Topologie générale/Espace produit

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Définition générale

Définition

Soit $(X_i,{𝒯}_i{)}_{i\in I}$ une famille (non nécessairement finie) d'espaces topologiques, et $X$ le produit cartésien de la famille d'ensembles $(X_i{)}_{i\in I}$. La topologie produit des ${𝒯}_i$ est la topologie sur $X$ dont une prébase est constituée des parties de $X$ de la forme $\prod _{i\in I}{U}_i$ où chaque $U_i$ est égal au $X_i$ correspondant, sauf l'un d'entre eux, qui peut être seulement un ouvert (de $X_i$).

Une base de cette topologie est donc constituée des parties de $X$ de la forme $\prod _{i\in I}{U}_i$ où chaque $U_i$ est égal au $X_i$ correspondant, sauf un nombre fini d'entre eux, qui peuvent être seulement des ouverts.

Remarque

Cette base d'ouverts est stable par intersections finies.

Cas d'un produit fini

Si $((X_1,{𝒯}_1),\dots ,(X_n,{𝒯}_n))$ est une famille finie d'espaces topologiques, une base d'ouverts du produit est simplement :

$\{U_1\times \dots \times U_n\mid \mathrm{\forall }i\in [[1,n]]U_i\in {𝒯}_i\}$.

Début de l'exemple

Exemple

Dans ${ℝ}^2$, $U:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |x|<1\}=]-1,1[\times ℝ$ et $V:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |x|\ne 1\}=(ℝ\setminus \{-1,1\})\times ℝ$ font partie de la base d'ouverts,

ainsi que $U^{\prime }:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |y|<1\}=ℝ\times ]-1,1[$, $V^{\prime }:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |y|\ne 1\}=ℝ\times (ℝ\setminus \{-1,1\})$, $U\cap V^{\prime }$, $V\cap V^{\prime }$, etc.

L'ensemble $F:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |x|=1\}={ℝ}^2\setminus V$ est donc fermé, ainsi que $F^{\prime }:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid |y|=1\}={ℝ}^2\setminus V^{\prime }$ et $F\cap F^{\prime }$.

Fin de l'exemple

Cas d'un produit d'espaces identiques

Si tous les $(X_i,T_i)$ (pour $i\in I$) sont égaux à un même espace topologique $(E,𝒯)$, leur produit est noté $E^I$.

Une suite ${(f(n))}_{n\in \mathbb{N}}$ d'éléments de $E^I$ — c'est-à-dire d'applications de $I$ dans $E$ — converge pour la topologie produit si et seulement si elle converge simplement, c'est-à-dire si pour tout $i\in I$, la suite ${(f(n{)}_i)}_{n\in \mathbb{N}}$ (à valeurs dans $E$) converge. C'est pourquoi cette topologie sur $E^I$ est appelée la « topologie de la convergence simple ».

Puissance n-ième d'un espace

Si $(X_1,{𝒯}_1),\dots ,(X_n,{𝒯}_n)$ sont égaux à un même espace $(E,𝒯)$, leur produit est noté $E^n$.

La topologie sur ℝⁿ construite de cette façon à partir de celle de ℝ est sa topologie usuelle.

Plus généralement, si $(E,\Vert \cdot \Vert )$ est un espace vectoriel normé, la topologie produit sur $E^n$ coïncide avec celle associée à la norme $N$ sur $E^n$ définie par $N(x_1,\dots ,x_n)=max(\Vert x_1\Vert ,\dots ,\Vert x_n\Vert )$. Cette coïncidence s'étend d'ailleurs aux espaces métriques.

Le carré (cas n = 2) d'un espace topologique quelconque permet de reformuler la propriété de séparation :

Proposition

Un espace topologique $X$ est séparé si et seulement si, dans son carré $X\times X$, la diagonale (l'ensemble $\{(x,x)\mid x\in X\}$) est un fermé.

'Démonstration'

Dire que la diagonale est fermée revient à dire que l'ensemble $O=\{(x,y)\in X\times X\mid x\ne y\}$ est ouvert. Les équivalences suivantes permettent de conclure :

$O$ est ouvert si et seulement s'il est voisinage de tous ses éléments, ce qui équivaut à

pour tout $(x,y)\in O$, il existe $U$ et $V$, ouverts de $X$, tels que $(x,y)\in U\times V$ et $U\times V\subset O$, qui lui-même équivaut à

pour tous $x,y\in X$ distincts, il existe $U$ et $V$, ouverts de $X$, tels que $x\in U$, $y\in V$ et $U\cap V=\varnothing$.