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Le nom « coniques » vient du fait que ces courbes sont les intersections d'un cône de révolution avec un « plan ne passant pas par le sommet du cône » [1] voir les trois tracés ci-dessous [2] :
Hyperbole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et coupant le cône en deux parties distinctes
Parabole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et à une génératrice du cône
Ellipse comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et sécant avec toutes les génératrices du cône
Schéma d'une hyperbole utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques
Il existe :
deux asymptotes et passant par centre de l'hyperbole et deux branches d'hyperbole ;
deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers et est appelé « axe focal » [3], deux axes de symétrie dont l'autre lui étant en centre de l'hyperbole est appelé « axe non focal » [4] ;
nommant et les points de l'hyperbole sur l'axe focal étant le plus proche de ,
la longueur «» [5] est appelée « demi-axe focal »,
on introduit le demi-axe non focal comme la longueur commune «» avec et points de l'axe non focal, projetés orthogonaux des points d'intersection des à l'axe focal en et avec les asymptotes [6] points d'intersections notés ou , ou , seul est représenté sur le schéma ci-contre ;
nommant et les projetés orthogonaux de sur les asymptotes et ceux de sur les asymptotes,
on établit que la longueur «» car, dans les triangles et , avec d'où [8], est donc aussi la distance orthogonale entre les foyers et les asymptotes[9] ;
le trianglerectangle en a pour longueur de côtés «» ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle entre les asymptotes et l'axe focal vaut «» [10],[11] ;
on définit le paramètre par «» [12] et on peut établir son lien avec et en éliminant par puis par d'où «» et «».
À retenir
Dans le trianglerectangle encar est le projeté orthogonal de sur l'asymptote : d'où Dans le trianglerectangle enpar théorème de Pythagore [13] «» et Dans le trianglerectangle enpar angle l'angle entre l'asymptote et l'axe focal, Dans le trianglerectangle en par angle«» [10] ;
Schéma d'une ellipse utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques
Il existe :
deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers et est appelé « axe focal » ou « grand axe », deux axes de symétrie dont l'autre lui étant en centre de l'ellipse est appelé « axe non focal » ou « petit axe » ;
nommant et les points de l'ellipse sur l'axe focal étant le plus proche de ,
la longueur «» [16] est appelée « demi grand axe » ;
nommant et les points de l'ellipse sur le petit axe,
la longueur «» est appelée « demi petit axe » ;
le trianglerectangle en a pour longueur de côtés [17] «» ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle a pour sinus «» ;
on définit le paramètre par «» [18] et on peut établir son lien avec et en éliminant par puis par d'où «» et par suite «».
À retenir
Dans le trianglerectangle en : d'où Dans le trianglerectangle enpar théorème de Pythagore [13] «» et Dans le trianglerectangle enpar angle l'angle sous lequel de , un des sommets du petit axe, on voit la Dans le trianglerectangle en par angle distance entre le centre et l'un des foyers , Dans le trianglerectangle en par angle«» [19] ;
La parabole n'a pas de définition bifocale car une parabole n'a qu'un foyer ; elle n'a donc qu'une définition monofocale, nécessitant de préciser son foyer et la directrice associée à son foyer, droite séparée du foyer d'une distance définissant son paramètre :
Définition
La parabole de foyer et de directrice est l'ensemble des points du plan tel que «» dans laquelle La parabole de foyer et de directrice est « est le projeté orthogonal de sur la directrice », La parabole de foyer et de directrice est « la distance séparant le foyer de la directrice définissant le paramètre La parabole de foyer et de directrice est « la distance séparant le foyer de la directrice définissant de la parabole », les paraboles étant des coniques d'excentricité «» [21].
Schéma explicitant la définition monofocale d'une parabole de foyer , de directrice et de paramètre
la « distance séparant le 2ème foyer celui qui n'est pas utilisé du 1ercelui qui est utilisé» dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole correspondant à l'existence d'un deuxième couple « foyer, directrice associée ».
Définition
La conique de foyer , de directrice associée et d'excentricité La conique est l'ensemble des points du plan tel que «» dans laquelle La conique est l'ensemble des points« est le projeté orthogonal de sur la directrice », La conique est l'ensemble des points« le paramètre de la conique étant le produit “” où est la distance orthogonale La conique est l'ensemble des points« le paramètre de la conique étant séparant le foyer de la directrice associée » La conique est l'ensemble des pointsavec projeté orthogonal de sur , on en déduit «» [26],[27].
Sauf dans le cas d'une parabole, il existe un autre couple de foyer et de directrice associée pour une conique de même excentricité , la définition de cette conique est la même en remplaçant les foyers entre eux et les directrices entre elles [28].
Remarque : Dans le cas d'un cercle, restant à distance finie de [28], est [26] et comme est nulle, «» constitue une forme indéterminée laquelle doit être identifiée à la distance Remarque : Dans le cas d'un cercle, restant à distance finie de , est et comme est nulle, « c.-à-d. au rayon du cercle ; Remarque : Dans le cas d'un cercle, on en déduit que la définition monofocale d'un cercle est peu exploitable ;
Remarque : dans le cas d'une parabole on retrouve bien la définition fournie précédemment dans la mesure où l'« excentricité de la parabole est égale à » [29].
Schéma explicitant la définition monofocale d'une hyperbole de foyer , de directrice associée et d'excentricité ; sont aussi représentés l'autre foyer et sa directrice associée ainsi que les principales caractéristiques de l'hyperbole
Voir ci-contre le tracé de l'hyperbole de foyer , de directrice associée et d'excentricité , la distance séparant de est dans lequel est le projeté orthogonal de sur étant à , on en déduit que [30] ;
l'excentricité étant l'hyperbole cherchée est l'« ensemble des points du plan tel que “” dans laquelle l'excentricité étant l'hyperbole cherchée est l'« ensemble des points est le projeté orthogonal de sur » sur le schéma ci-contre la branche correspondant à et situés d'un même côté relativement à est tracée et expliquée en rouge, sur le schéma l'autre branche correspondant à et situés de part et d'autre de tracée en bleu et expliquée en noir ;
l'excentricité e étant > 1 l'hyperbole cherchée c'est aussi l'« ensemble des points du plan tel que “” avec l'excentricité e étant > 1 l'hyperbole cherchée c'est aussi l'« ensemble des points projeté orthogonal de l'autre foyer sur l'excentricité e étant > 1 l'hyperbole cherchée c'est aussi l'« ensemble des points projeté orthogonal de la directrice associée » [31] sur le schéma ci-contre la branche correspondant à et situés d'un même côté relativement à tracée et expliquée en bleu, sur le schéma l'autre branche rouge n'étant pas expliquée pour éviter la surcharge.
Établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale
Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant le couple « foyer - directrice » on a « avec Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant projeté orthogonal de sur » et
Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant le couple « foyer - directrice » on a « avec Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant projeté orthogonal de sur » ;
en faisant la différence de ces deux définitions on obtient «» ou, ayant été choisi sur la branche représentée en bleu [32], en faisant la différence de ces deux définitions on obtient «» avec «» [33] d'où «» ;
il reste à montrer que cette constante est égale à l'axe focal «» et pour cela il faut en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'hyperbole, il reste à montrer que cette constante est égale à l'axe focal «» et pour cela il faut établir le lien de avec « et » d'une part ainsi que il reste à montrer que cette constante est égale à l'axe focal «» et pour cela il faut établir le lien de avec « et » d'autre part ;
dans ce but définissons de façon monofocale utilisant le couple « foyer - directrice selon « avec le pied de la directrice sur l'axe focal » et
dans ce but définissons de façon monofocale utilisant le couple « foyer - directrice selon « avec le pied de la directrice sur l'axe focal » ;
faisant la somme des deux expressions de dans le but d'éliminer , nous en déduisons «» d'où «» ;
faisant la différence des deux expressions de dans le but d'obtenir [35], nous en déduisons «» d'où «» ou faisant la différence des deux expressions de dans le but d'obtenir , nous en déduisons «» d'où «» en tenant compte de l'expression faisant la différence des deux expressions de dans le but d'obtenir , nous en déduisons «» d'où de précédemment obtenue, soit faisant la différence des deux expressions de dans le but d'obtenir , nous en déduisons «» d'où «» [36] ;
reprenant «» et y reportant les expressions de et en fonction de soit nous obtenons reprenant «» pour les points de la branche représentée en bleu ; nous trouverions reprenant «» pour les points de la branche représentée en rouge [32] ;
finalement les deux définitions monofocales de l'hyperbole la définition bifocale de celle-ci «» [37].
Il reste à montrer que «, et définis de façon monofocale [38] » sont effectivement reliés par «», mais ayant établi que « la définition monofocale la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle » [39] c.-à-d. [40][41] soit «» C.Q.F.D. [42].
Schéma explicitant la définition monofocale d'une ellipse de foyer , de directrice associée et d'excentricité ; sont aussi représentés l'autre foyer et sa directrice associée ainsi que les principales caractéristiques de l'ellipse
Voir ci-contre le tracé de l'ellipse de foyer , de directrice associée et d'excentricité , la distance séparant de est dans lequel est le projeté orthogonal de sur Voir ci-contre étant à , on en déduit que [43] ;
l'excentricité étant l'ellipse cherchée est l'« ensemble des points du plan vérifiant la relation “” dans laquelle est le projeté orthogonal de sur » ;
l'excentricité e étant < 1 l'ellipse cherchée c'est aussi l'« ensemble des points du plan vérifiant “”, projeté orthogonal de l'autre foyer sur la directrice associée ».
Établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale
Partant de la définition monofocale de l'ellipse utilisant le couple « foyer - directrice » on a « avec projeté orthogonal de sur » et
Partant de la définition monofocale de l'ellipse utilisant le couple « foyer - directrice » on a« avec projeté orthogonal de sur » ;
en faisant la somme de ces deux définitions on obtient «» avec «» [44] d'où «» ;
il reste à montrer que cette constante est égale au grand axe «» et pour cela il faut, en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'ellipse, il reste à montrer que cette constante est égale au grand axe «» et pour cela il faut établir le lien de avec « et » d'une part ainsi que il reste à montrer que cette constante est égale au grand axe «» et pour cela il faut établir le lien de avec « et » d'autre part ;
dans ce but définissons de façon monofocale utilisant le couple « foyer - directrice selon « avec le pied de la directrice sur l'axe focal » et
dans ce but définissons A de façon monofocale utilisant le couple « foyer - directrice selon « avec le pied de la directrice sur l'axe focal [45] » ;
faisant la somme des deux expressions de dans le but d'éliminer , nous en déduisons «» d'où «» ;
faisant la différence des deux expressions de dans le but d'obtenir [35], nous en déduisons «» d'où «» ou faisant la différence des deux expressions de dans le but d'obtenir , nous en déduisons «» d'où «» en tenant compte de l'expression faisant la différence des deux expressions de dans le but d'obtenir , nous en déduisons «» d'où de précédemment obtenue, soit faisant la différence des deux expressions de dans le but d'obtenir , nous en déduisons «» d'où «» [47] ;
reprenant «» et y reportant les expressions de et en fonction de soit nous obtenons reprenant «» pour tous les points de l'ellipse ;
finalement les deux définitions monofocales de l'ellipse la définition bifocale de celle-ci «» [37].
