Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple

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Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple
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Chapitre no 12
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Loi de la quantité de mouvement : Influence de la résistance de l'air
Chap. suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Frottement de glissement
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Dans tout ce chapitre on se place dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Pendule pesant, description et cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

Définitions du pendule pesant (P.P.) et de son cas limite « le pendule pesant simple (P.P.S.) »[modifier | modifier le wikicode]

Conditions initiales (C.I.) de lancement « 1a » ou « 1b » induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     Les C.I. [10] de lancement du P.P.S. [6] notées «» [11] sont les suivantes :

  • on écarte le P.P.S. [6] de de sa position d'« équilibre stable » [12] et
  • on le lâche sans « vitesse initiale » dans le référentiel d'étude.

     On pourra aussi utiliser les C.I. [10] de lancement du P.P.S. [6] notées «» [11] suivantes :

  • on écarte le P.P.S. [6] de de sa position d'« équilibre stable » [12] et
  • on lui communique une « vitesse initiale » de vecteur situé dans le plan vertical de lancement du référentiel d'étude.

Établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b »[modifier | modifier le wikicode]

     Nous considérons dans un 1er temps les C.I. [10] de lancement «» les conditions les plus usuelles et nous étudions son mouvement ultérieur dans le référentiel terrestre supposé galiléen, puis

     nous préciserons les modifications de l'étude dans les C.I. [10] de lancement «».

Bilan des forces agissant sur le P.P.S.[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pendule pesant simple avec repérage sphérique de pôle et d'axe [13] et représentation des deux forces s'appliquant sur le point du P.P.S. [6]

     Le point , repéré par ses coordonnées sphériques de pôle et d'axe [13] vertical descendant, à savoir de base sphérique associée , est soumis à deux forces voir schéma ci-contre :

  • une force à distance, le poids de , et
  • une force de contact, le vecteur tension de la tige « central » [14] dans la mesure où la tige est sans masse [15].

Démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement « 1a » (ou « 1b »)[modifier | modifier le wikicode]

Schéma en perspective d'un pendule pesant simple avec repérage cylindro-polaire d'axe [16] et représentation des deux forces s'appliquant sur le point du P.P.S. [6]

     Préliminaire : La courbe décrite par s'inscrivant sur la sphère de centre et de rayon , le meilleur système de coordonnées est effectivement le système sphérique de pôle et d'axe [13] mais

     Préliminaire : l'utilisation de la r.f.d.n. [17] appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen nécessitant de connaître les composantes sphériques de et celles-ci étant beaucoup trop complexes de plus hors programme de physique de P.C.S.I., on va se rabattre sur le système de coordonnées cylindro-polaires le plus proche du système sphérique à savoir le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe [16] ;

     Préliminaire : avec le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe [16] le point a pour coordonnées cylindro-polaires [18] de base cylindro-polaire associée [19],

     Préliminaire : voir schéma refait en perspective ci-contre à gauche.



     La r.f.d.n. [17] appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur nous conduit à «» ou,
           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur les composantes de et de sur étant nulles [20] on obtient,
           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur après simplification par , «» ou encore,

           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur pour les valeurs de telles que [21] et avec utilisation de la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale «» [22] et après simplification par , l'équation différentielle suivante
           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur «» pour
           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps une des valeurs ,
           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur qui s'intègre, en «» [23] et dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes compte-tenu de la continuité des grandeurs [24] et [25] pour tout , ce qui entraîne la continuité de [26] soit finalement
           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur qui s'intègre, en «» ;

           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur on détermine la constante d'intégration par utilisation partielle des C.I. [10] à savoir [27], [28] soit, avec «», la réécriture de la C.I. [10] selon «» ou «» et par suite
           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur qui s'intègre, en «» ou,

           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur en simplifiant par non identiquement nul,
           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur qui s'intègre, en «» ou enfin,

           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur après intégration «»,
           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur valeur de déterminée par C.I. [10] , soit finalement
           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur qui s'intègre, en «», c.-à-d.
           La r.f.d.n. appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «» projetée sur la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.

     Modifications avec les C.I. de lancement : aucune modification avant l'intervention des C.I. [10] c.-à-d. qu'on établit «» par une 1ère intégration par rapport au temps de la projection de la r.f.d.n. [17] sur , la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. [10] [27], [29] soit, avec «», la réécriture de la C.I. [10] selon «» ou «» et par suite «» ou, en simplifiant par non identiquement nul,
           Modifications avec les C.I. de lancement : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. qu'on établit «» ou enfin,

           Modifications avec les C.I. de lancement : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. après intégration «»,
           Modifications avec les C.I. de lancement : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. valeur de déterminée par C.I. [10] , soit finalement
           Modifications avec les C.I. de lancement : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. qu'on établit «»,
           Modifications avec les C.I. de lancement : aucune modification avant l'intervention des C.I. c.-à-d. la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.

En complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. « 1a » ou « 1b »[modifier | modifier le wikicode]

     Si le P.P.S. [6] se déplace dans un fluide suffisamment visqueux pour que la force de résistance à l'avancement soit linéaire,
     Si le P.P.S. [6] est qualifié d'« amorti » P.P.S.A.[30] c.-à-d. qu'aux forces précédentes s'exerçant sur un P.P.S. [6] à savoir le poids de et le vecteur tension de la tige sans masse,
              Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. c.-à-d. qu'aux forces précédentes s'ajoute une force de frottement fluide linéaire avec
              Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. c.-à-d. qu'aux forces précédentes s'ajoute une force de frottement fluide linéaire constante dépendant du fluide enveloppant le P.P.S.A. [30] ;

              Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. lancé dans les C.I. [10] de lancement «» ou «», le P.P.S.A. [30] a encore un mouvement plan dans le plan vertical de lancement, en effet :

              Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. [17] appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen «»
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» [31], [32] ou, avec le repérage cylindro-polaire d'axe ainsi que
                                 Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» ou, avec l'expression de la vitesse orthoradiale et
                                 Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» ou, avec la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale
                                 Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» ou, avec la forme semi intégrée [22], [33],
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» soit, en multipliant par [34] et en normalisant,
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1er ordre en homogène suivante
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» ;

                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur on intègre cette équation différentielle sur l'intervalle de temps continu est le 1er instant correspondant au passage du P.P.S.A. [30] par sa position d'équilibre stable [12] et on obtient
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» [35] est une constante réelle d'intégration et
                          Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» où la constante de temps d'amortissement de la solution, avec
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur déterminée par utilisation partielle des C.I. [10] [27], [36] soit, avec «», la réécriture de la C.I. [10] selon «» ou «» et par suite «» ;

                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur de la continuité des grandeurs [24] et [25] pour tout , on en déduit celle de en particulier pour d'où le prolongement de la définition de selon «» ;

                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur on poursuit l'intégration de l'équation différentielle sur l'intervalle de temps continu suivant est l'instant suivant qui correspond au passage du P.P.S.A. [30] par sa position d'équilibre stable [12] et on obtient
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» [35] est une constante réelle d'intégration et
                          Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» où constante de temps d'amortissement de la solution, avec
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur déterminée par utilisation de la continuité de à l'instant soit, avec « » et «», «» et par suite «» puis,
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur par continuité en , «» ;

                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur poursuivant l'intégration sur l'intervalle de temps continu suivant et déterminant la constante d'intégration par utilisation de la continuité en , on obtient la « nullité de sur », « nullité que l'on prolonge sur » par continuité

                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur Après un nombre suffisant d'intégrations sur les intervalles de temps continus et
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur Après utilisation de la continuité aux deux bornes de l'intervalle on en déduit
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» ou, en simplifiant par non identiquement nul,
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «» ou enfin, après une dernière intégration temporelle «», la valeur étant déterminée par C.I. [10] «» «», soit finalement
                    Si le P.P.S. est qualifié d'« amorti » P.P.S.A. la r.f.d.n. projetée sur «», c.-à-d. la nature plane du mouvement de dans le plan de lancement.

Conséquence de la nature plane du mouvement du P.P.S. dans les C.I. de lancement « 1a » ou « 1b »[modifier | modifier le wikicode]

     Le mouvement du P.P.S. [6] et en complément celui du P.P.S.A. [30] étant plan si ses C.I. [10] de lancement sont «» ou «», le point associé au P.P.S. [6] ou en complément au P.P.S.A. [30] décrit un mouvement circulaire de centre compte-tenu de la rigidité de la tige ou du caractère inextensible du fil tendu, c'est donc un mouvement à un degré de liberté [37].

Choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle « le centre du mouvement circulaire du P.P.S. »[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un P.P.S. [6] à mouvement circulaire d'axe passant par avec repérage polaire de pôle et d'axe du point du P.P.S. [6] et représentation des deux forces s'appliquant sur

     Le mouvement est plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant l'axe passant par et au plan vertical initial, le mouvement de est circulaire d'axe  ;

     il devient alors intéressant de reprendre le repérage du point par ses coordonnées sphériques ou, puisque reste constant et que l'est aussi s'identifiant à , par les deux 1ères coordonnées sphériques de s'identifiant alors à ses coordonnées polaires de pôle et d'axe du plan vertical initial, la base polaire de ce plan liée au point étant et l'angle polaire de étant orienté par , voir ci-contre.

     Le mouvement du point est alors entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire l'abscisse angulaire du point est le « paramètre de position de ce dernier ».

Mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n., équation différentielle non linéaire du 2ème ordre, absence de solution analytique (d'où nécessité de résolution numérique dans le cas général)[modifier | modifier le wikicode]

Mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.[modifier | modifier le wikicode]

     La r.f.d.n. [17] appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen s'écrivant «», projetons la sur pour éliminer à voir schéma ci-contre d'où «» avec l'accélération orthoradiale en repérage polaire «» [38] ou, en utilisant , «» soit encore «» ou finalement, sous forme normalisée,

«» c.-à-d.
une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre.

