Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Tenseur d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels

**Tenseur d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)

Chapitre n^o 9
Chap. préc. :	Les tenseurs et leurs composantes, notion de contraction tensorielle et notation d'Einstein
Chap. suiv. :	Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu de matière d'expansion finie

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Introduction au « tenseur d'inertie » en mécanique du solide

     Le « tenseur d'inertie » d'un solide ^[1] précise le positionnement des points matériels dans le référentiel spatial lié au solide ^[1] dans le but d'étudier dynamiquement
         Le « tenseur d'inertie » d'un solide précise un mouvement rotatoire du solide ^[1] autour d'une position fixe dans le référentiel de ce dernier ;
         Le « tenseur d'inertie » d'un solide précise pour cela on introduit d'abord la notion de
     Le « tenseur d'inertie » d'un point matériel dépendant de la masse et de la position de ce dernier dans le référentiel d'étude
     Le « tenseur d'inertie » d'un point matériel afin d'étudier dynamiquement son mouvement autour d'une position fixe dans le référentiel choisi,
     le « tenseur d'inertie » d'un solide ^[1] dans le référentiel spatial lié au solide ^[1] étant la somme des « tenseurs d'inertie » de tous les points matériels du solide ^[1].

Tenseur d'inertie d'un point matériel

Définition du tenseur d'inertie d'un point matériel

Tenseur d'inertie d'un point matériel relativement à un référentiel d'espace

Soit un point matériel

\;M\;

de masse inerte

\;m\;

repéré relativement à un point

\;O\;

fixe dans le référentiel d'étude

\;{\mathcal {R}}\;

Soit un point matériel

\;\color {transparent}{M}\;

de masse inerte

\;\color {transparent}{m}\;

repéré par son vecteur position

\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}

,
on appelle « tenseur d'inertie du point matériel

\;M\;(m)\;

» dans le référentiel d'étude

\;{\mathcal {R}}\;

dont

\;O\;

est un point fixe
on appelle « tenseur d'ordre

\;2\;

^[2] contravariant ^[3]^, ^[4]

\;{\mathcal {I}}:=\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta -m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;

» dans lequel
on appelle « tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\bullet \;

\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;

carré tensoriel ^[5] du tenseur d'ordre

\;1\;

contravariant ^[3]^, ^[4]

\;{\vec {r}}

on appelle « tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\color {transparent}{\bullet }\;

{\big [}

«

\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;

est donc un tenseur d'ordre

\;2\;

contravariant ^[3]^, ^[4] » ^[6]

\,\in \,W^{\,\otimes \,2}\;

^[7]^, ^[8],
on appelle « tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\color {transparent}{\bullet }\;

\color {transparent}{\big [}

«

\;\mathbb {R}

-espace vectoriel des tenseurs d'ordre

\;2\;

contravariants ^[3]^, ^[4]
on appelle « tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\color {transparent}{\bullet }\;

\color {transparent}{\big [}

«

\;\color {transparent}{\mathbb {R} }

-espace vectoriel nonadimensionnel ^[9]

{\big ]}

,
on appelle « tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\bullet \;

\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;

carré scalaire du vecteur

\;{\vec {r}}\;

^[10] et
on appelle « tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\bullet \;

\;\delta \;

est le tenseur contravariant ^[3]^, ^[4] de Kronecker ^[11]^, ^[12].

     Remarque : Le « tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}\;$ du point matériel $\;M\;(m)\;$ » dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe est donc la somme de $\;2\;$ tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ^[3]^, ^[4],
     Remarque : le 1^er « $\;\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta \;$ » étant le produit d'un scalaire positif et du tenseur contravariant ^[3]^, ^[4] de Kronecker ^[11],
     Remarque : le 2^nd « $\;-m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ » étant le produit d'un scalaire négatif et du carré tensoriel ^[5] du vecteur position.

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

     Avec $\;W\;$ la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée,
     Av le $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ ^[8] des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ^[3]^, ^[4] ayant pour base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ ^[13],
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ^[3]^, ^[4] intervenant dans le tenseur d'inertie du point matériel $\;M\;$
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\bullet \;$ pour le 1^er « $\;{\mathcal {I}}_{1}=\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta \;$ », la composante sur $\;{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\;$ est
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ ${\mathcal {I}}_{1,\,i,\,j}=m\,\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,\delta _{i,\,j},\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;$ ^[11]
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ ${\bigg (}\delta _{i,\,j}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;$ symbole de Kronecker ^[12] ${\bigg )}\;$ et
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\bullet \;$ pour le 2^nd « $\;{\mathcal {I}}_{2}=-m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ » ^[5], la composante sur $\;{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\;$ est
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ ${\mathcal {I}}_{2,\,i,\,j}=-m\,r_{i}\;r_{j},\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;$ ^[14] avec $\;\left[{\begin{array}{c}r_{x}=x\\r_{y}=y\\r_{z}=z\end{array}}\right]\;$ d'où
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\bullet \;$ en en faisant la somme $\;{\mathcal {I}}_{i,\,j}=m\left[\left(\sum \limits _{l\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace }r_{l}^{2}\right)\delta _{i,\,j}-r_{i}\;r_{j}\right]$ ,
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ en en faisant la somme $\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;$ avec $\;\left[{\begin{array}{c}r_{x}=x\\r_{y}=y\\r_{z}=z\end{array}}\right]\;$ soit,
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ en explicitant chaque composante du tenseur d'inertie du point matériel $\;M\;(m)$
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ en explicitant $\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,x}-x^{2}\right]=m\left(y^{2}+z^{2}\right)$ ,
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ en explicitant $\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,y}}}\;-x\;y\right]=-m\;x\;y$ ,
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ en explicitant $\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,z}}}\;-x\;z\right]=-m\;x\;z$ ,
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ en explicitant $\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,x}}}\;-y\;x\right]=-m\;x\;y$ ,
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ en explicitant $\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,y}-y^{2}\right]=m\left(x^{2}+z^{2}\right)$ ,
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ en explicitant $\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,z}}}\;-y\;z\right]=-m\;y\;z$ ,
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ en explicitant $\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,x}}}\;-z\;x\right]=-m\;x\;z$ ,
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ en explicitant $\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,y}}}\;-z\;y\right]=-m\;y\;z$ et
         Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants sont $\color {transparent}{\bullet }\;$ en explicitant $\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,z}-z^{2}\right]=m\left(x^{2}+y^{2}\right)$ .

