Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Tenseur d'inertie d'un solide

**Tenseur d'inertie d'un solide**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)

Chapitre n^o 5
Chap. préc. :	Les tenseurs
Chap. suiv. :	Notion d'angle solide

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Tenseur d'inertie d'un solide
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Tenseur d'inertie d'un solide », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Introduction au « tenseur d'inertie » en mécanique du solide

Le « tenseur d'inertie » d'un solide^[1] précise le positionnement des points matériels dans le référentiel spatial lié au solide^[1] dans le but d'étudier dynamiquement un mouvement rotatoire du solide^[1] autour d'une position fixe dans le référentiel de ce dernier ;

pour cela on introduit d'abord la notion de « tenseur d'inertie » d'un point matériel dépendant de la masse et de la position de ce dernier dans le référentiel d'étude afin d'étudier dynamiquement son mouvement autour d'une position fixe dans le référentiel choisi,

le « tenseur d'inertie » d'un solide^[1] dans le référentiel spatial lié au solide^[1] étant alors la somme des « tenseurs d'inertie » de tous les points matériels du solide^[1].

Tenseur d'inertie d'un point matériel

Définition du tenseur d'inertie d'un point matériel

Tenseur d'inertie d'un point matériel relativement à un référentiel d'espace

Soit un point matériel $\;M\;$ de masse inerte $\;m\;$ que l'on repère relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$ , on appelle « tenseur d'inertie du point matériel $\;M\;(m)\;$ » dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe « le tenseur d'ordre $\;2\;$ ^[2] contravariant $\;{\mathcal {I}}\;$ défini par $\;{\mathcal {I}}=\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta -m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ » dans laquelle

$\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big [}{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant « $\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$ »^[3] $\;{\big (}\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ${\big )}{\big ]}$ ,
$\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ ^[4] et
$\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker^[5]^,^[6].

     Remarque : Le « tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}\;$ du point matériel $\;M\;(m)\;$ » dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe est donc la somme de $\;2\;$ tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants,
     Remarque : le 1^er « $\;\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta \;$ » étant le produit d'un scalaire positif et du tenseur contravariant de Kronecker^[5],
     Remarque : le 2^nd « $\;-m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ » étant le produit d'un scalaire négatif et du carré tensoriel du vecteur position.

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

Avec $\;W\;$ la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée, le $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants a pour base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ et les composantes des deux tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants intervenant dans le tenseur d'inertie du point matériel $\;M\;$ sont :

pour le 1^er « $\;{\mathcal {I}}_{1}=\left(m\;{\vec {r}}^{2}\right)\delta \;$ », la composante sur $\;{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\;$ est $\;{\mathcal {I}}_{1,\,i,\,j}=m\,\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,\delta _{i,\,j},\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}$ $\;{\bigg (}\delta _{i,\,j}=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;i\neq j\\1\;{\text{si }}\;i=j\end{array}}\right\rbrace \;$ étant le symbole de Kronecker^[6] ${\bigg )}\;$ et
pour le 2^nd « $\;{\mathcal {I}}_{2}=-m\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ », la composante sur $\;{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\;$ est $\;{\mathcal {I}}_{2,\,i,\,j}=-m\,r_{i}\;r_{j},\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;$ avec $\;\left[{\begin{array}{c}r_{x}=x\\r_{y}=y\\r_{z}=z\end{array}}\right]\;$ d'où

en en faisant la somme on obtient $\;{\mathcal {I}}_{i,\,j}=m\left[\left(\sum \limits _{l\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace }r_{l}^{2}\right)\delta _{i,\,j}-r_{i}\;r_{j}\right],\;\;\forall \;\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}\;$ avec $\;\left[{\begin{array}{c}r_{x}=x\\r_{y}=y\\r_{z}=z\end{array}}\right]\;$ soit, en explicitant chaque composante :

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,x}-x^{2}\right]=m\left(y^{2}+z^{2}\right)

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,y}}}\;-x\;y\right]=-m\;x\;y

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{x,\,z}}}\;-x\;z\right]=-m\;x\;z

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,x}}}\;-y\;x\right]=-m\;x\;y

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,y}-y^{2}\right]=m\left(x^{2}+z^{2}\right)

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{y,\,z}}}\;-y\;z\right]=-m\;y\;z

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,x}}}\;-z\;x\right]=-m\;x\;z

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}=m\left[\;{\cancel {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,y}}}\;-z\;y\right]=-m\;y\;z

et

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}=m\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\delta _{z,\,z}-z^{2}\right]=m\left(x^{2}+y^{2}\right)

.

