Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs

Rappel de l'approximation linéaire d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs

     L'approximation linéaire est un cas particulier d'application à l'ordre un du théorème de Taylor – Young vu plus loin :

Début d’un théorème

Approximation linéaire de $f(x)$ au voisinage de $a$

     Soit $\;f\;$ une fonction réelle de la variable $\;x$, de classe $\;C^{1}\;$ sur un domaine $\;{\mathcal {D}}\;$,
     Soit $\;a\;$ une valeur du domaine $\;{\mathcal {D}}\;$ et
     Soit $\;x\,\in \,{\mathcal {V}}(a)\;$,
     on peut écrire la relation suivante : «$\;f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x-a\right)\;$» où «$\;\lim \limits _{x\rightarrow a}\left[{\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x-a\right)}{x-a}}\right]=0\;$».

Fin du théorème

     Remarque : En physique on note $\;\color {transparent}{+\varepsilon }\;$$\;f(x)\simeq f(a)+f'(a)\,(x-a)\;$ ou,
     Remarque : En physique on note $\;f(a+\varepsilon )\simeq f(a)+f'(a)\;\varepsilon \;$$\;\color {transparent}{(-a)}\;$ en introduisant la variable $\;\varepsilon =x-a$.

Développements limités à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs

Définitions

     $\varepsilon =x-a\;$ pouvant être choisi aussi petit que possible définissant « un infiniment petit d'ordre un » et
     l'approximation linéaire de $\;f(x)\;$ au voisinage de $\;a\;$ «$\;f(a+\varepsilon )\simeq f(a)+f'(a)\,\varepsilon \;$» est encore appelée
            l'approximation linéaire de $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{a}\;$ « développement limité à l'ordre un de la fonction$\;f\;$au voisinage de$\;a\;$»  :

• le 1^er terme $\;f(a)\;$ étant le terme d'ordre zéro $\;{\big (}$seule grandeur non infiniment petite${\big )}\;$ et
• le 2^ème       $\;f'(a)\,\varepsilon \;$      le terme d'ordre un $\;{\big (}$qui est aussi un infiniment petit d'ordre un${\big )}$ ;
• le 1^er terme non nul définit le terme prépondérant ${\Bigg [}$c.-à-d. $\;{\begin{aligned}&\;\;f(a)&{\text{si }}\quad f(a)\neq 0\\&f'(a)\,\varepsilon &{\text{si }}\quad f(a)=0\end{aligned}}$${\Bigg ]}$.

Développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles

• D.L. à l'ordre un de $\;\sin(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\sin(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\sin(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$»,
• D.L. à l'ordre un de $\;\tan(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\tan(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\tan(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$»,
• D.L. à l'ordre un de $\;\cos(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\cos(\varepsilon )=1+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\cos(\varepsilon )\simeq 1\;$» ,
• D.L. à l'ordre un de $\;\arcsin(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arcsin(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\arcsin(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$»,
• D.L. à l'ordre un de $\;\arccos(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arccos(\varepsilon )={\dfrac {\pi }{2}}-\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\arccos(\varepsilon )\simeq {\dfrac {\pi }{2}}-\varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre un de $\;\arctan(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arctan(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\arctan(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$»,
• D.L. à l'ordre un de $\;\exp(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\exp(\varepsilon )=1+\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\exp(\varepsilon )\simeq 1+\varepsilon \;$»,
• D.L. à l'ordre un de $\;\ln(1+x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\ln(1+\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\ln(1+\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$»,
• D.L. à l'ordre un de $\;(1+x)^{n},\;n\in \mathbb {Q} ^{*}\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;(1+\varepsilon )^{n}=1+n\,\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;(1+\varepsilon )^{n}\simeq 1+n\,\varepsilon \;$».

     Remarque : Il est possible, dans certains cas, de déterminer un D.L. à l'ordre deux d'une fonction par utilisation exclusive de l'approximation linéaire d'une autre fonction comme sur l'exemple suivant
  Remarque : Il est possible, dans certains cas, de déterminer un « D.L. à l'ordre deux de $\;\cos(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$» :
     Remarque : on utilise la formule de trigonométrie $\;\cos(x)=1-2\,\sin ^{2}\!\left({\dfrac {x}{2}}\right)\;$ et le D.L. à l'ordre un de $\;\sin \!\left({\dfrac {x}{2}}\right)\;$ au voisinage de $\;0$ $\;\sin \!\left({\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)={\dfrac {\varepsilon }{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left({\dfrac {\varepsilon }{2}}\right)={\dfrac {\varepsilon }{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ d'où $\cos(\varepsilon )=$
     Remarque : $1-2\,\left[{\dfrac {\varepsilon }{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]^{2}=1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}-2\,\varepsilon \,{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)-2\,\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\right]^{2}=1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\cos(\varepsilon )\simeq 1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}\;$» .

