x_{P}^{2}+\tan(\alpha _{0})\;x_{P}=0\;$ avec $\;x_{P}\neq 0\;$ » soit, après simplification par $\;x_{P}$ , la nouvelle équation algébrique « $\;{\dfrac {g}{2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}}\;x_{P}=$ $\tan(\alpha _{0})\;$ » d'où « $\;x_{P}=\tan(\alpha _{0})\;{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})}{g}}={\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\cos(\alpha _{0})\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\;$ » et finalement une portée

«

\;OP=x_{P}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g}}\;

» ^[38]^, ^[39].

Le temps mis par $\;G\;$ pour atteindre $\;P\;$ est « $\;t_{P}-t_{O}=t_{P}\;$ » avec « $\;t_{P}\;$ déterminé par $\;x_{P}=x_{G}(t_{P})\;$ ou $\;{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g}}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;t_{P}\;$ » dont on déduit $\;t_{P}={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})}}\;$ soit finalement

«

\;t_{P}={\dfrac {2\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\;

» ^[38]^, ^[40].

Vitesse de retombée au point correspondant à la portée

On cherche donc le vecteur vitesse au point de retombée $\;P\;$ à la même altitude que le point de lancement $\;O\;$ et pour cela il suffit

d'« évaluer les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de $\;G\;$ à l'instant $\;t_{P}={\dfrac {2\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\;$ » soit « $\;{\vec {V}}_{P}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x,\,P}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\V_{z,\,P}=-g\;t_{P}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ » avec
d'« évaluer les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de $\;\color {transparent}{G}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t_{P}={\dfrac {2\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}}\;$ » soit « $\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{P}}\;$ « $\;V_{z,\,P}=-g\;{\dfrac {2\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})$ $=-V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$ » d'où « $\;{\vec {V}}_{P}\;\left\lbrace {\begin{array}{c}V_{x,\,P}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\V_{z,\,P}=-V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ » ou
d'« utiliser le fait que $\;P\;$ étant le symétrique de $\;O\;$ sur la trajectoire parabolique de $\;G\;$ », « la pente de la tangente à la trajectoire en $\;P\;$ est opposée à celle de la tangente à la trajectoire en $\;O\;$ » c.-à-d. que « $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{P}\right)}}=-{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}=-\alpha _{0}\;$ » et comme $\;V_{x,\,P}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\Vert {\vec {V}}_{P}\Vert \;\cos(-\alpha _{0})\\{\text{ainsi que}}\\V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ on en déduit « $\;\Vert {\vec {V}}_{P}\Vert =$ $V_{0}\;$ » établissant ainsi « $\;V_{z,\,P}=\Vert {\vec {V}}_{P}\Vert \;\sin(-\alpha _{0})=-V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$ » soit finalement « $\;{\vec {V}}_{P}\;\left\lbrace {\begin{array}{c}V_{x,\,P}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\V_{z,\,P}=-V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;$ » c.-à-d.
« $\;{\vec {V}}_{P}\;$ antisymétrique ^[41] de $\;{\vec {V}}_{0}\;$ relativement à l'axe de symétrie de la trajectoire parabolique ».

Hodographe de pôle O du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

Revoir la « définition de l'hodographe de pôle du mouvement d'un point » dans le chap.

1

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ^[42].

Ainsi l'« hodographe $\;\left({\mathcal {H}}\right)\;$ de pôle $\;O\;$ ^[43] du mouvement du C.D.I. ^[4] $\;G\;$ du système fermé $\;({\mathcal {S}})\;$ de points matériels dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ » est l'« ensemble des positions $\;Q\;$ ^[44] dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ tel que $\;{\overrightarrow {OQ}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ ^[45]^, ^[46] ».

Équations paramétriques de l'hodographe de pôle O du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels

De la définition de l'hodographe $\;({\mathcal {H}})\;$ de pôle $\;O\;$ ^[43] du mouvement du C.D.I. ^[4] $\;G\;$ du système fermé $\;({\mathcal {S}})\;$ de points matériels dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}$ , nous en déduisons les équations paramétriques de l'hodographe du mouvement de $\;G\;$ de pôle $\;O\;$

«

\;{\overrightarrow {OQ}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X_{Q}(t)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\Y_{Q}(t)=0\\Z_{Q}(t)=-g\;t+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\end{array}}\right\rbrace \;

» ^[46]^, ^[47].