Matrice d'inertie d'un point matériel ainsi que les moments et produits d'inertie du point

Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel peut être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$ , par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3$ ,
Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ la représentation par matrice $\;{\big (}$ en supposant que le numéro de ligne corresponde à la place du 1^er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \!{\big )}\;$ est sans ambiguïté $\;{\big (}$ en effet les composantes du tenseur d'inertie du point matériel $\;M\;$ étant invariantes par permutation des indices, nous obtenons une matrice symétrique et aurions eu la même matrice en ayant supposé que le numéro de ligne correspondît à la place du 2^ème indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \!{\big )}$ ;

Tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}\;$ du point matériel $\;M\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du point matériel ${\underline {M}}\;$ et notée $\;\left[J(M)\right]$ $\;{\big (}$ ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté ${\big )}$ , elle s'écrit

\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}m\left(y^{2}+z^{2}\right)&-m\;x\;y&-m\;x\;z\\-m\;x\;y&m\left(x^{2}+z^{2}\right)&-m\;y\;z\\-m\;x\;z&-m\;y\;z&m\left(x^{2}+y^{2}\right)\end{array}}\right]

;

parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du point matériel $\;M\;$ on distingue :

les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du point par rapport à un axe privilégié plus précisément
      $\;\succ \;J_{Ox}=m\left(y^{2}+z^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$ »,
      $\;\succ \;J_{Oy}=m\left(x^{2}+z^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$ » et
      $\;\succ \;J_{Oz}=m\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;M\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$ »,
l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du point dans un plan privilégié plus précisément
      $\;\succ \;I_{xy}=m\;x\;y\;$ « produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ »,
      $\;\succ \;I_{xz}=m\;x\;z\;$ « produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;xOz\;$ » et
      $\;\succ \;I_{yz}=m\;y\;z\;$ « produit d'inertie de $\;M\;$ dans le plan $\;yOz$ »,

soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du point $\;M\;$ selon

\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]

.

Tenseur d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système de points matériels indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

Soit un solide $\;({\mathcal {S}})\;$ composé de $\;N\;$ points matériels $\;M_{k}\;$ de masse $\;m_{k}\;$ repérés relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par leur vecteur position $\;{\overrightarrow {OM_{k}}}={\vec {r}}_{k}$ , on appelle « tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ » dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe « la somme des $\;N\;$ tenseurs d'inertie de chaque point matériel $\;M_{k}\,\left(m_{k}\right)\;$ » soit le « tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}{\mathcal {I}}(M_{k})\;$ » dans laquelle « $\;{\mathcal {I}}(M_{k})=\left(m_{k}\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -m_{k}\;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}\;$ » avec

$\;{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}_{k}\otimes {\vec {r}}_{k}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}_{k}$ $\;{\big [}{\vec {r}}_{k}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant « $\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$ »^[3] $\;{\big (}\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ${\big )}{\big ]}$ ,
$\;{\vec {r}}_{k}^{2}={\vec {r}}_{k}\cdot {\vec {r}}_{k}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}_{k}\;$ ^[4] et
$\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker^[5]^,^[6].

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants $\;{\big (}W\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée ${\big )}$ , il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, d'ajouter les composantes des $\;N\;$ tenseurs d'inertie de chaque point matériel $\;M_{k}\;\left(m_{k}\right)\;$ ^[7] sur ce vecteur de base, ce qui donne :

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}

,

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}

et

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)

.

Matrice d'inertie d'un solide ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$ , par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et
Tout le tenseur d'inertie d'un solide étant la somme des tenseurs d'inertie des points matériels le composant qui sont des tenseurs d'ordre $\;2\;$ étant donc lui-même un tenseur d'ordre $\;2$ ,
Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$ , laquelle est la somme des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des points matériels du solide $\;{\big (}$ nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1^er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$ ^[8] ${\big )}$ ;

Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ ^[9] dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté ${\big )}$ , elle s'écrit

\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}\\-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}&-\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}&\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{array}}\right]

;

parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :

les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
      $\;\succ \;J_{Ox}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$ »,
      $\;\succ \;J_{Oy}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$ » et
      $\;\succ \;J_{Oz}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\;$ « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$ »,
l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
      $\;\succ \;I_{xy}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;y_{k}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$ »,
      $\;\succ \;I_{xz}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;x_{k}\;z_{k}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$ » et
      $\;\succ \;I_{yz}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,N}m_{k}\;y_{k}\;z_{k}\;$ « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$ »,

soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon

\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]

.

Axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels

Caractère « autoadjoint » de l'endomorphisme représenté par la matrice d'inertie d'un solide, matrice autoadjointe

Toute matrice carrée $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ à cœfficients réels représentant un endomorphisme^[10] du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ ${\big (}$ la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien modélisant l'espace physique ${\big )}$ , il existe donc un endomorphisme $\;\varphi \;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ représenté par la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étudié c'est-à-dire

avec la base

\;{\big (}

choisie orthonormée

{\big )}\;

«

\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;

de

\;W\;

», «

\;\exists !\;\varphi \,\in \,L(W)\;

^[11] tel que

\;\left[J\right]=\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;

»^[12] ;

le caractère « symétrique » de la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ représentant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de ce dernier confère
le caractère « autoadjoint »^[13] à $\;\varphi \;$ l'endomorphisme associé $\;{\big [}\varpi \,\in \,L(W)\;$ est un « endomorphisme autoadjoint de $\;W\;$ » ssi « $\;\forall \;\left({\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\in W^{2}$ , $\;{\vec {v}}\cdot \varpi ({\vec {w}})=\varpi ({\vec {v}})\cdot {\vec {w}}\;$ » ${\big ]}\;$ ^[14], raison pour laquelle une « matrice symétrique à cœfficients réels » est encore appelée « matrice autoadjointe »^[15].

Caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide

Théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes (admis)

« Tout endomorphisme auto-adjoint^[16] d'un espace euclidien^[17] est diagonalisable dans une base orthonormée et
« Tout endomorphisme auto-adjoint d'un espace euclidien ses valeurs propres^[18] sont toutes réelles ».

Théorème spectral en dimension finie pour les matrices (admis)

     « Toute matrice symétrique réelle $\;\left[A\right]\;$ est diagonalisable^[19] $\;{\big \{}$ il existe une matrice diagonale $\;\left[D\right]\;$ à cœfficients réels semblable à $\;\left[A\right]{\big \}}$
             « Toute matrice symétrique réelle $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est diagonalisable $\;\color {transparent}{\big \{}$ il existe une matrice diagonale $\;\Updownarrow$
           « Toute matrice symétrique réelle $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est diagonalisable $\;\color {transparent}{\big \{}$ il existe une matrice orthogonale $\;\left[P\right]\;$ ^[20] à cœfficients réels et une matrice diagonale $\;\left[D\right]\;$ également à cœfficients réels telles que $\;\left[A\right]=\left[P\right]\times \left[D\right]\times \left[P\right]^{-1}{\big \}}\;$ ».

D'après le théorème spectral en dimension finie pour les matrices, on peut donc affirmer que la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ est diagonalisable.

Définition des axes principaux d'inertie d'un solide et des moments principaux d'inertie de ce dernier

     Comme nous l'avons vu en conclusion du paragraphe « caractère diagonalisable de la matrice d'inertie d'un solide » plus haut dans ce chapitre, la nature « réelle symétrique » de la matrice d'inertie $\;\left[J\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement à un référentiel lié à ce dernier, dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel tridimensionnel euclidien $\;W$ $\;{\big (}$ direction de l'espace affine modélisant l'espace physique ${\big )}\;$ $\Rightarrow$ le caractère diagonalisable de cette matrice,
     il est donc possible de choisir une nouvelle base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ pour que la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ soit transformée en $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ diagonale ;
     les axes $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ passant par le point $\;O\;$ et respectivement orientés par $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{X}\,,\,{\vec {u}}_{Y}\,,\,{\vec {u}}_{Z}\right\rbrace \;$ définissent les « axes principaux d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ issus de $\;O$ $\;{\big (}$ point fixe de ce dernier ${\big )}\;$ » ;
     les éléments diagonaux de $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ à savoir $\;J_{OX}$ , $\;J_{OY}\;$ et $\;J_{OZ}\;$ sont appelés « moments principaux d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ relativement aux axes respectifs $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ », leurs valeurs dépendent de la répartition des points matériels $\;M_{k}\,(m_{k})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ autour des axes principaux d'inertie de ce dernier ;