Matrice d'inertie d'un point matériel ainsi que les moments et produits d'inertie du point

     Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel peut être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$ , par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ ^[15] $\Rightarrow$
     Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ la matrice carrée représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est sans ambiguïté ^[16],
         Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ la matrice elle est appelée matrice d'inertie du point matériel $\;M\;$ et
         Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ la matrice elle est notée $\;\left[J(M)\right]$ $\;{\big (}$ ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté ${\big )}$ ,
         Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ la matrice elle s'écrit « $\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}m\left(y^{2}+z^{2}\right)&-m\;x\;y&-m\;x\;z\\-m\;x\;y&m\left(x^{2}+z^{2}\right)&-m\;y\;z\\-m\;x\;z&-m\;y\;z&m\left(x^{2}+y^{2}\right)\end{array}}\right]\;$ » ^[17] ;
     Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du point matériel $\;M\;$ on distingue :
     Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ parmi les cœfficients $\bullet \;$ les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du point par rapport à un axe privilégié plus précisément
     Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ les éléments diagonaux $\succ \;$ « $\;J_{Ox}=m\left(y^{2}+z^{2}\right)\;$ moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$ » ^[18],
     Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ les éléments diagonaux $\succ \;$ « $\;J_{Oy}=m\left(x^{2}+z^{2}\right)\;$ moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$ » ^[18] et
     Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ les éléments diagonaux $\succ \;$ « $\;J_{Oz}=m\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$ moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$ » ^[18],
     Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ parmi les cœfficients $\bullet \;$ l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du point dans un plan privilégié plus précisément
     Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$ « $\;I_{xy}=m\;x\;y\;$ produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ »,
     Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$ « $\;I_{xz}=m\;x\;z\;$ produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;xOz\;$ » et
     Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$ « $\;I_{yz}=m\;y\;z\;$ produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;yOz\;$ »,
     Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du point $\;M\;$ selon « $\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]\;$ ».

Tenseur d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

Soit un solide

\;({\mathcal {S}})\;

composé de

\;N\;

points matériels

M_{k}\;

de masse

\;m_{k}\;

Soit un solide

\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;

composé de

\;\color {transparent}{N}\;

points matériels repérés relativement à un point

\;O\;

fixe dans le référentiel spatial

\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;

lié au solide
Soit un solide

\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;

composé de

\;\color {transparent}{N}\;

points matériels repérés par leur vecteur position

\;{\overrightarrow {OM_{k}}}={\vec {r}}_{k}

,
on appelle « tenseur d'inertie du solide

\;({\mathcal {S}})\;

» dans le référentiel

\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;

dont

\;O\;

est un point fixe
on appelle « la somme des

\;N\;

tenseurs d'inertie de chaque point matériel

\;M_{k}\,\left(m_{k}\right)\;

» soit encore
on appelle « le tenseur d'ordre

\;2\;

contravariant ^[3]^, ^[4]

\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {I}}(M_{k})\;

» dans lequel
on appelle « le tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant «

\;{\mathcal {I}}(M_{k})=\left(m_{k}\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -m_{k}\;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}\;

» avec
on appelle « le tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\bullet \;

\;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}_{k}\otimes {\vec {r}}_{k}\;

carré tensoriel ^[5] du tenseur d'ordre

\;1\;

contravariant ^[3]^, ^[4]

\;{\vec {r}}_{k}

on appelle « le tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\color {transparent}{\bullet }\;

{\big [}

«

\;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}\;

est donc un tenseur d'ordre

\;2\;

contravariant ^[3]^, ^[4] » ^[6]

\,\in \,W^{\,\otimes \,2}\;

^[7]^, ^[8],
on appelle « le tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\color {transparent}{\bullet }\;

\color {transparent}{\big [}

«

\;\mathbb {R}

-espace vectoriel des tenseurs d'ordre

\;2\;

contravariants ^[3]^, ^[4]
on appelle « le tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\color {transparent}{\bullet }\;

\color {transparent}{\big [}

«

\;\color {transparent}{\mathbb {R} }

-espace vectoriel nonadimensionnel ^[9]

{\big ]}

,
on appelle « le tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\bullet \;

\;{\vec {r}}_{k}^{2}={\vec {r}}_{k}\cdot {\vec {r}}_{k}\;

carré scalaire du vecteur

\;{\vec {r}}_{k}\;

^[10] et
on appelle « le tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

contravariant

\bullet \;

\;\delta \;

est le tenseur contravariant ^[3]^, ^[4] de Kronecker ^[11]^, ^[12].

