Topologie générale/Complétude

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Diamètre d'une partie

Définition

Dans un espace métrique (E, d), le diamètre d'une partie non vide A est la borne supérieure (dans l'ensemble ordonné [0, +∞]) des distances entre deux points de A :

${\rm {diam}}(A)=\sup \;\{d(a,b)\mid a\in A,~b\in A\}.$

Ainsi, le diamètre d'une partie non vide est un réel positif si cette partie est bornée, et il vaut +∞ sinon.

Suite de Cauchy

Définition

Définition

Une suite $(u_{n})$ dans un espace métrique $(E,d)$ est dite de Cauchy si

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall p,q\geq N\quad d(u_{p},u_{q})\leq \varepsilon$,

autrement dit si

le diamètre de l'ensemble $\{u_{k}\mid k\geq N\}$ tend vers $0$ quand $N\to \infty$,

ou encore si

$\lim _{n\to \infty }\sup _{m\geq n}d(u_{m},u_{n})=0$.

Propriétés

Proposition

Dans tout espace métrique :

1. toute suite convergente est de Cauchy ;
2. toute suite de Cauchy est bornée ;
3. toute sous-suite d'une suite de Cauchy est elle-même de Cauchy ;
4. une suite de Cauchy a au plus une valeur d'adhérence et si elle en a une, alors elle converge.
5. Dans l'espace des suites bornées à valeurs dans un espace métrique E, muni de la distance uniforme, les suites de Cauchy forment un fermé ; si E est un espace vectoriel normé, ce fermé est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites bornées ; si E est une algèbre normée, ce sous-espace est une sous-algèbre de l'algèbre des suites bornées.

Démonstration

1. Supposons que $x_{n}\to \ell$, c'est-à-dire que pour tout $\varepsilon >0$, il existe un entier $N$ tel que $\forall n\geq N\quad d(x_{n},\ell )<\varepsilon$. Alors, $\forall q\geq N\quad d(x_{N},x_{q})\leq d(x_{N},\ell )+d(\ell ,x_{q})<2\varepsilon$. La suite $(x_{n})$ est donc bien de Cauchy.
2. Soit $(x_{n})$ une suite de Cauchy. Appliquons la définition pour $\varepsilon =1$. Il existe un entier $N$ tel que $\forall q\geq N\quad d(x_{N},x_{q})<1$. Posons $R=\max \left(1,d(x_{N},x_{0}),d(x_{N},x_{1}),\ldots ,d(x_{N},x_{N-1})\right)$. Alors, l'ensemble des termes de la suite est inclus dans la boule fermée de centre $x_{N}$ et rayon $R$. Par conséquent, il est borné.
3. Immédiat en utilisant que si $(x_{n_{k}})_{k}$ est une sous-suite de $(x_{n})_{n}$ alors $n_{k}\geq k$.
4. Une suite convergente dans un espace métrique possède une unique valeur d'adhérence, à savoir sa limite. La première affirmation découle donc de la seconde. Soit (dans un espace métrique) $(x_{n})$ une suite de Cauchy admettant une valeur d'adhérence $a$. Démontrons que $x_{n}\to a$. Pour tout $\varepsilon >0$, il existe (puisque la suite est de Cauchy) un entier $N$ tel que $\forall p,q\geq N\quad d(x_{p},x_{q})<\varepsilon$, et il existe (puisque $a$ est valeur d'adhérence) des $q\geq N$ tels que $d(x_{q},a)<\varepsilon$. Par inégalité triangulaire, on en déduit que $\forall p\geq N\quad d(x_{p},a)<2\varepsilon$.
5. L'application qui à toute suite bornée $(x_{n})$ associe $\lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{m\geq n}d(x_{m},x_{n})$ est continue (et même lipschitzienne) donc l'ensemble des suites de Cauchy (image réciproque du singleton fermé $\{0\}$) est un fermé.
   Lorsque E est un espace vectoriel normé, l'addition vectorielle et le produit des vecteurs par un réel fixé sont linéaires continues, donc uniformément continues et a fortiori Cauchy-continues (cf. point précédent).
   Lorsque E est de plus une algèbre normée, la multiplication dans E est bilinéaire continue, donc lipschitzienne sur toute partie bornée et par conséquent, Cauchy-continue.

 

Espace complet

Définition

Définition

Un espace métrique est dit complet si, dans cet espace, tout suite de Cauchy converge.

