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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Mécanique 1 (PCSI) : Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme
Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.
Définition et condition de réalisation de la chute libre d'un système fermé de points matériels dans un champ de pesanteur uniforme[modifier | modifier le wikicode]
Un système fermé de points matériels au voisinage de la Terre est « en chute libre » si la seule force extérieure s'appliquant sur lui est « son poids
»
étant le champ de pesanteur terrestre au lieu considéré
[1].
Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : On rappelle que la verticale en un lieu de la surface terrestre ne passe pas rigoureusement par le centre
de la Terre sauf aux pôles et à l'équateur [2], le poids dont la direction définit la verticale en un lieu [3] ne s'identifiant pas rigoureusement à la force de gravitation terrestre de direction passant par le centre
de la Terre ;
Préliminaire : le poids «
» est en fait la somme de
Préliminaire :
de la force de gravitation terrestre «
» dans laquelle
est la distance séparant le C.D.I. [4]
du système fermé de points matériels du centre
de la Terre et
le 1er vecteur de base sphérique liée à
, de pôle
et d'axe « l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre » et
Préliminaire :
de la « pseudo force d'inertie d'entraînement » de rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique définie au lieu considéré «
» [5] dans laquelle «
est la vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de son axe égale à
», «
la distance séparant le point
de l'axe de rotation pôle Sud – pôle Nord » avec «
la latitude du lieu », «
le 1er vecteur de base cylindro-polaire liée à
d'axe pôle Sud – pôle Nord » se décomposant, dans la base sphérique de pôle
lié à
selon «
» avec
le 2ème vecteur de base sphérique liée à
, de pôle
et d'axe « l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre » ;
Préliminaire : on en déduit la « composante de
sur
égale à
», composante qui est à l'origine de l'écart de la direction de la verticale par rapport à la direction de
c.-à-d. de la direction passant par le centre
de la Terre, écart non nul sauf aux pôles et à l'équateur pour lesquels
;
Préliminaire : toutefois nous ne tiendrons pas compte de la différence entre le poids et la force de gravitation terrestre car
Préliminaire : toutefois le terme correctif sur
à savoir «
» ne représente, à Paris et au niveau du sol, que
en norme et
Préliminaire : toutefois l'écart de
d'angle au même endroit entre la verticale et la direction passant par le centre
de la Terre ne représente que
en direction [6],
Préliminaire : aussi considérons nous, dans ce paragraphe, que
«
».
Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : du préliminaire précédent on déduit la variation du champ de pesanteur terrestre
avec la position
considérée au voisinage de la Terre soit
«
»
dans laquelle «
étant le 1er vecteur de base sphérique liée à
, de pôle
et d'axe “ l'axe pôle Sud - pôle Nord de rotation propre de la Terre ” », est aussi, localement, « le vecteur unitaire vertical ascendant noté
en la position
considérée » et «
la 1ère coordonnée sphérique de
, encore égale à
» dans laquelle
est le rayon de la Terre et
l'altitude locale de
, les deux autres coordonnées sphériques de
étant «
avec
sa latitude » et «
avec
sa longitude » ;
Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : « pour que
soit uniforme à
près », il faut donc que sa norme
dépendant de l'altitude
ainsi que sa direction
dépendant de la latitude et de la longitude [7]
varient de moins de
, ce qui donne les conditions suivantes :
- « quand
est déplacé verticalement », «
reste constant à
près » si « le déplacement vertical
est inférieur à
» tel que «
» ou, avec «
» permettant de réécrire «
» [8] soit encore, en considérant «
comme un infiniment petit d'ordre un » [9] et en faisant un D.L. [10] d'ordre un de
[11] d'où, comme «
», on en déduit le déplacement vertical maximal toléré
pour que la variation de la norme du champ de pesanteur terrestre soit inférieure à
, soit
ou «
» [12] ;
- « quand
est déplacé horizontalement », « la direction de
reste la même à
près » si « le point
décrit moins de
de grand cercle de circonférence
» c.-à-d. si « le déplacement horizontal [13] est
» soit «
» ;
Condition d'expansion tridimensionnelle pour que le champ de pesanteur terrestre soit quasi uniforme : en conclusion le champ de pesanteur terrestre pourra être considéré « uniforme » à
près « dans un parallélépipède rectangle haut de
et dont la base est un carré de
de côté ».