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

     Avec $\;W\;$ la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée,
     Av le $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ ^[8] des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ^[3]^, ^[4] ayant pour base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ ^[13],
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans cette base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ se déterminent en ajoutant
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes des $\;N\;$ tenseurs d'inertie de chaque point matériel $\;M_{k}\;\left(m_{k}\right)\;$ ^[19] ce qui donne
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes du tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\succ \;$ $\;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)$ ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes du tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\succ \;$ $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}$ ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes du tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\succ \;$ $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}$ ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes du tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\succ \;$ $\;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}$ ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes du tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\succ \;$ $\;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)$ ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes du tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\succ \;$ $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}$ ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes du tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\succ \;$ $\;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}$ ,
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes du tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\succ \;$ $\;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}$ et
        Av le $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;\color {transparent}{W^{\,\otimes \,2}}\;$ les composantes du tenseur d'inertie $\;\color {transparent}{{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\succ \;$ $\;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)$ .

Matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

     Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel peut être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$ , par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ ^[15] et
Tout le tenseur d'inertie d'un solide étant la somme des tenseurs d'inertie des points matériels le composant, lesquels sont des tenseurs d'ordre $\;2$ , est donc lui-même un tenseur d'ordre $\;2\;$
Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ ^[15], somme des matrices carrées représentant individuellement les tenseurs d'inertie des points matériels composant le solide ;
    Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ ^[20] dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est définie sans ambiguïté ^[21] ;
         Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par la matrice elle est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et
         Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par la matrice elle est notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté ${\big )}$ ,
         Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par la matrice elle s'écrit « $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{array}}\right]\;$ » ^[22] ;
    Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :
    Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients $\bullet \;$ les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
    Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ les éléments diagonaux $\succ \;$ « $\;J_{Ox}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$ » ^[23],
    Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ les éléments diagonaux $\succ \;$ « $\;J_{Oy}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$ » ^[23] et
    Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ les éléments diagonaux $\succ \;$ « $\;J_{Oz}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\;$ moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$ » ^[23],
    Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients $\bullet \;$ l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
    Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$ « $\;I_{xy}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$ »,
    Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$ « $\;I_{xz}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$ » et
    Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par parmi les cœfficients $\color {transparent}{\bullet }\;$ l'opposé des éléments non diagonaux $\succ \;$ « $\;I_{yz}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}\;$ produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$ »,
    Tout le tenseur d'inertie d'un solide représenté par soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ se réécrit « $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}({\mathcal {S}})&-I_{xy}({\mathcal {S}})&-I_{xz}({\mathcal {S}})\\-I_{xy}({\mathcal {S}})&J_{Oy}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})\\-I_{xz}({\mathcal {S}})&-I_{yz}({\mathcal {S}})&J_{Oz}({\mathcal {S}})\end{array}}\right]\;$ ».

Axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels

Caractère « autoadjoint » de l'endomorphisme représenté par la matrice d'inertie d'un solide, matrice autoadjointe

     Toute matrice carrée $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme ^[24] du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ ${\big (}$ direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien modélisant l'espace physique ${\big )}$ ,
           Toute matrice carrée $\;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$
           Toute matrice carrée $\;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ représenté par la matrice d'inertie $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étudié c.-à-d.
           Toute matrice carrée $\;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ avec la base $\;{\big (}$ choisie orthonormée ${\big )}\;$ « $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ »,
           Toute matrice carrée $\;\color {transparent}{3\;{\text{x}}\;3}\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme il existe donc un endomorphisme $\;\color {transparent}{\varphi }\;$ « $\;\exists !\;\varphi \,\in \,L(W)\;$ ^[25] tel que $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;$ » ^[26] ;
Toute la matrice d'inertie $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant « symétrique », l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;W\;$ qu'elle représente dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ est « autoadjoint » ^[27] c.-à-d. vérifiant
Toute la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ étant « symétrique », « $\;\forall \;\left({\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\in W^{2}$ , $\;{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})=\varphi ({\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$ » ^[28] ; par extension nous dirons que
Toute la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ étant « symétrique », la matrice d'inertie $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est « autoadjointe » ^[29]^, ^[30].

Caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide

Théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes (admis)

« Tout endomorphisme auto-adjoint ^[31] d'un espace euclidien ^[32] est diagonalisable dans une base orthonormée et
« Tout endomorphisme auto-adjoint d'un espace euclidien ses valeurs propres ^[33] sont toutes réelles ».

Théorème spectral en dimension finie pour les matrices (admis)

« Toute matrice symétrique réelle

\,\left[A\right]\,

est diagonalisable ^[34]

{\big \{}

il existe une matrice diagonale

\;\left[D\right]\;

à cœfficients réels semblable à

\,\left[A\right]\;

^[35]
« Toute matrice symétrique réelle

\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;

est diagonalisable

\;\color {transparent}{\big \{}

il existe une matrice diagonale

\;\Updownarrow

« Toute matrice symétrique réelle

\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;

est diagonalisable

\;\color {transparent}{\big \{}

il existe une matrice orthogonale

\;\left[P\right]\;

^[36] à cœfficients réels et
« Toute matrice symétrique réelle

\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;

est diagonalisable

\;\color {transparent}{\big \{}

il existe une matrice diagonale

\;\left[D\right]\;

à cœfficients réels telles que
« Toute matrice symétrique réelle

\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;

est diagonalisable

\;\color {transparent}{\big \{}

«

\;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[D\right]\times \left[P\right]^{-1}\;

» ^[35]

{\big \}}\;

».

