Signaux physiques (PCSI)/Oscillateur harmonique

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     Un « oscillateur mécanique à un degré de liberté » est un solide assimilable à un point $\;M\;$ oscillant sur une courbe fixe autour d'une position d'équilibre, la trajectoire étant rectiligne ou curviligne $\;{\big (}$par exemple circulaire${\big )}\;$ ; dans le cas rectiligne, la position de $\;\;M$ est repérée à la date $\;t\;$ par son abscisse $\;x(t)$, c'est ce cas que nous envisagerons dans ce chapitre ;

     l'oscillateur est « harmonique » si le mouvement de $\;M\;$ est décrit par une fonction « sinusoïdale » du temps $\;{\big (}$bien sûr, le mouvement n'est sinusoïdal que sur une durée pendant laquelle l'influence des frottements est négligeable, seul cas envisagé dans ce chapitre${\big )}$.

Description

Dispositif expérimental d'enregistrement $\;{\big (}$en perspective${\big )}\;$ d'un oscillateur harmonique $\;{\big (}$en vue de face${\big )}$

     On utilise :

• un ressort idéal, c.-à-d. de masse négligeable $\;{\big (}$par rapport aux autres masses${\big )}\;$ à spires non jointives , parfaitement élastique $\;{\big (}$pourvu qu'on reste dans son domaine d'élasticité ${\big )}$, de longueur à vide $\;l_{0}$, de raideur $\;k\;$,
• un objet de masse $\;m\;$ accroché à une extrémité du ressort, l'autre extrémité de ce dernier étant fixe, le tout pouvant glisser sans frottement sur un plan horizontal et
• éventuellement un guide rectiligne horizontal, par exemple un banc à coussin d'air $\;{\big (}$non représenté sur le schéma${\big )}\;$ $\parallel \;$ à l'axe du ressort imposant au solide un mouvement rigoureusement rectiligne ;

     de façon à repérer le mouvement de l'objet, on lui a fixé un stylet qui laissera sa position horizontale sur une feuille de papier enregistreur défilant verticalement à vitesse constante ; ainsi nous aurons un axe vertical $-$ orienté vers le haut $-$ $\;\propto \;$ à l'axe des temps et un axe horizontal $-$ orienté vers la droite $-$ représentant l'axe des positions horizontales de l'objet en vraie grandeur .

Équilibre de l'oscillateur

     Ayant écarté l'objet vers la droite et après l'avoir lâché sans vitesse initiale, on observe une oscillation horizontale ;

     le poids de l'objet étant compensé par la réaction du plan horizontal, le mouvement de l'objet ne peut être engendré que par l'action du ressort, action horizontale ; sous cette action, l'objet oscille d'où le nom d'« oscillateur » donné à l'objet relié à un ressort ;

     en pratique les oscillations sont d'amplitude de plus en plus faible à cause des frottements de l'air sur l'objet et elles finissent par disparaître, l'« objet acquérant sa position d'équilibre », la longueur du ressort y étant sa longueur à vide $\;l_{0}$.

Cause de déséquilibre, loi de Hooke

Ressort à vide et ressort étiré

     Le ressort $\;(R)$, de longueur à vide $\;l_{0}\;$ et de raideur $\;k\;$ ${\big (}$exprimée en $\;N\cdot m^{-1}{\big )}\;$ exerce sur $\;M\;$ $-$ point matériel fixé à une extrémité de $\;(R)\;$ $-$ une force notée $\;{\vec {F}}_{M\leftarrow (R)}\;$ ou plus simplement $\;{\vec {T}}\;$ appelée « tension du ressort » s'exerçant sur $\;M$ ;

     avec $\;{\vec {u}}_{AM}\;$ vecteur unitaire de l'axe de $\;(R)\;$ orienté de $\;A\;$ vers $\;M\;$ soit encore $\;{\vec {u}}_{AM}={\dfrac {\overrightarrow {AB}}{AB}}$,
     avec $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{AM}}\;$ vecteur unitaire de l'axe de $\;\color {transparent}{(R)}\;$ orienté de $\;\color {transparent}{A}\;$ vers $\;\color {transparent}{M}\;$ la tension du ressort $\;(R)\;$ s'exerçant sur $\;M\;$ c.-à-d. $\;{\vec {T}}\;$ s'exprime selon la « loi de Hooke »

