Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Oscillateur harmonique

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Oscillateur harmonique
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Chapitre no 1
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
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Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre
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Signaux physiques (PCSI)/Oscillateur harmonique
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......Un oscillateur mécanique à un degré de liberté est un solide assimilable à un point oscillant sur une courbe fixe autour d'une position d'équilibre, la trajectoire étant rectiligne ou curviligne (par exemple circulaire) ; dans le cas rectiligne, la position de est repérée à la date par son abscisse , c'est ce cas que nous envisagerons dans ce chapitre ;

......l'oscillateur est harmonique si le mouvement de est décrit par une fonction sinusoïdale du temps (bien sûr, le mouvement n'est sinusoïdal que sur une durée pendant laquelle l'influence des frottements est négligeable, seul cas envisagé dans ce chapitre).

Description[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental d'enregistrement (en perspective) d'un oscillateur harmonique (en vue de face)

......On utilise :

  • un ressort idéal, c.-à-d. de masse négligeable (par rapport aux autres masses) à spires non jointives [1], parfaitement élastique (pourvu qu'on reste dans son domaine d'élasticité [2]), de longueur à vide , de raideur [3],
  • un objet de masse accroché à une extrémité du ressort, l'autre extrémité de ce dernier étant fixe, le tout pouvant glisser sans frottement sur un plan horizontal et
  • éventuellement un guide rectiligne horizontal, par exemple un banc à coussin d'air (non représenté sur le schéma) parallèle à l'axe du ressort imposant au solide un mouvement rigoureusement rectiligne ;

......de façon à repérer le mouvement de l'objet, on lui a fixé un stylet qui laissera sa position horizontale sur une feuille de papier enregistreur défilant verticalement à vitesse constante ; ainsi nous aurons un axe vertical orienté vers le haut proportionnel à l'axe des temps et un axe horizontal orienté vers la droite représentant l'axe des positions horizontales de l'objet en vraie grandeur [4].

Équilibre de l'oscillateur[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant écarté l'objet vers la droite et après l'avoir lâché sans vitesse initiale, on observe une oscillation horizontale ;

......le poids de l'objet étant compensé par la réaction du plan horizontal, le mouvement de l'objet ne peut être engendré que par l'action du ressort, action horizontale ; sous cette action, l'objet oscille d'où le nom d'oscillateur donné à l'objet relié à un ressort ;

......en pratique les oscillations sont d'amplitude de plus en plus faible à cause des frottements de l'air sur l'objet [5] et elles finissent par disparaître, l'« objet acquérant sa position d'équilibre », la longueur du ressort y étant sa longueur à vide .

Cause de déséquilibre, loi de Hooke[modifier | modifier le wikicode]

Ressort à vide et ressort étiré

......Le ressort , de longueur à vide et de raideur exprimée en exerce sur point matériel fixé à une extrémité de une force notée ou plus simplement appelée « tension du ressort » s'exerçant sur  ;

......avec vecteur unitaire de l'axe de orienté de vers soit encore , la tension du ressort s'exerçant sur c.-à-d. s'exprime selon la « loi de Hooke  » [6]



...... est la longueur de à l'instant (encore appelée longueur à charge) et l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide ;

......cette loi définit la raideur du ressort comme le « cœfficient de proportionnalité permettant de passer de la valeur absolue de l'allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide à la norme de tension de ce dernier », dans la mesure où on reste dans le domaine d'élasticité du ressort soit :

.






Rappel de dynamique, relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.)[modifier | modifier le wikicode]

......On décrit le mouvement d'un objet sur un axe en précisant la variation, en fonction du temps, de :

  • son « abscisse », variation définissant sa loi horaire de position ,
  • sa « vitesse » (c.-à-d. la dérivée temporelle première de son abscisse) ou loi horaire de vitesse et
  • son « accélération » (c.-à-d. la dérivée temporelle seconde de l'abscisse ou dérivée temporelle première de la vitesse) ou encore loi horaire d'accélération  ;

......le mouvement d'un objet ayant pour cause les forces exercées par son environnement sur lui-même, la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) énonce le lien existant entre la cause du mouvement et le mouvement dans un certain type de référentiel dit « galiléen » :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Mise en équation[modifier | modifier le wikicode]

......Sur l'objet repéré par son abscisse à partir de sa position d'équilibre sur l'axe horizontal orienté vers la droite par le vecteur unitaire , ne s'exerce qu'une force horizontale « la tension du ressort » appliquée à , , étant égale à l'allongement du ressort , les autres forces (poids et réaction du plan horizontal) étant verticales et se compensant ;

......appliquant la r.f.d.n. à et la projetant sur , on obtient : ou

[8] ;

......la « forme normalisée » [9] de l'équation différentielle du mouvement de l'oscillateur s'écrit ou,

en posant , appelée « pulsation propre de l'oscillateur » exprimée en [10], ......on obtient sa « forme canonique » .

