Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique

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Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique
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Chapitre no 16
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques
Chap. suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif
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Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.

     Préliminaire : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « forces ne dépendant pas explicitement du temps » ;

     Préliminaire : une force dépendant explicitement du temps [1] sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative au sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après.

1ère définition d'une force « conservative »[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : Une force étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1ère définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative voir le paragraphe « Notion de champ vectoriel à circulation conservative » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

     Conséquence : [3] étant indépendant de mais dépendant de et de peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique notée temporairement prise entre et c.-à-d. «[3] ».

2ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative[modifier | modifier le wikicode]

2ème définition (équivalente) d'une force « conservative »[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : Une force étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative voir le paragraphe « Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

     Conséquence : étant une différentielle exacte [5] d'une fonction énergétique notée temporairement c.-à-d.
         Conséquence : étant une différentielle exacte «
         Conséquence : étant une différentielle exacte en notant le point infiniment voisin de tel que ».

Justification de l'équivalence entre les deux définitions[modifier | modifier le wikicode]

     Justification directe « 1ère définition 2ème définition » : si « le travail de entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins et tels que ce qui se réécrit « le travail élémentaire de ne dépend que des points extrêmes et et non du chemin utilisé » c.-à-d. que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte [5] de la fonction énergétique notée temporairement ,  ».

     Justification réciproque « 2ème définition 1ère définition » : Si « le travail élémentaire de est une différentielle exacte [5] de la fonction énergétique notée temporairement  », « le travail de entre et est égal à sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de à  ».

Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Une force étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N. [6] mais a priori non suffisantes pour qu'une force définie en un point d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;

     Préliminaire : quant au cas d'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », il est traité en fin de ce paragraphe.

     C.N. [6] pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : Une force , fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point notées [7] est conservative si les dérivées croisées des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés [8] de son travail élémentaire sont égales ce qui s'écrit, suivant le type de repérage,

  • en repérage cartésien : ,
  • en repérage cylindro-polaire : [9] et
  • en repérage sphérique : [10]  ;

          C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3ème dimension, la C.N. [6] mais a priori non suffisante pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N. [6] mais a priori non suffisantes pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une

     C.N. [6] pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative : Dans le cas d'une force est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée [11], le travail élémentaire de la force s'écrivant [12] ou est une différentielle exacte [5] si [13] c.-à-d. la fonction cœfficient de l'élément du travail élémentaire ne dépend que de la variable [14].

Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative[modifier | modifier le wikicode]

     Rappel de préliminaire : Une force étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S. [15] pour qu'une force définie en un point d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;

     Rappel de préliminaire : quant au cas d'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », il est traité en fin de ce paragraphe.

     Ci-dessous le théorème de Poincaré [16] appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S. [15] pour qu'une force soit conservative.

Début d’un théorème
Fin du théorème

     C.S. [15] pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative : Dans le cas d'une force est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée [11] le travail élémentaire de la force s'écrivant [12] ou est une différentielle exacte [5] c.-à-d. la force est conservative pour à la courbe continue paramétré par si [13] c.-à-d. la fonction cœfficient de l'élément du travail élémentaire ne dépend que de la variable [19] en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable [20].

     Remarque : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N. [6] pour qu'elles soient conservatives à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par la fonction cœfficient de ne dépendant que de ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire [18] sont usuellement définies sur une partie étoilée [17] et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives c.-à-d. que leur travail élémentaire est une différentielle exacte [5] sans vérifier le caractère étoilé [17] de la partie sur laquelle elles sont définies.

Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative[modifier | modifier le wikicode]

1ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »[modifier | modifier le wikicode]

     dans le S.I. [23] des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en .

Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »[modifier | modifier le wikicode]

      : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « référence de l'énergie potentielle dont dérive la force conservative » c.-à-d. l'« endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle ».

      : Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées est la différence de l'énergie potentielle du point matériel dans le champ de force conservative entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie soit «[3] indépendant de » se réécrit avec « ».

2ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative »[modifier | modifier le wikicode]

     Justification de l'équivalence [25] : la 1ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative étant «» et
           Justification de l'équivalence : le gradient du champ scalaire étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel tel que sa circulation élémentaire [26] soit la différentielle du champ scalaire [24] c.-à-d. «» [24],
           Justification de l'équivalence : on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «» et par suite «» ;
           Justification de l'équivalence : réciproquement si on multiplie chaque membre de scalairement par , on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle [24] c.-à-d. la 1ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative.

1ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique[modifier | modifier le wikicode]

     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel dans un référentiel galiléen [27], entre un instant initial et un instant final , en distinguant
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique les « forces conservatives » dont on utilise le caractère conservatif
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique les « forces conservatives » en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique des « forces non conservatives » [28] ,
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique soit «» où on remplace le travail de chaque force conservative par «» «» d'où

     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «» soit encore,
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique en transposant les termes d'énergies potentielles ce qui entraîne un changement de signe,
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «» c.-à-d. une relation définissant une nouvelle grandeur énergétique, somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur restant constante en absence de travail des forces non conservatives [28] ;

     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique on comprend donc l'importance du signe dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, « devenant, lors du changement de membre, » « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives [28] ne travaillent pas » est la « somme » et non la différence de termes ;

     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «» est le résultat de contributions «» [29] dépendant de la cinétique du point et
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «» est le résultat de contributions «» [30] dépendant de la position du point
     Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «» est le résultat de contributions «» dans le champ de forces conservatives.

Exemples de forces « non conservatives »[modifier | modifier le wikicode]

La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives »[modifier | modifier le wikicode]

Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

     La réaction d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel [31] est non conservative ;

     si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de sur le solide selon une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de à ,
     si le contact est sans frottement et s'il y a glissement «» car à la surface du solide en est toujours au vecteur déplacement élémentaire  ;
     si le contact est sans frottement et s'il y a glissement en conclusion « la réaction d'un solide sur un point y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ;

     si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de sur le solide selon une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de à ,
     si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «», la composante tangentielle de la réaction [32] étant toujours colinéaire et de sens opposé au
          si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «», la composante tangentielle de la réaction étant vecteur déplacement élémentaire
     si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la courbe étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet [33] [34], on peut écrire
        si le contact est avec frottement et s'il y a glissement le vecteur déplacement élémentaire «» [35] abscisse curviligne de sur [36] à partir de l'origine sur et
        si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide «» avec [37] soit, avec
        si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb [38] du frottement solide avec glissement [39] «» avec
             si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb « le cœfficient de frottement dynamique » et
             si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb « la composante normale de la réaction » [40], d'où
        si le contact est avec frottement et s'il y a glissement l'expression du travail de la force de frottement «[3] » [41] soit,
        si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de , «» [42] et,
        si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de , pour [43], «» [44],
        si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante
        si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi [45],
        si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que ceci restant vrai même si n'est pas constante ;
        si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « la réaction d'un solide sur un point y glissant avec frottement solide développe un travail négatif »,
        si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « la force de frottement est donc toujours « résistive » on la qualifie aussi de « dissipative ».

Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non[modifier | modifier le wikicode]

     La résistance à l'avancement [46] d'un point matériel dans un fluide [47] est non conservative, que le frottement soit linéaire [48], quadratique [49] ou autres [50] ;
          La résistance à l'avancement son travail le long de la courbe suivie par pour aller de à , «[3] est » car,
          La résistance à l'avancement pour un solide assimilable à un point matériel, est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire
         La résistance à l'avancement la courbe étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet [33] [34], on peut écrire
           La résistance à l'avancement le vecteur déplacement élémentaire «» [35] est l'abscisse curviligne de sur [36] mesurée à partir de l'origine sur celle-ci et
           La résistance à l'avancement la force de frottement fluide «» avec [51], fonction de [52],
           La résistance à l'avancement d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «[3] » [41]
           La résistance à l'avancement soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de , «» [53] et,
           La résistance à l'avancement soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de , pour une forme quadratique de force de frottement fluide [54] avec
           La résistance à l'avancement soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de , pour une forme quadratique constante positive caractéristique de la viscosité dynamique du fluide [55]
           La résistance à l'avancement soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de , pour une forme quadratique constante positive caractéristique et de la densité de ce dernier [56],
           La résistance à l'avancement soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de , pour une forme quadratique «» [57],
           La résistance à l'avancement ce résultat permettant d'établir dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide,
             La résistance à l'avancement ce résultat permettant d'établir à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée [52] ainsi que celle d'abscisse curviligne [36] du point,
             La résistance à l'avancement ce résultat permettant d'établir que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi [58],
             La résistance à l'avancement ce résultat permettant d'établir que ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide ;
          La résistance à l'avancement en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide [46] sur un point développe un travail négatif »,
          La résistance à l'avancement en conclusion « est donc toujours « résistive » on la qualifie aussi de « dissipative ».