Condition de réalisation du caractère libre de la chute[modifier | modifier le wikicode]
Pour qu'un objet puisse être considéré « en chute libre » il faut que « chaque force
autres que le poids de l'objet
réellement appliquée soit de norme négligeable devant celle du poids de l'objet » c.-à-d., en travaillant à
près, que « leur norme soit
» [14], en particulier, si l'objet se déplace dans l'air, les deux forces de contact de l'objet avec l'air doivent pouvoir être négligées à savoir :
- « la poussée d'Archimède » [15], « celle-ci étant considérée comme négligeable si la masse volumique de l'air
est
» où
est la masse volumique moyenne de l'objet [16] soit, avec «
[17] dans des conditions usuelles de température et de pression », « la nécessité d'utiliser un objet de masse volumique moyenne
[18] ou de densité moyenne
» [19], [20] et
- « la résistance de l'air » [21], celle-ci dépendant de la forme plus ou moins aérodynamique de l'objet
ceci n'étant pas réellement un obstacle si on sélectionne une forme aérodynamique « pointue en amont et convexe en aval » ou même un peu moins aérodynamique comme une « boule »
et
« la résistance de l'air », celle-ci dépendant de la vitesse de ce dernier, le caractère négligeable de la résistance de l'air dépendant surtout de la limitation de la vitesse, on pourra être amené à envisager uniquement un début de chute sans vitesse initiale pour pouvoir considérer la chute comme « libre » mais, même avec cette restriction, cela constituera toujours une mauvaise approximation 
Remarque : La seule façon d'obtenir une bonne approximation est de réaliser une chute dans le vide, par exemple en utilisant un tube à vide de Newton [22].
Application du théorème du mouvement du C.D.I. dans le référentiel terrestre galiléen[modifier | modifier le wikicode]
Conditions de « lancement » du système fermé (indéformable) de points matériels et choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre supposé galiléen[modifier | modifier le wikicode]
Le système fermé de points matériels
[23], de C.D.I. [4]
, est lancé « à un instant choisi comme origine des temps », « d'un endroit fixe du référentiel terrestre
le C.D.I. [4] de
étant en la position fixe de
notée
avec un vecteur vitesse initiale du C.D.I. [4] de
égal à
[24] ».
Choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre dans le cas où le vecteur vitesse initial de l'objet en chute libre n'est pas vertical
Choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre : on choisit l'origine
du repère confondu avec
, l'axe vertical
étant choisi ascendant,
est le plan horizontal passant par
et les axes horizontaux
et
y sont choisis de façon que le trièdre
soit orthogonal direct [25], d'une part et d'autre part selon la règle suivante :
- « si
n'est pas vertical », l'axe horizontal
est choisi dans le plan vertical de lancement initial
c.-à-d. le plan vertical passant par
et contenant
tel que «
soit
» et on notera «
», «les angles du plan
étant orientés par
» [26], angle de valeur absolue aigüe
voir schéma ci-contre
;
- « si
est vertical », les axes horizontaux
et
sont choisis quelconques [27].
Équations différentielles (scalaires) du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]
Le référentiel terrestre étant supposé galiléen, l'application du théorème du mouvement du C.D.I. [4] nous conduit à «
» soit finalement, la masse inerte étant identifiée à la masse grave d'après le principe d'équivalence [28], «
» dont nous pouvons déduire que le mouvement du C.D.I. [4] du système
lors de sa chute libre est un mouvement à vecteur accélération constant [29] ;
compte-tenu de «
» d'une part et «
» d'autre part, nous pouvons
- trouver les équations vectorielles horaires de vitesse et de position de
par deux intégrations successives puis projeter ces équations vectorielles horaires sur les trois axes pour en déduire les trois équations scalaires horaires de vitesse ainsi que les trois de position de
[30] ou
- projeter cette équation différentielle vectorielle en
sur les trois axes pour en déduire les trois équations différentielles scalaires en
,
et
puis, par deux intégrations successives chacune, déterminer les trois équations scalaires horaires de vitesse ainsi que les trois de position de
[31] ;
projetons l'équation différentielle vectorielle «
» sur les trois axes pour obtenir les trois équations différentielles scalaires du mouvement de
soit
«
» [32].
