Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Forces surfaciques et volumiques

**Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Forces surfaciques et volumiques**
Leçon : Statique des fluides (PCSI)

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Statique des fluides (PCSI) : Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Forces surfaciques et volumiques
Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Forces surfaciques et volumiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Quelques définitions : fluide, approximation des milieux continus, particule de fluide

Définition d'un fluide

Un fluide est un ensemble d’entités microscopiques^[1] présentes dans une expansion tridimensionnelle de volume $𝒱$ « dont la forme géométrique s’adapte aux contraintes extérieures » ; un fluide se présente

sous phase liquide dans le cas où les entités microscopiques restent faiblement liées entre elles $\Rightarrow$ « ces dernières n'occupent pas entièrement un récipient fermé soumis à un champ de pesanteur, elles restent localisée au fond du récipient » ou
sous phase gazeuse dans le cas où les entités microscopiques sont quasi-indépendantes entre elles $\Rightarrow$ « ces dernières occupent entièrement un récipient fermé soumis ou non à un champ de pesanteur ».

Approximation des milieux continus

Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace, échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps

$≻$ La distinction entre « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace » a déjà été introduite dans le paragraphe « de même titre » du chap. $21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », elle est rappelée ci-dessous :

échelle macroscopique de l'espace : toute dimension $𝑙 ≳ 1 m m$ ,
échelle microscopique de l'espace : toute dimension $𝑙 ≲ 1 n m$ de l'ordre de la distance moyenne séparant deux atomes dans un solide ou deux molécules dans un gaz à pression et température usuelles,
échelle mésoscopique de l'espace : les dimensions $𝑙 \sim 1 μ m$ qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux dimensions microscopiques » ^[2] et comme « des infiniment petits relativement aux dimensions macroscopiques » ^[3].

$≻$ La distinction entre « échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps » a déjà été introduite dans le paragraphe « de même titre » du chap. $21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », elle est rappelée ci-dessous :

échelle macroscopique de temps : toute durée $τ ≳ 0, 1 s$ supérieure à l'ordre de grandeur de persistance sur la rétine,
échelle microscopique de temps : toute durée $τ ≲ 1 0^{- 11} s$ la limite étant d'ordre de grandeur de la durée moyenne entre deux chocs successifs d'une même molécule dans un gaz à pression et température usuelles,
échelle mésoscopique de temps : les durées $τ \sim 1 μ s$ qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux durées microscopiques » ^[4] et comme « des infiniment petits relativement aux durées macroscopiques » ^[5].

Introduction de l'approximation des milieux continus

L'approximation des milieux continus consiste à remplacer des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies par exemple :

          lors de la définition de la masse « $d m (τ)$ » d’un échantillon mésoscopique de matière centrée en $Q$ et considérée à l’instant $τ$ ,
               utiliser la répartition quantifiée nécessiterait d'évaluer la masse de l'échantillon à l'instant $τ$ par « $\sum_{i = 1}^{i = d N_{τ}} m_{i}$ » ce qui, compte-tenu de la grande valeur du nombre $d N_{τ}$ d'entités de l'échantillon, valeur variant a priori avec $τ$ , serait quasi-impossible aussi choisit-on de
               modéliser la répartition quantifiée par une répartition continue de matière de masse volumique $μ (Q, τ)$ au point $Q$ et à l'instant $τ$ $($ voir la remarque ci-dessous précisant la définition de la masse volumique $)$ permettant d'évaluer la masse de l'échantillon à l'instant $τ$ par « $μ (Q, τ) d 𝒱_{Q}$ » où $d 𝒱_{Q}$ est le volume de l'échantillon mésoscopique considéré ${$ cette modélisation est appelée « approximation des milieux continus » car la densité volumique introduite $($ ici la masse volumique $)$ est une fonction variant continûment avec $Q$ et $τ}$ .

          Remarque : Considérant un « instant $τ$ d’un intervalle de temps d'échelle mésoscopique $[t, t + d t]$ » $(d t$ étant donc une durée mésoscopique définie à partir d'un instant $t$ quelconque $)$ et
          Remarque : Considérant une « expansion tridimensionnelle mésoscopique de volume $d 𝒱_{Q}$ centrée en $Q$ fixe et limitée par une surface fermée élémentaire ${d Σ}_{Q}$ également fixe relativement à $Q$ » $({d Σ}_{Q}$ définissant la « surface de contrôle du système ouvert » constitué des entités présentes à l'instant considéré dans l'expansion tridimensionnelle mésoscopique de volume $d 𝒱_{Q}$ centrée en $Q)$ ,
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique de matière de volume $d 𝒱_{Q}$ centré en $Q$ prise à l’instant $τ \in [t, t + d t]$ « $\sum_{i = 1}^{i = d N_{τ}} m_{i}$ avec $d N_{τ}$ le nombre d'entités présentes à l'intérieur de ${d Σ}_{Q}$ à l'instant $τ$ », étant non calculable précisément
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique du fait que le nombre $d N_{τ}$ est très grand d'une part et qu'il fluctue $($ rapidement^[6] $)$ avec $τ$ d'autre part, nous appliquons la loi des grands nombres
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique en remplaçant d'une part « $\sum_{i = 1}^{i = d N_{τ}} m_{i}$ » par la valeur moyenne sur $[t, t + d t]$ « $⟨ \sum_{i = 1}^{i = d N_{τ}} m_{i} ⟩ = \frac{\int_{t}^{t + d t} [\sum_{i = 1}^{i = d N_{τ}} m_{i}] (τ) d τ}{d t}$ » gommant ainsi la fluctuation avec $τ \in [t, t + d t]$ et
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique en remplaçant d'autre part « $⟨ \sum_{i = 1}^{i = d N_{τ}} m_{i} ⟩$ », dans la mesure où les entités sont toutes identiques de masse $m_{entité}$ , par « ${⟨ d N_{t} ⟩}_{lissé} m_{entité}$ avec ${⟨ d N_{t} ⟩}_{lissé}$ le nombre moyen lissé d'entités présentes à l'intérieur de ${d Σ}_{Q}$ sur $[t, t + d t]$ » ${$ le lissage ayant pour effet de diminuer le plus possible la variation avec $Q$ du nombre moyen $⟨ d N_{t} ⟩$ d'entités présentes à l'intérieur de ${d Σ}_{Q}$ sur $[t, t + d t]}$ d'où finalement
          Remarque : la masse de l’échantillon mésoscopique de matière de volume $d 𝒱_{Q}$ centré en $Q$ prise à l’instant $τ \in [t, t + d t]$ est évaluée, dans la mesure où les entités sont toutes identiques de masse $m_{entité}$ , par « ${⟨ d N_{t} ⟩}_{lissé} m_{entité} = d m_{Q} (t)$ » ${{⟨ d N_{t} ⟩}_{lissé}$ étant le nombre moyen lissé^[7] d'entités présentes à l'intérieur de ${d Σ}_{Q}$ sur $[t, t + d t]}$ , évaluation à partir de laquelle
          Remarque : nous définissons la masse volumique de matière au point $Q$ et à l'instant $t$ selon