Il reste à montrer que «, et définis de façon monofocale [48] » sont effectivement reliés par «», mais ayant établi que « la définition monofocale la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle » [49] c.-à-d. [50][51] soit «» C.Q.F.D. [42].
Au vu de la définition monofocale d'une conique, il semble possible de supposer que « la parabole de foyer et de directrice donc de paramètre fixé [52]» est
« la limite d'une ellipse d'excentricité dont est un des foyers, de même paramètre et de directrice associée à quand l'excentricité de l'ellipse tend vers » cette induction se vérifie aisément : quand , et cette induction se vérifie aisément : quand , la définition monofocale de l'ellipse « ensemble des points du plan tel que » devient cette induction se vérifie aisément : quand , la définition monofocale de l'ellipse « ensemble des points du plan tel que cette induction se vérifie aisément : quand , la définition monofocale de l'ellipse « ensemble des points du plan tel que » définition monofocale de la parabole et
« la limite d'une branche d'hyperbole d'excentricité dont est le foyer contourné, de même paramètre et de directrice associée à quand l'excentricité de l'hyperbole » cette induction se vérifie aisément : quand , et cette induction se vérifie aisément : quand , la définition monofocale de l'hyperbole « ensemble des points du plan tel que » devient cette induction se vérifie aisément : quand , la définition monofocale de l'hyperbole « ensemble des points du plan tel que cette induction se vérifie aisément : quand , la définition monofocale de l'hyperbole « ensemble des points du plan tel que » définition monofocale de la parabole ;
que deviennent le « demi-axe focal », le « demi-axe non focal » et la « distance séparant chaque foyer du centre de symétrie » de l'ellipse ou de l'hyperbole tendant vers la parabole,
que devient la définition bifocale de l'ellipse ou de l'hyperbole dans les mêmes conditions de limite ?
Limite parabolique d'une ellipse de foyer , de directrice associée , de paramètre et d'excentricité quand « à foyer et paramètre fixés »
Partant de l'ellipse de foyer et de directrice associée à [53] tel que « le paramètre de l'ellipse soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité de l'ellipse vers :
montrons que « le 2ème foyer de l'ellipse se trouve rejeté à l'infini de perpendiculairement à la direction commune de et », en effet, partant de l'expression «» [54], on établit que « quand »la parabole limite n'a donc pas de 2ème foyer et la distance n'y est pas définie [55] ;
simultanément on constate que « sommet de la parabole » car, partant de l'expression «» [54], on établit que « quand » et
simultanément on constate que « s'éloigne à l'infini de perpendiculairement à la direction commune de et » car, partant de l'expression «» [54] « quand » la parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet [56] ;
le « demi-grand axe de l'ellipse devient infini » quand son excentricité tend vers car, partant de l'expression «» [54], on établit que « quand » la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal » [57] ;
les points « et se retrouvent rejetés à l'infini parallèlement à la direction commune de et » car, du lien entre les trois longueurs , et défini pour une ellipse on tire et avec [54], on en déduit «» « quand » la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal donc pas de points et ni de « demi-axe non focal » [58].
Limite parabolique d'une branche d'hyperbole de foyer contourné par elle, de directrice associée , de paramètre et d'excentricité quand « à foyer et paramètre fixés »
Partant de la branche d'hyperbole de foyer qu'elle contourne et de directrice associée à [53] tel que « le paramètre de l'hyperbole soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité de l'hyperbole vers :
montrons que « le 2ème foyer de l'hyperbole se trouve rejeté à l'infini de perpendiculairement à la direction commune de et », en effet, partant de l'expression «» [59], on établit que « quand » la parabole limite n'a donc pas de 2ème foyer et la distance n'y est pas définie [60] ;
simultanément on constate que « sommet de la parabole » car, partant de l'expression «» [59], on établit que « quand » et
simultanément on constate que « s'éloigne à l'infini de perpendiculairement à la direction commune de et » car, partant de l'expression «» [59], on établit que « quand » la parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet [61] ;
le « demi-axe focal de l'hyperbole » quand son excentricité car, partant de la relation «» [59], on établit que « quand » la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal » [62] ;
le « demi-axe non focal de l'hyperbole devient infini » quand son excentricité tend vers car, du lien entre les trois longueurs , et défini pour une hyperbole on tire et avec [59], on en déduit «» « quand » la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal ni de « demi-axe non focal » [63] ;
les « asymptotes et de l'hyperbole sont rejetées à l'infini perpendiculairement à la direction commune de et » donc parallèlement à l'axe focal de l'hyperbole quand l'excentricité de cette dernière tend vers car l'angle que fait l'une ou l'autre de ces asymptotes avec l'axe focal étant [10],[39] avec [59] et voir sous-paragraphe précédent, on en déduit «» [10] «[10] quand » la parabole limite n'a donc pas d'asymptotes mais simplement une direction asymptotique à l'axe de la parabole [64].
Équation cartésienne d'une parabole de sommet O et d'axe de symétrie Oy
L'équation cartésienne d'une parabole de sommet et d'axe de symétrie L'équation cartésienne d'une parabole s'écrit «» avec une concavité vers les pour et L'équation cartésienne d'une parabole s'écrit «» avec une concavité vers les pour .
Justification[65] : Pour , la concavité étant vers les , le foyer a pour coordonnées cartésiennes [66] et Justification : Pour , la concavité étant vers les , la directrice associée à l'axe a pour équation [67] ;
Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points tel que » avec projeté orthogonal de sur la directrice soit Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points tel que » avec de coordonnées , nous en déduisons Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points tel que avec et Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points tel que avec soit Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points tel que ou ou encore Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points tel que et Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points tel que finalement «» s'identifiant à l'équation cartésienne «» Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points tel que finalement «» s'identifiant si «» ; Justification : la définition monofocale de la parabole étant le foyer «» de la parabole d'équation cartésienne «» a pour ordonnée «» et Justification : la définition monofocale de la parabole étant sa directrice associée «» pour équation «».
Propriété de la tangente à la parabole en un point quelconque
Propriété d'intersection de la tangente à la parabole en un point quelconque et de sa tangente au sommet
Énoncé : Considérant une parabole de sommet , la tangente en un point quelconque de projeté sur la tangente au sommet Énoncé : Considérant une parabole de sommet , la tangente en un point quelconque recoupe la tangente au sommet au milieu de .
Démonstration : Considérons la parabole d’équation cartésienne , de sommet et un point quelconque , Démonstration : la tangente en à la parabole a pour équation avec soit encore Démonstration : la tangente en à la parabole a pour équation ou soit enfin Démonstration : la tangente en à la parabole a pour équation d'où Démonstration : la tangente en recoupe l’axe des c.-à-d. la tangente au sommet en d’abscisse moitié de l’abscisse de ou Démonstration : la tangente en recoupe l’axe des c.-à-d. la tangente au sommet en d’abscisse moitié de l’abscisse de ;
Démonstration : en conclusion de on en déduit que est le milieu du segment .
Équation cartésienne d'une ellipse de centre O, d'axes de symétrie Ox et Oy
L'équation cartésienne d'une ellipse de centre , d'axes de symétrie et s'écrit sous forme implicite selon L'équation cartésienne d'une ellipse de centre , d'axes de symétrie et s'écrit «» [68] dans laquelle L'équation cartésienne d'une ellipse de centre , « et sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe » ou L'équation cartésienne d'une ellipse de centre , « et sont respectivement le demi-petit axe et le demi-grand axe » [68].
Justification avecaxe focal[69] : Le demi-grand axe est donc et le demi-petit axe , la distance séparant le centre de chacun des foyers est [49] ou Justification avecaxe focal : Le demi-grand axe est donc et le demi-petit axe , la distance séparant le centre de chacun des foyers est Justification avecaxe focal : le foyer a pour coordonnées cartésiennes [70] et Justification avecaxe focal : sa directrice associée étant à l'axe focal est à , situé à la distance au-delà de [71] avec Justification avecaxe focal : sa directrice associée étant à l'axe focal est à , situé à la distance soit ici et Justification avecaxe focal : sa directrice associée étant à l'axe focal est à , situé à la distance soit ici Justification avecaxe focal : sa directrice associée étant à l'axe focal est à , situé à la distance d'où Justification avecaxe focal : l'équation de la directrice [71] soit finalement ;
Justification avecaxe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points tel que » avec projeté orthogonal de sur soit Justification avecaxe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points tel que » avec Justification avecaxe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points tel que avec Justification avecaxe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points tel que Justification avecaxe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points tel et soit Justification avecaxe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points tel que Justification avecaxe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points tel ou [72] soit Justification avecaxe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant ou, après simplification, Justification avecaxe focal : la définition monofocale de l'ellipse étant et, en divisant les deux membres par , l'équation «» C.Q.F.D. [42].
Cas du cercle : l'excentricité d'un cercle étant et son expression pour une ellipse , on en déduit dont la valeur commune définit le rayon d'où
Équation cartésienne d'un cercle de centre O
L'équation cartésienne d'un cercle de centre et de rayon s'écrit sous forme implicite selon L'équation cartésienne d'un cercle de centre et de rayon s'écrit «» ou «».
Équation cartésienne d'une hyperbole de centre O, d'axes focal Ox et non focal Oy
L'équation cartésienne d'une hyperbole de centre , d'axes focal et non focal s'écrit sous forme implicite selon L'équation cartésienne d'une hyperbole de centre , d'axes focal et non focal s'écrit «» dans laquelle L'équation cartésienne d'une hyperbole de centre , « et sont respectivement le demi-axe focal et le demi-axe non focal ».