D'après le théorème spectral en dimension finie pour les matrices, on peut donc affirmer que la matrice d'inertie $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est diagonalisable.

Définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier

     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement à un référentiel lié à ce dernier,
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;W\;$ ^[7]
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ $\Rightarrow$ le caractère diagonalisable de cette matrice carrée ^[37],
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir une nouvelle base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ^[7]
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir pour que la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ soit transformée en $\;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]\;$ diagonale ;
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les axes $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ passant par le point $\;O\;$ et orientés par $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$
            La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les axes $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}}\;$ sont appelés « axes principaux d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$
            La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les axes $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}}\;$ sont appelés « issus de $\;O$ $\;{\big (}$ point fixe de ce dernier ${\big )}\;$ » ;
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux de $\;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]\;$ à savoir $\;J_{OX}({\mathcal {S}})$ , $\;J_{OY}({\mathcal {S}})\;$ et $\;J_{OZ}({\mathcal {S}})\;$
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux de $\;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;$ sont appelés « moments principaux d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux de $\;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;$ sont appelés « relativement aux axes respectifs
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux de $\;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;$ sont appelés « relativement $\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ »,
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux leurs valeurs dépendent de la répartition des points matériels $\;M_{k}\,(m_{k})\;$
     La nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[J({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ il est donc possible de choisir les éléments diagonaux du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ autour des axes principaux d'inertie de ce dernier ;

la matrice d'inertie $\;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié à $\;({\mathcal {S}})\;$ et « relativement axes principaux d'inertie $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ de $\;({\mathcal {S}})\;$ issus du point $\;O$ , point fixe de $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ »,
la matrice d'inertie $\;\color {transparent}{\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]}\;$ du solide $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ s'écrit, avec « $\;J_{OX}({\mathcal {S}})$ , $\;J_{OY}({\mathcal {S}})\;$ et $\;J_{OZ}({\mathcal {S}})\;$ moments principaux d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ », selon « $\;\left[{\mathcal {J}}({\mathcal {S}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{OX}({\mathcal {S}})&0&0\\0&J_{OY}({\mathcal {S}})&0\\0&0&J_{OZ}({\mathcal {S}})\end{array}}\right]\;$ ».

