Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Coniques

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Sommaire

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Le nom « coniques » vient du fait que ces courbes sont les intersections d'un cône de révolution avec un « plan ne passant pas par le sommet du cône » [1] voir les trois tracés ci-dessous [2] :


Hyperbole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et coupant le cône en deux parties distinctes
Ellipse comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et sécant avec toutes les génératrices du cône
Parabole comme intersection d'un cône de révolution avec un plan ne passant pas par le sommet et parallèle à une génératrice du cône

Définition géométrique des coniques[modifier | modifier le wikicode]

Définition bifocale d'une hyperbole[modifier | modifier le wikicode]

     On considère deux points distincts et définissant les deux « foyers » de l'hyperbole séparés de la distance , le milieu du segment et une longueur  :

Principales propriétés d'une hyperbole[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'une hyperbole utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques

Il existe :

  • deux asymptotes et passant par centre de l'hyperbole et deux branches d'hyperbole ;
  • deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers et est appelé « axe focal » [3], l'autre lui étant en centre de l'hyperbole est appelé « axe non focal » [4] ;

nommant et les points de l'hyperbole sur l'axe focal étant le plus proche de ,

  • la longueur [5] est appelée « demi-axe focal »,
  • on peut introduire le demi-axe non focal comme la longueur commune , et étant les points de l'axe non focal, projetés orthogonaux des points d'intersections des perpendiculaires à l'axe focal en et avec les asymptotes [6] les points d'intersections sont notés ou , ou et pour des questions de lisibilité seul est représenté ;

nommant et les projetés orthogonaux de sur les asymptotes et les projetés orthogonaux de ,

  • la longueur [7] ;
  • on établit que la longueur car, dans les triangles et , avec d'où [8], est donc aussi la distance orthogonale entre les foyers et les asymptotes [9] ;
  • le triangle rectangle en a pour longueur de côtés  ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle entre les asymptotes et l'axe focal vaut [10], [11] ;
  • on définit le paramètre par [12] et on peut établir son lien avec et en éliminant par puis par d'où et par suite .

Définition bifocale d'une ellipse[modifier | modifier le wikicode]

     On considère deux points distincts et définissant les deux « foyers » de l'ellipse séparés de la distance , le milieu du segment et une longueur  :

Principales propriétés d'une ellipse[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'une ellipse utilisant la définition bifocale avec les principaux points et grandeurs caractéristiques

Il existe :

  • deux axes de symétrie dont l'un passant par les deux foyers et est appelé « axe focal » ou « grand axe », l'autre lui étant en centre de l'ellipse est appelé « axe non focal » ou « petit axe » ;

nommant et les points de l'ellipse sur l'axe focal étant le plus proche de ,

  • la longueur [16] est appelée « demi grand axe » ;

nommant et les points de l'ellipse sur le petit axe,

  • la longueur est appelée « demi petit axe » ;
  • le triangle rectangle en a pour longueur de côtés [17]  ; on peut aussi déduire de ce triangle rectangle que l'angle a pour sinus  ;
  • on définit le paramètre par [18] et on peut établir son lien avec et en éliminant par puis par d'où et par suite .

Définition monofocale d'une parabole[modifier | modifier le wikicode]

     La parabole n'a pas de définition bifocale car une parabole n'a qu'un foyer ; elle n'a donc qu'une définition monofocale, nécessitant de préciser son foyer et la directrice associée à son foyer , droite séparée du foyer d'une distance définissant son paramètre  :

Schéma explicitant la définition monofocale d'une parabole de foyer , de directrice et de paramètre

Principales propriétés d'une parabole[modifier | modifier le wikicode]

Il existe :

  • un axe de symétrie « la droite passant par et à », cet axe est appelé « axe focal »,

nommant le point de la parabole situé sur son axe focal,

  • c'est « le milieu de » dans lequel est le projeté orthogonal du foyer sur la directrice [22] «», étant nommé « sommet de la parabole ».

