Leçons de niveau 16

Topologie générale/Espace topologique

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Espace topologique
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Topologie générale
Retour auSommaire
Chap. suiv. :Adhérence, intérieur

Exercices :

Espaces topologiques
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Topologie générale : Espace topologique
Topologie générale/Espace topologique
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans cette partie, on définit la notion de topologie sur un ensemble et d'espace topologique. On donne par ailleurs quelques exemples fondamentaux.

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

De la même manière qu'en algèbre générale, les notions de groupes, d'anneaux et de corps généralisent ce que nous savons de l'addition des réels à des structures plus abstraites, voire exotiques, la structure d'espace topologique permet de généraliser celle d'espace euclidien à des objets mathématiques de nature totalement différente (espace de nombres, espaces fonctionnels…) L'intuition géométrique joue un grand rôle en topologie, bien qu’il faille toujours se méfier des dessins (dont la pertinence est limitée quand il s'agit de représenter des espaces de dimension infinie).

On définit donc la structure de base de la topologie : l'espace topologique, défini comme la donnée d’un ensemble , et d’une topologie sur , c'est-à-dire un ensemble de sous-ensembles de vérifiant certaines propriétés, dont les éléments sont appelés ouverts. Intuitivement, un ouvert correspond à un ensemble qui ne contient pas sa « frontière ».

Définitions fondamentales[modifier | modifier le wikicode]



Panneau d’avertissement La troisième propriété ne s'étend pas aux intersections infinies.

Par exemple dans muni de sa topologie usuelle (voir infra), l'intersection des intervalles ouverts pour est le singleton , qui n'est pas ouvert.



Il est important de noter qu'une partie de qui n’est pas ouverte, n’est pas fermée pour autant (et inversement). De plus, ces deux propriétés ne sont pas incompatibles : une partie de peut être à la fois ouverte et fermée. Par exemple :

  • dans toute topologie, et sont tous deux des ouverts, et le complémentaire l'un de l'autre ; ils sont donc également fermés ;
  • dans la topologie discrète (voir ci-dessous), toute partie de , donc tout ouvert, est fermé ;
  • voir Connexité.



Panneau d’avertissement En topologie, le verbe « contenir » est employé en deux sens distincts, que le contexte permet de différencier : contient un ouvert qui contient signifie : , ou encore : .




On montrera en exercice qu'il est possible de définir une topologie avec la donnée des voisinages, si cette donnée vérifie les quatre propriétés ci-dessus et une cinquième, plus compliquée.




Exemples classiques d'espaces topologiques[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début de l'exemple


Fin de l'exemple