Cas particulier de mouvement à vecteur accélération constant, lois horaires de vitesse et de position du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]
Conséquence de l'expression de l'équation différentielle vectorielle du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]
Le mouvement du C.D.I. [4]
du système fermé de points matériels
étant un cas particulier de mouvement à vecteur accélération constant, nous pouvons dès à présent affirmer la nature plane (ou rectiligne) du mouvement de
, la « trajectoire de ce dernier, dans le cas d'un mouvement plan, étant une parabole » [33].
Lois horaires de vitesse du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]
Intégrant les équations différentielles «
» par rapport à
, on trouve «
», les constantes se déterminant à l'aide de la « C.I. [34]
», d'où les lois horaires de vitesse de
«
».
Lois horaires de position du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]
Intégrant «
» par rapport à
, on trouve «
», les constantes se déterminant à l'aide de la « C.I. [34]
», d'où les lois horaires de position de
«
»,
ces dernières constituant aussi les équations paramétriques de la trajectoire de
.
Trajectoire du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels et quelques propriétés de la trajectoire[modifier | modifier le wikicode]
Correspondant à «
».
Les équations scalaires horaires de position du C.D.I. [4]
du système
sont donc «
», lesquelles représentant aussi les équations paramétriques scalaires de la trajectoire de
, nous obtenons aisément les deux équations scalaires cartésiennes de la trajectoire de
par élimination évidente du paramètre
, ce qui donne «
» c.-à-d. l'« équation de la droite
» correspondant à
une « trajectoire suivie par
verticale passant par
» ;
- « dans le cas d'un lancement vers le haut c.-à-d.
», l'équation horaire de position de
sur sa trajectoire étant «
» et celle de vitesse «
» on observe
- une 1ère phase de mouvement retardé vers le haut
l'accélération
est
et la vitesse
en restant
pour tout
puis
- une 2ème phase de mouvement accéléré vers le bas
l'accélération
est
et la vitesse
devenue
pour tout
est
en valeur absolue
;
- « dans le cas d'un lancement vers le bas c.-à-d.
», l'équation horaire de position de
sur sa trajectoire étant «
» et celle de vitesse «
» on n'observe qu'une seule phase de mouvement accéléré vers le bas
l'accélération
est
et la vitesse
est aussi
pour tout
en étant
en valeur absolue
.
Cas particulier de chute libre sans vitesse initiale : « la trajectoire de
est verticale passant par
», les équations horaires de position et de vitesse de
sur sa trajectoire étant «
» et «
», on n'observe qu'une seule phase de mouvement accéléré vers le bas
Correspondant à «
».
Les équations scalaires horaires de position du C.D.I. [4]
du système
sont donc «
», lesquelles représentant aussi les équations paramétriques scalaires de la trajectoire de
, nous obtenons aisément que
la « trajectoire de
est plane [35], dans le plan (vertical) de lancement
d'équation
» ;
le mouvement de
sur sa trajectoire résulte alors de la « composition de deux mouvements rectilignes »
- « celui de
, projeté de
sur
, uniforme le long de
» et
- « celui de
, projeté de
sur
, uniformément varié le long de
».
Représentation de la trajectoire du C.D.I.
[4] 
d'un système fermé de points matériels

en chute libre dans le cas où le C.D.I.
