Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Portrait de phase d'un système dynamique

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Notion (très succincte) de système dynamique[modifier | modifier le wikicode]

     En mathématiques et en sciences appliquées, un système dynamique est un ensemble très général de composants en interaction un système, répartis sur plusieurs états et structurés selon certaines propriétés [1] ; il est le plus souvent régi par un ensemble d'équations différentielles décrivant le mouvement des composants leur dynamique où interviennent une classe de paramètres accessibles [1] ;

     dans notre présentation nous limitons les systèmes dynamiques aux systèmes classiques [2] qui évoluent au cours du temps de façon à la fois :

  • causale, c.-à-d. que son avenir ne dépend que de phénomènes du passé ou du présent,
  • déterministe, c.-à-d. qu'à une condition initiale donnée à l'instant présent correspond, à chaque instant ultérieur, un et un seul état futur possible ;

     l'évolution déterministe d'un système dynamique classique considéré par la suite se modélise par une évolution continue dans le temps, représentée par une équation différentielle ordinaire [3].

Espace des phases d'un système dynamique classique[modifier | modifier le wikicode]

Notion de variables d'état d'un système dynamique classique[modifier | modifier le wikicode]

La position peut-elle être choisie comme unique variable d'état d'un système dynamique classique à un degré de liberté ?[modifier | modifier le wikicode]

     Comment savoir si un système est en mouvement ou au repos à un instant donné en l'observant uniquement à cet instant, si on définit le mouvement comme un changement de position sachant que la position est la seule variable directement observable à un instant donné [4] ?

  • S'il est en mouvement à un instant donné, le système doit changer de position, or il en a une observable à cet instant qui, par définition, ne change pas à cet instant, il ne semble donc pas en mouvement,
  • s'il est au repos à un instant donné, le système devant garder cette position à tout instant, il ne pourrait pas en changer, or on observe un changement de position avec le temps [5], il ne semble donc pas au repos [6] ;

     la cause de cette difficulté connue sous le nom de « paradoxe de Zénon » est le fait de limiter la description de l'état du système à un instant donné à sa position sans introduire la notion de vitesse, or c'est cette notion qui décrit le changement ou la fixité de la position à un instant donné.

Variables d'état (ou dynamiques) d'un système dynamique classique[modifier | modifier le wikicode]

     La description de l'état d'un système dynamique classique à un instant donné nécessite de définir toutes les variables dites d'état encore appelées variables dynamiques c.-à-d. toutes les grandeurs physiques qui déterminent l'état instantané du système et permettent d'en déduire l'évolution de ce dernier avec le temps [7].

Définition de l'espace des phases d'un système dynamique classique[modifier | modifier le wikicode]

     L'espace des phases est une structure correspondant à l'ensemble de tous les états possibles du système considéré.

     Si le système a degrés de liberté, l'espace des phases possède dimensions [8] et, dans l'hypothèse où l'espace des phases est vectoriel, chaque état est décrit par un vecteur à composantes.

Espace des phases d'un système dynamique classique à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     L'espace des phases d'un système dynamique à un degré de liberté est donc un espace vectoriel à deux dimensions.

Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté, espace des phases correspondant[modifier | modifier le wikicode]

Exemples de système dynamique classique à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     La notion de système dynamique classique à un degré de liberté est essentiellement introduite dans l'enseignement français en mécanique mais elle peut être utilisée dans tous les domaines y compris le domaine électrique ;

     pour que le système à un degré de liberté soit qualifié de « dynamique » il faut qu'il évolue au cours du temps de façon causale [9] et déterministe [10] ; il doit donc y avoir deux types de variables :

  • celle qui décrit l'état du système à un instant donné que l'on pourrait appelée « variable descriptive d'état » sans permettre de savoir dans quel état sera le système ultérieurement,
  • celle qui permet de connaître le futur immédiat du système à un instant donné que l'on pourrait appelée « variable de modification d'état » qui est en général égale ou proportionnelle à la dérivée temporelle de la précédente ;

     l'évolution du système est alors régie par une équation différentielle en la « variable descriptive d'état ».

