Topologie générale/Adhérence, intérieur
Soient un espace topologique et deux parties de .
Adhérence
[modifier | modifier le wikicode]- Un point de est dit adhérent à si tout voisinage de rencontre .
- L'adhérence de , notée , est l’ensemble des points adhérents à . On l'appelle aussi fermeture ;
- on dit que est dense dans si , ou encore, si rencontre tout ouvert non vide de .
- Pour la topologie usuelle sur , on a et .
- Dans une topologie discrète, seuls les points de sont adhérents à .
- Dans une topologie grossière, toute partie non vide est dense.
- Si est une partie d'un sous-espace de , l'adhérence de dans (pour la topologie induite) est égale à (donc est dense dans si et seulement si ).
pour tout ouvert O contenant , O rencontre pour tout fermé ne contenant pas , n'est pas tout entier inclus dans pour tout fermé contenant , .
Ainsi, est l'intersection des fermés contenant . Puisque l'intersection d'une famille quelconque (finie ou infinie) de fermés est un fermé, cette intersection est le plus petit fermé contenant .
On peut partitionner l'adhérence d'une partie en deux types de points :
- Un point de est un point d'accumulation de si tout voisinage de contient un point de distinct de .
- Un point de est isolé s'il n'est pas un point d'accumulation de .
Intérieur
[modifier | modifier le wikicode]Dans un espace topologique, un point est intérieur à si est un voisinage de . On appelle intérieur de l’ensemble des points intérieurs à et on le note ou .
- Pour n'importe quelle topologie, .
- Pour la topologie grossière sur , l'intérieur de toute partie est vide.
- Pour la topologie usuelle sur :
- l'intérieur de est ;
- tout singleton est d'intérieur vide ;
- et sont d'intérieur vide.
appartient à un ouvert inclus dans . Ainsi, est la réunion des ouverts inclus dans .
Puisque la réunion d'une famille quelconque (finie ou infinie) d'ouverts est un ouvert, cette réunion est le plus grand ouvert inclus dans .
- , avec égalité si et seulement si est ouvert, doncest un ouvert si et seulement si est voisinage de chacun de ses points.
- .
- l'intérieur de est (donc , donc est inclus dans l'intérieur de ).
- le complémentaire de est l'intérieur du complémentaire de .
Frontière
[modifier | modifier le wikicode]On appelle frontière de , et l’on note ou , l’ensemble des points adhérents à la fois à A et à son complémentaire.
D'autres définitions sont possibles :
- la frontière de A est l’ensemble des points dont tout voisinage rencontre A et son complémentaire.
- La frontière d'un ensemble est un fermé.
- La frontière d'un ensemble est égale à celle de son complémentaire.
- Un ensemble est fermé si et seulement s'il contient sa frontière.
- Un ensemble est à la fois ouvert et fermé si et seulement si sa frontière est vide.
- c'est une conséquence de (l'intersection de deux fermés étant un fermé).
- les rôles de A et E\A sont identiques.
- Une partie A est fermée si et seulement si elle contient A, ou encore — puisque A contient toujours son intérieur — si et seulement si
- D'après les deux points précédents, A est à la fois ouvert et fermé si et seulement si