[4] 
est lancé obliquement vers le haut, sommet

de la trajectoire et portée

du tir
Les équations paramétriques de la trajectoire étant «
» et l'une des deux équations scalaires cartésiennes étant «
», on détermine l'autre en « éliminant le paramètre
entre les deux autres équations paramétriques
» c.-à-d. «
» reporté dans l'équation paramétrique non utilisée soit «
» donnant finalement
«
» c.-à-d.
l'« équation cartésienne d'un cylindre parabolique de génératrices
à
» ;
les deux équations cartésiennes de la trajectoire de
étant «
», celle-ci est l'intersection d'un cylindre parabolique de génératrices
à
avec le plan
aux génératrices c.-à-d. que
la « trajectoire de
est une parabole du plan
, d'axe
à
et de concavité vers les
»
voir schéma ci-dessus à droite
.
Le « sommet
de la trajectoire » peut être déterminé comme le « point d'altitude maximale atteint à l'instant
tel que
» ou
donnant finalement «
» ;
- « si le lancement oblique est dirigé vers le haut c.-à-d. si
est
», l'instant
est
et « le sommet
est atteint car d'instant postérieur à celui du lancement » d'où
ou
ou encore «
» [36] ;
- « si le lancement oblique est dirigé vers le bas c.-à-d. si
est
», l'instant
est
et « le sommet
n'est pas accessible car d'instant antérieur à celui du lancement » 
La « portée est la distance horizontale séparant les points de lancement et de retombée à la même altitude du C.D.I. [4]
du système
» c.-à-d. la « distance
où
est le point de la trajectoire de
de cote
et d'abscisse
» ;
de
on déduit l'équation algébrique «
avec
» soit, après simplification par
, la nouvelle équation algébrique «
» d'où «
» et finalement une portée
«
» [36], [37].
Le temps mis par
pour atteindre
est «
» avec «
déterminé par
ou
» dont on déduit
soit finalement
«
» [36], [38].
Vitesse de retombée au point correspondant à la portée[modifier | modifier le wikicode]
On cherche donc le vecteur vitesse au point de retombée
à la même altitude que le point de lancement
et pour cela il suffit
- d'« évaluer les composantes cartésiennes du vecteur vitesse de
à l'instant
» soit «
» avec «
» d'où «
» ou
- d'« utiliser le fait que
étant le symétrique de
sur la trajectoire parabolique de
», « la pente de la tangente à la trajectoire en
est opposée à celle de la tangente à la trajectoire en
» c.-à-d. que «
» et comme
on en déduit «
» établissant ainsi «
» soit finalement «
» c.-à-d.
«
antisymétrique [39] de
relativement à l'axe de symétrie de la trajectoire parabolique ».
Hodographe de pôle O du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]
Revoir la « définition de l'hodographe de pôle du mouvement d'un point » dans le chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » [40].
Ainsi l'« hodographe
de pôle
[41] du mouvement du C.D.I. [4]
du système fermé
de points matériels dans le référentiel terrestre
» est l'« ensemble des positions
[42] dans
tel que
[43], [44] ».
Équations paramétriques de l'hodographe de pôle O du mouvement du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels[modifier | modifier le wikicode]
De la définition de l'hodographe
de pôle
[41] du mouvement du C.D.I. [4]
du système fermé
de points matériels dans le référentiel terrestre
, nous en déduisons les équations paramétriques de l'hodographe du mouvement de
de pôle
«
» [44], [45].
Représentation de l'hodographe de pôle

du mouvement du C.D.I.
[4] 
d'un système fermé

de points matériels en chute libre dans le cas où le C.D.I.
[4] 
est lancé obliquement vers le haut,
repérage des points de l'hodographe représentatif du point

de lancement, du sommet

de la trajectoire et du point

de celle-ci définissant la portée

du tir
La nature de
pouvant être obtenue en précisant les deux équations cartésiennes le définissant, équations nécessitant d'éliminer le paramètre
et observant que, parmi les trois équations paramétriques, deux ne dépendent pas du paramètre nous en déduisons
« les deux équations cartésiennes de
» et
concluons que l'« hodographe
est une droite intersection du plan
d'équation
et du plan
à
d'équation
» ;
il s'agit donc d'« une droite contenue dans le plan
et
à l'axe
d'abscisse
»
voir graphe ci-contre dans le cas d'un lancement oblique vers le haut
.