$\;{\vec {T}}=-k\left(l-l_{0}\right){\vec {u}}_{AM}=-k\left(\Delta l\right){\vec {u}}_{AM}\;$

     avec $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{AM}}\;$ vecteur unitaire de l'axe de $\;\color {transparent}{(R)}\;$ orienté de $\;\color {transparent}{A}\;$ vers $\;\color {transparent}{M}\;$ où $\;l\;$ est la longueur de $\;(R)\;$ à l'instant $\;t\;$ ${\big (}$encore appelée longueur à charge${\big )}\;$ et
     avec $\;\color {transparent}{{\vec {u}}_{AM}}\;$ vecteur unitaire de l'axe de $\;\color {transparent}{(R)}\;$ orienté de $\;\color {transparent}{A}\;$ vers $\;\color {transparent}{M}\;$ où $\;\Delta l=l-l_{0}\;$ l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide ;

     cette loi définit la raideur $\;k\;$ du ressort comme le « cœfficient de proportionnalité permettant de passer de la valeur absolue de l'allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide à la norme de tension de ce dernier », dans la mesure où on reste dans le domaine d'élasticité du ressort soit :

$\;k={\dfrac {\left\Vert {\vec {T}}\right\Vert }{\left\vert \Delta l\right\vert }}$.

Remarque 1

     Une force étant invariante par changement de référentiel, la tension du ressort sur $\;M\;$ garde la même expression dans n'importe quel référentiel et en particulier dans un référentiel où $\;A\;$ serait mobile $\;{\big (}$l'axe du ressort n'y gardant pas nécessairement une direction fixe${\big )}$.

Remarque 2

     Si le ressort est étiré $\;{\big (}l>l_{0}{\big )}$, son allongement $\;\Delta l=l-l_{0}\;$ est $\;>0\;$ et $\;{\vec {T}}\;$ est dirigé de $\;M\;$ vers $\;A\;$ d'où la tension tend à déplacer $\;M\;$ de façon à ramener le ressort dans son état non étiré ;

     si le ressort est comprimé $\;{\big (}l<l_{0}{\big )}$, son allongement $\;\Delta l=l-l_{0}\;$ est $\;<0\;$ $-$ correspondant à une compression $\;l_{0}-l>0\;$ et $\;{\vec {T}}\;$ est dirigé de $\;A\;$ vers $\;M\;$ d'où la tension tend à déplacer $\;M\;$ de façon à ramener le ressort dans son état non comprimé.

     Ainsi $\;{\vec {T}}$, toujours dirigée vers la position qu'occuperait $\;M\;$ si $\;(R)\;$ était à vide, est

une « force de rappel ».

Remarque 3

     On peut donner une autre expression de $\;{\vec {T}}\;$ en notant $\;M_{0}$, la position qu'occuperait $\;M\;$ sur l'axe de $\;(R)\;$ à l'instant $\;t$, si $\;(R)\;$ était dans son état à vide soit, comme $\;{\vec {u}}_{AM}={\vec {u}}_{AM_{0}}$ :

$\;{\vec {T}}=-k\left(l\,{\vec {u}}_{AM}-l_{0}\,{\vec {u}}_{AM_{0}}\right)=-k\left(l\,{\dfrac {\overrightarrow {AM}}{AM}}-l_{0}\,{\dfrac {\overrightarrow {AM_{0}}}{AM_{0}}}\right)=-k\left({\overrightarrow {AM}}-{\overrightarrow {AM_{0}}}\right)\;$ soit
$\;{\vec {T}}=-k\,{\overrightarrow {M_{0}M}}\;$.

Rappel de dynamique, relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.)

