Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable

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Discontinuité de première ou deuxième espèces d'une fonction scalaire d'une variable
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Chapitre no 21
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie
Chap. suiv. :Portrait de phase d'un système dynamique
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Notion d'échelon d'amplitude A, discontinuité de 1ère espèce[modifier | modifier le wikicode]

Variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K[modifier | modifier le wikicode]

Tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur et d'une source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de , modélisation en échelon de tension d'amplitude

     Soit la tension aux bornes de l'association série « interrupteur et source de tension parfaite de f.e.m.  », étant dans l'état suivant « dans lequel est la durée de fermeture de l'interrupteur » [1] ;

     pendant la petite durée que dure la fermeture de , varie de façon continue et très rapidement de à [2], voir diagramme horaire ci-contre en rouge sur le schéma.

Modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E[modifier | modifier le wikicode]

     On modélise la tension précédente, en faisant tendre vers , en une fonction , discontinue en , appelée « échelon de tension d'amplitude» définie selon

«», voir diagramme horaire ci-dessus en bleu sur le schéma ;

     cet échelon de tension d'amplitude a donc une discontinuité en correspondant au « saut fini ».

Discontinuité de 1ère espèce de l'échelon de tension d'amplitude E[modifier | modifier le wikicode]

     L'échelon de tension d'amplitude est « discontinu de 1ère espèce en » car il est continu à gauche et à droite de avec des limites finies distinctes soit

«» ;

     on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon de tension en par son saut (fini) à la traversée de défini par

«» égal à l'amplitude de l'échelon.

Échelon décentré de tension d'amplitude E[modifier | modifier le wikicode]

     L'échelon de tension centré sur l'instant d'amplitude noté est défini, par rapport à l'échelon de tension de même amplitude en faisant un changement d'origine des temps selon

«»,
il est donc discontinu de 1ère espèce en car il est continu à gauche et à droite de avec des limites finies distinctes soit
«» ;

     on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de l'échelon décentrée de tension en par son saut (fini) à la traversée de défini par

«» égal à l'amplitude de l'échelon.

Discontinuité de 1ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière[modifier | modifier le wikicode]

Exemple de graphe d'une fonction discontinue de 1ère espèce en

     Soit une fonction scalaire réelle d'une variable réelle continue sur les intervalles et avec [3], nous disons que

« la fonction est discontinue de 1ère espèce en »
si « est continue à gauche et à droite de sans l'être en » c.-à-d.
si «» [4] ;

     on caractérise la discontinuité de 1ère espèce de la fonction en par son saut (fini) à la traversée de défini par

«» [5].

Échelon unité (ou fonction d'Heaviside)[modifier | modifier le wikicode]

     L'« échelon unité [6] ou fonction d'Heaviside [7]» est défini par

«»,
il est discontinu de 1ère espèce en,                                                                                          
le saut fini à cet instant étant «».                                                                                

     Remarques : On peut considérer l'échelon unité comme « limite, quand , de la fonction » dans laquelle « représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de à » [8]

     Remarques : On peut bien sûr définir un échelon unité décentré ou fonction d'Heaviside [7] décentrée selon

«»,
discontinu(e) de 1ère espèce en,
le saut fini à cet instant étant «».

     Réécriture d'un échelon de tension d'amplitude fixée à l'aide de la fonction d'Heaviside [7] : soit un échelon de tension d'amplitude , nous pouvons le réécrire sous la forme «» [9].

Exemples d'échelon dans d'autres domaines que l'électricité[modifier | modifier le wikicode]

     Soit une grandeur permanente que l'on impose à partir de l'instant , cela revient à « créer, à l'instant , un échelon de la grandeur d'amplitude » défini selon « ».

     Exemples de mécanique : on cherche à pousser un véhicule tombé en panne à l’aide d'une force horizontale permanente , l'instant de début de la poussée étant choisi comme instant initial, cela revient à
     Exemples de mécanique : « créer, à l'instant , un échelon de force d'amplitude vectorielle » défini selon «» ou,
     Exemples de mécanique : « créer, à l'instant , un échelon de composante horizontale de force d'amplitude » défini selon «» obtenu en projetant sur l'échelon de force .