la matrice d'inertie $\;\left[{\mathcal {J}}\right]\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié à $\;({\mathcal {S}})\;$ et « relativement axes principaux d'inertie $\;\left\lbrace {\overrightarrow {OX}}\,,\,{\overrightarrow {OY}}\,,\,{\overrightarrow {OZ}}\right\rbrace \;$ de ce dernier issus du point $\;O$ , point fixe de $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ », s'écrit, avec « $\;J_{OX}$ , $\;J_{OY}\;$ et $\;J_{OZ}\;$ moments principaux d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ », selon

«

\;\left[{\mathcal {J}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{OX}&0&0\\0&J_{OY}&0\\0&0&J_{OZ}\end{array}}\right]\;

».

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$ , modélisé par un milieu continu de matière d'expansion tridimensionnelle finie $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ , de masse volumique $\;\mu (M)\;$ où $\;M\in \left({\mathcal {V}}\right)\;$ est repéré relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$ ,
on appelle « tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ » dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe « la somme continue^[21] des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$ ^[22], soit le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$ »^[23] dans laquelle « $\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ » avec

$\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big [}{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant « $\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$ »^[3] $\;{\big (}\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ${\big )}{\big ]}$ ,
$\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ ^[4] et
$\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker^[5]^,^[6].

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants $\;{\big (}W\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée ${\big )}$ , il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire « la somme continue^[21] » des composantes des tenseurs d'inertie de chaque « pseudo-point $\;M\;\left(dm\right)\;$ »^[22]^,^[7] sur ce vecteur de base $\Rightarrow$ avec $\;d{\mathcal {V}}_{M}=dx\;dy\;dz$ :

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;

^[23],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;

^[23],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;

^[23],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;

^[23],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;

^[23],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;

^[23],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;

^[23],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;

^[23] et

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;

^[23].

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$ , par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et
Tout le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant « la somme continue^[21] » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points »^[22] le composant qui sont des tenseurs d'ordre $\;2\;$ étant donc lui-même un tenseur d'ordre $\;2$ ,
Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$ , laquelle est « la somme continue^[21] » des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des « pseudo-points »^[22] du solide $\;{\big (}$ nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1^er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$ ^[8] ${\big )}$ ;

Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté ${\big )}$ , elle s'écrit

«

\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\\-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}&\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\end{array}}\right]\;

»^[23] ;

parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :

les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
      $\;\succ \;J_{Ox}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ^[23] « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$ »,
      $\;\succ \;J_{Oy}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ^[23] « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$ » et
      $\;\succ \;J_{Oz}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ^[23] « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$ »,
l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
      $\;\succ \;I_{xy}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ^[23] « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$ »,
      $\;\succ \;I_{xz}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ^[23] « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$ » et
      $\;\succ \;I_{yz}=\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)}\mu (M)\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ ^[23] « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$ »,

soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon

\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]

.

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion surfacique finie

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion surfacique finie relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$ , modélisé par un milieu continu de matière d'expansion surfacique finie $\;\left(S\right)$ , de masse surfacique $\;\sigma (M)\;$ où $\;M\in \left(S\right)\;$ est repéré relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$ ,
on appelle « tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ » dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe « la somme continue^[24] des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$ ^[25], soit le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$ »^[26] dans laquelle « $\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ » avec

$\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big [}{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant « $\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$ »^[3] $\;{\big (}\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ${\big )}{\big ]}$ ,
$\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ ^[4] et
$\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker^[5]^,^[6].

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants $\;{\big (}W\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée ${\big )}$ , il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire « la somme continue^[24] » des composantes des tenseurs d'inertie de chaque « pseudo-point $\;M\;\left(dm\right)\;$ »^[25]^,^[7] sur ce vecteur de base, ce qui donne :

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;

^[26],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\;

^[26],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;

^[26],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\;

^[26],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;

^[26],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;

^[26],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;

^[26],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;

^[26] et

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;

^[26].