Nature de l'hodographe du mouvement de G de pôle O

Représentation de l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement du C.D.I. ^[4] $\;G\;$ d'un système fermé $\;({\mathcal {S}})\;$ de points matériels en chute libre dans le cas où le C.D.I. ^[4] $\;G\;$ est lancé obliquement vers le haut,
repérage des points de l'hodographe représentatif du point $\;O\;$ de lancement, du sommet $\;S\;$ de la trajectoire et du point $\;P\;$ de celle-ci définissant la portée $\;OP\;$ du tir

     La nature de $\;({\mathcal {H}})\;$ pouvant être obtenue en précisant les deux équations cartésiennes le définissant, équations nécessitant d'éliminer le paramètre $\;t\;$ et
     La nature de $\;\color {transparent}{({\mathcal {H}})}\;$ observant que, parmi les trois équations paramétriques, deux ne dépendent pas du paramètre
     nous en déduisons « les deux équations cartésiennes de $\;({\mathcal {H}})\;$ $\;Q\;\left\lbrace {\begin{array}{l}X_{Q}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\\Y_{Q}=0\end{array}}\right\rbrace \;$ » et

nous concluons que l'« hodographe $\;({\mathcal {H}})\;$ est une droite intersection du plan $\;XOZ\;$ d'équation $\;Y=0\;$ et
nous concluons que l'« hodographe $\;\color {transparent}{({\mathcal {H}})}\;$ est une droite intersection du plan $\;\parallel \;$ à $\;YOZ\;$ d'équation $\;X=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;$ » ;

il s'agit donc d'« une droite contenue dans le plan

\;XOZ\;

et

\;\parallel \;

à l'axe

\;OZ\;

d'abscisse

\;X=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;

»

\;{\big (}

voir graphe ci-contre dans le cas d'un lancement oblique vers le haut

{\big )}

.

Description de l'hodographe du mouvement de G de pôle O

À « $\;t=0$ , $\;Q\;$ est en $\;Q_{0}\;$ de cote $\;Z_{Q_{0}}=V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$ »,
à « $\;t=t_{S}$ , $\;Q\;$ est en $\;Q_{S}\;$ de cote $\;Z_{Q_{S}}=0\;$ » et
à « $\;t=t_{P}$ , $\;Q\;$ est en $\;Q_{P}\;$ de cote $\;Z_{Q_{P}}=-V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$ » symétrique de $\;Q_{0}\;$ relativement à l'axe $\;Z=0$ .

La partie ascendante de la trajectoire $\;V_{z,\,G}>0\Leftrightarrow Z_{Q}>0\;$ correspond à $\;(Q_{0}Q_{S})\;$ de l'hodographe et
la partie descendante de la trajectoire $\;V_{z,\,G}<0\Leftrightarrow Z_{Q}<0\;$ correspond à la partie de l'hodographe située au dessous de $\;Q_{S}$ .

Sur l'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement de $\;G\;$ on peut en déduire

« la variation de la vitesse de $\;G\;$ en suivant celle de $\;\Vert {\overrightarrow {OQ}}\Vert \;$ » et
« la variation de l'angle que fait le vecteur vitesse de $\;G\;$ avec la direction horizontale du plan de lancement en suivant celle de $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OQ}}\right)}}\;$ » $\;\ldots$