Propriétés

Premières propriétés

• ℝ est complet (pour la distance usuelle d(x, y) = |x – y|).
• Tout sous-espace fermé d'un espace complet est complet.
• Tout sous-espace complet d'un espace métrique est fermé. (Donc ℚ, sous-espace métrique dense de ℝ, n'est pas complet car pas fermé dans ℝ.)
• Si (E, d) un espace métrique complet alors pour tout ensemble X, l'espace E^X des applications de X dans E, muni de la distance uniforme, est complet.
• Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques complets (muni d'une distance appropriée) est complet ; par exemple, ℝⁿ est complet pour la distance associée à la norme ∥ ∥_p, pour tout p ∈ [1, +∞].

Démonstration de la complétude de ℝ

Soit une suite de Cauchy dans ℝ. Elle est donc bornée, si bien qu'on peut en extraire une sous-suite convergente. On conclut en utilisant que toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente est elle-même convergente.

 

Début d’un théorème

Théorème des fermés emboîtés

Dans un espace métrique complet, pour toute suite décroissante de fermés non vides $F_{n}$ dont le diamètre tend vers $0$, l'intersection des $F_{n}$ est réduite à un point.

Fin du théorème

Démonstration

• Pour tout entier $n$, choisissons un point $x_{n}$ dans $F_{n}$. Alors la suite $x$ est de Cauchy. En effet, pour tout $\varepsilon >0$, il existe un rang $N$ tel que le diamètre de $F_{N}$ soit majoré par $\varepsilon$, si bien que $\forall p,q\geq N\quad d(x_{p},x_{q})\leq \varepsilon$. Cette suite est donc convergente car l'espace est complet.
• De plus, sa limite $\ell$ appartient à tous les $F_{n}$. En effet, pour tout $n$, la suite $(x_{m})_{m\geq n}$ est à valeurs dans le fermé $F_{n}$ (puisque $m\geq n\Rightarrow F_{m}\subset F_{n}$) donc sa limite $\ell$ appartient à $F_{n}$. On a donc prouvé que l'intersection $F$ des $F_{n}$ est non vide.
• Comme le diamètre de $F$ est majoré par ceux des $F_{n}$, il est nul donc $F=\{\ell \}$.

 

Début d’un théorème

Critère de Cauchy pour une fonction

Soient $X$ un espace topologique, $(E,d)$ un espace métrique complet, $A$ une partie de $X$, $f$ une fonction de $A$ dans $E$, et $a$ un point adhérent à $A$. Pour que $f$ admette une limite en $a$, (il faut et) il suffit que

$\lim _{x,y\to a}d\left(f\left(x\right),f\left(y\right)\right)=0$.

Fin du théorème

Corollaire : théorème d'interversion des limites

Soient

• X et Y deux espaces topologiques,
• E un espace métrique complet,
• a un point adhérent dans X à une partie A,
• b un point adhérent dans Y à une partie B et
• f une application de A × B dans E.

On suppose qu'il existe des applications g : A → E et h : B → E telles que

1. $\lim _{y\to b}f(x,y)=g(x)$ uniformément sur A et
2. $\lim _{x\to a}f(x,y)=h(y)$ simplement sur B.

Alors f possède une limite au point (a, b) ; en particulier, les limites de h en b et de g en a existent et sont égales :

$\lim _{y\to b}\left(\lim _{x\to a}f(x,y)\right)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=\lim _{x\to a}\left(\lim _{y\to b}f(x,y)\right)$.

Démonstration

Les deux hypothèses se traduisent par : pour tout ε > 0 :

• il existe un voisinage U_ε de b tel que pour tout x dans A,

  $\forall y\in U_{\varepsilon }\cap B\quad d(f(x,y),g(x))<\varepsilon \qquad (*)$ ;

• pour tout y dans B, puisque $\lim _{a}f(\cdot ,y)=h(y)$ : il existe un voisinage V_ε,y de a tel que

  $\forall x\in V_{\varepsilon ,y}\cap A\quad d(f(x,y),h(y))<\varepsilon$.

  En choisissant un y_ε dans U_ε ∩ B et en prenant W_ε = V_ε,yε (voisinage de a), on a donc :

  $\forall x\in W_{\varepsilon }\cap A\quad d(f(x,y_{\varepsilon }),h(y_{\varepsilon }))<\varepsilon$.

Par ailleurs, pour tous $y,y'\in U_{\varepsilon }\cap B$, on déduit de $(*)$ que $\forall x\in A\quad d\left(f(x,y),f(x,y')\right)<2\varepsilon$ donc (par passage à la limite quand $x\to a$) $d\left(h(y),h(y')\right)\leq 2\varepsilon$.