Justification : étant l'axe focal, le demi-axe focal est et le demi-axe non focal , la distance séparant le centre de chacun des foyers est [39] Justification : étant l'axe focal, le foyer a pour coordonnées cartésiennes [70] et Justification : étant l'axe focal, sa directrice associée étant à l'axe focal est à , situé à la distance en deçà de [73] avec Justification : étant l'axe focal, sa directrice associée étant à l'axe focal est à , situé à la distance et Justification : étant l'axe focal, sa directrice associée étant à l'axe focal est à , situé à la distance soit ici Justification : étant l'axe focal, sa directrice associée étant à l'axe focal est à , situé à la distance d'où Justification : étant l'axe focal, l'équation de la directrice [73] soit finalement ;
Justification : étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points tel que » avec projeté orthogonal de sur soit Justification : étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points tel que » avec Justification : étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points tel que avec Justification : étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points tel que Justification : étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points tel et soit Justification : étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points tel que Justification : étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant l'« ensemble des points tel ou [74] soit Justification : étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant ou, après simplification, Justification : étant l'axe focal, la définition monofocale de l'hyperbole étant et, en divisant les deux membres par , l'équation «» C.Q.F.D. [42].
Cas d'une hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : Une hyperbole est dite « équilatère » si ses asymptotes sont « le demi-axe non focal est égal au demi-axe focal » [75] ; Cas d'une hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : notant l'axe focal de cette hyperbole équilatère et son axe non focal, son équation cartésienne s'écrit alors Cas d'une hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : «» dans laquelle « est la valeur commune des demi-axes focal et non focal » ou «» ; Cas d'une hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : effectuant un changement d'axes correspondant à une rotation de centre et d'angle de façon à ce que l'axe focal Cas d'une hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : soit la 1ère bissectrice du nouveau système d'axes c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté , les anciennes Cas d'une hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : coordonnées d'un point étant liées aux nouvelles par [76] ou Cas d'une hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : coordonnées d'un point étant liées aux nouvelles par , Cas d'une hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : l'équation de l'hyperbole équilatère dans l'ancien système d'axes «» se réécrivant «» Cas d'une hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : avec «» et «» soit finalement Cas d'une hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : l'équation de l'hyperbole équilatère dans le nouveau système d'axes «» ou «».
Équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy
L'équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre , d'asymptotes et s'écrit sous forme explicite selon L'équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre , d'asymptotes et s'écrit «» avec L'équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre , « pour une hyperbole dans le 1er et 3ème quadrants » [77] ou L'équation cartésienne d'une hyperbole équilatère de centre , « pour une hyperbole dans le 2ème et 4ème quadrants » [78].
Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : pour «», l'axe focal étant la 1ère bissectrice c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté , Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : pour «», la valeur commune des demi-axes focal et non focal s'évalue par «» [79], Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : pour «», l'excentricité de l'hyperbole équilatère par «» [80]les foyers, de part et d'autre de Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : pour «», sur la 1ère bissectrice, en étant distants de «» alors que
Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : pour «», l'axe focal étant la 2ème bissectrice c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté , Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : pour «», la valeur commune des demi-axes focal et non focal s'évalue par «» [81], Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : pour «», l'excentricité de l'hyperbole équilatère par «» [80]les foyers, de part et d'autre de Commentaires concernant l'hyperbole équilatère de centre, d'asymptoteset : pour «», sur la 2ème bissectrice, en étant distants de «».
Équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy
Paramétrage d'un cercle de centre par l'abscisse angulaire de son point générique définie selon
Le cercle de centre , de rayon , a pour équations paramétriques «», le paramètre «» étant l'abscisse angulaire Le cercle de centre , de rayon , a pour équations paramétriques «», du point générique du cercle ;
ce cercle est décrit une seule fois si le domaine de variation de est large de par exemple «» ;
ces équations paramétriques sont bien celles du cercle d'équation cartésienne «», l'élimination du paramètre et ces équations paramétriques sont bien celles du cercle d'équation cartésienne «», l'élimination du paramètre .
Affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k
Pour tout point du plan, « est son image par l'affinité d'axe , de direction [82] et de rapport » si, Pour tout point du plan, « étant le projeté de sur parallèlement à », « a même projeté que sur parallèlement à » tel que Pour tout point du plan, « étant le projeté de sur parallèlement à », «» [83] Pour tout point du plan, «» si est à , le projeté commun de et sur parallèlement à étant tel que «» ;
Pour tout point du plan, si les « coordonnées cartésiennes de sont » [84], « celles de sont ».
Conséquence : équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy
Équations paramétriques d'une ellipse de centre O, d'axes de symétrie Ox et Oy
Les équations paramétriques d'une ellipse de centre , d'axes de symétrie et s'écrivent «» [68],[85] où Les équations paramétriques d'une ellipse de centre , « et sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe » Les équations paramétriques d'une ellipse de centre , ou « et sont respectivement le demi-petit axe et le demi-grand axe ».
Présentation de l'affinité d'axe , de direction et de rapport transformant le cercle de centre et de rayon en ellipse de même centre , de grand axe et de petit axe
Justificationétant axe focal[69] : L'ellipse de centre , d'axe focal et non focal , donc de demi-grand axe et de demi-petit axe , Justificationétant axe focal : L'ellipse de centre , est l'image du cercle de même centre et de rayon Justificationétant axe focal : L'ellipse de centre , est l'image par l'affinité d'axe , de direction et de rapport Justificationétant axe focal : L'ellipse de centre , est l'image par l'affinité d'axe , de direction et de rapport voir figure ci-contre car Justificationétant axe focal : l'affinité d'axe , de direction et de rapport associe le point courant du cercle au Justificationétant axe focal : l'affinité d'axe , de direction et de rapport associe le point courant Justificationétant axe focal : l'affinité d'axe , de direction et de rapport associe le point courant de l'ellipse ;
Justificationétant axe focal : on peut déduire des équations paramétriques du cercle de centre et de rayon
«», Justificationétant axe focal : on peut déduire des équations paramétriques celles de l'ellipse de même centre , d'axe focal et non focal , donc Justificationétant axe focal : on peut déduire des équations paramétriques celles de l'ellipse de demi-grand axe et de demi-petit axe , Justificationétant axe focal : on peut déduire en utilisant l'affinité précédemment définie «»
«» [86].
Remarque : Les équations paramétriques de l'ellipse d'équation cartésienne restent les mêmes pour une ellipse de centre , d'axe focal et non focal , donc Remarque : Les équations paramétriques de l'ellipse d'équation cartésienne restent les mêmes pour une ellipse de centre , de demi-grand axe et de demi-petit axe , Remarque : Les équations paramétriques de l'ellipse «», l'affinité à considérer étant indépendante de la nature des axes pour l'ellipse.
Courbe de Lissajous correspondant à la visualisation à l'oscilloscope en fonctionnement (x, y) d'une tension sinusoïdale en fonction d'une autre tension sinusoïdale de même fréquence
Si on impose les tensions «» sur la voie et «» sur la voie , toutes deux étant de même fréquence «» et si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope » [87], on visualise une « courbe de Lissajous » [88],[89]fermée« les deux tensions ayant une période commune » [90] et si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette courbe de Lissajous[88],[89] est une « ellipse de centre» [91]même plus petite période des deux tensions si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette courbe de Lissajous déterminée par ses équations paramétriques «» ; si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette si «» les tensions étant en phase, l'ellipse est dégénérée en segment de droite de pente positive, si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette si «» les tensions étant en opposition de phase, l'ellipse est dégénérée en segment de droite si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette si «» les tensions étant en opposition de phase, l'ellipse est dégénérée de pente négative, si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette si «» les tensions étant en quadrature de phase, « l'ellipse admet et comme si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette si «» les tensions étant en quadrature de phase, « l'ellipse admet axes de symétrie » [92] et si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette par choix des sensibilités des deux voies, la courbe de Lissajous[88],[89] peut devenir un cercle ; si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette dans tous les autres cas on admet que la courbe de Lissajous[88],[89] est une ellipse de centre si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette dans tous les autres cas on admet que inscrite dans un « rectangle à côtés aux axes et » [93] si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette dans tous les autres cas on admet que inscrite dans de longueurs respectives « le long de » et si on choisit le « fonctionnement de l'oscilloscope », on visualise une cette dans tous les autres cas on admet que inscrite dans de longueurs respectives « le long de ».
Mouvement circulaire uniforme d'un point et mouvement rectiligne sinusoïdal de son projeté sur un diamètre
Schéma permettant de visualiser le lien entre le mouvement circulaire uniforme d'un point et ceux rectilignes sinusoïdaux de ses projetés et respectivement sur et
Le mouvement uniforme de sur le cercle de centre , de rayon , est décrit par l'équation horaire de son abscisse angulaire en fonction du temps selon Le mouvement uniforme de sur le cercle de centre , de rayon , est décrit par l'équation horaire «» ;
on en déduit ses équations horaires cartésiennes «» les mouvements des projetés de sur les axes et , c.-à-d. on en déduit ses équations horaires cartésiennes «» les mouvements de et , sont rectilignes sinusoïdaux on en déduit ses équations horaires cartésiennes «» de pulsation égale à la « valeur absolue de la vitesse angulaire de » [94] :
si la vitesse angulaire « est », «» « est en quadrature retard sur » alors que
si la vitesse angulaire « est », elle s'écrit encore «», on en déduit «» et «» « est en quadrature avance sur ».
On peut aussi affirmer que la composition de deux mouvements rectilignes sinusoïdaux de même pulsation, de « même amplitude et en quadrature de phase » suivant deux directions orthogonales, est un mouvement circulaire uniforme[95].
En complément, équations paramétriques d'une hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy
Raison pour laquelle Vincenzo Riccati[96] introduisit les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique [97]
Rappel : Une hyperbole équilatère de centre , d'axes focal et non focal , de demi-axes focal et non focal [98] ayant pour Rappel : équation cartésienne sous forme implicite «» [99], nous en déduisons l'équation cartésienne sous forme implicite de Rappel : l'hyperbole équilatère de centre , d'axes focal et non focal , de demi-axes focal et non focal unité, «» [100].