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 et ^1,5 Au sens de la mécanique des systèmes de points matériels c.-à-d. un système de points matériels indéformable.
↑ Voir le paragraphe « construction de tenseurs d'ordre deux » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ ^3,00 ^3,01 ^3,02 ^3,03 ^3,04 ^3,05 ^3,06 ^3,07 ^3,08 ^3,09 ^3,10 ^3,11 ^3,12 ^3,13 et ^3,14 Une grandeur est dite covariante lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et contravariante quand elle varie de façon contraire.
↑ ^4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 ^4,11 ^4,12 ^4,13 et ^4,14 C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont contravariantes.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 et ^5,3 C.-à-d. le produit tensoriel d'un vecteur par lui-même $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^6,0 et ^6,1 Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 et ^7,3 $\;W\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien utilisé en physique $\;\ldots$
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 et ^8,3 C.-à-d. le produit tensoriel d'un espace vectoriel par lui-même $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^9,0 et ^9,1 Voir le paragraphe « les quatre produits tensoriels de deux espaces vectoriels tridimensionnels formés à partir de ces derniers ou de leurs duals (1^er exemple) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ ^10,0 et ^10,1 La note ci-dessous est rédigée à partir du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ mais elle reste applicable au vecteur $\;{\vec {r}}_{k}$ ;
   le carré scalaire $\;{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ est aussi un « crochet de dualité » $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ défini sur $\;W^{*}\times W$ $\;{\Big [}$ c.-à-d. une forme bilinéaire non dégénérée construite ici à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;W$ $\;{\big (}$ direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien ${\big )}\;$ telle qu’au vecteur $\;{\vec {u}}\in W\;$ on associe le covecteur “ $\;{\vec {u}}\,\cdot \;\in W^{*}\;$ ” $\;{\big (}$ un covecteur de $\;W^{*}$ , lequel est le dual de $\;W$ , étant encore une forme linéaire de ce dernier ${\big )}$ , le « crochet de dualité » entre le covecteur “ $\;{\vec {u}}\,\cdot \;\in W^{*}\;$ ” et le vecteur $\;{\vec {v}}\;\in W\;$ étant défini par $\;\langle {\vec {u}}\;\cdot \,,\,{\vec {v}}\rangle ={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\;\in \mathbb {R}$ , $\;{\Big \{}$ de façon plus générale le « crochet de dualité » entre un covecteur $\;\varphi$ $\;{\big (}$ c.-à-d. une forme linéaire de $\;W{\big )}\;$ et un vecteur $\;{\vec {v}}\;$ s'évalue selon $\;\langle \varphi \,,\,{\vec {v}}\rangle =\varphi ({\vec {v}})\in \mathbb {R}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « notion d'espace bidual » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}{\Big \}}{\Big ]}\;$ soit, en « notant $\;{\overset {\sim }{r}}\;$ le covecteur “ $\;{\vec {r}}\,\cdot \;$ ” associé au vecteur $\;{\vec {r}}\;$ », la réécriture du carré scalaire selon « $\;{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}$ $=\langle {\overset {\sim }{r}}\,,\,{\vec {r}}\rangle ={\overset {\sim }{r}}({\vec {r}})\;$ » ;
   d'autre part on a défini dans le paragraphe « produit contracté de deux tenseurs » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » le produit contracté d'un tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant $\;{\overset {\sim }{u}}\in W^{*}\;$ et d'un tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {v}}\in W\;$ que l'on note $\;{\overset {\sim }{u}}\odot {\vec {v}}\;\in \mathbb {R}$ $\;{\Big [}$ le produit contracté de ces deux tenseurs d'ordre $\;1\;$ s'obtient en formant leur produit tensoriel $\;{\overset {\sim }{u}}\otimes {\vec {v}}\;\in W^{*}\otimes W$ $\;{\big (}$ l'espace des tenseurs d'ordre $\;2\;$ monocovariant et monocontravariant ${\big )}\;$ et en contractant ce tenseur d'ordre $\;2\;$ $\;{\big (}$ c.-à-d. en déterminant les $\;9\;$ composantes de ce tenseur à présenter en matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et en en prenant la trace c.-à-d. en faisant la somme de ses éléments diagonaux ${\big )}\;$ ce qui donne un tenseur d'ordre $\;2-2=0\;$ c.-à-d. un scalaire ${\Big ]}$ , soit ici $\;{\overset {\sim }{r}}\odot {\vec {r}}={\overset {\sim }{r}}({\vec {r}})\;$ comme cela a été établi dans le 1^er exemple du paragraphe « produit contracté de deux tenseurs » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ;
   en conclusion le carré scalaire $\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ est égal au produit contracté du covecteur $\;{\overset {\sim }{r}}\;$ et du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ soit $\;{\vec {r}}^{2}={\overset {\sim }{r}}\odot {\vec {r}}$ .
↑ ^11,0 ^11,1 ^11,2 et ^11,3 Le tenseur contravariant de Kronecker $\;\delta \;$ est, comme les deux autres tenseurs de Kronecker $\;{\big (}$ également notés $\;\delta {\big )}\;$ l'un étant covariant et l'autre “ mixte ” $\;{\big (}$ c.-à-d. monocontravariant et monocovariant ${\big )}$ , un tenseur d'ordre $\;2$ ,
   il est défini relativement à la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]}\;$ de l'espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ auquel il appartient $\;{\big [}$ voir la note « ³¹ » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}\;$ par $\;\delta =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}$ , ce tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant étant aussi une forme bilinéaire de $\;W^{2}$ ,