«

μ (Q, t) = \frac{d m_{Q}}{d 𝒱_{Q}} (t)

en

k g \cdot m^{- 3}

variant continûment avec

Q

et

t

sans variation brusque » sachant que,

          Remarque : nous définissons dans le cas d'un milieu en régime stationnaire, la masse volumique ne dépendant pas de $t$ est, a priori, uniquement fonction de $Q$ $\Rightarrow$ « $μ_{milieu stat} (Q) = \frac{d m_{Q}}{d 𝒱_{Q}}$ » et,
          Remarque : nous définissons si en plus le milieu est homogène, sa masse volumique ne dépendant pas non plus de $Q$ est constante « $μ_{milieu stat. homog.} = c s t e$ notée $μ_{0}$ $\Rightarrow$ $d m_{Q} = μ_{0} d 𝒱_{Q}$ » ;
          Remarque : définissant aussi la densité volumique d'entités toutes identiques présentes dans le milieu au point $Q$ et à l'instant $t$ selon « $N_{V} (Q, t) = \frac{{⟨ d N_{t} ⟩}_{lissé}}{d 𝒱_{Q}} (t)$ ^[7] en $m^{- 3}$ » $($ densité volumique d'entités identiques variant continûment avec $Q$ et $t$ sans variation brusque $)$ d'où son lien avec la masse volumique du milieu d'entités identiques de masse $m_{entité}$ , au point $Q$ et à l'instant $t$

«

μ (Q, t) = N_{V} (Q, t) m_{entité}

» avec «

m_{entité}

en

k g

», «

N_{V} (Q, t)

en

m^{- 3}

» et «

μ (Q, t)

en

k g \cdot m^{- 3}

».

Remarque : Dans le cas où il y a plusieurs types d'entités $_{k}$ présentes dans le milieu, l'approximation des milieux continus est à définir pour chaque type $_{k}$ d'entités selon la définition précédemment fournie pour un seul type d'où
Remarque : la masse volumique d'entités de type $_{k}$ du milieu au point $Q$ et à l'instant $t$ « $μ_{k} (Q, t) = \frac{d m_{k, Q}}{d 𝒱_{Q}} (t)$ en $k g \cdot m^{- 3}$ variant continûment avec $Q$ et $t$ sans variation brusque »

avec «

d m_{k, Q} = {⟨ d N_{k, t} ⟩}_{lissé} m_{entité, k}

»

{{⟨ d N_{k, t} ⟩}_{lissé}

étant le nombre moyen lissé^[8] d'entités de type

_{k}

présentes à l'intérieur de

{d Σ}_{Q}

sur

[t, t + d t]}

ainsi que

Remarque : la densité volumique d'entités de type $_{k}$ présentes dans le milieu au point $Q$ et à l'instant $t$ « $N_{V} (k, Q, t) = \frac{{⟨ d N_{k, t} ⟩}_{lissé}}{d 𝒱_{Q}} (t)$ ^[8] en $m^{- 3}$ » $($ densité volumique d'entités de type $_{k}$ variant continûment avec $Q$ et $t$ sans variation brusque $)$ , le lien avec la masse volumique d'entités de type $_{k}$ du milieu au point $Q$ et à l'instant $t$ étant

«

μ_{k} (Q, t) = N_{V} (k, Q, t) m_{entité, k}

» avec «

m_{entité, k}

en

k g

», «

N_{V} (k, Q, t)

en

m^{- 3}

» et «

μ (k, Q, t)

en

k g \cdot m^{- 3}

» ;

Remarque : la masse volumique du milieu au point $Q$ et à l'instant $t$ s'obtient en ajoutant les contributions de chaque type d'entités selon « $μ (Q, t) = \frac{d m_{Q}}{d 𝒱_{Q}} (t)$ avec $d m_{Q} (t) = \sum_{k} d m_{k, Q} (t) =$ $\sum_{k} [μ_{k} (Q, t) d 𝒱_{Q}] = [\sum_{k} μ_{k} (Q, t)] d 𝒱_{Q}$ soit finalement, après simplification,

«

μ (Q, t) = \sum_{k} μ_{k} (Q, t)

en

k g \cdot m^{- 3}

variant continûment avec

Q

et

t

sans variation brusque » ou,
en introduisant la densité volumique d'entités de type

_{k}

«

N_{V} (k, Q, t)

en

m^{- 3}

»

(

variant continûment avec

Q

et

t

sans variation brusque

)

,
«

μ (Q, t) = \sum_{k} [N_{V} (k, Q, t) m_{entité, k}]

» avec «

m_{entité, k}

en

k g

», «

N_{V} (k, Q, t)

en

m^{- 3}

» et «

μ (Q, t)

en

k g \cdot m^{- 3}

».

Retour sur la définition d'un fluide

Définition plus précise d'un fluide

Un fluide est un ensemble d’entités microscopiques^[1] présentes dans une expansion tridimensionnelle de volume $𝒱$ , ensemble traité dans le cadre de l'approximation des milieux continus tel que « sa forme géométrique s’adapte aux contraintes extérieures ».