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$ , par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et
Tout le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant « la somme continue^[24] » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points »^[25] le composant qui sont des tenseurs d'ordre $\;2\;$ étant donc lui-même un tenseur d'ordre $\;2$ ,
Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$ , laquelle est « la somme continue^[24] » des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des « pseudo-points »^[25] du solide $\;{\big (}$ nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1^er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$ ^[8] ${\big )}$ ;

Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté ${\big )}$ , elle s'écrit

«

\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\\-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}&\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\\-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}&-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}&\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\end{array}}\right]\;

»^[26] ;

parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :

les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
      $\;\succ \;J_{Ox}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$ ^[26] « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$ »,
      $\;\succ \;J_{Oy}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$ ^[26] « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$ » et
      $\;\succ \;J_{Oz}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$ ^[26] « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$ »,
l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
      $\;\succ \;I_{xy}=\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;y\;dS_{M}\;$ ^[26] « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$ »,
      $\;\succ \;I_{xz}=\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;x\;z\;dS_{M}\;$ ^[26] « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$ » et
      $\;\succ \;I_{yz}=\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma (M)\;y\;z\;dS_{M}\;$ ^[26] « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$ »,

soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon

\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]

.

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion linéique finie

Définition du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable)

Tenseur d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion linéique finie relativement au référentiel d'espace qui lui est lié

Soit un solide $\;({\mathcal {S}})$ , modélisé par un milieu continu de matière d'expansion linéique finie $\;\left(\Gamma \right)$ , de masse linéique $\;\lambda (M)\;$ où $\;M\in \left(\Gamma \right)\;$ est repéré relativement à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel spatial $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ lié au solide par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}$ ,
on appelle « tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ » dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{({\mathcal {S}})}\;$ dont $\;O\;$ est un point fixe « la somme continue^[27] des tenseurs d'inertie de tous les pseudo-points $\;M\,\left(dm\right)\;$ ^[28], soit le tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}d{\mathcal {I}}(M)\;$ »^[29] dans laquelle « $\;d{\mathcal {I}}(M)=\left(dm\;{\vec {r}}_{k}^{2}\right)\delta -dm\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ » avec

$\;{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}={\vec {r}}\otimes {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré tensoriel du tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {r}}$ $\;{\big [}{\vec {r}}^{\,\otimes \,2}\;$ est donc bien un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant « $\;\in \;W^{\,\otimes \,2}\;$ »^[3] $\;{\big (}\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ${\big )}{\big ]}$ ,
$\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ c'est-à-dire le carré scalaire du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ ^[4] et
$\;\delta \;$ est le tenseur contravariant de Kronecker^[5]^,^[6].

Détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels

Pour déterminer les composantes du tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace ^{2}}\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel nonadimensionnel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ des tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants $\;{\big (}W\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien représentant l'espace physique et $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ sa base orthonormée ${\big )}$ , il suffit, pour obtenir la composante du tenseur d'inertie du solide sur un vecteur de base, de faire « la somme continue^[27] » des composantes des tenseurs d'inertie de chaque « pseudo-point $\;M\;\left(dm\right)\;$ »^[28]^,^[7] sur ce vecteur de base, ce qui donne :

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,x}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;

^[29],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;

^[29],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;

^[29],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;

^[29],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,y}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;

^[29],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;

^[29],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,x}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;

^[29],

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,y}({\mathcal {S}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;

^[29] et

\;\succ \;{\mathcal {I}}_{z,\,z}({\mathcal {S}})=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;

^[29].

Matrice d'inertie d'un solide (système continu de matière indéformable) ainsi que les moments et produits d'inertie de ce dernier

Tout tenseur d'ordre $\;2\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ nonadimensionnel pouvant être représenté, avec choix d'une base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}$ , par une matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et
Tout le tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant « la somme continue^[27] » des tenseurs d'inertie des « pseudo-points »^[28] le composant qui sont des tenseurs d'ordre $\;2\;$ étant donc lui-même un tenseur d'ordre $\;2$ ,
Tout le tenseur d'inertie d'un solide est aussi représenté par une matrice $\;3\,{\text{x}}\,3$ , laquelle est « la somme continue^[27] » des matrices représentant chacune un tenseur d'inertie d'un des « pseudo-points »^[28] du solide $\;{\big (}$ nous y supposerons également que le numéro de ligne correspond à la place du 1^er indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;$ ^[8] ${\big )}$ ;