Définition monofocale d'une conique[modifier | modifier le wikicode]

     C'est la seule définition commune aux trois coniques « ellipse, parabole ou hyperbole », on précise alors :

  • le couple « foyer, directrice associée » [23],
  • le « paramètre » [24],
  • l'« excentricité » [25] et
  • la « distance séparant le 2ème foyer celui qui n'est pas utilisé du 1er celui qui est utilisé» dans le cas d'une ellipse ou d'une hyperbole correspondant à l'existence d'un deuxième couple « foyer, directrice associée ».

     Remarque : Dans le cas d'un cercle, restant à distance finie de , est et comme est nulle, «» constitue une forme indéterminée laquelle doit être identifiée à la distance c.-à-d. au rayon du cercle ; on en déduit que la définition monofocale d'un cercle est peu exploitable ;

     Remarque : dans le cas d'une parabole on retrouve bien la définition fournie précédemment dans la mesure où l'« excentricité de la parabole est égale à ».

Application à une hyperbole[modifier | modifier le wikicode]

Schéma explicitant la définition monofocale d'une hyperbole de foyer , de directrice associée et d'excentricité  ; sont aussi représentés l'autre foyer et sa directrice associée ainsi que les principales caractéristiques de l'hyperbole

     Voir ci-contre le tracé de l'hyperbole de foyer , de directrice associée et d'excentricité , la distance séparant de est dans lequel est le projeté orthogonal de sur étant à , on en déduit que [28] ;

     l'excentricité étant l'hyperbole cherchée est l'« ensemble des points du plan tel que dans laquelle est le projeté orthogonal de sur » sur le schéma la branche correspondant à et situés d'un même côté relativement à est tracée et expliquée en rouge, l'autre branche correspondant à et situés de part et d'autre relativement à tracée en bleu et expliquée en noir ;

         l'excentricité e étant > 1 l'hyperbole cherchée c'est aussi l'« ensemble des points du plan tel que dans laquelle est le projeté orthogonal du foyer sur la directrice associée », étant l'autre couple « foyer - directrice » possible pour définir, de façon monofocale, l'hyperbole sur le schéma la branche correspondant à et situés d'un même côté relativement à tracée et expliquée en bleu, l'autre branche rouge n'étant pas expliquée pour éviter la surcharge.

Établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant le couple « foyer - directrice » on a « avec projeté orthogonal de sur » et

     Partant de la définition monofocale de l'hyperbole utilisant le couple « foyer - directrice » on a « avec projeté orthogonal de sur » ;

     en faisant la différence de ces deux définitions on obtient «» ou, ayant été choisi sur la branche représentée en bleu [29], «» avec «» en introduisant la grandeur intervenant dans la définition bifocale de l'hyperbole d'où «» ;

     il reste à montrer que cette constante est égale à l'axe focal «» et pour cela il faut, en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'hyperbole, établir le lien de cette constante avec « et » d'une part ainsi qu'avec « et » d'autre part ;

     dans ce but définissons de façon monofocale utilisant le couple « foyer - directrice selon « avec le pied de la directrice sur l'axe focal » et

        dans ce but définissons A de façon monofocale utilisant le couple « foyer - directrice selon « avec le pied de la directrice sur l'axe focal » ;

     de la 1ère définition nous déduisons «» soit encore «» avec et grandeurs intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'hyperbole d'où «» «» ;

     de la 2ème définition nous déduisons «» soit encore «» avec et grandeurs intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'hyperbole d'où «» «» ;

     faisant la somme des deux expressions de dans le but d'éliminer , nous en déduisons «» d'où «» ;

     faisant la différence des deux expressions de dans le but d'obtenir [30], nous en déduisons «» d'où «» que nous pouvons réécrire, en tenant compte de l'expression de précédemment obtenue, soit «» la définition bifocale de l'excentricité de l'hyperbole «» est ainsi retrouvée ;

     reprenant l'expression trouvée pour «» et y reportant les expressions de et en fonction de selon « » ainsi que « » nous obtenons «» c.-à-d.

«» pour les points de la branche représentée en bleu ;
pour les points de la branche représentée en rouge [29] nous trouverions «» ;

     finalement les deux définitions monofocales de l'hyperbole la définition bifocale de celle-ci «» [31].