Notes et références

↑ Pour que « le poids $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {g}}(M_{i})\;$ s'écrive $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\right]{\vec {g}}\;$ », avec « $\;{\vec {g}}={\vec {g}}(G)\;$ » où $\;G\;$ est le centre de gravité du système $\;{\big (}$ lequel s'identifie au centre d'inertie, les masses grave et inerte étant mesurées par le même nombre d'après le principe d'équivalence ${\big )}$ , il est nécessaire de supposer que, sur toute l'expansion tridimensionnelle du système fermé de points matériels, le champ de pesanteur est quasi uniforme « $\;{\vec {g}}(M_{i})={\vec {g}}\;\;\forall \;i\;$ ».
↑ Par exemple à Paris l'écart entre les deux directions est de $\;5\,{\text{'}}\;$ d'angle, ce qui revient à dire que la verticale à Paris passe à $\;10\,km\;$ du centre $\;O_{\text{♁}}\;$ de la Terre.
↑ On rappelle que la verticale en un lieu est la direction d'un « fil à plomb » en équilibre, c.-à-d. la direction du fil soutenant le solide en équilibre, lequel n'étant soumis qu'à son poids $\;m_{\text{solide}}\;{\vec {g}}\;$ et la tension du fil $\;{\vec {T}}$ , est en équilibre si $\;{\vec {T}}=-m_{\text{solide}}\;{\vec {g}}$ .
↑ ^4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 ^4,11 ^4,12 ^4,13 ^4,14 et ^4,15 Centre D'Inertie.
↑ La notion de « pseudo force d'inertie » n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais elle a été introduite en complément dans le paragraphe intitulé « cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
dans le cas du référentiel géocentrique quasi galiléen, le référentiel terrestre étant en rotation uniforme de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{({\text{♁}})}\;$ autour de l'axe « pôle Sud - pôle Nord » dans le référentiel géocentrique, la « pseudo force d'inertie d'entraînement » de rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique définie au point $\;G\;$ s'écrit « $\;{\vec {f}}_{G,\,{\text{in. e}}}(t)=m_{\text{syst}}\;\Omega _{({\text{♁}})}^{2}\;{\overrightarrow {C_{G}G}}(t)\;$ » dans laquelle $\;C_{G}\;$ est le projeté orthogonal de $\;G\;$ sur l'axe « pôle Sud - pôle Nord ».
↑ Car « $\;\tan(5\,{\text{'}})=\tan \!\left({\dfrac {5}{60}}\!\color {white}{\dfrac {\color {black}{\text{°}}}{\text{°}}}\!\right)\simeq 1,5\;10^{-3}\;$ ».
↑ En effet $\;{\vec {u}}_{r}\;$ ${\big (}$ identifié localement à $\;{\vec {u}}_{z}{\big )}\;$ dépend de $\;\theta \;$ et de $\;\varphi$ .
↑ Obtenu en divisant haut et bas par $\;R_{({\text{♁}})}\;$ d'où $\;{\dfrac {R_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}+h}}={\dfrac {1}{1+{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}}}=\left[1+{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\right]^{-1}\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Développement Limité.
↑ Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel, au voisinage de zéro, $\;(1+\varepsilon )^{n}\simeq 1+n\,\varepsilon \;$ si $\;n\in \mathbb {Q} ^{*}$ , ici $\;n\;$ valant $\;-2$ .
↑ Avec $\;R_{({\text{♁}})}\simeq 6400\;km\;$ on trouve $\;5\;10^{-3}\;R_{({\text{♁}})}\simeq 32\;km\;$ que l'on arrondit à $\;30\;km$ .
↑ Déplacement le long d'un grand cercle.
↑ Il serait même préférable de travailler à $\;1\;^{o}\!\!/_{\!oo}=0,1\;\%\;$ près, sous cette condition une force sera négligeable si sa norme est $\;\lesssim 10^{-3}\;m_{\text{syst}}\;g$ .
↑ Force ascendante qu'un fluide exerce sur un objet totalement immergé, de norme égale au poids de « fluide déplacé » $\;{\big [}$ c.-à-d. le fluide $\;{\big (}$ hypothétique ${\big )}\;$ qu'il faudrait mettre à la place de l'objet sans que le champ de pression dans le fluide sans trouve modifié, et pour cela la quantité de fluide extérieur à l'objet $\;{\big (}$ ou extérieur au fluide remplaçant l'objet ${\big )}\;$ doit rester la même ${\big ]}$ , voir le paragraphe « Rappel sur l'équivalence du système des forces pressantes s'exerçant sur un corps sphérique (indéformable) totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme avec une force unique et 1^ère notion de poussée d'Archimède (2^ème conclusion) » du chap. $5$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) ».
