Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique

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Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.

     Préliminaire : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « forces ne dépendant pas explicitement du temps » ;

     Préliminaire : une force dépendant explicitement du temps sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative $($au sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après$)$.

1^ère définition d'une force « conservative »

1^ère définition d'une force « conservative »

     Une force $\overrightarrow{F}(M)$ est « conservative » ssi « son travail de $M_1$ à $M_2$ le long de $(\Gamma )$ est indépendant du chemin suivi $(\Gamma )$ » ou ssi «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}[\overrightarrow{F}(M)]={\int }_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ est indépendant de $(\Gamma )$».

     Remarque : Une force $\overrightarrow{F}(M)$ étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1^ère définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative $[$voir le paragraphe « Notion de champ vectoriel à circulation conservative » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »$]$.

     Conséquence : $W_{M_1\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_2}[\overrightarrow{F}(M)]={\int }_{M_1\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_2}\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ étant indépendant de $(\Gamma )$ $[$mais dépendant de $M_1$ et de $M_2]$ peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique $[$notée temporairement $S_{\overrightarrow{F}}(M)]$ prise entre $M_1$ et $M_2$ c'est-à-dire «$W_{M_1\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_2}[\overrightarrow{F}(M)]={\int }_{M_1\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_2}\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ $=S_{\overrightarrow{F}}(M_2)-S_{\overrightarrow{F}}(M_1)=\Delta S_{\overrightarrow{F}}$».

2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative

2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative »

2^ème définition d'une force « conservative »

     Une force $\overrightarrow{F}(M)$ est « conservative » ssi « son travail élémentaire est une différentielle de fonction énergétique » ou ssi «$\delta W[\overrightarrow{F}(M)]=\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ est une différentielle exacte ».

     Remarque : Une force $\overrightarrow{F}(M)$ étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2^ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative $[$voir le paragraphe « Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

     Conséquence : $\delta W[\overrightarrow{F}(M)]=\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ étant une différentielle exacte d'une fonction énergétique $[$notée temporairement $S_{\overrightarrow{F}}(M)]$ c'est-à-dire
         Conséquence : $\delta W[\overrightarrow{F}(M)]=\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ étant une différentielle exacte «$\delta W[\overrightarrow{F}(M)]=\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=d{S}_{\overrightarrow{F}}=S_{\overrightarrow{F}}(M^{\prime })-S_{\overrightarrow{F}}(M)$
         Conséquence : $\delta W[\overrightarrow{F}(M)]=\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ étant une différentielle exacte en notant $M^{\prime }$ le point infiniment voisin de $M$ tel que $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{dM}$».

Justification de l'équivalence entre les deux définitions

     Justification directe « 1^ère définition $\Rightarrow$ 2^ème définition » : si « le travail de $\overrightarrow{F}(M)$ entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins $M$ et $M^{\prime }$ tels que $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{dM}$ ce qui se réécrit « le travail élémentaire de $\overrightarrow{F}(M)$ ne dépend que des points extrêmes $M^{\prime }$ et $M$ et non du chemin utilisé » c'est-à-dire que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte de la fonction énergétique notée temporairement $S_{\overrightarrow{F}}(M)$, $\delta W\left[\overrightarrow{F}\right](M)=S_{\overrightarrow{F}}(M^{\prime })-S_{\overrightarrow{F}}(M)=d{S}_{\overrightarrow{F}}$ ».

     Justification réciproque « 2^ème définition $\Rightarrow$ 1^ère définition » : Si « le travail élémentaire de $\overrightarrow{F}(M)$ est une différentielle exacte de la fonction énergétique notée temporairement $S_{\overrightarrow{F}}(M)$ », « le travail de $\overrightarrow{F}(M)$ entre $M_1$ et $M_2$ est égal à $S_{\overrightarrow{F}}(M_2)-S_{\overrightarrow{F}}(M_1)$ sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de $M_1$ à $M_2$ ».

Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative

     Préliminaire : Une force $\overrightarrow{F}(M)$ étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N. $($mais a priori non suffisantes$)$ pour qu'une force définie en un point $M$ d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;

     Préliminaire : quant au cas d'une force définie en un point $M$ d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », il est traité en fin de ce paragraphe.

     C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : Une force $\overrightarrow{F}(M)$, fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point $M$ notées $(x,y,z)$ est conservative si les dérivées croisées des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés $(dx,dy,dz)$ de son travail élémentaire $\delta W\left[\overrightarrow{F}\right](M)=\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ sont égales ce qui s'écrit, suivant le type de repérage,

• en repérage cartésien : $\left\{\begin{array}{ccc}{\left(\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)& =& {\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)\\ {\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)& =& {\left(\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)}_{y,z}(M)\\ {\left(\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)}_{x,y}(M)& =& {\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}\right)}_{x,z}(M)\end{array}\right\}$,
• en repérage cylindro-polaire : $\left\{\begin{array}{ccc}{\left[\frac{\partial F_{\rho }}{\partial \theta }\right]}_{\rho ,z}(M)& =& {\left[\frac{\partial (\rho F_{\theta })}{\partial \rho }\right]}_{\theta ,z}(M)\\ {\left[\frac{\partial F_{\rho }}{\partial z}\right]}_{\rho ,\theta }(M)& =& {\left[\frac{\partial F_z}{\partial \rho }\right]}_{\theta ,z}(M)\\ {\left[\frac{\partial (\rho F_{\theta })}{\partial z}\right]}_{\rho ,\theta }(M)& =& {\left[\frac{\partial F_z}{\partial \theta }\right]}_{\rho ,z}(M)\end{array}\right\}$ $\iff$ $\left\{\begin{array}{ccc}{\left[\frac{\partial F_{\rho }}{\partial \theta }\right]}_{\rho ,z}(M)& =& F_{\theta }(M)+\rho {\left[\frac{\partial F_{\theta }}{\partial \rho }\right]}_{\theta ,z}(M)\\ {\left[\frac{\partial F_{\rho }}{\partial z}\right]}_{\rho ,\theta }(M)& =& {\left[\frac{\partial F_z}{\partial \rho }\right]}_{\theta ,z}(M)\\ \rho {\left[\frac{\partial (F_{\theta })}{\partial z}\right]}_{\rho ,\theta }(M)& =& {\left[\frac{\partial F_z}{\partial \theta }\right]}_{\rho ,z}(M)\end{array}\right\}$ et
• en repérage sphérique : $\left\{\begin{array}{ccc}{\left\{\frac{\partial F_r}{\partial \theta }\right\}}_{r,\phi }(M)& =& {\left\{\frac{\partial \left[r{F}_{\theta }\right]}{\partial r}\right\}}_{\theta ,\phi }(M)\\ {\left\{\frac{\partial F_r}{\partial \phi }\right\}}_{r,\theta }(M)& =& {\left\{\frac{\partial [r\sin (\theta )F_{\phi }]}{\partial r}\right\}}_{\theta ,\phi }(M)\\ {\left\{\frac{\partial \left[r{F}_{\theta }\right]}{\partial \phi }\right\}}_{r,\theta }(M)& =& {\left\{\frac{\partial [r\sin (\theta )F_{\phi }]}{\partial \theta }\right\}}_{r,\phi }(M)\end{array}\right\}$ $\iff$ $\left\{\begin{array}{ccc}{\left\{\frac{\partial F_r}{\partial \theta }\right\}}_{r,\phi }(M)& =& F_{\theta }(M)+r{\left[\frac{\partial F_{\theta }}{\partial r}\right]}_{\theta ,\phi }(M)\\ {\left\{\frac{\partial F_r}{\partial \phi }\right\}}_{r,\theta }(M)& =& \sin (\theta )F_{\phi }(M)+r\sin (\theta ){\left[\frac{\partial F_{\phi }}{\partial r}\right]}_{\theta ,\phi }(M)\\ {\left[\frac{\partial F_{\theta }}{\partial \phi }\right]}_{r,\theta }(M)& =& \cos (\theta )F_{\phi }(M)+\sin (\theta ){\left[\frac{\partial F_{\phi }}{\partial \theta }\right]}_{r,\phi }(M)\end{array}\right\}$ ;

          C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3^ème dimension, la C.N. $($mais a priori non suffisante$)$ pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N. $($mais a priori non suffisantes$)$ pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une $\dots$

     C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative : Dans le cas d'une force $\overrightarrow{F}(M)$ où $M$ est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée $x$, le travail élémentaire de la force s'écrivant $\delta W\left[\overrightarrow{F}\right](M)=\overrightarrow{F}(M)\cdot d{M}_x{\overrightarrow{u}}_x$ ou $\delta W\left[\overrightarrow{F}\right](M)=F_{x}d{M}_x=\left(F_x\frac{d{M}_x}{dx}\right)dx$ est une différentielle exacte si $F_x\frac{d{M}_x}{dx}$ $($c'est-à-dire la fonction cœfficient de l'élément $dx$ du travail élémentaire$)$ ne dépend que de la variable $x$.

Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative

     Rappel de préliminaire : Une force $\overrightarrow{F}(M)$ étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S. pour qu'une force définie en un point $M$ d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;

     Rappel de préliminaire : quant au cas d'une force définie en un point $M$ d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », il est traité en fin de ce paragraphe.

     Ci-dessous le théorème de Poincaré appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S. pour qu'une force soit conservative.

Début d’un théorème

Théorème de Poincaré (appliqué aux forces bi ou tridimensionnelles)

     Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées sur un ouvert étoilé de son domaine de définition est une force conservative.

$\Updownarrow$

     Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire est fermé sur un ouvert étoilé de son domaine de définition est une force conservative.

Fin du théorème

     C.S. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative : Dans le cas d'une force $\overrightarrow{F}(M)$ où $M$ est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée $x$ le travail élémentaire de la force s'écrivant $\delta W\left[\overrightarrow{F}\right](M)=\overrightarrow{F}(M)\cdot d{M}_x{\overrightarrow{u}}_x$ ou $\delta W\left[\overrightarrow{F}\right](M)=F_{x}d{M}_x=\left(F_x\frac{d{M}_x}{dx}\right)dx$ est une différentielle exacte $[$c'est-à-dire la force $\overrightarrow{F}(M)$ est conservative pour $M\in$ à la courbe continue paramétré par $x]$ si $F_x\frac{d{M}_x}{dx}$ $($c'est-à-dire la fonction cœfficient de l'élément $dx$ du travail élémentaire$)$ ne dépend que de la variable $x$ en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable.

     Remarque : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N. pour qu'elles soient conservatives $[$à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour $M$ se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour $M$ se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par $x$ la fonction cœfficient de $dx$ ne dépendant que de $x$ ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire$]$ sont usuellement définies sur une partie étoilée et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives $($c'est-à-dire que leur travail élémentaire est une différentielle exacte$)$ sans vérifier le caractère étoilé de la partie sur laquelle elles sont définies.

Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative

1^ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »

1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative

     L'énergie potentielle d'un point matériel $M$ dans le champ de force conservative $\overrightarrow{F}(M)$ $[$ou énergie potentielle du point $M$ dont dérive la force conservative $\overrightarrow{F}(M)]$ est le champ scalaire $U_{\overrightarrow{F}}(M)$ tel que « le travail élémentaire de $\overrightarrow{F}(M)$ s'identifie à l'opposé de la différentielle de $U_{\overrightarrow{F}}(M)$ » soit «$\delta W[\overrightarrow{F}(M)]=-d{U}_{\overrightarrow{F}}$» ou «$\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=-d{U}_{\overrightarrow{F}}$» ;

     dans le S.I. des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en $J$.

Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »

     $1$ : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « référence de l'énergie potentielle dont dérive la force conservative » c'est-à-dire l'« endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle ».

     $2$ : Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées est la différence de l'énergie potentielle du point matériel dans le champ de force conservative entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie soit «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}[\overrightarrow{F}(M)]={\int }_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ indépendant de $(\Gamma )$» se réécrit avec $\delta W[\overrightarrow{F}(M)]=-d{U}_{\overrightarrow{F}}$ «$W_{M_1\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_2}[\overrightarrow{F}(M)]=U_{\overrightarrow{F}}(M_1)-U_{\overrightarrow{F}}(M_2)=$ $-\Delta U_{\overrightarrow{F}}$».

2^ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »

2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative

     On appelle énergie potentielle d'un point matériel $M$ dans un champ de force conservative $\overrightarrow{F}(M)$ $[$ou énergie potentielle du point matériel $M$ dont dérive la force conservative $\overrightarrow{F}(M)]$, le champ scalaire $U_{\overrightarrow{F}}(M)$ tel que son gradient $\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U_{\overrightarrow{F}}\right](M)$ soit l'opposé de la force $\overrightarrow{F}(M)$ c'est-à-dire «$\overrightarrow{F}(M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U_{\overrightarrow{F}}\right](M)$».

     Justification de l'équivalence : la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel $U_{\overrightarrow{F}}(M)$ dont dérive la force conservative $\overrightarrow{F}(M)$ étant «$\overrightarrow{F}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=-d{U}_{\overrightarrow{F}},\mathrm{\forall }\overrightarrow{dM}$» et
           Justification de l'équivalence : le gradient du champ scalaire $U_{\overrightarrow{F}}(M)$ étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel $\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U_{\overrightarrow{F}}\right](M)$ tel que sa circulation élémentaire soit la différentielle du champ scalaire c'est-à-dire «$\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U_{\overrightarrow{F}}\right](M)\cdot \overrightarrow{dM}=d{U}_{\overrightarrow{F}},\mathrm{\forall }\overrightarrow{dM}$»,
           Justification de l'équivalence : on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «$\{\overrightarrow{F}(M)+\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U_{\overrightarrow{F}}\right](M)\}\cdot \overrightarrow{dM}=0,\mathrm{\forall }\overrightarrow{dM}$» et par suite «$\overrightarrow{F}(M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U_{\overrightarrow{F}}\right](M)$» ;
           Justification de l'équivalence : réciproquement si on multiplie chaque membre de $\overrightarrow{F}(M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U_{\overrightarrow{F}}\right](M)$ scalairement par $\overrightarrow{dM}$, on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force $\overrightarrow{F}(M)$ et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle c'est-à-dire la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative.

1^ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique

     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel $M$ dans un référentiel galiléen, entre un instant initial $t_1$ et un instant final $t_2$, en distinguant
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique $▸$les « forces conservatives » ${\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}(M)$ dont on utilise le caractère conservatif
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique $▸$les « forces conservatives » ${\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}(M)$ en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée $U_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}(M)$
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique $▸$des « forces non conservatives » ${\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)$,
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique soit «$\sum _j{W}_{M_1\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_2}[{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}(M)]+\sum _i{W}_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}[{\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)]=K_M(t_2)-K_M(t_1)=\Delta K_M$» où on remplace le travail de chaque force conservative par «$W_{M_1\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_2}[{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}(M)]=U_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}(M_1)-U_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}(M_2)=-\Delta U_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}$» $\Rightarrow$ «$\sum _j{W}_{M_1\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_2}[{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}(M)]=\sum _j[-\Delta U_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}]=-\Delta \left[\sum _j{U}_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}\right]$» d'où

     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «$-\Delta \left[\sum _j{U}_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}\right]+\sum _i{W}_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}[{\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)]=\Delta K_M$» soit encore,
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique en transposant les termes d'énergies potentielles $($ce qui entraîne un changement de signe$)$,
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «$\sum _i{W}_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}[{\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)]=\Delta [K_M+\sum _j{U}_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}]$» c'est-à-dire une relation définissant une nouvelle grandeur énergétique, somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur restant constante en absence de travail des forces non conservatives ;

     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique on comprend donc l'importance du signe $-$ dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, «$-\Delta U_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}$ devenant, lors du changement de membre, $+\Delta U_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}$» $\Rightarrow$ « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives ne travaillent pas » est la « somme » $($et non la différence$)$ de termes ;

     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «$K_M+\sum _j{U}_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}$» est le résultat de $2$ contributions $▸$«$K_M$» dépendant de la cinétique du point et
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «$K_M+\sum _j{U}_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}$» est le résultat de $2$ contributions $▸$«$\sum _j{U}_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}$» dépendant de la position du point
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «$K_M+\sum _j{U}_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}$» est le résultat de $2$ contributions $▸$«$\sum _j{U}_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}$» dans le champ de forces conservatives.

Exemples de forces « non conservatives »

La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives »

Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide

     La réaction $\overrightarrow{R}$ d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel $M$ est non conservative ;

     $\succ$si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de $M$ sur le solide selon $(\Gamma )$ $[$une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de $M_1$ à $M_2]$,
     $\succ$si le contact est sans frottement et s'il y a glissement «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{R})=0$» car $\overrightarrow{R}\perp$ à la surface du solide en $M$ est toujours $\perp$ au vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dM}$ ;
     $\succ$si le contact est sans frottement et s'il y a glissement en conclusion « la réaction d'un solide sur un point $M$ y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ;

     $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de $M$ sur le solide selon $(\Gamma )$ $[$une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de $M_1$ à $M_2]$,
     $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{R})=W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{R_{\tau }})<0$», la composante tangentielle de la réaction ${\overrightarrow{R}}_{\tau }$ étant toujours colinéaire et de sens opposé au
          $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{R})=W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{R_{\tau }})<0$», la composante tangentielle de la réaction ${\overrightarrow{R}}_{\tau }$ étant vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dM}$
     $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement $[$la courbe $(\Gamma )$ étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\overrightarrow{\tau }$, on peut écrire
        $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement le vecteur déplacement élémentaire «$\overrightarrow{dM}=ds\overrightarrow{\tau }$» $\{s$ abscisse curviligne de $M$ sur $(\Gamma )$ à partir de l'origine $A$ sur $(\Gamma )\}$ et
        $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide «${\overrightarrow{R}}_{\tau }=\overline{R_{\tau }}\overrightarrow{\tau }$» avec $\overline{R_{\tau }}=\left\{\begin{array}{cc}-\Vert {\overrightarrow{R}}_{\tau }\Vert & \text{si }ds>0\\ \Vert {\overrightarrow{R}}_{\tau }\Vert & \text{si }ds<0\end{array}\right\}$ soit, avec
        $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb du frottement solide avec glissement «$\Vert {\overrightarrow{R}}_{\tau }\Vert ={\mu }_d{R}_n$» avec
             $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb «${\mu }_d$ le cœfficient de frottement dynamique » et
             $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb «$R_n>0$ la composante normale de la réaction », d'où
        $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement l'expression du travail de la force de frottement «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{R_{\tau }})={\int }_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}{\overrightarrow{R}}_{\tau }\cdot \overrightarrow{dM}$ $={\int }_{s_1}^{s_2}-\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(ds){\mu }_d{R}_n(s)ds$» soit,
        $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de $\overrightarrow{\tau }$, «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{R_{\tau }})=-{\mu }_d{\int }_{s_1}^{s_2}{R}_n(s)ds<0$» et,
        $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de $\overrightarrow{\tau }$, pour $R_n(s)=cste=R_{n,0}$, «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{R_{\tau }})=-{\mu }_d{R}_{n,0}(s_2-s_1)<0$»,
        $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement $($dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante$)$
        $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi,
        $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que ceci restant vrai même si $R_n(s)$ n'est pas constante$]$ ;
        $\succ$si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « la réaction d'un solide sur un point $M$ y glissant avec frottement solide développe un travail négatif »,
        $\succ$si

le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « la force de frottement ${\overrightarrow{R}}_{\tau }$ est donc toujours « résistive » $($on la qualifie aussi de « dissipative »$)$.

Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non

     La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ d'un point matériel $M$ dans un fluide est non conservative, que le frottement soit linéaire, quadratique ou autres ;
          La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ son travail le long de la courbe $(\Gamma )$ suivie par $M$ pour aller de $M_1$ à $M_2$, «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}({\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}})={\int }_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}{\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ est $<0$» car,
          La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ pour un solide assimilable à un point matériel, ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}(M)$ est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dM}$
         La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ $[$la courbe $(\Gamma )$ étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet $\overrightarrow{\tau }$, on peut écrire
           La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ le vecteur déplacement élémentaire «$\overrightarrow{dM}=ds\overrightarrow{\tau }$» où $s$ est l'abscisse curviligne de $M$ sur $(\Gamma )$ mesurée à partir de l'origine $A$ sur celle-ci et
           La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ la force de frottement fluide «${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}={\overline{ℛ}}_{\text{flu}}\overrightarrow{\tau }$» avec ${\overline{ℛ}}_{\text{flu}}=\left\{\begin{array}{cc}-\Vert {\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}\Vert & \text{si }ds>0\\ \Vert {\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}\Vert & \text{si }ds<0\end{array}\right\}$, $|{\overline{ℛ}}_{\text{flu}}|$ fonction $\nearrow$ de $\Vert {\overrightarrow{V}}_M(t)\Vert =|v_M(t)|=|{\dot{s}}_M(t)|$,
           La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}({\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}})={\int }_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}{\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ $={\int }_{s_1}^{s_2}-\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(ds)\Vert {\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}[\dot{s}(t)]\Vert ds$»
           La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de $\overrightarrow{\tau }$, «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{R_{\tau }})=-{\int }_{t_1}^{t_2}\Vert {\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}[v(t)]\Vert v(t)dt<0$» et,
           La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de $\overrightarrow{\tau }$, pour une forme quadratique de force de frottement fluide $\Vert {\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}[v(t)]\Vert =h^{\prime }{v}^2(t)$ avec $h^{\prime }$
           La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de $\overrightarrow{\tau }$, pour une forme quadratique constante positive caractéristique de la viscosité dynamique du fluide
           La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de $\overrightarrow{\tau }$, pour une forme quadratique constante positive caractéristique et de la densité de ce dernier,
           La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de $\overrightarrow{\tau }$, pour une forme quadratique «$W_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{R_{\tau }})=-h^{\prime }{\int }_{t_1}^{t_2}{v}^3(t)dt<0$»,
           La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ ce résultat permettant d'établir $($dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide$)$,
             La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ ce résultat permettant d'établir à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée ainsi que celle d'abscisse curviligne du point,
             La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ ce résultat permettant d'établir que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi,
             La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ ce résultat permettant d'établir que ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide$]$ ;
          La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ sur un point $M$ développe un travail négatif »,
          La résistance à l'avancement ${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}$ en conclusion «${\overrightarrow{ℛ}}_{\text{flu}}(M)$ est donc toujours « résistive » $($on la qualifie aussi de « dissipative »$)$.