Description de l'hodographe du mouvement de G de pôle O[modifier | modifier le wikicode]
- À «
,
est en
de cote
»,
- à «
,
est en
de cote
» et
- à «
,
est en
de cote
» symétrique de
relativement à l'axe
.
La partie ascendante de la trajectoire
correspond à
de l'hodographe et
la partie descendante de la trajectoire
correspond à la partie de l'hodographe située au dessous de
.
Sur l'hodographe de pôle
du mouvement de
on peut en déduire
- « la variation de la vitesse de
en suivant celle de
» et
- « la variation de l'angle que fait le vecteur vitesse de
avec la direction horizontale du plan de lancement en suivant celle de
» 
- ↑ Pour que « le poids
s'écrive
», avec «
» où
est le centre de gravité du système
lequel s'identifie au centre d'inertie, les masses grave et inerte étant mesurées par le même nombre d'après le principe d'équivalence
, il est nécessaire de supposer que, sur toute l'expansion tridimensionnelle du système fermé de points matériels, le champ de pesanteur est quasi uniforme «
».
- ↑ Par exemple à Paris l'écart entre les deux directions est de
d'angle, ce qui revient à dire que la verticale à Paris passe à
du centre
de la Terre.
- ↑ On rappelle que la verticale en un lieu est la direction d'un « fil à plomb » en équilibre, c.-à-d. la direction du fil soutenant le solide en équilibre, lequel n'étant soumis qu'à son poids
et la tension du fil
, est en équilibre si
.
- ↑ 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 et 4,15 Centre D'Inertie.
- ↑ La notion de « pseudo force d'inertie » n'est pas au programme de physique de P.C.S.I. mais elle a été introduite en complément dans le paragraphe intitulé « cas où le référentiel d'entraînement est en rotation uniforme autour d'un axe fixe du référentiel galiléen » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
dans le cas du référentiel géocentrique quasi galiléen, le référentiel terrestre étant en rotation uniforme de vecteur rotation instantanée
autour de l'axe « pôle Sud - pôle Nord » dans le référentiel géocentrique, la « pseudo force d'inertie d'entraînement » de rotation de la Terre relativement au référentiel géocentrique définie au point
s'écrit «
» dans laquelle
est le projeté orthogonal de
sur l'axe « pôle Sud - pôle Nord ».
- ↑ Car «
».
- ↑ En effet
identifié localement à
dépend de
et de
.
- ↑ Obtenu en divisant haut et bas par
d'où
- ↑ Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Développement Limité.
- ↑ Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel, au voisinage de zéro,
si
, ici
valant
.
- ↑ Avec
on trouve
que l'on arrondit à
.
- ↑ Déplacement le long d'un grand cercle.
- ↑ Il serait même préférable de travailler à
près, sous cette condition une force sera négligeable si sa norme est
.
- ↑ Force ascendante qu'un fluide exerce sur un objet totalement immergé, de norme égale au poids de « fluide déplacé »
c.-à-d. le fluide
hypothétique
qu'il faudrait mettre à la place de l'objet sans que le champ de pression dans le fluide sans trouve modifié, et pour cela la quantité de fluide extérieur à l'objet
ou extérieur au fluide remplaçant l'objet
doit rester la même
.
- ↑ Ou, si on travaille à
près,
- ↑ Valeur sous pression de
et à la température de
.
- ↑ Ou, si on travaille à
près,
- ↑ La densité d'un objet solide ou liquide est définie relativement à l'eau liquide selon
où
est la masse volumique de l'eau liquide, celle-ci étant prise dans les mêmes conditions de température et de pression que l'objet solide ou liquide
- ↑ Ou, si on travaille à
près,
- ↑ Voir le paragraphe « forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
- ↑ Bien que, dans la pratique, le système
soit indéformable, ce caractère n'est pas nécessaire quand il s'agit de déterminer le mouvement de son centre d'inertie
- ↑ Lequel étant quelconque
dans la limite d'utilisation de la dynamique newtonienne
peut aussi être nul.