Énoncé du théorème de Taylor-Young

Début d’un théorème

Énoncé du théorème de Taylor-Young

     Soit $\;f\;$ une fonction réelle de la variable $\;x$, de classe $\;C^{n}\;$ sur un domaine $\;{\mathcal {D}}\;$,
     Soit $\;a\;$ une valeur du domaine $\;{\mathcal {D}}\;$ et
     Soit $\;x\in {\mathcal {V}}(a)\;$,
     on peut lui appliquer la relation de Taylor-Young suivante :

«$f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+\cdots +f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}+\cdots$ $+f^{(n)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{n}}{n!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]\;$» où
«$\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]}{\left(x-a\right)^{n}}}\right\rbrace =0\;$».

Fin du théorème

Infiniment petits d'ordres successifs, notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs

Infiniment petits d'ordres successifs

     Dans la mesure où $\;x\,\in \,{\mathcal {V}}(a)\;$ peut être « le plus proche possible de $\;a\;$» ,

• $\;(x-a)\;$ définit un infiniment petit d'ordre un,
• $\;(x-a)^{2}\qquad \,$ un infiniment petit d'ordre deux,
• $\;\ldots$,
• $\;(x-a)^{k}\qquad \,$ un infiniment petit d'ordre k, $\;k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]\;$,
• $\;\ldots$,
• $\;(x-a)^{n}\qquad \,$ un infiniment petit d'ordre n.

Réécriture du théorème de Taylor-Young utilisant qu'une fonction de classe Cⁿ est de classe C^p avec p < n

     Soit $\;f\;$ une fonction réelle de la variable $\;x$, de classe $\;C^{n}\;$ sur un domaine $\;{\mathcal {D}}\;$, elle est évidemment de classe $\;C^{p}\;$ sur le même domaine $\;{\mathcal {D}}\;$ si $\;p\in \left[\left[0\,,\,n\right[\right[\;$ et
     on peut réécrire la relation de Taylor-Young selon «$\;f(x)=\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[0\,,\,p\right]\right]}f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}+\left\lbrace \sum \limits _{l\,\in \,\left[\left[p+1\,,\,n\right]\right]}f^{(l)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{l}}{l!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]\right\rbrace \;$»
          on peut réécrire la relation de Taylor-Young selon dans laquelle la somme entre accolades $\;\left\lbrace \sum \limits _{l\,\in \,\left[\left[p+1\,,\,n\right]\right]}f^{(l)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{l}}{l!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]\right\rbrace \;$ est un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]\;$ car
          on peut réécrire la relation de Taylor-Young selon $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {\sum \limits _{l\,\in \,\left[\left[p+1\,,\,n\right]\right]}f^{(l)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{l}}{l!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n}\right]}{\left(x-a\right)^{p}}}\right\rbrace =\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace \sum \limits _{l\,\in \,\left[\left[p+1\,,\,n\right]\right]}f^{(l)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{l-p}}{l!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n-p}\right]\right\rbrace =0\;$ soit finalement
     on peut la réécriture de la relation de Taylor-Young selon «$\;f(x)=\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[0\,,\,p\right]\right]}f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]\;$» avec «$\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]}{\left(x-a\right)^{p}}}\right\rbrace =0\;$» pour tout $\;p\in \left[\left[0\,,\,n\right]\right]\;$.

Notion de développements limités d'ordre p d'une fonction d'une variable de classe Cⁿ au voisinage d'une de ses valeurs, l'ordre p étant < à n

     On appelle développement limité (ou D.L.) d'ordre $\;p\in \left[\left[0\,,\,(n-1)\right]\right]\;$ de la fonction $\;f\;$ ${\big [}$de classe $\;C^{n}\;$ sur le domaine $\;{\mathcal {D}}\;$${\big ]}\;$ au voisinage de $\;a\in {\mathcal {D}}$, la relation de Taylor-Young tronquée à l'ordre $\;p\;$ à savoir $\;f(x)=\sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[0\,,\,p\right]\right]}f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]\;$ avec $\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{p}\right]}{\left(x-a\right)^{p}}}\right\rbrace =0$ ;