Une demi-droite, passant par l'origine , coupe l'hyperbole équilatère de centre , d'axes focal et non focal , Une demi-droite, passant par l'origine , coupe l'hyperbole équilatère de centre , de demi-axes focal et non focal unité, Une demi-droite, passant par l'origine , coupe en un point dont les coordonnées ont été paramétrées en fonction d'une grandeur Une demi-droite, passant par l'origine , coupe en un point dont les coordonnées ont été paramétrées par Vincenzo Riccati[96], Une demi-droite, passant par l'origine , coupe en un point dont les coordonnées paramétrage qui lui permit de créer de nouvelles fonctions baptisées Une demi-droite, passant par l'origine , coupe en un point dont « cosinus hyperbolique » pour l'abscisse et « sinus hyperbolique » pour l'ordonnée, Une demi-droite, passant par l'origine , coupe en un point dont plus précisément , le paramètre s'avérant être Une demi-droite, passant par l'origine , coupe en un point dont « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, Une demi-droite, passant par l'origine , coupe en un point dont « l'hyperbole équilatère de demi-axes unité et l'axe des abscisses » Une demi-droite, passant par l'origine , coupe en un point dont en rouge sur le schéma ci-contre.
Justification[101] : on vérifie que les coordonnées du point d'abscisse et d'ordonnée Justification : on vérifie que les coordonnées du point suivent effectivement l'équation de l'hyperbole équilatère[98] de demi-axes unité Justification : on vérifie que les coordonnées du point «» [100] en utilisant la relation fondamentale liant et [102] soit «» ;
Justification : ensuite le vecteur position de s'écrivant on en déduit Justification : le vecteur déplacement élémentaire [103] puis Justification : le vecteur surface élémentaire balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace de sur l'hyperbole équilatère[98] de demi-axes unité Justification : à l'aide de sa définition [104], soit et, Justification : en utilisant la relation fondamentale liant et [102] c.-à-d. «» «» d'où Justification : l'expression de l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace de sur l'hyperbole équilatère[98] de demi-axes unité, «» soit enfin Justification : l'expression de l'aire balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace sur l'hyperbole équilatère[98] de demi-axes unité Justification : l'expression de l'aire balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre Justification : l'expression de l'aire balayée par le rayon vecteur «» (C.Q.F.V.) [105] ; Justification : le paramètre de l'hyperbole équilatère[98] de centre , de demi-axes unité, représente le double de l'aire balayée par le rayon vecteurquand le pointse déplace Justification : le paramètre de l'hyperbole équilatère de centre , de demi-axes unité, représente sur cette hyperbole du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par ce paramètre.
Remarque : Il y a un lien entre l'angle et l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur quand se déplace sur l'hyperbole équilatère[98] de demi-axes unité Remarque : Il y a un lien entre l'angle et l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur quand se déplace du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par mais, Remarque : Il y a un lien entre l'angle et l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur quand se déplace contrairement au cas du cercle [97], ; Remarque : en effet, dans le cas de la branche d'hyperbole équilatère[98] de demi-axes unité, les coordonnées polaires du point sont telles que , ce qui donne, Remarque : en effet, par report dans l'équation cartésienne «» de cette branche [100], ou c.-à-d. Remarque : en effet, l'équation polaire de la branche «» on trouve ainsi les deux asymptotes de l'hyperbole correspondant à soit ; Remarque : en effet, le vecteur surface élémentaire balayée par le rayon vecteur quand se déplace de sur la branche d'hyperbole équilatère[98] de demi-axes unité Remarque : en effet, le vecteur surface élémentaire étant , se réécrit en polaire dont on tire Remarque : en effet, l'aire de la surface élémentaire balayée par le rayon vecteur « effectivement » ; Remarque : en effet, on obtient alors en intégrant la relation précédente entre et soit «» qui s'intègre Remarque : en effet, on obtient alors en posant «» et Remarque : en effet, on obtient alors en posant «» d'où Remarque : en effet, on obtient alors «» dans laquelle on décompose «» en éléments irréductibles simples selon «» [106], ce qui conduit à Remarque : en effet, on obtient alors «» soit finalement Remarque : en effet, on obtient alors «» [107],[108].
Affinité d'axe x'x, de direction y'y d'une hyperbole équilatère de centre O, d'axes Ox et Oy
On peut transformer l'« hyperbole équilatère de centre , d'axes focal et non focal , de demi-axes communs » par affinité d'axe , de direction et de rapport [109] en On peut transformer l'« hyperbole de centre , d'axes focal et non focal , de demi-axes focal et non focal » en fixant le rapport «» en effet,
On peut transformer les équations paramétriques de l'hyperbole équilatère[98] de centre , d'axes focal et non focal , de demi-axes communs étant «» [110] avec On peut transformer pour paramètre « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite , l'hyperbole équilatère[98] de demi-axes communs et l'axe des abscisses, On peut transformer pour paramètre « le double de l'aire exprimée en unité [111] »,
On peut transformer son image par l'affinité d'axe , de direction et de rapport c.-à-d. l'« hyperbole de centre , d'axes focal et non focal , On peut transformer son image par l'affinité d'axe , de direction et de rapport c.-à-d. l'« hyperbole de centre , de demi-axes focal et non focal » On peut transformer son image par l'affinité d'axe , de direction et de rapport c.-à-d. l'« hyperbole a pour équations paramétriques «» avec, On peut transformer pour paramètre « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite , l'hyperbole équilatère[98] de centre , de demi-axes communs et l'axe des , On peut transformer pour paramètre « le double de l'aire exprimée en unité [111] » [112],[113].
Justification : les équations paramétriques «» sont bien celles de l'« hyperbole de centre , d'axes focal et non focal , de demi-axes focal et non focal » car, Justification : en éliminant le paramètre entre les deux équations paramétriques et utilisant la relation fondamentale liant et [102], Justification : on retrouve bien son équation cartésienne sous forme implicite «».
Conséquence : équations paramétriques d'une hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy
Équations paramétriques d'une hyperbole de centre O, d'axes focal Ox et non focal Oy
Les équations paramétriques d'une hyperbole de centre , d'axes focal et non focal , de demi-axes focal et non focal Les équations paramétriques d'une hyperbole de centre , s'écrivent selon «» [114] dans lesquelles Les équations paramétriques « le paramètre de l'hyperbole est le double de l'aire balayée par le rayon vecteur quand Les équations paramétriques « se déplace sur l'hyperbole équilatère[98] de centre , d'axes focal et non focal , Les équations paramétriques « se déplace sur l'hyperbole équilatère de centre , de demi-axes communs , Les équations paramétriques « se déplace du point commun de l'hyperbole et de l'hyperbole équilatère[98] situé sur Les équations paramétriques « se déplace jusqu'au point repéré par ce paramètre sur l'hyperbole équilatère » [114].
Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe nécessite le choix dans ce plan d'une origine «» et d'une base orthonormée liée au plan «» ; Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe une fois ce choix fait, est repéré par ses coordonnées cartésiennes «» [115] ;
Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe on peut repérer autrement le point relativement au repère cartésien «» Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe on peut repérer autrement en précisant ses coordonnées polaires c.-à-d. «» où Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe on peut repérer autrement en précisant «» [116] est « la 1ère coordonnée polaire exprimée en » Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe on peut repérer autrement en précisant «» est « appelée « coordonnée radiale » [117], Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe on peut repérer autrement en précisant «» étant « la 2ème coordonnée polaire exprimée en » Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe on peut repérer autrement en précisant «» est « appelée « coordonnée ou abscisse angulaire » [118] Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe on peut repérer autrement en précisant l'axe étant appelé « axe polaire »[119] ;
Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe on peut repérer autrement quand un point décrit une courbe, celle-ci peut être caractérisée par son « équation polaire » Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe on peut repérer autrement c.-à-d. la fonction explicitant la coordonnée radiale de «» en fonction de Rappelons tout d'abord que le repérage cartésien d'un point du plan fixe on peut repérer autrement c.-à-d. la fonction explicitant son abscisse angulaire «» soit «» [120].
Exemple de courbe définie par son équation polaire
Cercle passant par , centré sur l'axe polaire et de diamètre , ayant pour équation polaire «»
Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «» : cette courbe est un « cercle passant par , de diamètre et centré au point », Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «» : « le domaine de variation de étant » ; Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «» : en effet multiplions l'équation polaire «» de part et d'autre par «» Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «» : dans le but de faire apparaître «» dans le membre de gauche, nous obtenons Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «» : «» et, reconnaissant dans le membre de droite «», Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «» : nous en déduisons l'équation cartésienne suivante «» qui se réécrit selon Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «» : «» définissant effectivement un cercle Ci-contre l'exemple d'une courbe d'équation polaire «» : « centré en » sur l'axe polaire , « de rayon » et « passant par » [121].
Choix communs de repérage polaire des coniques dont O est le (ou un des) foyer(s)
Le pôle du repérage polaire étant le ou un des foyer(s), l'axe focal étant orienté de ce foyer vers le point le plus prochec.-à-d. le « péricentre » pour une ellipse, le « sommet » pour une parabole Le pôle du repérage polaire étant le ou un des foyer(s), l'axe focal étant orienté de ce foyer vers le point le plus proche ou le « sommet » pour l'une ou l'autre branche d'une hyperbole, Le pôle du repérage polaire étant le ou un des foyer(s), on note «» l'angle orienté que fait l'axe focal avec l'axe polaire c.-à-d. «».
Remarque : Dans ce qui suit, l'établissement de l'équation polaire d'une conique dont le pôle est le ou un des foyer(s) a été faite à partir de la définition monofocale de cette dernière [122].
Équation polaire d'une ellipse de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e
Schéma représentant une ellipse dont est l'un des foyers et son repérage polaire de pôle , l'axe focal orienté vers le péricentre de l'ellipse faisant l'angle avec l'axe polaire [123]
Voir ci-contre la disposition de l'ellipse par rapport au repère, un des foyers de l'ellipse choisi pour pôle du repérage polaire, Voir ci-contre l'axe focal orienté vers le péricentre de l'ellipse faisant l'angle avec l'axe polaire Voir ci-contre l'axe focal orienté vers le péricentre de l'ellipse faisant l'angle «», Voir ci-contre le point courant de l'ellipse étant repéré par ses coordonnées polaires «».
Établissement à partir de la définition monofocale de l'ellipse
L'ellipse dont est un des foyers étant définie selon « l'ensemble des points du plan tel que dans lequel L'ellipse dont est un des foyers étant définie selon « est le projeté orthogonal de sur directrice associée au foyer L'ellipse dont est un des foyers étant définie selon «et l'excentricité de l'ellipse » [71] avec L'ellipse dont est un des foyers «» coordonnée radiale du point dans son repérage polaire et L'ellipse dont est un des foyers «» dans laquelle L'ellipse dont est un des foyers « et » sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'ellipse, L'ellipse dont est un des foyers « et » respectivement « l'abscisse angulaire du point et L'ellipse dont est un des foyers « et » respectivement « l'angle que fait l'axe focal orienté vers le péricentre de L'ellipse dont est un des foyers « et » respectivement « l'angle que fait l'axe focal l'ellipse avec l'axe polaire » ; L'ellipse dont est un des foyers de «» on déduit «» soit «» et finalement L'ellipse dont est un des foyers de «» on déduit «» sachant que « est » [124].