Tout le tenseur d'inertie d'un solide la matrice carrée $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ représentant le tenseur d'inertie $\;{\mathcal {I}}({\mathcal {S}})\;$ du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ dans la base orthonormée de $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ est appelée matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ et notée $\;\left[J({\mathcal {S}})\right]$ $\;{\big (}$ ou simplement $\;\left[J\right]\;$ en absence d'ambiguïté ${\big )}$ , elle s'écrit

«

\;<math>\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\\-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}&\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\\-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}&-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}&\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\end{array}}\right]\;

»^[29] ;

parmi les cœfficients de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ on distingue :

les éléments diagonaux définissant les moments d'inertie du solide par rapport à un axe privilégié plus précisément
      $\;\succ \;J_{Ox}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ ^[29] « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Ox\;$ »,
      $\;\succ \;J_{Oy}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ ^[29] « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oy\;$ » et
      $\;\succ \;J_{Oz}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ ^[29] « moment d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ par rapport à l'axe $\;Oz\;$ »,
l'opposé des éléments non diagonaux définissant les produits d'inertie du solide dans un plan privilégié plus précisément
      $\;\succ \;I_{xy}=\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ ^[29] « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOy\;$ »,
      $\;\succ \;I_{xz}=\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ ^[29] « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;xOz\;$ » et
      $\;\succ \;I_{yz}=\displaystyle \int _{M\,\in \,\left(\Gamma \right)}\lambda (M)\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ ^[29] « produit d'inertie de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le plan $\;yOz\;$ »,

soit, avec l'introduction de ces nouvelles grandeurs, la réécriture de la matrice d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ selon

\;\left[J\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{Ox}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{xy}&J_{Oy}&-I_{yz}\\-I_{xz}&-I_{yz}&J_{Oz}\end{array}}\right]

.

Axes principaux d'inertie d'un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie

Voir le paragraphe « axes principaux d'inertie d'un solide composé d'un nombre fini de points matériels » plus haut dans le chapitre $\;{\big (}$ l'exposé de ce dernier se faisant sur les matrices et non sur la façon dont celles-ci ont été obtenues peut être reproduit sans aucune modification pour un solide modélisé par un milieu continu d'expansion spatiale finie ${\big )}\;\ldots$

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion tridimensionnelle finie, de masse volumique

\;\mu _{0}\;

et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :

« Boule^[30] $\;\left({\mathcal {B}}\right)$ , homogène, de rayon $\;R$ , de centre $\;G\;$ et de masse $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$ »^[31], « tout axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par son centre $\;G\;$ est axe principal d'inertie »^[32] « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}\;$ »^[33].
« Cylindre de révolution^[34] $\;\left({\mathcal {C}}\right)$ , homogène, de rayon $\;R$ , de longueur $\;H$ , de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=\pi \;\mu _{0}\;R^{2}\;H\;$ »^[35],
Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$ , $\;\succ \;$ « l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie »^[36], « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ »^[37] et
Cylindre de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$ , $\;\succ \;$ « tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie »^[36], « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$ »^[38].

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion surfacique finie, de masse surfacique

\;\sigma _{0}\;

et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :

« Sphère^[30] $\;\left(S\right)$ , homogène, de rayon $\;R$ , de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$ »^[39], « tout axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par son centre $\;G\;$ est axe principal d'inertie »^[40], « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;$ »^[41].
« Tuyau cylindrique de révolution^[34] $\;\left({\mathcal {T}}\right)$ , homogène, de rayon $\;R$ , de longueur $\;H$ , de centre $\;G$ , ouvert aux deux extrémités et de masse $\;m=$ $2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$ »^[42],
Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$ , $\;\succ \;$ « l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe de révolution est axe principal d'inertie »^[43], « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=m\;R^{2}\;$ »^[44] et
Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$ , $\;\succ \;$ « tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution est aussi axe principal d'inertie »^[43], « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$ »^[45].
« Disque^[46] $\;\left({\mathcal {D}}\right)$ , homogène, de rayon $\;R$ , de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$ »^[47],
Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$ , $\;\succ \;$ « l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe du disque est axe principal d'inertie »^[48], « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ »^[49] et
Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$ , $\;\succ \;$ « tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du disque $\;{\big (}$ c'est-à-dire tout support de diamètre ${\big )}\;$ est aussi axe principal d'inertie »^[48], « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}\;$ »^[50].

