Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Tenseur d'inertie d'un solide

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Tenseur d'inertie d'un solide
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Chapitre no 4
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)
Chap. préc. :Les tenseurs
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Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Tenseur d'inertie d'un solide
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Sommaire

Introduction au « tenseur d'inertie » en mécanique du solide[modifier | modifier le wikicode]

......Le «~tenseur d'inertie~» d'un solide [1] précise le positionnement des points matériels dans le référentiel spatial lié au solide [1] dans le but d'étudier dynamiquement un mouvement rotatoire du solide [1] autour d'une position fixe dans le référentiel de ce dernier ;

......pour cela on introduit d'abord la notion de «~tenseur d'inertie~» d'un point matériel dépendant de la masse et de la position de ce dernier dans le référentiel d'étude afin d'étudier dynamiquement son mouvement autour d'une position fixe dans le référentiel choisi,

......le «~tenseur d'inertie~» d'un solide [1] dans le référentiel spatial lié au solide [1] étant alors la somme des «~tenseurs d'inertie~» de tous les points matériels du solide [1].

Tenseur d'inertie d'un point matériel[modifier | modifier le wikicode]

Définition du tenseur d'inertie d'un point matériel[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque : Le «~tenseur d'inertie du point matériel » dans le référentiel d'étude dont est un point fixe est donc la somme de tenseurs d'ordre contravariants,
......Remarque : le 1er «» étant le produit d'un scalaire positif et du tenseur contravariant de Kronecker [5],
......Remarque : le 2nd «» étant le produit d'un scalaire négatif et du carré tensoriel du vecteur position.

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

......Avec la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et sa base orthonormée, le -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre contravariants a pour base orthonormée et les composantes des deux tenseurs d'ordre contravariants intervenant dans le tenseur d'inertie du point matériel sont :

  • pour le 1er «», la composante sur est étant le symbole de Kronecker [6] et
  • pour le 2nd «», la composante sur est avec d'où

......en en faisant la somme on obtient avec soit, en explicitant chaque composante :

,
,
,
,
,
,
,
et
.

Matrice d'inertie d'un point matériel ainsi que les moments et produits d'inertie du point[modifier | modifier le wikicode]

......Tout tenseur d'ordre du -espace vectoriel nonadimensionnel peut être représenté, avec choix d'une base orthonormée de , par une matrice carrée , la représentation par matrice en supposant que le numéro de ligne corresponde à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs est sans ambiguïté en effet les composantes du tenseur d'inertie du point matériel étant invariantes par permutation des indices, nous obtenons une matrice symétrique et aurions eu la même matrice en ayant supposé que le numéro de ligne correspondît à la place du 2ème indice dans son ensemble ordonné de valeurs  ;

......la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie du point matériel dans la base orthonormée de est appelée matrice d'inertie du point matériel et notée ou simplement en absence d'ambiguïté, elle s'écrit

 ;

......parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du point matériel on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du point par rapport à un axe privilégié plus précisément
    ...... «~moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
    ...... «~moment d'inertie de par rapport à l'axe » et
    ...... «~moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du point dans un plan privilégié plus précisément
    ...... «~produit d'inertie de dans le plan »,
    ...... «~produit d'inertie de dans le plan » et
    ...... «~produit d'inertie de dans le plan »,

......soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du point selon

.

Tenseur d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable)[modifier | modifier le wikicode]

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

......Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée du -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre contravariants étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et sa base orthonormée, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, d'ajouter les composantes des tenseurs d'inertie de chaque point matériel [7] sur ce vecteur de base, ce qui donne :

,
,
,
,
,
,
,
et
.

Matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......Tout tenseur d'ordre du -espace vectoriel nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de , par une matrice carrée et le tenseur d'inertie d'un solide étant la somme des tenseurs d'inertie des points matériels le composant est un tenseur d'ordre , il est donc aussi représenté par une matrice , laquelle est la somme des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des points matériels du solide nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs [8] ;

......la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie du solide [9] dans la base orthonormée de est appelée matrice d'inertie du solide et notée ou simplement en absence d'ambiguïté, elle s'écrit

 ;

......parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
    ...... «~moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
    ...... «~moment d'inertie de par rapport à l'axe » et
    ...... «~moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
    ...... «~produit d'inertie de dans le plan »,
    ...... «~produit d'inertie de dans le plan » et
    ...... «~produit d'inertie de dans le plan »,

......soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon

.

Axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

Caractère « autoadjoint » de l'endomorphisme représenté par la matrice d'inertie d'un solide, matrice autoadjointe[modifier | modifier le wikicode]

......Toute matrice carrée à cœfficients réels représentant un endomorphisme [10] du -espace vectoriel «~la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien modélisant l'espace physique~», il existe donc un endomorphisme du -espace vectoriel représenté par la matrice d'inertie du solide étudié soit, avec la base de , «» [11] ;

......le caractère «~symétrique~» de la matrice d'inertie du solide représentant l'endomorphisme de dans la base de ce dernier choisie orthonormée confère à le caractère «~autoadjoint~» [12] est un «~endomorphisme autoadjoint de l'espace vectoriel euclidien » ssi , [13], raison pour laquelle une «~matrice symétrique à cœfficients réels~» est encore appelée «~matrice autoadjointe~» [14].

Caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide[modifier | modifier le wikicode]

......D'après le théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes «~tout endomorphisme auto-adjoint d'un espace euclidien est diagonalisable dans une base orthonormée et ses valeurs propres sont toutes réelles~» théorème admis, de même

......d'après le théorème spectral en dimension finie pour les matrices «~toute matrice symétrique réelle est diagonalisable c'est-à-dire qu'il existe une matrice diagonale à cœfficients réels semblable à ou encore il existe une matrice orthogonale [15] à cœfficients réels et une matrice diagonale également à cœfficients réels telles que » théorème admis ;

......d'après le dernier théorème spectral en dimension finie on peut donc affirmer que la matrice d'inertie du solide est diagonalisable.

Définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......Comme nous l'avons vu dans le paragraphe précédent la nature «~réelle symétrique~» de la matrice d'inertie du solide relativement à un référentiel lié à ce dernier, dans la base orthonormée du -espace vectoriel tridimensionnel euclidien , direction de l'espace affine modélisant l'espace physique, est diagonalisable,
......il est donc possible de choisir une nouvelle base orthonormée de pour que la matrice d'inertie du solide soit transformée en diagonale ;
......les axes passant par le point et respectivement orientés par définissent les axes principaux d'inertie du solide issus de point fixe de ce dernier ;
......les éléments diagonaux de à savoir , et sont appelés moments principaux d'inertie du solide relativement aux axes respectifs , leurs valeurs dépendent de la répartition des points matériels du solide autour des axes principaux d'inertie de ce dernier ;

......la matrice d'inertie du solide dans un référentiel lié à et relativement axes principaux d'inertie de ce dernier issus du point , point fixe de , s'écrit, avec , et moments principaux d'inertie de , selon

.

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie[modifier | modifier le wikicode]

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)[modifier | modifier le wikicode]

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

......Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée du -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre contravariants étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et sa base orthonormée, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire «~la somme continue [16]~» des composantes des tenseurs d'inertie de chaque «~pseudo-point » [17], [7] sur ce vecteur de base, ce qui donne, avec  :

[18],
[18],
[18],
[18],
[18],
[18],
[18],
[18] et
[18].

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......Tout tenseur d'ordre du -espace vectoriel nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de , par une matrice carrée et le tenseur d'inertie du solide étant «~la somme continue [16]~» des tenseurs d'inertie des «~pseudo-points~» [17] le composant est un tenseur d'ordre , il est donc aussi représenté par une matrice , laquelle est «~la somme continue [16]~» des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des «~pseudo-points~» [17] du solide nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs [8] ;

......la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée de est appelée matrice d'inertie du solide et notée ou simplement en absence d'ambiguïté, elle s'écrit

[18] ;

......parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
    ......[18] «~moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
    ......[18] «~moment d'inertie de par rapport à l'axe » et
    ......[18] «~moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
    ......[18] «~produit d'inertie de dans le plan »,
    ......[18] «~produit d'inertie de dans le plan » et
    ......[18] «~produit d'inertie de dans le plan »,

......soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon

.