   son application sur chaque couple $\;\left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)\;$ de vecteurs de base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}=\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]}\;$ de $\;W\;$ conduit à « $\;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}\right\rbrace \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}\right\rbrace \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)$ $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\langle {\overset {\sim }{u}}_{i}\,,\,{\vec {u}}_{l}\rangle \;\langle {\overset {\sim }{u}}_{i}\,,\,{\vec {u}}_{m}\rangle \;$ » $\;{\big [}$ en notant « $\;{\overset {\sim }{r}}\;$ le covecteur “ $\;{\vec {r}}\,\cdot \;$ ” associé au vecteur $\;{\vec {r}}\;$ », $\;{\big (}$ avec la multiplication scalaire définie sur $\;W\;$ notée « $\;\cdot \;$ » ${\big )}{\big ]}\;$ soit encore « $\;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\delta _{i,\,l}\;\delta _{i,\,m}$ $=\delta _{l,\,m}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;l\neq m\\1\;{\text{si }}\;l=m\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(l\,,\,m\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$ » $\;{\big [}\delta _{l,\,m}\;$ étant le symbole de Kronecker ${\big ]}\;$ et
   son application sur le couple $\;\left({\vec {u}}=\sum \limits _{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;{\vec {u}}_{l}\;\in W\,,\,{\vec {v}}=\sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}v_{m}\;{\vec {u}}_{m}\;\in W\right)$ , « $\;\delta \left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)=\sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}^{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{m}\;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=$ $\sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}^{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{m}\;\delta _{l,\,m}=\sum \limits _{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{l}={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^12,0 ^12,1 et ^12,2 Leopold Kronecker (1823 - 1891) mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en $\;1850\;$ la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'équation quintique en utilisant la théorie des groupes.
↑ ^13,0 et ^13,1 Voir le paragraphe « base pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre deux (1^er exemple) » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ainsi que la notion de produit tensoriel de deux vecteurs au paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » du chap. $7$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ D'après le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », $\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est une application linéaire de $\;W^{2}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ telle que « $\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in W^{2}$ , $\;\left\lbrace {\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\right\rbrace \left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)=\left({\vec {r}}\cdot _{W}{\vec {x}}\right)\left({\vec {r}}\cdot _{W}{\vec {y}}\right)\;\in \mathbb {R} \;$ » où « $\;\cdot _{W}\;$ est la multiplication scalaire définie sur $\;W\;$ » soit, appliquée à $\;\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)$ , « $\;\left\lbrace {\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\right\rbrace \left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)=\left({\vec {r}}\cdot _{W}{\vec {b}}_{i}\right)\left({\vec {r}}\cdot _{W}{\vec {b}}_{i}\right)=r_{i}\;r_{j}\;\in \mathbb {R} \;$ ».
↑ ^15,0 ^15,1 et ^15,2 Voir le paragraphe « différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux (1^er exemple) » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Le numéro de ligne de la matrice carrée se détermine par le 1^er indice des composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}_{i,\,j}\;$ avec $\;i\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace$ , ${\big \{}i=x\;$ correspond à la 1^ère ligne, $\;i=y\;$ à la 2^ème ligne et $\;i=z\;$ à la 3^ème ligne ${\big \}}$ et
le numéro de colonne de la matrice carrée se détermine par le 2^ème indice des composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}_{i,\,j}\;$ avec $\;j\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace$ , ${\big \{}j=x\;$ correspond à la 1^ère colonne, $\;j=y\;$ à la 2^ème colonne et $\;j=z\;$ à la 3^ème colonne ${\big \}}\;$ mais
nous aurions obtenu la même matrice carrée en supposant le numéro de ligne déterminé par le 2^ème indice des composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}_{i,\,j}\;$ avec $\;j\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace$ , ${\big \{}j=x\;$ correspondant à la 1^ère ligne, $\;j=y\;$ à la 2^ème ligne et $\;j=z\;$ à la 3^ème ligne ${\big \}}\;$ et simultanément le numéro de colonne de la matrice carrée déterminé par le 1^er indice des composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}_{i,\,j}\;$ avec $\;i\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace$ , ${\big \{}i=x\;$ correspondant à la 1^ère colonne, $\;i=y\;$ à la 2^ème colonne et $\;i=z\;$ à la 3^ème colonne ${\big \}}$ $\;{\big (}$ en effet $\;{\mathcal {I}}_{i,\,j}={\mathcal {I}}_{j,\,i}\;$ pour $\;\left(i,\,j\right)\;$ fixés, les composantes du tenseur d'inertie étant donc invariantes par permutation des indices, la matrice carrée est symétrique ${\big )}$ .
↑ On vérifie aisément que $\;\left[J(M)\right]\;$ est une matrice carrée symétrique c.-à-d. égale à sa propre transposée $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « transposition de matrices » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big \}}$ .
↑ ^18,0 ^18,1 et ^18,2 Avec $\;M\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)\;$ et $\;M_{x}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;Ox$ , « $\;J_{Ox}=m\left(y^{2}+z^{2}\right)=m\;\left(MM_{x}\right)^{2}\;$ » avec $\;MM_{x}\;$ distance séparant $\;M\;$ de l'axe $\;Ox$ ;
Avec $\;\color {transparent}{M\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;$ et $\;M_{y}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;Oy$ , « $\;J_{Oy}=m\left(x^{2}+z^{2}\right)=m\;\left(MM_{y}\right)^{2}\;$ » avec $\;MM_{y}\;$ distance séparant $\;M\;$ de l'axe $\;Oy$ ;
Avec $\;\color {transparent}{M\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}\;$ et $\;M_{z}\;$ le projeté orthogonal de $\;M\;$ sur l'axe $\;Oz$ , « $\;J_{Oz}=m\left(x^{2}+y^{2}\right)=m\;\left(MM_{z}\right)^{2}\;$ » avec $\;MM_{z}\;$ distance séparant $\;M\;$ de l'axe $\;Oz$ .