     Exemples de mécanique : Il existe aussi des cas où une force non permanente existe à partir d'un instant particulier que nous supposerons choisi comme instant initial, dans ces conditions on pourrait utiliser la fonction d'Heaviside [7], [10] pour exprimer que cette force est nulle avant l'instant bien que ce ne soit pas un échelon de force qui soit créé, cela donnerait

«» comme l'exemple

     Exemples de mécanique : d'un corps chutant et rencontrant le sol à l'instant considéré comme initial qui subit, à partir de cet instant, la réaction du sol , laquelle pourrait être réécrite [10] sous la forme

«».

     Bien sûr on pourrait trouver des exemples d'échelon dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que d'autres exemples dans le domaine électrique

« Dérivée 1ère » d'un échelon d'amplitude A, pic de Dirac et discontinuité de 2ème espèce[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur et d'une source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de , modélisation en pic de Dirac [11] d'impulsion

     À partir de la tension aux bornes de l'association série « interrupteur et source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de » on obtient «» dans laquelle représente la durée de la variation continue, très rapide et supposée dérivable de la fonction de à [12] et sa dérivée temporelle «» voir le diagramme horaire ci-dessus en rouge.

Propriétés de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K[modifier | modifier le wikicode]

     L'aire de la surface comprise entre le « pic de et l'axe des temps » [13] se définissant par «» [14]
     L'aire se réécrit, compte-tenu de la nullité de la fonction sur les intervalles et , selon «»
     L'aire ce qui s'intègre simplement en «» soit finalement

l'« aire sous le pic de valant »
« quelle que soit la durée de variation de ».

Modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E[modifier | modifier le wikicode]

     De même que l'on modélise en un échelon de tension d'amplitude en faisant tendre vers , obtenant ainsi une nouvelle fonction continue et dérivable à l'exception de l'instant de fermeture de l'interrupteur, on cherche à
     De même que l'on modéliser en faisant tendre vers , ce qui, ayant pour conséquence une limite infinie à l'instant de fermeture de l'interrupteur [15], conduirait à « une fonction nulle partout à l'exception de où cette fonction ne pourrait être définie car ayant une limite infinie » ;
     De même que l'on de plus, en modélisant par la fonction nulle partout à l'exception de où elle ne serait pas définie, la propriété de « l'aire sous le pic de égale à » n'aurait plus aucune signification

Dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur et d'une source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de , modélisation en pic de Dirac [11] d'impulsion

     Aussi cherchant à maintenir la propriété d'« aire sous le pic de égale à » il convient de maintenir la notion de pic dans la définition de la modélisation dequand, mais le pic tendant vers , la modélisation ne peut plus être une fonction

     On obtient alors un nouvel être mathématique appelé « distribution » [16] dont les propriétés prolongent celles des fonctions comme la dérivation ou l'intégration [17]

     La modélisation de « quand » conduit à une « distribution de Dirac » [11] que les physiciens appellent « pic de Dirac d'impulsion » [18] devant correspondre à

«» [19] voir ci-contre le diagramme en bleu avec la propriété d'
« aire sous le pic égale à » soit «» [20] ou «» [21].

Discontinuité de 2ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E[modifier | modifier le wikicode]

     Une fonction du temps , continue en tout instant à l'exception de, est dite « discontinue de 2ème espèce en» [22] « si l'une au moins des limites deà gauche ou à droite de, n'existe pas ou est infinie » ;

     la modélisation de la fonction « quand » conduisant à une « distribution de Dirac [11], [16] que nous appelons pic de Dirac [11] d'impulsion » [18] devant correspondre à

«» [19] pour laquelle,

     s'il s'agissait d'une fonction on constaterait « un saut infini à gauche de ainsi qu'à droite de » [23], nous dirons, par abus, que

le « pic de Dirac [11] d'impulsion  » [18] est discontinu de 2ème espèce en[24].