D'après le critère de Cauchy ci-dessus, h admet donc en b une limite $\ell$, qui vérifie (en fixant $y=y_{\varepsilon }$ et en passant à la limite quand $y'\to b$) : $d\left(h(y_{\varepsilon }),\ell \right)\leq 2\varepsilon$.

Pour tout $x\in W_{\varepsilon }\cap A$, on en déduit :

$d(g(x),\ell )\leq d\left(g(x),f(x,y_{\varepsilon })\right)+d\left(f(x,y_{\varepsilon }),h(y_{\varepsilon })\right)+d\left(h(y_{\varepsilon }),\ell \right)<\varepsilon +\varepsilon +2\varepsilon =4\varepsilon$,

ce qui prouve que :

• $\lim _{a}g=\ell$ ;
• $\forall y\in U_{\varepsilon }\cap B\quad d(f(x,y),\ell )\leq d\left(f(x,y),g(x)\right)+d(g(x),\ell )<\varepsilon +4\varepsilon$ donc $\lim _{(a,b)}f=\ell$.

 

Début d’un théorème

Théorème du point fixe de Picard-Banach

Soient $E$ un espace métrique complet (non vide), $k$ un réel de $\left[0,1\right[$ et $f:E\to E$ une application $k$-lipschitzienne. Alors, $f$ admet un unique point fixe :

$\exists !x^{*}\in E\quad f(x^{*})=x^{*}$.

De plus, toute suite d'éléments de $E$ vérifiant la récurrence

$x_{n+1}=f(x_{n})$

vérifie la majoration

$d(x_{n},x^{*})\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}d(x_{0},x_{1})$

donc converge vers $x^{*}$.

Fin du théorème

Démonstration

Existence

Soient $x_{0}$ un point quelconque de $E$ et pour tout entier naturel $m$, $x_{m}=f^{m}(x_{0})$. L'application $f^{m}$ — itérée $m$ fois de l'application $f$ — est $k^{m}$-lipschitzienne donc $d(x_{m},x_{m+1})\leq k^{m}\ d(x_{0},x_{1}).$

On en déduit, par application réitérée de l'inégalité triangulaire :

${\begin{aligned}\forall n\in \mathbb {N} \quad \forall p\in \mathbb {N} ^{*}\quad d(x_{n},x_{n+p})&\leq d(x_{n},x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\ldots +d(x_{n+p-1},x_{n+p})\\&\leq (k^{n}+k^{n+1}+\ldots +k^{n+p-1})\ d(x_{0},x_{1})\\&=k^{n}\ {\frac {1-k^{p}}{1-k}}\ d(x_{0},x_{1})\\&\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}\ d(x_{0},x_{1}).\end{aligned}}$

Ce majorant tend vers zéro quand $n$ tend vers l'infini, donc la suite $(x_{n})$ est de Cauchy.

Comme $E$ est complet, cette suite de Cauchy converge vers une limite $x^{*}$, vérifiant (par passage à la limite quand $p$ tend vers l'infini) la majoration annoncée de l'erreur.

Enfin, de $f(x_{n})=x_{n+1}$, on déduit en passant à la limite et en utilisant la continuité de $f$ (car c'est une application lipschitzienne) que $f(x^{*})=x^{*}$.

Unicité

Soient $x^{*}$ et $x^{**}$ deux points fixes de $f$. On a alors $d(x^{*},x^{**})=d(f(x^{*}),f(x^{**}))\leq k\ d(x^{*},x^{**})$ d'où (puisque $k<1$) $x^{*}=x^{**}$.

 

Continuité de Cauchy

Définition

Soient $(E,d)$ et $(F,d')$ deux espaces métriques. Une application $f:E\to F$ est dite Cauchy-continue si pour toute suite de Cauchy $\left(x_{n}\right)$ dans $E$, la suite $\left(f\left(x_{n}\right)\right)$ dans $F$ est de Cauchy.

Proposition

• Toute application uniformément continue est Cauchy-continue et toute application Cauchy-continue est continue, et ces deux implications sont strictes. Cependant, toute fonction continue sur un espace complet est Cauchy-continue.
• Toute application Cauchy-continue sur une partie $A$ de $E$ et à valeurs dans un espace complet s'étend continûment (de façon évidemment unique) à l'adhérence de $A$ dans $E$, et ce prolongement est encore Cauchy-continu.