Définition d'une particule de fluide

Une particule de fluide à l'instant $t$ est un échantillon mésoscopique de fluide centré en $Q$ , de volume élémentaire $d 𝒱$ considéré à l'instant $t$ $($ dans ce qui suit nous supposons un seul type d'entités microscopiques de masse individuelle $m_{entité})$ ;

les grandeurs dépendant du nombre d’entités présentes dans la particule de fluide sont caractérisées par ses propriétés volumiques comme

« sa masse volumique $μ (Q, t)$ en $k g \cdot m^{- 3}$ » ou
« sa densité volumique particulaire $N_{V} (Q, t)$ en $m^{- 3}$ » liée à sa masse volumique par « $μ (Q, t) = N_{V} (Q, t) m_{entité}$ »,

celles-ci permettant de définir la masse de la particule de fluide « $d m (Q, t) = μ (Q, t) d 𝒱$ » ou
celles-ci permettant de définir la quantité d’entités présentes dans la particule de fluide « $d N (Q, t) = N_{V} (Q, t) d 𝒱$ » $\dots$

Champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples

Nous ne nous intéressons qu'aux forces extérieures s'exerçant sur la particule de fluide « $Q (d 𝒱_{Q})$ considérée à l'instant $t$ » ${Q$ étant le centre de la particule de fluide d'expansion tridimensionnelle mésoscopique limitée par la surface fermée $d Σ_{Q}$ fixe de volume intérieur $d 𝒱_{Q}}$ et parmi celles-ci nous distinguons deux types de forces extérieures :

des forces de champ qui s’exercent sur toutes les entités présentes dans la particule de fluide, forces de champ qualifiées de « volumiques » $[$ on parle donc de « champ de force volumique » $]$ ,
     exemples : le poids des entités d'une particule de fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme $\vec{g}$ définissant un « champ de force de pesanteur », le poids de la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ considérée à l'instant $t$ , de masse volumique $μ (Q, t)$ et de masse $d m_{Q} (t) = μ (Q, t) d 𝒱_{Q}$ est la résultante des poids de toutes les entités présentes dans la particule de fluide à l'instant $t$ c'est-à-dire « $d m_{Q} (t) \vec{g}$ $= μ (Q, t) d 𝒱_{Q} \vec{g}$ » appliquée en $Q$ ,
     exemples : la force électrique s'exerçant sur les entités chargées d'une particule de fluide soumis à un champ électrique $\vec{E} (Q, t)$ définissant un « champ de force électrique », la force électrique s'exerçant sur la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ considérée à l'instant $t$ , constitué d'entités chargées de type $_{k}$ de densité volumique de charge $ρ (k, Q, t)$ , de charge globale $d q_{k, Q} (t) = ρ (k, Q, t) d 𝒱_{Q}$ est la résultante des forces électriques s'exerçant sur toutes les entités chargées présentes dans la particule de fluide à l'instant $t$ c'est-à-dire « $\sum_{k} d q_{k, Q} (t) \vec{E} (Q, t) = \sum_{k} ρ (k, Q, t) d 𝒱_{Q} \vec{E} (Q, t)$ s'écrivant encore $[\sum_{k} ρ (k, Q, t)] d 𝒱_{Q} \vec{E} (Q, t)$ » appliquée en $Q$ $[$ avec $\sum_{k} ρ (k, Q, t) = 0$ si la particule de fluide est globalement neutre $]$ ,
     exemples : $\dots$
des forces de contact qui s’exercent sur les entités de la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ situées à la périphérie de la surface fermée $d Σ_{Q}$ limitant l'expansion tridimensionnelle mésoscopique de volume $d 𝒱_{Q}$ , force de contact qualifiées de « surfaciques » $[$ on parle aussi de « champ de force surfacique » $]$ ,
exemples : les forces pressantes que les autres particules de fluide voisines exercent tout autour de la particule de fluide étudiée $Q (d 𝒱_{Q})$ considérée à l'instant $t$ , par exemple la particule de fluide au contact en $M \in d Σ_{Q}$ avec la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ considérée à l'instant $t$ exerçant sur cette dernière en $M$ la force pressante « $- p (M, t) \vec{d^{2} Σ_{Q}} (M)$ » avec « $p (M, t)$ la pression exercée par la particule de fluide extérieure au contact en $M \in d Σ_{Q}$ avec $Q (d 𝒱_{Q})$ »^[9] et « $\vec{d^{2} Σ_{Q}} (M)$ le vecteur surface élémentaire de $d Σ_{Q}$ , $⊥$ à $d Σ_{Q}$ en $M$ et orienté vers l'extérieur de $d Σ_{Q}$ »,
exemples : les forces de viscosité^[10] que les particules de fluide voisines exercent sur la particule de fluide étudiée $Q (d 𝒱_{Q})$ considérée à l'instant $t$ , en glissant sur cette dernière dans le cas où le fluide est « visqueux »^[11], par exemple la particule de fluide au contact en $M \in d Σ_{Q}$ avec la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ considérée à l'instant $t$ exerçant sur cette dernière en $M$ une force tangentielle « de viscosité » « $η_{flu} {(\frac{\partial V_{τ}}{\partial n})}_{τ} (M, t) d^{2} Σ_{Q} (M) \vec{τ} (M)$ » avec « $η_{flu}$ le cœfficient de viscosité dynamique $($ ou simplement la viscosité dynamique $)$ du fluide », « $\vec{τ} (M)$ un vecteur unitaire du plan tangent à $d Σ_{Q}$ en $M \in d Σ_{Q}$ le long duquel la particule de fluide au contact en $M \in d Σ_{Q}$ avec la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ a une composante de vitesse par rapport à cette dernière égale à $V_{τ} (M, t)$ dans le référentiel lié à $Q$ », « ${(\frac{\partial V_{τ}}{\partial n})}_{τ} (M, t)$ mesurant l'augmentation de $V_{τ} (M, t)$ avec l'éloignement de $Q$ en restant sur la normale à $d Σ_{Q}$ en $M$ » et « $d^{2} Σ_{Q} (M)$ l'aire de la surface élémentaire centrée en $M \in d Σ_{Q}$ » ${$ nous ne considérons pas ces forces par la suite car nous ne nous intéressons qu’à la statique des fluides et les forces de viscosité n’apparaissant que lorsqu'il y a glissement de particules de fluide les unes sur les autres, n'interviennent pas en statique des fluides $}$ .