     La plupart des exemples de système dynamique classique à un degré de liberté sont tirés de la mécanique, les variables dynamiques étant la position du système une « variable descriptive d'état » et sa vitesse remplaçable par sa quantité de mouvement [11] une « variable de modification d'état » mais

     il existe aussi des exemples tirés d'autres domaines comme celui de l'électricité de l'A.R.Q.S. où nous verrons que, par exemple,

  • l'intensité instantanée du courant de charge d'un condensateur parfait est proportionnelle à la dérivée temporelle de la tension instantanée entre ses bornes [12], la 1ère variable étant une « variable de modification d'état » alors que la 2ème est une « variable descriptive d'état » ou encore
  • la tension instantanée aux bornes d'une bobine pure est proportionnelle à la dérivée temporelle de l'intensité instantanée du courant la traversant [13], la 1ère variable étant une « variable de modification d'état » alors que la 2ème est une « variable descriptive d'état »

Espace des phases sur les exemples précédents de système dynamique classique à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     Ce sont des espaces à deux dimensions, l'état instantané du système étant un point de cet espace des phases qui a pour coordonnées :

  • en mécanique à un degré de liberté, la position usuellement choisie en abscisse et la vitesse usuellement choisie en ordonnée[14],
  • en électricité de l'A.R.Q.S. dans un circuit série comportant un condensateur parfait, la tension aux bornes de ce dernier [15] usuellement choisie en abscisse et l'intensité du courant le traversant usuellement choisie en ordonnée,
  • en électricité de l'A.R.Q.S. dans un circuit série ne comportant pas de condensateur parfait mais une bobine parfaite, l'intensité du courant traversant cette dernière usuellement choisie en abscisse et la tension à ses bornes [16] usuellement choisie en ordonnée.

Portrait de phase d'un système dynamique classique[modifier | modifier le wikicode]

Nous nous limitons à un système dynamique classique à un degré de liberté pour lequel il y a deux variables d'état.

Définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

     Le « portrait de phase » d'un système dynamique classique à un degré de liberté est une représentation géométrique, dans l'espace des phases du système, des trajectoires des points caractérisant l'état du système pour chaque ensemble de C.I. [17] ;

     cette représentation géométrique est

  • soit une courbe liant la variable de modification d'état que l'on notera pour la suite [18] à la variable descriptive d'état que l'on notera pour la suite pour des C.I. [17] impliquant une évolution du système,
  • soit un point correspondant nécessairement à la variable de modification d'état , la variable descriptive d'état étant alors constante pour des C.I. [17] caractérisant un état de repos du système.

Liens entre portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté et l'évolution de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle que les variables descriptive et de modification d'état sont respectivement notées et [19].

Évolution du système dynamique classique à un degré de liberté à partir d'un point d'un de ses portraits de phase hors axe des x[modifier | modifier le wikicode]

     Si le point d'un portrait de phase du système est d'ordonnée , son abscisse

  • jusqu'à dans la mesure où le portrait de phase ne coupe pas l'axe des abscisses, le portrait de phase est qualifié d'« ouvert » vers les ,
  • jusqu'à une valeur maximale dans la mesure où le portrait de phase coupe l'axe des abscisses en , l'ordonnée du point y ayant pour valeur , suivi
          d'un arrêt si cette position correspond à un équilibre du système dynamique ou
          d'un passage du point générique du portrait de phase dans la zone d'ordonnée , son abscisse
          jusqu'à dans la mesure où le portrait de phase ne recoupe pas l'axe des abscisses, le portrait de phase étant finalement « ouvert » vers les ,
          jusqu'à une valeur minimale dans la mesure où le portrait de phase recoupe l'axe des abscisses en , l'ordonnée du point y ayant pour valeur , suivi
          d'un retour du point générique du portrait de phase dans la zone d'ordonnée , son abscisse etc le point générique du portrait de phase tournant alors dans le « sens trigonométrique indirect » encore appelé « sens horaire » ;
          le portrait de phase est soit « fermé » s'il repasse par les points précédents, soit « spiralant » autour d'un point l'abscisse correspondant à un arrêt du système [20].