Exemples de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie

Liste non exhaustive de solides homogènes modélisés par un milieu continu d'expansion linéique finie, de masse linéique

\;\lambda _{0}\;

et
leurs axes principaux d'inertie ainsi que leurs moments principaux d'inertie correspondants :

« Cercle^[46] $\;\left({\mathcal {C}}\right)$ , homogène, de rayon $\;R$ , de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=2\;\pi \;\lambda _{0}\;R\;$ »,
Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$ , $\;\succ \;$ « l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et confondu avec l'axe du cercle est axe principal d'inertie »^[51], « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=m\;R^{2}\;$ »^[52] et
Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$ , $\;\succ \;$ « tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du cercle $\;{\big (}$ c'est-à-dire tout support de diamètre ${\big )}\;$ est aussi axe principal d'inertie »^[51], « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ »^[53].
Tige rectiligne $\;\left({\mathcal {T}}\right)$ , homogène, de longueur $\;{\mathit {l}}$ , de centre d'inertie $\;G\;$ et de masse $\;m=\lambda _{0}\;{\mathit {l}}$ ,
Tige rectiligne $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$ , $\;\succ \;$ « l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ passant par son centre d'inertie $\;G\;$ et confondu avec l'axe de la tige pourrait être considéré comme axe principal d'inertie »^[54], mais « le moment principal d'inertie correspondant étant nul $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=0\;$ »^[55] $\;{\big [}$ cette valeur nulle de $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)\;$ fait qu'en pratique l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ n'est pas comptabilisé dans les axes principaux d'inertie de $\;{\mathcal {T}}{\big ]}\;$ et
Tige rectiligne $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$ , $\;\succ \;$ « tout axe $\;\Delta _{G,\,\perp \,Gz}\;$ passant par son centre $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de la tige $\;{\big (}$ c'est-à-dire tout support de médiatrice ${\big )}\;$ est axe principal d'inertie »^[54], « le moment principal d'inertie correspondant étant $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;$ »^[56].

Méthode d'évaluation de moments principaux d'inertie d'un solide (système continu indéformable d'expansion spatiale finie) utilisant les éléments de symétrie de la répartition massique de ce dernier

Si un solide $\;{\big (}$ système continu indéformable d'expansion volumique, surfacique ou linéique finie ${\big )}\;$ est de répartition massique identique par symétrie relativement à deux axes principaux d'inertie distincts, les moments principaux d'inertie du solide relativement à ces deux axes sont égaux ;

pour utiliser cette propriété l'idéal est de trouver une identité de répartition de masse par symétrie relativement à

trois axes principaux d'inertie respectivement perpendiculaires et issus d'un même point^[57] $\;{\big (}$ c'est-à-dire de trouver un repère principal d'inertie ayant le point pour origine ${\big )}\;$ ou, à défaut,
deux axes principaux d'inertie perpendiculaires, issus d'un même point^[57], le moment principal d'inertie relativement au 3^ème axe du repère principal d'inertie étant connu $\;\ldots$

Exemples (liste non exhaustive) :