     On décrit le mouvement d'un objet sur un axe en précisant la variation, en fonction du temps, de :

• son « abscisse », variation définissant sa loi horaire de position $\;x=x(t)$,
• sa « vitesse » $\;{\big (}$c.-à-d. la dérivée temporelle 1^ère de son abscisse${\big )}\;$ ou loi horaire de vitesse $\;v={\dot {x}}(t)\;$ et
• son « accélération » $\;{\big (}$c.-à-d. la dérivée temporelle 2^nde de l'abscisse ou dérivée temporelle 1^ère de la vitesse${\big )}\;$ ou encore loi horaire d'accélération $\;a={\ddot {x}}(t)={\dot {v}}(t)$ ;

     le mouvement d'un objet ayant pour cause les forces exercées par son environnement sur lui-même, « la relation fondamentale de la dynamique newtonienne $\;{\big (}$r.f.d.n.${\big )}\;$ énonce le lien existant entre la cause du mouvement et le mouvement dans un certain type de référentiel dit “ galiléen ”  »  :

Début d’un théorème

Relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.)

     Dans un référentiel galiléen , la somme des forces appliquées à l'objet est égal au produit de sa masse par son accélération soit

$\;\sum \limits _{k}{\vec {F}}_{k}=m\,{\vec {a}}\;$ ou

     quand le mouvement est unidirectionnel $\;{\big (}$suivant l'axe $\;x'x\;$ par exemple${\big )}$ $\;\sum \limits _{k}F_{k,\,x}=m\,{\ddot {x}}(t)$.

Fin du théorème

Mise en équation

     Sur l'objet $\;M\;$ repéré par son abscisse $\;x(t)\;$ à partir de sa position d'équilibre $\;M_{\text{éq}}=O\;$ sur l'axe horizontal orienté vers la droite par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{x}$, ne s'exerce qu'une force horizontale « la tension du ressort » appliquée à $\;M$, $\;{\vec {T}}(t)=-k\,x(t)\,{\vec {u}}_{x}$, $\;x(t)\;$ étant égale à l'allongement du ressort $\;l(t)-l_{0}$, les autres forces $\;{\big (}$poids et réaction du plan horizontal${\big )}\;$ étant verticales et se compensant ;

     appliquant la r.f.d.n. à $\;M\;$ et la projetant sur $\;{\vec {u}}_{x}$, on obtient : $\;-k\,x(t)=m\,{\ddot {x}}(t)\;$ ou

$\;m\,{\ddot {x}}(t)+k\,x(t)=0\;$ ;

     la « forme normalisée » de l'équation différentielle du mouvement de l'oscillateur s'écrit «$\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {k}{m}}\,x(t)=0\;$» ou,
           la « forme normalisée » en posant $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}$, appelée « pulsation propre de l'oscillateur » $\;{\big (}$exprimée en $\;rad\cdot s^{-1}{\big )}\;$, on obtient sa « forme canonique »
           la « forme normalisée » de l'équation différentielle du mouvement de l'oscillateur s'écrit «$\;{\ddot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}\,x(t)=0\;$».

Résolution de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique

     L'équation différentielle du mouvement de l'oscillateur sous forme canonique étant «$\;{\ddot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}\,x(t)=0\;$» est linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en $\;x(t)\;$ sans terme du 1^er ordre, le cœfficient $\;c\;$ étant égal à $\;\omega _{0}^{2}\;$ et donc $\;>0\;$ ${\big [}$selon la notation du paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif » chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big ]}\;$ est de solution sinusoïdale d'où le qualificatif « harmonique » donné à l'oscillateur ;

     la solution s'écrit donc «$\;x(t)=A\,\cos(\omega _{0}\,t)+B\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$» ou «$\;x(t)=C\,\cos(\omega _{0}\,t-\varphi )\;$», les constantes $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ ou $\;C\;{\text{et}}\;\varphi \;$ se déterminant à l'aide des C.I.  ;

     exemple de C.I. $\rightsquigarrow$ on écarte l'objet de sa position d'équilibre de $\;x_{0}\;$ vers la droite et on le lâche sans vitesse initiale c.-à-d. $\;x(0)=x_{0}>0\;$ et $\;v(0)={\dot {x}}(0)=0$ :

     détermination de la loi horaire de position à partir de $\;x(t)=A\,\cos(\omega _{0}\,t)+B\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$ :

