Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif

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Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif
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Chapitre no 17
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique
Chap. suiv. :Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité
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Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif
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Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Sommaire

Définition d'un mouvement conservatif[modifier | modifier le wikicode]

......Un point matériel a un « mouvement conservatif » [1] dans un référentiel s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives et si les éventuelles forces non conservatives [2] ne travaillent pas [3].

Intégrale 1ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif[modifier | modifier le wikicode]

......Une conséquence de la définition d'un point matériel à mouvement conservatif étudié dans un référentiel galiléen et utilisée dans le théorème de la variation de l'énergie mécanique de ce point dans ce référentiel s'énonce selon :

......dans un référentiel galiléen, «~l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée~» [4], cet énoncé représente l'intégrale 1ère «~énergétique~» d'un point matériel à mouvement conservatif.

En complément : la conservation de l'énergie mécanique, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther[modifier | modifier le wikicode]

Rappel du théorème d'Emmy Nœther[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi le paragraphe «~énoncé du théorème d'Emmy Nœther [5]~» du chap. de la leçon «~Outils mathématiques pour la physique (PCSI)~».

......«~À toute invariance des lois de la physique selon un groupe de symétries [6] est nécessairement associée une quantité conservée en toutes circonstances~».

Conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel « à mouvement conservatif » dans un référentiel galiléen comme cas particulier du théorème d'Emmy Nœther[modifier | modifier le wikicode]

......Quel que soit l'instant d'étude d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen, les lois de la physique auxquelles ce point obéit doivent être «~invariantes par translation de temps~» [7] ;

......d'après le théorème d'Emmy Nœther [5], il y a «~conservation d'une grandeur (cinétique) du point matériel étudié dans un référentiel galiléen~» traduisant, dans ce référentiel, l'«~invariance des lois physiques selon le groupe des translations de temps~» [8] et

......d'après l'intégrale 1ère énergétique du point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen, «~cette grandeur (cinétique) définie dans ce référentiel est l'énergie mécanique du point~».

Nécessité d'invariance des lois physiques par translation de temps pour expliquer la conservation de l'énergie mécanique d'un point à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen sur l'« exemple d'un objet dans le champ de pesanteur terrestre uniforme »[modifier | modifier le wikicode]

......L'invariance des lois physiques par translation de temps c.-à-d. l'indépendance du choix de l'origine des temps est nécessaire pour expliquer la conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif dans le champ de pesanteur terrestre uniforme en effet :

......si le poids dépendait de l'instant dans la journée par exemple plus faible à midi qu'à minuit, en montant à midi un objet au sommet d'une tour et en l'y déposant, on lui fournirait une certaine énergie potentielle de pesanteur [9] s'identifiant à l'énergie mécanique de l'objet une fois déposé mais qui dépendrait de l'instant de la journée où cette ascension est envisagé ;

......si le poids était supposé plus grand à minuit qu'à midi, il en serait de même de l'«~énergie potentielle de pesanteur dont il dérive avec choix d'une même référence~» [10] et par suite l'énergie mécanique de l'objet déposé au sommet de la tour à midi deviendrait spontanément plus grande à minuit, ceci mettant en défaut la conservation de l'énergie mécanique d'un objet sans action extérieure travaillant

......De plus, «~la chute de l'objet à minuit restituerait une énergie plus grande qu'il n'aurait fallu en fournir pour monter l'objet à midi~» [11] d'où un gain spontané d'énergie «~gratuite et inépuisable~», ce qui, malheureusement, n'est pas possible

Exemples de mouvement conservatif[modifier | modifier le wikicode]

Liste évidemment non exhaustive.

1er exemple : oscillateur harmonique à une dimension[modifier | modifier le wikicode]

Introduit au chap. «~oscillateur harmonique~» de la leçon «~Signaux physiques (PCSI)~».

......Traité sur l'exemple d'un «~pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.)~», l'axe du ressort étant choisi comme axe dirigé de l'extrémité fixe du ressort à celle reliée au point matériel et l'origine de cet axe étant la «~position d'équilibre du point » [12] ;

......le point matériel est soumis

  • à deux forces verticales non conservatives ou considérées comme telles le poids de et la réaction du support horizontal sur lequel repose [13], [14] «~qui ne travaillent pas~» [15] et
  • à une seule force horizontale conservative «~la tension du ressort sur » selon la loi de Hooke [16], [17] s'écrivant encore, avec le choix de l'origine de l'axe horizontal en la «~position d'équilibre du point » [12], dérivant de l'énergie potentielle élastique avec référence en la position à vide ;

......nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif.