     Remarque : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position ne définit pas un champ de forces et qu'il est par conséquent inutile d'envisager son caractère conservatif, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif.

Forces de liaison par fil idéal tendu

     La force $\overrightarrow{T}$ exercée par un fil idéal tendu sur un point matériel $M$ dont la norme $T=\Vert \overrightarrow{T}\Vert$ définit la tension du fil idéal est non conservative, son travail élémentaire $\delta W(\overrightarrow{T})=$ $\overrightarrow{T}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ n’étant en général pas une différentielle exacte.

     Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel $M$ de masse $m$ à l'aide d'une corde idéale
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel $M$ dans le champ de pesanteur terrestre $\overrightarrow{g}$ uniforme ;
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur $M$ s'exercent $▸$son poids $m\overrightarrow{g}$ qui fait que le point $\downarrow$ en absence d'autres forces et
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur $M$ s'exercent $▸$la réaction $\overrightarrow{T}$ de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur $M$ s'exercent $▸$la réaction $\overrightarrow{T}$ verticale $\uparrow$ ;

           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : l'application de la r.f.d.n. au point $M$ dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : «$m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}=m{\overrightarrow{a}}_M(t)$» ou, en prenant ${\overrightarrow{u}}_z$ vecteur unitaire vertical $\uparrow$,
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : «$-mg{\overrightarrow{u}}_z+T{\overrightarrow{u}}_z=m{a}_{M,z}(t){\overrightarrow{u}}_z$» $\Rightarrow$ «$T=m[g+a_{M,z}(t)]$» c'est-à-dire que
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : « la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point $M$» ;

           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour hisser $M$ d'une position $M_1$ à une position $M_2$ on peut régler le mouvement de montée
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : $[$c'est-à-dire qu'on peut régler $a_{M,z}(t)$ en modifiant la tension de la corde$]$ et
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de $\overrightarrow{T}$ exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de $\overrightarrow{T}$ ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où «$\overrightarrow{T}$ non conservatif » ;

           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\uparrow$, $a_{M,z}(t)$ doit être $>0$, le travail élémentaire de $\overrightarrow{T}$ exercée par la corde s’écrivant
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\uparrow$, «$\delta W(\overrightarrow{T})=\overrightarrow{T}\cdot \overrightarrow{dM}=T{\overrightarrow{u}}_z\cdot dz{\overrightarrow{u}}_z=Tdz$ avec $dz>0$» est tel que
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\uparrow$, «$\delta W(\overrightarrow{T})=m[g+a_{M,z}(t)]dz$ est $>0$», $\Rightarrow$
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\uparrow$, le travail de $\overrightarrow{T}$ pour $M$ montant de $M_1$ à $M_2$ le long de la verticale $(\zeta )$ s'écrit
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\uparrow$, «$W_{M_1\stackrel{(\zeta )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{T})={\int }_{M_1\stackrel{(\zeta )}{\to }{M}_2}\overrightarrow{T}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ $={\int }_{z_1}^{z_2}m[g+a_{M,z}(t)]dz>0$»
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\uparrow$, d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de $(\zeta )$ pour terminer l'évaluation,
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\uparrow$, celle-ci vérifiant que le travail de $\overrightarrow{T}$ ne dépend pas que des positions extrêmes
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\uparrow$, $\Rightarrow$ la force $\overrightarrow{T}$ exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et
           Exemple de la$\uparrow$verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\uparrow$, $\Rightarrow$ la force $\overrightarrow{T}$ exercée par la corde est d'autre part « motrice ».

     Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent relatif à la $\uparrow$ du point matériel $M$, on a établi que
           Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force $\overrightarrow{T}$ exercée par la corde sur $M$ s'écrit
           Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force $\overrightarrow{T}=m[g+a_{M,z}(t)]{\overrightarrow{u}}_z$, ${\overrightarrow{u}}_z$ unitaire vertical $\uparrow$ ;
           Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\downarrow$, $a_{M,z}(t)$ doit être $<0$ $\Rightarrow$ le travail élémentaire de $\overrightarrow{T}$ exercée par la corde
           Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\downarrow$, «$\delta W(\overrightarrow{T})=\overrightarrow{T}\cdot \overrightarrow{dM}=T{\overrightarrow{u}}_z\cdot dz{\overrightarrow{u}}_z=Tdz$ où $\left\{\begin{array}{c}dz<0\\ T>0\end{array}\right\}$» suit
           Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\downarrow$, «$\delta W(\overrightarrow{T})=m[g+a_{M,z}(t)]dz<0$», $\Rightarrow$ le travail de $\overrightarrow{T}$ pour $M$ $\downarrow$ de
           Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\downarrow$, $M_1$ à $M_2$ le long de la verticale $(\zeta )$ s'écrit $W_{M_1\stackrel{(\zeta )}{\to }{M}_2}(\overrightarrow{T})=$
           Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\downarrow$, $M_1$ à $M_2$ ${\int }_{M_1\stackrel{(\zeta )}{\to }{M}_2}\overrightarrow{T}(M)\cdot \overrightarrow{dM}$ $={\int }_{z_1}^{z_2}m[g+a_{M,z}(t)]dz<0$
           Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\downarrow$, d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de $(\zeta )$ pour terminer,
           Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\downarrow$, d'où $\Rightarrow$ le travail de $\overrightarrow{T}$ ne dépend pas que des positions extrêmes et
           Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\downarrow$, d'où $\Rightarrow$ la force $\overrightarrow{T}$ exercée par la corde est d'une part « non conservative » et
           Exemple de la$\downarrow$verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une $\downarrow$, d'où $\Rightarrow$ la force $\overrightarrow{T}$ exercée par la corde est d'autre part « résistive ».

     En conclusion, la force $\overrightarrow{T}$ exercée par une corde idéale sur un point $M$ est « non conservative » et
           En conclusion, la force $\overrightarrow{T}$ exercée par une corde idéale sur un point $M$ développe « un travail positif ou négatif », $\overrightarrow{T}(M)$ est donc « motrice ou résistive ».

Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal

     Parmi toutes les forces de contact $[$détaillées dans le chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »$]$ qu'un point $M$ peut subir c'est l'« unique force de contact conservative », elle sera étudiée au paragraphe « 3^ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point » plus bas dans ce chapitre.

Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)

Énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservatives(s)

     L'« énergie mécanique d'un point matériel $M$ dans le champ de forces conservatives $\sum _j{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}(M)$»
     L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire $E_{m,M}(t)$ définie à l'instant $t$ dans le référentiel d'étude $ℛ$ selon
  L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire «$E_{m,M}(t)=K_M(t)+\sum _j{U}_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}(M)$» avec
  L'« énergie mécanique est la grandeur scal $\succ$«$K_M(t)$ l'énergie cinétique du point à l'instant $t$» dans le référentiel $ℛ$ et
  L'« énergie mécanique est la grandeur scal $\succ$«$\sum _j{U}_{{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}}(M)$ l'énergie potentielle de $M$ dans le champ de forces conservatives
                                   L'« énergie mécanique est la grandeur scal $\succ$ l'énergie potentielle de $M$ dans le champ de $\sum _j{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}(M)$»,
  L'« énergie mécanique est la grandeur scal $\succ$ cette énergie ne dépendant pas explicitement de $t$ et
  L'« énergie mécanique est la grandeur scal $\succ$ cette énergie étant indépendante du référentiel $ℛ$.

     Dans le S.I. des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en $J$ ;

     l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « référence de l'énergie potentielle dont dérive le champ de forces conservatives » c'est-à-dire l'« endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle ».

Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)

     Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I.,
     seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « Point matériel à mouvement conservatif » plus bas dans ce chapitre et
     seuls les cas de conservation détaillés au chap.$17$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
     seuls les cas de conservation introduitssont explicitement au programme de physique de P.C.S.I..

Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)

Début d’un théorème

Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)

     Dans un référentiel $ℛ$ galiléen, « le travail $\sum _i{W}_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}[{\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)]$ des forces non conservatives ${\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)$ appliquées à un point matériel $M$ lors de son déplacement sur la courbe $(\Gamma )$ de $M_1$ à $M_2$ relativement à $ℛ$» est égale à « la variation de l'énergie mécanique de $M$ dans le champ de force(s) conservative(s) $\sum _j{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}(M)$ définie dans $ℛ$ entre les instants $t_1$ et $t_2$ correspondants $\Delta E_{m,M}=E_{m,M}(t_2)-E_{m,M}(t_1)$» soit «$\sum _i{W}_{M_1\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_2}[{\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)]=E_{m,M}(t_2)-E_{m,M}(t_1)=\Delta E_{m,M}$».

Fin du théorème

     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie dans un référentiel galiléen
     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique sont les travaux$($non nuls$)$des forces non conservatives sur cette même durée.

Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s)

Début d’un théorème

Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservative(s)

     Dans un référentiel $ℛ$ galiléen, « le travail élémentaire $\sum _i\delta W[{\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)]$ des forces non conservatives ${\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)$ appliquées à un point matériel $M$ lors de son déplacement élémentaire dans $ℛ$ $($selon n'importe quelle direction$)$» est égale à « la différentielle de l'énergie mécanique de $M$ dans le champ de force(s) conservative(s) $\sum _j{\overrightarrow{F}}_{j,\text{cons.}}(M)$ définie dans $ℛ$ à partir de l'instant $t$ $d{E}_{m,M}=E_{m,M}(t+dt)-E_{m,M}(t)$ » soit «$\sum _i\delta W[{\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)]=E_{m,M}(t+dt)-E_{m,M}(t)=d{E}_{m,M}$».

Fin du théorème

     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) dans un référentiel galiléen
     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique sont les travaux élémentaires$($non nuls$)$des forces non conservatives.

Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)

     La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « 1^ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ;

     le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser $t_1=t$ et $t_2=t+dt$ $\{$en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car $dt$ y est toujours aussi petit que possible$\}$.