↑ Archimède de Syracuse (vers 287 avant J.C. - 212 avant J.C.) physicien, mathématicien et ingénieur grec de Sicile $\;{\big (}$ Grande-Grèce ${\big )}$ , considéré comme l'un des principaux scientifiques de l'Antiquité classique ;
   on lui doit, dans le domaine de la physique, des résultats en hydrostatique, en statique des solides et l'explication du principe du levier ;
   en tant qu'ingénieur, il est crédité de plusieurs outils innovants comme la vis d'Archimède ;
   il est considéré comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité et comme l'un des plus grands de tous les temps, on lui doit l'emploi de la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire sous un arc de parabole, un encadrement de $\;\pi \;$ avec une remarquable précision, l'introduction de la spirale qui porte son nom, des formules évaluant les volumes d'expansions tridimensionnelles limitées par des surfaces de révolution $\;\ldots$
↑ Ou, si on travaille à $\;1\;^{o}\!\!/_{\!oo}=0,1\;\%\;$ près, $\;\rho _{\text{air}}\lesssim 10^{-3}\;\rho _{\text{moy. syst}}\;\ldots$
↑ Valeur sous pression de $\;1,013\;bar\;$ et à la température de $\;21\;{\text{°C}}$ .
↑ Ou, si on travaille à $\;1\;^{o}\!\!/_{\!oo}=0,1\;\%\;$ près, $\;\rho _{\text{moy. syst}}\gtrsim 1200\;kg\cdot m^{-3}\;\ldots$
↑ La densité d'un objet solide ou liquide est définie relativement à l'eau liquide selon $\;d_{\text{syst}}={\dfrac {\rho _{\text{syst}}}{\rho _{\text{eau}}}}\;$ où $\;\rho _{\text{eau}}\simeq 1000\;kg\cdot m^{-3}\;$ est la masse volumique de l'eau liquide, celle-ci étant prise dans les mêmes conditions de température et de pression que l'objet solide ou liquide $\;\ldots$
↑ Ou, si on travaille à $\;1\;^{o}\!\!/_{\!oo}=0,1\;\%\;$ près, $\;d_{\text{syst}}\gtrsim 1,20\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
↑ Bien que, dans la pratique, le système $\;({\mathcal {S}})\;$ soit indéformable, ce caractère n'est pas nécessaire quand il s'agit de déterminer le mouvement de son centre d'inertie $\;\ldots$
↑ Lequel étant quelconque $\;{\big (}$ dans la limite d'utilisation de la dynamique newtonienne ${\big )}\;$ peut aussi être nul.
↑ Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » ainsi que l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Attention, comme on a choisi la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite $\;{\big [}$ voir la note « ²⁶ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ et qu'on définit un angle orienté du plan $\;xOz$ , la convention usuelle consisterait à ce que les angles de ce plan soient orientés par le vecteur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ correspondant à un angle positif de $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{x}\;$ c.-à-d. dans le sens rétrograde ; pour éviter cela et obtenir des angles orientés positifs dans le sens direct, on oriente les angles du plan $\;xOz$ par le vecteur $\;-{\vec {u}}_{y}\;\ldots$
↑ Avec toutefois le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ orthogonal direct de l'espace physique orienté à droite $\;{\big [}$ voir la note « ²⁶ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;\ldots$
↑ Sans identification de ces $\;2\;$ grandeurs « masse inerte $\;m_{{\text{syst}},\,i}\;$ » et « masse grave $\;m_{{\text{syst}},\,g}\;$ », le théorème du mouvement du C.D.I. $\;{\big (}$ centre d'inertie ${\big )}\;$ se serait écrit « $\;m_{{\text{syst}},\,g}\;{\vec {g}}=m_{{\text{syst}},\,i}\;{\vec {a}}_{G}\;$ ».