↑ Voir le paragraphe « détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le solide est le système indéformable des points matériels $\;\left\lbrace M_{k}\;\left(m_{k}\right),\;k\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right],\;\left[M_{l}M_{m}\right]=cste\;\;\forall \;\left(l\,,\,m\right)\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]^{2}\right\rbrace$ .
↑ Car les matrices carrées représentant individuellement les tenseurs d'inertie des points matériels composant le solide sont définies sans ambiguïté $\;{\big [}$ voir la note « ¹⁶ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ On vérifie aisément que $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]\;$ est une matrice carrée symétrique c.-à-d. égale à sa propre transposée $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « transposition de matrices » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big \}}$ .
↑ ^23,0 ^23,1 et ^23,2 Avec $\;M_{k}\;\left(x_{k}\,,\,y_{k}\,,\,z_{k}\right)\;$ et $\;M_{k,\,x}\;$ projeté $\;\perp \;$ de $\;M_{k}\;$ sur $\;Ox$ , « $\;J_{Ox}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;\left(M_{k}M_{k,\,x}\right)^{2}\;$ » $\;{\big (}M_{k}M_{k,\,x}\;$ distance entre $\;M_{k}\;$ et $\;Ox{\big )}$ ;
Avec $\;\color {transparent}{M_{k}\;\left(x_{k}\,,\,y_{k}\,,\,z_{k}\right)}\;$ et $\;M_{k,\,y}\;$ projeté $\;\perp \;$ de $\;M_{k}\;$ sur $\;Oy$ , « $\;J_{Oy}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;\left(M_{k}M_{k,\,y}\right)^{2}\;$ » $\;{\big (}M_{k}M_{k,\,y}\;$ distance entre $\;M_{k}\;$ et $\;Oy{\big )}$ ;
Avec $\;\color {transparent}{M_{k}\;\left(x_{k}\,,\,y_{k}\,,\,z_{k}\right)}\;$ et $\;M_{k,\,z}\;$ projeté $\;\perp \;$ de $\;M_{k}\;$ sur $\;Oz$ , « $\;J_{Oz}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;\left(M_{k}M_{k,\,z}\right)^{2}\;$ » $\;{\big (}M_{k}M_{k,\,z}\;$ distance entre $\;M_{k}\;$ et $\;Oz{\big )}$ .
↑ Voir le paragraphe « 2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C) $\;{\big \{}$ cas où les deux espaces vectoriels sont confondus avec $\;B=C$ $\;{\big (}$ l'application linéaire étant alors un endomorphisme ${\big )}\;$ et $\;m=n=3{\big \}}\;$ » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ L'ensemble des endomorphismes de $\;W\;$ est un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel noté $\;L_{\mathbb {R} }(W)\;$ ou encore $\;\mathrm {End} _{\mathbb {R} }(W)\;$ mais le plus souvent on se contente de $\;L(W)$ .
↑ Voir les notations du paragraphe « 2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « décomposition spectrale de l'article Matrice symétrique de wikipédia » dans lequel il est précisé la propriété suivante « dans un espace euclidien, une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique ssi l'endomorphisme est autoadjoint », $\;{\big \{}$ voir la note « ²⁸ » plus loin dans ce chapitre pour une justification de cette propriété ${\big \}}$ .
↑ Soit la matrice carrée $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ symétrique $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}a&d&e\\d&b&f\\e&f&c\end{array}}\right]\;$ représentant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$ , les matrices colonnes de $\;\left[A\right]\;$ étant les composantes de $\;\left\lbrace \varphi ({\vec {u}}_{x})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{y})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{z})\right\rbrace \;$ sur la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ ${\big \{}$ voir le paragraphe « 2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big \}}\;$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\varphi ({\vec {u}}_{x})\!\!&=&\!\!a\;{\vec {u}}_{x}+d\;{\vec {u}}_{y}+e\;{\vec {u}}_{z}\\\varphi ({\vec {u}}_{y})\!\!&=&\!\!d\;{\vec {u}}_{x}+b\;{\vec {u}}_{y}+f\;{\vec {u}}_{z}\\\varphi ({\vec {u}}_{z})\!\!&=&\!\!e\;{\vec {u}}_{x}+f\;{\vec {u}}_{y}+c\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l c l}\varphi ({\vec {w}})\!\!&=&\!\!\varphi (w_{x}\;{\vec {u}}_{x}+w_{y}\;{\vec {u}}_{y}+w_{z}\;{\vec {u}}_{z})\!\!&=&\!\!w_{x}\;\varphi ({\vec {u}}_{x})+w_{y}\;\varphi ({\vec {u}}_{y})+w_{z}\;\varphi ({\vec {u}}_{z})\\\varphi ({\vec {v}})\!\!&=&\!\!\varphi (v_{x}\;{\vec {u}}_{x}+v_{y}\;{\vec {u}}_{y}+v_{z}\;{\vec {u}}_{z})\!\!&=&\!\!v_{x}\;\varphi ({\vec {u}}_{x})+v_{y}\;\varphi ({\vec {u}}_{y})+v_{z}\;\varphi ({\vec {u}}_{z})\end{array}}\right\rbrace \;$ par utilisation du caractère linéaire de $\;\varphi \;$ ou, en multipliant scalairement $\;\varphi ({\vec {w}})\;$ par $\;{\vec {v}}\;$ et $\;\varphi ({\vec {v}})\;$ par $\;{\vec {w}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})\!\!&=&\!\!w_{x}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{x})\right]+w_{y}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{y})\right]+w_{z}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{z})\right]\\{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\!\!&=&\!\!v_{x}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{x})\right]+v_{y}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{y})\right]+v_{z}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{z})\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ par distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle dans $\;W\;$ euclidien $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « autres propriétés (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ dont on déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})\!\!&=&\!\!w_{x}\left[v_{x}\;a+v_{y}\;d+v_{z}\;e\right]+w_{y}\left[v_{x}\;d+v_{y}\;b+v_{z}\;f\right]+w_{z}\left[v_{x}\;e+v_{y}\;f+v_{z}\;c\right]\\{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\!\!&=&\!\!v_{x}\left[w_{x}\;a+w_{y}\;d+w_{z}\;e\right]+v_{y}\left[w_{x}\;d+w_{y}\;b+w_{z}\;f\right]+v_{z}\left[w_{x}\;e+w_{y}\;f+w_{z}\;c\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ en explicitant $\;\left\lbrace \varphi ({\vec {u}}_{x})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{y})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{z})\right\rbrace \;$ soit finalement $\;{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})={\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\;$ c.-à-d. le caractère « autoadjoint » de $\;\varphi$ .
