Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les matrices, généralités

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Introduction des « matrices » en mathématiques

     En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, en termes calculatoires,
     En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et
     En mathématiques, les « matrices » sont des tableaux rectangulaires de nombres pour interpréter, les résultats théoriques des applications linéaires .

     Une matrice $\;m\times n\;$ ${\big \{}$avec $\;\left(m\,,\,n\right)\in \left[\mathbb {N} ^{*}\right]^{2}\;$ tels qu'au moins un des nombres est $\;\neq \;$ de $\;1\;$${\big \}}\;$
     Une matrice $\;\color {transparent}{m\times n}\;$ est un tableau rectangulaire $\;\left[A\right]\;$ de $\;m\;$ lignes et $\;n\;$ colonnes,
     Une matrice $\;\color {transparent}{m\times n}\;$ le terme générique de la matrice $\;\left[A\right]\;$ définie sur $\;\mathbb {R} \;$, noté $\;a_{i,\,j}\;$
     Une matrice $\;\color {transparent}{m\times n}\;$ le terme générique occupant la case de la i^ème ligne et la j^ème colonne,
     Une matrice $\;\color {transparent}{m\times n}\;$ la matrice étant encore notée $\;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\leqslant i\leqslant m\,,\,1\leqslant j\leqslant n}\;$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ ;
     les appellations suivantes sont utilisées pour les cas particuliers de matrices :
     les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice nulle si $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\;$»,
     les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice colonne si $\;n=1$»,
     les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice ligne si $\;m=1\;$»,
     les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice carrée si $\;m=n\neq 1\;$»,
     les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice triangulaire supérieure pour une matrice carrée telle que $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j>i\;$ et $\;\exists \;\left(i,\,j\leqslant i\right)\;:\;a_{i,\,j}\neq 0\;$»,
     les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice triangulaire inférieure pour une matrice carrée telle que $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j<i\;$ et $\;\exists \;\left(i,\,j\geqslant i\right)\;:\;a_{i,\,j}\neq 0\;$»,
     les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice diagonale pour une matrice carrée telle que $\;a_{i,\,j}=0\;\;\forall \;j\neq i\;$ et $\;\exists \;j\;:\;a_{j,\,j}\neq 0\;$ » et
                                                                                         les appellations suivantes $\bullet \;$« matrice identité notée $\;\left[I\right]\;$ pour une matrice diagonale telle que $\;\forall \;j\;:\;i_{j,\,j}=1\;$».
                                                                                          Dans toute la suite du chapitre, nous nous intéressons $\;{\big (}$sauf avis contraire${\big )}\;$ à des matrices définies sur $\;\mathbb {R}$.

Opérations sur les matrices

Transposition de matrices

Définition

     Soit une matrice «$\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$», on appelle
        Soit « matrice transposée de$\;\left[A\right]\;$» « la matrice notée $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ de dimension$\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(n\,,\,m\right)\;$» telle que
      Soit « matrice transposée de$\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$» « la matrice notée «$\;^{t\!}\left[A\right]=\left(a_{j,\,i}\right)_{1\leqslant j\leqslant n\,,\,1\leqslant i\leqslant m}\;$» .

     Exemple : soit la matrice $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,2\right)$,
     Exemple : soit la matrice transposée de $\;\left[A\right]\;$ est la matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(2\,,\,3\right)\;$ s'écrivant $\;^{t\!}\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&3&5\\2&4&6\end{array}}\right]$,
     Exemple : soit la matrice transposée elle s'obtient pratiquement par symétrie axiale par rapport à la diagonale principale de la matrice $\;\left[A\right]$
     Exemple : soit la matrice transposée elle s'obtient pratiquement ${\big (}$ou en permutant lignes et colonnes de la matrice de départ${\big )}$,
     Exemple : soit la matrice transposée de $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ redonnant la matrice $\;\left[A\right]\;$ soit $\;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[A\right]\right\rbrace =\;\left[A\right]$ ;
     Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser la formation de la matrice transposée $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$ et
     Exemple : ci-contre une animation permettant de visualiser son itération $\;{\Big (}$c.-à-d. la formation de la matrice transposée $\;^{t\!}\left\lbrace ^{t\!}\left[A\right]\right\rbrace \;$ de la transposée $\;^{t\!}\left[A\right]\;$${\Big )}\;\ldots$

Addition de matrices et multiplication par un scalaire

     Ces opérations sont définies sur l'« ensemble des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R} \;$» et noté «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$».