     Remarque : La projection sur de la r.f.d.n. [17] appliquée à dans le référentiel terrestre galiléen nous permettrait de déterminer la « tension » de la tige [39]
           Remarque : La projection sur de la r.f.d.n. selon «» avec l'accélération radiale en repérage polaire «» [38] ou, en utilisant , «» soit encore «» donnant l'expression de la « tension » de la tige [39] suivante
           Remarque : La projection sur de la r.f.d.n. selon «» ;

     Remarque : usuellement étant s'identifie à la norme du vecteur tension, il n'y a alors aucun changement si on remplace la tige par un fil idéal, celui-ci restant tendu, mais

     Remarque : usuellement si devient correspondant à une abscisse angulaire de valeur absolue à , correspondant pourrait peut être prendre des valeurs négatives
     Remarque : usuellement si devient correspondant à une abscisse angulaire de valeur absolue à , la tige empêchant alors le point de se rapprocher de l'axe ;
     Remarque : usuellement si devient si peut devenir , la valeur de pour laquelle s'annule en changeant de signe
     Remarque : usuellement si devient si peut devenir , la valeur de correspondra, dans le cas où on remplace la tige rigide sans masse par un fil idéal,
     Remarque : usuellement si devient si peut devenir , la valeur de correspondra, à une position pour laquelle le fil cessera d'être tendu,
     Remarque : usuellement si devient si peut devenir , la valeur de correspondra, à une position pour laquelle le mouvement ultérieur n'étant alors plus circulaire.

Absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.[modifier | modifier le wikicode]

     Cette équation différentielle du 2ème ordre en «» n'étant pas linéaire, sa résolution est, a priori, nettement plus compliquée et est même,
     Cette équation différentielle du 2ème ordre en «» n'étant pas linéaire, sa résolution est, a postériori, impossible avec les fonctions usuelles connues à ce jour, en effet

             l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre, «» n'a pas de solution analytique [40], [41] d'où la nécessité d'une résolution numérique [42] qui est alors la seule façon possible d'obtenir une solution.

En complément, mise en équation du « P.P.S.A. »[modifier | modifier le wikicode]

     Nous considérons maintenant un P.P.S.A. [30] c.-à-d. qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, en plus des deux autres forces agissant sur un P.P.S.N.A. [43],
           Nous considérons maintenant un P.P.S.A. c.-à-d. qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, une « force de résistance à l'avancement linéaire » avec
           Nous considérons maintenant un P.P.S.A. c.-à-d. qu'il se déplace dans un fluide exerçant sur lui, une « constante dépendant, entre autres, du fluide dans lequel se déplace le P.P.S.A. [30] » ;

     nous avons vu que le P.P.S.A. [30] lancé dans les C.I. [10] de lancement «» ou «» conserve un mouvement plan dans le plan vertical de lancement [44], ce qui permet de choisir comme système de repérage du point associé au P.P.S.A. [30] dans ce plan, le repérage polaire de pôle lié à , « les coordonnées polaires de ce dernier, de même que les vecteurs de base associés, étant les mêmes que celles et ceux précédemment introduit(e)s dans un P.P.S.N.A. [43] » [45] ;

     appliquant la r.f.d.n. [17] à dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «» soit, en projetant sur dans le but d'éliminer ,
           appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «» avec la vitesse et l'accélération orthoradiales en polaire s'écrivant
         appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «» avec [46] et [38] ou, en utilisant , «» et «» soit encore «» ou finalement, sous forme normalisée,
           appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel terrestre galiléen on obtient «» c.-à-d.
           appliquant la r.f.d.n. à dans le référentiel terrestre galiléen on obtient une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en avec terme du 1er ordre.

     L'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre n'ayant pas de solution analytique [40], il en est de même de « l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en avec terme du 1er ordre linéaire[47] » [48] qui est donc sans solution analytique [40] et nécessite une résolution numérique [49]

Approximation linéaire, dans le cadre des « petites élongations angulaires », du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des « petites élongations angulaires »[modifier | modifier le wikicode]

Cadre des « petites élongations angulaires »[modifier | modifier le wikicode]

     Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » [50] est de lancer le P.P.S. [6] avec les C.I. «» soit sans vitesse angulaire initiale «» et
               Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » est de lancer le P.P.S. avec les C.I. «» soit l'abscisse angulaire initiale de valeur absolue «» [51] ;

           Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépasse pas » [52] et
           Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'absence de vitesse angulaire initiale « la valeur absolue de l'élongation angulaire reste petite [51].

Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cadre des « petites élongations angulaires » [50] on a [51] permettant d'effectuer un D.L. [53] à l'ordre un en de au voisinage de [54] selon
                    Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en de «[51] à l'ordre un en » et par suite
          Dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'équation différentielle suivie par le P.P.S. [6] devient linéaire selon «» c.-à-d.
    Dans le cadre des « petites élongations angulaires » une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en sans terme d'amortissement et homogène.

Approximation linéaire du P.P.S. dans le cadre des « petites élongations angulaires » et oscillateur harmonique[modifier | modifier le wikicode]

     Le P.P.S.N.A. [43] est donc linéarisable dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » [50] et
          Le P.P.S.N.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmoniquenon amorti» de pulsation propre appelée
         Le P.P.S.N.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmoniquenon amorti» de pulsationpropredes petites élongations angulaires [50].

Période des « petites élongations angulaires » du P.P.S.[modifier | modifier le wikicode]

     On en déduit la « période propre des petites élongations angulaires [50] du P.P.S.N.A. [43] à un degré de liberté » [55] ;

     on constate qu'en un lieu fixé, le P.P.S. [6] « bat plus vite » [56] pour une longueur de pendule plus courte et
     on constate qu'un même P.P.S. [6] « bat plus vite » [56] pour une intensité de pesanteur plus grande ainsi le P.P.S. [6] sur Terre « bat un peu plus rapidement » [56] aux pôles qu'à l'équateur [57] et
                  on constate qu'un même P.P.S. bat plus vite » pour une intensité de pesanteur plus grande ainsi le même P.P.S. [6] « bat nettement plus vite » [56] sur Terre (♁) que sur la Lune (☽) [58], [59].

En complément, P.P.S.A. dans le cadre des « petites élongations angulaires »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cadre des « petites élongations angulaires » [50] on a toujours [51], [60] permettant d'effectuer un D.L. [53] à l'ordre un en de au voisinage de [54] selon
                           Dans le cadre des « petites élongations angulaires » on a toujours permettant d'effectuer un D.L. à l'ordre un en de «[51] à l'ordre un en » et par suite
          Dans le cadre des « petites élongations angulaires » l'équation différentielle suivie par le P.P.S.A. [30] devient linéaire selon «» c.-à-d.
    Dans le cadre des « petites élongations angulaires » une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre en avec terme d'amortissement et homogène.

     Le P.P.S.A. [30] est donc linéarisable dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » [50] et
          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » de pulsation propre appelée
          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » de pulsationpropredes petites élongations angulaires [50] et
          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » dont le mouvement est « apériodique », « apériodique critique » ou « pseudo périodique »
          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans cette hypothèse il devient un « oscillateur harmonique amorti » dont le mouvement est suivant la valeur du cœfficient d'amortissement [61], [62] ;

          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans le cas le plus fréquent , le mouvement est pseudo périodique de « pseudo pulsation des petites élongations angulaires [50] » [63]
     Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans le cas le plus fréquent , le mouvement est pseudo périodique et de « pseudo période associée » avec
          Le P.P.S.A. est donc linéarisable dans le cas le plus fréquent , le mouvement est pseudo périodique de « la période propre des petites élongations angulaires [50] du P.P.S.N.A. [43] », la pseudo période des petites élongations angulaires [50] du P.P.S.A. [30] pour une même période propre étant d'autant plus grande que son cœfficient d'amortissement l'est.

Détermination de l'équation du portrait de phase (« intégrale 1ère du mouvement ») dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     Compte-tenu de la « définition du portrait de phase d'un système dynamique à un degré de liberté » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on peut obtenir
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, dans le cas présent, en cherchant un lien entre et au même instant sans que ce dernier n'intervienne c.-à-d.
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, dans le cas présent, en intégrant une 1ère fois l'équation différentielle du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre [64], l'intégration une 1ère fois
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, par rapport à de nécessitant de multiplier les deux membres de l'équation différentielle du 2ème ordre en par [65] et
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, par rapport à de devenu après avoir multiplié les deux membres de l'équation différentielle du 2ème ordre en par
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, par rapport à de devenu n'introduisant aucune difficulté [66].

   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre s'il y avait un terme du 1er ordre dans l'équation différentielle du 2ème ordre en comme c'est le cas pour un P.P.S.A. [30],
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres de l'équation différentielle du 2ème ordre en par
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres conduirait à une impossibilité d'intégrer une 1ère fois par rapport à car
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres devenu après avoir multiplié les deux membres de l'équation différentielle par
   Compte-tenu de la « l'équation du portrait de phase, Remarque : par contre multiplier les deux membres devenu n'admet pas de primitive relativement à pour a priori inconnue.

     En conclusion on obtient l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. [43] en intégrant une fois par rapport à son équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre,
     En conclusion on obtient le résultat étant alors une équation différentielle du 1er ordre en dépendant des C.I. [10] de lancement,
     En conclusion on obtient le résultat étant alors une équation que l'on appelle « intégrale 1ère du mouvement » du P.P.S.N.A. [43] mais

conclusion on n'obtient pas d'équation du portrait de phase d'un P.P.S.A. [30] en intégrant une fois par rapport à son équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en avec terme du 1er ordre [67]
      conclusion on n'obtient pas d'équation du portrait de phase d'un P.P.S.A. la détermination de l'équation du portrait de phase suivant C.I. [10] de lancement ne pouvant se faire que numériquement

C.I. de lancement pour un P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     Le plus simple pour être dans le cas général d'un P.P.S.N.A. [43] à un degré de liberté
     Le plus simple est de lancer le P.P.S.N.A. [43] avec les C.I. [10] «» c.-à-d. « on écarte le P.P.S. [6] de de sa position d'équilibre stable » [12] et
                 Le plus simple est de lancer le P.P.S.N.A. avec les C.I. «» c.-à-d. on le lâche avec un « vecteur vitesse initial dans le plan de lancement » correspondant à
                 Le plus simple est de lancer le P.P.S.N.A. avec les C.I. «» c.-à-d. on le lâche avec une vitesse angulaire initiale ».