Un autre exemple de distribution : pic de Dirac décentré de tension d'impulsion E[modifier | modifier le wikicode]

     Le « pic de Dirac [11] de tension centré sur l'instant d'impulsion » noté «» [25] est défini, par rapport au « pic de Dirac [11] de tension de même impulsion » noté «» [19] en faisant un changement d'origine des temps selon

«» [19] avec la propriété d'
« aire sous le pic égale à » soit «» [26] ou «» [27].

Pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou « fonction » d'Heaviside)[modifier | modifier le wikicode]

     Le « pic de Dirac [11] d'impulsion unité [28] » doit correspondre à

«» [29], avec la propriété d'
« aire sous le pic égale à » soit «» [30] ou «» [31].

     Nous dirons, par abus, que le « pic de Dirac [11] d'impulsion unité » [18] est discontinu de 2ème espèce en[24].

     Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité «» comme « limite, quand , de la fonction » dans laquelle représente la durée de variation continue et très rapide de la fonction de à , nous procédons de même « à partir de la dérivée temporelle de cette dernière
     Propriétés : Ayant considéré l'échelon unité «» comme « limite, quand , de la fonction » et obtenons, quand , « » ;

     Propriétés : le fait que «» avec l'« aire sous le pic de égale à l'amplitude de » conduit à

« définir la dérivée temporelle [32] de l'échelon unité » par « le pic de Dirac d'impulsion unité » soit
«» [32].

     Propriétés : Si on utilise «» et la généralisation de l'intégration au sens des distributions, on retrouve alors le fait que l'« aire sous le pic » est bien égale à en effet

«» [33].

     Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac [11] centré à l'instant d'impulsion unité » selon «»,
           Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant d'impulsion unité » discontinu de 2ème espèce en et
           Remarque : On peut bien sûr définir un « pic de Dirac centré à l'instant d'impulsion unité » s'identifiant à la dérivée temporelle de l'échelon unité centré à l'instant [24] soit «».

     Réécriture d'un pic de Dirac [11] de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac [11] d'impulsion unité : soit un pic de Dirac [11] de tension d'impulsion , nous pouvons le réécrire
                Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : sous la forme «» [34],

                Réécriture d'un pic de Dirac de tension d'impulsion fixée à l'aide du pic de Dirac d'impulsion unité : en effet l'échelon de tension d'amplitude ayant été réécrit selon «» [35] et le pic de Dirac [11] de tension d'impulsion pouvant être considéré comme la dérivée temporelle au sens des distributions de [36], nous en déduisons «» [37] soit le résultat énoncé compte-tenu de «».

Exemples de pic de Dirac dans d'autres domaines que l'électricité[modifier | modifier le wikicode]

     Soit une grandeur permanente que l'on impose à partir de l'instant , cela revenant à « créer un échelon de la grandeur d'amplitude » défini selon « », on obtient, « en formant la dérivée temporelle de l'échelon précédent » [32], le « pic de Dirac [11] de la grandeur d'impulsion » [38] soit

«» avec la propriété d'
« aire sous le pic valant » soit «» [39].

     Exemple de mécanique : un véhicule sans frein heurte un autre véhicule à l'arrêt l'instant de collision est choisi comme instant initial, le choc étant très intense et durant très peu de temps, la force de collision horizontale que le véhicule exerce sur le véhicule , peut être matérialisée par
     Exemple de mécanique : un « pic de Dirac [11] de force, d'impulsion vectorielle », défini selon « » ou,
     Exemple de mécanique : en projetant sur , un « pic de Dirac [11] de composante horizontale de force, d'impulsion », défini selon «», avec la propriété d'« aire sous le pic valant » soit « » [39], [40].

     Bien sûr on pourrait trouver des exemples de pic de Dirac [11] dans pratiquement tous les domaines de la physique ainsi que d'autres exemples dans le domaine électrique

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation[modifier | modifier le wikicode]

Nature de la discontinuité d'une excitation, somme d'excitations discontinues de numéros d'espèce différents pour le même instant initial[modifier | modifier le wikicode]

     Soit une « excitation [41] » dans laquelle « et sont des constantes de même dimension que », les « cœfficients multiplicateurs et étant respectivement une constante sans dimension et une autre exprimée en [42] », nous admettrons que

« est discontinue en du numéro d'espèce égal au plus grand numéro d'espèce de discontinuité de ses composants »
soit ici « discontinue de 2ème espèce si » et
soit ici « discontinue de 1ère espèce si ».     

