Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrales généralisées (ou impropres)

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrales généralisées (ou impropres)
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Notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle[modifier | modifier le wikicode]

Rappel : intégrale d'une fonction continue par morceaux sur intervalle fermé (ou “intégrale propre”)[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir le paragraphe « intégrale définie sur un intervalle fermé »[1] du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie[modifier | modifier le wikicode]

......Une 1ère intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux est définie sur l'intervalle ouvert avec , comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de quand soit

si cette dernière existe et est finie [2] ;

......on peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux sur l'intervalle ouvert avec , comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de quand soit

si cette dernière existe et est finie [3] ;

......enfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux sur l'intervalle ouvert , comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de quand et soit

si cette dernière existe et est finie [4].

......Remarque : Il ne suffit pas que quand (resp. pour que resp. converge [5], voir deux exemples ci-dessous où quand et où la 1ère intégrale diverge alors que la 2e converge :

  • premier exemple : qui quand mais pour laquelle avec diverge quand car et  ;
  • second exemple : qui quand et pour laquelle avec converge quand car et d'où .

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge[modifier | modifier le wikicode]

......Une 2e intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux est définie sur l'intervalle fermé avec et non définie en [6], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre définie sur l'intervalle ouvert à droite , limite quand soit

si cette dernière existe et est finie [7] ;

......on peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux sur l'intervalle fermé avec et non définie en [8], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre définie sur l'intervalle ouvert à gauche , limite quand soit

si cette dernière existe et est finie[7] ;

......enfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux sur l'intervalle fermé avec , non définie en et en [9], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de quand et soit

si cette dernière existe et est finie[7].

......Remarque : Le plus souvent quand ou et admet une primitive , dans ces conditions l'intégrale convergera si admet une limite finie ; il convient donc d'effectuer le calcul de l'intégrale « propre » pour conclure : suivent deux exemples à conclusions différentes :

  • premier exemple : qui quand mais pour laquelle avec diverge car l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert avec s'évalue selon et  ;
  • second exemple : qui quand mais pour laquelle avec converge car l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert avec s'évalue selon d'une part et d'autre part d'où .

Intégrales curvilignes généralisées[modifier | modifier le wikicode]

......Comme une intégrale curviligne « propre » se ramène, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrale « propre » sur un segment, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe précédent.

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension infinie[modifier | modifier le wikicode]

......L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une courbe d'extension infinie , notée , converge si l'intégrale curviligne « propre » sur la courbe dont l'extension est finie, admet une limite finie quand en suivant la courbe et cette limite définit soit

si cette dernière existe et est finie [10] ;

......on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction continue par morceaux sur la courbe d'extension infinie , notée , comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de quand en suivant la courbe soit

si cette dernière existe et est finie [11] ;

......enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction continue par morceaux sur la courbe d'extension infinie , notée , comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de quand et en suivant la courbe soit

si cette dernière existe et est finie [12].

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension finie d'une fonction divergeant en une des ses extrémités[modifier | modifier le wikicode]

......L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une courbe d'extension finie avec non définie en extrémité droite de l'arc [13], intégrale curviligne généralisée notée , est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre définie sur l'arc ouvert à droite , étant sur avant , limite quand en restant sur soit

si cette dernière existe et est finie [14] ;

......on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction continue par morceaux sur la courbe d'extension finie avec non définie en extrémité gauche de l'arc [15], intégrale curviligne généralisée notée , est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre définie sur l'arc ouvert à gauche , étant sur après , limite quand en restant sur soit

si cette dernière existe et est finie[14] ;

......enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction continue par morceaux sur la courbe d'extension finie avec non définie en et [16], intégrale curviligne généralisée notée , est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre définie sur l'arc ouvert aux deux extrémités , étant sur après et sur avant , limite quand et en restant sur soit

si cette dernière existe et est finie[14] ;

Intégrales surfaciques généralisées[modifier | modifier le wikicode]

......Comme une intégrale surfacique « propre » se ramène, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aussi aisé de prolonger les définitions données dans le premier paragraphe.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension infinie[modifier | modifier le wikicode]

......L'intégrale surfacique généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une surface d'extension infinie c.-à-d. telle que le contour limitant soit de longueur infinie, notée ou , converge si l'intégrale surfacique « propre » sur la surface dont l'extension est finie car le contour limitant est de longueur finie, ou admet une limite finie quand de façon à ce que [17] définissant ou soit

si cette dernière existe et est finie [18]
s'écrivant encore .

......Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale [19] sur le plan auquel on a retiré un petit disque de centre [20], la 1ère étant divergente et la 2e convergente :

  • premier exemple : qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de , l'intégration se faisant sur c.-à-d. le plan auquel on a retiré le disque de centre et de rayon  ; on réalise l'intégration surfacique propre sur c.-à-d. le disque de centre de rayon auquel on a retiré le disque de centre et de rayon , soit [21] soit quand  ; en conclusion diverge ;
  • second exemple : qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de , l'intégration se faisant sur c.-à-d. le plan auquel on a retiré le disque de centre et de rayon  ; on réalise l'intégration surfacique propre sur c.-à-d. le disque de centre de rayon auquel on a retiré le disque de centre et de rayon , soit [21] soit quand  ; en conclusion donc effectivement convergente.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension finie d'une fonction divergeant sur le contour limitant la surface ou en un point de celle-ci[modifier | modifier le wikicode]

......L'intégrale surfacique généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une surface d'extension finie [22] avec non définie en tout point du contour [23], intégrale surfacique généralisée notée , est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre calculée sur la surface définie comme la surface à laquelle on a retiré un voisinage du contour [24], limite quand ou quand le voisinage du contour tend vers soit

si cette dernière existe et est finie [25] ;

......on peut définir une autre intégrale surfacique généralisée de la fonction continue par morceaux sur une surface d'extension finie[22] avec non définie en un point [26], intégrale surfacique généralisée notée et définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre calculée sur la surface s'identifiant à à laquelle on a retiré un voisinage du point [27], limite quand ou quand le voisinage du point tend vers soit

si cette dernière existe et est finie[25].

......Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale[19] sur le disque du plan , de centre et de rayon , la 1ère étant divergente et la 2e convergente :

  • premier exemple : qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de , l'intégration se faisant sur c.-à-d. le disque du plan , de centre et de rayon  ; on réalise l'intégration surfacique propre sur c.-à-d. le disque de centre de rayon auquel on a retiré le disque de centre et de rayon , soit [21] ou quand  ; en conclusion diverge ;
  • second exemple : qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de , l'intégration se faisant sur c.-à-d. le disque du plan , de centre et de rayon  ; on réalise l'intégration surfacique propre sur c.-à-d. le disque de centre de rayon auquel on a retiré le disque de centre et de rayon , soit [21] ou quand  ; en conclusion donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées[modifier | modifier le wikicode]

......Comme une intégrale volumique « propre » se ramène, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aussi aisé de prolonger les définitions données dans le premier paragraphe.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie[modifier | modifier le wikicode]

......L'intégrale volumique généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie c.-à-d. telle que la surface limitant soit d'aire infinie, notée ou , converge si l'intégrale volumique « propre » sur l'expansion tridimensionnelle dont l'extension est finie car la surface limitant est d'aire finie, ou admet une limite finie quand telle que [28] et cette limite définit ou soit

si cette dernière existe et est finie [29]
s'écrivant encore .

......Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique [30] sur l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre [31], la 1ère étant divergente et la 2e convergente :

  • premier exemple : qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de et de , l'intégration se faisant sur c.-à-d. l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre et de rayon  ; on réalise l'intégration volumique propre sur c.-à-d. la boule de centre de rayon auquel on a retiré la petite boule de centre et de rayon , soit [32] ou quand  ; en conclusion diverge ;
  • second exemple : qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de et de , l'intégration se faisant sur c.-à-d. l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre et de rayon  ; on réalise l'intégration volumique propre sur c.-à-d. la boule de centre de rayon auquel on a retiré la petite boule de centre et de rayon , soit [32] ou quand  ; en conclusion donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie d'une fonction divergeant sur la surface limitant l'expansion tridimensionnelle ou en un point de cette dernière[modifier | modifier le wikicode]