Intégrale 1ère du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre du mouvement du P.P.S.N.A. [43] «» [68],
     Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par pour intégrer une fois par rapport à soit «»,
     Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par le membre de gauche étant « la dérivée temporelle de », d'où
     Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par l'intégrale 1ère du mouvement cherchée «»,
     Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par la constante d'intégration se déterminant par C.I. [10] soit «» et par suite
     Partant de l'équation différentielle non linéaire on multiplie de part et d'autre par la réécriture de l'intégrale 1ère du mouvement du P.P.S.N.A. [43] «» [69].

Équation du portrait de phase d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté lancé dans les C.I. « 1b U 1a »[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation, sous forme implicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. [43] à un degré de liberté lancé dans les C.I. [10] «» correspondant à l'intégrale 1ère du mouvement de ce dernier [70],
                 L'équation, sous forme implicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. «» s'écrit donc «» [69].

Cas particulier des « petites élongations angulaires » du P.P.S.(N.A.) dans les C.I. de lancement « 1a »[modifier | modifier le wikicode]

     Les « petites élongations angulaires » [50] du P.P.S.N.A. [43] sont assurées dans les C.I. [10] de lancement «» [71] d'où l'intégrale 1ère de son mouvement selon «»
                            Les « petites élongations angulaires » du P.P.S.N.A. sont assurées dans les C.I. de lancement «» d'où avec [51] et [51] conséquence de [60] ;

           Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. [53] de et à l'ordre deux respectivement en et au voisinage de [72] soit
               Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de « à l'ordre deux en » et « à l'ordre deux en »,

               Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de dont on tire, par report dans l'intégrale 1ère du mouvement du P.P.S.N.A. [43] étudié,
               Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de «» que l'on peut réécrire selon
               Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de «» ou encore «» et au final,
               Les « petites élongations angulaires » nous pouvons alors faire un D.L. de en introduisant la pulsation des « petites élongations angulaires [50] », «» [73].

Portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particulier des petites élongations angulaires[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés des portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »[modifier | modifier le wikicode]

     Rappelant l'équation, sous forme implicite, du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] «» et

     constatant que « est une fonction de sur », on en déduit deux tracés possibles suivant que cette fonction peut ou non s'annuler, plus précisément :

  • « si le 2nd membre est » [74], « ne s'annule jamais » et « comme est une fonction continue, elle gardera le signe de » c.-à-d. que
          « si le 2nd membre est », « nous aurons un mouvement continu dans un même sens, celui du lancement » ;
  • « si le 2nd membre s'annule pour une valeur de » [75], « s'annulant pour cette valeur, il en est de même de ce qui correspond à un extremum de ou
          « si le 2nd membre s'annule pour une valeur de », « s'annulant pour cette valeur, il en est de même de ce qui correspond à une valeur de stationnarité [76] »,
          « si le 2nd membre s'annule pour une valeur de », mais, comme il est impossible que continue de au-delà de [77], on en déduit que
          « si le 2nd membre s'annule pour une valeur de », mais, « est un extremum de » et non une valeur de stationnarité [76], c.-à-d. qu'arrivé en où la vitesse angulaire est nulle, le seul mouvement possible est la de dans le sens négatif jusqu'à où la vitesse angulaire est de nouveau nulle, le seul mouvement possible étant alors la de dans le sens positif

2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement révolutif et propriétés du portrait de phase correspondant[modifier | modifier le wikicode]

     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] [78], soit strictement positif » c.-à-d. pour avoir
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase «» [79] laquelle est une fonction de sur , il suffit que
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase le minimum de cette fonction de variable sur soit strictement positif c.-à-d.
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , il suffit que la conditionsoit réalisée c.-à-d.
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , il suffit d'avoir pour 2ème C.I. [10] de lancement «» ;

     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , « ne s'annulant jamais laquelle, étant une fonction continue de ,
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , « ne s'annulant jamais gardera le signe de » c.-à-d. que
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , nous aurons un « mouvement révolutif dans le sens du lancement » :
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , « si est avec », la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. [43] en « mouvement révolutif dans le sens positif » est «», avec les propriétés suivantes :
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , « si est « à partir de jusqu'à »,
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , « si est « le portrait de phase est ouvert »,
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , « si est « le portrait de phase est constitué du motif de l'intervalle et de la répétition infinie dans le sens des du motif de l'intervalle » minimum de obtenu pour et valant et maximum de obtenu pour et valant  ;

     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , « si est avec », la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. [43] en « mouvement révolutif dans le sens négatif » est «», avec les propriétés suivantes :
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , « si est « à partir de jusqu'à »,
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , « si est « le portrait de phase est ouvert »,
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , « si est « le portrait de phase est constitué du motif de l'intervalle et de la répétition infinie dans le sens des du motif de l'intervalle » minimum de obtenu pour et valant [80] et maximum de obtenu pour et valant [81].

     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , Remarque : portraits de phase associés à et
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase ou, comme le minimum est atteint pour , Remarque : portraits de phase symétriques l'un de l'autre relativement à[82], [83].

2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement oscillatoire et propriétés du portrait de phase correspondant[modifier | modifier le wikicode]

     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] [78] soit »,
                       Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. soit avec valeur de annulant ce 2nd membre c.-à-d. pour avoir
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase «» [79] laquelle est une fonction de sur , il suffit que
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase le minimum de cette fonction de variable sur soit c.-à-d. et
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase le maximum de cette fonction de variable sur soit c.-à-d. ou
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour et le maximum pour , il suffit que les conditions
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour et le maximum pour , il suffit que les conditions soient simultanément réalisées c.-à-d.
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour et le maximum pour , il suffit d'avoir pour 2ème C.I. [10] de lancement
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour et le maximum pour , il suffit d'avoir «» [84] ;

     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , s'annulant pour une valeur particulière de , il en est de même pour
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , ce qui correspond à un extremum de ou à une valeur de stationnarité [76]
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , mais, comme il est impossible que continue de au-delà de [77], on en déduit que
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , mais, « est un extremum de » et non une valeur de stationnarité [76], c.-à-d. que
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , nous aurons un « mouvement oscillatoirenon amortidu P.P.S.N.A. [43] d'amplitude[85] » :

     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est avec », la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. [43] en « mouvement oscillatoire » est «» [86], avec les propriétés suivantes :
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « à partir de jusqu'à s'annule » puis
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « jusqu'à s'annule de nouveau » ensuite
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « jusqu'à s'annule encore » et ainsi de suite

     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « portrait de phase fermé »,
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « décrit par son point générique dans le sens horaire [87],
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « portrait de phase symétrique par rapport à» [88], [89], [90] ;

     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est avec », la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. [43] en « mouvement oscillatoire » est «» [86], avec les propriétés suivantes :
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « à partir de jusqu'à s'annule » puis
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « jusqu'à s'annule de nouveau » ensuite
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « jusqu'à s'annule encore » et ainsi de suite
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « portrait de phase fermé »,
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « décrit par son point générique dans le sens horaire [87],
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « portrait de phase symétrique par rapport à» [88], [89], [90] ;

     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est [91], [92] », la forme explicite de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. [43] en « mouvement oscillatoire » est «» [86], avec les propriétés suivantes, dans la mesure où est [93] :
   Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « à partir de jusqu'à s'annule [92] » puis
   Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « jusqu'à s'annule de nouveau [92] » ensuite
   Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « jusqu'à s'annule encore [92] » etc
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « portrait de phase fermé »,
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « décrit par son point générique dans le sens horaire [87],
     Pour que le « 2nd membre de l'équation du portrait de phase comme le minimum est atteint pour , « si est « portrait de phase symétrique par rapport à» [88], [89], [90].

2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. s'arrête en sa position d'équilibre instable et propriétés du portrait de phase correspondant[modifier | modifier le wikicode]

     La 2ème C.I. [10] de lancement d'un P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] pour que le P.P.S. [6] s'arrête en sa position d'équilibre instable [94] est «» [95], [96],
          La 2ème C.I. de lancement cette condition assurant que « le 2ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. [43]
                 La 2ème C.I. de lancement cette condition assurant que « le 2ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. s'annule pour » c.-à-d.
                 La 2ème C.I. de lancement cette condition assurant que « le 2ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. s'annule à la position d'équilibre instable du P.P.S.N.A. [43], [94] et,
                 La 2ème C.I. de lancement cette condition assurant que « le 2ème membre de l'équation du portrait de phase du P.P.S.N.A. par suite de la nullité de la vitesse angulaire en cette position,
          La 2ème C.I. de lancement cette condition assurant une position d'arrêt en la position d'équilibre instable [94] ;

          La 2ème C.I. de lancement cette condition « si est », plus exactement « si », l'équation, sous forme explicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] précitées s'écrit selon «», l'élongation angulaire de jusqu'à correspondant à la position d'équilibre instable [94] du P.P.S.N.A. [43] où il s'arrête, y ayant une vitesse angulaire nulle [97] ;

          La 2ème C.I. de lancement cette condition « si est », plus exactement « si », l'équation, sous forme explicite, du portrait de phase du P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] précitées s'écrit selon «», l'élongation angulaire de jusqu'à correspondant à la position d'équilibre instable [94] du P.P.S.N.A. [43] où il s'arrête, y ayant une vitesse angulaire nulle [97].

Tracé des portraits de phase dans le cas général « d'oscillations ou de mouvement révolutif » d'un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »[modifier | modifier le wikicode]

  • Ci-dessus à gauche deux portraits de phase d'un P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] correspondant donc à un mouvement oscillatoire d'élongation angulaire initiale respective pour l'un et pour l'autre ;
  • ci-dessus au centre deux portraits de phase d'un P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] telles que le mouvement obtenu soit révolutif à savoir une même élongation angulaire initiale de et une vitesse angulaire initiale positive de pour l'un et pour l'autre ;
       figure aussi, pour comparaison, le portrait de phase du même P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] correspondant donc à un mouvement oscillatoire et de même élongation angulaire initiale que les deux autres ;
  • ci-dessus à droite le portrait de phase d'un P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] telles que son mouvement s'arrête en sa position d'équilibre instable [94] à savoir une vitesse angulaire initiale estimée à pour une élongation angulaire initiale de il s'agit du tracé correspondant à pour une variation de partant de et s'arrêtant à , mais on a aussi représenté, en traits pleins [98], l'amorce de la suite de ce portrait de phase si une perturbation extérieure faisait sortir le P.P.S.N.A. [43] de cette position d'équilibre instable [94] avec une vitesse angulaire [99] négative à partir de en s'arrêtant à nouvelle position d'équilibre instable [94] ou positive à partir de en passant par la position d'équilibre stable et en s'arrêtant à nouvelle position d'équilibre instable [94] ;
       figure aussi, pour comparaison, le portrait de phase du même P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] correspondant donc à un mouvement oscillatoire et de même élongation angulaire initiale que le précédent ainsi que celui du même P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] telles que son mouvement soit révolutif à savoir une élongation angulaire initiale de et une vitesse angulaire initiale de .

     Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. [43] à partir de son portrait de phase [100] : exemple du portrait de phase du P.P.S.N.A. [43] lancé sous C.I. [10] avec «
                               Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. à partir de son portrait de phase : exemple du portrait de phase du P.P.S.N.A. lancé sous C.I. avec « » ci-dessus à droite :
           Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. partant de et , point de l'axe des élongations angulaires le plus à gauche du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. [6] la plus déviée dans le sens négatif, le point du portrait de phase remonte vers et , point de l'axe des vitesses angulaires le plus haut du portrait de phase, correspondant au passage par la position d'équilibre stable [12] avec une vitesse angulaire positive,
           Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. puis le point du portrait de phase redescend vers et , point de l'axe des élongations angulaires le plus à droite du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. [6] la plus déviée dans le sens positif,
           Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. ensuite le point du portrait de phase redescend vers et , point de l'axe des vitesses angulaires le plus bas du portrait de phase, correspondant au passage par la position d'équilibre stable [12] avec une vitesse angulaire négative,
           Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. enfin le point du portrait de phase remonte vers et , point de l'axe des élongations angulaires le plus à gauche du portrait de phase, correspondant à la position du P.P.S. [6] la plus déviée dans le sens négatif
           Description du mouvement d'un P.P.S.N.A. et ainsi de suite

Nature des portraits de phase dans le cas particulier des « petites élongations angulaires » d’un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a »[modifier | modifier le wikicode]

     L'équation, sous forme implicite, d'un portrait de phase d'un P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] pour être sous « petites élongations angulaires » [50] étant «» [101] avec
                L'équation, sous forme implicite, d'un portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. pour être sous « la pulsation des petites élongations angulaires » [50], on en déduit

                                        la nature de ce portrait de phase [102] : une ellipse centrée au point origine et d'axes confondus avec l'axe des élongations angulaires et celui des vitesses angulaires,
                                               la nature de ce portrait de phase : le demi axe sur le 1er [103] étant de valeur et sur le 2nd [103] de valeur ,
                                               la nature de ce portrait de phase : l'ellipse étant décrite dans le sens horaire [87].

Tracé des portraits de phase dans le cas particulier des « petites élongations angulaires » d’un P.P.S. lancé dans les C.I. « 1a »[modifier | modifier le wikicode]

Tracé du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. [43] dans le cadre des petites élongations angulaires [50], le P.P.S.N.A. [43] étant lancé sans vitesse angulaire initiale d'une position d'abscisse angulaire

     Chaque portrait de phase d'un P.P.S.N.A. [43] lancé dans les C.I. [10] telles que ce dernier oscille dans le cadre des petites élongations angulaires [50] est une ellipse centrée au point origine, dont les axes de symétrie sont les axes du repère dans lequel il est tracé, de demi axes [103] sur l'axe des élongations angulaires étant l'élongation angulaire initiale et sur l'axe des vitesses angulaires étant la pulsation propre des petites élongations angulaires [50], l'ellipse étant décrite dans le sens horaire [87] voir ci-contre, y étant positive ;

     nous allons, une nouvelle fois, faire le lien entre le portrait de phase et le mouvement de l'oscillateur sur l'exemple du P.P.S.N.A. [43] dont le portrait de phase est représenté ci-contre :

  • et correspond au passage du P.P.S.N.A. [43] par sa position d'équilibre stable[12] dans le sens positif, puis
  • et correspond à la position extrême du P.P.S.N.A. [43] dans le sens positif est donc l'amplitude d'oscillations du P.P.S.N.A. [43], ensuite
  • et correspond au retour du P.P.S.N.A. [43] par sa position d'équilibre stable[12] dans le sens négatif, enfin
  • et correspond à la position extrême du P.P.S.N.A. [43] dans le sens négatif on retrouve ainsi que est bien l'amplitude d'oscillations du P.P.S.N.A. [43] etc

En complément, allure des portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. « 1b U 1a »[modifier | modifier le wikicode]

     Les équations des portraits de phase d'un P.P.S.A. [30] ne pouvant pas être déterminées analytiquement l'ont été numériquement à l'aide d'un logiciel de calcul ;

     la résistance à l'avancement exercée par le fluide dans lequel peut se déplacer le P.P.S. [6] est linéaire et suffisamment modérée pour observer

  • des pseudo oscillations du P.P.S.A. [30] lancé dans les C.I. [10] autour de la position d'équilibre stable [12] de ce dernier d'élongation angulaire ou,
  • un mouvement révolutif amorti sur un ou plusieurs tours dans le sens positif ou négatif [104] d'un P.P.S.A. [30] lancé dans les C.I. [10] ,
    un mouvement révolutif amorti suivi de pseudo oscillations autour de la position d'équilibre stable [12] d'élongation angulaire avec nombre de tours du mouvement révolutif amorti précédant les pseudo oscillations.
  • Ci-dessus à gauche le portrait de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. [10] avec une élongation angulaire initiale , la longueur du P.P.S.A. et le cœfficient de frottement fluide ainsi que la masse du P.P.S. tels que pour rappel l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en du P.P.S.A. [30] étant « » [105] ;
       on y observe des « pseudo-oscillations autour de la position d'équilibre stable » [12] d'élongation angulaire c.-à-d. un portrait de phase « ouvert », « spiralant autour du point origine», point asymptotique du portrait de phase représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre stable [12], le portrait de phase étant décrit dans le sens horaire [87] ;
  • Ci-dessus à droite deux portraits de phase du même P.P.S.A. [30] lancé dans les C.I. [10] avec une élongation angulaire initiale ,
       la vitesse angulaire initiale du 1er étant [106] ne conduisant qu'à des pseudo oscillations du P.P.S.A. [30] autour de sa position d'équilibre stable [12] avec les élongations angulaires extrêmes de la 1ère pseudo oscillation ou en degrés , portrait de phase « ouvert », « spiralant autour du point origine», point asymptotique du portrait de phase représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre stable [12], le portrait de phase étant décrit dans le sens horaire [87] et
       la vitesse angulaire initiale du 2nd étant conduisant à un mouvement révolutif amorti du P.P.S.A. [30] sur un seul tour au passage à la position d'équilibre instable [94] le P.P.S.A. [30] a encore une vitesse angulaire suivi de pseudo oscillations autour de la position d'équilibre stable [12] repérée par , le portrait de phase étant « ouvert », tout d'abord « décrit d'un même côté de l'axe des élongations angulaires » [107] puis « spiralant autour du point[108] », point asymptotique du portrait de phase représentant la position d'arrêt du mouvement à l'équilibre stable [12], le portrait de phase étant décrit dans le sens horaire [87].

En complément, absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté, expression empirique de « de Borda » de la période dans le cas général d’oscillations[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'« isochronisme » d'un oscillateur[modifier | modifier le wikicode]

     Si « la période d'un oscillateur est indépendante de l'amplitude des oscillations de ce dernier », on dit qu'il possède la propriété d'« isochronisme » ;

     c’est le cas d'un oscillateur harmonique de pulsation propre , la période de ce dernier étant quelle que soit son amplitude d'oscillations.

Absence d'« isochronisme » d'un P.P.S.(N.A.)[modifier | modifier le wikicode]

     Expérimentalement on observe que la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. [43] lancé sous C.I. [10] « avec l'amplitude de ses oscillations » [109], [110], cette étant mesurable, par exemple,

     on trouve que la période pour une amplitude de est de plus grande que celle pour une amplitude de [111] soit «» [112],
           on trouve que la période pour une amplitude de est de plus grande que celle pour une amplitude de ce qui met bien en évidence l'absence d'isochronisme d'un P.P.S.N.A. [43] [113].

Expression empirique dite de « de Borda » de la période d'oscillations d’un P.P.S. à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. [43] à un degré de liberté, trouvée empiriquement et
            On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté, connue à l'heure actuelle sous le nom de « formule de de Borda » [114], [115]
            On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. «» avec période propre des petites élongations angulaires [50] et
            On dispose d'une expression approchée de la période d'oscillations d'un P.P.S.N.A. «» avec l'amplitude des oscillations [116] a priori non petite exprimée en  ;

     cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul numérique par intégrale » qui sera établi dans le paragraphe « détermination de la nature périodique du mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et expression de sa période sous forme intégrale » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » pour des valeurs de non petites : plus précisément
     cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul numérique par intégrale » si , l'écart entre le résultat exact donné par le calcul d’intégrale et
     cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul numérique par intégrale » si , l'écart entre celui approché donné par la formule de de Borda [114], [115]
     cette formule donne un résultat en accord avec le « calcul numérique par intégrale » si , l'écart est , résultat approché par formule de de Borda [114], [115] par défaut ;

on peut donc estimer correct le résultat par formule de de Borda [114], [115] pour .