Champ de force volumique et sa densité volumique de force, retour sur les exemples

Caractérisation d'un champ de force volumique par sa densité volumique de force

Une force volumique « ${\vec{d F}}_{V} (Q, t)$ s’exerçant sur la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ » étant « $\propto$ au volume $d 𝒱_{Q}$ de cette dernière », on définit « sa densité volumique de force » par

«

{\vec{f}}_{V} (Q, t) = \frac{{\vec{d F}}_{V} (Q, t)}{d 𝒱_{Q}}

s’exprimant en

N \cdot m^{- 3}

»,

la connaissance de la densité volumique de force et du volume de la particule de fluide permettant alors d'exprimer la force volumique s'exerçant sur cette dernière par

«

{\vec{d F}}_{V} (Q, t) = {\vec{f}}_{V} (Q, t) d 𝒱_{Q}

» en

N

avec

{\vec{f}}_{V} (Q, t)

en

N \cdot m^{- 3}

et

d 𝒱_{Q}

en

m^{3}

.

Exemples de champ de force volumique

Des exemples ont déjà été donnés au paragraphe « champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples (forces de champ) » plus haut dans ce chapitre, ils sont rappelés dans la liste $($ non exhaustive $)$ ci-dessous avec ajout d'un dernier exemple nécessitant que la particule de fluide soit en mouvement dans le référentiel d'étude $($ donc hors statique des fluides $)$ :

le poids de la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ considérée à l'instant $t$ dans un « champ de pesanteur uniforme $\vec{g}$ » « $d m_{Q} (t) \vec{g}$ » avec « $d m_{Q} (t) = μ (Q, t) d 𝒱_{Q}$ la masse de la particule de fluide considérée à l'instant $t$ », « $μ (Q, t)$ étant la masse volumique du fluide en $Q$ au même l'instant $t$ »,
la force électrique exercée, à l'instant $t$ , sur la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ « globalement chargée » dans un « champ électrique $\vec{E} (Q, t)$ » « $d q_{Q} (t) \vec{E} (Q, t)$ » avec « $d q_{Q} (t) = ρ (Q, t) d 𝒱_{Q}$ la charge totale de la particule de fluide considérée à l'instant $t$ », « $ρ (Q, t)$ étant la densité volumique de charge^[12] globale du fluide en $Q$ au même l'instant $t$ » et
la force magnétique de Lorentz^[13] exercée, à l'instant $t$ , sur la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ « globalement chargée » mobile dans un « champ magnétique $\vec{B} (Q, t)$ » relativement à la source de ce dernier « $d q_{Q} (t) {\vec{V}}_{Q / ℛ_{source de \vec{B}}} (t) \land \vec{B} (Q, t)$ » avec « $d q_{Q} (t) = ρ (Q, t) d 𝒱_{Q}$ la charge totale de la particule de fluide considérée à l'instant $t$ », « $ρ (Q, t)$ étant la densité volumique de charge globale du fluide en $Q$ au même l'instant $t$ » et « ${\vec{V}}_{Q / ℛ_{source de \vec{B}}} (t)$ le vecteur vitesse de $Q$ à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ_{source de \vec{B}}$ lié à la source du champ magnétique » ${$ nous ne considérerons pas cette force magnétique de Lorentz^[13] par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude $}$ .

Définition de la densité volumique de force dans les exemples de champ de force volumique précédents

Comme il suffit de diviser la force volumique s’exerçant sur la particule de fluide par son volume pour obtenir la densité volumique de force, nous en déduisons :

la densité volumique de force de pesanteur $($ ou de poids $)$ au point $Q$ et à l'instant $t$ du fluide considéré « ${\vec{f}}_{V, pes} (Q, t) = \frac{d m_{Q} (t) \vec{g}}{d 𝒱_{Q}} = μ (Q, t) \vec{g}$ » avec « $\vec{g}$ le champ de pesanteur uniforme » et « $μ (Q, t) = \frac{d m_{Q} (t)}{d 𝒱_{Q}}$ la masse volumique du fluide en $Q$ et à l'instant $t$ exprimée en $k g \cdot m^{- 3}$ »,
la densité volumique de force électrique au point $Q$ et à l'instant $t$ du fluide globalement chargé considéré « ${\vec{f}}_{V, élec} (Q, t) = \frac{d q_{Q} (t) \vec{E} (Q, t)}{d 𝒱_{Q}} = ρ (Q, t) \vec{E} (Q, t)$ » avec « $\vec{E} (Q,_{,} t)$ le champ électrique au point $Q$ à l'instant $t$ » et « $ρ (Q, t) = \frac{d q_{Q} (t)}{d 𝒱_{Q}}$ la densité volumique de charge^[12] globale du fluide en $Q$ et à l'instant $t$ exprimée en $C \cdot m^{- 3}$ » et
la densité volumique de force magnétique de Lorentz^[13] au point $Q$ et à l'instant $t$ du fluide globalement chargé en mouvement relativement à la source du champ magnétique considéré « ${\vec{f}}_{V, mag. de Lor} (Q, t) = \frac{d q_{Q} (t) {\vec{V}}_{Q / ℛ_{source de \vec{B}}} (t) \land \vec{B} (Q, t)}{d 𝒱_{Q}} = ρ (Q, t) {\vec{V}}_{Q / ℛ_{source de \vec{B}}} (t) \land \vec{B} (Q, t)$ » avec « $\vec{B} (Q,_{,} t)$ le champ électrique au point $Q$ à l'instant $t$ », « $ρ (Q, t) = \frac{d q_{Q} (t)}{d 𝒱_{Q}}$ la densité volumique de charge^[12] globale du fluide en $Q$ et à l'instant $t$ exprimée en $C \cdot m^{- 3}$ » et « ${\vec{V}}_{Q / ℛ_{source de \vec{B}}} (t)$ le vecteur vitesse de $Q$ à l'instant $t$ dans le référentiel $ℛ_{source de \vec{B}}$ lié à la source du champ magnétique » ${$ nous ne considérerons pas cette densité volumique de force magnétique de Lorentz^[13] par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude $}$ .