• la forme $\Rightarrow x(0)=A\;$ et la condition initiale $\Rightarrow x(0)=x_{0}\;$ d'où $\;A=x_{0}$,
• pour écrire la condition de vitesse initiale il faut d'abord exprimer la vitesse pour tout $\;t\;$ soit $\;v(t)={\dot {x}}(t)=-A\,\omega _{0}\,\sin(\omega _{0}\,t)+B\,\omega _{0}\,\cos(\omega _{0}\,t)\;$ et par suite la forme $\Rightarrow v(0)=B\,\omega _{0}\;$ et la condition initiale $\Rightarrow v(0)=0\;$ d'où $\;B=0$,
• finalement la loi horaire de position s'écrit «$\;x(t)=x_{0}\,\cos(\omega _{0}\,t)\;$» et
              finalement celle de vitesse s'écrit «$\;v(t)=-x_{0}\,\omega _{0}\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$» ;

     remarque $\rightsquigarrow$ détermination de la loi horaire de position à partir de $\;x(t)=C\,\cos(\omega _{0}\,t+\varphi )\;$ :

     remarque $\succ \;$la forme $\Rightarrow x(0)=C\,\cos(\varphi )\;$ et la C.I. $\Rightarrow x(0)=x_{0}\;$ d'où $\;C\,\cos(\varphi )=x_{0}$,
     remarque $\succ \;$comme précédemment il faut d'abord exprimer la vitesse pour tout $\;t\;$ soit $\;v(t)={\dot {x}}(t)=-C\,\omega _{0}\,\sin(\omega _{0}\,t+\varphi )\;$ et par suite la forme $\Rightarrow$ $\;v(0)=$ $-C\,\omega _{0}\,\sin(\varphi )\;$ et la C.I. $\Rightarrow$ $\;v(0)=0\;$ d'où $\;\sin(\varphi )=0\;$ c.-à-d. $\;\varphi =0\;{\text{ou}}\;\pi \;$ à $2\,\pi$ près,
     remarque $\succ \;$on choisit alors $\;\varphi \;$ pour que $\;C\;$ soit $\;>0\;$ c.-à-d. $\;\varphi =0\;$ et par suite $\;C=x_{0}$,
     remarque $\succ \;$finalement la loi horaire de position s'écrit encore «$\;x(t)=x_{0}\,\cos(\omega _{0}\,t)\;$» et
                 remarque $\color {transparent}{\succ }\;$finalement celle de vitesse s'écrit encore «$\;v(t)=-x_{0}\,\omega _{0}\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$».

Caractéristiques du mouvement

     La loi horaire de position de l'oscillateur harmonique à C.I. quelconques s'écrit «$\;x(t)=A\,\cos(\omega _{0}\,t+\varphi )\;$» , «$\;A\;$ ${\big (}$quand il est positif${\big )}\;$ est l'amplitude des oscillations » $\;{\big (}$exprimée en $m{\big )}$, «$\;\omega _{0}\,t+\varphi \;$ la phase à l'instant$\;t\;$» ${\big (}$exprimée en $\;rad{\big )}\;$, «$\;\varphi \;$ la phase à l'origine des temps » $\;{\big (}$exprimée en $\;rad\;$ aussi${\big )}\;$ et «$\;\omega _{0}\;$ la pulsation propre » $\;{\big (}$exprimée en $\;rad\cdot s^{-1}{\big )}\;$ ;

     la fonction « cosinus » étant «$\;2\,\pi$-périodique », la loi horaire de position est $\;T_{0}$-périodique où «$\;T_{0}\;$ ${\big (}$exprimée en $\;s{\big )}\;$ est la période propre » de l'oscillateur harmonique liée à $\;\omega _{0}\;$ par

«$\;T_{0}={\dfrac {2\,\pi }{\omega _{0}}}\;$» $\;{\bigg \{}\!\!\Rightarrow$ $\;\omega _{0}={\dfrac {2\,\pi }{T_{0}}}\;$ d'où la réécriture de la loi horaire de position selon «$\;x(t)=A\,\cos \!\left({\dfrac {2\,\pi }{T_{0}}}\,t+\varphi \right)\;$»${\bigg \}}$ et

     la fonction « cosinus » étant «$\;\color {transparent}{2\,\pi }$-périodique », la loi horaire de position est $\;\color {transparent}{T_{0}}$-périodique où «$\;f_{0}\;$ est la fréquence propre » $\;{\big (}$exprimée en $\;Hz{\big )}\;$ est égale à