En complément, « résolution numérique » de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1a » puis « 1b », tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant[modifier | modifier le wikicode]

     Le logiciel de calcul numérique utilisé pour résoudre l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en est l'un de ceux proposés par le programme à savoir « Scilab » [117], le programme utilisé [118] est donné dans les paragraphes ci-dessous, les graphes tracés dans chacun d'eux résultant de l'utilisation de ce programme [119]

Résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1a » avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque préliminaire : le principe de résolution d'une équation différentielle d'ordre deux utilisé par « Scilab » [117] consiste à se ramener à un système d'équations différentielles d'ordre un,
     Remarque préliminaire : ainsi pour «» cela donne «», système d'équations différentielles du 1er ordre [120] en les fonctions et
        Remarque préliminaire : ainsi pour «» cela donne «», système d'équations différentielles que l'on doit résoudre simultanément

Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de position d'un P.P.S. [6] lâché sans vitesse angulaire initiale avec un écart angulaire initial par rapport à sa position d'équilibre stable [12] de
Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de vitesse d'un P.P.S. [6] lâché sans vitesse angulaire initiale avec un écart angulaire initial par rapport à sa position d'équilibre stable [12] de
Tracé, obtenu par intégration numérique, du portrait de phase d'un P.P.S. [6] lâché sans vitesse angulaire initiale avec une élongation angulaire initiale relativement à sa position d'équilibre stable [12] de

     Les C.I. [10] de lancement du P.P.S.(N.A.) choisies sont et , l'intensité de la pesanteur valant et la longueur du pendule  ;

     ci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et
     ci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis
     ci-contre le tracé du diagramme horaire de vitesse suivi
     ci-contre le tracé du portrait de phase :

g = 9.81 ;

L = 1.0 ;

%theta0 = -2*%pi/3 ;

%varpi0 = 0 ;

clf()

deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ;

u = ode(v0 , t0 , t , fct) ;

%theta1 = u(1, :) ;

%varpi1 = u(2, :) ;

plot(t , %theta1) ;

drawlater

clf()

plot(t , %varpi1) ;

drawnow

drawlater

clf()

plot(%theta1 , %varpi1) ;

drawnow

     Commentaires du programme : est le vecteur colonne dérivé temporel[121] du vecteur colonne ce qui donne  ;

     Commentaires du programme : et sont respectivement le ième élément des vecteurs colonnes et ainsi et alors que et  ;

     Commentaires du programme : permet de définir le système des deux équations différentielles du 1er ordre en les éléments du vecteur colonne , le 1er argument rappelant que la dérivation de pour obtenir se fait par rapport à  ;

     Commentaires du programme : stocke les C.I. [10], la 1ère concernant le 1er élément du vecteur colonne à savoir et la 2ème le 2ème élément du vecteur colonne à savoir  ;

     Commentaires du programme : donnant respectivement l'instant initial, le pas et l'instant final ;

     Commentaires du programme : résolvant le système en donnant vecteurs colonnes stockées dans la variable , les arguments de la fonction étant les C.I. [10], l'instant initial, la suite des valeurs d'itération et bien sûr l'équation différentielle liant les vecteurs colonnes ;

     Commentaires du programme : tous les 1ers éléments des vecteurs colonnes stockés dans la variable sont réunis dans la variable et tous les 2nds éléments de ces vecteurs colonnes stockés dans la variable sont réunis dans la variable  ;

     Commentaires du programme : trace le diagramme horaire de position du P.P.S.N.A. [43], trace son diagramme horaire de vitesse et trace son portrait de phase  ;

     Commentaires du programme : permet d'effacer le tracé et de le suspendre jusqu'à ce qu'apparaisse

     Conséquences : Il est très difficile sur le diagramme horaire de position d'observer que la fonction « élongation angulaire » n'est pas sinusoïdale et pourtant elle ne l'est pas

     Conséquences : Par contre sur le diagramme horaire de vitesse on observe nettement que la fonction « vitesse angulaire » n’est pas sinusoïdale elle est plus proche d'une fonction triangulaire et cela implique que la fonction primitive « élongation angulaire » n'est pas non plus sinusoïdale ;

     Conséquences : sur les diagrammes horaires de position et de vitesse on observe une période de , l'application non appropriée de la formule de de Borda [114], [115] donnant avec soit au lieu de , « l'application de la formule de de Borda [114], [115] pour une amplitude de » entraînant une erreur de [122] est donc effectivement indue.

     Conséquences : On observe aussi une légère déformation du portrait de phase relativement à celui des « petites élongations angulaires » [50] lequel, rappelons-le, est une ellipse centrée au point origine et ayant pour axes les axes du repère, la courbe gardant les propriétés de fermeture, de symétrie centrale relativement au point origine et d'antisymétries axiales relativement aux axes du repère.

Résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1b » telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant[modifier | modifier le wikicode]

Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de position d'un P.P.S. [6] lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable [12] de et une vitesse angulaire initiale positive juste nécessaire pour qu'il s'arrête en sa position d'équilibre instable [94]
Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de vitesse d'un P.P.S. [6] lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable [12] de et une vitesse angulaire initiale positive juste nécessaire pour qu'il s'arrête en sa position d'équilibre instable [94]
Tracé, obtenu par intégration numérique, du portrait de phase d'un P.P.S. [6] lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable [12] de et une vitesse angulaire initiale positive juste nécessaire pour qu'il s'arrête en sa position d'équilibre instable [94]

     Les C.I. [10] de lancement du même P.P.S.N.A. [43] sont telles que, pour une même élongation angulaire initiale , on choisit une vitesse angulaire initiale de valeur absolue imposant l'arrêt de ce P.P.S.N.A. [43] en sa position d'équilibre instable [94] soit ou, plus exactement, pour que le mouvement se fasse dans le sens positif et que la position d'arrêt soit d'élongation angulaire , on choisit une vitesse angulaire initiale  ;

     ci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et
     ci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis
     ci-contre le tracé du diagramme horaire de vitesse suivi
     ci-contre le tracé du portrait de phase :

g = 9.81 ;

L = 1.0 ;

%theta0 = -2*%pi/3 ;

%varpi0 = 3.132092 ;

clf()

deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ;

w = ode(v0 , t0 , t , fct) ;

%theta2 = w(1, :) ;

%varpi2 = w(2, :) ;

plot(t , %theta2) ;

drawlater

clf()

plot(t , %varpi2) ;

drawnow

drawlater

clf()

plot(%theta2 , %varpi2) ;

drawnow

     Commentaires du programme : revoir le paragraphe précédent « résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S.(N.A.) dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant (commentaires du programme) », les lignes de programme étant identiques à l'exception de

  • la valeur de la vitesse angulaire initiale stockée dans la variable ,
  • le nom de la variable stockant les vecteurs colonnes solutions du système d'équations différentielles à résoudre,
  • le nom de la variable stockant tous les 1ers éléments des vecteurs colonnes stockés dans la variable ainsi que
  • le nom de la variable stockant tous les 2nds éléments des vecteurs colonnes stockés dans la variable

     Conséquences : On observe sur le diagramme horaire de position la stagnation de la fonction « élongation angulaire » à la valeur correspondant à une asymptote parallèle à l'axe des élongations angulaires et repérant la position d'équilibre instable [94] ainsi que

     Conséquences : On observe sur le diagramme horaire de vitesse une limite nulle de la fonction « vitesse angulaire » correspondant à une asymptote confondue avec l'axe des élongations angulaires et repérant une position d'arrêt du P.P.S.N.A. [43] ;

     Conséquences : on observe aussi sur le portrait de phase du P.P.S.N.A. [43] un arrêt du point générique de ce dernier pour l'élongation angulaire correspondant à la position d'équilibre instable [94], la courbe étant donc de longueur finie située d'un même côté de l'axe des élongations angulaires.

Résolution numérique de l’équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. « 1b » telles que le pendule acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant[modifier | modifier le wikicode]

Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de position d'un P.P.S. [6] lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable [12] de et une vitesse angulaire initiale de suffisante pour un mouvement révolutif du P.P.S.N.A. [43]
Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de vitesse d'un P.P.S. [6] lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable [12] de et une vitesse angulaire initiale de suffisante pour un mouvement révolutif du P.P.S.N.A. [43]
Tracé, obtenu par intégration numérique, du portrait de phase d'un P.P.S. [6] lâché avec un écart angulaire initial relativement à sa position d'équilibre stable [12] de et une vitesse angulaire initiale de suffisante pour un mouvement révolutif du P.P.S.N.A. [43]

     Les C.I. [10] de lancement du même P.P.S.N.A. [43] sont telles que, pour une même élongation angulaire initiale , on puisse observer un mouvement révolutif du P.P.S.N.A. [43] et pour cela il est nécessaire de choisir une vitesse angulaire initiale de valeur absolue ou, pour que le mouvement révolutif se fasse dans le sens positif, on choisit une vitesse angulaire initiale  ;

     ci-dessous les lignes de programme de « Scilab » permettant la résolution et
     ci-contre le tracé du diagramme horaire de position puis
     ci-contre le tracé du diagramme horaire de vitesse suivi
     ci-contre le tracé du portrait de phase :

g = 9.81 ;

L = 1.0 ;

%theta0 = -2*%pi/3 ;

%varpi0 = 3.5 ;

clf()

deff('vdot = fct(t,v)' , 'vdot(1) = v(2) ; vdot(2) = -g/L*sin(v(1))') t0 = 0 ; v0 = [%theta0 ; %varpi0] ; t = 0 :0.1 :3 ;

x = ode(v0 , t0 , t , fct) ;

%theta3 = x(1, :) ;

%varpi3 = x(2, :) ;

plot(t , %theta3) ;

drawlater

clf()

plot(t , %varpi3) ;

drawnow

drawlater

clf()

plot(%theta3 , %varpi3) ;

drawnow

     Commentaires du programme : revoir le paragraphe précédent « résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S.(N.A.) dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant (commentaires du programme) », les lignes de programme étant identiques à l'exception de

  • la valeur de la vitesse angulaire initiale stockée dans la variable ,
  • le nom de la variable stockant les vecteurs colonnes solutions du système d'équations différentielles à résoudre,
  • le nom de la variable stockant tous les 1ers éléments des vecteurs colonnes stockés dans la variable ainsi que
  • le nom de la variable stockant tous les 2nds éléments des vecteurs colonnes stockés dans la variable

     Conséquences : On observe sur le diagramme horaire de position une de la fonction « élongation angulaire » avec un rythme de minimal au voisinage de correspondant au passage par la position d'équilibre instable [94] et maximal au voisinage de correspondant au passage par la position d'équilibre stable [12] effectivement en accord avec un mouvement révolutif du P.P.S.N.A. [43] dans le sens positif ainsi que

     Conséquences : On observe sur le diagramme horaire de vitesse une périodicité de la fonction « vitesse angulaire » avec une valeur minimale positive de correspondant au passage par la position d'équilibre instable [94] et maximale positive de correspondant au passage par la position d'équilibre stable [12] ; on mesure sur ce diagramme une période de révolution du P.P.S.N.A. [43] de [123] ;

     Conséquences : on observe aussi sur le portrait de phase du P.P.S.N.A. [43] une périodicité angulaire de ce dernier de période , le minimum positif de la vitesse angulaire correspondant au passage par la position d'équilibre instable [94] et le maximum positif au passage par la position d'équilibre stable [12], la courbe étant « ouverte » située d'un même côté de l'axe des élongations angulaires.