• D.L. de $\;f\;$ d'ordre zéro au voisinage de $\;a$ «$\;f(x)=f(a)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[1\right]\;$» avec «$\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[1\right]}{1}}\right\rbrace =0\;$»,
• D.L. de $\;f\;$ d'ordre un au voisinage de $\;a$ «$\;f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)\right]\;$» avec «$\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)\right]}{\left(x-a\right)}}\right\rbrace =0\;$»,
• D.L. de $\;f\;$ d'ordre deux au voisinage de $\;a$ «$\;f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+f''(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{2}\right]\;$» avec «$\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{2}\right]}{\left(x-a\right)^{2}}}\right\rbrace =0\;$»,
• D.L. de $\;f\;$ d'ordre trois au voisinage de $\;a$ «$\;f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+f''(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+f^{(3)}(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{3}\right]\;$» avec «$\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{3}\right]}{\left(x-a\right)^{3}}}\right\rbrace =0\;$»,
• $\;\ldots$
• D.L. de $\;f\;$ d'ordre (n - 1) au voisinage de $\;a$ «$\;f(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)+f''(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots +f^{(n-1)}(a)\,{\dfrac {\left(x-a\right)^{n-1}}{(n-1)!}}+$ ${\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n-1}\right]\;$» avec «$\;\lim \limits _{x\,\rightarrow \,a}\left\lbrace {\dfrac {{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\left(x-a\right)^{n-1}\right]}{\left(x-a\right)^{n-1}}}\right\rbrace =0\;$».

     Remarques : Par abus nous appellerons D.L. de $\;f\;$ d'ordre n au voisinage de $\;a$, la relation de Taylor-Young de $\;f\;$ appliquée à l'ordre $\;n\;$ au voisinage de $\;a\;$ bien qu'il n'y ait pas troncature .

     Remarques : On rappelle que les D.L. de $\;f\;$ d'ordre $\;p\in \left[\left[0\,,\,n\right]\right]\;$ au voisinage de $\;a\;$ sont écrits de façon plus concise en physique selon «$\;f(x)\simeq \sum \limits _{k\,\in \,\left[\left[0\,,\,p\right]\right]}f^{(k)}(a)\,{\dfrac {(x-a)^{k}}{k!}}\;$».

Principaux développements limités au voisinage de zéro

D.L. d'ordre un de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro

     Revoir le paragraphe « D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » plus haut dans ce chapitre ;

     on peut ajouter les D.L. de fonctions hyperboliques directes et inverses , au voisinage de $\;0\;$ :

• D.L. à l'ordre un de $\;\sinh(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\sinh(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\sinh(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre un de $\;\tanh(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\tanh(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\tanh(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre un de $\;\cosh(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\cosh(\varepsilon )=1+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\cosh(\varepsilon )\simeq 1\;$» ,
• D.L. à l'ordre un de $\;\mathrm {argsinh} (x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\mathrm {argsinh} (\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\mathrm {argsinh} (\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre un de $\;\mathrm {argtanh} (x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\mathrm {argtanh} (\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\mathrm {argtanh} (\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» .

D.L. d'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro

• D.L. à l'ordre deux de $\;\sin(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\sin(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\sin(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre deux de $\;\tan(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\tan(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\tan(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre deux de $\;\cos(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\cos(\varepsilon )=1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\cos(\varepsilon )\simeq 1-{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}\;$» ,
• D.L. à l'ordre deux de $\;\arcsin(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arcsin(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\arcsin(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre deux de $\;\arccos(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arccos(\varepsilon )={\dfrac {\pi }{2}}-\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\arccos(\varepsilon )\simeq {\dfrac {\pi }{2}}-\varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre deux de $\;\arctan(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\arctan(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\arctan(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre deux de $\;\exp(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\exp(\varepsilon )=1+\varepsilon +{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\exp(\varepsilon )\simeq 1+\varepsilon +{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}\;$»,
• D.L. à l'ordre deux de $\;\ln(1+x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\ln(1+\varepsilon )=\varepsilon -{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\ln(1+\varepsilon )\simeq \varepsilon -{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}\;$» ,
• D.L. à l'ordre deux de $\;(1+x)^{n},\;n\in \mathbb {Q} ^{*}\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;(1+\varepsilon )^{n}=1+n\,\varepsilon +{\dfrac {n\,(n-1)}{2}}\,\varepsilon ^{2}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;(1+\varepsilon )^{n}\simeq 1+n\,\varepsilon +{\dfrac {n\,(n-1)}{2}}\,\varepsilon ^{2}\;$»  ;

     on peut ajouter les D.L. de fonctions hyperboliques directes et inverses , au voisinage de $\;0\;$ :

• D.L. à l'ordre deux de $\;\sinh(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\sinh(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\sinh(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre deux de $\;\tanh(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\tanh(\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\tanh(\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre deux de $\;\cosh(x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\cosh(\varepsilon )=1+{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon ^{2}\right)\;$ ou «$\;\cosh(\varepsilon )\simeq 1+{\dfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}\;$» ,
• D.L. à l'ordre deux de $\;\mathrm {argsinh} (x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\mathrm {argsinh} (\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\mathrm {argsinh} (\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» ,
• D.L. à l'ordre deux de $\;\mathrm {argtanh} (x)\;$ au voisinage de $\;0$ : $\;\mathrm {argtanh} (\varepsilon )=\varepsilon +{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\varepsilon \right)\;$ ou «$\;\mathrm {argtanh} (\varepsilon )\simeq \varepsilon \;$» .