2ème exemple : chute libre sans vitesse initiale d’un objet supposé ponctuel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Introduit dans le paragraphe «~application du théorème du mouvement du C.D.I. dans le référentiel terrestre galiléen
(à la chute libre d'un objet lancé verticalement)~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......Traité en considérant le cas particulier , l'objet, supposé ponctuel et noté , a une trajectoire verticale choisie comme axe orienté dans le sens ascendant, l'origine de cet axe étant choisie en la position initiale  ;

......le point matériel n'est soumis qu'à une seule force verticale conservative «~son poids » dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur avec référence en c.-à-d. à l'altitude de la position initiale ;

......nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif.

3ème exemple : pendule pesant simple à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

Introduit au chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~» en particulier dans le paragraphe «~bilan des forces agissant sur le P.P.S.~».

......Traité en considérant les C.I. [18] de lancement [19] du pendule pesant simple (P.P.S.) constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur , mobile autour de son extrémité fixe , l'autre extrémité étant liée à un point matériel dont on étudie le mouvement à savoir

  • on écarte le P.P.S. de de sa position d'«~équilibre stable~» [20] et
  • on le lâche sans «~vitesse initiale~» dans le référentiel d'étude,

......le mouvement du point matériel est plan, la trajectoire étant circulaire de centre dans le plan vertical de lancement, la position du point dans ce plan étant repérée en polaire de pôle et d'axe polaire vertical descendant de ce plan, c.-à-d. par son abscisse angulaire  ;

......le point matériel est soumis

  • à une force conservative «~son poids » vertical descendant, dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur [21] avec référence en c.-à-d. à la cote de la position d'«~équilibre stable~» [20] et
  • à une force non conservative «~la tension de la tige [22] s'exerçant sur » «~qui ne travaille pas~» [23] ;

......nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif.

Étude énergétique d'un point matériel à mouvement conservatif à une dimension sur l’exemple de la chute libre sans vitesse initiale, diagramme d’énergies potentielle et mécanique, présence d'un seul mur d'énergie potentielle (position de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) non bornée[modifier | modifier le wikicode]

Écriture de l'intégrale 1ère énergétique d'un point matériel à mouvement de chute conservatif[modifier | modifier le wikicode]

......Le point matériel de masse étant lâché sans vitesse initiale d'une position situé à l'altitude dans le champ de pesanteur terrestre uniforme , on choisit pour axe vertical orienté dans le sens ascendant l’axe passant par , l'origine de cet axe étant au niveau du sol ;

......la référence de l'énergie potentielle de pesanteur étant également au niveau du sol, le point matériel , situé à l'altitude , possède, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie cinétique soit au total l'énergie mécanique

 ;

......l'intégrale 1ère énergétique du mouvement de chute conservatif du point , s'écrit avec soit finalement, à l'instant ,

.

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre[modifier | modifier le wikicode]

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un corps ponctuel en chute libre sans vitesse initiale avec précision du mur d'énergie potentielle et de la nature (cinétiquement) non bornée de la trajectoire

......Diagramme d'énergie potentielle (voir ci-contre en bleu) : tracé de la courbe d’énergie potentielle c.-à-d. la courbe de variation de l'énergie potentielle en fonction du paramètre de position  ; on note le point générique de cette courbe qui a pour abscisse et pour ordonnée  ;

......diagramme d'énergie mécanique (voir ci-contre en rouge) : tracé de la courbe d’énergie mécanique c.-à-d. la courbe de variation de l'énergie mécanique en fonction du paramètre de position  ; on note le point générique de cette courbe qui a pour abscisse et pour ordonnée  ;

......lorsqu'il y a «~mouvement de à partir de ses C.I. [18]~» [24], les points et se déplacent simultanément sur et dans des limites autorisées «~à déterminer~» et c’est l'étude de ces déplacements possibles que l'on cherche à trouver par étude graphique.