Champ de force surfacique et sa densité surfacique de force, cas de la densité surfacique de force pressante

Caractérisation d'un champ de force surfacique par sa densité surfacique de force

Une force surfacique « ${\vec{d^{2} F}}_{S} (M_{Q}, t)$ s’exerçant sur une portion élémentaire centrée en $M_{Q}$ de la surface fermée $d Σ_{Q}$ limitant la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ » étant « $\propto$ à l'aire $d^{2} Σ_{Q} (M_{Q})$ de la portion élémentaire centrée en $M_{Q} \in d Σ_{Q}$ », on définit « sa densité surfacique de force » par

«

{\vec{f}}_{S} (M_{Q}, t) = \frac{{\vec{d^{2} F}}_{S} (M_{Q}, t)}{d^{2} Σ_{Q} (M_{Q})}

s’exprimant en

N \cdot m^{- 2}

»,

la connaissance de la densité surfacique de force en $M_{Q}$ et de l'aire de la portion élémentaire centrée en $M_{Q} \in d Σ_{Q}$ limitant la particule de fluide permettant alors d'exprimer la force surfacique s'exerçant en $M_{Q}$ par

«

{\vec{d^{2} F}}_{S} (M_{Q}, t) = {\vec{f}}_{S} (M_{Q}, t) d^{2} S_{Q} (M_{Q})

» en

N

avec

{\vec{f}}_{S} (M_{Q}, t)

en

N \cdot m^{- 2}

et

d^{2} S_{Q} (M_{Q})

en

m^{2}

.

Exemples de champ de force surfacique

Des exemples ont déjà été donnés au paragraphe « champs de forces volumique ou surfacique dans un fluide, exemples (forces de contact) » plus haut dans ce chapitre, ils sont rappelés dans la liste $($ non exhaustive $)$ ci-dessous :

la force pressante exercée sur la particule de fluide étudiée $Q (d 𝒱_{Q})$ $[$ la surface fermée limitant cette dernière étant $d Σ_{Q}]$ par la particule de fluide au contact en $M \in d Σ_{Q}$ avec la particule de fluide étudiée, considérée à l'instant $t$ « $- p (M, t) d^{2} Σ_{Q} (M) {\vec{n}}_{Q \to M}$ » avec « $p (M, t)$ la pression exercée par la particule de fluide extérieure au contact en $M \in d Σ_{Q}$ avec la particule de fluide étudiée $Q (d 𝒱_{Q})$ »^[9], « $d^{2} Σ_{Q} (M)$ l'aire de la portion de surface de $d Σ_{Q}$ entourant $M$ » et « ${\vec{n}}_{Q \to M}$ le vecteur unitaire $⊥$ à $d Σ_{Q}$ en $M$ orienté vers l'extérieur de $d Σ_{Q}$ » et
la force de viscosité^[10] exercée sur la particule de fluide étudiée $Q (d 𝒱_{Q})$ $[$ la surface fermée limitant cette dernière étant $d Σ_{Q}]$ par la particule de fluide au contact en $M \in d Σ_{Q}$ glissant sur la particule de fluide étudiée, considérée à l'instant $t$ $[$ dans le cas où le fluide est « visqueux »^[11] $]$ « $η_{flu} {(\frac{\partial V_{τ}}{\partial n})}_{τ} (M, t) d^{2} Σ_{Q} (M) \vec{τ} (M)$ » avec « $η_{flu}$ le cœfficient de viscosité dynamique $($ ou simplement la viscosité dynamique $)$ du fluide », « $\vec{τ} (M)$ un vecteur unitaire du plan tangent à $d Σ_{Q}$ en $M \in d Σ_{Q}$ le long duquel la particule de fluide au contact en $M \in d Σ_{Q}$ avec la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ a une composante de vitesse par rapport à cette dernière égale à $V_{τ} (M, t)$ dans le référentiel lié à $Q$ », « ${(\frac{\partial V_{τ}}{\partial n})}_{τ} (M, t)$ mesurant l'augmentation de $V_{τ} (M, t)$ avec l'éloignement de $Q$ en restant sur la normale à $d Σ_{Q}$ en $M$ » et « $d^{2} Σ_{Q} (M)$ l'aire de la surface élémentaire centrée en $M \in d Σ_{Q}$ » ${$ nous ne considérerons pas cette force de viscosité par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude $}$ .

Définition de la densité surfacique de force dans les exemples de champ de force surfacique précédents

Comme il suffit de diviser la force surfacique s’exerçant en $M$ de la surface limitant la particule de fluide étudiée par l'aire de la portion de surface centrée en $M$ pour obtenir la densité surfacique de force en ce point, nous en déduisons :