     Il reste à montrer que «, et définis de façon monofocale [32] » sont effectivement reliés par «», mais ayant établi que « la définition monofocale la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle » voir le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (à retenir) » plus haut dans ce chapitre dont nous déduisons «[33] [34] » soit effectivement le lien cherché «».

Application à une ellipse[modifier | modifier le wikicode]

Schéma explicitant la définition monofocale d'une ellipse de foyer , de directrice associée et d'excentricité  ; sont aussi représentés l'autre foyer et sa directrice associée ainsi que les principales caractéristiques de l'ellipse

     Voir ci-contre le tracé de l'ellipse de foyer , de directrice associée et d'excentricité , la distance séparant de est dans lequel est le projeté orthogonal de sur étant à , on en déduit que [35] ;

     l'excentricité étant l'ellipse cherchée est l'« ensemble des points du plan tel que dans laquelle est le projeté orthogonal de sur » ;

         l'excentricité e étant < 1 l'ellipse cherchée c'est aussi l'« ensemble des points du plan tel que dans laquelle est le projeté orthogonal du foyer sur la directrice associée ».

Établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale[modifier | modifier le wikicode]

     Partant de la définition monofocale de l'ellipse utilisant le couple « foyer - directrice » on a « avec projeté orthogonal de sur » et

     Partant de la définition monofocale de l'ellipse utilisant le couple « foyer - directrice » on a « avec projeté orthogonal de sur » ;

     en faisant la somme de ces deux définitions on obtient «» avec «» en introduisant la grandeur intervenant dans la définition bifocale de l'ellipse d'où «» ;

     il reste à montrer que cette constante est égale au grand axe «» et pour cela il faut, en utilisant exclusivement la définition monofocale de l'ellipse, établir le lien de cette constante avec « et » d'une part ainsi qu'avec « et » d'autre part ;

     dans ce but définissons de façon monofocale utilisant le couple « foyer - directrice selon « avec le pied de la directrice sur l'axe focal » et

        dans ce but définissons A de façon monofocale utilisant le couple « foyer - directrice selon « avec le pied de la directrice sur l'axe focal [36] » ;

     de la 1ère définition nous déduisons «» soit encore «» avec et grandeurs intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'ellipse d'où «» «» ;

     de la 2ème définition nous déduisons «[36] ou » soit encore «» avec et grandeurs intervenant toutes deux dans la définition bifocale de l'hyperbole d'où «» «» ;

     faisant la somme des deux expressions de dans le but d'éliminer , nous en déduisons «» d'où «» ;

     faisant la différence des deux expressions de dans le but d'obtenir [30], nous en déduisons «» d'où «» que nous pouvons réécrire, en tenant compte de l'expression de précédemment obtenue, soit «» la définition bifocale de l'excentricité de l'ellipse «» est ainsi retrouvée ;

     reprenant l'expression trouvée pour «» et y reportant les expressions de et en fonction de selon « » ainsi que « » nous obtenons «» c.-à-d.

«» pour tous les points de l'ellipse ;

     finalement les deux définitions monofocales de l'hyperbole la définition bifocale de celle-ci «» [31].

     Il reste à montrer que «, et définis de façon monofocale [37] » sont effectivement reliés par «», mais ayant établi que « la définition monofocale la définition bifocale », nous pouvons utiliser le résultat tiré du « triangle rectangle » voir le paragraphe « principales propriétés d'une ellipse (à retenir) » plus haut dans ce chapitre dont nous déduisons «[38] [39] » soit effectivement le lien cherché «».