↑ Revoir aussi la note « ³ » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Voir chap. $3$ « Description et paramétrage d'un point : mouvement de vecteur accélération constant » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ C'est cette façon qui a été adoptée au chap. $3$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » puis précisément aux paragraphes « expression du vecteur vitesse du point », « expression du vecteur position du point » et « déduction des composantes cartésiennes dans le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération » $\;{\big (}$ attention l'angle $\;\alpha _{0}\;$ n'y a pas la même définition que celle adoptée dans ce chapitre ${\big )}$ .
↑ C'est cette façon que nous adopterons pour que les deux méthodes soient, au final, exposées dans la leçon $\;{\big (}$ même si l'intégration vectorielle avant projection me semble plus rapide ${\big )}$ .
↑ La grandeur $\;g=\Vert {\vec {g}}\Vert \;$ étant appelé « intensité de la pesanteur terrestre » au lieu considéré.
↑ Voir les paragraphes « mouvement de vecteur accélération constant dans le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération conduisant à un mouvement plan et à une trajectoire parabolique » et « dans le cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération conduisant à un mouvement rectiligne » du chap. $3$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^36,0 et ^36,1 Condition Initiale.
↑ En effet une des deux équations cartésiennes de la trajectoire étant $\;y=0\;$ c.-à-d. l'équation du plan $\;xOz$ .
↑ ^38,0 ^38,1 et ^38,2 En utilisant $\;\sin(2\;{\mathfrak {a}})=2\;\sin({\mathfrak {a}})\;\cos({\mathfrak {a}})$ .
↑ Dans le plan $\;xOz$ , « le point $\;P\;$ étant le symétrique du point $\;O\;$ sur la trajectoire parabolique dont l'axe de symétrie a pour équation $\;x=x_{S}=$ ${\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g}}\;$ », les abscisses des deux points $\;P\;$ et $\;O\;$ sont reliées par $\;PS=SO\;$ ou $\;x_{P}-x_{S}=x_{S}-x_{O}\;$ soit encore « $\;x_{P}=2\;x_{S}-x_{O}$ $=2\;{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g}}-0={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g}}\;$ ».
↑ On remarque que $\;t_{P}\;$ est égal à $\;2\;t_{S}\;$ établissant que la durée de la montée du point de lancement jusqu'au sommet est égale à la durée de la descente du sommet jusqu'au point de retombée à la même altitude que le point de lancement.
↑ Deux vecteurs coplanaires sont symétriques relativement à un axe du plan s'ils ont même composante le long de l'axe et des composantes opposées perpendiculairement à l'axe et
Deux vecteurs coplanaires sont antisymétriques relativement à un axe du plan s'ils ont même composante perpendiculairement à l'axe et des composantes opposées le long de l'axe $\;{\big \{}$ on peut aussi dire qu'un vecteur est l'antisymétrique d'un autre s'il est opposé au symétrique de cet autre, voir le paragraphe « antisymétrie axiale agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à deux dimensions plan » du chap. $20$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ .
↑ La notion d'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement d'un point n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., elle est à considérer comme un complément.
↑ ^43,0 et ^43,1 Point fixe du référentiel qui n'est pas nécessairement l'origine du vecteur position du point repéré, nous adoptons la même notation pour simplifier l'exposé.
↑ Usuellement on utilise $\;P\;$ mais ici $\;P\;$ étant réservé pour définir la position de retombée à la même altitude que la position de lancement $\;\ldots$
↑ Le symbole $\;{\widehat {=}}\;$ signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, nécessitant de préciser l'échelle de représentation $\;{\big (}$ ici des vitesses ${\big )}\;$ en cas d'utilisation pratique $\;\ldots$
↑ ^46,0 et ^46,1 Par abus d'écriture on écrira $\;{\overrightarrow {OQ}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ au lieu de $\;{\overrightarrow {OQ}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.
↑ On note les coordonnées de $\;Q\;$ en majuscule pour souligner que ce ne sont pas des grandeurs exprimées avec la même unité que les coordonnées ordinaires repérant $\;G$ .