la densité surfacique de force pressante au point $M$ et à l'instant $t$ du fluide considéré « ${\vec{f}}_{S, press} (M, t) = \frac{- p (M, t) d^{2} Σ_{Q} (M) {\vec{n}}_{Q \to M}}{d^{2} Σ_{Q} (M)} = - p (M, t) {\vec{n}}_{Q \to M}$ » avec « $p (M, t)$ la pression exercée par la particule de fluide extérieure au contact en $M \in d Σ_{Q}$ avec la particule de fluide étudiée $Q (d 𝒱_{Q})$ »^[9] et « ${\vec{n}}_{Q \to M}$ le vecteur unitaire $⊥$ à $d Σ_{Q}$ en $M$ orienté vers l'extérieur de $d Σ_{Q}$ » et
la densité surfacique de force de viscosité au point $M$ et à l'instant $t$ du fluide « visqueux »^[11] considéré « ${\vec{f}}_{S, viscos} (M, t) = \frac{η_{flu} {(\frac{\partial V_{τ}}{\partial n})}_{τ} (M, t) d^{2} Σ_{Q} (M) \vec{τ} (M)}{d^{2} Σ_{Q} (M)} = η_{flu} {(\frac{\partial V_{τ}}{\partial n})}_{τ} (M, t) \vec{τ} (M)$ » « $η_{flu}$ le cœfficient de viscosité dynamique $($ ou simplement la viscosité dynamique $)$ du fluide », « $\vec{τ} (M)$ un vecteur unitaire du plan tangent à $d Σ_{Q}$ en $M \in d Σ_{Q}$ le long duquel la particule de fluide au contact en $M \in d Σ_{Q}$ avec la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ a une composante de vitesse par rapport à cette dernière égale à $V_{τ} (M, t)$ dans le référentiel lié à $Q$ », « ${(\frac{\partial V_{τ}}{\partial n})}_{τ} (M, t)$ mesurant l'augmentation de $V_{τ} (M, t)$ avec l'éloignement de $Q$ en restant sur la normale à $d Σ_{Q}$ en $M$ » ${$ nous ne considérerons pas cette densité surfacique de force de viscosité par la suite car nous ne nous intéresserons qu’à la statique des fluides nécessitant que les particules de fluide soient individuellement immobiles dans le référentiel d'étude $}$ .

Remarque : Le lien existant entre la densité surfacique de force pressante « ${\vec{f}}_{S, press} (M, t)$ » en un point $M$ de la surface fermée $d Σ_{Q}$ limitant la particule de fluide $Q (d 𝒱_{Q})$ et la pression « $p (M, t)$ » exercée en $M$ sur cette dernière par le reste du fluide étant « ${\vec{f}}_{S, press} (M, t) = - p (M, t) {\vec{n}}_{Q \to M}$ » nous en déduisons la pression en fonction de la densité surfacique de force pressante par

«

p (M, t) = - {\vec{f}}_{S, press} (M, t) \cdot {\vec{n}}_{Q \to M} = ‖ {\vec{f}}_{S, press} (M, t) ‖

»^[14] s'exprimant en «

P a = N \cdot m^{- 2}

».

Notes et références

↑ ^1,0 et ^1,1 Qui nécessitent un microscope pour être observée c'est-à-dire de dimension de l'ordre du $n m = 1 0^{- 9} m$ .
↑ Exemple d'une chaîne linéaire d'atomes : la distance entre deux atomes est d'échelle microscopique, une distance de $1 μ m$ sur cette chaîne d'échelle mésoscopique et celle de $1 m m$ sur cette même chaîne d'échelle macroscopique ;
nous pourrions déterminer la masse d'un échantillon mésoscopique de $1 μ m$ de chaîne d'atomes en multipliant la masse d'un atome par le nombre d'atomes comptés mais ce dernier étant grand et difficilement comptable, nous déduirons la masse de l'échantillon en multipliant la masse d'un atome par le nombre moyen d'atomes c'est-à-dire en appliquant la loi des grands nombres à l'échantillon mésoscopique $($ ou encore en y faisant une étude statistique $)$ .
↑ Reprenant l'exemple de la chaîne linéaire d'atomes précédente :
ayant évalué la masse d'un échantillon mésoscopique de $1 μ m$ de chaîne d'atomes, la masse d'un échantillon macroscopique de $1 m m$ de chaîne d'atomes pourrait être déterminée en ajoutant les masses de tous les échantillons mésoscopiques mais ce serait trop fastidieux, elle sera calculée en définissant la masse linéique des échantillons mésoscopiques suivant leur abscisse de positionnement $λ (x) ≃ \frac{m_{1 μ m de chaine} (x)}{1 μ m}$ et en intégrant $m_{1 m m de chaine} = \int_{0}^{1 m m} λ (x) d x$ $($ le caractère petit des échantillons mésoscopiques relativement aux échantillons macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de la matière dont nous introduisons dès à présent une notion sur un cas concret $)$ ;
si la masse linéique des échantillons mésoscopiques ne dépend pas de leur abscisse de positionnement, la masse de l'échantillon macroscopique de $1 m m$ de chaîne d'atomes s'obtiendra simplement en multipliant la masse linéique par le nombre moyen d'échantillons mésoscopiques dans l'échantillon macroscopique c'est-à-dire en multipliant par $1000$ .
↑ On pourra donc appliquer la loi des grands nombres sur la durée mésoscopique $($ ou encore y faire une étude statistique $)$ .
↑ On pourra remplacer la définition d'une grandeur $g$ sur une durée mésoscopique $τ \sim 1 μ s$ repérée à l'instant $t$ $($ par exemple le nombre d'atomes passant par un trou pendant $1 μ s$ à partir de l'instant $t)$ par le débit de cette grandeur $D_{g} (t) = \frac{g_{1 μ s} (t)}{1 μ s}$ $($ sur l'exemple le débit d'atomes passant par le trou à l'instant $t)$ et calculer la grandeur $g$ sur une durée macroscopique $0, 1 s$ à partir d'une date $t_{0}$ en intégrant $g_{0, 1 s} (t_{0}) = \int_{t_{0}}^{t_{0} + 0, 1 s} D_{g} (t) d t$ $($ sur l'exemple on obtient le nombre d'atomes passant par le trou pendant $0, 1 s$ à partir de l'instant $t_{0})$ $[$ le caractère petit des durées mésoscopiques de temps relativement aux durées macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de l'évolution de grandeur relativement au temps $]$ ;
si le débit de la grandeur $g$ sur des durées mésoscopiques ne dépend pas de leur date de détermination, la grandeur $g$ sur la durée macroscopique de $0, 1 s$ à partir de $t_{0}$ s'obtiendra simplement en multipliant le débit de la grandeur $g$ sur des durées mésoscopiques par le nombre moyen de durées mésoscopiques dans la durée macroscopique c'est-à-dire en multipliant par $1 0^{5}$ .
↑ En effet la durée mésoscopique $d t$ est de l'ordre de la $μ s$ alors que la durée nécessaire pour qu'une entité traverse ${d Σ}_{Q}$ est d'échelle microscopique c'est-à-dire de l'ordre de quelques $p s$ .
↑ ^7,0 et ^7,1 Le lissage ayant pour effet de diminuer le plus possible la variation avec $Q$ du nombre moyen $⟨ d N_{t} ⟩$ d'entités présentes à l'intérieur de ${d Σ}_{Q}$ sur $[t, t + d t]$ .
↑ ^8,0 et ^8,1 Le lissage ayant pour effet de diminuer le plus possible la variation avec $Q$ du nombre moyen $⟨ d N_{k, t} ⟩$ d'entités de type $_{k}$ présentes à l'intérieur de ${d Σ}_{Q}$ sur $[t, t + d t]$ .
↑ ^9,0 ^9,1 et ^9,2 Voir une 1^re introduction dans le paragraphe « notion de pression en mécanique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^10,0 et ^10,1 Ces forces étant à l'origine des forces de frottement fluide entrevues dans le paragraphe « forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^11,0 ^11,1 et ^11,2 La définition de la viscosité dynamique d'un fluide $η_{flu}$ n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^re notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux $($ c'est-à-dire qu'il « collera » au plan $)$ ;
   si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur $e$ non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure $($ cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile $)$ , la vitesse en son sein varie suivant l'altitude $z$ car la couche inférieure à l'altitude $z_{i} = 0$ tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude $z_{s} = e > 0$ a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude $z \in] 0, e [$ va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude $z^{+}$ qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude $z^{-}$ qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la contrainte de cisaillement $[$ c'est-à-dire la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard $]$ que l'on notera $τ_{cis} = ‖ \frac{d {\vec{f}}_{z \leftarrow z^{+}}}{d Σ} ‖ = ‖ \frac{d {\vec{f}}_{z \leftarrow z^{-}}}{d Σ} ‖$ s'exprimant en $P a$ , $d Σ$ étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique $η_{flu}$ du fluide par $τ_{cis} = η_{flu} ‖ \frac{d {\vec{V}}_{{couche}_{z}}}{d z} ‖$ avec ${\vec{V}}_{{couche}_{z}}$ le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude $z$ , ceci impliquant que la viscosité dynamique $η_{flu}$ du fluide s'exprime en $P a \cdot s$ $[$ encore appelé « poiseuille » de symbole $P l$ , ce nom ayant été donné en hommage à Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869) physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux écoulements laminaires des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques $]$ ;
   c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite $($ c'est-à-dire les molécules les plus éloignées des parois de la conduite $)$ ont la vitesse maximale $\dots$
   on définit aussi une autre viscosité appelée viscosité cinématique notée $ν_{flu}$ qui dépend de la viscosité dynamique $η_{flu}$ du fluide ainsi que de sa masse volumique $ρ_{flu}$ selon $ν_{flu} = \frac{η_{flu}}{ρ_{flu}}$ s'exprimant donc en $m^{2} \cdot s^{- 1}$ $[$ mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole $S t$ égal à $1 S t = 1 0^{- 4} m^{2} \cdot s^{- 1}]$ ; George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre $($ il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie $)$ et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.
↑ ^12,0 ^12,1 et ^12,2 Ou charge volumique.
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 et ^13,3 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) est un physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » $[$ en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en $1905$ par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès $1892$ pour ce dernier $]$ , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en $1905$ ; Hendrik Lorentz partagea, en $1902$ , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs $[$ Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en $1886]$ .
Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques $\dots$
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
↑ Cette dernière égalité résultant du fait que la pression est $> 0$ d'une part et que la densité surfacique de force pressante est colinéaire et de sens contraire à ${\vec{n}}_{Q \to M}$ d'autre part.