Trouver le développement limité au voisinage de zéro d'une fonction connaissant celui de sa dérivée

Retrouver, sur un exemple, le D.L. d'ordre deux d'une fonction au voisinage de zéro connaissant le D.L. d'ordre un de sa dérivée au même voisinage

     On se propose de retrouver le D.L. à l'ordre deux de $\;\ln(1+x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ à partir du D.L. à l'ordre un de $\;{\dfrac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}\;$ au même voisinage de $\;0$,
         On se propose de retrouver le D.L. à l'ordre deux de $\;\color {transparent}{\ln(1+x)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0}\;$ sachant que $\;\ln(1+x)\;$ est la primitive de $\;{\dfrac {1}{1+x}}\;$ qui s'annule en $\;x=0$ ;

     du D.L. de «$\;{\dfrac {1}{1+x}}\;$ à l'ordre un en $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$» soit «$\;{\dfrac {1}{1+x}}=(1+x)^{-1}=1-x+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x\right)\;$» , on en déduit, en intégrant terme à terme,
     le D.L. de «$\;\ln(1+x)=\displaystyle \int _{0}^{x}{\dfrac {d\xi }{1+\xi }}\;$ à l'ordre deux en $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$» soit «$\;\ln(1+x)=\displaystyle \int _{0}^{x}d\xi -\displaystyle \int _{0}^{x}\xi \;d\xi +\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi \right)\;d\xi =x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{2}\right)\;$» .

     Commentaire : il est essentiel pour affirmer qu'on obtient le D.L. de $\;\ln(1+x)\;$ à l'ordre deux au voisinage de $\;0\;$ en intégrant terme à terme le D.L. de $\;{\dfrac {1}{1+x}}\;$ à l'ordre un au voisinage de $\;0\;$
     Commentaire : il est essentiel de vérifier que $\;\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi \right)\;d\xi \;$ est effectivement un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{2}\right)\;$ .

Par intégration du D.L. à l'ordre p d'une fonction au voisinage de zéro, détermination du D.L. à l'ordre p + 1 de n'importe quelle de ses primitives au même voisinage

     Si on connaît le D.L. à l'ordre $\;p\;$ d'une fonction $\;f\;$ de classe $\;C^{\infty }\;$ au voisinage de $\;0$, on peut déterminer, en intégrant terme à terme,
     Si on connaît le D.L. à l'ordre $\;p+1\;$ de n'importe quelle de ses primitives $\;C+\displaystyle \int _{0}^{x}f(\xi )\;d\xi \;$ au même voisinage de $\;0\;$, le terme d'ordre zéro étant la valeur de la primitive en $\;0\;$ à savoir $\;C$.

     La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe $\;C^{\,n}\;$ avec $\;n\;$ fini $\;{\big [}$dans ces conditions n'importe quelle primitive est de classe $\;C^{\,n+1}{\big ]}\;$
       La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe $\;\color {transparent}{C^{\,n}}\;$ avec $\;\color {transparent}{n}\;$ fini mais la démonstration du fait que $\;\displaystyle \int _{0}^{x}{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(\xi ^{p}\right)\;d\xi \;$ avec $\;p<n\;$ est un $\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{p+1}\right)\;$
       La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe $\;\color {transparent}{C^{\,n}}\;$ avec $\;\color {transparent}{n}\;$ fini mais la démonstration est nécessairement différente $\;{\big (}$et non fournie${\big )}$.

Détermination progressive des D.L. d'ordre de plus en plus élevé des fonctions trigonométriques sinus et cosinus par intégration

Déduire du D.L. à l'ordre deux de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre trois de cos(x) au même voisinage

     Connaissant le D.L. à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de $\;0$ «$\;\sin(x)=x+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{2}\right)\;$» et

     Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction sinus entre $\;0\;$ et $\;x\;$ selon $\;\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi =\left[-\cos(\xi )\right]_{0}^{x}=1-\cos(x)\;$ dont on déduit «$\;\cos(x)=1-\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi \;$»,

     on intègre terme à terme le D.L. à l'ordre deux de la fonction sinus au voisinage de $\;0$ selon «$\;\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi ={\dfrac {x^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{3}\right)\;$» pour en déduire

     on intègre terme à terme le D.L. à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de $\;0\;$ soit «$\;\cos(x)=1-\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi =1-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{3}\right)\;$» .

Déduire du D.L. à l'ordre trois de cos(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre quatre de sin(x) au même voisinage

     Connaissant le D.L. à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de $\;0$ «$\;\cos(x)=1-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{3}\right)\;$» et

     Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction cosinus entre $\;0\;$ et $\;x\;$ selon $\;\displaystyle \int _{0}^{x}\cos(\xi )\;d\xi =\left[\sin(\xi )\right]_{0}^{x}=\sin(x)\;$ dont on déduit «$\;\sin(x)=\displaystyle \int _{0}^{x}\cos(\xi )\;d\xi \;$»,

     on intègre terme à terme le D.L. à l'ordre trois de la fonction cosinus au voisinage de $\;0$ selon «$\;\displaystyle \int _{0}^{x}\cos(\xi )\;d\xi =x-{\dfrac {x^{3}}{3\times 2}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$» pour en déduire

     on intègre terme à terme le D.L. à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de $\;0\;$ soit «$\;\sin(x)=x-{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$» .