Mécanique 1 (PCSI)

Loi de la quantité de mouvement : P. f. d. et th. de la résultante cinétique

Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air

[1] Pour que « le poids $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\;{\vec {g}}(M_{i})\;$ s'écrive $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {g}}=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,N}m_{i}\right]{\vec {g}}\;$ », avec « $\;{\vec {g}}={\vec {g}}(G)\;$ » où $\;G\;$ est le centre de gravité du système $\;{\big (}$ lequel s'identifie au centre d'inertie, les masses grave et inerte étant mesurées par le même nombre d'après le principe d'équivalence ${\big )}$ , il est nécessaire de supposer que, sur toute l'expansion tridimensionnelle du système fermé de points matériels, le champ de pesanteur est quasi uniforme « $\;{\vec {g}}(M_{i})={\vec {g}}\;\;\forall \;i\;$ ».

[2] Par exemple à Paris l'écart entre les deux directions est de $\;5\,{\text{'}}\;$ d'angle, ce qui revient à dire que la verticale à Paris passe à $\;10\,km\;$ du centre $\;O_{\text{♁}}\;$ de la Terre.

[3] On rappelle que la verticale en un lieu est la direction d'un « fil à plomb » en équilibre, c.-à-d. la direction du fil soutenant le solide en équilibre, lequel n'étant soumis qu'à son poids $\;m_{\text{solide}}\;{\vec {g}}\;$ et la tension du fil $\;{\vec {T}}$ , est en équilibre si $\;{\vec {T}}=-m_{\text{solide}}\;{\vec {g}}$ .

[C.D.I.-4] 4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 ^4,11 ^4,12 ^4,13 ^4,14 et ^4,15 Centre D'Inertie.

[5] La notion de « pseudo force d'inertie » n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais elle a été introduite en complément dans le paragraphe intitulé « cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen » du chap. $9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
dans le cas du référentiel géocentrique quasi galiléen, le référentiel terrestre étant en rotation uniforme de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{({\text{♁}})}\;$ autour de l'axe « pôle Sud - pôle Nord » dans le référentiel géocentrique, la « pseudo force d'inertie d'entraînement » de rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique définie au point $\;G\;$ s'écrit « $\;{\vec {f}}_{G,\,{\text{in. e}}}(t)=m_{\text{syst}}\;\Omega _{({\text{♁}})}^{2}\;{\overrightarrow {C_{G}G}}(t)\;$ » dans laquelle $\;C_{G}\;$ est le projeté orthogonal de $\;G\;$ sur l'axe « pôle Sud - pôle Nord ».

[6] Car « $\;\tan(5\,{\text{'}})=\tan \!\left({\dfrac {5}{60}}\!\color {white}{\dfrac {\color {black}{\text{°}}}{\text{°}}}\!\right)\simeq 1,5\;10^{-3}\;$ ».

[7] En effet $\;{\vec {u}}_{r}\;$ ${\big (}$ identifié localement à $\;{\vec {u}}_{z}{\big )}\;$ dépend de $\;\theta \;$ et de $\;\varphi$ .

[8] Obtenu en divisant haut et bas par $\;R_{({\text{♁}})}\;$ d'où $\;{\dfrac {R_{({\text{♁}})}}{R_{({\text{♁}})}+h}}={\dfrac {1}{1+{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}}}=\left[1+{\dfrac {h}{R_{({\text{♁}})}}}\right]^{-1}\;\ldots$

[Infiniment_petit_d'ordre_un-9] Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[D.L.-10] Développement Limité.

[11] Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel, au voisinage de zéro, $\;(1+\varepsilon )^{n}\simeq 1+n\,\varepsilon \;$ si $\;n\in \mathbb {Q} ^{*}$ , ici $\;n\;$ valant $\;-2$ .

[12] Avec $\;R_{({\text{♁}})}\simeq 6400\;km\;$ on trouve $\;5\;10^{-3}\;R_{({\text{♁}})}\simeq 32\;km\;$ que l'on arrondit à $\;30\;km$ .

[13] Déplacement le long d'un grand cercle.

[14] Il serait même préférable de travailler à $\;1\;^{o}\!\!/_{\!oo}=0,1\;\%\;$ près, sous cette condition une force sera négligeable si sa norme est $\;\lesssim 10^{-3}\;m_{\text{syst}}\;g$ .

[15] Force ascendante qu'un fluide exerce sur un objet totalement immergé, de norme égale au poids de « fluide déplacé » $\;{\big [}$ c.-à-d. le fluide $\;{\big (}$ hypothétique ${\big )}\;$ qu'il faudrait mettre à la place de l'objet sans que le champ de pression dans le fluide sans trouve modifié, et pour cela la quantité de fluide extérieur à l'objet $\;{\big (}$ ou extérieur au fluide remplaçant l'objet ${\big )}\;$ doit rester la même ${\big ]}$ , voir le paragraphe « Rappel sur l'équivalence du système des forces pressantes s'exerçant sur un corps sphérique (indéformable) totalement immergé dans un fluide incompressible et homogène en équilibre isotherme dans le champ de pesanteur uniforme avec une force unique et 1^ère notion de poussée d'Archimède (2^ème conclusion) » du chap. $5$ de la leçon « Statique des fluides (PCSI) ».