- ↑ Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » ainsi que l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Attention, comme on a choisi la base cartésienne
directe dans l'espace physique orienté à droite
voir la note « 25 » plus haut dans ce chapitre
et qu'on définit un angle orienté du plan
, la convention usuelle consisterait à ce que les angles de ce plan soient orientés par le vecteur
correspondant à un angle positif de
vers
c.-à-d. dans le sens rétrograde ; pour éviter cela et obtenir des angles orientés positifs dans le sens direct, on oriente les angles du plan
par le vecteur
- ↑ Avec toutefois le trièdre
orthogonal direct de l'espace physique orienté à droite
voir la note « 25 » plus haut dans ce chapitre
- ↑ Revoir aussi la note « 3 » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ Voir chap.
« Description et paramétrage d'un point : mouvement de vecteur accélération constant » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ C'est cette façon qui a été adoptée au chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » puis précisément aux paragraphes « expression du vecteur vitesse du point », « expression du vecteur position du point » et « déduction des composantes cartésiennes dans le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération »
attention l'angle
n'y a pas la même définition que celle adoptée dans ce chapitre
.
- ↑ C'est cette façon que nous adopterons pour que les deux méthodes soient, au final, exposées dans la leçon
même si l'intégration vectorielle avant projection me semble plus rapide
.
- ↑ La grandeur
étant appelé « intensité de la pesanteur terrestre » au lieu considéré.
- ↑ Voir les paragraphes « mouvement de vecteur accélération constant dans le cas où le vecteur vitesse initiale n'est pas colinéaire au vecteur accélération conduisant à un mouvement plan et à une trajectoire parabolique » et « dans le cas où le vecteur vitesse initiale est colinéaire au vecteur accélération conduisant à un mouvement rectiligne » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ 34,0 et 34,1 Condition Initiale.
- ↑ En effet une des deux équations cartésiennes de la trajectoire étant
c.-à-d. l'équation du plan
.
- ↑ 36,0 36,1 et 36,2 En utilisant
.
- ↑ Dans le plan
, « le point
étant le symétrique du point
sur la trajectoire parabolique dont l'axe de symétrie a pour équation
», les abscisses des deux points
et
sont reliées par
ou
soit encore «
».
- ↑ On remarque que
est égal à
établissant que la durée de la montée du point de lancement jusqu'au sommet est égale à la durée de la descente du sommet jusqu'au point de retombée à la même altitude que le point de lancement.
- ↑ Deux vecteurs coplanaires sont symétriques relativement à un axe du plan s'ils ont même composante le long de l'axe et des composantes opposées perpendiculairement à l'axe et
Deux vecteurs coplanaires sont antisymétriques relativement à un axe du plan s'ils ont même composante perpendiculairement à l'axe et des composantes opposées le long de l'axe
on peut aussi dire qu'un vecteur est l'antisymétrique d'un autre s'il est opposé au symétrique de cet autre
.
- ↑ La notion d'hodographe de pôle
du mouvement d'un point n'est pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I., elle est à considérer comme un complément.
- ↑ 41,0 et 41,1 Point fixe du référentiel qui n'est pas nécessairement l'origine du vecteur position du point repéré, nous adoptons la même notation pour simplifier l'exposé.
- ↑ Usuellement on utilise
mais ici
étant réservé pour définir la position de retombée à la même altitude que la position de lancement
- ↑ Le symbole
signifiant « est représenté par » ou « représentant » suivant contexte, nécessitant de préciser l'échelle de représentation
ici des vitesses
en cas d'utilisation pratique
- ↑ 44,0 et 44,1 Par abus d'écriture on écrira
au lieu de
sans oublier que ceci n'a de sens qu'avec le choix d'une échelle des vitesses.
- ↑ On note les coordonnées de
en majuscule pour souligner que ce ne sont pas des grandeurs exprimées avec la même unité que les coordonnées ordinaires repérant
.