Point matériel « à mouvement conservatif »

Définition d'un point matériel « à mouvement conservatif »

     Un point matériel $M$ est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel $ℛ$
     Un point matériel $M$ est dit « à mouvement conservatif » s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou
     Un point matériel $M$ est dit « à mouvement conservatif » si les éventuelles forces non conservatives ne travaillent pas.

     Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante :

« Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée ».

2^ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative

Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative

     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel $M$ dont dérive la force conservative ${\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}(M)$ qui lui est imposé dans un référentiel $ℛ$ galiléen,
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur $M$ une force motrice ${\overrightarrow{F}}_{\text{mot}}(M)$ compensant à chaque instant $t$ la force conservative ${\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}(M)$ et
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur $M$ une force motrice ${\overrightarrow{F}}_{\text{mot}}(M)$ permettant le déplacement du point d'une position initiale $M_{\text{ini}}$ vers une position finale $M_{\text{fin}}$
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur $M$ une force motrice ${\overrightarrow{F}}_{\text{mot}}(M)$ permettant le déplacement du point de façon « quasi-statique »,

     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle « le travail développé dans $ℛ$ par la force motrice $W_{M_{\text{ini}}\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{\text{mot}})$» constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative ${\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}(M)$ en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives à déplacement quasi-statique » soit
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «$W_{M_{\text{ini}}\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{\text{mot}})=\Delta E_{m,M}=\cancel{\Delta K_M+}\Delta U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}=U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}})-U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})$»
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «$W_{M_{\text{ini}}\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{\text{mot}})=\Delta E_{m,M}=\cancel{\Delta K_M+}\Delta U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}$ $\Downarrow$
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «$W_{M_{\text{ini}}\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{\text{mot}})=\Delta E_{m,M}$ «$U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}})=U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})+W_{M_{\text{ini}}\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{\text{mot}})$».

Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative

     En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou
                       En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « une force de frottement solide »,
           En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel $M$, dans le référentiel d'étude $ℛ$ supposé galiléen,
           En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel $M$, une force motrice ${\overrightarrow{F}}_{\text{mot}}(M)$ compensant à chaque instant $t$ la force conservative ${\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}(M)$, soit
         En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel $M$, une force motrice «${\overrightarrow{F}}_{\text{mot}}(M)=-{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}(M),\mathrm{\forall }t$» et

           En l'absence de forces non conservatives on applique à $M$ dans $ℛ$ galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative ${\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}(M)$ soit
           En l'absence de forces non conservatives «$W_{M_{\text{ini}}\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{\text{mot}})\cancel{+\sum _i{W}_{M_{\text{ini}}\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons. à trav. nul}})}=\Delta E_{m,M}=E_m(M_{\text{fin}})-E_m(M_{\text{ini}})$» avec,
           En l'absence de forces non conservatives compte-tenu du déplacement quasi-statique de $M$, «$E_{m,M}(t)=K_M(t)+U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M)\simeq U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M)$» soit finalement
           En l'absence de forces non conservatives «$W_{M_{\text{ini}}\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{\text{mot}})=\Delta U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}=U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}})-U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\left(𝔞\right)$».

           En l'absence de forces non conservatives Or la force motrice étant choisie telle que ${\overrightarrow{F}}_{\text{mot}}(M)=-{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}(M),\mathrm{\forall }t$, on en déduit «$W_{M_{\text{ini}}\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{\text{mot}})=-W_{M_{\text{ini}}\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}})$»
           En l'absence de forces non conservatives d'où, par report dans la relation $\left(𝔞\right)$, «$-W_{M_{\text{ini}}\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}})=\Delta U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}=U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}})-U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})$» dont on déduit la propriété suivante
           En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation $\left(𝔞\right)$, «$W_{M_{\text{ini}}\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_{\text{fin}}}({\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}})=-\Delta U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}$» ou, en considérant un déplacement élémentaire $\overrightarrow{dM}$ quelconque,
           En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation $\left(𝔞\right)$, «$\delta W({\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}})=U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M_t)-U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M_{t+dt})=-d{U}_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}(M)$»
           En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation $\left(𝔞\right)$, «$\delta W({\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}})$ $\Downarrow$
           En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation $\left(𝔞\right)$, «${\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}(M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[U_{{\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}}\right](M)$»
           En l'absence de forces non conservatives ce qui justifie la présence du signe «$-$» dans les définitions de l'énergie potentielle de $M$ dans le champ de la force conservative ${\overrightarrow{F}}_{\text{cons.}}(M)$.

Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique »

Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) »

     La puissance mécanique d'un point matériel $M$ dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude $ℛ$ à l'instant $t$ est la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point $M$ dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel $ℛ$ et au même instant $t$ c'est-à-dire $\frac{d{E}_{m,M}}{dt}(t)$ $[$comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte ${\dot{E}}_{m,M}(t)]$.

Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique »

     À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel $M$ dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel $ℛ$ galiléen sur une durée élémentaire $dt$,
     À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par $dt$ soit
           À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale «$\frac{\sum _i\delta W[{\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)]}{dt}=\frac{d{E}_{m,M}}{dt}$» ou,
     À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant la puissance mécanique du point $M$ à l'instant $t$ dans le membre de droite et
     À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant la puissance des forces non conservatives appliquée à $M$ au même instant $t$ dans le membre de gauche

«$\sum _i𝒫[{\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)]={\dot{E}}_{m,M}(t)$».

Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) »

Début d’un théorème

Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)

     Dans un référentiel galiléen ${ℛ}_{\text{gal}}$, la puissance mécanique d'un point matériel $M$ dans un champ de force(s) conservatives(s) à l'instant $t$ est égale à la somme des puissances des forces non conservatives appliquées au point $M$ au même instant $t$ soit «$\sum _i𝒫[{\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)](t)={\dot{E}}_{m,M}(t)$».

Fin du théorème

     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) dans un référentiel galiléen
     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique sont les puissances$($non nulles$)$des forces non conservatives.

Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif »

     On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous :

     Définition$($équivalente$)$ : Un point matériel $M$ est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel $ℛ$ si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou
     Définition$($équivalente$)$ : Un point matériel $M$ est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel $ℛ$ si les éventuelles forces non conservatives ne développent aucune puissance soit
          Définition$($équivalente$)$ : Un point matériel $M$ est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel $ℛ$ si les éventuelles forces non conservatives «$\sum _i𝒫[{\overrightarrow{F}}_{i,\text{non cons.}}(M)](t)=0$».

     Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel $M$ à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen
     Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que
     Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » « l'énergie mécanique du point$M$à mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen ».

1^er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point »

Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)

     Supposant le champ de pesanteur terrestre $\overrightarrow{g}$ « uniforme », le poids d'un point matériel $M$ de masse $m$ s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec ${\overrightarrow{u}}_z$ vertical ascendant,
           Supposant le champ de pesanteur terrestre $\overrightarrow{g}$ « uniforme », le poids d'un point matériel $M$ de masse $m$ s'écrit, «$m\overrightarrow{g}=-mg{\overrightarrow{u}}_z$» où $g=\Vert \overrightarrow{g}\Vert$ est l'intensité de la pesanteur terrestre ;

     pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «$\delta W(m\overrightarrow{g})=m\overrightarrow{g}\cdot \overrightarrow{dM}$» et
     pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte soit, en cartésien,
     pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «$\delta W(m\overrightarrow{g})=[-mg{\overrightarrow{u}}_z]\cdot [dx{\overrightarrow{u}}_x+dy{\overrightarrow{u}}_y+dz{\overrightarrow{u}}_z]=-mgdz$» qui est effectivement une différentielle exacte dans la mesure où « le cœfficient de $dz$ ne dépend que de $z$ et est intégrable sur tout ouvert de $ℝ$» $($en effet, le cœfficient de $dz$ est une constante$)$ d'où

« le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme $m\overrightarrow{g}$ est une force conservative ».

« Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)

     L'énergie potentielle du point matériel $M$ dans le champ de pesanteur terrestre uniforme encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée $U_{\text{pes}}(M)$,
           L'énergie potentielle du point matériel $M$ dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par «$\delta W(m\overrightarrow{g})=-d{U}_{\text{pes}}$» soit «$-mgdz=-d{U}_{\text{pes}}$» ou
           L'énergie potentielle du point matériel $M$ dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par «$\frac{d{U}_{\text{pes}}}{dz}=mg$» $\Rightarrow$ «$U_{\text{pes}}(M)=U_{\text{pes}}(z)=mgz+cste$» ;

     en choisissant la référence de l'énergie potentielle de pesanteur en$z=0($niveau du sol$)$ c'est-à-dire $U_{\text{pes}}(0)=0$, on en déduit «$U_{\text{pes}}(z)=mgz$».

     À retenir : Si l'axe $Oz$ est vertical $\uparrow$, «$U_{\text{pes}}(z)=mgz$ avec la référence en $z=0$» $[$l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction $\nearrow$ de l'altitude $z]$ ;

     À retenir : si l'axe $Oz$ est vertical $\downarrow$, on obtient, « avec la même référence, $U_{\text{pes}}(z)=-mgz$» $[$l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction $\searrow$ de la profondeur $z]$.

Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)

     Toute énergie potentielle d'un point matériel $M$ est une « réserve d'énergie pour $M$» $▸$utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie $($par exemple
     Toute énergie potentielle d'un point matériel $M$ est une « réserve d'énergie pour $M$» $▸$utilisable pour « être transformée spontanément en énergie cinétique$)$» et
     Toute énergie potentielle d'un point matériel $M$ est une « réserve d'énergie pour $M$» $▸$« dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ;

cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :

     $\succ$ un point matériel $M$ au repos à une altitude $z$, possède l’énergie potentielle de pesanteur $U_{\text{pes}}(z)=mgz>0$ si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et
     $\succ$ un point matériel $M$ au repos à une altitude $z$, possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ;
     $\succ$ abandonné à lui-même, il chute spontanément en acquérant de l’énergie cinétique $K_M\nearrow$ à partir de $0$ et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur $\searrow$,
    $\succ$ abandonné à lui-même, la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air » $\dots$

     $\succ$ si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle $($c'est-à-dire le replacer à l'altitude initiale $z)$, il faut exercer sur lui une force motrice ${\overrightarrow{F}}_{\text{mot}}(M)$ $\uparrow$ de manière « quasi-statique »,
     $\succ$ si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire $($énergie potentielle pour nous$)$
     $\succ$ si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation en énergie potentielle de pesanteur de $M$ $\Rightarrow$ sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur $\nearrow$,
     $\succ$ si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à $M$ $\Rightarrow$ «$E_m(M_z)-E_m(M_0)=U_{\text{pes}}(M_z)-U_{\text{pes}}(M_0)$
           $\succ$ si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à $M$ $\Rightarrow$ «$E_m(M_z)-E_m(M_0)$ $=W_{M_0\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_z}({\overrightarrow{F}}_{\text{mot}})>0$» ;
     $\succ$ la force motrice ${\overrightarrow{F}}_{\text{mot}}(M)$ à exercer pour que le mouvement de $M$ se fasse de façon « quasi-statique » est l'opposé de $m\overrightarrow{g}$ soit «${\overrightarrow{F}}_{\text{mot}}(M)=-m\overrightarrow{g}$» dont on tire
     $\succ$ la force motrice ${\overrightarrow{F}}_{\text{mot}}(M)$ à exercer «$W_{M_0\stackrel{(\Gamma )}{\to }{M}_z}({\overrightarrow{F}}_{\text{mot}})=W_{M_0\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_z}(-m\overrightarrow{g})=-W_{M_0\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_z}(m\overrightarrow{g})$» d'où «$U_{\text{pes}}(M_z)-U_{\text{pes}}(M_0)=-W_{M_0\stackrel{\cancel{(\Gamma )}}{\to }{M}_z}(m\overrightarrow{g})$».