[Archimède-16] Archimède de Syracuse (vers 287 avant J.C. - 212 avant J.C.) physicien, mathématicien et ingénieur grec de Sicile $\;{\big (}$ Grande-Grèce ${\big )}$ , considéré comme l'un des principaux scientifiques de l'Antiquité classique ;
on lui doit, dans le domaine de la physique, des résultats en hydrostatique, en statique des solides et l'explication du principe du levier ;
en tant qu'ingénieur, il est crédité de plusieurs outils innovants comme la vis d'Archimède ;
il est considéré comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité et comme l'un des plus grands de tous les temps, on lui doit l'emploi de la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire sous un arc de parabole, un encadrement de $\;\pi \;$ avec une remarquable précision, l'introduction de la spirale qui porte son nom, des formules évaluant les volumes d'expansions tridimensionnelles limitées par des surfaces de révolution $\;\ldots$

[17] Ou, si on travaille à $\;1\;^{o}\!\!/_{\!oo}=0,1\;\%\;$ près, $\;\rho _{\text{air}}\lesssim 10^{-3}\;\rho _{\text{moy. syst}}\;\ldots$

[18] Valeur sous pression de $\;1,013\;bar\;$ et à la température de $\;21\;{\text{°C}}$ .

[19] Ou, si on travaille à $\;1\;^{o}\!\!/_{\!oo}=0,1\;\%\;$ près, $\;\rho _{\text{moy. syst}}\gtrsim 1200\;kg\cdot m^{-3}\;\ldots$

[20] La densité d'un objet solide ou liquide est définie relativement à l'eau liquide selon $\;d_{\text{syst}}={\dfrac {\rho _{\text{syst}}}{\rho _{\text{eau}}}}\;$ où $\;\rho _{\text{eau}}\simeq 1000\;kg\cdot m^{-3}\;$ est la masse volumique de l'eau liquide, celle-ci étant prise dans les mêmes conditions de température et de pression que l'objet solide ou liquide $\;\ldots$

[21] Ou, si on travaille à $\;1\;^{o}\!\!/_{\!oo}=0,1\;\%\;$ près, $\;d_{\text{syst}}\gtrsim 1,20\;\ldots$

[22] Voir le paragraphe « forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[Newton-23] Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.

[indéformable_ou_non-24] Bien que, dans la pratique, le système $\;({\mathcal {S}})\;$ soit indéformable, ce caractère n'est pas nécessaire quand il s'agit de déterminer le mouvement de son centre d'inertie $\;\ldots$

[25] Lequel étant quelconque $\;{\big (}$ dans la limite d'utilisation de la dynamique newtonienne ${\big )}\;$ peut aussi être nul.

[base_directe-26] Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » ainsi que l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[orientation_des_angles_du_plan_xOz-27] Attention, comme on a choisi la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ directe dans l'espace physique orienté à droite $\;{\big [}$ voir la note « ²⁶ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ et qu'on définit un angle orienté du plan $\;xOz$ , la convention usuelle consisterait à ce que les angles de ce plan soient orientés par le vecteur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ correspondant à un angle positif de $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{x}\;$ c.-à-d. dans le sens rétrograde ; pour éviter cela et obtenir des angles orientés positifs dans le sens direct, on oriente les angles du plan $\;xOz$ par le vecteur $\;-{\vec {u}}_{y}\;\ldots$

[28] Avec toutefois le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ orthogonal direct de l'espace physique orienté à droite $\;{\big [}$ voir la note « ²⁶ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;\ldots$

[29] Sans identification de ces $\;2\;$ grandeurs « masse inerte $\;m_{{\text{syst}},\,i}\;$ » et « masse grave $\;m_{{\text{syst}},\,g}\;$ », le théorème du mouvement du C.D.I. $\;{\big (}$ centre d'inertie ${\big )}\;$ se serait écrit « $\;m_{{\text{syst}},\,g}\;{\vec {g}}=m_{{\text{syst}},\,i}\;{\vec {a}}_{G}\;$ ».

[30] Revoir aussi la note « ³ » du chap. $7$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[31] Voir chap. $3$ « Description et paramétrage d'un point : mouvement de vecteur accélération constant » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[32] C'est cette façon qui a été adoptée au chap. $3$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » puis précisément aux paragraphes « expression du vecteur vitesse du point », « expression du vecteur position du point » et « déduction des composantes cartésiennes dans le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération » $\;{\big (}$ attention l'angle $\;\alpha _{0}\;$ n'y a pas la même définition que celle adoptée dans ce chapitre ${\big )}$ .