Addition de matrices de même dimension (ou taille)

     Sur «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» on définit la loi de composition interne « addition de matrices » notée «$\;+\;$» $\;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;{\overset {+}{\rightarrow }}\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ définie selon
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» on définit la loi de composition interne «$\;\forall \;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;\in \;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;$», «$\;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;{\overset {+}{\rightarrow }}\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ;
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» l'ensemble «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» muni de l'addition «$\;+\;$» est un groupe abélien (ou commutatif) , en effet
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition interne possède les propriétés : $\bullet \;$associativité «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left\lbrace \left(b_{i,\,j}\right)+\left(c_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}+c_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}+c_{i,\,j}\right)=\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace +\left(c_{i,\,j}\right)\;$»,
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition interne possède les propriétés : $\bullet \;$commutativité «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right)=\left(b_{i,\,j}+a_{i,\,j}\right)=\left(b_{i,\,j}\right)+\left(a_{i,\,j}\right)\;$»,
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition interne possède les propriétés : $\bullet \;$existence d'un élément neutre « la matrice nulle » qui vérifie «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left(0_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+0_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}\right)\;$» et
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition interne possède les propriétés : $\bullet \;$telle que toute matrice admet un opposé unique «$\;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;$ $\;\exists \,!\;$ un opposé $\;\left({a'}_{i,\,j}\right)\;$ vérifiant $\;{a'}_{i,\,j}=-a_{i,\,j}\;$» car
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition interne possède les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$telle que toute matrice admet un opposé unique «$\;\left(a_{i,\,j}\right)+\left({a'}_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}+{a'}_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}-a_{i,\,j}\right)=\left(0_{i,\,j}\right)\;$».

Multiplication par un scalaire

     Sur «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» on définit la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» notée «$\;\cdot \;$» $\;\mathbb {R} \times M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ définie selon
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» on définit la loi de composition externe «$\;\forall \;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left\lbrace \lambda \,,\,\left(a_{i,\,j}\right)\right\rbrace \;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» on définit la loi de composition externe «$\;\forall \;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left(a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)\,,\,\lambda \right\rbrace \;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;\left(a_{i,\,j}\right)\cdot \lambda =\left(a_{i,\,j}\;\lambda \right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)\;\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ;
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» définie sur le groupe abélien (ou commutatif) «$\;\left\lbrace M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;$» et notée «$\;\cdot \;$»
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\bullet \;$« distributivité par rapport à l'addition de $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\lambda \cdot \left\lbrace \left(a_{i,\,j}\right)+\left(b_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)+\lambda \cdot \left(b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)+\left(\lambda \;b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}+\lambda \;b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \left\lbrace a_{i,\,j}+b_{i,\,j}\right\rbrace \right)\;$»,
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\bullet \;$« distributivité par rapport à l'addition de $\;\mathbb {R} \;$»
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left\lbrace \lambda +\mu \right\rbrace \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\lambda \cdot \left(a_{i,\,j}\right)+\mu \cdot \left(b_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}\right)+\left(\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;a_{i,\,j}+\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\left\lbrace \lambda +\mu \right\rbrace \;a_{i,\,j}\right)\;$»,
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\bullet \;$« associativité mixte par rapport à la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$»
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left\lbrace \lambda \;\mu \right\rbrace \cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\lambda \cdot \left\lbrace \mu \cdot \left(a_{i,\,j}\right)\right\rbrace =\lambda \cdot \left(\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\lambda \;\mu \;a_{i,\,j}\right)=\left(\left\lbrace \lambda \;\mu \right\rbrace \;a_{i,\,j}\right)\;$» et
     Sur «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» cette loi de composition externe possède les propriétés : $\bullet \;$telle que « l'élément neutre de la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$ noté $\;1_{\mathbb {R} }\;$ est neutre pour “$\;\cdot \;$” » «$\;1_{\mathbb {R} }\cdot \left(a_{i,\,j}\right)=\left(1_{\mathbb {R} }\;a_{i,\,j}\right)=\left(a_{i,\,j}\right)\;$».