«$\;f_{0}={\dfrac {1}{T_{0}}}={\dfrac {\omega _{0}}{2\,\pi }}\;$» $\;{\big \{}\!\!\Rightarrow$ $\;\omega _{0}=2\,\pi \,f_{0}\;$ d'où la réécriture de la loi horaire de position «$\;x(t)=A\,\cos \!\left(2\,\pi \,f_{0}\,t+\varphi \right)\;$»${\big \}}$ ;

Superposition des diagrammes horaires de position et de vitesse d'un oscillateur harmonique

     nous représentons ci-contre le diagramme horaire de position de l'oscillateur harmonique dans les C.I. exposées précédemment correspondant à «$\;x(t)=x_{0}\,\cos(\omega _{0}\,t)\;$»  ; nous y trouvons aussi le diagramme horaire de vitesse de l'oscillateur harmonique dans les mêmes C.I. correspondant à «$\;v(t)={\dot {x}}(t)=$ $-x_{0}\,\omega _{0}\,\sin(\omega _{0}\,t)\;$» ou, «$\;v(t)=x_{0}\,\omega _{0}\,\cos \!\left(\omega _{0}\,t+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$» en utilisant $\;\cos \!\left(\alpha +{\dfrac {\pi }{2}}\right)=$ $-\sin(\alpha )$ ;

     compte-tenu des deux expressions horaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x(t)=x_{0}\,\cos(\omega _{0}\,t)\\v(t)=x_{0}\,\omega _{0}\,\cos \!\left(\omega _{0}\,t+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\end{array}}\right.\;$ nous dirons que $\;v(t)\;$ est en « quadrature avance » sur $\;x(t)$ » , cela se manifestant par le fait que le diagramme horaire de vitesse passe par un maximum un quart de période avant le diagramme horaire de position, ou qu'il passe par un minimum un quart de période avant le diagramme horaire de position, ou qu'il coupe l'axe des temps en croissant un quart de période avant le diagramme horaire de position $\ldots$

Énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement

     Dès lors qu'un objet a un mouvement dans un référentiel donné, il possède un certain type d'énergie dite « cinétique » et
      Dès lors qu'un objet a un mouvement dans un référentiel donné, il possède un certain cette énergie est d'autant plus grande que sa vitesse l'est mais aussi que sa masse l'est  ;
     Dès lors qu'un objet de masse $\;m\;$ et de vitesse $\;v\;$ dans le référentiel d'étude possède l'énergie cinétique $\;K={\dfrac {1}{2}}\,m\,v^{2}\;$ ;

     appliqué au mouvement de l'oscillateur harmonique dans les C.I. exposées précédemment $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x(t)=x_{0}\,\cos(\omega _{0}\,t)\\{\text{et}}\\v(t)=-x_{0}\,\omega _{0}\,\sin(\omega _{0}\,t)\end{array}}\right.\;$ $\Rightarrow$ $\;K={\dfrac {1}{2}}\,m\,x_{0}^{2}\,\omega _{0}^{2}\,\sin ^{2}(\omega _{0}\,t)={\dfrac {1}{2}}\,k\,x_{0}^{2}\,\sin ^{2}(\omega _{0}\,t)\;$ que l'on peut transformer en linéarisant « sinus carré » en utilisant la 3^ème forme de $\;\cos(2\,a)\;$ c.-à-d. «$\;\cos(2\,a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2\,\cos ^{2}(a)-1=1-2\,\sin ^{2}(a)\;$» $\Rightarrow$ $\;\sin ^{2}(a)={\dfrac {1-\cos(2\,a)}{2}}\;$

d'où «$\;K={\dfrac {1}{4}}\,k\,x_{0}^{2}\left[1-\cos(2\,\omega _{0}\,t)\right]\;$»
dont l'évolution est « sinusoïdale de période $\;{\dfrac {T_{0}}{2}}\;$ autour de sa valeur moyenne égale à $\;\left\langle K\right\rangle ={\dfrac {1}{4}}\,k\,x_{0}^{2}\;$»  ;

     nous représentons, dans le paragraphe « énergie potentielle élastique, conséquence de l'action d'un ressort » ci-après, le diagramme horaire d'énergie cinétique de l'oscillateur harmonique dans les C.I. exposées précédemment $\;{\big \{}$courbe en noir${\big \}}$.

