Leçons de niveau 14

Introduction aux mathématiques/Relations binaires

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Relations binaires
Icône de la faculté
Chapitre no 4
Leçon : Introduction aux mathématiques
Chap. préc. :Applications
Chap. suiv. :Entiers naturels
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Introduction aux mathématiques : Relations binaires
Introduction aux mathématiques/Relations binaires
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ici désigne un ensemble.

Généralités[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi : Relation (mathématiques)/Définition.

Définition, exemples[modifier | modifier le wikicode]


Exemples :

  1. Pour , posons . On a , , mais pas .
  2. L'égalité () sur provient de . Ici on préfèrera à .
  3. L'inclusion sur  : .
  4. L'ordre sur  : .

Qualités d'une relation binaire[modifier | modifier le wikicode]

Soit une relation binaire sur E. est dite :

  • réflexive ssi (les exemples 2, 3, et 4 ci-dessus illustrent cette propriété) ;
  • transitive ssi (exemples 1, 2, 3, et 4) ;
  • symétrique ssi (exemples 2 et 3 si E est vide) ;
  • antisymétrique ssi (exemples 1, 2, 3, et 4).

Relations d'équivalence[modifier | modifier le wikicode]


Début d'un lemme
Fin du lemme



Exercice
Étant donnée une partition de , définir une relation d'équivalence canoniquement associée à la partition. Quelles en sont les classes d'équivalence ?

Relations d'ordre[modifier | modifier le wikicode]

Voir aussi : Relation (mathématiques)/Relation d'ordre.


Éléments remarquables d'un ensemble ordonné  :



Exercice
Soit un ordre sur . On définit , par . Montrer que c’est un ordre. Quelles en sont les éléments remarquables ?

Liens avec les applications[modifier | modifier le wikicode]

On s'intéresse ici à la compatibilité des applications avec les relations d'équivalence ou d'ordre.

Avec l'équivalence[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de factorisation#Le cas des ensembles ».

Soit une application et une relation d'équivalence sur . On dit que est compatible avec si . Alors, l'application passe au quotient, c'est-à-dire qu'on peut définir une nouvelle application .

Exercices :

  1. Étant donnée une application , la rendre canoniquement surjective. On note encore la surjection obtenue.
  2. On considère la relation binaire sur définie par . Montrer qu’il s'agit d'une relation d'équivalence. Que dire de l’application obtenue en passant au quotient ?

Avec l’ordre[modifier | modifier le wikicode]


Exemple : est décroissante pour l'inclusion.

Exercices :

  1. Soit croissante pour l'inclusion. Montrer que admet un point fixe, c'est-à-dire une partie telle que .
  2. Soit et deux injections. Montrer le théorème de Cantor-Bernstein : « Il existe une bijection de sur . »
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Knaster-Tarski ».
Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Cantor-Bernstein ».

Indications :

  1. Considérer et .
  2. Faire un dessin et appliquer 1/, ou aller voir sur Wikipédia…