     Si le point d'un portrait de phase du système est d'ordonnée , son abscisse

  • jusqu'à dans la mesure où le portrait de phase ne coupe pas l'axe des abscisses, le portrait de phase est qualifié d'« ouvert » vers les ,
  • jusqu'à une valeur minimale dans la mesure où le portrait de phase coupe l'axe des abscisses en , l'ordonnée du point y ayant pour valeur , suivi
          d'un arrêt si cette position correspond à un équilibre du système dynamique ou
          d'un passage du point générique du portrait de phase dans la zone d'ordonnée , son abscisse
          jusqu'à dans la mesure où le portrait de phase ne recoupe pas l'axe des abscisses, le portrait de phase étant finalement « ouvert » vers les ,
          jusqu'à une valeur maximale dans la mesure où le portrait de phase recoupe l'axe des abscisses en , l'ordonnée du point y ayant pour valeur , suivi
          d'un retour du point générique du portrait de phase dans la zone d'ordonnée , son abscisse etc le point générique du portrait de phase tournant encore dans le « sens trigonométrique indirect » encore appelé « sens horaire » ;
          le portrait de phase est soit « fermé » s'il repasse par les points précédents, soit « spiralant » autour d'un point l'abscisse correspondant à un arrêt du système [20].

Portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté dont l'évolution est décrite par une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en x[modifier | modifier le wikicode]

     Si l'équation différentielle décrivant l'évolution d'un système dynamique classique à un degré de liberté est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en selon avec la valeur de la variable descriptive d'état du système dynamique à l'équilibre,

le portrait de phase est une droite d'équation
décroissante si est positif et croissante si est négatif ;

     réciproquement si le portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté est une droite d'équation ,

l'équation différentielle décrivant l'évolution du système dynamique est linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en
selon , la stabilité [21] nécessitant que soit négatif et
la valeur de la variable descriptive d'état du système dynamique à l'équilibre étant .

Conséquence de l'invariance par antisymétrie relativement à l'axe des x des portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté sur l'évolution de ce système[modifier | modifier le wikicode]

     Si les portraits de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté de variables « descriptive d'état » et « de modification d'état » sont
     Si les portraits de phase « invariants par antisymétrie relativement à l'axe des » cela signifie que

  • d'une part les portraits de phase sont fermés en effet ce sont des courbes continues avec présence de points génériques de part et d'autre de l'axe des , ce qui nécessite le passage par correspondant à un changement de sens de variation de avec le caractère « spiralant » des portraits de phase exclu car contraire à leur invariance par antisymétrie relativement à l'axe des , ceci nécessitant que le système dynamique considéré ne soit pas amorti et
  • d'autre part la grandeur instantanée caractéristique de l'état du système dynamique considéré est telle qu'« à tout couple » correspond « le couple », c.-à-d. que le système dynamique passe par les mêmes états lors de la ou de la de à l'inversion du temps près [22].

