Leçons de niveau 14

Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées

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Définitions avancées
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Chapitre no 1
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
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L'objectif de cette leçon est de présenter les suites numériques et leurs premières propriétés. En particulier, la première propriété à laquelle on va s'intéresser est la variation des suites (croissance, décroissance), intuitivement il s'agit de savoir si la suite augmente ou non.

Dans un second temps, on va poser les définitions de suite bornée, minorée et majorée, ce qui correspond à savoir si la suite va dépasser un certain seuil donné. Ces notions sont fondamentales pour poursuivre l'étude des suites numériques comme nous le verrons dans la leçon suivante sur la convergence des suites.

Définition d’une suite numérique[modifier | modifier le wikicode]


Généralement, une suite peut être définie :

  • Explicitement
    Ex. :
  • Par récurrence
    Ex. : et .
  • Implicitement
    Ex. : est l'unique solution sur de .

On peut aussi la citer extensivement sous la forme :

.


Début de l'exemple


Fin de l'exemple

On note , ou encore , l'ensemble des suites numériques. On peut alors définir des opérations algébriques sur cet ensemble de manière naturelle, par exemple la somme de deux suites revient à additionner chaque terme de la suite.



Remarque
Les suites forment un anneau non intègre, c'est-à-dire que l'on peut trouver deux suites et non nulles dont le produit est nul (par exemple, les suites définies par et ).

Variations d’une suite[modifier | modifier le wikicode]

Dans cette partie, on donne les premières définitions permettant d'étudier les variations d'une suite, ainsi que différentes méthodes d'étude.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Une suite numérique est dite monotone si elle est monotone (croissante ou décroissante) en tant que fonction (de dans ). Plus précisément :


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Un cas particulier de variation est donné par les suites constantes :


Remarque
On peut aussi définir une suite constante comme une suite à la fois croissante et décroissante.

Méthode[modifier | modifier le wikicode]

Pour savoir si une suite est monotone, il est souvent efficace d'étudier :

  • le signe de  ;
  • si est de signe constant, le signe de
Panneau d’avertissement Si et , on a et la suite est donc décroissante ;
  • si la suite est de la forme , la monotonie de , par exemple à partir du signe de sa dérivée.


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Suite bornée[modifier | modifier le wikicode]

Une suite numérique est dite bornée si elle est bornée en tant que fonction (de dans ). Plus précisément :




Début de l'exemple


Fin de l'exemple