Retour sur la parabole[modifier | modifier le wikicode]

     Au vu de la définition monofocale d'une conique, il semble possible de supposer que « la parabole de foyer et de directrice donc de paramètre fixé [40]» est

  • « la limite d'une ellipse d'excentricité dont est un des foyers, de même paramètre et de directrice associée à quand l'excentricité de l'ellipse tend vers » cette induction se vérifie aisément, en effet quand , d'une part et d'autre part la définition monofocale de l'ellipse « ensemble des points du plan tel que » devient « ensemble des points du plan tel que » c.-à-d. la définition monofocale de la parabole ainsi que
  • « la limite d'une branche d'hyperbole d'excentricité dont est le foyer qu'elle contourne, de même paramètre et de directrice associée à quand l'excentricité de l'hyperbole tend vers » cette induction se vérifie aisément, en effet quand , d'une part et d'autre part la définition monofocale de l'hyperbole « ensemble des points du plan tel que » devient « ensemble des points du plan tel que » c.-à-d. la définition monofocale de la parabole ;

     que deviennent le « demi-axe focal » et le « demi-axe non focal » ainsi que la « distance séparant chaque foyer du centre de symétrie » de l'ellipse ou de l'hyperbole quand l'ellipse ou la branche d'hyperbole tend vers la parabole et

     que devient la définition bifocale de l'ellipse ou de l'hyperbole dans les mêmes conditions de limite ?

Passage de l'ellipse à la parabole[modifier | modifier le wikicode]
Limite parabolique d'une ellipse de foyer , de directrice associée , de paramètre et d'excentricité quand « à foyer et paramètre fixés »

     Partant de l'ellipse de foyer et de directrice associée à et étant le foyer et la directrice de la parabole que l'on cherche à former tel que « le paramètre de l'ellipse soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité de l'ellipse vers  :

     montrons que « le 2ème foyer de l'ellipse se trouve rejeté à l'infini de perpendiculairement à la direction commune de et », en effet, partant de l'expression «» établie à partir de la définition monofocale de l'ellipse au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que « quand » la parabole limite n'a donc pas de 2ème foyer et la distance n'y est pas définie [41] ;

     simultanément on constate que « sommet de la parabole » car, partant de l'expression «» établie à partir de la définition monofocale de l'ellipse au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que « quand » et

     simultanément on constate que « s'éloigne à l'infini de perpendiculairement à la direction commune de et » car, partant de l'expression «» établie à partir de la définition monofocale de l'ellipse au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que « quand » la parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet [42] ;

     le « demi-grand axe de l'ellipse devient infini » quand son excentricité tend vers car, partant de l'expression «» établie à partir de la définition monofocale de l'ellipse au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que « quand » la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal » [43] ;

     les points « et se retrouvent rejetés à l'infini parallèlement à la direction commune de et » car, du lien entre les trois longueurs , et défini pour une ellipse on tire et avec établie à partir de la définition monofocale de l'ellipse au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on en déduit «» puis on établit que « quand » la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal donc pas de points et ni de « demi-axe non focal » [44].

Passage de la branche d'hyperbole à la parabole[modifier | modifier le wikicode]
Limite parabolique d'une branche d'hyperbole de foyer contourné par elle, de directrice associée , de paramètre et d'excentricité quand « à foyer et paramètre fixés »

     Partant de la branche d'hyperbole de foyer qu'elle contourne et de directrice associée à et étant le foyer et la directrice de la parabole que l'on cherche à former tel que « le paramètre de l'hyperbole soit le même que celui de la parabole à construire » et faisons tendre l'excentricité de l'hyperbole vers  :

     montrons que « le 2ème foyer de l'hyperbole se trouve rejeté à l'infini de perpendiculairement à la direction commune de et », en effet, partant de l'expression «» établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que « quand » la parabole limite n'a donc pas de 2ème foyer et la distance n'y est pas définie [45] ;

     simultanément on constate que « sommet de la parabole » car, partant de l'expression «» établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que « quand » et

     simultanément on constate que « s'éloigne à l'infini de perpendiculairement à la direction commune de et » car, partant de l'expression «» établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que « quand » la parabole limite n'a donc qu'un point à distance finie sur l'axe focal, son sommet [46] ;

     le « demi-axe focal de l'hyperbole devient infini » quand son excentricité tend vers car, partant de l'expression «» établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on établit que « quand » la parabole limite n'a donc pas de « demi-axe focal » [47] ;