Superposition des trois portraits de phase précédemment tracés[modifier | modifier le wikicode]

Superposition des tracés, obtenus par intégration numérique, des portraits de phase d'un P.P.S. [6] lâché avec une élongation angulaire initiale de
   sans vitesse angulaire initiale en rouge,
   avec une vitesse angulaire initiale positive conduisant à l'arrêt en la position d'équilibre instable [94] en vert et
   avec une vitesse angulaire initiale positive de conduisant à un mouvement révolutif en bleu

     Il s'agit ici de regrouper sur un même diagramme et avec des couleurs différentes les trois portraits de phase du P.P.S.N.A. [43] précédent lâché à partir d'une élongation angulaire initiale

  • sans vitesse angulaire initiale en rouge,
  • avec une vitesse angulaire initiale positive permettant l'arrêt en la position d'équilibre instable [94] en vert et enfin
  • avec une vitesse angulaire initiale plus grande créant un mouvement révolutif du P.P.S.N.A. [43] en bleu

     en ajoutant les quelques lignes de programme à celles déjà exposées dans les trois paragraphes précédents.

     Lignes de programme s'ajoutant aux lignes précédentes pour la superposition des trois portraits de phase :

clf()

plot(%theta1 , %varpi1 , "r" , %theta2 , %varpi2 , "g" , %theta3 , %varpi3 , "b") ;

     Commentaires du programme : On trace plusieurs courbes sur un même diagramme en mettant ces courbes comme argument d'une même fonction , la couleur de tracé de chaque courbe étant mise en 3ème argument après l'abscisse et l'ordonnée, selon