Notion de mur d'énergie potentielle[modifier | modifier le wikicode]

......De la définition de , nous en déduisons représenté par soit [25], [26] et comme est, par définition, , le point doit être au dessus de , ce qui interdit aux points génériques et d’être dans les zones correspondant à strictement au-dessus de  ;

......on définit ainsi «~un (ou des) mur(s) d’énergie potentielle~» défini(s) par une valeur constante du paramètre de position séparant une zone autorisée d'une zone interdite et représentés comme sur le schéma ci-dessus ;

......quand les points génériques et sont confondus sur le mur d'énergie potentielle, l'énergie cinétique associée à cette situation étant nulle, ceci correspond à une position d’arrêt (vitesse nulle) du point  ;

......dans le cas présent il n’y a qu'un mur d’énergie potentielle , la zone située strictement à droite de ce mur étant interdite.

Présence d'un seul mur d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement non bornée[modifier | modifier le wikicode]

......Les C.I. [18] étant telles que et sont initialement confondus en sur le mur d’énergie potentielle , la présence du mur interdisant la croissance de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;

......or qui correspond à une position d'arrêt «~n'étant pas une position d’équilibre~» [27], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle c.-à-d. vers la gauche

......ces déplacements simultanés engendrant une croissance continue de [25] se poursuivent indéfiniment hors présence d'obstacles la raison n'étant pas que soit en croissance continue, mais que ne s'annule plus, c.-à-d. que et ne rencontrent pas un autre mur d'énergie potentielle ce qui a pour conséquence que «~la trajectoire du point matériel à mouvement conservatif est cinétiquement non bornée~» [28] on dit encore d'un point matériel ayant une trajectoire (cinétiquement) non bornée qu'il est dans un état de diffusion.

......Remarque 1 : dans le cas présent, le point matériel cessant d'être en chute libre quand il rencontre le sol, ce dernier représente une borne d'espace effective à la trajectoire de mais cette borne d'espace étant une limite du domaine d'application de la chute libre et non une conséquence de la chute tant que celle-ci reste libre, sa présence n'est pas incompatible avec la qualification de trajectoire cinétiquement non bornée ;

......Remarque 1 : dans le cas présent, quand le point matériel en chute libre rencontre le sol, ce dernier exerce sur une «~force de collision [29] force proportionnelle à un pic de Dirac [30] d'impulsion unité centré à l'instant de collision c.-à-d. [31] donc discontinue de 2ème espèce [32] permettant l'arrêt du point » [33].

......Remarque 2 : dans le cas présent, pour une chute sans vitesse initiale, l'abscisse du mur d'énergie potentielle est aussi l'altitude maximale possible de l'objet lors de sa chute, cette valeur maximale étant la valeur initiale.

Cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque[modifier | modifier le wikicode]

Non explicite dans le programme mais ne soulevant aucune difficulté supplémentaire par rapport à la chute libre sans vitesse initiale d'où sa présentation
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un corps ponctuel en chute libre avec vitesse initiale verticale ascendante, repérage du mur d'énergie potentielle et conséquence sur la nature (cinétiquement) non bornée de la trajectoire

......L'intégrale 1ère énergétique du point matériel à chute libre conservative reste la même qu'en absence de vitesse initiale à savoir avec la même référence d'énergie potentielle mais une énergie mécanique initiale modifiée en  ;

......le diagramme d’énergies potentielle et mécanique est tracé ci-contre, la courbe d'énergie potentielle , en bleu, étant la même qu'en absence de vitesse initiale et celle d'énergie mécanique , en rouge, translatée vers le haut relativement à celle du diagramme sans vitesse initiale de  ;

......on détecte l'existence d'un et un seul mur d’énergie potentielle déplacé vers la droite par rapport à celui du diagramme sans vitesse initiale :

......initialement les points génériques et de et , respectivement en et tels que [25] se déplacent sur et vers la droite [34] [25] jusqu'à ce que et rencontrent en le mur d'énergie potentielle sur lequel « est au repos~» mais

......cette position «~n'étant pas une position d'équilibre~» [27] ne peut rester constant et par suite et se déplacent sur et vers la gauche ce qui correspond à un mouvement de chute libre de dans le sens des altitudes ces déplacements simultanés engendrant une croissance continue de se poursuivent indéfiniment [35], ce qu'on traduit par le fait que « a une trajectoire cinétiquement non bornée~» [28], [36] est donc dans un état de diffusion ;

......le mur d'énergie potentielle étant la valeur maximale de l'altitude possible du point matériel se calcule par intégrale 1ère énergétique du mouvement de soit ou [37] ou encore

.