Conséquence sur l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée

Structure d'espace vectoriel de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée

     L'ensemble «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» muni de l'addition «$\;+\;$» étant un groupe abélien (ou commutatif) et
     L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» étant $\bullet \;$« distributive par rapport à l'addition de $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ainsi que
     L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» étant $\bullet \;$« distributive par rapport à l'addition de $\;\mathbb {R} \;$» ,
     L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» étant $\bullet \;$« associative mixte par rapport à la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$» et
     L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» étant $\bullet \;$« telle que l'élément neutre $\;1_{\mathbb {R} }\;$ de la multiplication dans $\;\mathbb {R} \;$
     L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» étant $\color {transparent}{\bullet }\;$« telle que l'élément neutre $\;\color {transparent}{1_{\mathbb {R} }}\;$ est neutre pour la loi de composition externe » ,
     L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» nous en déduisons que «$\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» est un «$\;\mathbb {R}$-espace vectoriel » et
     L'ensemble «$\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» nous pourrions démontrer que « la dimension de cet espace vectoriel est $\;m\times n\;$».

Base canonique de l'ensemble des matrices de dimension (ou taille) fixée et décomposition d'une matrice sur la base canonique

     Tout élément de $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ est décomposable de façon unique sur sa base canonique composée des «$\;m\;n\;$ matrices $\;\left[E\right]_{p,\,q}\;$»
     Tout élément de $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ est décomposable de façon unique sur sa ${\bigg \{}$dans $\;\left[E\right]_{p,\,q}\;$ tous les éléments sont nuls à l'exception de l'élément d'indices $_{p,\,q}\;$ qui vaut $\;1$, ou
     Tout élément de $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ est décomposable de façon unique sur sa $\color {transparent}{\bigg \{}$en utilisant le symbole de Kronecker $\;\delta _{k,\,l}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;k\neq l\\1\;{\text{si }}\;k=l\end{array}}\right\rbrace$, l'écriture suivante
     Tout élément de $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ est décomposable de façon unique sur sa $\color {transparent}{\bigg \{}$dans $\;\left[E\right]_{p,\,q}=\left(e_{i,\,j}^{p,\,q}\right)_{p,\,q}\;$ avec $\;e_{i,\,j}^{p,\,q}=\delta _{i,\,p}\;\delta _{j,\,q}\;$ pour $\;i\in \left[\left[1\,,\,m\right]\right]\;$ et $\;j\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right]{\bigg \}}$,
       Tout élément de $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la décomposition de la matrice $\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ sur la base canonique s'écrivant
     Tout élément de $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ la décomposition de la matrice «$\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left[E\right]_{p,\,q}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left(e_{i,\,j}^{p,\,q}\right)_{p,\,q}=\sum \limits _{\begin{array}{c}1\leqslant p\leqslant m\\1\leqslant q\leqslant n\end{array}}a_{p,\,q}\cdot \left(\delta _{i,\,p}\;\delta _{j,\,q}\right)_{p,\,q}\;$».