Résolution de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique[modifier | modifier le wikicode]

......L'équation différentielle du mouvement de l'oscillateur sous forme canonique étant est linéaire à cœfficients constants homogène du 2e ordre en sans terme du 1er ordre, le cœfficient selon la notation du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » étant égal à et donc la solution est sinusoïdale d'où le qualificatif « harmonique » [11] donné à l'oscillateur ;

......la solution s'écrit donc [12] ou , les constantes ou se déterminant à l'aide des conditions initiales ;

......exemple de conditions initiales on écarte l'objet de sa position d'équilibre de vers la droite et on le lâche sans vitesse initiale c.-à-d. et  :

détermination de la loi horaire de position à partir de [12] :
  • la forme et la condition initiale d'où ,
  • pour écrire la condition de vitesse initiale il faut d'abord exprimer la vitesse pour tout soit et par suite la forme et la condition initiale d'où ,
  • finalement la loi horaire de position s'écrit

    et celle de vitesse  ;

......remarque détermination de la loi horaire de position à partir de [13] :

  • la forme et la condition initiale d'où ,
  • comme précédemment il faut d'abord exprimer la vitesse pour tout soit et par suite la forme et la condition initiale d'où c.-à-d. à près,
  • on choisit alors pour que soit c.-à-d. et par suite ,
  • finalement la loi horaire de position s'écrit encore [14].

Caractéristiques du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

......La loi horaire de position de l'oscillateur harmonique à conditions initiales quelconques s'écrit [15], (quand il est positif) est l'amplitude des oscillations exprimée en , la phase à l'instant exprimée en [16], la phase à l'origine des temps (exprimée en aussi) et la pulsation propre (exprimée en [17] ;

......la fonction « cosinus » étant « 2π-périodique », la loi horaire de position est -périodique où exprimée en est la période propre de l'oscillateur harmonique liée à par

quand augmente de , augmente de d'où [18] ;
la fréquence propre exprimée en est égale à [19] ;
superposition des diagrammes horaires de position et de vitesse d'un oscillateur harmonique

......nous représentons ci-contre le diagramme horaire de position de l'oscillateur harmonique dans les conditions initiales exposées précédemment correspondant à [20] ; nous y trouvons aussi le diagramme horaire de vitesse de l'oscillateur harmonique dans les mêmes conditions initiales correspondant à ou, [21] en utilisant  ;

......compte-tenu des deux expressions horaires nous dirons que est en quadrature avance sur  » [22], cela se manifestant par le fait que le diagramme horaire de vitesse passe par un maximum un quart de période avant le diagramme horaire de position, ou qu'il passe par un minimum un quart de période avant le diagramme horaire de position, ou qu'il coupe l'axe des temps en croissant un quart de période avant le diagramme horaire de position

Énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement[modifier | modifier le wikicode]

......Dès lors qu'un objet a un mouvement dans un référentiel donné, il possède un certain type d'énergie dite « cinétique » [23] et cette énergie est d'autant plus grande que sa vitesse l'est [24] mais aussi que sa masse l'est [24] ;

un objet de masse et de vitesse dans le référentiel d'étude possède l'énergie cinétique [25] ;

......appliqué au mouvement de l'oscillateur harmonique dans les conditions initiales exposées précédemment , on en déduit [26] que l'on peut transformer en linéarisant « sinus carré » en utilisant la 3e forme de , formes rappelées ci-après d'où


dont l'évolution est sinusoïdale de période [27] autour de sa valeur moyenne égale à [28] ;

......nous représentons, ci-après, le diagramme horaire d'énergie cinétique de l'oscillateur harmonique dans les conditions initiales exposées précédemment {courbe en noir}.

Énergie potentielle élastique, conséquence de l'action d'un ressort[modifier | modifier le wikicode]

......Dès lors qu'un ressort est étiré ou comprimé, l'objet qui lui est relié possède un certain type d'énergie « potentielle » [29] dite « élastique » et cette énergie est d'autant plus grande que l'allongement ou la compression du ressort l'est [30] mais aussi que la raideur de ce dernier l'est [30] ; un ressort de raideur  » et d'allongement (algébrique) relativement à la longueur à vide communique à l'objet l'énergie potentielle élastique qui s'évalue selon

[31] ;

......appliqué au mouvement de l'oscillateur harmonique dans les conditions initiales exposées précédemment où est aussi l'allongement relativement à la longueur à vide, on en déduit que l'on peut transformer en linéarisant « cosinus carré » selon la 2e forme des formules rappelées au paragraphe précédent ce qui donne finalement

Superposition des diagrammes horaires des énergies cinétique et potentielle élastique d'un oscillateur harmonique

dont l'évolution est sinusoïdale de période [32] autour de sa moyenne égale à [28] ;

......nous représentons, ci-contre, le diagramme horaire d'énergie potentielle élastique de l'oscillateur harmonique dans les conditions initiales exposées précédemment {courbe en rouge}.

