Leçons de niveau 16

Topologie générale/Espace produit

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Espace produit
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Chapitre no 5
Leçon : Topologie générale
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Définition générale[modifier | modifier le wikicode]



Cas d'un produit fini[modifier | modifier le wikicode]

Si est une famille finie d'espaces topologiques, une base d'ouverts du produit est simplement :

.

Cas d'un produit d'espaces identiques[modifier | modifier le wikicode]

Si tous les (pour ) sont égaux à un même espace topologique , leur produit est noté .

Une suite d'éléments de — c'est-à-dire d'applications de dans — converge pour la topologie produit si et seulement si elle converge simplement, c'est-à-dire si pour tout , la suite (à valeurs dans ) converge. C'est pourquoi cette topologie sur est appelée la « topologie de la convergence simple ».

Puissance n-ième d'un espace[modifier | modifier le wikicode]

Si sont égaux à un même espace , leur produit est noté .

La topologie sur ℝn construite de cette façon à partir de celle de ℝ est sa topologie usuelle.

Plus généralement, si est un espace vectoriel normé, la topologie produit sur coïncide avec celle associée à la norme sur définie par . Cette coïncidence s'étend d'ailleurs aux espaces métriques.

Le carré (cas n = 2) d'un espace topologique quelconque permet de reformuler la propriété de séparation :