Leçons de niveau 16

Topologie générale/Exercices/Espaces complets

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Espaces complets
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Exercices no4
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Complétude

Ces exercices sont de niveau 16.

Exo préc. :Espaces métriques
Exo suiv. :Connexité
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Topologie générale/Exercices/Espaces complets
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace métrique complet non vide et une application (non nécessairement continue) dont une itérée est contractante. En utilisant le théorème du point fixe de Picard-Banach, montrer que :

  • possède un unique point fixe  ;
  • toute suite dans vérifiant converge vers , à une vitesse au moins géométrique.