Définition de l'énergie mécanique et sa conservation, conséquence de l'absence de forces autres que celle du ressort[modifier | modifier le wikicode]

......L'oscillateur harmonique dans n'importe quelles conditions initiales possède de l'énergie cinétique due à son mouvement dans le référentiel d'étude et de l'énergie potentielle élastique due à sa liaison avec un ressort, il possède donc au total l'énergie dite « mécanique »

 ;

......utilisant les expressions de et de en fonction de , obtenues pour les conditions initiales exposées précédemment, nous obtenons soit, après simplification évidente

c.-à-d. que l'énergie mécanique reste constante et
égale à l'énergie mécanique initiale  ;

......nous vérifions, sur cet exemple, que l'énergie mécanique initialement créée est conservée en absence de frottements [33].

......Nous pourrons appliquer la conservation de l'énergie mécanique dès lors que les forces autres que la tension du ressort (c.-à-d. le poids et la réaction du plan horizontal) n'ont aucune action sur le mouvement (donc aucune action de freinage entre autres) et l'utilisation de la conservation de l'énergie mécanique peut remplacer l'application de la r.f.d.n. ;

......nous obtenons alors c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 1er ordre en , encore appelée « intégrale première du mouvement » dans la mesure où elle pourrait être obtenue par une 1ère intégration de l'équation différentielle du 2e ordre [34].

......On peut se servir de la conservation de l'énergie mécanique pour trouver la vitesse de connaissant sa position (ou pour trouver sa position connaissant sa vitesse) et ceci sans aucune information sur l'instant d'observation.

Retrouver l'équation différentielle du mouvement à partir de la conservation de l'énergie mécanique[modifier | modifier le wikicode]

......On peut retrouver l'équation différentielle du mouvement en à partir de l'intégrale 1ère du mouvement correspondant à la conservation de l'énergie mécanique , pour cela on dérive cette dernière relativement au temps [35], en utilisant [36] ce qui donne respectivement que l'on réécrit encore selon  ; au final on obtient : [37] ou, en mettant en facteur après simplification évidente,  ;