Énergie potentielle élastique, conséquence de l'action d'un ressort

     Dès lors qu'un ressort est étiré ou comprimé, l'objet qui lui est relié possède un certain type d'énergie « potentielle » dite « élastique » et
      Dès lors qu'un ressort est étiré ou comprimé, l'objet qui lui est relié possède un certain cette énergie est d'autant plus grande que l'allongement ou la compression du ressort l'est mais aussi que la raideur de ce dernier l'est  ;
     Dès lors qu’un ressort de raideur $\;k\;$ » et d'allongement $\;{\big (}$algébrique${\big )}$ $\;\Delta l=l-l_{0}\;$ relativement à la longueur à vide communique à l'objet l'énergie potentielle élastique $\;U_{\text{élast}}={\dfrac {1}{2}}\,k\,(\Delta l)^{2}\;$ ;

Superposition des diagrammes horaires des énergies cinétique et potentielle élastique d'un oscillateur harmonique

     appliqué au mouvement de l'oscillateur harmonique dans les C.I. exposées précédemment où $\;x(t)=$ $x_{0}\,\cos(\omega _{0}\,t)\;$ est aussi l'allongement relativement à la longueur à vide, on en déduit une 1^ère expression de $\;U_{\text{élast}}={\dfrac {1}{2}}\,k\,x_{0}^{2}\,\cos ^{2}(\omega _{0}\,t)\;$ que l'on peut transformer en linéarisant « cosinus carré » selon la 2^ème forme de $\;\cos(2\,a)\;$ c.-à-d. «$\;\cos(2\,a)=\cos ^{2}(a)-\sin ^{2}(a)=2\,\cos ^{2}(a)-1$ $=1-2\,\sin ^{2}(a)\;$» $\Rightarrow$ $\;\cos ^{2}(a)$ $={\dfrac {1+\cos(2\,a)}{2}}\;$ d'où

«$\;U_{\text{élast}}={\dfrac {1}{4}}\,k\,x_{0}^{2}\left[1+\cos(2\,\omega _{0}\,t)\right]\;$»
dont l'évolution est « sinusoïdale de période $\;{\dfrac {T_{0}}{2}}\;$ autour
de sa moyenne égale à $\;\left\langle U_{\text{élast}}\right\rangle ={\dfrac {1}{4}}\,k\,x_{0}^{2}\;$»  ;

     nous représentons, ci-contre, le diagramme horaire d'énergie potentielle élastique de l'oscillateur harmonique dans les C.I. exposées précédemment $\;{\big \{}$courbe en rouge${\big \}}$.

Définition de l'énergie mécanique et sa conservation, conséquence de l'absence de forces autres que celle du ressort

     L'oscillateur harmonique dans n'importe quelles C.I. possède de l'énergie cinétique due à son mouvement dans le référentiel d'étude et
           L'oscillateur harmonique dans n'importe quelles C.I. possède de l'énergie potentielle élastique due à sa liaison avec un ressort,
        L'oscillateur harmonique dans n'importe quelles C.I. il possède donc au total l'énergie dite « mécanique » «$\;E_{m}=K+U_{\text{élast}}={\dfrac {1}{2}}\,m\,v^{2}+{\dfrac {1}{2}}\,k\,(\Delta l)^{2}\;$» ;

     utilisant les expressions de $\;K\;$ et de $\;U_{\text{élast}}\;$ en fonction de $\;t$, obtenues pour les C.I. exposées plus haut, nous obtenons «$\;E_{m}(t)=$ ${\dfrac {1}{4}}\,k\,x_{0}^{2}\left[1-\cos(2\,\omega _{0}\,t)\right]+{\dfrac {1}{4}}\,k\,x_{0}^{2}\left[1+\cos(2\,\omega _{0}\,t)\right]\;$» soit, après simplification évidente

«$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\,k\,x_{0}^{2}\;$» c.-à-d. que
l'énergie mécanique reste constante et égale à l'énergie mécanique initiale
«$\;E_{m}(0)=K(0)+U_{\text{élast}}(0)=0+{\dfrac {1}{2}}\,k\,x_{0}^{2}={\dfrac {1}{2}}\,k\,x_{0}^{2}\;$» ;

     nous vérifions, sur cet exemple, que l'énergie mécanique initialement créée est conservée en absence de frottements .

