Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Opérations sur les fonctions : Composition Opérations sur les fonctions/Composition », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Wikipedia-logo-v2.svg
Première approche
Soient
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
deux fonctions. La fonction
x
↦
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle x\mapsto g\left(f(x)\right)}
est appelée
composée de
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
, ou
f
{\displaystyle f}
suivie de
g
{\displaystyle g}
et notée
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
(ce qui se lit « g rond f ») :
pour tout
x
{\displaystyle x}
,
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle \left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)}
.
L'opération de composition revient ainsi à appliquer les deux fonctions d'affilée.
x
↦
f
f
(
x
)
↦
g
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}x&{\underset {f}{\mapsto }}&f(x)&{\underset {g}{\mapsto }}&g\left(f\left(x\right)\right)\\\end{array}}}
qui peut se ramener à
x
↦
g
∘
f
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccl}x&{\underset {g\circ f}{\mapsto }}&g\left(f\left(x\right)\right)\\\end{array}}}
Attention à l’ordre ! La composition n’est pas commutative.
En effet :
pour tout
x
{\displaystyle x}
,
(
f
∘
g
)
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle \left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)}
pour tout
x
{\displaystyle x}
,
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle \left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)}
donnent des résultats différents. Voyons cela sur quelques exemples.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Dans les exemples ci-dessus, toutes les fonctions étaient définies de
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
mais en général, il peut même arriver que l'une des deux composées
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
et
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
soit définie et pas l'autre. Plus précisément, pour que la fonction
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
soit bien définie, il faut que pour tout
x
{\displaystyle x}
, l'image de
x
{\displaystyle x}
par
f
{\displaystyle f}
soit dans le domaine de définition de
g
{\displaystyle g}
.
D
f
→
D
g
→
…
x
↦
f
f
(
x
)
↦
g
g
∘
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{ccccl}{\mathcal {D}}_{f}&\rightarrow &{\mathcal {D}}_{g}&\rightarrow &\dots \\x&{\underset {f}{\mapsto }}&f(x)&{\underset {g}{\mapsto }}&g\circ f(x)\\\end{array}}}
f
(
D
f
)
⊂
D
g
{\displaystyle f({\mathcal {D}}_{f})\subset {\mathcal {D}}_{g}}
Ceci nous conduit à préciser la définition :
Définition complète
Soient
E
{\displaystyle E}
,
F
{\displaystyle F}
et
G
{\displaystyle G}
trois ensembles,
f
{\displaystyle f}
une application de
E
{\displaystyle E}
dans
F
{\displaystyle F}
et
g
{\displaystyle g}
une application de
F
{\displaystyle F}
dans
G
{\displaystyle G}
. La composée
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
est l'application de
E
{\displaystyle E}
dans
G
{\displaystyle G}
définie par
∀
x
∈
E
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle \forall x\in E\quad \left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)}
.
Début de l'exemple
Exemple
Soit la fonction
A
:
R
→
R
,
x
↦
2
(
x
−
1
)
2
+
3
{\displaystyle A:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto 2(x-1)^{2}+3}
. Déterminer trois fonctions
f
{\displaystyle f}
,
g
{\displaystyle g}
et
h
:
R
→
R
{\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
telles que
A
=
h
∘
(
g
∘
f
)
{\displaystyle A=h\circ \left(g\circ f\right)}
, puis calculer
(
h
∘
g
)
∘
f
{\displaystyle \left(h\circ g\right)\circ f}
.
Solution
On peut prendre
f
:
x
↦
x
−
1
,
g
:
x
↦
x
2
,
h
:
x
↦
2
x
+
3
{\displaystyle f:x\mapsto x-1,\quad g:x\mapsto x^{2},\quad h:x\mapsto 2x+3}
.
En effet, on a alors le schéma suivant :
x
↦
f
x
−
1
↦
g
g
(
x
−
1
)
=
(
x
−
1
)
2
↦
h
h
(
(
x
−
1
)
2
)
=
2
(
x
−
1
)
2
+
3.
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccl}x&{\underset {f}{\mapsto }}&x-1&{\underset {g}{\mapsto }}&g\left(x-1\right)=(x-1)^{2}&{\underset {h}{\mapsto }}&h\left((x-1)^{2}\right)=2(x-1)^{2}+3.\end{array}}}
Une autre solution possible est
f
:
x
↦
x
−
1
,
g
:
x
↦
2
x
2
,
h
:
x
↦
x
+
3
{\displaystyle f:x\mapsto x-1,\quad g:x\mapsto 2x^{2},\quad h:x\mapsto x+3}
ou encore
f
:
x
↦
(
x
−
1
)
2
,
g
:
x
↦
2
x
,
h
:
x
↦
x
+
3
{\displaystyle f:x\mapsto (x-1)^{2},\quad g:x\mapsto 2x,\quad h:x\mapsto x+3}
.