     Exemple : $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(3\,,\,2\right)$,
     Exemple : les six vecteurs de la base canonique étant $\;\left[E\right]_{1,\,1}=\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&0\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{1,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&1\\0&0\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{2,\,1}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\1&0\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{2,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&1\\0&0\end{array}}\right]$, $\;\left[E\right]_{3,\,1}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&0\\1&0\end{array}}\right]\;$ et $\;\left[E\right]_{3,\,2}=\left[{\begin{array}{c}0&0\\0&0\\0&1\end{array}}\right]$,
     Exemple : la décomposition de $\;\left[A\right]\;$ sur sa base canonique s'écrit «$\;\left[A\right]=1\cdot \left[E\right]_{1,\,1}+2\cdot \left[E\right]_{1,\,2}+3\cdot \left[E\right]_{2,\,1}+4\cdot \left[E\right]_{2,\,2}+5\cdot \left[E\right]_{3,\,1}+6\cdot \left[E\right]_{3,\,2}\;$».

Multiplication matricielle à droite (ou à gauche)

Définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche)

Description du mode opératoire de la multiplication à droite de la matrice $\;\left[A\right]\in M_{4,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ par la matrice $\;\left[B\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$

     La multiplication matricielle à droite d'une matrice de l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R} \;$
     La multiplication matricielle à droite est une loi de composition externe nécessitant l'intervention, à droite, d'une matrice de l'ensemble $\;M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$
     La multiplication matricielle à droite est une loi de composition externe nécessitant des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(n\,,\,p\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R}$,
     La multiplication matricielle à droite le résultat de cette multiplication matricielle à droite
     La multiplication matricielle à droite le résultat étant une matrice de l'ensemble $\;M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,p\right)\;$ soit,
     La multiplication matricielle à droite en notant «$\;\times \;$» la multiplication matricielle $\;{\big (}$à droite${\big )}$, la définition de la loi de composition externe suivante
     La multiplication matricielle à droite en notant «$\;\color {transparent}{\times }\;$» la multiplication matricielle $\;\color {transparent}{\big (}$à droite$\color {transparent}{\big )}$, $M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\times M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ telle que
     La multiplication matricielle à droite « pour $\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et $\;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou
     La multiplication matricielle à droite «$\;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\times \left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}=\left(c_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}\;$» où «$\;c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;$»,
     La multiplication matricielle à droite voir mode opératoire de la multiplication matricielle à droite ci-contre.

     La multiplication matricielle à gauche d'une matrice de l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ définies sur $\;\mathbb {R} \;$
     La multiplication matricielle à gauche est une loi de composition externe nécessitant l'intervention, à gauche, d'une matrice de l'ensemble $\;M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$
     La multiplication matricielle à gauche est une loi de composition externe nécessitant des matrices de dimension $\,{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\left(q\,,\,m\right)\,$ définies sur $\,\mathbb {R}$,
     La multiplication matricielle à gauche le résultat de cette multiplication matricielle à gauche
     La multiplication matricielle à gauche le résultat étant une matrice de l'ensemble $\;M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\,{\big (}$ou de taille${\big )}$ $\,\left(q\,,\,n\right)\;$ soit,
     La multiplication matricielle à gauche en notant «$\;\times \;$» la multiplication matricielle $\;{\big (}$à gauche${\big )}$, la définition de la loi de composition externe suivante
     La multiplication matricielle à gauche en notant «$\;\color {transparent}{\times }\;$» la multiplication matricielle $\;\color {transparent}{\big (}$à gauche$\color {transparent}{\big )}$, $M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\times M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ telle que
     La multiplication matricielle à gauche « pour $\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et $\;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)\in M_{q,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», «$\;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{q,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou
     La multiplication matricielle à gauche «$\;\left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,q\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,m}\times \left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}=\left(d_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,q\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$» avec «$\;d_{i,\,j}=\sum \limits _{l=\left[\left[1,\,m\right]\right]}b_{i,\,l}\;a_{l,\,j}\;$»,
     La multiplication matricielle à gauche le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même que celui décrit dans le schéma ci-dessus
     La multiplication matricielle à gauche le mode opératoire de la multiplication matricielle à gauche est le même à condition de permuter la position de $\;\left[A\right]\;$ avec celle de $\;\left[B\right]$.