     Nous pourrons appliquer la conservation de l'énergie mécanique dès lors que les forces autres que la tension du ressort $\;{\big (}$c.-à-d. le poids et la réaction du plan horizontal${\big )}\;$ n'ont aucune action sur le mouvement $\;{\big (}$donc aucune action de freinage entre autres${\big )}\;$ et l'utilisation de la conservation de l'énergie mécanique peut remplacer l'application de la r.f.d.n.  ;

     nous obtenons alors «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\,m\left[{\dot {x}}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\,k\left[x(t)\right]^{2}=E_{m}(0)\;$» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;x(t)$, encore appelée « intégrale 1^ère du mouvement » dans la mesure où elle pourrait être obtenue par une 1^ère intégration de l'équation différentielle du 2^ème ordre .

     On peut se servir de la conservation de l'énergie mécanique pour trouver la vitesse de $\;M\;$ connaissant sa position $\;{\big (}$ou pour trouver sa position connaissant sa vitesse${\big )}\;$ et ceci sans aucune information sur l'instant d'observation.

Retrouver l'équation différentielle du mouvement à partir de la conservation de l'énergie mécanique

     On retrouve l'équation différentielle du mouvement en $\;x(t)\;$ à partir de l'intégrale 1^ère du mouvement associée à la conservation de l'énergie mécanique «$\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\,m\left[{\dot {x}}(t)\right]^{2}+{\dfrac {1}{2}}\,k\left[x(t)\right]^{2}=$ $E_{m}(0)\;$», pour cela on dérive cette dernière relativement au temps $\;t\;$, en utilisant $\;{\dfrac {d\!\left\lbrace \left[u(t)\right]^{2}\!\right\rbrace }{dt}}=$ ${\dfrac {d\!\left\lbrace \left[u\right]^{2}\!\right\rbrace }{du}}\times {\dfrac {d\!\left[u(t)\right]}{dt}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d\!\left\lbrace \left[x(t)\right]^{2}\!\right\rbrace }{dt}}={\dfrac {d\!\left\lbrace \left[x\right]^{2}\!\right\rbrace }{dx}}\times {\dfrac {d\!\left[x(t)\right]}{dt}}=2\,x\times {\dot {x}}\\{\dfrac {d\!\left\lbrace \left[{\dot {x}}(t)\right]^{2}\!\right\rbrace }{dt}}={\dfrac {d\!\left\lbrace \left[{\dot {x}}\right]^{2}\!\right\rbrace }{d\!{\dot {x}}}}\times {\dfrac {d\!\left[{\dot {x}}(t)\right]}{dt}}=2\,{\dot {x}}\times {\ddot {x}}\end{array}}\right.\;$» que l'on réécrit encore selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d\!\left\lbrace \left[x(t)\right]^{2}\!\right\rbrace }{dt}}=2\,x(t)\;{\dot {x}}(t)\\{\dfrac {d\!\left\lbrace \left[{\dot {x}}(t)\right]^{2}\!\right\rbrace }{dt}}=2\,{\dot {x}}(t)\;{\ddot {x}}(t)\end{array}}\right.\;$» ;
     au final on obtient : «$\;{\dfrac {d\!\left[E_{m}(t)\right]}{dt}}={\dfrac {1}{2}}\,m\,2\,{\dot {x}}(t)\;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {1}{2}}\,k\,2\,x(t)\;{\dot {x}}(t)=0\;$» ou, en mettant $\;{\dot {x}}(t)\;$ en facteur après simplification évidente, «$\;\left[m\,{\ddot {x}}(t)+k\,x(t)\right]{\dot {x}}(t)=0\;$» ;

     on en déduit l'équation différentielle du mouvement cherchée «$\;m\,{\ddot {x}}(t)+k\,x(t)=0\;$» car la nullité de l'autre facteur c.-à-d. $\;{\dot {x}}(t)=0\;$ correspondant à l'absence de mouvement est à rejeter.