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation[modifier | modifier le wikicode]

     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 1er ordre en suivante «» pour laquelle l'excitation [41] «» est

  • discontinue de 2ème espèce « si » et
  • discontinue de 1ère espèce « si » étant nécessairement sinon l'équation différentielle serait homogène ;

     nous admettrons que la discontinuité de l'excitation [41] se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et
     nous admettrons que ce dernier de un lorsque l’ordre de la dérivée de un pour simplifier nous dirons qu'une fonction discontinue de 0ème espèce est continue soit :

  • « si », l'excitation [41] étant discontinue de 2ème espèce, la dérivée 1ère « est discontinue de 2ème espèce » et
    « si  »,la solution générale de l'équation différentielle « est discontinue de 1ère espèce »,
  • « si », l'excitation [41] étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée 1ère « est discontinue de 1ère espèce » et
    « si  »,la solution générale de l'équation différentielle « est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue ».

Nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre connaissant la nature de la discontinuité de l'excitation[modifier | modifier le wikicode]

     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en suivante «» pour laquelle l'excitation [41] «» est

  • discontinue de 2ème espèce « si » et
  • discontinue de 1ère espèce « si » étant nécessairement sinon l'équation différentielle serait homogène ;

     nous admettrons que la discontinuité de l'excitation [41] se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et
     nous admettrons que ce dernier de un lorsque l’ordre de la dérivée de un à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint pour simplifier nous disons d'une part qu'une fonction discontinue de 0ème espèce est continue et d'autre part qu'il y a stagnation du numéro d'espèce si le numéro zéro est atteint, il n'y a alors plus diminution du numéro d'espace avec la diminution de l'ordre de la dérivée soit :

  • « si », l'excitation [41] étant discontinue de 2ème espèce, la dérivée 2nde « est discontinue de 2ème espèce », la dérivée 1ère « est discontinue de 1ère espèce » et
    « si  »,la solution générale de l'équation différentielle « est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue »,
  • « si », l'excitation [41] étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée 2nde « est discontinue de 1ère espèce », la dérivée 1ère « est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue » et
    « si  »,la solution générale de l'équation différentielle « est encore discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue ».

« Dérivée seconde » d'un échelon d'amplitude A (ou « dérivée 1ère » d'un pic de Dirac d'impulsion A) et conséquence sur la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène lors de la présence d'un tel terme dans l'excitation[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et tentative de modélisation[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons modélisé la « tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur et d'une source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de [43] »
     Nous avons modélisé en considérant cette dernière comme une fonction continûment dérivable à variation rapide sur une durée entourant l'instant [44] et
     Nous avons modélisé en faisant tendre vers pour définir les notions mathématiques d'« échelon » [45] et de « discontinuité de 1ère espèce » [46], puis

     nous avons formé la dérivée 1ère temporelle de cette fonction ce qui est parfaitement justifié mathématiquement si la fonction est de classe [47] et
     nous avons modélisé cette dérivée 1ère en faisant tendre vers , ceci nous conduisant aux notions mathématiques de « pic de Dirac [11] » [48] et de « discontinuité de 2ème espèce » [49], ces deux notions pouvant être définies « directement » [50] en mathématiques, ce qui justifie a posteriori la méthode utilisée ;

     nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente à « la dérivée 2nde temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur et d'une source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de [43] » dérivée 2nde temporelle parfaitement définie si la fonction est de classe [51]
     nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente en faisant tendre vers mais
     nous nous proposons d'appliquer la méthode de modélisation précédente les notions « limites » que nous obtenons ne sont pas définies directement mathématiquement tout au moins à ma connaissance, il faut donc considérer ces notions « limites » que nous pourrions appeler “ double pic de Dirac [11] inversé ” et “ discontinuité de 3ème espèce ” comme un moyen pratique de traiter le cas réel correspondant à une durée de fermeture de l'interrupteur excessivement petite mais non nulle utiliser ces notions « limites » non définies mathématiquement se justifie car les résultats obtenus sont les mêmes que ceux que nous obtiendrions en travaillant avec les fonctions réelles de classe [51] et en faisant tendre, après tout calcul, vers .