     Remarque : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position ne définit pas un champ de forces et qu'il est par conséquent inutile d'envisager son caractère conservatif, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif.

Forces de liaison par fil idéal tendu[modifier | modifier le wikicode]

     La force exercée par un fil idéal [59] tendu sur un point matériel [60] dont la norme définit la tension du fil idéal [59] est non conservative, son travail élémentaire n’étant en général pas une différentielle exacte [5], [61].

     Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale [59] : on suspend un point matériel de masse à l'aide d'une corde idéale [59]
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme ;
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur s'exercent son poids qui fait que le point en absence d'autres forces et
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur s'exercent la réaction de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur s'exercent la réaction verticale  ;

           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : l'application de la r.f.d.n. [62] au point dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : «» ou, en prenant vecteur unitaire vertical ,
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : «» «» c.-à-d. que
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : « la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point » ;

           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour hisser d'une position à une position on peut régler le mouvement de montée
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : c.-à-d. qu'on peut régler en modifiant la tension de la corde et
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où « non conservatif » [63] ;

           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , doit être , le travail élémentaire de exercée par la corde s’écrivant
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , « avec » est tel que
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , « est »,
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , le travail de pour montant de à le long de la verticale s'écrit
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , «[3] »
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de pour terminer l'évaluation,
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , celle-ci vérifiant que le travail de ne dépend pas que des positions extrêmes [64], [65]
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , la force exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et
           Exemple de laverticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , la force exercée par la corde est d'autre part « motrice ».

     Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale [59] : dans le paragraphe précédent relatif à la du point matériel , on a établi que
           Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force exercée par la corde sur s'écrit
           Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force , unitaire vertical  ;
           Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , doit être le travail élémentaire de exercée par la corde
           Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , «» [66] suit
           Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , «», le travail de pour de
           Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , à le long de la verticale s'écrit
           Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , à [3]
           Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de pour terminer,
           Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , d'où le travail de ne dépend pas que des positions extrêmes [64], [67] et
           Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , d'où la force exercée par la corde est d'une part « non conservative » et
           Exemple de laverticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une , d'où la force exercée par la corde est d'autre part « résistive ».

     En conclusion, la force exercée par une corde idéale [59] sur un point est « non conservative » et
           En conclusion, la force exercée par une corde idéale sur un point développe « un travail positif ou négatif », est donc « motrice ou résistive » [68].

Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal[modifier | modifier le wikicode]

     Parmi toutes les forces de contact détaillées dans le chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » qu'un point peut subir c'est l'« unique force de contact conservative » [69], elle sera étudiée au paragraphe « 3ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point » plus bas dans ce chapitre.

Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le S.I. [23] des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en  ;

     l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « référence de l'énergie potentielle dont dérive le champ de forces conservatives » c.-à-d. l'« endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle ».

Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)[modifier | modifier le wikicode]

     Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I.,
     seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « Point matériel à mouvement conservatif » plus bas dans ce chapitre et
     seuls les cas de conservation détaillés au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
     seuls les cas de conservation introduitssont explicitement au programme de physique de P.C.S.I..

Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie dans un référentiel galiléen
     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique sont les travauxnon nulsdes forces non conservatives [28] sur cette même durée.

Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s)[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) dans un référentiel galiléen
     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique sont les travaux élémentairesnon nulsdes forces non conservatives [28].

Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)[modifier | modifier le wikicode]

     La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « 1ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ;

     le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser et en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car y est toujours aussi petit que possible [70].

Point matériel « à mouvement conservatif »[modifier | modifier le wikicode]

     Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante :

« Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée » [72].

2ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative[modifier | modifier le wikicode]

Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative[modifier | modifier le wikicode]

     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative qui lui est imposé dans un référentiel galiléen,
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur une force motrice compensant à chaque instant la force conservative et
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur une force motrice permettant le déplacement du point d'une position initiale vers une position finale
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur une force motrice permettant le déplacement du point de façon « quasi-statique » [73],

     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle « le travail développé dans par la force motrice [74] » constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) [75] « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives [28] à déplacement quasi-statique [73] » [76] soit
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «»
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «
     Pour constituer la réserve d'énergie potentielle « «».

Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative[modifier | modifier le wikicode]

     En l'absence de forces non conservatives [28] travaillant lors d'un déplacement quasi-statique [73], [76] c.-à-d. l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou
                       En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c.-à-d. l'absence de forces de contact comme « une force de frottement solide » [77], [78],
           En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel , dans le référentiel d'étude supposé galiléen,
           En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel , une force motrice compensant à chaque instant la force conservative , soit
         En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel , une force motrice «» [79] et

           En l'absence de forces non conservatives on applique à dans galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative [75] soit
           En l'absence de forces non conservatives «» [74] avec,
           En l'absence de forces non conservatives compte-tenu du déplacement quasi-statique de [73], «» soit finalement
           En l'absence de forces non conservatives «».

           En l'absence de forces non conservatives Or la force motrice étant choisie telle que , on en déduit «»
           En l'absence de forces non conservatives d'où, par report dans la relation , «» dont on déduit la propriété suivante
           En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation , «» [80] ou, en considérant un déplacement élémentaire quelconque,
           En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation , «» [81], [82]
           En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation , «
           En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation , «» [24], [83]
           En l'absence de forces non conservatives ce qui justifie la présence du signe «» dans les définitions de l'énergie potentielle de dans le champ de la force conservative [82], [83].

Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique »[modifier | modifier le wikicode]

Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) »[modifier | modifier le wikicode]

     La puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude à l'instant est la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel et au même instant c.-à-d. [84] comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte .

Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique »[modifier | modifier le wikicode]

     À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel galiléen sur une durée élémentaire ,
     À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale [85] écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par soit
           À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale «» ou,
     À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant la puissance mécanique du point à l'instant dans le membre de droite et
     À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant la puissance des forces non conservatives [28] appliquée à au même instant dans le membre de gauche

«».

Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) »[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) dans un référentiel galiléen
     Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique sont les puissancesnon nullesdes forces non conservatives [28].

Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif »[modifier | modifier le wikicode]

     On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous :

     Définitionéquivalente : Un point matériel est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou
     Définitionéquivalente : Un point matériel est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel si les éventuelles forces non conservatives [28] ne développent aucune puissance soit
          Définitionéquivalente : Un point matériel est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel si les éventuelles forces non conservatives «».

     Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen
     Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que
     Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » « l'énergie mécanique du pointà mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen ».

1er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point »[modifier | modifier le wikicode]

Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)[modifier | modifier le wikicode]

     Supposant le champ de pesanteur terrestre « uniforme » [86], le poids d'un point matériel de masse s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec vertical ascendant,
           Supposant le champ de pesanteur terrestre « uniforme », le poids d'un point matériel de masse s'écrit, «» où est l'intensité de la pesanteur terrestre ;

     pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «» et
     pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte [5] soit, en cartésien,
     pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «» [87] qui est effectivement une différentielle exacte [5] dans la mesure où « le cœfficient de ne dépend que de et est intégrable sur tout ouvert de » [88] en effet, le cœfficient de est une constante d'où

« le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme [86] est une force conservative ».

« Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie potentielle du point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme [86] encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée ,
           L'énergie potentielle du point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par «» soit «» [89] ou
           L'énergie potentielle du point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par «» [90] «» ;

     en choisissant la référence de l'énergie potentielle de pesanteur enniveau du sol c.-à-d. , on en déduit «».

     À retenir : Si l'axe est vertical , « avec la référence en » l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction de l'altitude  ;

     À retenir : si l'axe est vertical , on obtient, « avec la même référence, » [91] l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction de la profondeur .

Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme)[modifier | modifier le wikicode]

     Toute énergie potentielle d'un point matériel est une « réserve d'énergie pour » utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie par exemple
     Toute énergie potentielle d'un point matériel est une « réserve d'énergie pour » utilisable pour « être transformée spontanément en énergie cinétique» [92] et
     Toute énergie potentielle d'un point matériel est une « réserve d'énergie pour » « dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ;

cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :

      un point matériel au repos à une altitude , possède l’énergie potentielle de pesanteur si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et
      un point matériel au repos à une altitude , possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ;
      abandonné à lui-même, il chute spontanément en acquérant de l’énergie cinétique à partir de et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur ,
     abandonné à lui-même, la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air » [93]

      si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle c.-à-d. le replacer à l'altitude initiale , il faut exercer sur lui une force motrice de manière « quasi-statique » [73],
      si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire énergie potentielle pour nous
      si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation en énergie potentielle de pesanteur de sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur ,
      si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique [75] appliqué à «
            si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à « » [94] ;
      la force motrice à exercer pour que le mouvement de se fasse de façon « quasi-statique » [73] est l'opposé de soit «» [95] dont on tire
      la force motrice à exercer «» d'où «» [96].

2ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point »[modifier | modifier le wikicode]

Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique » [97], c'est une bonne approximation pour
le Soleil «  » [98] et les planètes qui gravitent autour de lui dont la Terre «  » [98] ainsi que
les plus gros satellites naturels de ces planètes dont la Lune «  » [99], [100].

Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre[modifier | modifier le wikicode]

     On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre de l'astre de masse et de rayon [101], les coordonnées sphériques du point matériel de masse sont [101] et
            On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre de l'astre de masse et de rayon , la base sphérique liée à , [101] ;

     la position de restant à l'extérieur de l'astre c.-à-d. telle que , l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point égal à
     la position de restant à l'extérieur de l'astre c.-à-d. telle que , l'astre crée autour de lui «», « étant la constante de gravitation universelle
     la position de restant à l'extérieur de l'astre c.-à-d. telle que , l'astre crée autour de lui «», « » [102] et

     la position de restant à l'extérieur de l'astre le point matériel de masse subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «».

     la position de restant à l'extérieur de l'astre La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel de masse s’écrit donc «».

Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre[modifier | modifier le wikicode]

     Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle que l'astre à symétrie sphérique [97] exerce sur le point matériel ,
     pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «» et
     pour prouver le caractère conservatif on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte [5] soit, en sphérique,
     pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «[103] » qui est effectivement une différentielle exacte [5] car « le cœfficient de ne dépend que de et est intégrable sur tout ouvert de » [88] en effet, le cœfficient de est une fonction en qui s'intègre en

d'où « la force d'attraction gravitationnelle que l'astre à symétrie sphérique [97] exerce sur le point matériel est une force conservative »,

« la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel de masse à savoir est une force conservative ».

Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel dans le champ de gravitation créé par l'astre à symétrie sphérique [97] notée ,
     L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel se définit par «» soit «» [104] ou «» [105]
     L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel se détermine «» [106],
     L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel se détermine l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre est une fonction de la distance de au centre de l'astre.

     En choisissant la référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique [97] à l' de ce dernier [107] c.-à-d. , on obtient «» ;


l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel de masse s'écrit « avec référence à l'infini » [107],
                                                  l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction de la distance du point au centre de la Terre [108].

     Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique [97] :
     en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre c.-à-d. dont on déduit soit d'où
     en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel dans le champ de gravitation de l'astre à symétrie sphérique [97]
     en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre « avec référence à la surface de l'astre » [109],
     en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre est une fonction de la distance de au centre de l'astre.


l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel de masse s'écrit « avec référence à la surface terrestre » [109],
                                                  l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction de la distance du point au centre de la Terre [110].

Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre[modifier | modifier le wikicode]

Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel de masse en fonction de sa distance au centre de la Terre, avec référence à l'infini, et étant en grandeurs réduites [111]

     Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel de masse avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «», son graphe en fonction de est
     Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère [112] partant du point et
            Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des ».

     L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel de masse avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «», son graphe en fonction de se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de de la quantité à tracer soi-même, d'où le graphe s'identifiant à
     une portion de branche d'hyperbole équilatère [112] partant du point et
            une portion de branche d'hyperbole équilatère jusqu'à l'asymptote horizontale
            une portion de branche d'hyperbole équilatère jusqu'à d'équation «» soit
            une portion de branche d'hyperbole équilatère jusqu'à la droite à l'axe des et d'ordonnée .

Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol[modifier | modifier le wikicode]

     Après définition de l'« altitude du point par rapport au niveau du sol terrestre selon », on peut réécrire
     Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point avec référence au niveau du sol «» [113]
     Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point avec référence au niveau du sol selon on vérifie qu'il s'agit d'une fonction de l'altitude  ;

     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre par exemple ,
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut considérer comme un infiniment petit d'ordre un [114] et
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire «» [113] ou, en en prenant un D.L. [115] à l'ordre un
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire «» [113], [116] ou «» [113]
                                             dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire avec « l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ».

     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre avec
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1ère approximation on peut confondre l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol , on observe alors
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1ère approximation l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de dans l'hypothèse où
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1ère approximation l'identification avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit
     dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1ère approximation «».

3ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point »[modifier | modifier le wikicode]

Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un ressort idéal [117] dont une extrémité est liée à un point matériel , l'autre extrémité étant notée , étant la position qu'occuperait si le ressort était à vide en supposant la direction de l'axe inchangée

     Notant l'autre extrémité du ressort « idéal » [117] lié au point matériel ,
     Notant le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de vers ,
     Notant la longueur à vide du ressort et la raideur de ce dernier,
     la « force que le ressort exerce sur » [118] notée [119] est donnée par la loi de Hooke [120] «» [121] dans laquelle
                  la « force que le ressort exerce sur » notée est donnée par « est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide »,
                   la « force que le ressort exerce sur » notée est donnée par « étant la longueur à charge du ressort »,

                   la « force que le ressort exerce sur » notée est donnée par la loi de Hooke [120] que l'on peut réécrire selon «» avec
                   la « force que le ressort exerce sur » notée est donnée par la « la position de lorsque le ressort est à vide en supposant que
                   la « force que le ressort exerce sur » notée est donnée par la la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ;

     quand est fixe voir schéma ci-contre, le meilleur repérage du point est le repérage sphérique de pôle [101], dans ces conditions
     quand est fixe voir schéma ci-contre, « s’identifie au 1er vecteur de base sphérique lié à »,
     quand est fixe voir schéma ci-contre, « la longueur à charge s'identifiant au rayon polaire du point ».

Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel[modifier | modifier le wikicode]

     Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal [117] qui s'exerce sur le point matériel ,
     Pour prouver le caractère « conservatif » on déplace de façon élémentaire le point selon le vecteur déplacement élémentaire , l'extrémité étant fixe voir schéma ci-dessus,
     Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle [101] » pour la 1ère coordonnée sphérique étant la longueur à charge du ressort,
            Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle  » pour les deux autres étant angulaires notées respectivement et [122] et
     Pour prouver le caractère « conservatif » le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «» [103] ;
     Pour prouver le caractère « conservatif » on en déduit le travail élémentaire de , «» et
     Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte [5] dans la mesure où « le cœfficient de ne dépend que de et est intégrable sur tout ouvert de » [88]
          Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où en effet le cœfficient de est une fonction affine s'intégrant en fonction quadratique

d'où « le vecteur tension du ressort idéal [117] qui s'exerce sur le point matériel est une force conservative dans l'hypothèse où est fixe [123] ».

     Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration [124] : partant de avec « la position de lorsque le ressort est à vide en supposant que
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de avec « la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » [125],
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de soit un vecteur déplacement élémentaire de avec l'autre extrémité du ressort idéal [117] fixe,
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de on envisage «» d'où le travail élémentaire de s'écrit
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de «[126]
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de « » ;

            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de explicitons qui étant à ,
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de en effet d'où à
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de explicitons qui est aussi à [125] ou
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de explicitons qui est aussi à [125]
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de explicitons d'où «» permettant de réécrire le travail élémentaire de selon
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de «» qui est effectivement une différentielle exacte [5] car
            Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de «» qui est effectivement .

« le vecteur tension du ressort idéal [117] [125] qui s'exerce sur le point matériel est une force conservative dans l'hypothèse où est fixe [123] ».

« Énergie potentielle élastique » d'un point matériel[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie potentielle élastique du point matériel c.-à-d. son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal » [117] notée ,
     L'énergie potentielle élastique du point matériel se définit par «» soit «» [127] ou encore «»
     L'énergie potentielle élastique du point matériel se définit par «» soit «» [128] ou, en introduisant l'« allongement algébrique »,
     L'énergie potentielle élastique du point matériel se définit par «» soit «» [128] «»
     L'énergie potentielle élastique du point matériel se définit par «» soit l'énergie potentielle élastique est une fonction de [129] c.-à-d.
     L'énergie potentielle élastique du point matériel se définit par «» soit l'énergie potentielle élastique est une fonction de la valeur absolue de l'allongement algébrique.

     En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal [117] c.-à-d. , on en déduit «»
             En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c.-à-d. , on en déduit « avec référence « ressort à vide » ;
             En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel peut se réécrire
             En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal « avec référence en position de avec ressort à vide, la
                                                                                                         En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal direction de l'axe étant inchangée
                                                                                                         En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal par rapport à sa position à charge».

Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal[modifier | modifier le wikicode]

Tracé du diagramme d'énergie potentielle élastique d'un point matériel relié à un ressort idéal [117] en fonction de l'allongement algébrique de ce dernier, la référence étant choisie en la position à vide du ressort

     Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique du point matériel relié à un ressort idéal [117] de raideur et de longueur à vide en fonction de l'allongement algébrique du ressort étant la longueur du ressort à charge,
     Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence,
     Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec une unité d’abscisse arbitraire notée ,
     Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec l'unité d'ordonnée correspondante étant .

     Remarque : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point a une position d'« équilibre stable » [130] qui « n'est pas la position à vide » [131], on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ;

     Remarque : la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique et l'énergie potentielle élastique s'écrivant , la condition de référence nous conduit à soit et par suite

« avec référence en la position d'équilibre » ;

     Remarque : si on note « l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «» [132] ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative


4ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point »[modifier | modifier le wikicode]

Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un champ électrique « uniforme » [133], la force électrique s'exerçant sur un point de charge s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec et de sens contraire à [134], [135],
            Soit un champ électrique « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point de charge s'écrit, «» où est la norme du champ électrique terrestre et
            Soit un champ électrique « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point de charge s'écrit, «» où la « référence des potentiels électriques » [136] choisie
            Soit un champ électrique « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point de charge s'écrit, «» où la « référence confondue avec l’origine des cotes ;

     pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «» et
     pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte [5] soit, en cartésien,
     pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «» [137] qui est effectivement une différentielle exacte [5] dans la mesure où « le cœfficient de ne dépend que de et est intégrable sur tout ouvert de » [88] le cœfficient de étant une constante

d'où « la force électrique s'exerçant sur un point de charge dans un champ électrique uniforme [133] est une force conservative ».

Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie potentielle électrostatique du point de charge dans le champ de électrique uniforme [133] notée [138],
            L'énergie potentielle électrostatique du point de charge dans le champ de électrique uniforme se définit par «» soit «» [139] ou
            L'énergie potentielle électrostatique du point de charge dans le champ de électrique uniforme se détermine par «» [140] «
                     L'énergie potentielle électrostatique du point de charge dans le champ de électrique uniforme se détermine par «» « » ;

     en choisissant la référence de l'énergie potentielle électrostatique en endroit de la référence des potentiels électriques [141] soit , on en déduit «».

     Parallèlement la circulation élémentaire [26] du champ électrique uniforme [133] «» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines,
                  Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique uniforme «»
                  Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique uniforme « est donc une différentielle exacte [5] « cœfficient de ne dépendant que de et
                       Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique uniforme « est donc une différentielle exacte « cœfficient de étant intégrable sur tout ouvert de » [142]
                       Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique uniforme « est donc une différentielle exacte « cœfficient de en effet, le cœfficient de est une constante

d'où « le champ électrique uniforme [133] est un champ à circulation conservative » [143] ;

     Parallèlement le potentiel électrique dont le champ électrique uniforme [133] dérive [144] étant défini par «» [145], soit «» [146] ou
                    Parallèlement le potentiel électrique dont le champ électrique uniforme dérive étant défini par «» [147] «» et,
                    Parallèlement le potentiel électrique dont le champ électrique uniforme dérive étant défini par avec choix de la référence des potentiels électriques en , ,
                                                        Parallèlement le potentiel électrique dont le champ électrique uniforme dérive étant défini par « référence à l'origine des cotes».

     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point de charge dans le champ électrique uniforme [133] soit
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique uniforme [133] en noté
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée et à la charge du point par
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «» à condition que « identique à celle du potentiel électrique » et
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «» si cette référence commune est l'origine des cotes «»
     Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «» avec dans le sens des potentiels électriques.

     Conclusion : Remarque : en prenant l'opposé du gradient [24] de «» on obtient «» d'où
     Conclusion : Remarque : avec «» [83], [148] on retrouve «».

En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme[modifier | modifier le wikicode]

     On admet qu'un champ électrique quelconque est un « champ à circulation conservative » [143] qui dérive d’un potentiel électrique [144] par «» [144]
              On admet qu'un champ électrique quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique par ou «» [148] ;

toutefois « la détermination du potentiel électrique à partir du champ électrique n'est en général pas simple » [149] ;

     « la force électrique exercée sur un point de charge placé dans un champ électrique quelconque c.-à-d. étant donc conservative »,
     « la force électrique exercée sur un point de charge dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point c.-à-d. ,
     « la force électrique exercée sur un point de charge dérive de cette dernière étant liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique quelconque et
     « la force électrique exercée sur un point de charge dérive de cette dernière étant liée à la charge du point par
     « la force électrique exercée sur un point de charge dérive de «» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques.

5ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge qO » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M »[modifier | modifier le wikicode]

Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge qO s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton[modifier | modifier le wikicode]

Loi d'interaction de Coulomb[modifier | modifier le wikicode]

     Entre deux points matériels et de charges respectives et s'exerce une « interaction électrostatique » telle que
     Entre deux points matériels et de charges respectives et « la force que exerce sur dans le vide s’écrivant » avec
     Entre deux points matériels et de charges respectives et « la force « distance séparant et », « vecteur unitaire de la droite dirigé de vers »,
     Entre deux points matériels et de charges respectives et « la force que exerce sur dans le vide est l'opposé de celle que exerce sur dans le vide » soit
     Entre deux points matériels et de charges respectives et «»,

     Entre deux points matériels et de charges respectives et ces forces étant appelées « forces de Coulomb » [38] avec
     Entre deux points matériels et de charges respectives et « la permittivité diélectrique du vide » [150] de valeur telle que «[102] ».

     Remarque : L'interaction électrostatique est « attractive pour » et
     Remarque : L'interaction électrostatique est « répulsive pour ».

