Leçons de niveau 14

Espace vectoriel/Définitions

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Chapitre no 1
Leçon : Espace vectoriel
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Chap. suiv. : Familles de vecteurs

Exercices :

Espaces et sous-espaces vectoriels
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Un espace vectoriel est une structure stable par addition de vecteurs et par multiplication par un scalaire. Autrement dit, on peut ajouter deux éléments d’un tel espace, ou les multiplier par un nombre, le résultat appartiendra encore à l'espace de départ.

Espace vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Soient un ensemble E non vide et un corps (généralement ou ). Son neutre pour + est et son neutre pour est .




Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Pour tout corps , les structures suivantes sont des -espaces vectoriels.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


En particulier, . Nous reviendrons sur ce genre de manipulation plus loin.

Dorénavant, est un -espace vectoriel et est une famille d'éléments de .

Quelques propriétés[modifier | modifier le wikicode]


Conventions implicites de l'algèbre linéaire[modifier | modifier le wikicode]

En algèbre linéaire, on a l'habitude de noter :

  • avec des lettres romaines les vecteurs : x, y
  • avec ces lettres grecques les scalaires : λ, μ…

Ceci permet de s'affranchir facilement de la notation fléchée , volontiers utilisée en « géométrie classique » pour désigner les vecteurs. Cette notation deviendrait en effet extrêmement lourde en algèbre linéaire.

Très souvent, pour alléger les notations, on omet le symbole pour alléger les notations multiplicatives. Le signe de multiplication devient alors implicite.

Enfin, lorsqu'on étudie un ensemble en tant qu'espace vectoriel, le nom des lois est connu et est souvent omis. Par convention, les lois interne et externe seront notées respectivement + et .

Combinaison linéaire[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Sous-espace vectoriel[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]





Début d’un principe


Fin du principe


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un principe


Fin du principe


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Sous-espace vectoriel engendré par une partie[modifier | modifier le wikicode]

La structure d'espace vectoriel est la structure de base de l'algèbre dite « linéaire », c'est-à-dire de l'algèbre mettant en jeu des combinaisons linéaires d'objets mathématiques, ainsi que des ensembles stables par ces combinaisons linéaires.

On s'intéresse maintenant à la conservation de la structure d'espace vectoriel lorsqu'on choisit une famille de vecteurs d’un espace vectoriel . En particulier, comment construire le « plus petit sous-espace vectoriel de  » contenant tous les  ?









Somme de sous-espaces vectoriels[modifier | modifier le wikicode]



Intersection de sous-espaces vectoriels[modifier | modifier le wikicode]


Sous-espaces vectoriels supplémentaires[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Produit d'espaces vectoriels[modifier | modifier le wikicode]



Remarques[modifier | modifier le wikicode]

  1. Les axiomes précédents sont calqués sur les règles géométriques que l’on observe sur les vecteurs du plan euclidien ou de l'espace euclidien ; c’est ce qui justifie l'appellation d'espace vectoriel.
  2. On lit « Vect de A ».