Évaluation de la dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K et « modélisation »[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de la tension aux bornes de l'association série « interrupteur et source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de » on a obtenu

  • « » dans laquelle est la durée de la variation continue, très rapide et supposée dérivable de la fonction de à [52] voir paragraphe « variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K » plus haut dans ce chapitre, puis,
  • sa dérivée 1ère temporelle «» que l'on suppose dérivable [53] voir paragraphe « dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K » plus haut dans ce chapitre, et enfin,
Dérivée temporelle seconde de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur et d'une source de tension parfaite de f.e.m. lors de la fermeture de
  • en dérivant une nouvelle fois, sa dérivée 2nde temporelle «» [54] voir le diagramme horaire ci-contre en rouge.

     En faisant « tendre vers », la fonction « a été modélisée en » avec « l'échelon unité ou fonction d'Heaviside [7], discontinu(e) de 1ère espèce en » voir paragraphe « modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E » plus haut dans ce chapitre, puis

     En faisant « tendre vers », la fonction dérivée 1ère temporelle « a été modélisée en » avec « le pic de Dirac [11] d'impulsion unité [42], discontinue de 2ème espèce en » le pic de Dirac [11] d'impulsion unité s'identifiant à la dérivée 1ère temporelle [55] de l'échelon unité , discontinue de 1ère espèce en avec la propriété d'« aire sous le pic égale à un » correspondant à l'intégrale [55], [14] «» de ce qui précède nous pouvons déduire que « la modélisation de en » « la modélisation de en » voir paragraphe « modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E » plus haut dans ce chapitre, et enfin

     En faisant « tendre vers », la fonction dérivée 2nde temporelle « se modélise en » avec «[56] que nous baptiserons “ double pic de Dirac [11] inversé ” [57] de discontinuité que nous qualifierons “ de 3ème espèce en [58] » le “ double pic de Dirac [11] inversé ” [57] s'identifiant à la dérivée 1ère temporelle [55] du « pic de Dirac [11] d'impulsion unité , discontinue de 2ème espèce en » et à la dérivée 2nde temporelle [55] de l'« échelon unité , discontinue de 1ère espèce en » avec la propriété d'« aire sous le “ double pic de Dirac [11] inversé ” [57] égale à zéro » correspondant à l'intégrale [55], [14] «» [59].

Retour sur la nature de la discontinuité de la solution générale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre sachant que l'excitation est “ discontinue de 3ème espèce ” en t = 0[modifier | modifier le wikicode]

     Soit l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène du 2ème ordre en «» où l'excitation [41] « » avec sans unité, en et en est

  • “ discontinue de 3ème espèce ” [58] « si »,
  • discontinue de 2ème espèce « si avec » et
  • discontinue de 1ère espèce « si et » étant nécessairement sinon l'équation différentielle serait homogène ;

     nous admettrons que la discontinuité de l'excitation [41] se retrouve sur la dérivée de plus haut ordre avec le même numéro d’espèce de discontinuité et
     nous admettrons que ce dernier de un lorsque l’ordre de la dérivée de un à condition que le numéro zéro ne soit pas atteint pour simplifier nous disons d'une part qu'une fonction discontinue de 0ème espèce est continue et d'autre part qu'il y a stagnation du numéro d'espèce si le numéro zéro est atteint, il n'y a alors plus diminution du numéro d'espace avec la diminution de l'ordre de la dérivée soit :

  • « si », l'excitation [41] étant “ discontinue de 3ème espèce ” [58], la dérivée 2nde « est “ discontinue de 3ème espèce ” [58] », la dérivée 1ère « est discontinue de 2ème espèce » et
    « si  »,la solution générale de l'équation différentielle est discontinue de 1ère espèce,
  • « si avec », l'excitation [41] étant discontinue de 2ème espèce, la dérivée 2nde « est discontinue de 2ème espèce », la dérivée 1ère « est discontinue de 1ère espèce » et
    « si avec »,la solution générale de l'équation différentielle « est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue »,
  • « si et », l'excitation [41] étant discontinue de 1ère espèce, la dérivée 2nde « est discontinue de 1ère espèce », la dérivée 1ère « est discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue » et
    « si et »,la solution générale de l'équation différentielle « est encore discontinue de 0ème espèce c.-à-d. continue ».