Déduire du D.L. à l'ordre quatre de sin(x) au voisinage de zéro celui à l'ordre cinq de cos(x) au même voisinage

     Connaissant le D.L. à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de $\;0$ «$\;\sin(x)=x-{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$» et

     Connaissant le résultat de l'intégration de la fonction sinus entre $\;0\;$ et $\;x\;$ selon $\;\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi =\left[-\cos(\xi )\right]_{0}^{x}=1-\cos(x)\;$ dont on déduit «$\;\cos(x)=1-\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi \;$»,

     on intègre terme à terme le D.L. à l'ordre quatre de la fonction sinus au voisinage de $\;0$ selon «$\;\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi ={\dfrac {x^{2}}{2}}-{\dfrac {x^{4}}{4\times 6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{5}\right)\;$» pour en déduire

     on intègre terme à terme le D.L. à l'ordre cinq de la fonction cosinus au voisinage de $\;0\;$ soit «$\;\cos(x)=1-\displaystyle \int _{0}^{x}\sin(\xi )\;d\xi =1-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{5}\right)\;$» .

     $\;\ldots$

Trouver le développement limité d'une fonction « produit (ou quotient) de deux autres fonctions »

Exposé de la méthode et précaution d'utilisation

• On peut, pour évaluer le D.L. à l'ordre $\;n\;$ d'une « fonction produit $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$» au voisinage de $\;0$,
  On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;n\;$ des fonctions $\;u(x)\;$ et $\;v(x)\;$ au même voisinage de $\;0$, mais attention
  On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;n\;$ de chaque fonction facteur ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre $\;>\,n\;$,
      On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur maintenir l'existence d'infiniment petits d'ordre $\;>\,n\;$ lors du développement du produit des D.L.
      On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L. de $\;p(x)\;$ faux à partir de l'ordre $\;n+1$,
      On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur tout infiniment petit d'ordre$\;>\,n\;$obtenu en développant le produit des D.L. doit impérativement être englobé dans un$\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n}\right)\;$.
• On peut aussi, pour évaluer le D.L. à l'ordre $\;n\;$ d'une « fonction quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$» au voisinage de $\;0\;$
  On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;n\;$ des fonctions $\;u(x)\;$ et $\;v(x)\;$ au même voisinage de $\;0$, plus précisément
  On peut, se ramener à la détermination du D.L. à l'ordre $\;n\;$ de la fonction « produit $\;q(x)=u(x)\;{\dfrac {1}{v(x)}}\;$» au voisinage de $\;0$, et pour cela il conviendra auparavant de déduire,
        On peut, avec «$\;v(0)\neq 0\;$», le D.L. à l'ordre $\;n\;$ de la « fonction $\;{\dfrac {1}{v(x)}}={\dfrac {1}{v(0)}}\,\left[{\dfrac {v(x)}{v(0)}}\right]^{-1}$» de celui de «$\;{\dfrac {v(x)}{v(0)}}=1+\alpha (x)\;$ avec $\;\alpha (x)\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow 0\;$»,
        On peut, avec «$\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$», le D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de $\;\left[{\dfrac {v(x)}{v(0)}}\right]^{-1}=\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;$ s'obtenant par utilisation
        On peut, avec «$\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$», du D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;\alpha (x)\;$ de «$\;\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}=1-\alpha (x)+\alpha ^{2}(x)-\alpha ^{3}(x)+\cdots +(-1)^{n}\;\alpha ^{n}(x)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\alpha ^{n}(x)\right]\;$» mais attention,
        On peut, avec «$\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$», le D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de $\;{\dfrac {v(x)}{v(0)}}=1+\alpha (x)\;$ ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre $\;>\,n\;$,
              On peut, avec «$\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$», le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de $\;\color {transparent}{v(x)=1+\alpha (x)}\;$ maintenir l'existence d'infiniment petits en $\;x\;$ d'ordre $\;>\,n\;$ lors du développement de $\;\alpha ^{k}(x)\;$ où $\;k\geqslant 2\;$
              On peut, avec «$\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$», le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de $\;\color {transparent}{v(x)=1+\alpha (x)}\;$ maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L. de $\;\left[{\dfrac {v(x)}{v(0)}}\right]^{-1}=\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;$
                  On peut, avec «$\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$», le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de $\;\color {transparent}{v(x)=1+\alpha (x)}\;$ maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L. faux à partir de l'ordre $\;n+1$,
              On peut, avec «$\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$», le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de $\;\color {transparent}{v(x)=1+\alpha (x)}\;$ tout infiniment petit d'ordre$\;>\,n\;$obtenu en développant les infiniment petits$\;\alpha ^{k}(x)\;$où$\;k\geqslant 2\;$
              On peut, avec «$\;\color {transparent}{v(0)\neq 0}\;$», le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de $\;\color {transparent}{v(x)=1+\alpha (x)}\;$ tout infiniment petit d'ordre$\;\color {transparent}{>\,n}\;$doit impérativement être englobé dans un$\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n}\right)\;$ puis
  On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;n\;$ des fonctions $\;u(x)\;$ et $\;{\dfrac {1}{v(x)}}={\dfrac {1}{v(0)}}\,\left[{\dfrac {v(x)}{v(0)}}\right]^{-1}\;$ au même voisinage de $\;0$, mais attention
  On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;n\;$ de chaque fonction facteur ayant éliminé tout infiniment petit d'ordre $\;>\,n\;$,
      On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur maintenir l'existence d'infiniment petits d'ordre $\;>\,n\;$ lors du développement du produit des D.L.
      On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur maintenir l'existence conduirait nécessairement à un D.L. de $\;q(x)\;$ faux à partir de l'ordre $\;n+1$,
      On peut, utiliser le D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ de chaque fonction facteur tout infiniment petit d'ordre$\;>\,n\;$obtenu en développant le produit des D.L. doit impérativement être englobé dans un$\;{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n}\right)\;$.
  On peut, Commentaire : Dans le cas où «$\;v(0)=0\;$», le D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;v(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ étant un infiniment petit d'ordre $\;\geqslant 1$,
  On peut, Commentaire : Dans le cas où «$\;\color {transparent}{v(0)=0}\;$», la « fonction quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$» n'est définie en $\;0\;$ ${\big \{}\Rightarrow$ on peut lui associer un D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ au voisinage de $\;0{\big \}}\;$ que si
  On peut, Commentaire : Dans le cas où «$\;\color {transparent}{v(0)=0}\;$», le D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;u(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ est aussi un infiniment petit d'ordre $\;\geqslant 1\;$ ; dans ces conditions,
  On peut, Commentaire : Dans le cas où «$\;\color {transparent}{v(0)=0}\;$», la détermination du D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la « fonction quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$» au voisinage de $\;0\;$ sera exposée en commentaire du
  On peut, Commentaire : Dans le cas où «$\;\color {transparent}{v(0)=0}\;$», paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est de D.L. à terme prépondérant égal à un infiniment petit d'ordre p »
  On peut, Commentaire : Dans le cas où «$\;\color {transparent}{v(0)=0}\;$», paragraphe plus loin dans ce chapitre.