Équation polaire d'une ellipse dont le pôle O est un des foyers
L'équation polaire de l'ellipse dont le pôle est l'un des foyers, l'axe focal orienté vers le péricentre de l'ellipse L'équation polaire de l'ellipse dont le pôle est l'un des foyers, l'axe focal faisant l'angle avec l'axe polaire L'équation polaire de l'ellipse est «» dans laquelle L'équation polaire de l'ellipse est « et » sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'ellipse.
Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire
Schéma représentant une parabole de foyer et son repérage polaire de pôle , l'axe focal orienté vers le sommet de la parabole faisant l'angle avec l'axe polaire [123]
Voir ci-contre la disposition de la parabole par rapport au repère, le foyer de la parabole choisi pour pôle du repérage polaire, Voir ci-contre l'axe focal orienté vers le sommet de la parabole faisant l'angle avec l'axe polaire Voir ci-contre l'axe focal orienté vers le sommet de la parabole faisant l'angle «», Voir ci-contre le point courant de la parabole étant repéré par ses coordonnées polaires «».
Établissement à partir de la définition (monofocale) de la parabole
La parabole de foyer étant définie selon « l'ensemble des points du plan tel que dans lequel La parabole de foyer étant définie selon « est le projeté orthogonal de sur directrice associée au foyer [29] avec La parabole de foyer «» coordonnée radiale du point dans son repérage polaire et La parabole de foyer «» [126] dans laquelle La parabole de foyer «» est « le paramètre » de la parabole, La parabole de foyer « et » respectivement « l'abscisse angulaire du point et La parabole de foyer « et » respectivement « l'angle que fait l'axe focal orienté vers le sommet de La parabole de foyer « et » respectivement « l'angle que fait l'axe focal la parabole avec l'axe polaire » ; La parabole de foyer de «» on déduit «» soit «» et finalement La parabole de foyer de «» on déduit «» La parabole de foyer de «» on déduit « sachant que « est » [127] La parabole de foyer de «» on déduit « pour «», doit être [128] d'où la direction repérée par «» est La parabole de foyer de «» on déduit « pour «», doit être d'où la direction asymptotique de la parabole.
Équation polaire d'une parabole dont le pôle O est le foyer
L'équation polaire de la parabole dont le pôle est le foyer, l'axe focal orienté vers le sommet de la parabole L'équation polaire de la parabole dont le pôle est le foyer, l'axe focal faisant l'angle avec l'axe polaire L'équation polaire de la parabole est «» dans laquelle L'équation polaire de la parabole «» est « le paramètre » de la parabole.
Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire
Schéma [130] représentant une branche d'hyperbole contournant un des foyers et son repérage polaire de pôle , l'axe focal orienté vers le sommet de la branche faisant l'angle avec l'axe polaire [123]
Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer contourné par la branche choisi pour pôle du Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer contourné par la branche choisi repérage polaire, Voir ci-contre l'axe focal orienté vers le sommet de la branche faisant l'angle avec l'axe polaire «», Voir ci-contre le point courant de la branche étant repéré par ses coordonnées polaires «».
Établissement à partir de la définition monofocale de l'hyperbole
La branche d'hyperbole contournant le foyer étant définie selon « l'ensemble des points du demi-plan situé du côté de [131] La branche d'hyperbole contournant le foyer étant définie selon « l'ensemble des points du tel que dans lequel La branche d'hyperbole contournant le foyer étant définie selon « est le projeté orthogonal de sur directrice associée La branche d'hyperbole contournant le foyer étant définie selon « est le projeté orthogonal de sur au foyer et La branche d'hyperbole contournant le foyer étant définie selon « l'excentricité de l'hyperbole » [73] avec La branche d'hyperbole contournant le foyer «» coordonnée radiale du point dans son repérage polaire et La branche d'hyperbole contournant le foyer «» [126] La branche d'hyperbole contournant le foyer dans laquelle « et » sont « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole, La branche d'hyperbole contournant le foyer dans laquelle « et » respectivement « l'abscisse angulaire du point et l'angle que fait l'axe focal orienté vers le sommet de la branche La branche d'hyperbole contournant le foyer dans laquelle « et » respectivement « l'abscisse angulaire du point et l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire » ; La branche d'hyperbole contournant le foyer de «» on déduit «» soit «» et finalement, La branche d'hyperbole contournant le foyer de «» on déduit «» pour «» [132] ; La branche d'hyperbole contournant le foyer la condition «» «» valeur limite le domaine de définition de l'angle : La branche d'hyperbole contournant le foyer la condition «» «» valeur limite «» [133] La branche d'hyperbole contournant le foyer «» [133]domaine de définition de l'abscisse angulaire du point courant de la branche d'hyperbole, La branche d'hyperbole contournant le foyer les bornes du domaine de définition à savoir [133] et [133] La branche d'hyperbole contournant le foyer les bornes du domaine de définition correspondant aux abscisses angulaires des directions asymptotiques de l'hyperbole La branche d'hyperbole contournant le foyer les bornes du domaine de définition pour «», doit être [134] », d'où La branche d'hyperbole contournant le foyer l'équation polaire «» avec «» [133].
Équation polaire de la branche d'hyperbole contournant O (un des foyers)
L'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant un des foyers choisi comme pôle , L'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant un des foyers l'axe focal orienté vers le sommet de la branche L'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant un des foyers l'axe focal faisant l'angle avec l'axe polaire L'équation polaire de la branche d'hyperbole est «» dans laquelle L'équation polaire de la branche d'hyperbole est « et » sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole.
Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire
La distance minimale d'approchedistance séparant le sommet de la branche d'hyperbole du foyer de cette dernière «» correspondant à «»,
l'angle polaire des directions asymptotiquescorrespondant à une distance maximale d'éloignement «» [135] l'angle polaire des directions asymptotiques s'écrit encore «» avec « l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal » [136],
le demi-axe focal «» étant la distance séparant le sommet de la branche d'hyperbole du centre de symétrie de l'hyperbole complète [39] d'où le demi-axe focal «» avec distance entre le centre et l'un des foyers ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité , «» et le demi-axe focal «» avec distance entre le centre et l'un des foyers ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité , «» d'où le demi-axe focal «» se réécrit «» soit finalement «» et
le demi-axe non focal «» par «» ou, en y reportant l'expression de «», «» [137].
Équation polaire de la branche d'hyperbole de foyer O, de paramètre p et d'excentricité e, branche différente de celle contournant O
Schéma [130] représentant une branche d'hyperbole contournant un des foyers et son repérage polaire de pôle , l'autre foyer de l'hyperbole, l'axe focal orienté vers le sommet de la branche étudiée faisant l'angle avec l'axe polaire [123]
Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer non contourné par la branche choisi pour pôle Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer non contourné par la branche du repérage polaire, Voir ci-contre la disposition de la branche d'hyperbole par rapport au repère, le foyer contourné par la branche étant noté , Voir ci-contre l'axe focal orienté vers le sommet de la branche étudiée faisant l'angle avec l'axe polaire Voir ci-contre l'axe focal orienté vers le sommet de la branche étudiée faisant l'angle «», Voir ci-contre le point courant de la branche étant repéré par ses coordonnées polaires «».
Établissement à partir de la définition monofocale de l'hyperbole
La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer étant définie selon « l'ensemble des points du demi-plan situé à l'opposé La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer étant définie selon « de [138] tel que dans lequel La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer étant définie selon « est le projeté orthogonal de sur La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer étant définie selon « est le projeté directrice associée au foyer et La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer étant définie selon « l'excentricité de l'hyperbole » [73] avec La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer «» coordonnée radiale du point dans son repérage polaire et La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer « La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer «» dans laquelle La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer « et » sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole, La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer « et » respectivement « l'abscisse angulaire du point et l'angle que fait l'axe focal orienté vers le sommet de la branche étudiée La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer « et » respectivement « l'abscisse angulaire du point et l'angle que fait l'axe focal avec l'axe polaire » ; La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer de «» on déduit «» soit «» et finalement, La branche d'hyperbole contournant le foyer de «» on déduit «» pour «» [139], La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer la condition «» «» valeur limite le domaine de définition de l'angle : La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer la condition «» «» valeur limite «» [133] La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer «» [133]domaine de définition de l'abscisse angulaire du point courant de la branche La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer «» domaine de définition de l'abscisse angulaire du point courant de la d'hyperbole, La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer les bornes du domaine de définition à savoir [133] et [133] La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer les bornes du domaine de définition correspondant aux abscisses angulaires des directions asymptotiques de l'hyperbole La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer les bornes du domaine de définition pour «», doit être [140] », d'où La branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer l'équation polaire «» avec «» [133].
Équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas O (un des foyers)
L'équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer choisi comme pôle, L'équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer l'axe focal orienté vers le sommet de la branche étudiée L'équation polaire de la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer l'axe focal faisant l'angle avec l'axe polaire L'équation polaire de la branche d'hyperbole est «» [141] dans laquelle L'équation polaire de la branche d'hyperbole est « et » sont respectivement « le paramètre et l'excentricité » de l'hyperbole.
Quelques grandeurs déterminées à partir de l'équation polaire
La distance minimale d'approchedistance séparant le sommet de la branche d'hyperbole étudiée du foyer non contourné par la branche «» correspondant à «»,
l'angle polaire des directions asymptotiquescorrespondant à une distance maximale d'éloignement «» [142] l'angle polaire des directions asymptotiques s'écrit encore «» avec « l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal » [143],
le demi-axe focal «» étant la distance séparant le sommet de la branche d'hyperbole du centre de symétrie de l'hyperbole complète [39] d'où le demi-axe focal «» avec distance entre le centre et l'un des foyers ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité , «» et le demi-axe focal «» avec distance entre le centre et l'un des foyers ou, compte-tenu de la définition de l'excentricité , «» d'où le demi-axe focal «» se réécrit «» soit finalement «» et
le demi-axe non focal «» par «» ou, en y reportant l'expression de «», «» [144].