Retour sur l'étude de la chute libre d'un point matériel dans un champ de pesanteur uniforme quand le point est lancé avec une vitesse initiale inclinée[modifier | modifier le wikicode]

......Dans ce paragraphe, nous prolongeons l'étude faite dans le chap. «~loi de la quantité de mouvement : mouvement dans le champ de pesanteur uniforme~» de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~» par un traitement énergétique, celui-ci ne pouvant être fait qu'après l'introduction de la notion de force conservative et de celle de mouvement conservatif.

......Rappel des C.I. [18] : l'objet de C.D.I. [38] est lancé d'un endroit telle que la position de son C.D.I. soit choisi comme origine du repère cartésien avec un mouvement de translation de vecteur vitesse initiale faisant l'angle avec l'axe horizontal du plan vertical de lancement tel que soit aigu, l'axe étant vertical ascendant et horizontal au plan vertical de lancement de façon à ce que le trièdre soit direct, les angles du plan vertical de lancement étant orientés dans le sens trigonométrique direct ou sens anti-horaire par [39] ;

......rappel des mouvements de Gx, Gy et Gz [40] : le mouvement du C.D.I. [38] se fait dans le plan vertical de lancement d'où immobile, confondu avec [41],

.......rappel des mouvements de Gx, Gy et Gz ~~ : le mouvement de est (rectiligne) uniforme de vitesse [41] et

.......rappel des mouvements de Gx, Gy et Gz ~~ : le mouvement de (rectiligne) uniformément varié d'accélération et de vitesse initiale [41], le mouvement étant d'abord ascendant dans la mesure où est , la trajectoire de admet alors un sommet effectivement atteint et le vecteur vitesse de en ce sommet est horizontal égal à  ;

......la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, le C.D.I. [38] de ce dernier a un mouvement conservatif obéissant à l'intégrale 1ère énergétique suivante ou  ;

......dans le cas où est , on peut déterminer l'altitude du sommet de la trajectoire du C.D.I. [38] par intégrale 1ère énergétique du mouvement de ce dernier soit ou ou encore d'où

[42] ce qui est, de loin, la méthode la plus rapide pour déterminer l'altitude maximale atteinte.

Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple de l'oscillateur harmonique à une dimension, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, isochronisme des oscillations[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi le chap. «~oscillateur harmonique~» de la leçon «~Signaux physiques (PCSI)~».

Rappel de l'intégrale 1ère énergétique de l'oscillateur harmonique à une dimension constitué d'un pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.)[modifier | modifier le wikicode]

......Une 1ère introduction (expérimentale) a été faite au paragraphe «~définition de l'énergie mécanique et sa conservation, conséquence de l'absence de forces autres que celle du ressort (dans le cas d'un P.E.H.N.A.)~» du chap. de la leçon «~Signaux physiques (PCSI)~».

......Ayant choisi pour axe l'axe horizontal du ressort orienté de son extrémité fixe vers l'extrémité mobile où est lié le point matériel de masse , le ressort étant idéal [43], à spires non jointives, de raideur et de longueur à vide , l'origine de cet axe (horizontal) étant choisie à la position d'équilibre de [12], le point est initialement écarté de de la «~position d'équilibre du P.E.H.~» [12] et lâché sans vitesse initiale ;

......la référence de l'énergie potentielle élastique étant la position d'équilibre du point [12], le point , situé à l'abscisse , possède l'énergie potentielle élastique [44] et l'énergie cinétique soit l'énergie mécanique

 ;

......le point étant à mouvement conservatif la seule force travaillant étant la force exercée par le ressort, laquelle est conservative, l'intégrale 1ère énergétique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. , s'écrit avec [45] soit finalement, à l'instant ,

.