......L'intégrale volumique généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle dont l'extension est finie [33] avec non définie en tout point de la surface [34] limitant cette dernière, intégrale volumique généralisée notée , est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre calculée sur l'expansion tridimensionnelle définie comme l'expansion tridimensionnelle à laquelle on a retiré un voisinage de la surface [35], limite quand ou quand le voisinage de la sphère limitant tend vers soit

si cette dernière existe et est finie [36] ;

......on peut définir une autre intégrale volumique généralisée de la fonction continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie[33] avec non définie en un point [37], intégrale volumique généralisée notée et définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre calculée sur l'expansion tridimensionnelle s'identifiant à à laquelle on a retiré un voisinage du point [38], limite quand ou quand le voisinage du point tend vers soit

si cette dernière existe et est finie[36].

......Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique[30] sur la boule de centre et de rayon , la 1ère étant divergente et la 2e convergente :

  • premier exemple : qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de et de , l'intégration se faisant sur c.-à-d. la boule de centre et de rayon  ; on réalise l'intégration volumique propre sur c.-à-d. la boule de centre de rayon auquel on a retiré la boule de centre et de rayon , soit [32] ou quand  ; en conclusion diverge ;
  • second exemple : qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de et de , l'intégration se faisant sur c.-à-d. la boule de centre et de rayon  ; on réalise l'intégration volumique propre sur c.-à-d. la boule de centre de rayon auquel on a retiré la boule de centre et de rayon , soit [32] ou quand  ; en conclusion diverge donc effectivement convergente.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Que l’on peut qualifier d’“intégrale propre” par opposition aux intégrales impropres ou généralisées définies par la suite.
  2. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  3. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  4. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  5. Par contre il y a nécessité que quand (resp. sinon resp. diverge.
  6. Raison pour laquelle l'intégrale sur l'intervalle fermé est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple .
  7. 7,0 7,1 et 7,2 Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  8. Raison pour laquelle l'intégrale sur l'intervalle fermé est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple .
  9. Raison pour laquelle l'intégrale sur l'intervalle fermé est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple et .
  10. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  11. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  12. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  13. Raison pour laquelle l'intégrale curviligne sur l'arc fermé est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple .
  14. 14,0 14,1 et 14,2 Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  15. Raison pour laquelle l'intégrale curviligne sur l'arc fermé est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple .
  16. Raison pour laquelle l'intégrale curviligne sur l'arc fermé est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple et .
  17. Il faudrait préciser comment faire tendre vers , ce qui n'a rien d'évident, nous n'entrons pas dans cette difficulté et supposons « intuitive » cette façon de faire : voir exemple ci-dessous ;
    ...prenant le plan comme surface d'extension infinie, est alors limitée par le cercle de centre et de rayon effectivement de longueur infinie ; nous pouvons approcher l'intégrale surfacique généralisée sur le plan noté en évaluant l'intégrale « propre » sur le disque limité par le cercle de centre et de rayon et en faisant tendre vers , ce qui s'obtient alors en faisant tendre le rayon vers l' ;
    ...il est en fait toujours possible de paramétrer ici le paramètre est le rayon et correspond alors à une limite (finie ou infinie) du paramètre ici la limite est infinie.
  18. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale ou diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  19. 19,0 et 19,1 C.-à-d. une fonction invariante par rotation autour d'un point en restant dans un même plan passant par  ; si le plan est et qu'on adopte le repérage polaire, la fonction est indépendante de , ne dépendant que de .
  20. La raison en étant que la fonction à intégrer diverge en .
  21. 21,0 21,1 21,2 et 21,3 On utilise la forme semi-intégrée de l'élément de surface en polaire à savoir résultant de l'intégration sur de à de voir le paragraphe « notion d'élément de surface semi-intégré » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » le principe y est donné mais l'exemple présent n'y est pas traité.