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. En pratique cette durée est toujours petite.
  2. Nous supposerons de plus que la fonction ainsi définie est de classe suffisamment élevée pour n'avoir aucun souci de dérivabilité et ceci à n'importe quel ordre toutefois, pour ce chapitre, la classe suffira.
  3. Les bornes et pouvant être simultanément ou non et .
  4. C.-à-d. que d'une part, les limites à gauche et à droite sont finies et d'autre part, elles doivent être différentes pour que la fonction ne soit pas continue en .
  5. Raison pour laquelle « la discontinuité de 1ère espèce » est encore appelée « discontinuité de saut fini ».
  6. Forme raccourcie pour dire « échelon d'amplitude unité ».
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 et 7,4 Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphe, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom encore appelée échelon ou marche utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
  8. Même démarche que pour passer à dans le paragraphe « modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E » plus haut dans le chapitre.
  9. L'intérêt de cette réécriture est que « la grandeur tension et donc son unité » se retrouve dans le cœfficient multiplicateur , la fonction d'Heaviside étant sans unité.
  10. 10,0 et 10,1 Mais en pratique on n'utilise pas la fonction d'Heaviside car cela engendrerait une complication au lieu d'une simplification ; on préfère considérer les deux cas et .
  11. 11,00 11,01 11,02 11,03 11,04 11,05 11,06 11,07 11,08 11,09 11,10 11,11 11,12 11,13 11,14 11,15 11,16 11,17 11,18 11,19 11,20 11,21 11,22 11,23 11,24 11,25 et 11,26 Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
       Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique connu sous le nom de mécanique ondulatoire ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en et connue sous le nom chat de Schrödinger.
       Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  12. On suppose la fonction de classe pour définir, par la suite, la dérivation jusqu'à l'ordre deux mais dans ce paragraphe il suffirait qu'elle soit de classe .
  13. Par abus on appellera cette aire l'« aire sous le pic de  ».
  14. 14,0 14,1 et 14,2 Voir la notion d'« intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  15. En effet si « on remplace le pic de et son voisinage non nul » par « un rectangle d'aire égale à l’aire sous le pic », le rectangle étant de « largeur » doit être de « hauteur » et quand « on fait tendre vers » c.-à-d. quand la largeur du rectangle tend vers , la « hauteur doit tendre vers » pour que l'aire soit conservée ;
       or « le remplacement du pic de et de son voisinage non nul » par « un rectangle d'aire égale à l'aire sous le pic » correspond nécessairement à une « hauteur de pic de à la hauteur du rectangle » car « la présence de parties du voisinage moins proche du pic » à « la hauteur du rectangle » nécessite « la présence de parties du voisinage proche du pic ainsi que du pic lui-même » à « la hauteur du rectangle » « un pic tendant vers quand ».
  16. 16,0 et 16,1 Encore appelée « fonction généralisée » par les anglicistes mais cette théorie ayant été finalisée par Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français du XXème siècle qui reçut, pour cela, la médaille Fields en , on utilise, en France, préférentiellement le terme « distribution » ;
       la théorie des distributions étant au moins de niveau nous ne l'aborderons pas ici.
  17. Liste non exhaustive.
  18. 18,0 18,1 18,2 et 18,3 En fait la distribution de Dirac pour les mathématiciens est notée et correspond au « pic de Dirac d'impulsion » des physiciens, le « pic de Dirac d'impulsion » de ces derniers est donc « fois la distribution de Dirac des mathématiciens » soit «».
  19. 19,0 19,1 19,2 et 19,3 Pour l'instant, n'est qu'une notation pour le pic de Dirac de tension d'impulsion , mais ultérieurement cette notation prendra la signification de dérivée temporelle de l'échelon de tension d'amplitude c.-à-d. considérée comme distribution on rappelle qu'une fonction échelon n'est pas dérivable en d'où la nécessité de la considérer comme distribution.