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A.[modifier | modifier le wikicode]

......L'étude d’un oscillateur harmonique par diagramme d'énergies potentielle et mécanique n'est pas cité dans le programme de physique de P.C.S.I. [46], toutefois cette étude est intéressante car elle représente un autre exemple d'état lié que celui du pendule pesant simple non amorti (P.P.S.N.A.) traité à la suite du P.E.H.N.A..

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique horizontal non amorti écarté de x0 de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle et de la nature (cinétiquement) bornée de la trajectoire

......Dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace les courbes

  • d'énergie potentielle en bleu ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée étant une parabole de concavité positive, de sommet et d'axe et
  • d'énergie mécanique en rouge ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée étant une droite à l'axe des d'ordonnée .

Présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée[modifier | modifier le wikicode]

......On observe, sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, la présence de deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que ,

  • l'un correspondant à position commune initiale des points génériques et d'abscisse et
  • l'autre .correspond à position symétrique de par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse  ;

......ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines et pour la variation de l'abscisse du point matériel c.-à-d. que a une trajectoire cinétiquement bornée, le domaine de variation de son abscisse étant un intervalle à bornes finies à savoir on dit encore d'un point matériel ayant une trajectoire cinétiquement bornée qu'il est dans un état lié ceci correspondant à un déplacement possible des points génériques et des courbes et entre les deux murs d'énergie potentielle ou, ce qui est équivalent, à un déplacement possible de ces points dans une cuvette (ou puits) d'énergie potentielle.

Détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H. « par diagramme énergétique »[modifier | modifier le wikicode]

La nature oscillatoire a déjà été établie dans le chap. de la leçon «~Signaux physiques (PCSI)~» à partir de l'équation différentielle du mouvement du P.E.H.N.A. [47].

......Les C.I. [18] étant telles que et sont initialement confondus en sur le mur d'énergie potentielle de droite , la présence du mur interdisant la croissance de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;

......sucor qui correspond à une position d'arrêt «~n'étant pas une position d’équilibre~» [27], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite c.-à-d. vers la gauche

......ces déplacements simultanés engendrant d'abord une croissance continue de [25] jusqu'au passage de par puis une décroissance continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque et se rejoignent en point commun du mur d'énergie potentielle de gauche , la présence de ce mur interdisant la décroissance de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;

......sucor qui correspond à une position d'arrêt «~n'étant pas une position d’équilibre~» [27], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche c.-à-d. vers la droite

......ces déplacements simultanés engendrant d'abord une croissance continue de [25] jusqu'au nouveau passage de par puis une décroissance continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque et se rejoignent en point commun du mur d'énergie potentielle de droite , la présence de ce mur interdisant la croissance de , nous en déduisons que « reste constant ou », ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de et se poursuivent indéfiniment en absence d'amortissements de façon identique

d'où, en conséquence, la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H.N.A..

Détermination de la nature périodique du mouvement du P.E.H. en utilisant l'intégrale 1ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point M puis expression de la période sous forme intégrale[modifier | modifier le wikicode]

La nature périodique a déjà été établie simultanément à la nature oscillatoire dans le chap. de la leçon «~Signaux physiques (PCSI)~»
en résolvant l'équation différentielle du mouvement du P.E.H.N.A. [47].

......Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.E.H.N.A. par utilisation simultanée de son intégrale 1ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut montrer que la durée correspondant au nème aller-retour des points et sur et de est indépendant du numéro de l'aller-retour :

......on utilise d'abord l'intégrale 1ère énergétique du mouvement du P.E.H.N.A. avec avec les mêmes C.I. [18] que précédemment [48] et d'où [49] et par suite on peut exprimer

la durée élémentaire correspondant à une variation élémentaire de l'abscisse du point [50] selon
[51], [49] ;

......dans un 2ème temps on utilise le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre et suivant le sens de déplacement des points et dans la cuvette (ou puits) d'énergie potentielle soit :

......pour le nème aller des points et de à , d'où correspondant à est [51], la durée totale du nème aller s'obtenant alors par intégration selon [52] ;

......pour le nème retour des mêmes points de à , d'où correspondant à est [51], la durée totale du nème retour s'obtenant aussi par intégration selon [52] ;

......on déduit de ce qui précède la durée de la nème oscillation du point , soit finalement

[52] indépendante de la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes,
ce qui établit la nature périodique du mouvement d'oscillations de .

