Topologie générale/Suites

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La définition et les propriétés de limite d'une fonction que nous venons de voir s'appliquent en particulier aux fonctions définies sur $\mathbb {N}$, c'est-à-dire aux suites.

Soient $(E,{\mathcal {T}})$ un espace topologique et $(u_{n})$ est une suite d'éléments de $E$.

Limite d'une suite

La notion de limite (finie ou infinie) d'une suite de réels se généralise naturellement aux suites à valeurs dans un espace topologique qui n'est plus nécessairement la droite réelle achevée :

Définition

Soit $\ell \in E$. On dit que la suite $(u_{n})$ a pour limite $\ell$ si, pour tout voisinage $V$ de $\ell$, il existe un entier $N$ tel que $\forall n\geq N\quad u_{n}\in V$.

On constate que cette définition est un cas particulier de celle de limite d'une fonction en un point adhérent à son domaine de définition, ce point étant ici $+\infty$, adhérent à $\mathbb {N}$ dans ℕ ∪ {+∞} muni de la topologie de l'ordre. Par conséquent :

Corollaire

1. Si $\ell$ est limite d'une suite à valeurs dans une partie $A$ de $E$, alors $\ell \in {\overline {A}}$.
2. La réciproque est vraie si $\ell$ admet une base dénombrable de voisinages.
3. Dans un espace séparé, toute suite admet au plus une limite.

Nous verrons au prochain chapitre que tout espace métrique est séparé et à bases dénombrables de voisinages.

Valeurs d'adhérence d'une suite

Définition

Soit $a\in E$, on dit que $a$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_{n})$ si

pour tout voisinage $V$ de $a$, il existe une infinité d'indices $n$ tels que $u_{n}\in V$,

ou plus formellement :

$\forall V\in {\mathcal {V}}(a)\quad \forall N\in \mathbb {N} \quad \exists k\geq N\quad u_{k}\in V$.

Définition : suite extraite

Soit $(u_{n})$ une suite. On dit que $(u_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ est une suite extraite (ou sous-suite) de $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ si la suite $(n_{k})$ est à valeurs dans $\mathbb {N}$ et strictement croissante.

Propriétés

1. Toute limite d'une suite est une valeur d'adhérence de cette suite.
2. L'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_{n})$ est égal à $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{u_{k}\mid k\geq n\}}}$.
3. L'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_{n})$ est un fermé.
4. Toute valeur d'adhérence d'une sous-suite de $(u_{n})$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$.
5. Toute limite d'une sous-suite de $(u_{n})$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$.

Démonstration

1. Si $u_{n}\to \ell$ alors pour tout voisinage $V$ de $\ell$, il existe un indice à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $V$.
2. Notons $X_{n}=\{u_{k}\mid k\geq n\}$. Un point $a$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ si et seulement si chacun de ses voisinages rencontre tous les $X_{n}$, c'est-à-dire si $a$ est adhérent à tous les $X_{n}$.

Les points 3 et 4 sont des conséquences immédiates du point 2. Le point 5 est une conséquence immédiate des points 1 et 4.

 

Dans ℝ, la plus grande et la plus petite valeur d'adhérence d'une suite sont respectivement ses limites supérieure et inférieure.