[33] C'est cette façon que nous adopterons pour que les deux méthodes soient, au final, exposées dans la leçon $\;{\big (}$ même si l'intégration vectorielle avant projection me semble plus rapide ${\big )}$ .

[34] La grandeur $\;g=\Vert {\vec {g}}\Vert \;$ étant appelé « intensité de la pesanteur terrestre » au lieu considéré.

[35] Voir les paragraphes « mouvement de vecteur accélération constant dans le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération conduisant à un mouvement plan et à une trajectoire parabolique » et « dans le cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération conduisant à un mouvement rectiligne » du chap. $3$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[C.I.-36] 36,0 et ^36,1 Condition Initiale.

[37] En effet une des deux équations cartésiennes de la trajectoire étant $\;y=0\;$ c.-à-d. l'équation du plan $\;xOz$ .

[sin(2a)-38] 38,0 ^38,1 et ^38,2 En utilisant $\;\sin(2\;{\mathfrak {a}})=2\;\sin({\mathfrak {a}})\;\cos({\mathfrak {a}})$ .

[39] Dans le plan $\;xOz$ , « le point $\;P\;$ étant le symétrique du point $\;O\;$ sur la trajectoire parabolique dont l'axe de symétrie a pour équation $\;x=x_{S}=$ ${\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g}}\;$ », les abscisses des deux points $\;P\;$ et $\;O\;$ sont reliées par $\;PS=SO\;$ ou $\;x_{P}-x_{S}=x_{S}-x_{O}\;$ soit encore « $\;x_{P}=2\;x_{S}-x_{O}$ $=2\;{\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g}}-0={\dfrac {V_{0}^{2}\;\sin(2\;\alpha _{0})}{g}}\;$ ».

[40] On remarque que $\;t_{P}\;$ est égal à $\;2\;t_{S}\;$ établissant que la durée de la montée du point de lancement jusqu'au sommet est égale à la durée de la descente du sommet jusqu'au point de retombée à la même altitude que le point de lancement.

[antisymétrie_de_vecteurs-41] Deux vecteurs coplanaires sont symétriques relativement à un axe du plan s'ils ont même composante le long de l'axe et des composantes opposées perpendiculairement à l'axe et
Deux vecteurs coplanaires sont antisymétriques relativement à un axe du plan s'ils ont même composante perpendiculairement à l'axe et des composantes opposées le long de l'axe $\;{\big \{}$ on peut aussi dire qu'un vecteur est l'antisymétrique d'un autre s'il est opposé au symétrique de cet autre, voir le paragraphe « antisymétrie axiale agissant sur un champ scalaire ou vectoriel d'un espace à deux dimensions plan » du chap. $20$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ .

[42] La notion d'hodographe de pôle $\;O\;$ du mouvement d'un point n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., elle est à considérer comme un complément.

[pôle_de_l'hodographe-43] 43,0 et ^43,1 Point fixe du référentiel qui n'est pas nécessairement l'origine du vecteur position du point repéré, nous adoptons la même notation pour simplifier l'exposé.

[44] Usuellement on utilise $\;P\;$ mais ici $\;P\;$ étant réservé pour définir la position de retombée à la même altitude que la position de lancement $\;\ldots$

[signification_du_signe_égal_surmonté_d'un_chapeau-45] Le symbole $\;{\widehat {=}}\;$ signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, nécessitant de préciser l'échelle de représentation $\;{\big (}$ ici des vitesses ${\big )}\;$ en cas d'utilisation pratique $\;\ldots$

[notation_simplifiée_du_signe_égal_surmonté_d'un_chapeau-46] 46,0 et ^46,1 Par abus d'écriture on écrira $\;{\overrightarrow {OQ}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ au lieu de $\;{\overrightarrow {OQ}}(t)\;{\widehat {=}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.

[47] On note les coordonnées de $\;Q\;$ en majuscule pour souligner que ce ne sont pas des grandeurs exprimées avec la même unité que les coordonnées ordinaires repérant $\;G$ .

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