↑ La matrice adjointe $\;\left[A\right]^{*}\;$ d'une matrice $\;\left[A\right]\;$ à cœfficients réels est la matrice transposée $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ de cette dernière $\;{\big \{}$ notion n'introduisant donc rien de nouveau pour une matrice à cœfficients réels ${\big \}}\;$
    ${\big \{}$ par contre la matrice adjointe $\;\left[A\right]^{*}\;$ d'une matrice $\;\left[A\right]\;$ à cœfficients complexes est définie comme la matrice transconjuguée $\;{\big (}$ c.-à-d. transposée de la conjuguée ${\big )}\;$ de cette dernière, elle se distingue de $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ et son introduction a un intérêt évident ${\big \}}$ ;
   une matrice autoadjointe à cœfficients réels étant telle que son adjointe se confond avec elle c.-à-d. $\;\left[A\right]^{*}=\left[A\right]\;$ ou $\;^{t\!}\left[A\right]=\left[A\right]\;$ est donc aussi une matrice symétrique
    ${\big \{}$ par contre si une matrice autoadjointe à cœfficients complexes est toujours telle que son adjointe se confond avec elle, cela s'écrit, en notant $\;{\overline {\left[A\right]}}\;$ la matrice conjuguée de $\;\left[A\right]$ , $\;\left[A\right]^{*}=\left[A\right]\;$ ou $\;^{t}{\overline {\left[A\right]}}=\left[A\right]\;$ ce qui nécessite les cœfficients diagonaux de $\;\left[A\right]\;$ réels et ses cœfficients non diagonaux symétriques par rapport à la diagonale principale deux à deux complexes conjugués ${\big \}}$ .
↑ Plus généralement une « matrice symétrique à cœfficients réels » représentant un endomorphisme autoadjoint sera dite autoadjointe.
↑
Un endomorphisme $\;\varpi \;$ $\;\varpi \;$ du $\;\mathbb {R}$ $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel euclidien $\;W$ $\;W$ $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ direction de l'espace affine modélisant l'espace physique ${\big )}\;$ ${\big )}\;$ est dit autoadjoint ssi « $\;\forall \;\left({\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\in W^{2}$ $\;\forall \;\left({\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\in W^{2}$ , $\;{\vec {v}}\cdot \varpi ({\vec {w}})=\varpi ({\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$ $\;{\vec {v}}\cdot \varpi ({\vec {w}})=\varpi ({\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$ ».
La définition d'un endomorphisme auto-adjoint est encore valable sur un $\;\mathbb {C}$ $\;\mathbb {C}$ -espace vectoriel de dimension finie quelconque à condition qu'une multiplication scalaire hermitienne y soit définissable, le $\;\mathbb {C}$ $\;\mathbb {C}$ -espace vectoriel de dimension finie est alors dit hermitien :
une multiplication scalaire hermitienne définie sur un espace hermitien $\;H\;$ $\;H\;$ est une « application $\;\left(\;\vert \;\right)\;:\;H\,\times \,H\mapsto \mathbb {C} \;$ $\;\left(\;\vert \;\right)\;:\;H\,\times \,H\mapsto \mathbb {C} \;$ »
- telle que « $\;\forall \left(x\,,\,y\right)\,\in H\times H,\;\left(x\,,\,y\right)\,{\overset {\left({\text{?}}\,\vert {\text{?}}\right)}{\longmapsto }}\left(x\,\vert y\,\right)\in \mathbb {C} \;$ »,
- sesquilinéaire à gauche c.-à-d. semi-linéaire par rapport au 1^er argument, le 2^nd étant fixé « $\;\forall \;\lambda \,\in \mathbb {C} ,\;\left(\lambda \;x\,\vert y\,\right)=\lambda ^{*}\,\left(x\,\vert y\,\right)\;$ » $\;{\big [}\lambda ^{*}\;$ étant le conjugué de $\;\lambda {\big ]}$ ,
  sesquilinéaire à gauche c.-à-d. linéaire par rapport au 2^nd argument, le 1^er étant fixé « $\;\forall \;\lambda \,\in \mathbb {C} ,\;\left(x\,\vert \lambda \;y\,\right)=\lambda \,\left(x\,\vert y\,\right)\;$ »,
- symétrique hermitienne c.-à-d. « $\;\forall \left(x\,,\,y\right)\,\in H\times H,\;\left(y\,,\,x\right)=\left(x\,,\,y\right)^{*}\;$ »,
- positive c.-à-d. « $\;\forall \,x\,\in H,\;\left(x\,,\,x\right)\in \mathbb {R} _{+}\;$ » et
- définie c.-à-d. « $\;\left(x\,,\,x\right)=0\rightarrow x=0\;$ ».
Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes othogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, il fut aussi l'un des 1^ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.
↑ Le théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes reste applicable si ces derniers sont définis dans un espace hermitien $\;{\big \{}$ voir la note « ³¹ » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}$ .
↑ Voir le paragraphe « valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme » du chap. $3$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « tentative de diagonalisation d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ ^35,0 et ^35,1 Deux matrices carrées $\;\left[A\right]\;$ et $\;\left[B\right]\;$ de même dimension $\;n\;$ sont semblables s'il existe une matrice carrée $\;\left[P\right]\;$ de dimension $\;n\;$ inversible telle que « $\;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[B\right]\times \left[P\right]^{-1}\;$ » $\;{\big \{}$ voir aussi le paragraphe « changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image (cas particulier) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big \}}$ .
↑ Une matrice orthogonale $\;\left[P\right]\;$ est une matrice carrée $\;{\big (}3\;{\text{x}}\;3\;$ à cœfficients réels dans le cas présent ${\big )}\;$ unitaire c.-à-d. telle que « $\;\left[P\right]^{*}\times \left[P\right]=$ $\left[P\right]\times \left[P\right]^{*}=\left[I_{3}\right]\;$ » où $\;\left[P\right]^{*}\;$ est la matrice adjointe de $\;\left[P\right]\;$ c.-à-d. la matrice transposée de la matrice conjuguée $\;{\overline {\left[P\right]}}\;$ ou $\;\left[P\right]^{*}=\;^{t}{\overline {\left[P\right]}}\;$ ou encore, pour une matrice à cœfficients réels $\;\left[P\right]^{*}=\;^{t}\left[P\right]\;$ et par suite
une matrice orthogonale $\;\left[P\right]\;$ à cœfficients réels est une matrice carrée $\;{\big (}3\;{\text{x}}\;3{\big )}\;$ unitaire c.-à-d. telle que « $\;^{t}\left[P\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times \;^{t}\left[P\right]=\left[I_{3}\right]\;$ » ;
une matrice carrée est orthogonale ssi tous ses vecteurs colonnes sont orthogonaux entre eux et de norme unité, une matrice orthogonale représente donc une base orthonormée.
↑ Voir le paragraphe « caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide » plus haut dans ce chapitre.