     le « demi-axe non focal de l'hyperbole devient infini » quand son excentricité tend vers car, du lien entre les trois longueurs , et défini pour une hyperbole on tire et avec établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre, on en déduit «» puis on établit que « quand » la parabole limite n'a donc pas d'axe non focal ni de « demi-axe non focal » [48] ;

     les « asymptotes et de l'hyperbole sont rejetées à l'infini perpendiculairement à la direction commune de et » donc parallèlement à l'axe focal de l'hyperbole quand l'excentricité de cette dernière tend vers car l'angle que fait l'une ou l'autre de ces asymptotes avec l'axe focal étant [10] voir le paragraphe « principales propriétés d'une hyperbole (à retenir) » plus haut dans ce chapitre avec établie à partir de la définition monofocale de l'hyperbole au paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une hyperbole à partir de sa définition monofocale » plus haut dans ce chapitre ainsi que voir sous-paragraphe précédent on en déduit «» [10] «[10] quand » la parabole limite n'a donc pas d'asymptotes mais simplement une direction asymptotique parallèle à l'axe de la parabole [49].

Mise en équation des coniques[modifier | modifier le wikicode]

Équations cartésiennes des coniques[modifier | modifier le wikicode]

Parabole de sommet O et d'axe Oy[modifier | modifier le wikicode]

Équation cartésienne[modifier | modifier le wikicode]

     Justification [50] : Pour , la concavité étant vers les , le foyer a pour coordonnées cartésiennes le foyer étant sur l'axe focal à la distance au-dessus du sommet et la directrice associée à l'axe a pour équation la directrice étant à l'axe focal à la distance au-dessous du sommet  ;

          Justification : la définition monofocale de la parabole étant l'« ensemble des points tel que » avec projeté orthogonal de sur la directrice soit de coordonnées , nous en déduisons avec et soit ou et finalement «» s'identifiant à l'équation cartésienne «» si « » le foyer «» de la parabole d'équation cartésienne «» a pour ordonnée «» et sa directrice associée «» pour équation «».

Propriété de la tangente à la parabole en un point quelconque[modifier | modifier le wikicode]
Propriété d'intersection de la tangente à la parabole en un point quelconque M et de sa tangente au sommet S

     Énoncé : Considérant une parabole de sommet , la tangente en un point quelconque de projeté sur la tangente au sommet recoupe la tangente au sommet au milieu de .

     Démonstration : Considérons la parabole d’équation cartésienne , de sommet et un point quelconque , la tangente en à la parabole a pour équation avec soit encore ou soit enfin  ;

     Démonstration : on en déduit que cette tangente recoupe l’axe des c.-à-d. la tangente au sommet en d’abscisse c.-à-d. la moitié de l’abscisse de  ;

     Démonstration : en conclusion de on en déduit que est le milieu du segment .

Ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy[modifier | modifier le wikicode]

     Justification [52] : L'axe focal étant , le demi-grand axe est et le demi-petit axe , la distance séparant le centre de chacun des foyers est [53] soit le foyer a pour coordonnées cartésiennes et sa directrice associée étant à l'axe focal est à , situé à la distance au-delà de avec soit ici et soit ici d'où l'équation de la directrice soit finalement  ;

          Justification : la définition monofocale de l'ellipse étant l'« ensemble des points tel que » avec projeté orthogonal de sur la directrice soit de coordonnées , nous en déduisons avec d'une part et d'autre part soit ou, en introduisant le 1er facteur du 2ème membre dans son 2ème facteur, soit, après simplification, c.-à-d., en divisant les deux membres par , l'équation cherchée «».

     Cas du cercle : l'excentricité d'un cercle étant et son expression pour une ellipse , on en déduit dont la valeur commune définit le rayon d'où

Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy[modifier | modifier le wikicode]

     Justification : L'axe focal étant , le demi-axe focal est et le demi-axe non focal , la distance séparant le centre de chacun des foyers est [54] le foyer a pour coordonnées cartésiennes et sa directrice associée étant à l'axe focal est à , situé à la distance en deçà de avec et d'où l'équation de la directrice