Statique des fluides (PCSI)

Sommaire

Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme

[microscopique-1] 1,0 et ^1,1 Qui nécessitent un microscope pour être observée c'est-à-dire de dimension de l'ordre du $n m = 1 0^{- 9} m$ .

[élément_mésoscopique_considéré_comme_un_infiniment_grand-2] Exemple d'une chaîne linéaire d'atomes : la distance entre deux atomes est d'échelle microscopique, une distance de $1 μ m$ sur cette chaîne d'échelle mésoscopique et celle de $1 m m$ sur cette même chaîne d'échelle macroscopique ;
nous pourrions déterminer la masse d'un échantillon mésoscopique de $1 μ m$ de chaîne d'atomes en multipliant la masse d'un atome par le nombre d'atomes comptés mais ce dernier étant grand et difficilement comptable, nous déduirons la masse de l'échantillon en multipliant la masse d'un atome par le nombre moyen d'atomes c'est-à-dire en appliquant la loi des grands nombres à l'échantillon mésoscopique $($ ou encore en y faisant une étude statistique $)$ .

[élément_mésoscopique_considéré_comme_un_infiniment_petit-3] Reprenant l'exemple de la chaîne linéaire d'atomes précédente :
ayant évalué la masse d'un échantillon mésoscopique de $1 μ m$ de chaîne d'atomes, la masse d'un échantillon macroscopique de $1 m m$ de chaîne d'atomes pourrait être déterminée en ajoutant les masses de tous les échantillons mésoscopiques mais ce serait trop fastidieux, elle sera calculée en définissant la masse linéique des échantillons mésoscopiques suivant leur abscisse de positionnement $λ (x) ≃ \frac{m_{1 μ m de chaine} (x)}{1 μ m}$ et en intégrant $m_{1 m m de chaine} = \int_{0}^{1 m m} λ (x) d x$ $($ le caractère petit des échantillons mésoscopiques relativement aux échantillons macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de la matière dont nous introduisons dès à présent une notion sur un cas concret $)$ ;
si la masse linéique des échantillons mésoscopiques ne dépend pas de leur abscisse de positionnement, la masse de l'échantillon macroscopique de $1 m m$ de chaîne d'atomes s'obtiendra simplement en multipliant la masse linéique par le nombre moyen d'échantillons mésoscopiques dans l'échantillon macroscopique c'est-à-dire en multipliant par $1000$ .