Remarque utilisant l'association des deux branches
Nous avons vu que la distance minimale d'approche pour la branche d'hyperbole contournant le foyer est «» en notant le sommet de cette branche[145], et Nous venons de voir qu'elle est, pour la branche d'hyperbole ne contournant pas le foyer , «» [146] ;
↑ Si le plan passe par le sommet du cône, on obtient des coniques dégénérées respectivement un point dégénérescence d'une ellipse, une demi-droite dégénérescence d'une parabole et deux droites sécantes dégénérescence d'une hyperbole.
↑ Tracés légèrement modifiés à partir de ceux d'origine tirés du paragraphe « Sections d'un cône de révolution par un plan » de l'article de « wikipédia » intitulé « Cône (géométrie) ».
↑ Ou « transverse » ou encore « transversal », c'est le seul axe de symétrie d'une branche.
↑ Ou « non transverse » ou encore « conjugué », ce n'est pas un axe de symétrie d'une branche mais un axe de symétrie de l'hyperbole complète, cet axe « conjuguant » une branche à l'autre.
↑ Cette définition est donnée pour justifier le qualificatif « demi-axe non focal » donné à mais elle n'est que rarement utilisée en mathématiques et ne l'est jamais en physique.
↑ En effet cela résulte de la définition de la branche d'hyperbole en faisant tendre vers l'infini et deviennent à l'asymptote d'où et par suite .
↑ Cette propriété de , découlant de la définition, est souvent considérée comme une 2ème définition équivalente, c'est en tout cas la seule utilisée en physique et c'est donc celle que vous devez retenir.
↑ On peut également dire que l'excentricité est telle que «».
↑ Le paramètre a une signification indirecte dans la définition monofocale de l'hyperbole, on peut lui en trouver une aussi dans la définition bifocale : appelant l'intersection avec l'asymptote de la à l'axe focal en non représenté sur le schéma pour éviter la surcharge, l'angle commun comme angles à côtés respectivement valant , on a ou soit «», mais cela n'a que très peu d'intérêt en physique.
↑ 13,0 et 13,1Pythagore de Samos (environs de 580 av JC - vers 495 av JC) est à la fois réformateur religieux, mathématicien, astronome et philosophe grec ; il acquiert ses connaissances scientifiques au cours de ses voyages citons comme exemple le théorème de Pythagore qui, sur des cas particuliers, était déjà connu des chinois et des babyloniens avant lui, fait progresser l'arithmétique et pose les bases mathématiques de la musique mais il ne laisse aucun écrit et il est difficile de savoir si tel résultat est de lui ou d'un de ses disciples.
↑ La relation est aussi fréquemment utilisée mais elle se retrouve facilement comme cela a été vu.
↑ Pour un cercle d'excentricité nulle, correspondant à et confondus avec , on a soit .
↑ La dernière relation résulte de la définition de l'ellipse avec d'où .
↑ Le paramètre a une signification indirecte dans la définition monofocale de l'ellipse, on peut lui en trouver une aussi dans la définition bifocale : appelant le projeté orthogonal de sur on a , dans le triangle et dans le triangle d'où mais cette matérialisation n'a que très peu d'intérêt en physique.
↑ La relation est aussi fréquemment utilisée mais elle se retrouve facilement comme cela a été vu.
↑ Le fait que l'excentricité d'une parabole soit sera justifié en donnant la définition monofocale d'une conique qu'elle soit ellipse, hyperbole ou parabole voir le paragraphe « définition monofocale d'une conique » plus loin dans ce chapitre.
↑ est effectivement le milieu de car étant un point de la parabole on a avec .
↑ Dans le cas d'une parabole, il n'y a qu'un couple mais dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole, il y a deux couples possibles.
↑ Il s'agit d'un nombre sans dimension, pour une ellipse avec son cas particulier correspondant à un cercle, pour une parabole et pour une hyperbole.
↑ 26,0 et 26,1 Dans le cas d'un cercle où l'excentricité est nulle, cette distance est infinie, le foyer utilisé étant confondu avec le centre du cercle et la directrice associée étant rejetée à l'infini dans n'importe quelle direction étant donné que toute droite passant par est axe de symétrie.
↑ Dans le cas d'une parabole où l'excentricité vaut , cette distance est égale au paramètre ; dans le cas d'une ellipse où l'excentricité est à , cette distance est plus grande que le paramètre ; dans le cas d'une hyperbole où l'excentricité est à , cette distance est plus petite que le paramètre .
↑ 28,0 et 28,1 Dans le cas d'un cercle, est confondu avec ce point commun s'identifiant avec le centre du cercle.
↑ Mais n'a pas de représentation immédiate sur le schéma, le paramètre ne joue donc pas de rôle fondamental dans la définition monofocale de l'hyperbole, ce rôle étant joué par et .
↑ L'ensemble étant l'autre couple « foyer - directrice » possible pour définir, de façon monofocale, l'hyperbole.
↑ 32,0 et 32,1 On choisit la branche représentée en bleu dans le but d'utiliser les constructions figurant sur la figure, de plus on obtient ainsi une différence positive mais, en choisissant sur l'autre branche représentée en rouge avec ajout de la construction manquante reliant à et projetant en sur , on aboutirait à la même conclusion à condition de former la différence positive .
↑ On introduit la grandeur intervenant dans la définition bifocale de l'hyperbole d'où .
↑ 34,0 et 34,1 Les grandeurs et intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'hyperbole.
↑ 35,0 et 35,1 C.-à-d. la 2ème expression ôtée de la 1ère.
↑ Nous retrouvons la définition bifocale de l'excentricité de l'hyperbole «».
↑ 37,0 et 37,1 La réciproque est également valable les définitions monofocale et bifocale étant équivalentes mais nous ne l'établirons pas car c'est essentiellement la définition bifocale qui nous intéresse en physique.
↑ Les définitions monofocale et bifocale de sont les mêmes à savoir la distance orthogonale séparant les foyers des asymptotes voir le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole » plus haut dans ce chapitre.
↑ Mais n'a pas de représentation immédiate sur le schéma, le paramètre ne joue donc pas de rôle fondamental dans la définition monofocale de l'ellipse, ce rôle étant joué par et .
↑ On introduit la grandeur intervenant dans la définition bifocale de l'ellipse d'où .
↑ 45,0 et 45,1 n'tant représenté sur la figure du paragraphe ci-dessus.
↑ 46,0 et 46,1 Les grandeurs et intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'ellipse.
↑ Nous retrouvons la définition bifocale de l'excentricité de l'ellipse «».
↑ Les définitions monofocale et bifocale de sont les mêmes à savoir la longueur appelée « demi petit axe » voir le paragraphe « principales propriétés d'une ellipse » plus haut dans ce chapitre.
↑ Car, d'une part, le petit axe de l'ellipse étant au grand axe en est envoyé à l'infini simultanément à et d'autre part, le demi-petit axe de l'ellipse est infini.
↑ Car le 2ème foyer de l'hyperbole est envoyé à l'infini et que sa distance est infinie.
↑ Car le 2ème point sur l'axe focal de l'hyperbole est envoyé à l'infini.
↑ Car le demi-axe focal de l'hyperbole est infini.
↑ Car, d'une part, l'axe non focal de l'hyperbole étant à son axe focal en est envoyé à l'infini simultanément à et d'autre part, le demi-axe non focal de l'hyperbole est infini.
↑ Car, d'une part, les asymptotes de l'hyperbole étant issues de sont envoyées à l'infini simultanément à et d'autre part, l'angle que font les asymptotes avec l'axe focal devient nul ce qui définit l'inclinaison de la direction asymptotique de l'hyperbole.
↑ La justification va être faite uniquement dans le cas où est dans le cas où est l'adaptation de la justification se fait sans aucune difficulté et est laissée au soin du lecteur.
↑ Le foyer étant sur l'axe focal à la distance au-dessus du sommet .
↑ La directrice étant à l'axe focal à la distance au-dessous du sommet .
↑ 68,068,1 et 68,2 En effet les rôles joués par et dans cette équation étant symétriques, l'axe focal peut aussi bien être que et par suite le demi grand axe peut donc aussi bien être que .
↑ 69,0 et 69,1 La justification va être faite uniquement dans le cas où l'axe focal est et par suite le demi-grand axe est et le demi-petit axe dans le cas où l'axe focal est , le demi-grand axe est et le demi-petit axe , l'adaptation de la justification se fait sans aucune difficulté et est laissée au soin du lecteur.
↑ 70,0 et 70,1 Le foyer ayant pour coordonnées cartésiennes .
↑ 71,071,1 et 71,2 Voir le paragraphe « application à une ellipse (schéma explicitant la définition monofocale d'une ellipse) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Obtenu en introduisant le 1er facteur du 2ème membre dans son 2ème facteur.
↑ Obtenu en introduisant le 1er facteur du 2ème membre dans son 2ème facteur.
↑ En effet « l'angle entre une asymptote et l'axe focal valant alors » et cet angle étant lié aux demi-axes focal et non focal par «» voir le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (à retenir) » plus haut dans ce chapitre nous en déduisons «».
↑ En effet la rotation de centre et d'angle transformant l'ancienne base en la nouvelle selon , le vecteur position défini dans la nouvelle base à savoir se réécrit en fonction de l'ancienne base ou à identifier à d'où les relations de changement d'axes donnant les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes.
↑ Correspondant au traitement ci-dessus dans lequel l'axe focal devient la 1ère bissectrice du nouveau système d'axes c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté .
↑ Non traité ci-dessus, l'axe focal devenant alors la 2ème bissectrice du nouveau système d'axes c.-à-d. la bissectrice de l'angle orienté , transformation correspondant à une rotation de centre et d'angle à partir de l'ancien système d'axes, c.-à-d. au remplacement de par «».
↑ «» pouvant être , il est donc nécessaire que la direction soit orientée.
↑ La base cartésienne n'est pas nécessairement orthogonale.
↑ Attention, le paramètre «» ne représente rien pour le point courant de l'ellipse.
↑ Attention «» est l'abscisse angulaire du point courant du cercle mais ne représente rien pour le point courant de l'ellipse.
↑ On rappelle que la voie est « horizontale » plus exactement de direction à la table supportant l'oscilloscope et la voie « verticale » plus exactement à la direction dite « horizontale », voir le paragraphe « fonctionnement en (x, y) » du T.P. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ 88,088,188,2 et 88,3Jules Antoine Lissajous (1822 - 1880) physicien français, essentiellement connu pour ses travaux sur les ondes, il est à l'origine de la méthode d'étude des vibrations acoustiques par réflexion de signaux lumineux sur un miroir fixé à l'objet vibrant.
↑ 89,089,189,2 et 89,3 Courbe plane dont les projetés du point courant sur deux directions distinctes ont des mouvements sinusoïdaux du temps de fréquences différentes dans le cas général.