     Exemple : soit la matrice $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ à multiplier à droite par la matrice $\;\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)$, on obtient la matrice $\;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{3,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ soit $\;\left[C\right]=$
           Exemple : soit la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}1&2\end{array}}\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ à multiplier à droite par la matrice $\;\color {transparent}{\left[B\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\end{array}}\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)}$, on obtient $\;\left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}23&29&35\\53&67&81\\83&105&127\end{array}}\right]\;$ ;

     Exemple : le choix des dimensions $\;{\big (}$ou tailles${\big )}\;$ des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice $\;\left[A\right]\in M_{3,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ par la matrice $\;\left[B\right]\in M_{2,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ soit aussi possible,
     Exemple : le choix des dimensions $\;\color {transparent}{\big (}$ou tailles$\color {transparent}{\big )}\;$ des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ on obtient alors la matrice $\;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ soit
     Exemple : le choix des dimensions $\;\color {transparent}{\big (}$ou tailles$\color {transparent}{\big )}\;$ des matrices ci-dessus a été fait pour que la multiplication à gauche de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ on obtient $\left[D\right]=\left[{\begin{array}{c}7&9&11\\8&10&12\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}89&116\\98&128\end{array}}\right]\;$ ;

     Exemple : on vérifie que «$\;\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[D\right]\in M_{2,\,2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» est $\;\neq \;$ de «$\;\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[C\right]\in M_{3,\,3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$», les dimensions $\;{\big (}$ou tailles${\big )}\;$ étant $\;{\big (}$d'ailleurs${\big )}\;$ différentes toutefois,
     Exemple : on vérifie que si les matrices facteurs $\;\left[A\right]\;$ et $\;\left[B\right]\;$ sont carrées de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$, «$\;\left[A\right]\times \left[B\right]\;$ reste, en général, $\;\neq \;$ de $\;\left[B\right]\times \left[A\right]\;$»,
     Exemple : on vérifie que si les matrices facteurs $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ et $\;\color {transparent}{\left[B\right]}\;$ sont carrées de même dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$, les matrices produits étant carrées de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}\;$ que les matrices facteurs .

Relation de transposition d'un produit matriciel

Transposée d'un produit matriciel

     « La matrice $\;\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ étant obtenue par $\;\left[A\right]\times \left[B\right]\;$ dans laquelle $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[A\right]\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\\\left[B\right]\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     « sa transposée $\;^{t\!}\left[C\right]\in M_{p,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ vérifie $\;^{t\!}\left[C\right]=\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\,^{t\!}\left[B\right]\in M_{p,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\\\,^{t\!}\left[A\right]\in M_{n,\,m}\!\left(\mathbb {R} \right)\end{array}}\right\rbrace \;$», soit encore «$\;^{t\!}\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]\;$».

     Démonstration : soit «$\;\left[A\right]=\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\in M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et $\;\left[B\right]=\left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,
     Démonstration : « le produit $\;\left[A\right]\times \left[B\right]\;$ est une matrice $\;\left[C\right]\in M_{m,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» selon «$\;\left(a_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\times \left(b_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}=\left(c_{i,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\;,\;1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p}\;$» où «$\;c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;$» ;
     Démonstration : « la matrice transposée de $\;\left[C\right]\;$ s'écrit alors $\;^{t\!}\left[C\right]=\left({c'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$» avec «$\;{c'}_{j,\,i}=c_{i,\,j}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}a_{i,\,k}\;b_{k,\,j}\;$» ;
     Démonstration : « la matrice transposée de $\;\left[B\right]\;$ s'écrivant $\;^{t\!}\left[B\right]=\left({b'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}\;$» avec «$\;{b'}_{j,\,i}=b_{i,\,j}\;$» et
     Démonstration : «         celle transposée de $\;\left[A\right]\;$ s'écrivant $\;^{t\!}\left[A\right]=\left({a'}_{j,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$» avec «$\;{a'}_{j,\,i}=a_{i,\,j}\;$», on en déduit
     Démonstration : « le produit $\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\left[D\right]=\left(d_{j\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$» tel que «$\;d_{j,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}{b'}_{j,\,k}\;{a'}_{k,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}b_{k,\,j}\;a_{i,\,k}={c'}_{j,\,i}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[D\right]=\;^{t\!}\left[C\right]\;$» et par suite
     Démonstration : « le produit $\;\color {transparent}{^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\left[D\right]=\left(d_{j\,i}\right)_{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,p\;,\;1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}\;$» tel que «$\;\color {transparent}{d_{j,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}{b'}_{j,\,k}\;{a'}_{k,\,i}=\sum \limits _{k=\left[\left[1,\,n\right]\right]}b_{k,\,j}\;a_{i,\,k}={c'}_{j,\,i}}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;^{t\!}\left[B\right]\times \,^{t\!}\left[A\right]=\;^{t\!}\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace \;$» C.Q.F.D. .