Force électrostatique créée par un point matériel O de charge qO s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge qO en M[modifier | modifier le wikicode]

     D'après la loi d'interaction de Coulomb [38], le point de charge exerce sur le point de charge la force électrostatique de Coulomb [38]
           D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point de charge exerce «» [151] avec « la 1ère coordonnée sphérique du point » et
                     D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point de charge exerce «» avec « le 1er vecteur de base sphérique liée à »,
                      D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point de charge exerce «» le repérage sphérique étant de pôle [101].

     Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb [38] : le point de charge crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point de l'espace par
           Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point de charge crée autour de lui un vecteur champ électrique dont l'action sur un point de charge se révèle
           Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point de charge crée autour de lui par « la force électrique définie par identique à » d'où
           Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point de charge crée autour de lui «» existant même en absence de charge [152],
           Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point de charge crée autour de lui si est le champ électrique est centrifuge [153] et
           Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point de charge crée autour de lui si est le champ électrique est centripète [154].

Cas particulier du champ électrique créé par un proton[modifier | modifier le wikicode]

     « Un proton placé en étant de charge » crée autour de lui « un champ électrique centrifuge »,
     « Un proton placé en étant de charge » crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique [97]
     « Un proton placé en étant de charge » crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation à l'exception du sens bien entendu.

Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge qO exerce sur un autre point matériel M de charge q[modifier | modifier le wikicode]

     Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique qu'un point de charge exerce sur un autre point de charge ,
     pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «» et
     pour prouver le caractère conservatif on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte [5] soit, en sphérique,
     pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire «[103] » qui est effectivement une différentielle exacte [5] car « le cœfficient de ne dépend que de et est intégrable sur tout ouvert de » [88] en effet, le cœfficient de est une fonction en qui s'intègre en d'où

« la force électrostatique que le point de charge exerce sur le point de charge est une force conservative »,

« la force électrostatique exercée par un proton de charge sur un électron de charge à savoir est une force conservative »,
« la force électrostatique exercée par un proton de charge sur un électron de charge à savoirle proton étant le pôle du repérage sphérique de l'électron .

Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge qO[modifier | modifier le wikicode]

     L'énergie potentielle électrostatique du point de charge dans le champ électrique créé par le point de charge notée ,
     L'énergie potentielle électrostatique du point se détermine par «» soit «» [155] ou
     L'énergie potentielle électrostatique du point se détermine par «» soit «» [156] qui s'intègre en
     L'énergie potentielle électrostatique du point se détermine par «» soit «» [157],
     L'énergie potentielle électrostatique du point se détermine par l'énergie potentielle électrostatique due au point de charge
     L'énergie potentielle électrostatique du point se détermine par l'énergie potentielle électrostatique est une fonction de valeur absolue avec la distance du point au point .

     En choisissant la référence de l'énergie électrostatique due au pointde chargeà l'infini de ce dernier c.-à-d. , on en déduit «» ;

l'énergie potentielle électrostatique du point de charge dans le champ électrique du point de charge s'écrit « avec référence à l'infini » [107],
                                                  si est , l'énergie potentielle électrostatique est une fonction positive de la distance du point au point ,
                                                       si est , l'énergie potentielle électrostatique est une fonction négative de la distance du point au point .

     Parallèlement la circulation élémentaire [26] du champ électrique créé par le point de charge soit «» s'écrivant, en sphérique de pôle ,
           Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique «[103] »,
           Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique « est donc une différentielle exacte [5] « cœfficient de ne dépendant que de et
                Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique « est donc une différentielle exacte « cœfficient de étant intégrable sur tout ouvert de »,
                Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique « est donc une différentielle exacte le cœfficient de étant une fonction en s'intégrant en [142]

d'où « le champ électrique créé par le point de charge en la position est un champ à circulation conservative » [143] ;

     Parallèlement le potentiel électrique dont le champ électrique créé par le point de charge dérive [144] étant défini par «» [158], soit
             Parallèlement le potentiel électrique dont le champ électrique créé par le point de charge dérive étant défini par «» [159] ou
             Parallèlement le potentiel électrique dont le champ électrique créé par le point de charge dérive étant défini par «» [160] qui s'intègre en
             Parallèlement le potentiel électrique dont le champ électrique créé par le point de charge dérive étant défini par «» ou,
             Parallèlement le potentiel électrique dont le champ électrique créé par le point de charge dérive étant défini par avec l' pour référence des potentiels électriques,
             Parallèlement le potentiel électrique dont le champ électrique créé par le point de charge dérive étant défini par «».

     Conclusion : d'après les sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de de charge dans le champ électrique créé par de charge
     Conclusion : d'après les sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en , , dont dérive le champ électrique
       Conclusion : d'après les sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en , , dont dérive le champ électrique créé par en
Conclusion : d'après les sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée et à la charge du point par
     Conclusion : d'après les sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique
     Conclusion : d'après les sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «» si « la référence est identique à celle du potentiel électrique » et
     Conclusion : d'après les sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «» si cette référence commune est l' on a .

     Conclusion : Remarque : en prenant l'opposé du gradient [24] de «» on obtient « »
     Conclusion : Remarque : d'où, avec «» [83], [148] on retrouve «».

« Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton »[modifier | modifier le wikicode]

     Cas particulier de l'exposé du paragraphe « énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge qO »
     Cas particulier de l'exposé du paragraphe plus haut dans ce chapitre,
     Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron de charge dans le champ électrique créé par un proton de charge » [161] s'écrit
     Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron «» avec
     Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini,
     Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron « étant la distance séparant l'électron du proton » [162].