......La période du mouvement d'oscillations de étant la durée d'un aller-retour des points et de à en passant par , elle s'écrit

[52], [53].

Isochronisme des oscillations[modifier | modifier le wikicode]

Voir le paragraphe «~définition de l'isochronisme d'un oscillateur~» du chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......Dans le cas présent du P.E.H.N.A. qui est un oscillateur harmonique non amorti d'équation différentielle normalisée est la pulsation propre de l'oscillateur, la propriété d'isochronisme est évidente car la solution, avec les C.I. précédemment introduites, s'écrit

[47] d'amplitude et de «~période (propre) indépendante de l'amplitude~» [54]  ;

......toutefois, au regard de l'expression de la période sous forme intégrale [52], [55] faisant intervenir dans la borne supérieure de l'intégrale généralisée ainsi que dans la fonction à intégrer, on pourrait penser que «~cette période [55] dépende de l'amplitude » est le plus vraisemblable mais il n'en est rien d'après l'expression de la période (propre) dans laquelle n'apparaît pas !

......Pour vérifier l'indépendance de [52], [55] relativement à , on transforme l'intégrale généralisée [52] de façon à faire disparaître de la fonction à intégrer, ce qui entraînera aussi, comme il y a isochronisme des oscillations, la disparition de des bornes d'intégration :

......pour cela on met en facteur dans le dénominateur de la fonction à intégrer soit [52] soit, en posant , l'expression de la période sous forme intégrale utilisant la nouvelle variable [52], [55] vérifiant effectivement la propriété d'«~isochronisme des oscillations~» [56] ;

......parallèlement le calcul de l'intégrale généralisée [52] peut être achevé car admet pour primitive [57] d'où et par suite [55] C.Q.F.V. [58].

En complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un « oscillateur harmonique amorti »[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi le chap. «~oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillat. mécan. amorti par frott. visqueux~» de la leçon «~Signaux physiques (PCSI)~».

......La présence d'une force de frottement fluide linéaire non conservative agissant sur le point matériel d'un pendule élastique horizontal amorti (P.E.H.A.) et développant un travail, rend le mouvement du point matériel «~non conservatif~», ce qui nie l'existence d'une intégrale 1ère énergétique pour le P.E.H.A., l'énergie mécanique de ce dernier obéissant alors au théorème de la puissance mécanique

toujours [59].

......La courbe d'énergie potentielle reste la même que celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A. c.-à-d. une parabole de concavité positive, mais

......la cocelle d'énergie mécanique n’est plus une droite à l'axe des  ; pour la préciser il convient de déterminer la pente de au point d'abscisse soit ou finalement  ; nous en déduisons les propriétés suivantes de la tangente à au point générique d'abscisse  :

  • elle est à l'axe des aux points et correspondant à à l'arrêt [60], ces points et étant respectivement les points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle et d'énergie mécanique ,
  • en tout autre point la pente de la tangente à y est ,
    ...en tout autre point Pm elle est positive quand le paramètre de position c.-à-d. quand se déplace vers la gauche et
    ...en tout autre point Pm elle est négative quand le paramètre de position c.-à-d. quand se déplace vers la droite, enfin
  • la pente de la tangente à est extrémale aux points associés aux instants où la vitesse de est de valeur absolue maximale c.-à-d. là où l'énergie cinétique du P.E.H.A. est maximale cela correspond aussi aux instants tels que [25] est maximal [61] ;

......suivant la valeur plus ou moins grande de ou plus ou moins grande du cœfficient d'amortissement , la valeur absolue de la pente de la tangente à est plus ou moins grande :