2^ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point »

Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique », c'est une bonne approximation pour
le Soleil « ☉ » et les planètes qui gravitent autour de lui $($dont la Terre « ♁ »$)$ ainsi que
les plus gros satellites naturels de ces planètes $($dont la Lune « ☽ »$)$.

Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre

     On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre $O_{𝒜}$ de l'astre $𝒜$ de masse $m_{𝒜}$ et de rayon $R_{𝒜}$, les coordonnées sphériques du point matériel $M$ de masse $m$ sont $(r,\theta ,\phi )$ et
            On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre $O_{𝒜}$ de l'astre $𝒜$ de masse $m_{𝒜}$ et de rayon $R_{𝒜}$, la base sphérique liée à $M$, $({\overrightarrow{u}}_r,{\overrightarrow{u}}_{\theta },{\overrightarrow{u}}_{\phi })$ ;

     la position de $M$ restant à l'extérieur de l'astre $𝒜$ c'est-à-dire telle que $r>R_{𝒜}$, l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point $M$ égal à
     la position de $M$ restant à l'extérieur de l'astre $𝒜$ c'est-à-dire telle que $r>R_{𝒜}$, l'astre crée autour de lui «${\overrightarrow{G}}_{𝒜}(M)=-\frac{𝒢m_{𝒜}}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$», «$𝒢$ étant la constante de gravitation universelle
     la position de $M$ restant à l'extérieur de l'astre $𝒜$ c'est-à-dire telle que $r>R_{𝒜}$, l'astre crée autour de lui «${\overrightarrow{G}}_{𝒜}(M)=-𝒢m_{𝒜}{\overrightarrow{u}}_r$», « $𝒢\simeq 6,6710^{-11}S.I.$» et

     la position de $M$ restant à l'extérieur de l'astre $𝒜$ le point matériel $M$ de masse $m$ subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow 𝒜}=m{\overrightarrow{G}}_{𝒜}(M)=-\frac{𝒢m_{𝒜}m}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$».

     la position de $M$ restant à l'extérieur de l'astre $𝒜$ La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel $M$ de masse $m$ s’écrit donc «${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow (\text{♁})}=m{\overrightarrow{G}}_{\text{♁}}(M)=-\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$».

Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre

     Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle ${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow 𝒜}=m{\overrightarrow{G}}_{𝒜}(M)=-\frac{𝒢m_{𝒜}m}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$ que l'astre $𝒜$ à symétrie sphérique exerce sur le point matériel $M$,
     pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «$\delta W({\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow 𝒜})={\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow 𝒜}\cdot \overrightarrow{dM}$» et
     pour prouver le caractère conservatif on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte soit, en sphérique,
     pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «$\delta W({\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow 𝒜})=[-\frac{𝒢m_{𝒜}m}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r]\cdot [dr{\overrightarrow{u}}_r+rd\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }+r\sin (\theta )d\phi {\overrightarrow{u}}_{\phi }]$ $=-\frac{𝒢m_{𝒜}m}{r^2}dr$» qui est effectivement une différentielle exacte car « le cœfficient de $dr$ ne dépend que de $r$ et est intégrable sur tout ouvert de ${ℝ}_{+}^{\ast }$» $($en effet, le cœfficient de $dr$ est une fonction en $\frac{-1}{r^2}$ qui s'intègre en $\frac{1}{r})$

d'où « la force d'attraction gravitationnelle ${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow 𝒜}=m{\overrightarrow{G}}_{𝒜}(M)=-\frac{𝒢m_{𝒜}m}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$ que l'astre $𝒜$ à symétrie sphérique exerce sur le point matériel $M$ est une force conservative »,
$\Downarrow$
« la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel $M$ de masse $m$ à savoir ${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow (\text{♁})}=m{\overrightarrow{G}}_{\text{♁}}(M)=-\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$ est une force conservative ».

Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre

     L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel $M$ dans le champ de gravitation créé par l'astre $𝒜$ à symétrie sphérique notée $U_{\text{gravit}\leftarrow 𝒜}(M)$,
     L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel $M$ se définit par «$\delta W({\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow 𝒜})=-d{U}_{\text{gravit}\leftarrow 𝒜}$» soit «$-\frac{𝒢m_{𝒜}m}{r^2}dr=-d{U}_{\text{gravit}\leftarrow 𝒜}$» ou «$\frac{d{U}_{\text{gravit}\leftarrow 𝒜}}{dr}=\frac{𝒢m_{𝒜}m}{r^2}$»
     L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel $M$ se détermine $\Rightarrow$ «$U_{\text{gravit}\leftarrow 𝒜}(M)=U_{\text{gravit}\leftarrow 𝒜}(r)=-\frac{𝒢m_{𝒜}m}{r}+cste$»,
     L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel $M$ se détermine $[$l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre $𝒜$ est une fonction $\nearrow$ de la distance $r$ de $M$ au centre $O_{𝒜}$ de l'astre$]$.

     En choisissant la référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique à l'$\mathrm{\infty }$ de ce dernier c'est-à-dire $\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{U}_{\text{gravit}\leftarrow 𝒜}(r)=0$, on obtient «$U_{\text{gravit}\leftarrow 𝒜}(r)=-\frac{𝒢m_{𝒜}m}{r}$» ;

$\Downarrow$
l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel $M$ de masse $m$ s'écrit «$U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(r)=-\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{r}$ avec référence à l'infini »,
                                                  $[$l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction $\nearrow$ de la distance $r$ du point $M$ au centre de la Terre$]$.

     Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique :
     en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre c'est-à-dire $r=R_{𝒜}$ $\Rightarrow$ $U_{\text{gravit}\leftarrow 𝒜}(R_{𝒜})=0$ dont on déduit $-\frac{𝒢m_{𝒜}m}{R_{𝒜}}+cste=0$ soit $cste=\frac{𝒢m_{𝒜}m}{R_{𝒜}}$ d'où
     en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel $M$ dans le champ de gravitation de l'astre $𝒜$ à symétrie sphérique
     en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre «$U_{\text{gravit}\leftarrow 𝒜}(r)=𝒢m_{𝒜}m[\frac{1}{R_{𝒜}}-\frac{1}{r}]=𝒢m_{𝒜}m\frac{r-R_{𝒜}}{R_{𝒜}r}$ avec référence à la surface de l'astre »,
     en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre $[$l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre $𝒜$ est une fonction $\nearrow$ de la distance $r$ de $M$ au centre $O_{𝒜}$ de l'astre$]$.

$\Downarrow$
l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel $M$ de masse $m$ s'écrit «$U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(r)=𝒢m_{\text{♁}}m[\frac{1}{R_{\text{♁}}}-\frac{1}{r}]=𝒢m_{\text{♁}}m\frac{r-R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}r}$ avec référence à la surface terrestre »,
                                                  $[$l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction $\nearrow$ de la distance $r$ du point $M$ au centre de la Terre$]$.

Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre

Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel $M$ de masse $m$ en fonction de sa distance $r$ au centre de la Terre, avec référence à l'infini, $r$ et $U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(M)$ étant en grandeurs réduites

     Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel $M$ de masse $m$ avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «$U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(r)=-\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{r}$», son graphe en fonction de $r$ est
     Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère partant du point $(R_{\text{♁}},-\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{R_{\text{♁}}})$ et
            Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère $\nearrow$ jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des $r$».

     L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel $M$ de masse $m$ avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «$U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(r)=-\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{r}+\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{R_{\text{♁}}}$», son graphe en fonction de $r$ se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de $U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(M)$ de la quantité $\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{R_{\text{♁}}}$ $\{$à tracer soi-même$\}$, d'où le graphe s'identifiant à
     une portion de branche d'hyperbole équilatère partant du point $(R_{\text{♁}},0)$ et
            une portion de branche d'hyperbole équilatère $\nearrow$ jusqu'à l'asymptote horizontale
            une portion de branche d'hyperbole équilatère $\nearrow$ jusqu'à d'équation «$U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(r)=\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{R_{\text{♁}}},\mathrm{\forall }r$» soit
            une portion de branche d'hyperbole équilatère $\nearrow$ jusqu'à la droite $\parallel$ à l'axe des $r$ et d'ordonnée $\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{R_{\text{♁}}}$.

Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol

     Après définition de l'« altitude du point $M$ par rapport au niveau du sol terrestre selon $z=r-R_{\text{♁}}$», on peut réécrire
     Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point $M$ avec référence au niveau du sol «$U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(r)=𝒢m_{\text{♁}}m\frac{r-R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}r}=\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{R_{\text{♁}}}\frac{z}{R_{\text{♁}}+z}=U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(z)$»
     Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point $M$ avec référence au niveau du sol selon $[$on vérifie qu'il s'agit d'une fonction $\nearrow$ de l'altitude $z=r-R_{\text{♁}}]$ ;

     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre $($par exemple $z\lesssim \frac{R_{\text{♁}}}{100}\simeq 64km)$,
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut considérer $\frac{z}{R_{\text{♁}}}\ll 1$ comme un infiniment petit d'ordre un et
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire «$U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(z)=\frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{R_{\text{♁}}}\frac{\frac{z}{R_{\text{♁}}}}{1+\frac{z}{R_{\text{♁}}}}$» ou, en en prenant un D.L. à l'ordre un
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire «$U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(z)\simeq \frac{𝒢m_{\text{♁}}m}{R_{\text{♁}}}\frac{z}{R_{\text{♁}}}$» ou «$U_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(z)\simeq m\frac{𝒢m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^2}z=m{G}_{(\text{♁}),0}z$»
                                             dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire avec «$G_{(\text{♁}),0}=\frac{𝒢m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^2}$ l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ».

     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre $G_{(\text{♁}),0}=\frac{𝒢m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^2}$ avec
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation on peut confondre l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol $g$, on observe alors
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de $M$ dans l'hypothèse où $z\ll R_{\text{♁}}$
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation l'identification avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation «$\left\{\begin{array}{ccc}{U}_{\text{gravit}\leftarrow (\text{♁})}(M)\simeq m{G}_{(\text{♁}),0}z& \simeq & mgz=U_{\text{pes}}(M)\\ \text{si }z\ll R_{\text{♁}}& & \text{si }\overrightarrow{g}\text{ est uniforme}\end{array}\right\}$».