  • “r” pour rouge,
  • “g” pour vert et
  • “b” pour bleu.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Usuellement la source du champ de pesanteur étant la Terre, le référentiel d'étude est le référentiel terrestre.
  2. 2,0 et 2,1 Pendule Pesant.
  3. Centre D'Inertie.
  4. La tige inextensible sans masse peut être remplacée par un fil idéal c.-à-d. inextensible et sans masse mais dans ce cas, il faut que le fil soit tendu pour que l'ensemble « point matériel – fil idéal » soit un P.P.S. pendule pesant simple ;
       c'est pour éviter d'avoir à vérifier que le fil reste tendu c.-à-d. que la force que le fil exerce sur soit dirigée de vers que l'on remplace le fil par une tige inextensible sans masse pour laquelle la force que la tige exerce sur peut être dirigée de vers ou de vers ou même nulle.
  5. Le point matériel est alors confondu avec le C.D.I. du solide , la tige ou le fil étant sans masse.
  6. 6,00 6,01 6,02 6,03 6,04 6,05 6,06 6,07 6,08 6,09 6,10 6,11 6,12 6,13 6,14 6,15 6,16 6,17 6,18 6,19 6,20 6,21 6,22 6,23 6,24 6,25 6,26 6,27 6,28 6,29 6,30 6,31 6,32 6,33 6,34 et 6,35 Pendule Pesant Simple.
  7. Qui est aussi la masse du solide du P.P. pendule pesant, la tige (ou le fil) étant sans masse.
  8. Ou la longueur du fil idéal c.-à-d. inextensible et sans masse.
  9. Se substituant à la distance du P.P. pendule pesant
  10. 10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,11 10,12 10,13 10,14 10,15 10,16 10,17 10,18 10,19 10,20 10,21 10,22 10,23 10,24 10,25 10,26 10,27 10,28 10,29 10,30 10,31 10,32 10,33 10,34 10,35 10,36 10,37 10,38 10,39 10,40 10,41 10,42 10,43 10,44 10,45 10,46 10,47 10,48 10,49 10,50 10,51 10,52 et 10,53 Conditions Initiales.
  11. 11,0 et 11,1 On note car le P.P.S. dans ces conditions initiales de lancement sera à un degré de liberté.
  12. 12,00 12,01 12,02 12,03 12,04 12,05 12,06 12,07 12,08 12,09 12,10 12,11 12,12 12,13 12,14 12,15 12,16 12,17 12,18 12,19 12,20 12,21 12,22 12,23 12,24 12,25 12,26 12,27 12,28 et 12,29 C.-à-d. sur la verticale passant par et au-dessous de ce dernier résultat intuitif mais qui sera établi aux paragraphes « définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté » et « stabilité et instabilité des équilibres en termes de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  13. 13,0 13,1 et 13,2 Voir le paragraphe « repérage sphérique d'un point dans l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  14. Centripète ou centrifuge centripète signifiant « dirigée vers le point » et centrifuge « s'éloignant de » suivant que la tige empêche le point de s'éloigner ou de se rapprocher de .
  15. Nous admettons, pour l'instant, la nécessité que la tige soit sans masse et donc sans poids pour que son vecteur tension soit central, l'établissement de cette propriété nécessitant l'utilisation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un solide en rotation à savoir la tige autour d'un point fixe voir le paragraphe « théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », la notion de moment cinétique scalaire d'un solide en rotation étant vue au paragraphe « expression du moment cinétique scalaire d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, moment cinétique scalaire évalué par rapport à l'axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » et celle de moment scalaire de force vue au paragraphe « définition du moment scalaire d'une force par rapport à un axe Δ » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »
  16. 16,0 16,1 et 16,2 Voir le paragraphe « repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  17. 17,0 17,1 17,2 17,3 17,4 17,5 et 17,6 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  18. On rappelle que la 2ème coordonnée cylindro-polaire s'identifie à la 3ème coordonnée sphérique associée.
  19. On rappelle que le 2ème vecteur de base cylindro-polaire s'identifie au 3ème vecteur de base sphérique associé.
  20. En effet est au plan vertical contenant donc à et à .
  21. C.-à-d. instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du P.P.S. voir la note « 12 » plus haut dans ce chapitre pour lesquels .
  22. 22,0 et 22,1 Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dans laquelle la coordonnée orthoradiale doit être remplacée par .
  23. Constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ;
       a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps une des valeurs mais
       montrant, dans la suite du corps du paragraphe annoté, la continuité de la grandeur l'unicité des constantes d'intégration voir la note « 26 » plus bas dans ce chapitre.
  24. 24,0 et 24,1 Si une longueur était discontinue de 1ère espèce voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible
  25. 25,0 et 25,1 Si la vitesse angulaire était discontinue de 1ère espèce voir le paragraphe « discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », cela supposerait la vitesse orthoradiale également discontinue de 1ère espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », ce qui nécessiterait la discontinuité de 1ère espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici
  26. Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs
  27. 27,0 27,1 et 27,2 En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence on en déduit .
  28. Par absence de vitesse initiale on a d'où et d'où .
  29. La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a d'où et d'où .
  30. 30,00 30,01 30,02 30,03 30,04 30,05 30,06 30,07 30,08 30,09 30,10 30,11 30,12 30,13 30,14 30,15 30,16 30,17 30,18 30,19 30,20 30,21 30,22 30,23 30,24 et 30,25 Pendule Pesant Simple Amorti.
  31. Les composantes de et de sur étant nulles car est au plan vertical contenant donc est à et à .
  32. Nous savons peu de chose sur sinon que la rigidité de la tige implique une 1ère composante sphérique de vitesse nulle composante radiale mais a priori les deux autres composantes sphériques peuvent ne pas être nulles et en particulier « supposer la composante sur nulle » reviendrait à « supposer le mouvement plan », à surtout ne pas faire pour démontrer la nature plane du mouvement
  33. Applicable pour tout instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du P.P.S.A. pour lesquels et donc .
  34. Ce qui est licite pour les instants car, à ces instants,
  35. 35,0 et 35,1 Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle à cœfficients constants du 1er ordre homogène » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel et devant être remplacé par , la grandeur sans dimension confère à la dimension de l'inverse d'un temps
  36. De la vitesse initiale éventuellement nulle on déduit d'où et d'où .
  37. Ce qui signifie qu'il est décrit par un seul paramètre qui est ici l'angle .
  38. 38,0 38,1 et 38,2 Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dans lequel est remplacé par .
  39. 39,0 et 39,1 On appelle « tension » de la tige la grandeur telle que , elle est, dans la majorité des situations, positive et représente, dans ces situations, la norme du vecteur tension mais, dans le cas d'une tige rigide sans masse, il n'y a aucune nécessité que soit positive et si est négative à certains instants c'est sa valeur absolue qui représente la norme du vecteur tension ; dans tous les cas, est la mesure algébrique de sur la tige orientée de vers .
  40. 40,0 40,1 et 40,2 On appelle « solution analytique » d'une équation différentielle, une expression mathématique souvent dite « formule explicite » pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de fonctions de référence c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaine solution d'équation différentielle dite de référence, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.
  41. Toutefois, pour cette équation différentielle sans terme du 1er ordre, il est possible d'intégrer une 1ère fois et d'obtenir une solution analytique pour voir le paragraphe « exemple d'une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre sans terme du 1er ordre » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
  42. Voir le paragraphe « en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant » en fin de chapitre.
  43. 43,00 43,01 43,02 43,03 43,04 43,05 43,06 43,07 43,08 43,09 43,10 43,11 43,12 43,13 43,14 43,15 43,16 43,17 43,18 43,19 43,20 43,21 43,22 43,23 43,24 43,25 43,26 43,27 43,28 43,29 43,30 43,31 43,32 43,33 43,34 43,35 43,36 43,37 43,38 43,39 43,40 43,41 43,42 43,43 43,44 43,45 43,46 43,47 43,48 43,49 43,50 43,51 43,52 43,53 43,54 43,55 43,56 43,57 43,58 43,59 43,60 43,61 43,62 43,63 43,64 43,65 43,66 43,67 43,68 43,69 et 43,70 Pendule Pesant Simple Non Amorti.
  44. Voir le paragraphe « en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “ 1a ” ou “ 1b ” » plus haut dans ce chapitre.
  45. Voir le paragraphe « choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “ le centre du mouvement circulaire du P.P.S. ” » plus haut dans ce chapitre.
  46. Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dans lequel est remplacé par .
  47. C'est le terme du 1er ordre qui est linéaire.
  48. De plus la possibilité d'intégrer une 1ère fois dans le but de trouver une solution analytique pour n'existe plus, contrairement à la possibilité que l'on a dans le cas d'une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre
  49. Laquelle ne pose pas plus de problème qu'en absence de terme du 1er ordre mais qui ne sera pas exposée dans ce chapitre car il ne s'agit que d'un complément
  50. 50,00 50,01 50,02 50,03 50,04 50,05 50,06 50,07 50,08 50,09 50,10 50,11 50,12 50,13 50,14 50,15 50,16 50,17 50,18 et 50,19 On devrait dire « petites valeurs absolues d'élongations angulaires » mais personne ne le fait par abus de langage, toutefois il faut se souvenir qu'une grandeur petite relativement à une autre grandeur positive doit nécessairement être positive pour que cette affirmation est une signification
  51. 51,0 51,1 51,2 51,3 51,4 51,5 51,6 et 51,7 À condition que l'angle soit exprimé en .
  52. La nature oscillatoire entre et du P.P.S. pendule pesant simple lancé dans les C.I. avec non nécessairement petit sera établie dans le paragraphe « détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. par diagramme énergétique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » mais dès à présent elle est justifiée dans le paragraphe « 2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement oscillatoire et propriétés du portrait de phase correspondant » plus loin dans ce chapitre.
  53. 53,0 53,1 et 53,2 Développement Limité.
  54. 54,0 et 54,1 Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  55. À connaître sans hésitation on rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations reste petite c.-à-d. si on travaille à près.
  56. 56,0 56,1 56,2 et 56,3 C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.
  57. L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant et on en déduit c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de aux pôles battra à la période de à l'équateur.
  58. Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant (Full moon symbol) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et (New moon symbol) pour la nouvelle Lune.
  59. L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de sur Terre battra à la période de sur la Lune.
  60. 60,0 et 60,1 Si on suppose le P.P.S.A. lancé dans les C.I. «» avec , en effet on démontrera dans le paragraphe « en complément, prolongement de l'utilisation du diagramme des énergies potentielle et mécanique d'un point à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un P.P.S.A. à un degré de liberté » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » que ne dépasse jamais qu'il y ait pseudo oscillations ou non mais la propriété est aussi justifiée dans le paragraphe « 2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement oscillatoire et propriétés du portrait de phase correspondant » plus loin dans ce chapitre.
  61. En effet on définit par , voir le paragraphe « analogie électromécanique entre le P.E.V.A. lâché sans vitesse initiale, de la position de repos du ressort, dans le champ de pesanteur terrestre et le dipôle R L C série soumis à un échelon de tension, le condensateur étant initialement déchargé et la bobine (parfaite) initialement traversée par aucun courant (réduction canonique du P.E.V.A., 2èmes grandeurs canoniques) » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  62. Discussion identique à celle exposée dans le paragraphe « résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre homogène avec terme du 1er ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  63. Voir le paragraphe « réponses transitoires en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement σ » du chap. de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  64. Voir le paragraphe « exemple d'une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre sans terme du 1er ordre » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  65. Ainsi une primitive de «» relativement à est «».
  66. L'opération de multiplication des deux membres de l'équation différentielle du 2ème ordre en par ne nuit pas à l'intégration une 1ère fois par rapport à car une primitive de «» relativement à est «».
  67. En effet l'intégration une fois par rapport au temps de l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en avec terme du 1er ordre «» n'aboutit pas, voir la remarque plus haut dans ce paragraphe.
  68. Voir le paragraphe « mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n. » plus haut dans ce chapitre.
  69. 69,0 et 69,1 Cette intégrale 1ère du mouvement se déterminera plus rapidement par des considérations énergétiques dans le paragraphe « écriture de l'intégrale 1ère énergétique du P.P.S. à un degré de liberté » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  70. Voir le paragraphe « intégrale 1ère du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté » plus haut dans ce chapitre.
  71. En effet les C.I. de lancement «» avec et , même si la valeur absolue de cette vitesse angulaire reste petite, entraîneront, dans le cas d'oscillations, une amplitude qui ne serait pas assurée d'être , raison pour laquelle nous nous plaçons, a priori, dans les C.I. de lancement
       En effet l'amplitude d'oscillations se produisant aux instants tels que , l'intégrale 1ère du mouvement entre n'importe lequel de ces instants et l'instant initial nous conduit à sous condition d'existence d'oscillations exposée au paragraphe « propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. 1b » plus loin dans le chapitre soit et par suite .
  72. Voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles (remarque) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  73. Usuellement on met le signe à la place du signe par abus d'écriture pour traduire une équation de portrait de phase dans le cas où celle-ci n'est qu'une approximation, sans oublier la condition nécessaire d'emploi de cette équation , élongation angulaire exprimée en .
  74. Nous sommes nécessairement dans les C.I. de lancement puisque le 2nd membre est nul pour dans les C.I. de lancement .
  75. Dans les C.I. de lancement , s'identifie à et dans les C.I. de lancement , est à .
  76. 76,0 76,1 76,2 et 76,3 Une fonction d'une variable est dite stationnaire pour une valeur de son domaine de dérivabilité si sa dérivée par rapport à la variable y est nulle pour cette valeur et de même signe de part et d'autre de la valeur, ce qui correspond, en termes de représentation graphique de la fonction, à un point d'inflexion à tangente à l'axe de la variable.
  77. 77,0 et 77,1 En effet cela entraînerait la stricte négativité du 2nd membre et donc celle de .