Détermination du D.L. à l'ordre quatre de la fonction tangente au voisinage de zéro à partir de celui des fonctions sinus et cosinus au même ordre et au même voisinage

     À partir du D.L. à l'ordre quatre de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sin(x)=x-{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\\\cos(x)=1-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ au voisinage de $\;0\;$ et
     À partir de la définition de $\;\tan(x)={\dfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}\;$ on peut déterminer le D.L. à l'ordre quatre de cette dernière au même voisinage de $\;0\;$ et
     pour cela il convient d'abord $\bullet \;$de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;x\;$ de «$\;{\dfrac {1}{\cos(x)}}=\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;$» avec «$\;\alpha (x)=-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$»
              pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de «$\;\color {transparent}{\cos(x)=\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}}\;$» avec infiniment petit dont le terme principal étant d'ordre deux en $\;x\;$ $\Rightarrow$ il suffira
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de « d'utiliser le D.L. de $\;\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}\;$ à l'ordre deux en $\;\alpha (x)\;$ pour en avoir le D.L. à l'ordre quatre en $\;x\;$ soit
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de «$\;\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}=1-\alpha (x)+\alpha ^{2}(x)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\alpha ^{2}(x)\right]\;$ où $\;\alpha (x)=-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$ et
                          pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de «$\;\color {transparent}{\left[1+\alpha (x)\right]^{-1}=1-\alpha (x)+\alpha ^{2}(x)+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left[\alpha ^{2}(x)\right]}\;$ où $\;\alpha ^{2}(x)=\left(-{\dfrac {x^{2}}{2}}\right)^{\!\!2}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)={\dfrac {x^{4}}{4}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de « d'où, en reportant ces expressions limitées à l'ordre quatre en $\;x\;$ on obtient
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de «$\;{\dfrac {1}{\cos(x)}}=1-\left[-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]+\left[{\dfrac {x^{4}}{4}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]+\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]=1+{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {5\;x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$» puis
     pour cela il convient d'abord $\bullet \;$de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;x\;$ de «$\;\tan(x)=\sin(x)\;{\dfrac {1}{\cos(x)}}\;$» à partir de $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\sin(x)=x-{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\\{\dfrac {1}{\cos(x)}}=1+{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {5\;x^{4}}{24}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ sans omettre de
     pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$pratiquer la troncature à l'ordre quatre dans le développement du produit des D.L. soit
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de «$\;\tan(x)=\left[x-{\dfrac {x^{3}}{6}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\right]\times 1+\left[x+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{2}\right)\right]\times {\dfrac {x^{2}}{2}}+\left[{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(0\right)\right]\times {\dfrac {5\;x^{4}}{24}}\;{\cancel {+\left[0\right]\times {\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)}}\;$» d'où
         pour cela il convient d'abord $\color {transparent}{\bullet }\;$de déterminer le D.L. d'ordre quatre en $\;\color {transparent}{x}\;$ de «$\;\tan(x)=x+{\dfrac {x^{3}}{3}}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{4}\right)\;$» .