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée et conséquence sur la structure de cet ensemble

Particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée

     Toute matrice de l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée pouvant être multipliée à droite $\;{\big (}$ou à gauche${\big )}\;$ par n'importe matrice de $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)$,
     Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle à droite $\;{\big (}$ou à gauche${\big )}\;$ définie sur $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» devient alors « une loi de composition interne $\;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}\;{\overset {\times }{\rightarrow }}\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»
     Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\bullet \;$« associativité de la multiplication matricielle » c.-à-d. «$\;\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace \times \left[C\right]=\left[A\right]\times \left\lbrace \left[B\right]\times \left[C\right]\right\rbrace \;$»,
     Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\bullet \;$« distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle » soit
     Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left[A\right]\times \left\lbrace \left[B\right]+\left[C\right]\right\rbrace =\left[A\right]\times \left[B\right]+\left[A\right]\times \left[C\right]\;$»,
     Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\bullet \;$« distributivité de la multiplication matricielle à droite relativement à l'addition matricielle » soit
     Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left\lbrace \left[A\right]+\left[B\right]\right\rbrace \times \left[C\right]=\left[A\right]\times \left[C\right]+\left[B\right]\times \left[C\right]\;$» et
     Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\bullet \;$« existence d'un élément neutre de la multiplication matricielle “la matrice identité $\;\left[I\right]\;$” » c.-à-d.
     Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « la multiplication matricielle possédant les propriétés : $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\left[A\right]\times \left[I\right]=\left[A\right]\;$ et $\;\left[I\right]\times \left[A\right]=\left[A\right]\;$».

     Toute matrice de l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ « La multiplication matricielle n'est pas commutative » c.-à-d. qu'usuellement «$\;\left[A\right]\times \left[B\right]\neq \left[B\right]\times \left[A\right]\;$» $\;{\big (}$voir la note « ³⁰ » plus haut dans ce chapitre${\big )}$.

Structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée

     L'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée étant un cas particulier de l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ fixée
           L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée étant un cas particulier de l’lequel, muni de l'addition «$\;+\;$», est un groupe abélien (ou commutatif) $\Rightarrow$
           L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée l'ensemble $\;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée muni de l'addition «$\;+\;$»
           L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée l'ensemble $\;\color {transparent}{\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace }\;$ est aussi un groupe abélien (ou commutatif) , de plus
           L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle étant une loi de composition interne de l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ ayant les propriétés
                 L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\bullet \;$« associativité » ,
                 L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\bullet \;$« distributivité à gauche et à droite relativement à l'addition matricielle » ,
                 L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\bullet \;$« existence d'un élément neutre » et
                 L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\bullet \;$« absence de commutativité » $\Rightarrow$
                 L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\bullet \;$« l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ possède une structure d’anneau unitaire non commutatif » car
                 L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$l'ensemble $\;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace \;$ est un groupe abélien (ou commutatif) avec
                 L'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{n}\;$ fixée la multiplication matricielle $\color {transparent}{\bullet }\;$les propriétés de la 2^nde loi de composition interne «$\;\times \;$» ;
     l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$ fixée étant un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel et l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée
           l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;$ fixée étant un $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel et l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées en étant un cas particulier $\Rightarrow$
        l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;$ fixée étant un $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel et « l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée
        l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;$ fixée étant un $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel et « l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées est aussi un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel »
        l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices de dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{\left(m\,,\,n\right)}\;$ fixée étant un $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel et « l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ des matrices carrées est aussi dont la dimension est $\;n^{2}\;$ ;