3^ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point »

Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe

Schéma d'un ressort idéal dont une extrémité est liée à un point matériel $M$, l'autre extrémité étant notée $A$, $M_0$ étant la position qu'occuperait $M$ si le ressort était à vide en supposant la direction de l'axe inchangée

     Notant $A$ l'autre extrémité du ressort « idéal » lié au point matériel $M$,
     Notant ${\overrightarrow{u}}_{AM}$ le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de $A$ vers $M$,
     Notant $l_0$ la longueur à vide du ressort et $k$ la raideur de ce dernier,
     la « force que le ressort exerce sur $M$» notée $\overrightarrow{T}$ est donnée par la loi de Hooke «$\overrightarrow{T}=-k\Delta l{\overrightarrow{u}}_{AM}$» dans laquelle
                  la « force que le ressort exerce sur $M$» notée $\overrightarrow{T}$ est donnée par «$\Delta l=l-l_0$ est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide »,
                   la « force que le ressort exerce sur $M$» notée $\overrightarrow{T}$ est donnée par «$l=\Vert \overrightarrow{AM}\Vert$ étant la longueur à charge du ressort »,

                   la « force que le ressort exerce sur $M$» notée $\overrightarrow{T}$ est donnée par la loi de Hooke que l'on peut réécrire selon «$\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$» avec
                   la « force que le ressort exerce sur $M$» notée $\overrightarrow{T}$ est donnée par la «$M_0$ la position de $M$ lorsque le ressort est à vide en supposant que
                   la « force que le ressort exerce sur $M$» notée $\overrightarrow{T}$ est donnée par la la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ;

     quand $A$ est fixe $($voir schéma ci-contre$)$, le meilleur repérage du point $M$ est le repérage sphérique de pôle $A$, dans ces conditions
     quand $A$ est fixe $($voir schéma ci-contre$)$, «${\overrightarrow{u}}_{AM}$ s’identifie au 1^er vecteur de base sphérique ${\overrightarrow{u}}_r$ lié à $M$»,
     quand $A$ est fixe $($voir schéma ci-contre$)$, « la longueur à charge $l$ s'identifiant au rayon polaire $r$ du point $M$».

Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel

     Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal qui s'exerce sur le point matériel $M$,
     Pour prouver le caractère « conservatif » on déplace de façon élémentaire le point $M$ selon le vecteur déplacement élémentaire $\overrightarrow{dM}$, l'extrémité $A$ étant fixe $($voir schéma ci-dessus$)$,
     Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle $A$ » pour $M$ $[$la 1^ère coordonnée sphérique étant la longueur $l$ à charge du ressort,
            Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle $A$ » pour $M$ $[$les deux autres étant angulaires notées respectivement $\theta$ et $\phi$$]$ et
     Pour prouver le caractère « conservatif » le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «$\overrightarrow{dM}=dl{\overrightarrow{u}}_r+ld\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }+l\sin (\theta )d\phi {\overrightarrow{u}}_{\phi }$» ;
     Pour prouver le caractère « conservatif » on en déduit le travail élémentaire de $\overrightarrow{T}$, «$\delta W(\overrightarrow{T})=\overrightarrow{T}\cdot \overrightarrow{dM}=-k(l-l_0){\overrightarrow{u}}_r\cdot [dl{\overrightarrow{u}}_r+ld\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }+l\sin (\theta )d\phi {\overrightarrow{u}}_{\phi }]=-k(l-l_0)dl$» et
     Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où « le cœfficient de $dl$ ne dépend que de $l$ et est intégrable sur tout ouvert de ${ℝ}_{+}^{\ast }$»
          Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où $($en effet le cœfficient de $dl$ est une fonction affine s'intégrant en fonction quadratique$)$

d'où « le vecteur tension du ressort idéal $\overrightarrow{T}=-k\Delta l{\overrightarrow{u}}_{AM}$ qui s'exerce sur le point matériel $M$ est une force conservative dans l'hypothèse où $A$ est fixe ».

     Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ avec «$M_0$ la position de $M$ lorsque le ressort est à vide en supposant que
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ avec «$M_0$ la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge $M_t$»,
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ soit un vecteur déplacement élémentaire de $M$ avec l'autre extrémité $A$ du ressort idéal fixe,
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ on envisage «$\overrightarrow{dM}=d\left[\overrightarrow{AM}\right]=d\left[\overrightarrow{A{M}_0}\right]+d\left[\overrightarrow{M_{0}M}\right]$» d'où le travail élémentaire de $\overrightarrow{T}$ s'écrit
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ «$\delta W(\overrightarrow{T})=\overrightarrow{T}\cdot \overrightarrow{dM}=-k\overrightarrow{M_{0}M}\cdot \{d\left[\overrightarrow{A{M}_0}\right]+d\left[\overrightarrow{M_{0}M}\right]\}$
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ «$\delta W(\overrightarrow{T})$ $=-k\overrightarrow{M_{0}M}\cdot d\left[\overrightarrow{A{M}_0}\right]-k\overrightarrow{M_{0}M}\cdot d\left[\overrightarrow{M_{0}M}\right]$» ;

            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ explicitons $d\left[\overrightarrow{A{M}_0}\right]=\overrightarrow{A{M}_{0,t+dt}}-\overrightarrow{A{M}_{0,t}}=\overrightarrow{M_{0,t}{M}_{0,t+dt}}$ qui étant $\perp$ à $\overrightarrow{A{M}_0}$,
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ $\{$en effet ${\overrightarrow{A{M}_0}}^2=l_0^2=cste$ $\Rightarrow$ $2\overrightarrow{A{M}_0}\cdot d\left[\overrightarrow{A{M}_0}\right]=0$ d'où $d\left[\overrightarrow{A{M}_0}\right]\perp$ à $\overrightarrow{A{M}_0}\}$
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ explicitons $d\left[\overrightarrow{A{M}_0}\right]=\overrightarrow{A{M}_{0,t+dt}}-\overrightarrow{A{M}_{0,t}}=\overrightarrow{M_{0,t}{M}_{0,t+dt}}$ qui est aussi $\perp$ à $\overrightarrow{A{M}_t}$ ou
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ explicitons $d\left[\overrightarrow{A{M}_0}\right]=\overrightarrow{A{M}_{0,t+dt}}-\overrightarrow{A{M}_{0,t}}=\overrightarrow{M_{0,t}{M}_{0,t+dt}}$ qui est aussi $\perp$ à $\overrightarrow{M_{0,t}{M}_t}$
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ explicitons d'où «$\overrightarrow{M_{0}M}\cdot d\left[\overrightarrow{A{M}_0}\right]=0$» permettant de réécrire le travail élémentaire de $\overrightarrow{T}$ selon
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ «$\delta W(\overrightarrow{T})=-k\overrightarrow{M_{0}M}\cdot d\left[\overrightarrow{M_{0}M}\right]$» qui est effectivement une différentielle exacte car
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ «$\delta W(\overrightarrow{T})=-k\overrightarrow{M_{0}M}\cdot d\left[\overrightarrow{M_{0}M}\right]$» qui est effectivement $\overrightarrow{M_{0}M}\cdot d\left[\overrightarrow{M_{0}M}\right]=d\left[\frac{{\overrightarrow{M_{0}M}}^2}{2}\right]$.

« le vecteur tension du ressort idéal $\overrightarrow{T}=-k\overrightarrow{M_{0}M}$ qui s'exerce sur le point matériel $M$ est une force conservative dans l'hypothèse où $A$ est fixe ».

« Énergie potentielle élastique » d'un point matériel

     L'énergie potentielle élastique du point matériel $M$ c'est-à-dire son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal » notée $U_{\text{élast}}(M)$,
     L'énergie potentielle élastique du point matériel $M$ se définit par «$\delta W(\overrightarrow{T})=-d{U}_{\text{élast}}$» soit «$-k(l-l_0)dl=-d{U}_{\text{élast}}$» ou encore «$-k(l-l_0)d(l-l_0)=-d{U}_{\text{élast}}$» $\Rightarrow$
     L'énergie potentielle élastique du point matériel $M$ se définit par «$\delta W(\overrightarrow{T})=-d{U}_{\text{élast}}$» soit «$\frac{d{U}_{\text{élast}}}{d(l-l_0)}=k(l-l_0)$» ou, en introduisant l'« allongement algébrique $\Delta l=l-l_0$»,
     L'énergie potentielle élastique du point matériel $M$ se définit par «$\delta W(\overrightarrow{T})=-d{U}_{\text{élast}}$» soit «$\frac{d{U}_{\text{élast}}}{d\Delta l}=k\Delta l$» $\Rightarrow$ «$U_{\text{élast}}(M)=U_{\text{élast}}(\Delta l)=\frac{k{\left(\Delta l\right)}^2}{2}+cste$»
     L'énergie potentielle élastique du point matériel $M$ se définit par «$\delta W(\overrightarrow{T})=-d{U}_{\text{élast}}$» soit $[$l'énergie potentielle élastique est une fonction $\nearrow$ de $|\Delta l|$ c'est-à-dire
     L'énergie potentielle élastique du point matériel $M$ se définit par «$\delta W(\overrightarrow{T})=-d{U}_{\text{élast}}$» soit $[$l'énergie potentielle élastique est une fonction $\nearrow$ de la valeur absolue de l'allongement algébrique$]$.

     En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c'est-à-dire $U_{\text{élast}}(\Delta l=0)=0$, on en déduit «$U_{\text{élast}}(\Delta l)=\frac{1}{2}k{\left(\Delta l\right)}^2=\frac{1}{2}k{(l-l_0)}^2$»
             En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c'est-à-dire $U_{\text{élast}}(\Delta l=0)=0$, on en déduit «$U_{\text{élast}}(\Delta l)=$ avec référence « ressort à vide » ;
             En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel $M$ peut se réécrire
             En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal «$U_{\text{élast}}(M)=\frac{1}{2}k{\overrightarrow{M_{0}M}}^2$ avec référence en $M_0$ $($position de $M$ avec ressort à vide, la
                                                                                                         En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal direction de l'axe étant inchangée
                                                                                                         En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal par rapport à sa position à charge$)$».

Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal

Tracé du diagramme d'énergie potentielle élastique $U_{\text{élast}}$ d'un point matériel $M$ relié à un ressort idéal en fonction de l'allongement algébrique $\Delta l$ de ce dernier, la référence étant choisie en la position à vide du ressort

     Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique $U_{\text{élast}}$ du point matériel $M$ relié à un ressort idéal de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$ en fonction de l'allongement algébrique $\Delta l=l-l_0$ du ressort $(l$ étant la longueur du ressort à charge$)$,
     Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence,
     Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec une unité d’abscisse arbitraire notée $a$,
     Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec l'unité d'ordonnée correspondante étant $\frac{1}{2}k{a}^2$.