     Exemple de mécanique du point à un degré de liberté : le système dynamique classique à un degré de liberté étant le point matériel de variable descriptive d'état abscisse de si ce dernier se déplace sur l'axe et de variable de modification d'état vitesse algébrique de sur l'axe , l'invariance des portraits de phase par antisymétrie relativement à l'axe des correspond à
     Exemple de mécanique du point à un degré de liberté : un mouvement oscillatoire de autour d'un point fixe de l'axe [23],
     Exemple de mécanique du point à un degré de liberté : un mouvement oscillatoire de de caractère périodique [24],
     Exemple de mécanique du point à un degré de liberté : un mouvement oscillatoire de avec la même durée de mouvement dans un sens que celle dans l'autre sens [24].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 et 1,1 Il y a volontairement une certaine imprécision dans cet exposé car la notion de système dynamique est très générale alors que nous n'introduisons dans la suite du cours que des systèmes dynamiques très particuliers ne nécessitant pas de connaître en détail la définition générale de systèmes dynamiques.
  2. C.-à-d. non quantiques, ceci ayant pour conséquence qu'aucun paramètre servant à décrire les états du système dynamique ne varie de façon discrète.
  3. C'est a priori la plus naturelle des modélisations car le paramètre temps est continu en physique.
  4. Pour plus de détail lire le paragraphe paradoxe de Zénon de l'article de wikipédia sur les système dynamiques.
  5. Le changement de position ne se remarque que par une observation sur au moins deux instants.
  6. Mais dire qu'il ne semble pas au repos ne peut être émis avec une seule observation directe à l'instant considéré.
  7. Dans l'exemple d'un système à un seul degré de liberté, il y a la position et la vitesse, cette dernière peut être mesurée à un instant donné par l'effet Doppler ; pour un tel système on a donc deux variables dynamiques.
  8. Il faut connaître la position et la vitesse associée à chaque degré de liberté.
  9. C.-à-d. que son avenir ne dépende que des phénomènes du passé ou du présent.
  10. C.-à-d. qu'à une condition initiale donnée à l'instant présent va correspondre, à chaque instant ultérieur, un et un seul état futur possible.
  11. Le vecteur quantité de mouvement d'une particule traduit la « réserve cinétique » de cette particule en direction, sens et norme contrairement à l'énergie cinétique qui ne donne aucune information sur la direction et le sens la notion de quantité de mouvement est introduite dans le chap. « quantité de mouvement » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; en mécanique classique c.-à-d. non relativiste la quantité de mouvement est liée à la vitesse et à la masse par .
  12. Voir le paragraphe « lien entre intensité et tension pour un condensateur parfait » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       en convention récepteur le lien entre l'intensité du courant traversant le condensateur parfait de capacité et la tension en ses bornes est .
  13. Voir le paragraphe « lien entre intensité et tension pour une bobine parfaite » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       en convention récepteur le lien entre la tension en les bornes de la bobine parfaite d'auto-inductance et l'intensité du courant la traversant est .
  14. La vitesse pouvant être remplacée par la quantité de mouvement.
  15. La tension aux bornes du condensateur pouvant être remplacée par sa charge voir la définition de la « charge d'un condensateur parfait » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       le lien entre la charge du condensateur parfait de capacité et la tension en ses bornes est .
  16. La tension aux bornes de la bobine parfaite pouvant être remplacée par la f.e.m. engendrée dans cette dernière voir la définition de la « f.e.m. d'auto-induction d'une bobine parfaite » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
       le lien entre la f.e.m. auto-induite créée dans la bobine parfaite d'auto-inductance et l'intensité du courant la traversant est égale à l'opposé de la tension à ses bornes en convention récepteur.
  17. 17,0 17,1 et 17,2 Conditions Initiales.
  18. Même si elle n'est égale à la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état mais proportionnelle avec un cœfficient de proportionnalité positif.
  19. Dans le cas où la variable de modification d'état serait proportionnelle à la dérivée temporelle de la variable descriptive d'état, le cœfficient de proportionnalité est supposé positif ce qui est le cas le plus fréquent.
  20. 20,0 et 20,1 Nous nous plaçons dans le cas le plus fréquent où il y a un amortissement mais, le cas où il y aurait un apport énergétique régulier permettant que la spirale s'écarte de plus en plus d'un point de l'axe des abscisses est bien sûr possible.
  21. C.-à-d. le fait que le régime libre s'amortisse.
  22. En effet « si quand », après l'inversion du temps , « quand quand ».
  23. Une démonstration adaptée consiste à introduire la notion de diagrammes d'énergie mécanique et potentielle, ce qui nécessite de préciser la cause du mouvement de voir par exemple les paragraphes « présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée » et « détermination de la nature oscillatoire du mouvement du pendule élastique horizontal par diagramme énergétique » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  24. 24,0 et 24,1 Une démonstration adaptée consiste à utiliser successivement l'intégrale 1ère énergétique du mouvement du point et la notion de diagrammes d'énergie mécanique et potentielle, ce qui nécessite de préciser la cause du mouvement de voir par exemple le paragraphe « détermination de la nature périodique du mouvement du pendule élastique horizontal en utilisant l'intégrale 1ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique M puis expression de la période sous forme intégrale » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».