     la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\mathbb {R} \;$» sur l'ensemble $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices carrées de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ fixée $\Rightarrow$ $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ est un $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de par
     la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» sur l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ les propriétés de cette loi rappelées au paragraphe « multiplication par un scalaire » plus haut dans ce chapitre
     la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» sur l'ensemble $\;\color {transparent}{M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$ les propriétés avec une structure de groupe abélien (ou commutatif) de l'ensemble $\;\left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\,,\,+\right\rbrace$,
     la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» de plus, cette loi étant « associative mixte par rapport à la multiplication matricielle » c.-à-d.
     la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» de plus, cette loi étant «$\;\forall \;\lambda \in \mathbb {R} ,\;\;\forall \;\left\lbrace \left[A\right]\,,\,\left[B\right]\right\rbrace \in \left\lbrace M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\right\rbrace ^{2}$, $\;\lambda \;\left\lbrace \left[A\right]\times \left[B\right]\right\rbrace =\left\lbrace \lambda \;\left[A\right]\right\rbrace \times \left[B\right]=\left[A\right]\times \left\lbrace \lambda \;\left[B\right]\right\rbrace \;$»
     la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» de plus, cette loi étant propriété qui, ajoutée à la structure d'espace vectoriel et d'anneau unitaire que possède $\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)$,
     la loi de composition externe « multiplication par un scalaire de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$» de plus, cette loi étant propriété confère à «$\;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ une structure de $\;\mathbb {R}$-algèbre associative unitaire$\;{\big (}$non commutative${\big )}\;$» .

Interprétations linéaires de matrices

1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) fixée définie sur le corps des réels

Interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un « m-uplet » dans une base de R^m

     Considérant l'ensemble $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ avec $\;m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$ en tant que $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;m\;$ ainsi que « la base canonique $\;\left\lbrace e_{1},\cdots e_{i},\cdots e_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de cet espace avec
                Considérant l'ensemble $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;$ avec $\;\color {transparent}{m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace }\;$ en tant que $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel de dimension $\;\color {transparent}{m}\;$ ainsi que «$\;e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}\;$» où «$\;\delta _{k,\,i}=\left\lbrace {\begin{array}{c}0\;\;{\text{si }}k\neq i\\1\;\;{\text{si }}k=i\end{array}}\right\rbrace \;$ est
                Considérant l'ensemble $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;$ avec $\;\color {transparent}{m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace }\;$ en tant que $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$-espace vectoriel de dimension $\;\color {transparent}{m}\;$ ainsi que «$\;\color {transparent}{e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}}\;$» où « le symbole de Kronecker » $\Rightarrow$

     nous pouvons définir $\bullet \;$une « correspondance bijective entre chaque élément $\;e_{i}=\left(\delta _{1,\,i},\cdots \delta _{k,\,i},\cdots \delta _{m,\,i}\right)_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}\;$ de la base canonique de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et
     nous pouvons définir $\color {transparent}{\bullet }\;$une « correspondance bijective entre chaque matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}\delta _{1,\,i}\\\cdots \\\delta _{k,\,i}\\\cdots \\\delta _{m,\,i}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}$ de l'ensemble des matrices colonnes $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et par suite,
     nous pouvons définir $\bullet \;$une « correspondance bijective entre le $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et
     nous pouvons définir $\color {transparent}{\bullet }\;$une « correspondance bijective entre la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}$ de l'ensemble des matrices colonnes $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» d'où la définition suivante
     nous pouvons définir $\bullet \;$« la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}$ est la matrice coordonnée canonique du $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$».