  20. Attention étant une distribution, «» nécessite de définir l'intégrale généralisée d'une distribution
       Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté, les dérivations ou intégrations étant en fait réalisées sur les fonctions réelles de classe comme l'est , ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre vers et les résultats obtenus sont effectivement ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions
  21. étant nulle sur les intervalles et .
  22. Encore appelée « discontinuité essentielle » voir l'article de wikipédia sur les « discontinuités de 1ère ou 2ème espèces ».
  23. Respectivement défini par « valant » et par « valant ».
  24. 24,0 24,1 et 24,2 La signification nécessitant qu'une « fonction » puisse avoir une valeur infinie dans son domaine de valeurs ce qui n'est pas car quand une fonction admet une limite infinie lorsque la variable tend vers une certaine valeur, cette dernière est placée hors du domaine de définition de la fonction et par conséquent la valeur infinie est hors de son domaine de valeurs et, en admettant ceci,
                               Le signification nécessitant d'observer un saut infini à gauche et à droite on comprend mieux ainsi l'autre nom de « fonction généralisée » donnée à une « distribution » résultant, entre autres, d'autoriser des valeurs infinies pour les fonctions généralisées.
  25. Pour l'instant, n'est qu'une notation pour le pic de Dirac décentré de tension d'impulsion , mais ultérieurement cette notation prendra la signification de dérivée temporelle de l'échelon décentré de tension d'amplitude c.-à-d. considérée comme distribution on rappelle qu'une fonction échelon décentrée n'est pas dérivable en d'où la nécessité de la considérer comme distribution.
  26. Attention étant une distribution, «» nécessite de définir l'intégrale généralisée d'une distribution
       Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté, les dérivations ou intégrations étant en fait réalisées sur les fonctions réelles de classe comme l'est , ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre vers et les résultats obtenus sont effectivement ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions
  27. étant nulle sur les intervalles et .
  28. Ou simplement « pic de Dirac » ou encore « distribution de Dirac » ou enfin, par abus, « fonction sous-entendu généralisée de Dirac ».
  29. S'il s'agissait d'une fonction on constaterait donc un saut infini à gauche de ainsi qu'à droite de , respectivement défini par « valant » et par « valant ».
  30. Attention étant une distribution, «» nécessite de définir l'intégrale généralisée d'une distribution
       Toutefois le fait de ne pouvoir introduire la notion de distributions ainsi que celle de leurs dérivations ou intégrations au niveau de ce cours ne doit pas être considéré comme une difficulté, les dérivations ou intégrations étant en fait réalisées sur les fonctions réelles de classe comme l'est , ce n'est que sur leurs résultats que nous faisons tendre vers et les résultats obtenus sont effectivement ceux que nous aurions trouvés en travaillant directement sur les distributions
  31. étant nulle sur les intervalles et .
  32. 32,0 32,1 et 32,2 Dérivée temporelle au sens des distributions, qui s'identifie à la dérivée temporelle au sens des fonctions pour les valeurs de variable où la fonction est dérivable mais ajoute une définition pour celles où la fonction n'est pas dérivable, voir non définie.
  33. Rappelons qu'il s'agit d'un abus d'écriture non correct au sens des fonctions mais dont les résultats obtenus sont les mêmes que ceux nous obtiendrions au sens des distributions
  34. L'intérêt de cette réécriture est que « la grandeur tension et donc son unité » se retrouve dans le cœfficient multiplicateur , le pic de Dirac d'impulsion unité étant en .
  35. Voir le paragraphe « échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » plus haut dans le chapitre.
  36. Selon la même démarche que celle exposée dans ce paragraphe pour lier le pic de Dirac d'impulsion unité et l'échelon unité.