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Les définitions données ci-après pourraient s'appliquer en figeant le temps mais les conséquences énergétiques qui découlent de l'introduction du caractère conservatif d'une force ne dépendant pas explicitement du temps ne seraient plus valables dans le cas d'une force dépendant explicitement du temps ;
       aussi non seulement cette introduction pour une telle force perd tout son intérêt mais elle supprime aussi les conséquences énergétiques de l'introduction du caractère conservatif pour les autres forces conservatives ne dépendant pas explicitement du temps.
  2. 2,0 et 2,1 En étant non nul bien que soit évidemment indépendant du chemin suivi, on ne considère pas la force comme conservative si son travail est nul, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 et 3,8 Voir le paragraphe « Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  4. 4,0 et 4,1 En étant non nul bien que soit évidemment la différentielle d'une fonction constante, on ne considère pas la force comme conservative si son travail élémentaire est nul, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !
  5. 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,10 5,11 5,12 5,13 5,14 5,15 5,16 5,17 5,18 et 5,19 Ou différentielle totale.
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 et 6,5 Conditions(s) Nécessaire(s).
  7. Avec la substitution suivante si le repérage est cylindro-polaire voir le paragraphe « Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
       Avec la substitution suivante s'il est sphérique voir le paragraphe « Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point » du chap. de la même leçon « |Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  8. Avec la substitution suivante si le repérage est cylindro-polaire voir le paragraphe « Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
       Avec la substitution suivante s'il est sphérique voir le paragraphe « Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique » du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  9. Car .
  10. Car .
  11. 11,0 et 11,1 Coordonnée non nécessairement cartésienne mais qui peut être cylindro-polaire , ou ou encore sphérique , ou .
  12. 12,0 et 12,1 Dans le cas où est une coordonnée cartésienne  ;
       dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale , orthoradiale et axiale  ;
       dans le cas de la coordonnée sphérique radiale , orthoradiale et longitudale .
  13. 13,0 et 13,1 Dans le cas où est une coordonnée cartésienne  ;
       dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale , orthoradiale et axiale  ;
       dans le cas de la coordonnée sphérique radiale , orthoradiale et longitudale .
  14. En effet dans le cas où est une coordonnée cartésienne on peut réécrire en envisageant repéré par et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir soit indépendant de  ;
       En effet dans le cas où est la coordonnée cylindro-polaire radiale on peut réécrire en envisageant repéré par et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir soit indépendant de  ;
       En effet dans le cas où est la coordonnée cylindro-polaire orthoradiale on peut réécrire en envisageant repéré par et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir soit indépendant de c.-à-d. de la forme  ;
       En effet dans le cas où est la coordonnée sphérique radiale on peut réécrire en envisageant repéré par et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir ainsi que soit indépendant de et  ;
       En effet dans le cas où est la coordonnée sphérique orthoradiale on peut réécrire en envisageant repéré par et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir ainsi que soit indépendant de et c.-à-d. de la forme  ;
       En effet dans le cas où est la coordonnée sphérique longitudale on peut réécrire en envisageant repéré par et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir ainsi que soit indépendant de et c.-à-d. de la forme .
  15. 15,0 15,1 et 15,2 Conditions(s) Suffisante(s).
  16. Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
  17. 17,0 17,1 17,2 et 17,3 Une partie ouverte ou non de est dite « étoilée » lorsque contient au moins un point tel que pour tout point de le segment soit inclus dans  ; on dit alors que est « étoilée par rapport à  » est « convexe » ssi est étoilée par rapport à chacun de ses points.
  18. 18,0 et 18,1 Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ;
       d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire ou une différentielle exacte, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée mais, comme nous le voyons ici, la réciproque est fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée
  19. Ceci correspondant à la fermeture de la forme différentielle travail élémentaire.
  20. Ceci correspondant à un ouvert étoilé du domaine de définition de sur lequel le travail élémentaire est fermé.
  21. On comprend pourquoi une force dont le travail élémentaire est identique nul n'est pas considérée comme conservative car l'énergie potentielle dont elle dériverait serait constante et son introduction n'aurait aucun intérêt raison pour laquelle ceci est sous-entendu dans la définition d'une force conservative.
  22. En accord avec la définition des « potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et cela prolonge cette dernière dans le cas d'une force conservative dont le point se déplace sur une courbe continue.
  23. 23,0 et 23,1 Système International.
  24. 24,0 24,1 24,2 24,3 24,4 24,5 24,6 et 24,7 Voir le paragraphe « Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  25. Voir aussi le paragraphe « 2ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour les forces définies en un point se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues, le cas où le point se déplace sur une courbe continue résultant du lien entre la différentielle d'une fonction d'une variable et la dérivée de cette fonction relativement à la variable.
  26. 26,0 26,1 et 26,2 Voir le paragraphe « Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  27. Voir le paragraphe « théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  28. 28,00 28,01 28,02 28,03 28,04 28,05 28,06 28,07 28,08 28,09 28,10 28,11 28,12 et 28,13 Plus exactement des forces non conservatives ou conservatives mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle, raison pour laquelle on les maintient dans l'ensemble des forces non conservatives.
  29. Grandeur dépendant du référentiel d'étude.
  30. D'une part chaque énergie potentielle est définie à une constante additive près, ce qui nécessite le choix, rappelons-le, d'une « référence pour chaque énergie potentielle » c.-à-d. l'endroit où elle est considérée nulle ;
       d'autre part l'énergie potentielle d'un point matériel dans plusieurs champs de forces conservatives étant définie comme la somme des énergies potentielles dont dérivent les forces conservatives prises individuellement, on peut se contenter de choisir la « référence pour l'énergie potentielle totale » ;
       enfin on admettra que l'énergie potentielle tout comme le champ de forces dans lequel elle est définie est indépendante du référentiel d'étude.
  31. Voir aussi le paragraphe « 3ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  32. Encore appelée force de frottement solide exercée sur le point.
  33. 33,0 et 33,1 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre ou base de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules.
  34. 34,0 et 34,1 Voir les paragraphes « notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue » et « notion de 1er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  35. 35,0 et 35,1 Voir le paragraphe « Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  36. 36,0 36,1 et 36,2 Voir le paragraphe « Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  37. En effet étant toujours de sens contraire à , leurs composantes sur sont de signe contraire.
  38. 38,0 38,1 38,2 38,3 et 38,4 Charles-Augustin Coulomb (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.
  39. Voir le paragraphe « Loi de frottement solide avec glissement de Coulomb » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  40. On suppose la liaison unilatérale et on oriente la normale dans le sens contraire de celui de la pénétration possible du point dans le solide.
  41. 41,0 et 41,1 est la fonction « signe de  » telle que .
  42. Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de , car est .
  43. Cas assez fréquent.
  44. Dans le cas assez fréquent où avec un glissement dans le sens contraire de , toujours car est à .
  45. étant la longueur algébrique du chemin suivi sur la courbe .
  46. 46,0 et 46,1 Encore appelée force de frottement fluide.
  47. Voir le paragraphe « Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  48. Voir le paragraphe « Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  49. Voir le paragraphe « Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  50. Voir le paragraphe « Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  51. En effet étant toujours de sens contraire à , leurs composantes sur sont de signe contraire.
  52. 52,0 et 52,1 Voir le paragraphe « Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  53. Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de , car est .
  54. Très fréquent.
  55. La définition de la viscosité dynamique d'un fluide n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux c.-à-d. qu'il « collera » au plan ;
       on peut trouver plus de détails dans la note 30 du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  56. Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée que dans l'atmosphère proche du sol.
  57. Dans le cas très fréquent de forme quadratique pour la force de frottement fluide et d'un mouvement dans le sens contraire de , toujours car est .
  58. En supposant, par exemple, que de la connaissance de et par élimination de on peut déduire une loi précisant la variation de la vitesse instantanée en fonction de l'abscisse curviligne soit ce qui permettrait de réécrire, avec , et en supposant le mouvement dans le sens de , et d'établir clairement que, suivant la vitesse permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force de frottement fluide sera différent que ce soit sur une même courbe ou sur des courbes différentes
  59. 59,0 59,1 59,2 59,3 59,4 et 59,5 C.-à-d. inextensible et sans masse.
  60. Voir aussi le paragraphe « 4ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil iéal » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  61. Pour qu'une force puisse être considérée comme conservative, il faut qu'elle le soit dans toutes les situations envisageables et non simplement dans des cas très particuliers comme ce serait le cas pour
  62. Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  63. Pour la montée verticale de la trajectoire ne peut évidemment pas être changée, le caractère « non conservatif » de la force ne résulte donc pas du changement de courbe suivie mais du fait qu'entre deux mêmes positions extrêmes le travail de la force exercée par la corde n'est pas le même suivant le mouvement imposé entre ces positions extrêmes, ce qui est incompatible avec le caractère conservatif d'une force ;