     Remarque : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point $M$ a une position d'« équilibre stable » qui « n'est pas la position à vide », on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ;

     Remarque : la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique $\Delta l_{\text{éq}}$ et l'énergie potentielle élastique s'écrivant $U_{\text{élast}}(\Delta l)=\frac{1}{2}k{\left(\Delta l\right)}^2+cste$, la condition de référence $U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}})=0$ nous conduit à $\frac{1}{2}k{\left(\Delta l_{\text{éq}}\right)}^2+cste$ $=0$ soit $cste=-\frac{1}{2}k{\left(\Delta l_{\text{éq}}\right)}^2$ et par suite

«$U_{\text{élast}}(\Delta l)=\frac{1}{2}k[{\left(\Delta l\right)}^2-{\left(\Delta l_{\text{éq}}\right)}^2]$ avec référence en la position d'équilibre » ;

     Remarque : si on note «$x$ l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «$\Delta l=\Delta l_{\text{éq}}+x$», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «$U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}}+x)=\frac{1}{2}k[{(\Delta l_{\text{éq}}+x)}^2-{\left(\Delta l_{\text{éq}}\right)}^2]=\frac{1}{2}k{x}^2+k\Delta l_{\text{éq}}x$» ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative $\dots$

4^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point »

Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme

     Soit un champ électrique $\overrightarrow{E}$ « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point $M$ de charge $q$ s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec ${\overrightarrow{u}}_z$ $\parallel$ et de sens contraire à $\overrightarrow{E}$,
            Soit un champ électrique $\overrightarrow{E}$ « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point $M$ de charge $q$ s'écrit, «$q\overrightarrow{E}=-qE{\overrightarrow{u}}_z$» où $E=\Vert \overrightarrow{E}\Vert$ est la norme du champ électrique terrestre et
            Soit un champ électrique $\overrightarrow{E}$ « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point $M$ de charge $q$ s'écrit, «$q\overrightarrow{E}=-qE{\overrightarrow{u}}_z$» où la « référence des potentiels électriques » choisie
            Soit un champ électrique $\overrightarrow{E}$ « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point $M$ de charge $q$ s'écrit, «$q\overrightarrow{E}=-qE{\overrightarrow{u}}_z$» où la « référence confondue avec l’origine des cotes ;

     pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «$\delta W(q\overrightarrow{E})=q\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dM}$» et
     pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte soit, en cartésien,
     pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «$\delta W(q\overrightarrow{E})=[-qE{\overrightarrow{u}}_z]\cdot [dx{\overrightarrow{u}}_x+dy{\overrightarrow{u}}_y+dz{\overrightarrow{u}}_z]=-qEdz$» qui est effectivement une différentielle exacte dans la mesure où « le cœfficient de $dz$ ne dépend que de $z$ et est intégrable sur tout ouvert de $ℝ$» $($le cœfficient de $dz$ étant une constante$)$

d'où « la force électrique s'exerçant sur un point de charge $q$ dans un champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme $q\overrightarrow{E}$ est une force conservative ».

Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme

     L'énergie potentielle électrostatique du point $M$ de charge $q$ dans le champ de électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme notée ${ℰ}_{\text{pot, élect}}(M)$,
            L'énergie potentielle électrostatique du point $M$ de charge $q$ dans le champ de électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme se définit par «$\delta W(q\overrightarrow{E})=-d{ℰ}_{\text{pot, élect}}$» soit «$-qEdz=-d{ℰ}_{\text{pot, élect}}$» ou
            L'énergie potentielle électrostatique du point $M$ de charge $q$ dans le champ de électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme se détermine par «$\frac{d{ℰ}_{\text{pot, élect}}}{dz}=qE$» $\Rightarrow$ «${ℰ}_{\text{pot, élect}}(M)={ℰ}_{\text{pot, élect}}(z)$
                     L'énergie potentielle électrostatique du point $M$ de charge $q$ dans le champ de électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme se détermine par «$d{ℰ}_{\text{pot, élect}}=qE$» $\Rightarrow$ «${ℰ}_{\text{pot, élect}}(M)$ $=qEz+cste$» ;

     en choisissant la référence de l'énergie potentielle électrostatique en $z=0$ $($endroit de la référence des potentiels électriques$)$ soit ${ℰ}_{\text{pot, élect}}(0)=0$, on en déduit «${ℰ}_{\text{pot, élect}}(z)=qEz$».

     Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme «$\delta 𝒞(\overrightarrow{E})=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dM}$» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines,
                  Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme «$\delta 𝒞(\overrightarrow{E})=[-E{\overrightarrow{u}}_z]\cdot [dx{\overrightarrow{u}}_x+dy{\overrightarrow{u}}_y+dz{\overrightarrow{u}}_z]=-Edz$»
                  Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme «$\delta 𝒞(\overrightarrow{E})$ est donc une différentielle exacte $[$« cœfficient de $dz$ ne dépendant que de $z$ et
                       Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme «$\delta 𝒞(\overrightarrow{E})$ est donc une différentielle exacte $[$« cœfficient de $dz$ étant intégrable sur tout ouvert de $ℝ$»$]$
                       Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme «$\delta 𝒞(\overrightarrow{E})$ est donc une différentielle exacte $[$« cœfficient de $dz$$($en effet, le cœfficient de $dz$ est une constante$)$

d'où « le champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme est un champ à circulation conservative » ;

     Parallèlement le potentiel électrique $V(M)$ dont le champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme dérive étant défini par «$\delta 𝒞(\overrightarrow{E})=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{dM}=-dV$», soit «$-Edz=-dV$» ou
                    Parallèlement le potentiel électrique $V(M)$ dont le champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme dérive étant défini par «$\frac{dV}{dz}=E$» $\Rightarrow$ «$V(M)=V(z)=Ez+cst{e}^{\prime }$» et,
                    Parallèlement le potentiel électrique $V(M)$ dont le champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme dérive étant défini par avec choix de la référence des potentiels électriques en $z=0$, $\Rightarrow$ $cst{e}^{\prime }=0$,
                                                        Parallèlement le potentiel électrique $V(M)$ dont le champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme dérive étant défini par «$V(M)=V(z)=Ez$ $($référence à l'origine des cotes$)$».

     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point $M$ de charge $q$ dans le champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme soit ${ℰ}_{\text{pot, élect}}(M)$
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique $\overrightarrow{E}$ uniforme en $M$ noté $V(M)$
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée et à la charge $q$ du point par
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «${ℰ}_{\text{pot, élect}}(M)=qV(M)$» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «${ℰ}_{\text{pot, élect}}(M)=qV(M)$» à condition que « identique à celle du potentiel électrique » et
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «${ℰ}_{\text{pot, élect}}(M)=qV(M)$» si cette référence commune est l'origine des cotes «$V(M)=Ez$»
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «${ℰ}_{\text{pot, élect}}(M)=qV(M)$» avec ${\overrightarrow{u}}_z$ dans le sens $\nearrow$ des potentiels électriques.

     Conclusion : Remarque : en prenant l'opposé du gradient de «${ℰ}_{\text{pot, élect}}(M)=qV(M)$» on obtient «$-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[{ℰ}_{\text{pot, élect}}\right](M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[qV\right](M)=q\{-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V\right](M)\}$» d'où
     Conclusion : Remarque : avec «$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{F}(M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[{ℰ}_{\text{pot, élect}}\right](M)\\ \overrightarrow{E}(M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V\right](M)\end{array}\right\}$» on retrouve «$\overrightarrow{F}(M)=q\overrightarrow{E}(M)$».

En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme

     On admet qu'un champ électrique $\overrightarrow{E}(M)$ quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique $V(M)$ par «$\delta 𝒞(\overrightarrow{E})=\overrightarrow{E}(M)\cdot \overrightarrow{dM}=-dV$»
              On admet qu'un champ électrique $\overrightarrow{E}(M)$ quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique $V(M)$ par ou «$\overrightarrow{E}(M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V\right](M)$» ;

toutefois « la détermination du potentiel électrique à partir du champ électrique n'est en général pas simple » ;

     « la force électrique exercée sur un point $M$ de charge $q$ placé dans un champ électrique $\overrightarrow{E}(M)$ quelconque c'est-à-dire $q\overrightarrow{E}(M)$ étant donc conservative »,
     « la force électrique exercée sur un point $M$ de charge $q$ dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point $M$ c'est-à-dire ${ℰ}_{\text{pot, élect}}(M)$,
     « la force électrique exercée sur un point $M$ de charge $q$ dérive de cette dernière étant liée au potentiel électrique $V(M)$ dont dérive le champ électrique $\overrightarrow{E}(M)$ quelconque et
     « la force électrique exercée sur un point $M$ de charge $q$ dérive de cette dernière étant liée à la charge $q$ du point par
     « la force électrique exercée sur un point $M$ de charge $q$ dérive de «${ℰ}_{\text{pot, élect}}(M)=qV(M)$» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques.

5^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge q_O » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M »

Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton

Loi d'interaction de Coulomb

     Entre deux points matériels $M$ et $M^{\prime }$ de charges respectives $q$ et $q^{\prime }$ s'exerce une « interaction électrostatique » telle que
     Entre deux points matériels $M$ et $M^{\prime }$ de charges respectives $q$ et $q^{\prime }$ « la force que $M^{\prime }$ exerce sur $M$ dans le vide s’écrivant ${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow M^{\prime }}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q{q}^{\prime }}{r^2}{\overrightarrow{u}}_{M^{\prime }M}$» avec
     Entre deux points matériels $M$ et $M^{\prime }$ de charges respectives $q$ et $q^{\prime }$ « la force «$r$ distance séparant $M$ et $M^{\prime }$», «${\overrightarrow{u}}_{M^{\prime }M}$ vecteur unitaire de la droite $M{M}^{\prime }$ dirigé de $M^{\prime }$ vers $M$»,
     Entre deux points matériels $M$ et $M^{\prime }$ de charges respectives $q$ et $q^{\prime }$ « la force que $M$ exerce sur $M^{\prime }$ dans le vide est l'opposé de celle que $M^{\prime }$ exerce sur $M$ dans le vide » soit
     Entre deux points matériels $M$ et $M^{\prime }$ de charges respectives $q$ et $q^{\prime }$ «${\overrightarrow{F}}_{M^{\prime }\leftarrow M}=-{\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow M^{\prime }}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q{q}^{\prime }}{r^2}{\overrightarrow{u}}_{M^{\prime }M}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q{q}^{\prime }}{r^2}{\overrightarrow{u}}_{M{M}^{\prime }}$»,

     Entre deux points matériels $M$ et $M^{\prime }$ de charges respectives $q$ et $q^{\prime }$ ces forces étant appelées « forces de Coulomb » avec
     Entre deux points matériels $M$ et $M^{\prime }$ de charges respectives $q$ et $q^{\prime }$ «${\epsilon }_0$ la permittivité diélectrique du vide » de valeur telle que «$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\simeq 910^{9}U.S.I.$ ».