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit (ou d'un quotient) de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions (ou du numérateur du quotient) a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le développement limité d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p

     Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;n\;$ en l'infiniment petit $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$ d'un produit de deux fonctions $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ sachant que
    Pour obtenir le D.L. à l'ordre $\;n\;$ d'un des facteurs $\;{\big [}$par exemple $\;u(x){\big ]}\;$ a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre $\;p<n\;$» ,
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ il suffit de prendre le D.L. de l'autre facteur $\;{\big [}$sur l'exemple $\;v(x){\big ]}\;$ à l'ordre $\;n-p$ ; en effet,
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ si on « factorise le 1^er facteur $\;u(x)\;$ par $\;x^{p}\;$», le D.L. à l'ordre $\;n\;$ de $\;u(x)\;$ se réécrit «$\;u(x)=x^{p}\left[a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\right]=x^{p}\;\alpha (x)\;$»
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ si on « factorise le 1^er facteur $\;\color {transparent}{u(x)}\;$ par $\;\color {transparent}{x^{p}}\;$», où «$\;\alpha (x)=a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\;$ est le D.L. à l'ordre $\;n-p\;$ de $\;{\dfrac {u(x)}{x^{p}}}\;$» et
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du produit $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ s'obtenant à partir de $\;p(x)=\left[x^{p}\;\alpha (x)\right]\,v(x)=x^{p}\,\left[\alpha (x)\;v(x)\right]\;$
              Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du produit $\;\color {transparent}{p(x)=u(x)\;v(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant dans lequel $\;\alpha (x)\;$ étant un D.L. à l'ordre $\;n-p\;$ en $\;x$, il est impératif que
              Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du produit $\;\color {transparent}{p(x)=u(x)\;v(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant dans lequel $\;\color {transparent}{\alpha (x)}\;$ étant le D.L. de $\;v(x)\;$ soit aussi à l'ordre $\;n-p\;$ de façon à ce que
              Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du produit $\;\color {transparent}{p(x)=u(x)\;v(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant dans lequel $\;\color {transparent}{\alpha (x)}\;$ étant le D.L. du produit $\;\alpha (x)\;v(x)\;$ soit exact à cet ordre $\;n-p\;$ ;
     pour terminer le produit du D.L. de $\;\alpha (x)\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n-p\;$ par l'infiniment petit $\;x^{p}\;$ d'ordre $\;p\;$ conduit effectivement au D.L. du produit $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n$.

D.L. d'un produit dont l'un des facteurs est équivalent à un infiniment petit d'ordre p

     Cherchant à déterminer le D.L. à l'ordre $\;n\;$ d'un produit de deux fonctions $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ avec
     Cherchant à déterminer le D.L. de $\;u(x)\;$ à l'ordre $\;n\;$ ayant pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre $\;p<n$,
     il suffit de prendre le D.L. de $\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n-p\;$ pour en faire le produit avec le D.L. de $\;u(x)$.

• Pour déterminer le D.L. à l'ordre un de $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ quand $\;u(x)\;$ est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. de $\;v(x)\;$ à l'ordre zéro,
• pour déterminer le D.L. à l'ordre deux de $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ quand $\;u(x)\;$ est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. de $\;v(x)\;$ à l'ordre un,
• pour déterminer le D.L. à l'ordre trois de $\;p(x)=u(x)\;v(x)\;$ quand $\;u(x)\;$ est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre de D.L. de $\;v(x)\;$ à l'ordre deux $\;\ldots$

Déterminer le développement limité à l'ordre n d'un quotient dont le numérateur est de développement limité à terme prépondérant égal à un infiniment petit d'ordre p

     Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;n\;$ en l'infiniment petit $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$ d'un quotient de deux fonctions $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ sachant que
    Pour obtenir le D.L. à l'ordre $\;n\;$ du numérateur $\;u(x)\;$ a pour terme prépondérant « un infiniment petit d'ordre $\;p<n\;$» ,
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ il suffit de prendre le D.L. du dénominateur $\;v(x)\;$ à l'ordre $\;n-p$ ; en effet,
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ si on « factorise le numérateur $\;u(x)\;$ par $\;x^{p}\;$», le D.L. à l'ordre $\;n\;$ de $\;u(x)\;$ se réécrit «$\;u(x)=x^{p}\left[a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\right]=x^{p}\;\alpha (x)\;$»
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ si on « factorise le numérateur $\;\color {transparent}{u(x)}\;$ par $\;\color {transparent}{x^{p}}\;$», où «$\;\alpha (x)=a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\;$ est le D.L. à l'ordre $\;n-p\;$ de $\;{\dfrac {u(x)}{x^{p}}}\;$» et
         Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$ à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ s'obtenant à partir de $\;q(x)=\left[x^{p}\;\alpha (x)\right]\,{\dfrac {1}{v(x)}}=x^{p}\,\left[\alpha (x)\;{\dfrac {1}{v(x)}}\right]\;$
               Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du quotient $\;\color {transparent}{q(x)=u(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant dans lequel $\;\alpha (x)\;$ étant un D.L. à l'ordre $\;n-p\;$ en $\;x$, il est impératif que
               Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du quotient $\;\color {transparent}{q(x)=u(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant dans lequel $\;\color {transparent}{\alpha (x)}\;$ étant le D.L. de $\;{\dfrac {1}{v(x)}}\;$ et donc de $\;v(x)\;$ soit aussi à l'ordre $\;n-p\;$
                          Pour obtenir un D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ le D.L. du quotient $\;\color {transparent}{q(x)=u(x)}\;$ à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ s'obtenant de façon à ce que le D.L. du produit $\;\alpha (x)\;{\dfrac {1}{v(x)}}\;$ soit exact à cet ordre $\;n-p\;$ ;
     pour terminer le produit du D.L. de $\;\alpha (x)\;{\dfrac {1}{v(x)}}\;$ à l'ordre $\;n-p\;$ par l'infiniment petit $\;x^{p}\;$ d'ordre $\;p\;$ conduit effectivement au D.L. du produit $\;q(x)=u(x)\;{\dfrac {1}{v(x)}}\;$ à l'ordre $\;n$.

     Commentaire : supposant le D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;v(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ être un infiniment petit d'ordre $\;q\in \left[\left[1\,,\,n\right[\right[\;$ et
     Commentaire : supposant le D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;u(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ être un infiniment petit d'ordre $\;p\in \left[\left[q\,,\,n\right[\right[\;$ de façon à ce que
     Commentaire : supposant la « fonction quotient $\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$» soit définie en $\;0\;$ et ait un D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ au voisinage de $\;0\;$ de terme prépondérant infiniment petit d'ordre $\;p-q\;$,
     Commentaire : $\Rightarrow$ la réécriture du D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;u(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ «$\;u(x)=x^{p}\left[a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\right]=x^{p}\;\alpha (x)\;$» avec
         Commentaire : $\color {transparent}{\Rightarrow }$ la réécriture du D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction $\;\color {transparent}{u(x)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0}\;$ «$\;\alpha (x)=a_{p}+a_{p+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-p}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-p}\right)\;$» ainsi que
     Commentaire : $\color {transparent}{\Rightarrow }$ celle du D.L. à l'ordre $\;n\;$ en $\;x\;$ de la fonction $\;v(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ «$\;v(x)=x^{q}\left[b_{q}+b_{q+1}\;x+\cdots +b_{n}\;x^{n-q}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-q}\right)\right]=x^{q}\;\beta (x)\;$» avec
         Commentaire : $\color {transparent}{\Rightarrow }$ celle du D.L. à l'ordre $\;\color {transparent}{n}\;$ en $\;\color {transparent}{x}\;$ de la fonction $\;\color {transparent}{v(x)}\;$ au voisinage de $\;\color {transparent}{0}\;$ «$\;\beta (x)=b_{q}+b_{q+1}\;x+\cdots +a_{n}\;x^{n-q}+{\scriptscriptstyle {\mathcal {O}}}\!\left(x^{n-q}\right)\;$» d'où la réécriture de «$\;q(x)={\dfrac {u(x)}{v(x)}}\;$» avec
     Commentaire : $\color {transparent}{\Rightarrow }$ les D.L. précédents selon «$q(x)=\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{x^p\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)}{x^q\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)}=x^{(p-<!--\; -\; -->q)}\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)}=x^{(p-<!--\; -\; -->q)}\frac{a_p+a_{p+1}x+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{x}^{n-<!--\; -\; -->p}+\mathcal{O}\left(x^{n-<!--\; -\; -->p}\right)}{b_q+b_{q+1}x+\cdots <!--\; \cdots \; -->+b_n{x}^{n-<!--\; -\; -->q}+\mathcal{O}}$