Dans tous les cas, en calculant la fonction
(
h
∘
g
)
∘
f
{\displaystyle \left(h\circ g\right)\circ f}
, on constate qu'elle coïncide avec
h
∘
(
g
∘
f
)
{\displaystyle h\circ \left(g\circ f\right)}
.
Fin de l'exemple
Début d’un théorème
Soient
f
:
E
→
F
{\displaystyle f:E\to F}
,
g
:
F
→
G
{\displaystyle g:F\to G}
et
h
:
G
→
H
{\displaystyle h:G\to H}
trois applications. Alors,
h
∘
(
g
∘
f
)
=
(
h
∘
g
)
∘
f
{\displaystyle h\circ \left(g\circ f\right)=\left(h\circ g\right)\circ f}
.
Fin du théorème
'Démonstration'
h
∘
(
g
∘
f
)
{\displaystyle h\circ (g\circ f)}
et
(
h
∘
g
)
∘
f
{\displaystyle (h\circ g)\circ f}
sont bien définies, toutes deux de E dans H , et
∀
x
∈
E
[
h
∘
(
g
∘
f
)
]
(
x
)
=
h
(
(
g
∘
f
)
(
x
)
)
p
a
r
d
e
´
f
i
n
i
t
i
o
n
d
e
l
a
c
o
m
p
o
s
e
´
e
d
e
g
∘
f
p
a
r
h
=
h
(
g
(
f
(
x
)
)
)
p
a
r
d
e
´
f
i
n
i
t
i
o
n
d
e
l
a
c
o
m
p
o
s
e
´
e
d
e
f
p
a
r
g
=
(
h
∘
g
)
(
f
(
x
)
)
p
a
r
d
e
´
f
i
n
i
t
i
o
n
d
e
l
a
c
o
m
p
o
s
e
´
e
d
e
g
p
a
r
h
=
[
(
h
∘
g
)
∘
f
]
(
x
)
p
a
r
d
e
´
f
i
n
i
t
i
o
n
d
e
l
a
c
o
m
p
o
s
e
´
e
d
e
f
p
a
r
h
∘
g
{\displaystyle {\begin{matrix}\forall x\in E&[h\circ (g\circ f)](x)&=&h((g\circ f)(x))&{\rm {par\,d{\acute {e}}finition\,de\,la\,compos{\acute {e}}e\,de\,}}g\circ f{\rm {\,par\,}}h\\&&=&h(g(f(x)))&{\rm {par\,d{\acute {e}}finition\,de\,la\,compos{\acute {e}}e\,de\,}}f{\rm {\,par\,}}g\\&&=&(h\circ g)(f(x))&{\rm {par\,d{\acute {e}}finition\,de\,la\,compos{\acute {e}}e\,de\,}}g{\rm {\,par\,}}h\\&&=&[(h\circ g)\circ f](x)&{\rm {par\,d{\acute {e}}finition\,de\,la\,compos{\acute {e}}e\,de\,}}f{\rm {\,par\,}}h\circ g\end{matrix}}}
Notation
Cette application se note simplement
h
∘
g
∘
f
{\displaystyle h\circ g\circ f}
.
Corollaire
Cette associativité permet de se dispenser de parenthèses lorsqu'on compose
n
{\displaystyle n}
fonctions (
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
),
f
1
:
E
0
→
E
1
,
f
2
:
E
1
→
E
2
,
…
,
f
n
:
E
n
−
1
→
E
n
{\displaystyle f_{1}:E_{0}\to E_{1},\quad f_{2}:E_{1}\to E_{2},\quad \ldots ,\quad f_{n}:E_{n-1}\to E_{n}}
pour former
f
n
∘
⋯
∘
f
2
∘
f
1
:
E
0
→
E
n
{\displaystyle f_{n}\circ \dots \circ f_{2}\circ f_{1}:E_{0}\to E_{n}}
.
Définition
Soit
f
{\displaystyle f}
une application d'un ensemble
E
{\displaystyle E}
dans lui-même. On définit par récurrence
f
n
:
E
→
E
{\displaystyle f^{n}:E\to E}
, pour tout
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
, par :
f
0
=
id
E
{\displaystyle f^{0}=\operatorname {id} _{E}}
;
∀
n
∈
N
f
n
+
1
=
f
∘
f
n
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad f^{n+1}=f\circ f^{n}}
.
Début de l'exemple
Exercice
Soit
f
:
E
→
E
{\displaystyle f:E\to E}
une
involution .
Déterminer
f
n
{\displaystyle f^{n}}
pour tout entier
n
{\displaystyle n}
.
Fin de l'exemple