     Remarque : L'interaction électrostatique est « attractive pour $q{q}^{\prime }<0$» et
     Remarque : L'interaction électrostatique est « répulsive pour $q{q}^{\prime }>0$».

Force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge q_O en M

     D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point $O$ de charge $q_O$ exerce sur le point $M$ de charge $q$ la force électrostatique de Coulomb
           D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point $O$ de charge $q_O$ exerce «${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{O}q}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$» avec «$r$ la 1^ère coordonnée sphérique du point $M$» et
                     D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point $O$ de charge $q_O$ exerce «${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O}=4\pi {\epsilon }_0{q}_{O}q{\overrightarrow{u}}_r$» avec «${\overrightarrow{u}}_r$ le 1^er vecteur de base sphérique liée à $M$»,
                      D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point $O$ de charge $q_O$ exerce «${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O}=4\pi {\epsilon }_0{q}_{O}q{\overrightarrow{u}}_r$» le repérage sphérique étant de pôle $O$.

     Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $O$ de charge $q_O$ crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point $M$ de l'espace par
           Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $O$ de charge $q_O$ crée autour de lui un vecteur champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ dont l'action sur un point $M$ de charge $q$ se révèle
           Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $O$ de charge $q_O$ crée autour de lui par « la force électrique définie par ${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow {\overrightarrow{E}}_O}=q{\overrightarrow{E}}_O(M)$ identique à ${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O}$» d'où
           Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $O$ de charge $q_O$ crée autour de lui «${\overrightarrow{E}}_O(M)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_O}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$» $($existant même en absence de charge $q$$)$,
           Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $O$ de charge $q_O$ crée autour de lui si $q_O$ est $>0$ le champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ est centrifuge et
           Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point $O$ de charge $q_O$ crée autour de lui si $q_O$ est $<0$ le champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ est centripète.

Cas particulier du champ électrique créé par un proton

     « Un proton placé en $O$ étant de charge $q_O=+e\simeq 1,610^{-19}C$» crée autour de lui « un champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$ centrifuge »,
     « Un proton placé en $O$ étant de charge $q_O=+e\simeq 1,610^{-19}C$» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique
     « Un proton placé en $O$ étant de charge $q_O=+e\simeq 1,610^{-19}C$» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation $($à l'exception du sens bien entendu$)$.

Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge q_O exerce sur un autre point matériel M de charge q

     Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique ${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O}=q{\overrightarrow{E}}_O(M)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{O}q}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$ qu'un point $O$ de charge $q_O$ exerce sur un autre point $M$ de charge $q$,
     pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «$\delta W({\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O})={\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O}\cdot \overrightarrow{dM}$» et
     pour prouver le caractère conservatif on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte soit, en sphérique,
     pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «$\delta W({\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O})=\left[\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{O}q}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r\right]\cdot [dr{\overrightarrow{u}}_r+rd\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }+r\sin (\theta )d\phi {\overrightarrow{u}}_{\phi }]$ $=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{O}q}{r^2}dr$» qui est effectivement une différentielle exacte car « le cœfficient de $dr$ ne dépend que de $r$ et est intégrable sur tout ouvert de ${ℝ}_{+}^{\ast }$» $($en effet, le cœfficient de $dr$ est une fonction en $\frac{1}{r^2}$ qui s'intègre en $\frac{-1}{r})$ d'où

« la force électrostatique ${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O}=q{\overrightarrow{E}}_O(M)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{O}q}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$ que le point $O$ de charge $q_O$ exerce sur le point $M$ de charge $q$ est une force conservative »,
$\Downarrow$
« la force électrostatique exercée par un proton $Pr$ de charge $+e$ sur un électron $El$ de charge $-e$ à savoir ${\overrightarrow{F}}_{El\leftarrow Pr}=-e{\overrightarrow{E}}_{Pr}(M)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r$ est une force conservative »,
« la force électrostatique exercée par un proton $Pr$ de charge $+e$ sur un électron $El$ de charge $-e$ à savoir$($le proton $Pr$ étant le pôle du repérage sphérique de l'électron $El)$.

Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O

     L'énergie potentielle électrostatique du point $M$ de charge $q$ dans le champ électrique créé par le point $O$ de charge $q_O$ notée ${ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}(M)$,
     L'énergie potentielle électrostatique du point $M$ se détermine par «$\delta W({\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O})=-d{ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}$» soit «$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{O}q}{r^2}dr=-d{ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}$» ou
     L'énergie potentielle électrostatique du point $M$ se détermine par «$\delta W({\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O})=-d{ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}$» soit «$\frac{d{ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}}{dr}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{O}q}{r^2}dr$» qui s'intègre en
     L'énergie potentielle électrostatique du point $M$ se détermine par «$\delta W({\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O})=-d{ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}$» soit «${ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}(M)={ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{O}q}{r}+cste$»,
     L'énergie potentielle électrostatique du point $M$ se détermine par $[$l'énergie potentielle électrostatique due au point $O$ de charge $q_O$
     L'énergie potentielle électrostatique du point $M$ se détermine par $[$l'énergie potentielle électrostatique est une fonction de valeur absolue $\searrow$ avec la distance $r$ du point $M$ au point $O]$.

     En choisissant la référence de l'énergie électrostatique due au point$O$de charge$q_O$à l'infini de ce dernier c'est-à-dire $\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}{ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}(r)=0$, on en déduit «${ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{O}q}{r}$» ;

l'énergie potentielle électrostatique du point $M$ de charge $q$ dans le champ électrique du point $O$ de charge $q_O$ s'écrit «${ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_{O}q}{r}$ avec référence à l'infini »,
                                                  $[$si $q{q}_O$ est $>0$, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction positive $\searrow$ de la distance $r$ du point $M$ au point $O$,
                                                       si $q{q}_O$ est $<0$, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction négative $\nearrow$ de la distance $r$ du point $M$ au point $O]$.

     Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ créé par le point $O$ de charge $q_O$ soit «$\delta 𝒞({\overrightarrow{E}}_O)={\overrightarrow{E}}_O(M)\cdot \overrightarrow{dM}$» s'écrivant, en sphérique de pôle $O$,
           Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ «$\delta 𝒞({\overrightarrow{E}}_O)=\left[\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_O}{r^2}{\overrightarrow{u}}_r\right]\cdot [dr{\overrightarrow{u}}_r+rd\theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }+r\sin (\theta )d\phi {\overrightarrow{u}}_{\phi }]$ $=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_O}{r^2}dr$»,
           Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ «$\delta 𝒞({\overrightarrow{E}}_O)$ est donc une différentielle exacte $[$« cœfficient de $dr$ ne dépendant que de $r$ et
                Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ «$\delta 𝒞({\overrightarrow{E}}_O)$ est donc une différentielle exacte $[$« cœfficient de $dr$ étant intégrable sur tout ouvert de ${ℝ}_{+}^{\ast }$»,
                Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ «$\delta 𝒞({\overrightarrow{E}}_O)$ est donc une différentielle exacte $[$le cœfficient de $dr$ étant une fonction en $\frac{-1}{r^2}$ s'intégrant en $\frac{1}{r}]$

d'où « le champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ créé par le point $O$ de charge $q_O$ en la position $M$ est un champ à circulation conservative » ;

     Parallèlement le potentiel électrique $V_O(M)$ dont le champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ créé par le point $O$ de charge $q_O$ dérive étant défini par «$\delta 𝒞({\overrightarrow{E}}_O)={\overrightarrow{E}}_O(M)\cdot \overrightarrow{dM}=-d{V}_O$», soit
             Parallèlement le potentiel électrique $V_O(M)$ dont le champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ créé par le point $O$ de charge $q_O$ dérive étant défini par «$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_O}{r^2}dr=-d{V}_O$» ou
             Parallèlement le potentiel électrique $V_O(M)$ dont le champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ créé par le point $O$ de charge $q_O$ dérive étant défini par «$\frac{d{V}_O}{dr}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_O}{r^2}$» qui s'intègre en
             Parallèlement le potentiel électrique $V_O(M)$ dont le champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ créé par le point $O$ de charge $q_O$ dérive étant défini par «$V_O(M)=V_O(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_O}{r}+cst{e}^{\prime }$» ou,
             Parallèlement le potentiel électrique $V_O(M)$ dont le champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ créé par le point $O$ de charge $q_O$ dérive étant défini par avec l'$\mathrm{\infty }$ pour référence des potentiels électriques,
             Parallèlement le potentiel électrique $V_O(M)$ dont le champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ créé par le point $O$ de charge $q_O$ dérive étant défini par «$V_O(M)=V_O(r)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_O}{r}$».

     Conclusion : d'après les $2$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de $M$ de charge $q$ dans le champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$ créé par $O$ de charge $q_O$ ${ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}(M)$
     Conclusion : d'après les $2$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en $M$, $V_O(M)$, dont dérive le champ électrique ${\overrightarrow{E}}_O(M)$
       Conclusion : d'après les $2$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en $M$, $V_O(M)$, dont dérive le champ électrique créé par $O(q_O)$ en $M$
Conclusion : d'après les $2$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée et à la charge $q$ du point par
     Conclusion : d'après les $2$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «${ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}(M)=q{V}_O(M)$» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique
     Conclusion : d'après les $2$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «${ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}(M)=q{V}_O(M)$» si « la référence est identique à celle du potentiel électrique » et
     Conclusion : d'après les $2$ sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «${ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}(M)=q{V}_O(M)$» si cette référence commune est l'$\mathrm{\infty }$ on a $V_O(M)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_O}{r}$.

     Conclusion : Remarque : en prenant l'opposé du gradient de «${ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}(M)=q{V}_O(M)$» on obtient «$-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[{ℰ}_{\text{pot, élect}\leftarrow O}\right](M)=$ $-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[q{V}_O\right](M)=q\{-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V_O\right](M)\}$»
     Conclusion : Remarque : d'où, avec «$\left\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O}=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[{ℰ}_{\text{pot, élect},\leftarrow O}\right](M)\\ {\overrightarrow{E}}_O(M)=-\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\left[V_O\right](M)\end{array}\right\}$» on retrouve «${\overrightarrow{F}}_{M\leftarrow O}=q{\overrightarrow{E}}_O(M)$».

« Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton »

     Cas particulier de l'exposé du paragraphe « énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge q_O »
     Cas particulier de l'exposé du paragraphe plus haut dans ce chapitre,
     Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron $El$ de charge $-e$ dans le champ électrique créé par un proton $Pr$ de charge $+e$» s'écrit
     Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron $El$ «${ℰ}_{\text{pot, élect},\leftarrow Pr}(El)=-e{V}_{Pr}(El)=-e\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e}{r}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r}<0$» avec
     Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron $El$ référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini,
     Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron $El$ «$r$ étant la distance séparant l'électron du proton ».