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion surfacique finie[modifier | modifier le wikicode]

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)[modifier | modifier le wikicode]

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

......Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée du -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre 2 contravariants étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et sa base orthonormée, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire «~la somme continue [19]~» des composantes des tenseurs d'inertie de chaque «~pseudo-point » [20], [7] sur ce vecteur de base, ce qui donne :

[21],
[21],
[21],
[21],
[21],
[21],
[21],
[21] et
[21].

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......Tout tenseur d'ordre 2 du -espace vectoriel nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de , par une matrice carrée et le tenseur d'inertie du solide étant «~la somme continue [19]~» des tenseurs d'inertie des «~pseudo-points~» [20] le composant est un tenseur d'ordre , il est donc aussi représenté par une matrice , laquelle est «~la somme continue [19]~» des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des «~pseudo-points~» [20] du solide nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs [8] ;

......la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée de est appelée matrice d'inertie du solide et notée ou simplement en absence d'ambiguïté, elle s'écrit

[21] ;

......parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
    ......[21] «~moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
    ......[21] «~moment d'inertie de par rapport à l'axe » et
    ......[21] «~moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
    ......[21] «~produit d'inertie de dans le plan »,
    ......[21] «~produit d'inertie de dans le plan » et
    ......[21] «~produit d'inertie de dans le plan »,

......soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon

.

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion linéique finie[modifier | modifier le wikicode]

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)[modifier | modifier le wikicode]

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels[modifier | modifier le wikicode]

......Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée du -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre contravariants étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et sa base orthonormée, il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire «~la somme continue [22]~» des composantes des tenseurs d'inertie de chaque «~pseudo-point » [23], [7] sur ce vecteur de base, ce qui donne :

[24],
[24],
[24],
[24],
[24],
[24],
[24],
[24] et
[24].

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......Tout tenseur d'ordre 2 du -espace vectoriel nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de , par une matrice carrée et le tenseur d'inertie du solide étant «~la somme continue [19]~» des tenseurs d'inertie des «~pseudo-points~» [20] le composant est un tenseur d'ordre , il est donc aussi représenté par une matrice , laquelle est «~la somme continue [19]~» des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des «~pseudo-points~» [20] du solide nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1er indice dans son ensemble ordonné de valeurs [8] ;

......la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie du solide dans la base orthonormée de est appelée matrice d'inertie du solide et notée ou simplement en absence d'ambiguïté, elle s'écrit

[24] ;

......parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide on distingue :

  • les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
    ......[24] «~moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
    ......[24] «~moment d'inertie de par rapport à l'axe » et
    ......[24] «~moment d'inertie de par rapport à l'axe »,
  • l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
    ......[24] «~produit d'inertie de dans le plan »,
    ......[24] «~produit d'inertie de dans le plan » et
    ......[24] «~produit d'inertie de dans le plan »,

......soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide selon

.

Axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie[modifier | modifier le wikicode]

......Voir le paragraphe «~axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels~» plus haut dans le chapitre l'exposé de ce dernier se faisant sur les matrices et non sur la façon dont celles-ci ont été obtenues peut être reproduit sans aucune modification

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie[modifier | modifier le wikicode]

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
  • Boule [25] , homogène, de rayon , de centre et de masse [26], tout axe passant par son centre est axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant [27].
  • Cylindre de révolution [28] , homogène, de rayon , de longueur , de centre et de masse [29],
    ......Cylindre de révolution l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant [30] et
    ......Cylindre de révolution tout axe passant par son centre et à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant [31].

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie[modifier | modifier le wikicode]

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
  • Sphère [25] , homogène, de rayon , de centre et de masse [32], tout axe passant par son centre est axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant [33].
  • Tuyau cylindrique de révolution [28] , homogène, de rayon , de longueur , de centre , ouvert aux deux extrémités et de masse [34],
    ......Tuyau cylindrique de révolution l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant [35] et
    ......Tuyau cylindrique de révolution tout axe passant par son centre et à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant [36].
  • Disque [37] , homogène, de rayon , de centre et de masse [38],
    ......Disque l'axe passant par son centre et confondu avec l'axe du disque est axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant [39] et
    ......Disque tout axe passant par son centre et à l'axe du disque c.-à-d. tout support de diamètre est aussi axe principal d'inertie, le moment principal d'inertie correspondant étant [40].

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie[modifier | modifier le wikicode]

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :
  • Cercle [37] , homogène, de rayon