  37. étant une constante.
  38. Le pic de Dirac de grandeur est bien homogène à un taux horaire de grandeur car le pic de Dirac d'impulsion unité s'exprime en .
  39. 39,0 et 39,1 Intégrale temporelle au sens des distributions, qui s'identifie à l'intégrale temporelle au sens des fonctions pour les valeurs de variable où la fonction est intégrable mais ajoute une définition pour celles où la fonction est infinie en y étant discontinue de 2ème espèce, voire non définie.
  40. Nous verrons dans le paragraphe « impulsion de force exercée par un système sur un point matériel pendant une durée finie » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », que « définit l'impulsion de la force sur l'intervalle ».
  41. 41,00 41,01 41,02 41,03 41,04 41,05 41,06 41,07 41,08 41,09 41,10 41,11 41,12 et 41,13 L'excitation d'une équation différentielle linéaire hétérogène est le 2nd membre de l'équation écrite en y mettant exclusivement les termes indépendant de la fonction cherchée, tous les termes dépendant de cette dernière étant dans le 1er membre, voir le paragraphe « équation différentielle linéaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       l'excitation dépendant de la forme sous laquelle l'équation différentielle linéaire est écrite donc du choix du cœfficient du terme de la dérivée du plus grand ordre, nous choisissons préférentiellement d'appeler « excitation » le 2nd membre de l'équation différentielle normalisée c.-à-d. quand le cœfficient du terme de la dérivée du plus grand ordre est choisi égal à .
  42. 42,0 et 42,1 On rappelle que le pic de Dirac d'impulsion unité s'exprime en .
  43. 43,0 et 43,1 Choisi comme instant .
  44. Voir paragraphe « variation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lord de la fermeture de K » plus haut dans ce chapitre.
  45. Voir paragraphe « modélisation de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en échelon de tension d'amplitude E » plus haut dans ce chapitre.
  46. Voir paragraphe « discontinuité de 1ère espèce de l'échelon de tension d'amplitude E » plus haut dans ce chapitre.
  47. C.-à-d. fonction continûment dérivable jusqu'à l'ordre un.
  48. Voir paragraphe « modélisation de la dérivée temporelle de la tension aux bornes de l'association série d'un interrupteur K et d'une source de tension parfaite de f.e.m. E lors de la fermeture de K en pic de Dirac de tension d'impulsion E » plus haut dans ce chapitre.
  49. Voir paragraphe « discontinuité de 2ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » plus haut dans ce chapitre.
  50. C.-à-d., pour la notion de pic de Dirac, sans passage à la limite de la dérivée temporelle 1ère d'une fonction à variation rapide mais en tant que distribution et,
       C.-à-d., pour la discontinuité de 2ème espèce en tant que discontinuité avec un saut non défini ou infini.
  51. 51,0 et 51,1 C.-à-d. fonction continûment dérivable jusqu'à l'ordre deux.
  52. On suppose la fonction de classe pour définir, par la suite, la dérivation jusqu'à l'ordre deux mais pour la dérivée 1ère il suffit qu'elle soit de classe .
  53. D'où la nécessité que la fonction soit de classe .
  54. Nous avons supposé les intervalles de et de même durée pour simplifier l'exposé mais ceci n'est pas indispensable.
  55. 55,0 55,1 55,2 55,3 et 55,4 Au sens des distributions.
  56. S'exprimant en , l'unité du pic de Dirac étant la .
  57. 57,0 57,1 et 57,2 Appellation personnelle, ne correspondant à aucune nomenclature mathématique, les mathématiciens l'appellent simplement « dérivée du pic de Dirac ».
  58. 58,0 58,1 58,2 et 58,3 Appellation personnelle dont le seul but est de réaliser une échelle des discontinuités, ce type de discontinuité en correspondant à une valeur finie pour et des valeurs infinies opposées quand la variable s'approche de par la gauche ou par la droite n'étant pas définie en mathématiques
  59. En effet correspondant à l'aire positive sous le 1er pic compensée par l'aire négative sous le 2ème pic inversé ;
       plus généralement voir l'article « dérivée du pic de Dirac » de wikipédia pour plus de détails.