Démonstration

• Toute application uniformément continue est Cauchy-continue : soit f une application uniformément continue de (E, d) dans (F, d'), c'est-à-dire :
  $\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall x,y\in E\quad [d(x,y)<\delta \Rightarrow d'(f(x),f(y))<\varepsilon ].$
  Soit (x_n) une suite de Cauchy de E, c'est-à-dire :
  $\forall \delta >0\quad \exists n\in \mathbb {N} \quad \forall m\in \mathbb {N} \quad [m\geq n\Rightarrow d(x_{n},x_{m})<\delta ].$
  Alors,
  $\forall \varepsilon >0\quad \exists n\in \mathbb {N} \quad \forall m\in \mathbb {N} \quad [m\geq n\Rightarrow d'(f(x_{n}),f(x_{m}))<\varepsilon ]$
  autrement dit la suite (f(x_n)) est de Cauchy.
• Toute application Cauchy-continue est continue : il suffit de démontrer la continuité séquentielle. Soient f une application Cauchy-continue de (E, d) dans (F, d') et (x_n) une suite dans E de limite x. Alors, la suite (x₀, x, x₁, x, … ) est de Cauchy donc son image par f aussi, autrement dit (f(x_n)) converge vers f(x).
• Les réciproques sont fausses : la fonction $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto x^{2}$ est Cauchy-continue mais pas uniformément continue ; la fonction $\tan :\left]-\pi /2,\pi /2\right[\to \mathbb {R}$ est continue mais pas Cauchy-continue.
• Toute fonction continue sur un espace complet est Cauchy-continue : immédiat.
• Toute application Cauchy-continue sur une partie A et à valeurs dans un espace complet s'étend continûment à A : soient F complet et f : A → F Cauchy-continue. Tout point x de A est limite d'une suite (a_n) dans A. La suite (f(a_n)) est alors de Cauchy dans F donc convergente, et sa limite ne dépend que de x. En effet, si (b_n) est une autre suite dans A qui converge vers x, alors la suite (a₀, b₀, a₁, b₁, …) est de Cauchy donc son image par f converge, si bien que (f(b_n)) a même limite que (f(a_n)). On peut donc définir g : A → F par : g(x) est la limite de (f(a_n)), pour toute suite (a_n) dans A de limite x. En particulier — cas des suites constantes — g prolonge f. Enfin, g est continue car séquentiellement continue. En effet, pour toute suite (x_n) dans A, on peut choisir une suite (a_n) dans A telle que d(a_n, x_n) et d'(f(a_n), g(x_n)) tendent vers 0. Si (x_n) converge vers x, on en déduit alors que (a_n) aussi, donc f(a_n) converge vers g(x), donc g(x_n) aussi.
• Ce prolongement g est Cauchy-continu : soit h le prolongement continu de f au complété de A (cf. point précédent et § ci-dessous), alors h est continu sur un complet donc Cauchy-continu, et g en est une restriction.

 

Complété d'un espace métrique

Début d’un théorème

Théorème et définition

Pour tout espace métrique $E$, il existe un espace métrique complet ${\hat {E}}$ qui contient $E$ comme sous-espace dense.

Un tel ${\hat {E}}$ est unique, à isomorphisme près d'espaces métriques complets contenant $E$. On l'appelle le complété de $E$.