......on en déduit l'équation différentielle du mouvement cherchée car la nullité de l'autre facteur c.-à-d. correspondant à l'absence de mouvement est à rejeter.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. De façon à ce que le ressort puisse aussi se comprimer sans obstacle.
  2. Son allongement ou sa compression sous une action extérieure doit être tel qu'il reprenne sa longueur initiale dite à vide quand l'action extérieure cesse.
  3. Définie dans le paragraphe traitant de la loi de Hooke de ce chapitre.
  4. Dans le schéma ci-dessus il y a volontairement une erreur de perspective de façon à le rendre plus lisible, en fait l'axe horizontal du ressort est parallèle aux axes des rouleaux entraînant le papier enregistreur, tous ces axes devant donc être parallèles au plan de front, le stylet, quant à lui, lui étant perpendiculaire, c'est ce que sous-entend la courbe tracée sur la feuille d'enregistrement ;
    ...en fait la partie du schéma constituée du ressort ne doit pas être vue comme faisant partie de la perspective mais comme une vue « projetée sur un axe horizontal », ceci constituant une erreur « volontaire » de perspective que l'on aurait pu éviter en inclinant l'axe du ressort parallèlement aux axes des rouleaux engendrant le défilement du papier enregistreur
  5. Il y a aussi les frottements de glissement de l'objet sur le plan horizontal ; pour les rendre les plus faibles possibles en effet leur présence peut entraîner une position d'équilibre différente de celle précisée dans ce paragraphe on peut faire glisser l'objet sur de l'huile ou comme c'est suggéré dans le mode opératoire du paragraphe précédent sur un coussin d'air.
  6. Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIe siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
  7. Il n'y a pas de notation privilégiée pour une compression.
  8. C.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène sans terme du premier ordre.
  9. Définie avec le cœfficient de la dérivée de plus haut ordre égal à et s'obtenant quand ce n'est pas le cas en divisant les deux membres par le cœfficient de la dérivée de plus haut ordre.
  10. On dit alors que l'on fait une « réduction canonique du problème » ; faire une réduction canonique c'est éliminer les grandeurs spécifiques au problème pour les remplacer par des grandeurs qui vont caractériser le type de problème ; par exemple si on multiplie la raideur par et que l'on fait de même pour la masse , on aura la même pulsation propre donc le même mouvement ; un autre intérêt de faire une réduction canonique d'un problème est que l'on peut trouver un problème équivalent dans un autre domaine de la mécanique ou plus généralement de la physique.
  11. Harmonique étant synonyme de sinusoïdal.
  12. 12,0 et 12,1 Choix à privilégier si l'abscisse ou la vitesse est nulle à l'instant initial
  13. D'après ce qui a été dit précédemment ce choix est maladroit, mais il n'est pas interdit.
  14. Le choix de implique ne représente donc pas l'amplitude des oscillations) et la loi horaire de position s'écrit que l'on transforme en compte-tenu de .
  15. Usuellement on note le cœfficient de au lieu de .
  16. Rappel de la définition du « radian » (unité mathématique et non physique ne doit pas être considérée pour vérifier l'homogénéité des formules) : mesure d'un angle au centre telle que la longueur de l'arc qu'il délimite sur un cercle soit égal au rayon du cercle ou avec si .
  17. Nous avons posé en précisant que son unité déduite de l'équation différentielle est c'est aussi en accord avec le fait que le ne pouvait être trouvé par des considérations d'homogénéité de l'équation différentielle.
  18. On peut exprimer en fonction de par et réécrire la loi horaire de position .
  19. On peut exprimer en fonction de par et réécrire la loi horaire de position .
  20. C'est aussi ce qu'on observerait sur l'enregistrement du dispositif expérimental du début de chapitre aux amortissements près en effet les frottements, mêmes réduits au minimum, sont inévitables ceci se manifeste par un très léger amortissement exponentiel dans la mesure où les frottements fluides prédominent.
  21. On remarque que, pour dériver par rapport au temps, une grandeur sinusoïdale du temps il suffit de multiplier l'amplitude par et ajouter à la phase à l'origine soit .
  22. Si et , on dit que est en quadrature avance sur si , étant par conséquent en quadrature retard sur .
  23. L'énergie cinétique sera notée , on peut encore trouver (ou, plus rarement, mais ici ce serait très mal venu, représentant déjà la projection de la tension du ressort sur ), toutefois je privilégierai la notation .
  24. 24,0 et 24,1 L'énergie cinétique varie de façon quadratique avec la vitesse (c.-à-d. proportionnellement au carré de la vitesse) et linéairement avec la masse.
  25. Cette expression a été introduite au cours du secondaire et sera établie en cours de mécanique.
  26. Cette dernière forme étant obtenue en utilisant .
  27. La pulsation d'oscillation de étant double de cette de , la période est donc la moitié.
  28. 28,0 et 28,1 La valeur moyenne d'une grandeur est notée ou simplement , sa définition sera vue ultérieurement ;
    ici il suffit de savoir que sur un intervalle d'une période de , soit , à chaque valeur de , on peut associer une valeur unique de telle que en effet d'où la valeur moyenne d'un cosinus sur un intervalle d'une période est nulle soit ou, avec , et
    ici il suffit de savoir
    que la valeur moyenne d'une constante est la constante soit .
  29. L'énergie potentielle sera notée , on peut encore trouver , toutefois je privilégierai la notation .
  30. 30,0 et 30,1 L'énergie potentielle élastique varie de façon quadratique avec l'allongement algébrique (c.-à-d. proportionnellement au carré de l'allongement algébrique) et linéairement avec la raideur.
  31. Cette expression sera établie en cours de mécanique.
  32. La pulsation d'oscillation de étant double de cette de , la période est donc la moitié.
  33. Nous le démontrerons dans le cours de mécanique à partir de l'application de la r.f.d.n., mais pour l'instant nous nous contentons d'une simple vérification.
  34. Ce n'est pas parce que l'équation différentielle trouvée par conservation de l'énergie mécanique est d'ordre un qu'elle est plus simple à intégrer que celle du mouvement trouvée par application de la r.f.d.n. qui est d'ordre deux ; ce qui compte pour la simplicité de l'intégration est le caractère linéaire de l'équation différentielle et dans ce cas c'est indéniablement l'équation différentielle du mouvement d'ordre deux qui est la plus simple.
  35. La dérivation d'une équation différentielle du 1er ordre augmentant l'ordre de l'équation différentielle d'une unité, nous obtiendrons effectivement une équation différentielle du 2e ordre.
  36. On adopte ici la notation « différentielle » pour écrire la dérivée, ce qui permet de retenir plus facilement la formule de dérivation d'une fonction composée ; pour dériver la fonction composée par rapport à la variable , on dérive la fonction relativement à la variable intermédiaire et on multiplie par la dérivée de la fonction relativement à la variable .
  37. La dérivée de la constante par rapport au temps étant nulle.