  22. 22,0 et 22,1 C.-à-d. tel que le contour limitant soit de longueur finie.
  23. Raison pour laquelle l'intégrale surfacique sur la surface est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple .
  24. Un voisinage d'un contour fermé , noté , nécessiterait une définition mathématique plus précise mais nous nous contenterons d'une explicitation sur un exemple ;
    ...considérons comme surface le disque de centre et de rayon limité par le cercle , est un voisinage de si et seulement s'il existe un réel strictement positif tel que l'anneau inclus dans de centre de , compris entre le cercle et le cercle de centre et de rayon est inclus dans soit encore  ;
    ...dans ce cas la surface est tout disque de centre et de rayon est un réel quelconque inclus dans .
  25. 25,0 et 25,1 Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  26. Raison pour laquelle l'intégrale surfacique sur la surface est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple .
  27. Un voisinage d'un point , noté , nécessiterait une définition mathématique plus précise mais nous nous contenterons d'une explicitation sur un exemple ;
    ...considérons comme surface le disque de centre , limité par le cercle et de rayon , est un voisinage de si et seulement s'il existe un réel strictement positif tel que le disque inclus dans de centre de et de rayon est inclus dans soit encore  ;
    ...dans ce cas la surface est tout anneau de centre , de rayon intérieur et de rayon extérieur est un réel quelconque inclus dans .
  28. Il faudrait préciser comment faire tendre vers , ce qui n'a rien d'évident, nous n'entrons pas dans cette difficulté et supposons « intuitive » cette façon de faire : voir exemple ci-dessous ;
    ...prenant l'espace entier comme expansion tridimensionnelle d'extension infinie, est alors limitée par la sphère de centre et de rayon effectivement d'aire infinie ; nous pouvons approcher l'intégrale volumique généralisée sur l'espace entier noté en évaluant l'intégrale « propre » sur la boule limité par la sphère de centre et de rayon et en faisant tendre vers , ce qui s'obtient alors en faisant tendre le rayon vers l' ;
    ...il est en fait toujours possible de paramétrer ici le paramètre est le rayon et correspond alors à une limite (finie ou infinie) du paramètre ici la limite est infinie.
  29. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale ou diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  30. 30,0 et 30,1 C.-à-d. une fonction invariante par rotation autour d'un point  ; si on adopte le repérage sphérique, la fonction est indépendante de et de , ne dépendant que de .
  31. La raison en étant que la fonction à intégrer diverge en .
  32. 32,0 32,1 32,2 et 32,3 On utilise la forme semi-intégrée de l'élément de volume en sphérique lors d'une symétrie sphérique de la fonction à intégrer à savoir résultant de l'intégration sur de à et sur de à de voir le paragraphe « notion d'élément de volume semi-intégré » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » c'est le 1er exemple de ce paragraphe.
  33. 33,0 et 33,1 C.-à-d. telle que la surface limitant soit d'aire finie.
  34. Raison pour laquelle l'intégrale volumique sur l'expansion trimensionnelle est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple .
  35. Un voisinage d'une surface fermée , noté , nécessiterait une définition mathématique plus précise mais nous nous contenterons d'une explicitation sur un exemple ;
    ...considérons comme expansion tridimensionnelle la boule de centre et de rayon limitée par la sphère , est un voisinage de si et seulement s'il existe un réel strictement positif tel que la couche sphérique inclus dans de centre de , compris entre la sphère et la sphère de centre et de rayon est inclus dans soit encore  ;
    ...dans ce cas l'expansion tridimensionnelle est toute boule de centre et de rayon est un réel quelconque inclus dans .
  36. 36,0 et 36,1 Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale diverge (sinon on dit qu'elle converge).
  37. Raison pour laquelle l'intégrale volumique sur l'expansion tridimensionnelle est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple .
  38. Un voisinage d'un point , noté , nécessiterait une définition mathématique plus précise mais nous nous contenterons d'une explicitation sur un exemple ;
    ...considérons comme expansion tridimensionnelle la boule de centre , limité par la sphère et de rayon , est un voisinage de si et seulement s'il existe un réel strictement positif tel que la boule inclus dans de centre de et de rayon est inclus dans soit encore  ;
    ...dans ce cas l'expansion tridimensionnelle est toute couche sphérique de centre , de rayon intérieur et de rayon extérieur est un réel quelconque inclus dans .