  • si est relativement grand plus précisément si est , la courbe , partant de aboutira directement en , correspondant à un régime apériodique ou apériodique critique de voir les diagrammes d’énergies potentielle et mécanique ci-dessous, avec C.I. [18] et cœfficients d'amortissement différents ou facteurs de qualité [62] différents ou à gauche et ou à droite ;
    ......dans les deux cas ci-dessous, le retour à la position d'équilibre se fait, à partir de , avec une énergie cinétique faible en effet, dans ces deux cas, [25] est petit et même très faible dans le cas  ; si l'on compare les deux diagrammes d'énergies, c'est dans le cas d'un régime apériodique critique que le retour à la position d'équilibre est le plus rapide car il se fait avec une énergie cinétique plus grande, en effet y est plus «~écartée~» de  ;
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique horizontal amorti écarté de a de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement apériodique très amorti
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique horizontal amorti écarté de a de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement apériodique critique
  • si est relativement faible plus précisément si est , la courbe , partant de rencontrera en dans cette phase quand puis repartira dans l'autre sens et rencontrera en dans cette phase quand etc correspondant à un régime pseudo-périodique de voir les diagrammes d’énergies potentielle et mécanique ci-dessous, avec C.I. [18] et cœfficients d'amortissement différents ou facteurs de qualité [62] différents ou à gauche et ou à droite ;
    ......dans les deux diagrammes d'énergies ci-dessous on constate que et partent d'un 1er mûr d'énergie potentielle en , en rencontrent un 2ème en puis un 3ème en , un 4ème en et ainsi de suite chaque couple de murs d'énergie potentielle , , correspondant à une pseudo-oscillation du point , l'amplitude de ces pseudo oscillations en accord avec à un resserrement progressif des murs d'énergie potentielle ;
    ......remarque : la durée écoulée pour aller de à via , ou de à via ou encore de à via est la même pour une même valeur de cœfficient d'amortissement car chacune correspond à une pseudo-période avec la période propre du P.E.H.N.A. [63], toutefois il est impossible de le montrer par simple étude du diagramme énergétique.
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique horizontal amorti écarté de a de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement pseudo-périodique relativement amorti
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule élastique horizontal amorti écarté de a de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement pseudo-périodique faiblement amorti

Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi le chap. «~pendule pesant simple~» de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

Écriture de l'intégrale 1ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté[modifier | modifier le wikicode]

......Le pendule pesant simple (P.P.S.) constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur , mobile autour de son extrémité fixe , l'autre extrémité étant liée à un point matériel dont on étudie le mouvement est à un degré de liberté si les C.I. [18] de lancement sont les conditions [19]

  • à savoir «~P.P.S. écarté de de sa position d'équilibre stable [20] et lâché sans vitesse initiale~» ou
  • à savoir «~P.P.S. écarté de de sa position d'équilibre stable [20] et lâché avec vitesse initiale dans le plan vertical de lancement~».

......Le point matériel étant lâché dans les C.I. [18] , son mouvement est plan dans le plan vertical de lancement ;

Schéma d'un pendule pesant simple à mouvement circulaire d'axe Δ passant par O avec repérage polaire de pôle O (et d'axe Δ) du point M du pendule pesant simple (P.P.S.) et représentation des deux forces s'appliquant sur M

......on oriente l'axe vertical passant par dans le sens descendant, l'origine de cet axe étant le point et le sens des angles du «~plan vertical de lancement~» tel que l'élongation angulaire initiale soit positive, permet de préciser l'orientation de l'«~axe (Δ) autour duquel le P.P.S. tourne~» [64] selon  ;

......on utilise le repérage polaire de pôle et d'axe polaire pour repérer le point dans le plan de son mouvement c.-à-d le plan vertical de lancement, ses coordonnées polaires étant et sa base polaire avec d'une part et [65], [66] d'autre part ;

......le point matériel étant soumis à

  • son poids conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur [21] avec référence en c.-à-d. à la cote de la position d'«~équilibre stable~» [20] et
  • à une force non conservative «~la tension de la tige s'exerçant sur » «~qui ne travaille pas~» [23],

......a un mouvement conservatif, caractérisé par l'intégrale 1ère énergétique avec et d'après les C.I. [18] soit, la cote du point étant liée à son abscisse angulaire par et son vecteur vitesse étant tangent à sa trajectoire circulaire avec , la réécriture de l'intégrale 1ère énergétique du point selon


avec lancé dans les C.I. [18] [19] et
référence de l'énergie potentielle de pesanteur au passage par la «~position d'équilibre stable~» [20].