↑ La condition de fermeture de la courbe de Lissajous est que les périodes des deux tensions soient commensurables c.-à-d. qu'elles soient un rapport ou encore qu'il existe une période commune pour les deux, multiple de chacune des périodes d'entre elles.
↑ Ellipse pouvant être dégénérée en segments de droite.
↑ En effet «» avec «», l'association des deux constituant les équations paramétriques d'une ellipse de centre , d'axes et , de demi-axes et , le paramètre étant le temps .
↑ Mais les axes de symétrie de l'ellipse, entre eux, sont inclinés par rapport aux côtés du rectangle, l'ellipse étant tangente aux côtés à quand et tangente aux côtés à quand .
↑ « Valeur absolue » car la vitesse angulaire est algébrique alors qu'une pulsation est nécessairement positive.
↑ Si les amplitudes sont différentes le mouvement est elliptique, l'ellipse admettant les directions des mouvements comme axes de symétrie toutefois le caractère uniforme ne porte pas sur le mouvement elliptique mais sur le mouvement circulaire dont le mouvement elliptique est l'image par affinité et si, de plus, les mouvements ne sont pas en quadrature de phase, le mouvement composé est toujours elliptique avec le caractère uniforme portant sur le mouvement circulaire dont le mouvement elliptique est l'image par affinité mais les axes de symétrie ne sont plus suivant les directions des mouvements.
↑ 96,0 et 96,1Vincenzo Riccati (1707 - 1775) mathématicien de la province de Vénétieserait aujourd'hui italien surtout connu pour son travail sur les équations différentielles comme celle connue sous le nom d'équation de Riccati et pour la méthode de résolution par tractoire qu'il utilisa.
↑ 97,0 et 97,1Méthode d'introduction des fonctions trigonométriques ayant inspiré Vincenzo Riccati pour introduire les fonctions hyperboliques La méthode suivie par Vincenzo Riccati est calquée sur celle qu'il utilisait lorsque le cercle trigonométrique d'équation était à la place de l'hyperbole équilatère d'équation , voir ci-contre le diagramme explicatif de la méthode avec le cercle trigonométrique ; une demi-droite passant par l'origine coupe le cercle trigonométrique en un point dont les coordonnées paramétrées en fonction de l'angle polaire s'expriment respectivement en fonction du « cosinus » pour l'abscisse et « sinus » pour l'ordonnée, plus précisément , le paramètre s'avérant être aussi « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, le cercle et l'axe des abscisses » en rouge sur le schéma ci-contre ; en effet le vecteur surface élémentaire balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace de sur une courbe donnée, est défini par le vecteur surface devant être à et est bien colinéaire à d'une part et d'autre part sa norme devant être identifiée à l'aire de la surface triangulaire construite sur les deux vecteurs et c.-à-d. à aire d'un triangle = la moitié du produit d'une base par la hauteur associée soit finalement ; pour le cercle trigonométrique le meilleur repérage étant le repérage polaire de base locale le rayon vecteur s'écrivant et le vecteur déplacement élémentaire le cercle étant de rayon unité, on en déduit d'où l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur quand le point se déplace de sur le cercle valant , celle quand le point se déplace, sur le cercle, du point de l'axe des abscisses jusqu'au point repéré par le paramètre est bien pour un cercle de rayon l'aire serait correspondant à une aire de pour un tour complet.
↑ 100,0100,1 et 100,2 Il suffit d'imposer dans l'équation cartésienne sous forme implicite de l'hyperbole équilatère de centre , d'axes focal et non focal , de demi-axes focal et non focal soit «»
↑ Le vecteur surface devant être à et est bien colinéaire à d'une part et d'autre part sa norme devant être identifiée à l'aire de la surface triangulaire construite sur les deux vecteurs et c.-à-d. à aire d'un triangle = la moitié du produit d'une base par la hauteur associée soit finalement .
↑ Voir méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « Développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ L'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, la branche d'hyperbole équilatère de demi-axes unité et l'une ou l'autre de ses asymptotes est infinie, en effet cette aire s'obtient en faisant tendre vers .
↑ Adaptées à partir des équations paramétriques de l'hyperbole équilatère de centre , d'axes focal et non focal , de demi-axes unité «», le paramètre étant « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite issue de l'origine , l'hyperbole équilatère de demi-axes unité et l'axe des abscisses » voir le paragraphe « équations paramétriques d'une équation équilatère de centre O, d'axes Ox et Oy (de demi-axes unité) » plus haut dans ce chapitre, l'adaptation au cas de l'hyperbole équilatère de demi-axes commun nécessitant de multiplier les dimensions sur et par les aires sont multipliées par d'où l'introduction du paramètre qui est donc « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite issue de l'origine , l'hyperbole équilatère de demi-axes communs et l'axe des abscisses, aire exprimée en unité ».
↑ De même que le paramètre des équations paramétriques «» de l'ellipse de centre , d'axes et , de demi-axes focal et non focal n'a pas de signification sur l'ellipse mais uniquement sur le cercle de centre et de rayon dont l'ellipse est l'image par affinité d'axe , de direction et de rapport , De même que le paramètre des équations paramétriques «» de l'hyperbole de centre , d'axes et , de demi-axes focal et non focal n'a pas, a priori, de signification sur cette hyperbole mais uniquement sur l'hyperbole équilatère de centre , d'axes et , de demi-axes communs dont l'hyperbole non équilatère est l'image par affinité d'axe , de direction et de rapport .
↑ Le paramètre des équations paramétriques «» de l'hyperbole de centre , d'axes et , de demi-axes focal et non focal peut avoir, a posteriori, une signification sur cette hyperbole car, Le paramètre s'il représente « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite , l'hyperbole équilatère de centre , de demi-axes communs et l'axe des abscisses, aire exprimée en unité », la surface délimitée par la demi-droite , l'hyperbole de centre , de demi-axes focal et non focal et l'axe des abscisses se déduisant de celle associée à l'hyperbole équilatère par affinité d'axe , de direction et de rapport , l'aire de la 1ère est égale à l'aire de la 2nde multipliée par le rapport d'où la signification suivante du paramètre sur l'hyperbole non équilatère : le paramètre représente « le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite , l'hyperbole de centre , de demi-axes focal et non focal et l'axe des abscisses, aire exprimée en unité ».
↑ 114,0 et 114,1 Attention, le paramètre «» ne représente, a priori, rien pour le point courant de l'hyperbole non équilatère, sa représentation nécessitant, a priori, l'introduction de l'hyperbole équilatère de centre , d'axes focal et non focal , de demi-axes communs dont l'hyperbole paramétrée est l'image par affinité d'axe , de direction et de rapport , mais Il est toutefois possible de trouver, a posteriori, une signification au paramètre sur l'hyperbole non équilatère : voir la note « 113 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ C.-à-d. la distance séparant le point du « pôle ».
↑ Ou « rayon polaire» ou encore « rayon vecteur» le substantif « vecteur » ajouté à « rayon » est très mal choisi car il ne s'agit nullement d'un vecteur, toutefois il s'agit d'une définition historique très précise en géométrie signifiant « distance séparant le point d'un point particulier qui est ici le « pôle »» ; on pourrait encore utiliser la notion de « rayon vecteur» dans la définition bipolaire d'une ellipse selon « ensemble des points du plan tel que la somme de ses deux rayons vecteurs menés de chacun des foyers est égal à c.-à-d. la longueur du grand axe de l'ellipse».
↑ On pouvait aussi utiliser le triangle rectangle du paragraphe « principales propriétés d'une ellipse (à retenir) » plus haut dans ce chapitre ici le triangle rectangle s'écrit soit dans laquelle avec l'excentricité de l'ellipse définie par «», soit finalement «» dans laquelle on reporte «» d'où «».
↑ 130,0 et 130,1 Le schéma respecte l'allure mais non les proportions deux longueurs théoriquement identiques par exemple «» peuvent représentées involontairement différentes.
↑ Plus précisément situé, par rapport au centre de l'hyperbole, du même côté que le foyer et sa directrice associée .
↑ En effet «» «» et, comme doit être fini et positif, il est nécessaire que « soit ».
↑ On pouvait aussi utiliser le triangle rectangle du paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (à retenir) » plus haut dans ce chapitre ici le triangle rectangle est représenté en utilisant l'autre foyer soit dans laquelle , l'excentricité de l'hyperbole étant définie par «», soit finalement «» dans laquelle on reporte «» d'où «» ou On pouvait aussi utiliser autrement le triangle rectangle précédent en se servant de l'angle lequel est aussi l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal tel que dont on a établi, dans le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (à retenir) » plus haut dans ce chapitre, «» « avec » d'où «» déduit de «» avec d'où avec «» dans laquelle on reporte «» d'où «».
↑ Plus précisément situé, par rapport au centre de l'hyperbole, à l'opposé du foyer et de sa directrice associée ou, ce qui est équivalent, Plus précisément situé, par rapport au centre de l'hyperbole, du même côté que le foyer et sa directrice associée .
↑ En effet «» «» et, comme doit être fini et positif, il est nécessaire que « soit ».
↑ En effet le produit de avec étant de valeur finie, « doit être ».
↑ Cette 2ème forme «» de l'équation polaire de la branche d'hyperbole contournant le foyer avec l'autre foyer de l'hyperbole choisi comme pôle du repérage polaire, permet de présenter les équations polaires des deux branches d'hyperbole, celle contournant et celle ne le contournant pas mais contournant l'autre foyer , selon une seule relation «» avec le signe «» pour la branche contournant et le signe «» pour la branche contournant l'autre foyer donc ne contournant pas .
↑ On pouvait aussi utiliser le triangle rectangle du paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (à retenir) » plus haut dans ce chapitre ici le triangle rectangle est représenté en utilisant l'autre foyer soit dans laquelle , l'excentricité de l'hyperbole étant définie par «», soit finalement «» dans laquelle on reporte «» d'où «» ou On pouvait aussi utiliser autrement le triangle rectangle précédent en se servant de l'angle lequel est aussi l'angle aigu entre les asymptotes et l'axe focal tel que dont on a établi, dans le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (à retenir) » plus haut dans ce chapitre, «» « avec » d'où «» déduit de «» avec d'où avec «» dans laquelle on reporte «» d'où «».