     Considérant l'ensemble $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ avec $\;m\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$ en tant que $\;\mathbb {R}$-espace vectoriel de dimension $\;m\;$ ainsi que « une autre base $\;{\big (}$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$»
     nous pouvons établir $\bullet \;$une « correspondance bijective entre chaque élément $\;b_{i}=\sum \limits _{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}b_{k,\,i}\;e_{k}\;$ » de la base $\;{\big (}$non canonique${\big )}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et
     nous pouvons établir $\color {transparent}{\bullet }\;$une « correspondance bijective entre chaque matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}b_{1,\,i}\\\cdots \\b_{k,\,i}\\\cdots \\b_{m,\,i}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,k\,\leqslant \,m}$ de l'ensemble $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et
     nous pouvons établir $\bullet \;$une « correspondance bijective entre le $\;m$-uplet de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ de décomposition $\;\left(\alpha _{1},\cdots \alpha _{i},\cdots \alpha _{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ dans la base non canonique $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ et
     nous pouvons établir $\color {transparent}{\bullet }\;$une « correspondance bijective entre la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}$ de l'ensemble des matrices colonnes $\;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» d'où la définition suivante
     nous pouvons établir $\bullet \;$« la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ est la matrice coordonnée du $\;m$-uplet de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ de décomposition $\;\left(\alpha _{1},\cdots \alpha _{i},\cdots \alpha _{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$
         nous pouvons établir $\color {transparent}{\bullet }\;$« la matrice colonne $\;\color {transparent}{\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}}\;$ est la matrice coordonnée du $\;\color {transparent}{m}$-uplet de $\;\color {transparent}{\mathbb {R} ^{m}}\;$ de dans la base non canonique $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ » .

1^ère interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice coordonnée d'une famille de n « m-uplets » dans une base de R^m

     Après avoir défini une correspondance bijective entre « le $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$» et
     Après avoir défini une correspondance bijective entre « sa matrice coordonnée canonique $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\\cdots \\a_{i}\\\cdots \\a_{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\!\in \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou
     Après avoir défini une correspondance bijective entre « le $\;m$-uplet $\;\left(a_{1},\,\cdots a_{i},\cdots a_{m}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ tel que $\;\sum \limits _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\alpha _{i}\;b_{i}\;$ dans la base $\;{\big (}$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$ et
     Après avoir défini une correspondance bijective entre « sa matrice coordonnée $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1}\\\cdots \\\alpha _{i}\\\cdots \\\alpha _{m}\end{array}}\right]_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\!\in \;M_{m,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ dans la base $\;{\big (}$non canonique${\big )}$ $\;\left\lbrace b_{1},\cdots b_{i},\cdots b_{m}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\;$ de $\;\mathbb {R} ^{m}\;$» ,

     on prolonge cette correspondance bijective entre « les familles de $\;n$ $\;m$-uplets de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$ et
     on prolonge cette correspondance bijective entre « l'ensemble $\;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ des matrices de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)\;$» c.-à-d., en utilisant la base canonique de $\;\mathbb {R} ^{m}$,
     on prolonge cette correspondance bijective entre « l'élément $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(a_{1,\,1}\,\cdots a_{i,\,1}\cdots a_{m,\,1}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,j}\,\cdots a_{i,\,j}\cdots a_{m,\,j}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\\\vdots \\\left(a_{1,\,n}\,\cdots a_{i,\,n}\cdots a_{m,\,n}\right)_{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m}\end{array}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n}\;$ de la famille de $\;n\;$ “$\;m$-uplets ” de $\;\left[\mathbb {R} ^{m}\right]^{n}\;$» et
     on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left(m\,,\,n\right)$ $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{m,\,1}&\cdots &a_{m,\,j}&\cdots &a_{m,\,n}\end{array}}\right]_{\begin{array}{c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,m\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,n\end{array}}\!\in \;M_{m,\,n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»
   on prolonge cette correspondance bijective entre « la matrice ${\big [}$résultant de la juxtaposition des $\;n\;$ matrices coordonnées canoniques des “$\;m$-uplets ”$$