[durée_mésoscopique_considérée_comme_un_infiniment_grand-4] On pourra donc appliquer la loi des grands nombres sur la durée mésoscopique $($ ou encore y faire une étude statistique $)$ .

[durée_mésoscopique_considérée_comme_un_infiniment_petit-5] On pourra remplacer la définition d'une grandeur $g$ sur une durée mésoscopique $τ \sim 1 μ s$ repérée à l'instant $t$ $($ par exemple le nombre d'atomes passant par un trou pendant $1 μ s$ à partir de l'instant $t)$ par le débit de cette grandeur $D_{g} (t) = \frac{g_{1 μ s} (t)}{1 μ s}$ $($ sur l'exemple le débit d'atomes passant par le trou à l'instant $t)$ et calculer la grandeur $g$ sur une durée macroscopique $0, 1 s$ à partir d'une date $t_{0}$ en intégrant $g_{0, 1 s} (t_{0}) = \int_{t_{0}}^{t_{0} + 0, 1 s} D_{g} (t) d t$ $($ sur l'exemple on obtient le nombre d'atomes passant par le trou pendant $0, 1 s$ à partir de l'instant $t_{0})$ $[$ le caractère petit des durées mésoscopiques de temps relativement aux durées macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de l'évolution de grandeur relativement au temps $]$ ;
si le débit de la grandeur $g$ sur des durées mésoscopiques ne dépend pas de leur date de détermination, la grandeur $g$ sur la durée macroscopique de $0, 1 s$ à partir de $t_{0}$ s'obtiendra simplement en multipliant le débit de la grandeur $g$ sur des durées mésoscopiques par le nombre moyen de durées mésoscopiques dans la durée macroscopique c'est-à-dire en multipliant par $1 0^{5}$ .

[rapidité_de_la_fluctuation-6] En effet la durée mésoscopique $d t$ est de l'ordre de la $μ s$ alors que la durée nécessaire pour qu'une entité traverse ${d Σ}_{Q}$ est d'échelle microscopique c'est-à-dire de l'ordre de quelques $p s$ .

[lissage-7] 7,0 et ^7,1 Le lissage ayant pour effet de diminuer le plus possible la variation avec $Q$ du nombre moyen $⟨ d N_{t} ⟩$ d'entités présentes à l'intérieur de ${d Σ}_{Q}$ sur $[t, t + d t]$ .

[lissage_pour_les_entités_k-8] 8,0 et ^8,1 Le lissage ayant pour effet de diminuer le plus possible la variation avec $Q$ du nombre moyen $⟨ d N_{k, t} ⟩$ d'entités de type $_{k}$ présentes à l'intérieur de ${d Σ}_{Q}$ sur $[t, t + d t]$ .

[notion_de_pression-9] 9,0 ^9,1 et ^9,2 Voir une 1^re introduction dans le paragraphe « notion de pression en mécanique » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[origine_des_forces_de_frottement_fluide-10] 10,0 et ^10,1 Ces forces étant à l'origine des forces de frottement fluide entrevues dans le paragraphe « forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe » du chap. $6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[viscosité-11] 11,0 ^11,1 et ^11,2 La définition de la viscosité dynamique d'un fluide $η_{flu}$ n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^re notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux $($ c'est-à-dire qu'il « collera » au plan $)$ ;
si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur $e$ non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure $($ cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile $)$ , la vitesse en son sein varie suivant l'altitude $z$ car la couche inférieure à l'altitude $z_{i} = 0$ tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude $z_{s} = e > 0$ a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude $z \in] 0, e [$ va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude $z^{+}$ qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure d'altitude $z^{-}$ qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la contrainte de cisaillement $[$ c'est-à-dire la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard $]$ que l'on notera $τ_{cis} = ‖ \frac{d {\vec{f}}_{z \leftarrow z^{+}}}{d Σ} ‖ = ‖ \frac{d {\vec{f}}_{z \leftarrow z^{-}}}{d Σ} ‖$ s'exprimant en $P a$ , $d Σ$ étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique $η_{flu}$ du fluide par $τ_{cis} = η_{flu} ‖ \frac{d {\vec{V}}_{{couche}_{z}}}{d z} ‖$ avec ${\vec{V}}_{{couche}_{z}}$ le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude $z$ , ceci impliquant que la viscosité dynamique $η_{flu}$ du fluide s'exprime en $P a \cdot s$ $[$ encore appelé « poiseuille » de symbole $P l$ , ce nom ayant été donné en hommage à Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797 - 1869) physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux écoulements laminaires des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques $]$ ;
c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite $($ c'est-à-dire les molécules les plus éloignées des parois de la conduite $)$ ont la vitesse maximale $\dots$
on définit aussi une autre viscosité appelée viscosité cinématique notée $ν_{flu}$ qui dépend de la viscosité dynamique $η_{flu}$ du fluide ainsi que de sa masse volumique $ρ_{flu}$ selon $ν_{flu} = \frac{η_{flu}}{ρ_{flu}}$ s'exprimant donc en $m^{2} \cdot s^{- 1}$ $[$ mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole $S t$ égal à $1 S t = 1 0^{- 4} m^{2} \cdot s^{- 1}]$ ; George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la Terre $($ il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie $)$ et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.

[charge_volumique-12] 12,0 ^12,1 et ^12,2 Ou charge volumique.

[Lorentz-13] 13,0 ^13,1 ^13,2 et ^13,3 Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) est un physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » $[$ en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en $1905$ par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès $1892$ pour ce dernier $]$ , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en $1905$ ; Hendrik Lorentz partagea, en $1902$ , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs $[$ Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en $1886]$ .
Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques $\dots$
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $1896$ puis suisse en $1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $1905$ , la relativité générale en $1916$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $1921$ pour son explication de l'effet photoélectrique.

[14] Cette dernière égalité résultant du fait que la pression est $> 0$ d'une part et que la densité surfacique de force pressante est colinéaire et de sens contraire à ${\vec{n}}_{Q \to M}$ d'autre part.

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