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) « 1a »[modifier | modifier le wikicode]

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un pendule pesant simple non amorti écarté de θ0 de sa position d'équilibre stable [20] et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle et de la nature (cinétiquement) bornée de la trajectoire

......Dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace les courbes

  • d'énergie potentielle en bleu ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée étant une sinusoïde tracée sur une période de l'intervalle de variation de à savoir , de minimum nul pour et de maxima pour , la valeur moyenne étant obtenue pour et
  • d'énergie mécanique en rouge ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée étant une droite à l'axe des d'ordonnée l'élongation angulaire initiale étant avec une vitesse angulaire initiale nulle.

Présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée[modifier | modifier le wikicode]

......On observe, sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, la présence de deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'élongations angulaires interdites tels que ,

  • l'un correspondant à position commune initiale des points génériques et d'abscisse angulaire et
  • l'autre .correspond à position symétrique de par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse angulaire  ;

......ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines et pour la variation de l'abscisse angulaire du point matériel ceci entraînant que a une trajectoire cinétiquement bornée, le domaine de variation de son abscisse angulaire étant un intervalle à bornes finies à savoir le point matériel est donc dans un état lié ceci correspondant à un déplacement possible des points génériques et des courbes et entre les deux murs d'énergie potentielle ou, ce qui est équivalent, dans une cuvette (ou puits) d'énergie potentielle.

Détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté « par diagramme énergétique »[modifier | modifier le wikicode]

La nature oscillatoire n'a pas été établie mais simplement vérifiée dans le chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~», vérifications numérique ou graphique :
par résolution numérique de l'équation différentielle du mouvement du P.P.S.N.A. [67] ou par tracé de portraits de phase correspondants [68],
nous nous proposons de la vérifier de nouveau graphiquement par diagramme d'énergies potentielle et mécanique.

......Les C.I. [18] étant telles que et sont initialement confondus en sur le mur d'énergie potentielle de droite , la présence du mur interdisant la croissance de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;

......sucor qui correspond à une position d'arrêt «~n'étant pas une position d’équilibre~» [27], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite c.-à-d. vers la gauche

......ces déplacements simultanés engendrant d'abord une croissance continue de [25] jusqu'au passage de par puis une décroissance continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque et se rejoignent en point commun du mur d'énergie potentielle de gauche , la présence de ce mur interdisant la décroissance de , nous en déduisons que « reste constant ou » ;

......sucor qui correspond à une position d'arrêt «~n'étant pas une position d’équilibre~» [27], ne peut rester constant et par suite strictement, les points génériques et du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche c.-à-d. vers la droite

......ces déplacements simultanés engendrant d'abord une croissance continue de [25] jusqu'au nouveau passage de par puis une décroissance continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque et se rejoignent en point commun du mur d'énergie potentielle de droite , la présence de ce mur interdisant la croissance de , nous en déduisons que « reste constant ou », ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de et se poursuivent indéfiniment en absence d'amortissements de façon identique

d'où, en conséquence, la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S.N.A..

Détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale[modifier | modifier le wikicode]

La nature périodique n'a pas été établie mais simplement vérifiée simultanément à la nature oscillatoire dans le chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~»
en résolvant numériquement l'équation différentielle du mouvement du P.P.S.N.A. [67] par contre le tracé des portraits de phase n'apporte aucune information [69],
nous nous proposons de l'établir en utilisant simultanément l'intégrale 1ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique.

......Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.P.S.N.A. par utilisation simultanée de son intégrale 1ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut montrer que la durée correspondant au nème aller-retour des points et sur et de est indépendant du numéro de l'aller-retour :

......on utilise d'abord l'intégrale 1ère énergétique du mouvement du P.P.S.N.A. avec dans la mesure où les C.I. [18] sont les mêmes que précédemment [70] et d'où [49] et par suite on peut exprimer

la durée élémentaire correspondant à une variation élémentaire de l'abscisse angulaire du point selon
[71], [49] ;

......dans un 2ème temps on utilise le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre et suivant le sens de déplacement des points et dans la cuvette (ou puits) d'énergie potentielle soit :

......pour le nème aller des points et de à , d'où correspondant à est , ce qui permet de déduire [71], la durée totale du nème aller s'obtenant par intégration [52] ;

......pour le nème retour des points et de à , d'où correspondant à est , ce qui permet de déduire