Hyperbole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et coupant le cône en deux parties distinctes
Parabole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et à une génératrice du cône
Ellipse comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et sécant avec toutes les génératrices du cône
![{\displaystyle \;[FF']\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c2238cf982379a36f0374d139c6bb7b9a18b7e)
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![{\displaystyle \;b^{2}=a^{2}\;(1-e^{2})=a\,\left[a\;(1-e^{2})\right]=a\;p\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8d67cd530de68eb7b367327819e0e8e457c05f)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;x_{M}^{2}=\left[\left({\dfrac {p}{2}}+y_{M}\right)+\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)\right]\,\left[\left({\dfrac {p}{2}}+y_{M}\right)-\left({\dfrac {p}{2}}-y_{M}\right)\right]=p\,\left[2\;y_{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2ce8c16769a19148dee0f5c03032c29119e763)
![{\displaystyle y'(x)\;[X-x]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e880ae5d03ae0763a6bb5520a2cf4eeb9a9b0c2a)
![{\displaystyle \;Y-a\;x^{2}=2\;a\;x\;[X-x]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189b4d19eb1ccc5abab1149201650190c1b4f419)
![{\displaystyle \;Y=2\;a\;x\left[X-{\dfrac {x}{2}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14414d90d7633a5eee59e616cf25e28ed1aaf370)
![{\displaystyle \color {transparent}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a93d1d51146785f3ced70f6522b1ea5046be592)
![{\displaystyle \;[SH]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60af3e9553e21152d548d4c290030b86c82d4ea7)
![{\displaystyle \;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\right)}}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e07619b459f9a0bacc863455c0adf265428226a)
![{\displaystyle {\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5ec6bb7771c982c131bdb53858ed6e79e456a4)
![{\displaystyle \;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,-{\vec {u}}_{y}\right)}}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab85d60fa887109b19673ef4bdf7496315db673)
![{\displaystyle \;\theta \;\in \;\left]-\pi \,;\,\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75fa9ff13fafe144a08583b65ab4214fbe931b99)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dS}}={\dfrac {\left[\cosh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{x}+\sinh({\mathfrak {a}})\;{\vec {u}}_{y}\right]\wedge \left[\sinh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{x}+\cosh({\mathfrak {a}})\;d{\mathfrak {a}}\;{\vec {u}}_{y}\right]}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e09b5b19ac1f38efff73369d62c0a33812d9a4)
![{\displaystyle ={\dfrac {\left[\cosh ^{2}({\mathfrak {a}})-\sinh ^{2}({\mathfrak {a}})\right]d{\mathfrak {a}}}{2}}\;{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74bf22c9462ec2d14e3d462de6e56c571f4b739)
![{\displaystyle \;\theta \rightarrow \pm {\dfrac {\pi }{4}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65afb28a972ef0c4231a97ad54e80993dbe33d78)
![{\displaystyle \;dt'=\left[1+\tan ^{2}\!\left(\theta '\right)\right]d\theta '\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6a246e797eda658621470571d3b1682bc4b323)
![{\displaystyle \;\cos(2\;\theta ')=\cos ^{2}(\theta ')-\sin ^{2}(\theta ')=\cos ^{2}(\theta ')\left[1-\tan ^{2}(\theta ')\right]={\dfrac {1-\tan ^{2}(\theta ')}{1+\tan ^{2}(\theta ')}}={\dfrac {1-{t'}^{2}}{1+{t'}^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e5fbc30643c67f8b6c7353574e34240e639a25)
![{\displaystyle \;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{4}}\left[\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1-t'}}+\displaystyle \int _{0}^{t}{\dfrac {dt'}{1+t'}}\right]={\dfrac {1}{4}}\left[\displaystyle \int _{t'\,=\,0}^{t'\,=\,t}{\dfrac {d(1+t')}{1+t'}}-\displaystyle \int _{t'\,=\,0}^{t'\,=\,t}{\dfrac {d(1-t')}{1-t'}}\right]={\dfrac {1}{4}}\left[\ln \!\left({\dfrac {1+t'}{1-t'}}\right)\right]_{0}^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35aa8aa0ab5d5656de5c2ef497eb4dd660840cb2)
![{\displaystyle \;{\mathfrak {a}}={\dfrac {1}{4}}\,\ln \!\left[{\dfrac {1+\tan(\theta )}{1-\tan(\theta )}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb374ab7759ed5fa4c01133e7f12dbda0f3f98c2)
![{\displaystyle \;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63de93e4efcff9895d0b903def05dc3554f1c2a9)
![{\displaystyle \;MH=d\!\left\lbrace O\,,\,(D)\right\rbrace -OM\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {OP}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right]={\dfrac {p}{e}}-r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/594f6bcf85f63162280b66fbcd01cf6568ca54c7)
![{\displaystyle \;r=e\,\left[{\dfrac {p}{e}}-r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\right]=p-e\;r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4feedb7ea0c3426d7f4d0f4b60269603a4a09b70)
![{\displaystyle \;r\,\left[1+e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\right]=p\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6656221a21ff324f0edb5aa7655ba801b8f11a3)
![{\displaystyle \;MH=d\!\left\lbrace O\,,\,(D)\right\rbrace -OM\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {OP}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right]=p-r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96168cd88a47b62a1fc426cfbb33aa3254fc470b)
![{\displaystyle \;r\,\left[1+\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\right]=p\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a898fae253a7e4b2b01fadaf1c4195e648b80868)
![{\displaystyle \;MH=d\!\left\lbrace O\,,\,(D)\right\rbrace -OM\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {OP}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right]={\dfrac {p}{e}}-r\,\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ad2515b306b14c02a8d026b4b5eb0274a071ab)
![{\displaystyle \;\in \;\left]-1\,,\,0\right[{\big )}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f10d484e6f05b18b1ebc55a469a7b465fe8254)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\in \;\left]-1\,,\,0\right[{\big )}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ce3f62f775c4c3cfdcd81ed82cce392da62133)
![{\displaystyle \;\left]-\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right),\,\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4baf4c237d65f1340b958e6ff23cf7a049b80a23)
![{\displaystyle \;\theta \;\in \;\left]\varphi -\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right),\,\varphi +\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9ddac940dbee4ad7bac9ef8c5bf436471bf74e)
![{\displaystyle {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9e51d2d3cafc3e7d1a34196d9b65ac61640ed1)
![{\displaystyle \;1+e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)>0,\;\;\forall \;\theta \;\in \;\left]\varphi -\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right),\,\varphi +\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4a61662ee6a944df7241c2aeb635a1b4ee5793)
![{\displaystyle \;MH=OM\;\cos \!\left[{\widehat {\left({\overrightarrow {OP}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\right]-d\!\left\lbrace O\,,\,(D)\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d79208d9d46c52155cfbbeb740279c5a342e7b75)
![{\displaystyle \;r=e\,\left[r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-{\dfrac {p}{e}}\right]=e\;r\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-p\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbbb209061b2f1e4692e65d3469932b30267803)
![{\displaystyle \;r\,\left[e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-1\right]=p\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4a6407422914e7f0581cd7ac07d4ff0958afc2)
![{\displaystyle \;\in \;\left]0\,,\,1\right[{\big )}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afab5ceb57f967411aafc4a03a370ec517ea4488)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\in \;\left]0\,,\,1\right[{\big )}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd57cbf02a718ba19955c06fbe21c4d33876580)
![{\displaystyle \;\left]-\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right),\,\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a63b52a699f61b69634f9faaf73ff442f75cd11)
![{\displaystyle \;\theta \;\in \;\left]\varphi -\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right),\,\varphi +\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dcb3fb36f23061e8fc384f47b4c8c05ca09de84)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\theta \;\in \;\left]\varphi -\arccos \!\left(e\right),\,\varphi +\arccos \!\left(e\right)\right[}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550eebf221c623e29b21d444bf9225daccf9c2ef)
![{\displaystyle \;e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-1>0,\;\;\forall \;\theta \;\in \;\left]\varphi -\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right),\,\varphi +\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right)\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fdd08e79d11c1ea700744bc255a97eabd12881)
![{\displaystyle \;S\in [FK]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91873e7899688d2bc8026db89ad12b8ad353d822)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}=x\,\left[{\vec {u}}_{x'}\;\cos \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)+{\vec {u}}_{y'}\;\sin \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right]+y\,\left[-{\vec {u}}_{x'}\;\sin \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)+{\vec {u}}_{y'}\;\cos \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e7ecde75eea0205a8e2e34718c8de6bef7bdce)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}=\left[x\;\cos \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)-y\;\sin \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right]\,{\vec {u}}_{x'}+\left[x\;\sin \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)+y\;\cos \!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right]\,{\vec {u}}_{y'}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b567116e471da1ff935e3aa0ba0dde6ec43e76)
![{\displaystyle \;\Vert {\overrightarrow {dS}}\Vert ={\dfrac {\Vert {\overrightarrow {OM}}\wedge {\overrightarrow {dM}}\Vert }{2}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c309e3cabc2a74e06e40da7df450687f7580df7)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{r}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11af98f226a87b9e88c8a9833b71e0cab664a26a)
![{\displaystyle \;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;\in \;\left[-1\,,\,+1\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634812c306c0282138f7a5f08a998d0e1d411456)
![{\displaystyle \;1+e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;\in \;\left[1-e>0\,,\,1+e>0\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c649a372f2c987722983d03328e5f7eaaefbc4d6)
![{\displaystyle \;COB{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b9a240ad27bbfb7f6bb4d80135283bbc0db392)
![{\displaystyle \;1+\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;\in \;\left[0\,,\,2\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a1c60ad8e8e3d64da3d193aabbce32e1c445bd)
![{\displaystyle \;1+e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)\;\in \;\left[1-e<0\,,\,1+e>0\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1352b126594ec92cd23685e4ffa9b820ddb98c00)
![{\displaystyle \;O'{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3c9ffc52ef214a9c5b4999ea77e7ff719f55b3c)
![{\displaystyle \;\pi -\alpha =\arccos \!\left(-{\dfrac {1}{e}}\right){\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/580716bac754a7946fa8a497be0f82f250aae207)
![{\displaystyle \;\tan(x)<0{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82165f68b8e25f0fc076c2cc894beee74307ad97)
![{\displaystyle \;e\;\cos \!\left(\theta -\varphi \right)-1\;\in \;\left[-e-1<0\,,\,e-1>0\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28a72de6962803d0919d60e2aa5a03f6f2624b3)
![{\displaystyle \;\alpha =\arccos \!\left({\dfrac {1}{e}}\right){\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d1b231fe19c38d2aef359d7276675850659adf)
![{\displaystyle \;\tan(x)>0{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7bd0a9d9b4129676ee6b5a841b1c79b685315d2)
