Topologie générale/Exercices/Espaces complets

Exercice 1

Soient $E$ un espace métrique complet non vide et $f:E\to E$ une application (non nécessairement continue) dont une itérée $f^{q}$ est contractante. En utilisant le théorème du point fixe de Picard-Banach, montrer que :

• $f$ possède un unique point fixe $x^{*}$ ;
• toute suite $\left(x_{n}\right)$ dans $E$ vérifiant $\forall n\in \mathbb {N} \quad x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$ converge vers $x^{*}$, à une vitesse au moins géométrique.

Solution

Soit $x^{*}$ l'unique point fixe de $f^{q}$.

• Unicité : tout point fixe par $f$ est fixe par $f^{q}$ donc est égal à $x^{*}$.
• Existence : posons $y:=f\left(x^{*}\right)$. Alors, $f^{q}\left(y\right)=f^{q+1}\left(x^{*}\right)=f\left(f^{q}\left(x^{*}\right)\right)=f\left(x^{*}\right)=y$ donc $y$ est fixe par $f^{q}$. Par conséquent, il est égal à $x^{*}$, c'est-à-dire que $f\left(x^{*}\right)=x^{*}$.
• Convergence : la suite des $x_{n}=f^{n}\left(x_{0}\right)$ converge vers $x^{*}$ car chacune des $q$ sous-suites $\left(f^{nq+r}\left(x_{0}\right)\right)$, pour $r$ de $0$ à $q-1$, converge vers $x^{*}$. De plus, la convergence de chacune des $q$ sous-suites étant au moins géométrique de raison $k:=$ la constante de Lipschitz de $f^{q}$, la convergence de la suite est au moins géométrique de raison $k^{1/q}$.

 

Exercice 2

Soient $(E,d)$ et $(E',d')$ deux espaces métriques et $(E'',d'')$ leur produit, avec (par exemple) $d''((x,x'),(y,y'))=\max(d(x,y),d'(x',y'))$. Montrer qu'une suite $(x_{n},x'_{n})$ dans $E''$ est de Cauchy si et seulement si les deux suites $(x_{n})$ (dans $E$) et $(x'_{n})$ (dans $E'$) sont de Cauchy.

Solution

• Si $(x_{n},x'_{n})$ est de Cauchy alors pour tout $\varepsilon >0$, il existe $N$ tel que $\forall p,q\geq N\quad d''((x_{p},x'_{p}),(x_{q},x'_{q}))\leq \varepsilon$, c'est-à-dire $d(x_{p},x_{q})\leq \varepsilon$ et $d'(x'_{p},x'_{q})\leq \varepsilon$. Ainsi, les deux suites $(x_{n})$ et $(x'_{n})$ sont de Cauchy.
• Réciproquement, si elles le sont alors pour tout $\varepsilon >0$, il existe $N$ tel que $\forall p,q\geq N\quad d(x_{p},x_{q})\leq \varepsilon$ et il existe $N'$ tel que $\forall p,q\geq N'\quad d'(x'_{p},x'_{q})\leq \varepsilon$. En posant $N''=\max(N,N')$, on obtient : $\forall p,q\geq N''\quad d''((x_{p},x'_{p}),(x_{q},x'_{q}))\leq \varepsilon$. Ainsi, la suite $(x_{n},x'_{n})$ est de Cauchy.