       on peut dire aussi que la force exercée par la corde ne définit pas un champ de forces dans la mesure où en une même position dépend du mouvement du point et non uniquement de sa position.
  64. 64,0 et 64,1 En effet si on connaît la loi horaire de position et que cette loi soit inversable on peut en déduire et réécrire le travail de la force selon permettant d'établir clairement que, suivant la loi d'accélération permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force exercée par la corde sera différent
  65. Par exemple pour monter un solide supposé ponctuel de masse d'une hauteur on peut procéder par
    • une traction douce d'accélération , d'où le travail ou
    • une traction rapide d'accélération , d'où le travail ,
        c.-à-d. que le travail de pour monter le solide d'une même position à une même position dépendant de la façon dont l'ascension est faite prouve le caractère non conservatif de .
  66. En supposant que le fil reste tendu.
  67. Par exemple pour descendre un solide supposé ponctuel de masse d'une hauteur on peut procéder par
    • une retenue forte d'accélération telle que , d'où le travail ou
    • une retenue faible d'accélération , d'où le travail ,
        c.-à-d. que le travail de pour descendre le solide d'une même position à une même position dépendant de la façon dont la descente est faite prouve le caractère non conservatif de .
  68. Si elle est résistive, on la qualifie aussi de « dissipative ».
  69. N'a donc pas sa place dans le paragraphe « Exemples de forces non conservatives » mais y est rappelée car la plupart des forces non conservatives sont des forces de contact et c’est la seule force de contact « conservative ».
  70. 70,0 70,1 et 70,2 L'égalité entre la différentielle et la différence est valable parce que , en physique, est toujours aussi petit que possible revoir le paragraphe « Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  71. Il est nécessaire de préciser le référentiel dans lequel le caractère « à mouvement conservatif » du point est défini même si le plus souvent le référentiel n'est pas rappelé car le travail d'une force dépend du référentiel
  72. La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif n'est qu'une propriété valable dans un référentiel galiléen et non la définition ;
       a priori on pourrait définir un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen même si l'intérêt d'une telle introduction serait nul et nous en déduirions que l'énergie mécanique n'y est pas nécessairement conservée rappelons qu'il faut que le référentiel soit galiléen pour que l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique soit applicable.
  73. 73,0 73,1 73,2 73,3 73,4 et 73,5 C.-à-d sans créer d'énergie cinétique en aucun instant soit tel que en toute position.
  74. 74,0 et 74,1 Considérée comme non conservative car, dans la mesure où elle le serait, nous n'utiliserons pas ce caractère.
  75. 75,0 75,1 et 75,2 Voir le paragraphe « énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » plus haut dans ce chapitre.
  76. 76,0 et 76,1 Les forces de frottement fluide étant pratiquement les seules autres forces non conservatives à être tolérées dans la mesure où
       à déplacement quasi-statique, d'une part elles sont quasi-nulles car leur norme est à avec et
       à déplacement quasi-statique, d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie nécessite une durée car à vitesse ,
       à déplacement quasi-statique, d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie est de valeur absolue d'ordre de grandeur à
  77. Liste non exhaustive.
  78. Bien qu'à déplacement quasi-statique ces forces non conservatives de norme non nulle développent une puissance quasi-nulle, un parcours de longueur finie nécessitant une durée , ces forces développent un travail fini non nul car de valeur absolue d'ordre de grandeur « norme de la force » ou encore d'ordre de grandeur « valeur absolue de la puissance de la force de forme indéterminée », raison pour laquelle ces forces sont supposées absentes
  79. On adapte donc à chaque instant pour être opposée à , ceci étant indépendant d'éventuelles autres forces.
  80. Voir le paragraphe « propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » plus haut dans ce chapitre.
  81. L'égalité entre la différentielle et la différence est valable parce que , en physique, est toujours aussi petit que possible et par suite le déplacement élémentaire étant de norme aussi petite que possible peut être confondu avec revoir le paragraphe « Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  82. 82,0 et 82,1 Voir le paragraphe « 1ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » plus haut dans ce chapitre.
  83. 83,0 83,1 83,2 et 83,3 Voir le paragraphe « 2ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » plus haut dans ce chapitre.
  84. Le nom de « puissance mécanique » définie à partir de l'énergie mécanique est donnée par analogie à celui de « puissance cinétique » définie à partir de l'énergie cinétique voir le paragraphe « Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » mais, contrairement au nom de « puissance cinétique », celui de « puissance mécanique » n'est pas introduit dans le programme de physique de P.C.S.I. et n'est pas utilisé par tous.
  85. Voir le paragraphe « Différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale » (ou vice-versa) du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  86. 86,0 86,1 et 86,2 Revoir les conditions pour que le champ de pesanteur terrestre puisse être considéré comme uniforme à près dans le paragraphe « Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  87. Ou, en cylincro-polaire, soit la même expression qu'en cartésien.
  88. 88,0 88,1 88,2 88,3 et 88,4 Voir le paragraphe « Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre.
  89. L'expression de la différentielle exacte prouve que ne dépend que de car,
       en cartésien, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend de la coordonnée horizontale et
       en cartésien, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend de la coordonnée horizontale .
       De même, en cylindro-polaire, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend de la coordonnée polaire horizontale radiale et
       De même, en cylindro-polaire, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend de la coordonnée polaire horizontale angulaire .
  90. Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable ne dépend que de .
  91. En effet, soit si référence en .
  92. Cette possibilité justifie le qualificatif « potentielle » donné à l’énergie.
  93. Il finit par s'écraser sur le sol, l'énergie mécanique devenue brutalement nulle a alors servi
    • à déformer l'objet assimilé à un point matériel on entre dans le domaine de la dynamique des systèmes de points matériels déformables toutefois dans cette dynamique toute conservation d'énergie mécanique macroscopique celle qui est introduite en dynamique des systèmes de points matériels indéformables c.-à-d. des solides doit être remplacée par une conservation d'énergie mécanique totale qui est la somme de l'énergie mécanique macroscopique et de l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet ici de l'énergie mécanique macroscopique se transforme en énergie potentielle microscopique ou
    • à l'échauffer on entre alors dans le domaine de la thermodynamique, toutefois en thermodynamique toute conservation d'énergie mécanique doit être remplacée par une conservation d'énergie totale qui est la somme de l'énergie mécanique et de l'énergie interne, cette dernière dépendant, entre autres, de la température de l'objet c.-à-d. de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet ici de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne ou encore
    • à le déformer et l'échauffer on entre encore dans le domaine de la thermodynamique, l'énergie interne englobant aussi l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet en plus de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet ici encore de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne correspondant à une déformation et un échauffement.
  94. En effet d'une part et d'autre part la seule force non conservative est la force motrice car si on opère suffisamment lentement, les forces de frottement fluide sont négligeables elles dépendent de la vitesse et celle-ci est quasi nulle.
  95. En effet les seules forces étant et les forces de frottement fluide étant négligeables à vitesse quasi-nulle d'une part et d'autre part un mouvement à vitesse quasi nulle est un cas particulier de mouvement à vecteur vitesse constant c.-à-d. à vecteur accélération nul d'où l'affirmation par application de la r.f.d.n.
  96. Ce qui permet une nouvelle fois de vérifier la justesse de l'introduction du signe «» dans la définition de l'énergie potentielle «».
  97. 97,0 97,1 97,2 97,3 97,4 97,5 97,6 et 97,7 Abus pour parler d'astre « dont la répartition de masse est à symétrie sphérique » c.-à-d. dont la masse volumique en un point quelconque de l'astre ne dépend que de la distance séparant du centre de l'astre.
  98. 98,0 et 98,1 Symbole astronomique.
  99. Il n'y a pas de symboles astronomiques représentant la Lune mais plusieurs pour préciser la phase de celle-ci, celui qui a été choisi ici représente son premier quartier, le dernier quartier aurait été «  »
  100. Sur les 79 satellites naturels de Jupiter la plus grosse planète du système solaire, de symbole astronomique et de volume mille trois cents fois celui de la Terre confirmés à l'heure actuelle, les 4 plus gros ont une forme sphérique due à leur masse suffisamment importante pour qu'ils aient pris cette forme sous l'effet de leur propre attraction gravitationnelle suivant leur distance à Jupiter, Io de taille similaire à celle de la Lune, Europe de même taille que Io, Ganymède le plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume trois fois et demi celui de la Lune et Callisto le 3ème plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume deux fois et demi celui de la Lune, les orbites des trois satellites les plus proches de Jupiter sont en résonance orbitale, ce qui a pour conséquence la stabilité des orbites, les autres ont une forme irrégulière ;
       il en est de même pour Saturne de symbole astronomique et de volume neuf cents fois celui de la Terre, sur ses 62 satellites naturels répertoriés à l'heure actuelle, seuls 7 d'entre eux, les plus gros, ont une forme sphérique par effet de leur propre attraction gravitationnelle suivant leur distance à Saturne, Mimas de diamètre, Encelade de diamètre, Téthys de diamètre, Dioné de diamètre, Rhéa de diamètre, Titan le 2ème plus gros des satellites naturels du système solaire, de diamètre, de volume représentant un peu plus de trois fois celui de la Lune, c'est le seul des satellites du système solaire possédant une atmosphère dense, celle-ci étant essentiellement composée d'azote et Japet de diamètre, les autres ont une forme plus ou moins irrégulière