  78. 78,0 et 78,1 Voir le paragraphe « C.I. de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté » plus haut dans ce chapitre.
  79. 79,0 et 79,1 L'équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. étant «» voir le paragraphe « équation du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. “ 1b U 1a ” » plus haut dans ce chapitre.
  80. Soit une valeur maximale pour la vitesse angulaire valant .
  81. Soit une valeur minimale pour la vitesse angulaire valant .
  82. D'une part il y a invariance de la forme implicite de l'équation du portrait de phase en changeant les C.I. en leurs opposés et
       d'autre part, en changeant simultanément en et en , ce changement associé à celui de C.I. précédemment évoqué fait passer le 2nd membre de la forme explicite de l'équation de phase en son opposé, ce qui a aussi pour conséquence le caractère symétrique par rapport au point origine des sens de description des portraits de phase.
  83. Le symétrique par rapport au point origine de la de du portrait de phase à correspondant à un déplacement du point générique du portrait de phase au-dessus de l'axe des élongations angulaires dans le sens des étant la de du portrait de phase à correspondant à un déplacement du point générique du portrait de phase au-dessous de l'axe des élongations angulaires dans le sens des .
  84. En effet, par définition avec l'un au moins des termes non nul réalisé sans autre condition, il suffit que soit réalisé.
  85. L'amplitude est solution de l'équation plus précisément de sur l'intervalle soit « » voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  86. 86,0 86,1 et 86,2 Dans le cas d'un mouvement oscillatoire du P.P.S.N.A., il n'est pas judicieux de tirer l'équation de son portrait de phase sous forme explicite car celle-ci serait conditionnelle avec
       une forme explicite dans le cas où la vitesse angulaire est positive selon «» et
       une autre forme explicite dans le cas où la vitesse angulaire est négative selon «»,
       usuellement on se contente donc de la forme implicite de celle-ci «».
  87. 87,0 87,1 87,2 87,3 87,4 87,5 87,6 et 87,7 Ou trigonométrique indirect, en effet quand est , et, d'après l'équation du portrait de phase jusqu'à ce qu'elle s'annule, puis devenant , et, d'après l'équation du portrait de phase jusqu'à ce qu'elle s'annule de nouveau ;
       ainsi quand s'annule en passant d'une valeur positive c.-à-d. une valeur correspondant à une de à une valeur négative c.-à-d. une valeur correspondant à une de , cela correspond effectivement à une rotation du point générique du portrait de phase dans le sens horaire en passant par le maximum de et il en est de même
       ainsi quand s'annule en passant d'une valeur négative c.-à-d. une valeur correspondant à une de à une valeur positive c.-à-d. une valeur correspondant à une de , cela correspond effectivement à une rotation du point générique du portrait de phase dans le sens horaire en passant par le minimum de .
  88. 88,0 88,1 et 88,2 D'une part l'équation, sous forme implicite, d'un portrait de phase associé à un mouvement oscillatoire est invariante par changement simultané de en et de en et
       d'autre part les sens de description du portrait de phase en deux points génériques symétriques par rapport au point origine sont eux-mêmes symétriques l'un de l'autre.
  89. 89,0 89,1 et 89,2 Un point générique d'ordonnée située au-dessus de l'axe des élongations donc tel que est se déplace dans le sens des alors que le point générique symétrique du précédent par rapport au point origine étant d'ordonnée située au-dessous de l'axe des élongations donc tel que est se déplace dans le sens des effectivement le sens symétrique du précédent par rapport au point origine .
  90. 90,0 90,1 et 90,2 Le portrait de phase d'un P.P.S.N.A. associé à un mouvement oscillatoire est antisymétrique par rapport à l'axe des élongations angulaires son équation sous forme implicite étant invariante par changement de en et les sens de description du portrait de phase en deux points génériques symétriques par rapport à l'axe des élongations angulaires c.-à-d. de même élongation angulaire et de vitesse angulaire opposée étant contraires sont effectivement antisymétriques l'un de l'autre relativement à ce même axe et
                               Le portrait de phase d'un P.P.S.N.A. associé à un mouvement oscillatoire est antisymétrique par rapport à l'axe des vitesses angulaires son équation sous forme implicite étant invariante par changement de en et les sens de description du portrait de phase en deux points génériques symétriques par rapport à l'axe des vitesses angulaires c.-à-d. de même vitesse angulaire et d'élongations angulaires respectives et étant contraires sont effectivement antisymétriques l'un de l'autre relativement à ce même axe ;
       la composition des deux antisymétries axiales orthogonales précédentes du portrait de phase d'un P.P.S.N.A. associé à un mouvement oscillatoire conduit à une symétrie centrale de ce portrait de phase par rapport au point d'intersection des deux axes à savoir le point origine il s'agit bien d'une symétrie car si on considère les sens de description en deux points génériques du portrait de phase et symétriques l'un de l'autre par rapport au point origine c.-à-d. obtenus en prenant d'abord le symétrique d'un point générique par rapport à l'axe des élongations angulaires puis en prenant le symétrique du point par rapport à l'axe des vitesses angulaires on les trouve de sens contraire conforme à une symétrie centrale en effet
       l'application de la 1ère antisymétrie relativement à l'axe des élongations angulaires sur le sens de description du portrait en considéré comme un vecteur garde la composante à l'axe donc à et change la composante à l'axe donc à en son opposé, puis
       l'appliccelle de la 2ème antisymétrie relativement à l'axe des vitesses angulaires sur le sens de description du portrait en considéré comme un vecteur garde la composante à l'axe laquelle avait été changée en son opposé par la 1ère antisymétrie et change la composante à l'axe en son opposé laquelle avait été gardée par la 1ère antisymétrie d'où
       effectivement un changement de sens par composition de ces deux antisymétries axiales orthogonales confirmant qu'il s'agit bien d'une symétrie centrale.
       Voir, pour plus d'informations sur les propriétés d'une antisymétrie axiale, le paragraphe « invariance par antisymétrie axiale d'un champ vectoriel d'un espace à deux dimensions plan (propriété de la composante axiale et de la composante normale du champ vectoriel) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  91. Nous sommes alors dans les C.I. de lancement et la 2ème C.I. supplémentaire est alors automatiquement réalisée, étant nulle.
  92. 92,0 92,1 92,2 et 92,3 Dans les C.I. de lancement , étant nulle, ceci a pour conséquence .
  93. Et, dans la mesure où est , dans le corps du paragraphe annoté, les phases de et sont échangées avec maintenant égale à ,
       Et, dans la mesure où est , dans le corps du paragraphe annoté, le caractère fermé du portrait de phase et sa propriété de symétrique relativement à restant inchangés.
  94. 94,00 94,01 94,02 94,03 94,04 94,05 94,06 94,07 94,08 94,09 94,10 94,11 94,12 94,13 94,14 94,15 94,16 94,17 94,18 94,19 94,20 et 94,21 C.-à-d. correspondant à «», en effet doit être sur la verticale passant par et au-dessus de ce dernier résultat intuitif mais qui sera établi aux paragraphes « définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté » et « stabilité et instabilité des équilibres en termes de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; bien entendu il ne peut y avoir d'équilibre instable si on remplace la tige sans masse par un fil idéal, ce dernier en cette position ne pouvant être tendu !
  95. En effet cette 2ème C.I. de lancement d'un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. pour que le P.P.S. s'arrête en sa position d'équilibre instable
       En effet cette 2ème C.I. de lancement d'un P.P.S.N.A. doit être complémentaire de la 2ème C.I. de lancement d'un P.P.S.N.A. en mouvement révolutif à savoir «» voir le paragraphe « 2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement révolutif et propriétés du portrait de phase correspondant » plus haut dans ce chapitre et
       En effet cette 2ème C.I. de lancement d'un P.P.S.N.A. doit être complémentaire de celle d'un P.P.S.N.A. en mouvement oscillatoire à savoir «» voir le paragraphe « 2ème C.I. de lancement pour que le P.P.S. ait un mouvement oscillatoire et propriétés du portrait de phase correspondant » plus haut dans ce chapitre.
  96. « étant nécessairement sauf si », le P.P.S.N.A. est nécessairement lancé dans les C.I. sauf si , le P.P.S.N.A. étant alors lancé dans les C.I. .
  97. 97,0 et 97,1 Toutefois l'équilibre étant instable, l'arrêt n'est effectif qu'en absence de perturbations extérieures qui pourraient déloger le P.P.S.N.A. de cet équilibre.
  98. En tiretés, figure la fin du portrait de phase du même P.P.S.N.A. lancé dans les mêmes C.I. qui serait, après ruptures successives d'équilibres instables par perturbations extérieures, arrêté temporairement en , position d'équilibre instable et dont le mouvement se serait poursuivi, par nouvelle perturbation extérieure, dans le sens négatif, faisant de à où le P.P.S.N.A. retrouve une position d'arrêt
  99. Nécessairement de faible valeur absolue pour que cela ne perturbe pas le portrait de phase engendré
  100. À savoir faire, c'est une des exigences du programme de physique de P.C.S.I..
  101. Voir le paragraphe « cas particulier des petites élongations angulaires du P.P.S.(N.A.) dans les C.I. de lancement 1a » plus haut dans ce chapitre.
  102. Voir le paragraphe « ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  103. 103,0 103,1 et 103,2 Les coordonnées étant exprimées dans des unités différentes, on ne peut pas savoir lequel de ces axes est le grand axe ou le petit axe, il faut au moins définir une échelle sur l'axe des vitesses angulaires pour conclure, mais en fait savoir lequel d'entre eux est l'axe focal n'a aucun intérêt dans le cas présent, les foyers n'y jouant aucun rôle.
  104. Suivant le signe de la vitesse angulaire initiale, laquelle doit être de valeur absolue suffisante pour que le P.P.S.A. puisse passer la position d'équilibre instable repérée par une élongation angulaire .
  105. Voir le paragraphe « en complément, mise en équation du P.P.S.A. » plus haut dans ce chapitre.
  106. Qui est suffisante pour obtenir un mouvement révolutif d'un P.P.S.N.A., la vitesse angulaire initiale pour une élongation initiale étant telle que .
  107. Ici le début de mouvement révolutif amorti c.-à-d. le 1er tour se faisant dans le sens positif, la partie correspondante du portrait de phase se trouve au-dessus de l'axe des élongations angulaires ; si la vitesse angulaire avait été plus grande le début de mouvement révolutif amorti aurait été de plusieurs tours par exemple et la partie correspondante du portrait de phase aurait contenu motifs du type de celui présenté sur la figure avec une vitesse angulaire au passage par la position d'équilibre instable ainsi que celle au passage par la position d'équilibre stable d'autant plus faible que le nombre de tours effectué se rapproche de .
  108. Si le début de mouvement révolutif amorti avait été de tours, après la partie du portrait de phase au-dessus de l'axe des élongations angulaires correspondant au mouvement révolutif amorti, le portrait de phase spiralerait autour du point .
  109. Sera justifié dans le paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations du P.P.S. (pendule pesant simple) à un degré de liberté » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », on y établira en effet avec période propre des petites élongations angulaires, montrant effectivement la de avec l'amplitude des oscillations car la fonction à intégrer quand d'une part et les bornes de l'intégrale n'en dépendent pas d'autre part.
  110. C.-à-d. avec la valeur absolue de l'élongation angulaire initiale .
  111. Pour laquelle on peut appliquer la formule de la période des petites élongations angulaires.
  112. Si la période des petites élongations angulaires est de , le P.P.S.(N.A.) battra à la période de avec une amplitude de .
  113. L'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) n'est pas explicitement précisée dans le programme de physique de P.C.S.I. mais c'est néanmoins une propriété importante qui distingue un P.P.S.(N.A.) d'un oscillateur harmonique non amorti, certes ce n'est pas la seule
  114. 114,0 114,1 114,2 114,3 114,4 et 114,5 En hommage à Jean-Charles de Borda (1733 – 1799) mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de , a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l'Académie des Sciences, en collaboration avec Coulomb Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés, d'étudier la longueur du pendule battant la seconde pour cette occasion Etienne Lenoir (1744 - 1832), ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de , de masse , et accrochée à un fil de fer de de long un pied de l'époque valait , la période d'oscillations était de puis, entre et , avec deux astronomes français Pierre Méchain (1744 - 1804) et Jean-Baptiste Delambre (1749 - 1822) également membres de l'Académie des Sciences il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l'arc de méridien de Dunkerque à Barcelone.
  115. 115,0 115,1 115,2 115,3 115,4 et 115,5 L'usage est de réaliser une contraction dans le nom donné à cette formule en la nommant « formule de Borda ».
  116. Égale à pour un P.P.S. pendule pesant simple lancé dans les C.I. .
  117. 117,0 et 117,1 La version utilisée étant Scilab , Scilab étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.
  118. Vous pourrez trouver les explications dans l'aide du logiciel
  119. C'est effectivement un complément non spécifié dans le programme de physique de P.C.S.I., toutefois l'allure des tracés doit aider à mieux comprendre le mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et les lignes de programmes correspondantes devraient permettre au lecteur de se rendre autonome dans l'utilisation de « Scilab » ;
       figure toutefois dans le programme une approche numérique d'un oscillateur non linéaire non imposé et pouvant par conséquent être un P.P.S. à un degré de liberté qui sera traitée dans le paragraphe « approche numérique : utiliser les résultats fournis par une méthode numérique pour mettre en évidence des effets non linéaires » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ce qui est traité ici peut donc être considéré comme un avant goût de ce qui se fera dans le chapitre précité.
  120. Le système peut être qualifié de « couplé », car la 1ère équation ne peut être résolue que lorsque est connue, de même que la résolution de la 2ème équation nécessite de connaître .
  121. Le paramètre par rapport auquel la dérivation est effectuée est indiqué dans le 1er argument de la fonction .
  122. On rappelle que l'erreur est inférieure à à condition que l'amplitude soit inférieure à .
  123. Nous verrons dans le paragraphe « étude d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans des C.I. (1b) par diagramme d'énergies potentielle et mécanique (démonstration de la nature périodique dans un mouvement révolutif du P.P.S. à un degré de liberté et expression de sa période sous forme intégrale) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » l'expression de la période de révolution sous forme intégrale et pourrons vérifier cette valeur numérique à l'aide du logiciel de calcul numérique « Scilab ».