Fin du théorème

Démonstration

• Première construction de ${\hat {E}}$. On peut plonger $E$ dans l'espace $B(E,\mathbb {R} )$ des fonctions bornées de $E$ dans $\mathbb {R}$, qui est complet pour la distance uniforme $d_{\infty }$. C'est le plongement de Kuratowski : on fixe arbitrairement un point $a$ de $E$ et l'on définit une injection isométrique de $E$ dans $B(E,\mathbb {R} )$ en associant, à tout élément $x$ de $E$, la fonction $y\mapsto d(x,y)-d(a,y)$. On prend alors pour ${\hat {E}}$ l'adhérence dans $B(E,\mathbb {R} )$ de l'image de $E$ (c'est un espace métrique complet, comme tout fermé dans un complet).
• Seconde construction de ${\hat {E}}$. On peut aussi, en mimant la construction des nombres réels par les suites de Cauchy de rationnels, construire ${\hat {E}}$ comme un ensemble de classes d'équivalence de suites de Cauchy.
  Notons ${\mathcal {C}}$ l'ensemble des suites de Cauchy de $(E,d)$ et considérons l'application $f:{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to \mathbb {R} _{+},\ (u,v)\mapsto \lim _{n\to \infty }d(u_{n},v_{n})$. Cette application est bien définie car, les suites $u$ et $v$ étant de Cauchy, la suite $(d(u_{n},v_{n}))$ est une suite de Cauchy de $\mathbb {R} _{+}$, donc une suite convergente (car $\mathbb {R} _{+}$, muni de la distance usuelle, est complet). Cette application vérifie toutes les propriétés d'une distance sauf une : $f(u,v)=0$ n'implique pas que $u=v$.
  On y remédie en quotientant ${\mathcal {C}}$ par la relation d'équivalence ${\mathcal {R}}$ définie par : $u{\mathcal {R}}v\Leftrightarrow f(u,v)=0$. Sur l'ensemble quotient ${\hat {E}}:={\mathcal {C}}/{\mathcal {R}}$, on obtient une distance $D$ en posant : $D(U,V)=f(u,v)$, où $u$ (resp. $v$) est un élément arbitraire de la classe $U$ (resp. $V$). Cette définition est indépendante des représentants choisis.
  L'espace $(E,d)$ est plongé (isométriquement) dans ce quotient $({\hat {E}},D)$, par identification d'un élément $x$ de $E$ à la classe d'équivalence de la suite constante de valeur $x$.
  On obtient ainsi un espace complet $({\hat {E}},D)$ dans lequel $E$ est dense.
• Propriété universelle. Soit ${\hat {E}}$ un espace complet dans lequel $E$ est dense (obtenu par exemple par l'une des deux constructions précédentes). Alors :
  toute injection isométrique $i$ de $E$ dans un espace métrique complet $F$ s'étend de façon unique en une injection isométrique $j$ de ${\hat {E}}$ dans $F$.
  En effet, $i$ est Cauchy-continue donc s'étend en une application continue $j$ (unique par densité de $E$), qui est alors isométrique non seulement sur $E$ mais (par densité) sur ${\hat {E}}$ tout entier.
• Unicité. Soient ${\hat {E}}$ et ${\hat {E}}'$ deux espaces complets contenant $E$, non nécessairement obtenus par l'une des deux constructions précédentes, mais vérifiant tous deux la propriété universelle ci-dessus. Montrons qu'il existe entre ${\hat {E}}$ et ${\hat {E}}'$ une bijection isométrique fixant les points de $E$. L'inclusion de $E$ dans ${\hat {E}}'$ s'étend en une injection isométrique $f:{\hat {E}}\to {\hat {E}}'$ (par hypothèse sur ${\hat {E}}$) et de même, l'inclusion de $E$ dans ${\hat {E}}$ s'étend en une injection isométrique $g:{\hat {E}}'\to {\hat {E}}$. La composée $g\circ f:{\hat {E}}\to {\hat {E}}$ est alors une injection isométrique prolongeant l'inclusion de $E$ dans ${\hat {E}}$ donc (par hypothèse d'unicité des prolongements à ${\hat {E}}$) c'est l'identité de ${\hat {E}}$. De même, $f\circ g$ est l'identité de ${\hat {E}}'$.
• Variantes.
  • On peut démontrer de la même façon l'unicité à l'aide d'une autre propriété universelle vérifiée de même par tout espace complet ${\hat {E}}$ dans lequel $E$ est dense :
    toute application uniformément continue de $E$ dans un espace métrique complet $F$ s'étend de façon unique en une application uniformément continue de ${\hat {E}}$ dans $F$.
  • Pour qu'un espace complet ${\hat {E}}'$ contenant $E$ soit isomorphe (par une isométrie fixant les points de $E$) à un espace complet ${\hat {E}}$ dans lequel $E$ est dense, il suffit en fait qu'il vérifie la propriété suivante :
    toute injection isométrique de $E$ dans un espace métrique complet $F$ s'étend de façon unique en une application continue de ${\hat {E}}'$ dans $F$.
    En effet, il existe alors (par le même raisonnement que dans la preuve d'unicité ci-dessus) deux applications continues $f:{\hat {E}}\to {\hat {E}}'$ et $g:{\hat {E}}'\to {\hat {E}}$, fixant les points de $E$ et telles que $f\circ g=\mathrm {id} _{{\hat {E}}'}$. Alors, $f$ est surjective et (par densité) isométrique non seulement sur $E$ mais sur ${\hat {E}}$.

 

Si cette procédure est appliquée à un espace vectoriel normé, on obtient un espace de Banach contenant l'espace original comme sous-espace dense.