  101. 101,0 101,1 101,2 101,3 101,4 et 101,5 Voir le paragraphe « Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  102. 102,0 et 102,1 Unité du Système International.
  103. 103,0 103,1 103,2 et 103,3 Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  104. L'expression de la différentielle exacte prouve que ne dépend que de car,
       en sphérique, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée angulaire et
       en sphérique, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée angulaire .
  105. Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable ne dépend que de .
  106. En effet admet pour primitive à une constante additive près .
  107. 107,0 107,1 et 107,2 Choix bien adapté pour les objets pouvant sortir du champ de gravitation de l'astre,
       lorsque ces objets ne sont plus dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et
       lorsque ces objets sont encore dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est négative.
  108. C.-à-d. encore une fonction de l'altitude est le rayon de la Terre supposée sphérique.
  109. 109,0 et 109,1 Choix bien adapté pour les objets orbitant autour de l'astre dans le champ de gravitation de ce dernier,
       lorsque ces objets sont sur la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et
       lorsque ces objets ne touchent plus la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est positive.
  110. C.-à-d. encore une fonction de l'altitude est le rayon de la Terre supposée sphérique, car fonction de .
  111. C.-à-d. respectivement en unité et .
  112. 112,0 et 112,1 Voir le paragraphe « Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy (cas d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  113. 113,0 113,1 113,2 et 113,3 En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction « énergie potentielle en fonction de » dont la valeur est est notée d'où la notation simplifiée alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de » dont la valeur est serait notée, par exemple, d'où la notation simplifiée  ;
       en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais,
       en physique, lors d'un changement de variable, par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple
       en physique, la fonction « énergie potentielle en fonction de » dont la valeur est et la fonction « énergie potentielle en fonction de » de même valeur sont respectivement notées d'où la notation simplifiée alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de » dont la valeur est serait notée, par exemple, et la fonction « énergie potentielle en fonction de » de même valeur seraient notées, par exemple, d'où la notation simplifiée .
  114. Voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  115. Développement Limité.
  116. En effet pour prendre le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre l'autre facteur à l'ordre zéro d'où voir le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit d'ordre p < n » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  117. 117,00 117,01 117,02 117,03 117,04 117,05 117,06 117,07 117,08 et 117,09 C.-à-d. de masse négligeable, à spires non jointives ce qui permet au ressort de pouvoir aussi se comprimer relativement à sa situation à vide et parfaitement élastique.
  118. Appelée vecteur tension du ressort ou simplement tension du ressort.
  119. En absence d'ambiguïté.
  120. 120,0 et 120,1 Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
  121. Voir le paragraphe « Cause de déséquilibre, loi de Hooke » du chap. de la leçon avec « Signaux physiques (PCSI) ».
  122. Repérés par rapport à une direction de référence qu'il est inutile de préciser car celle-ci n'intervenant pas par la suite.
  123. 123,0 et 123,1 Nous nous limitons à ce cas car mobile entraînerait une dépendance explicite de la tension avec le temps et nous n'envisageons le caractère conservatif que des forces ne dépendant pas explicitement de .
  124. Plus délicate, préférer la précédente.
  125. 125,0 125,1 125,2 et 125,3 étant une position liée à , si la direction de change, la direction de change simultanément.
  126. Voir le paragraphe « autres propriétés (2ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  127. L'expression de la différentielle exacte prouve que ne dépend que de car,
       en sphérique, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée angulaire et
       en sphérique, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée angulaire .
  128. 128,0 et 128,1 Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable ne dépend que de .
  129. L'énergie potentielle élastique du point matériel a la même valeur que le ressort soit étiré ou comprimé pourvu que la valeur absolue de l'allongement algébrique soit la même et
              L'énergie potentielle élastique du point elle est minimale lorsque le ressort a sa longueur à vide.
  130. Un équilibre est dit stable si, le point étant légèrement écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, les forces qui s'exercent sur lui tendent à le ramener à cette position, cette notion sera vue au paragraphe « Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  131. Pour que ceci soit possible il faut qu'il y ait une autre force usuellement conservative s'exerçant sur comme dans le cas d'un pendule élastique vertical où cette autre force est le poids du point matériel.
  132. étant toujours puisqu'on suppose que la position d'équilibre stable n'est pas la position à vide, l'énergie potentielle purement élastique du point matériel ne s'écrit jamais avec erreur encore trop fréquente.
  133. 133,0 133,1 133,2 133,3 133,4 133,5 133,6 et 133,7 Par exemple le champ électrique créé à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est aux armatures sauf bien sûr sur les bords où une légère déformation se manifeste et ceci d'autant plus que les bords sont proches et son sens est celui des potentiels électriques  ; le champ électrique à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est uniforme aux effets de bords près.
  134. Donc est dans le sens des potentiels électriques .
  135. Ce choix arbitraire est fait pour faire l'analogie avec le champ de pesanteur uniforme pour lequel on a choisi de sens contraire à c.-à-d. dans le sens des altitudes .
  136. Le potentiel électrique étant défini à une constante additive près, il faut définir l'endroit où ce dernier est nul c.-à-d. la référence des potentiels électriques encore appelée « masse du circuit ».
  137. Ou, en cylincro-polaire, soit la même expression qu'en cartésien.
  138. On ne note pas pour des raisons évidentes, étant réservée aux tensions électriques.
  139. L'expression de la différentielle exacte prouve que ne dépend que de car,
       en cartésien, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée transversale et
       en cartésien, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée transversale .
       De même en cylindro-polaire, le cœfficent de étant nul ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale et
       De même en cylindro-polaire, le cœfficent de étant nul ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale .
  140. Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable ne dépend que de .
  141. C.-à-d. la masse du circuit électrique.
  142. 142,0 et 142,1 Voir le paragraphe « Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre dans lequel « force conservative doit être remplacé par champ à circulation conservative ».
  143. 143,0 143,1 et 143,2 Voir le paragraphe « Rappel de la 2ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  144. 144,0 144,1 144,2 et 144,3 Voir la « détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  145. Cette définition étant équivalente à «» voir le paragraphe « 2ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  146. L'expression de la différentielle exacte prouve que ne dépend que de car,
       en cartésien, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée transversale et
       en cartésien, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée transversale .
       De même en cylindro-polaire, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale et
       De même en cylindro-polaire, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale .
  147. Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable ne dépend que de .
  148. 148,0 148,1 et 148,2 Voir le paragraphe « 2ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  149. Par exemple avec , les composantes du champ électrique n'étant pas a priori quelconques, le champ devant être à circulation conservative voir le paragraphe « Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative » (théorème de Poincaré réécrit en termes de champ vectoriel) du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », le potentiel électrique s'obtient par recherche de primitive de la différentielle exacte en utilisant la méthode développée dans le paragraphe « 2ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes x, y, z fermée et recherche des primitives de cette forme… » du même chap. de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  150. La permittivité diélectrique du vide plus généralement d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du vide ou celle du milieu isolant à l'action d'un champ électrique plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.
  151. Voir le paragraphe « loi d'interaction de Coulomb » plus haut dans ce chapitre.
  152. La présence d'une charge en permet de signaler l'existence d'un champ électrique en cette position et dans ce cas la charge est appelée « charge témoin ».
  153. Si on place une charge en elle subit de la part de une force répulsive et si est , la force est attractive.
  154. Si on place une charge en elle subit de la part de une force attractive et si est , la force est répulsive.
  155. L'expression de la différentielle exacte prouve que ne dépend que de car,
       en sphérique, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée angulaire et
       en sphérique, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée angulaire .
  156. Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable ne dépend que de .
  157. En effet admet pour primitive à une constante additive près .
  158. Cette définition étant équivalente à voir le paragraphe « 2ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  159. L'expression de la différentielle exacte prouve que ne dépend que de car,
       en sphérique, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée angulaire et
       en sphérique, le cœfficent de étant nul on en déduit ne dépend pas de la coordonnée angulaire .
  160. Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable ne dépend que de .
  161. L'ensemble correspondant à un atome d'hydrogène traité dans le cadre de la mécanique classique.
  162. Quand l'électron s'éloigne du proton, l'énergie potentielle électrostatique du 1er jusqu'à pour un éloignement infini, l'électron n'étant alors plus lié au proton dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, ce dernier est alors ionisé.