Boule^[30] $\;\left({\mathcal {B}}\right)$ , homogène, de rayon $\;R$ , de centre $\;G\;$ et de masse $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$ ^[31], les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement à chacun de ces axes, on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)\;$ ou, en les ajoutant, « $\;3\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {B}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {B}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}+\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}\;$ »^[23] ou « $\;3\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)$ $=2\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)d{\mathcal {V}}_{M}=2\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;r^{2}\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ »^[23] avec $\;r$ , rayon polaire de $\;M$ $\;{\big (}$ repérage sphérique de pôle $\;G{\big )}\;$ ou, adoptant la forme semi-intégrée de l'élément de volumique $\;d{\mathcal {V}}_{M}=$ $4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ tenant compte du fait que la fonction à intégrer ne dépend par de $\;\left(\theta \,,\,\varphi \right)\;$ ^[58] « $\;3\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=2\displaystyle \int _{0}^{R}\mu _{0}\;4\;\pi \;r^{4}\;dr=8\;\pi \;\mu _{0}\;{\dfrac {R^{5}}{5}}\;$ d'où $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {8\;\pi \;\mu _{0}}{15}}\;R^{5}\;$ » et, en fonction de $\;m=$ ${\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}\;$ ^[31], « $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}\;$ ».
Sphère^[30] $\;\left(S\right)$ , homogène, de rayon $\;R$ , de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$ ^[39], les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de $\;\left(S\right)\;$ étant identique par symétrie relativement à chacun de ces axes, on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left(S\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left(S\right)=J_{\Delta _{Gz}}\!\left(S\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)\;$ ou, en les ajoutant, « $\;{\begin{array}{c}\\3\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left(S\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left(S\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left(S\right)=\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\\\end{array}}\;$ »^[26] ou « $\;{\begin{array}{c}\\3\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)=2\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}=2\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\;R^{2}\;dS_{M}\\\end{array}}\;$ »^[26] $\;{\big [}R$ , rayon polaire de $\;M$ $\;{\big (}$ repérage sphérique de pôle $\;G{\big )}{\big ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;{\begin{array}{c}\\3\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)=2\;R^{2}\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \,\left(S\right)}\sigma _{0}\;dS_{M}=2\;R^{2}\;m\\\end{array}}\;$ » d'où « $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;$ ».
Tuyau cylindrique de révolution^[34] $\;\left({\mathcal {T}}\right)$ , homogène, de rayon $\;R$ , de longueur $\;H$ , de centre $\;G$ , ouvert aux deux extrémités et de masse $\;m=$ $2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$ ^[42], les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement aux axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\right)$ , on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {T}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)\;$ ou, en les ajoutant au 3^ème moment d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gz}$ , « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$ »^[26] soit, avec $\;M\;\left(R\,,\,\theta \,,\,z\right)$ , coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$ , « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=2\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\left(R^{2}+z^{2}\right)dS_{M}\;$ »^[26] où, la fonction à intégrer étant indépendante de $\;\theta$ , on adopte la forme semi-intégrée de l'élément d'aire $\;dS_{M}=$ $2\;\pi \;R\;dz\;$ ^[59] soit « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\displaystyle \int _{-{\frac {H}{2}}}^{+{\frac {H}{2}}}\left(R^{2}+z^{2}\right)dz=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\,\left[R^{2}\;z+{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{-{\frac {H}{2}}}^{+{\frac {H}{2}}}=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\left(R^{2}\;H+{\dfrac {H^{3}}{12}}\right)=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\left(R^{2}+{\dfrac {H^{2}}{12}}\right)\;$ » ou, en fonction de $\;m=2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H\;$ ^[42], « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=2\;m\left(R^{2}+{\dfrac {H^{2}}{12}}\right)\;$ » ;
Tuyau cylindrique de révolution $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {T}}\right)}$ , il reste à évaluer directement « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;R^{2}\;dS_{M}=R^{2}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;dS_{M}\;$ »^[26] $\;{\big [}$ revoir la note « ⁴⁴ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $m\;R^{2}\;$ par définition de la masse », on en déduit « $\;m\;R^{2}+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=2\;m\left(R^{2}+{\dfrac {H^{2}}{12}}\right)\;$ » $\Rightarrow$ « $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$ ».
Disque^[46] $\;\left({\mathcal {D}}\right)$ , homogène, de rayon $\;R$ , de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$ ^[47], les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement aux axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\right)$ , on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {D}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)\;$ ou, en les ajoutant au 3^ème moment d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ du disque, « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)\;$ somme s'écrivant encore $\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)dS_{M}+\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)dS_{M}\;$ »^[26] soit, avec $\;M\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,0\right)$ , coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$ , « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=$ $2\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;\rho ^{2}\;dS_{M}\;$ »^[26] où, la fonction à intégrer étant indépendante de $\;\theta$ , on adopte la forme semi-intégrée de l'élément d'aire $\;dS_{M}=2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ^[59] soit « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=$ $4\;\pi \;\sigma _{0}\displaystyle \int _{0}^{R}\rho ^{3}\;d\rho =4\;\pi \;\sigma _{0}\,\left[{\dfrac {\rho ^{4}}{4}}\right]_{0}^{R}=\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}\;$ » ou encore, en fonction de $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}\;$ ^[47], « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=m\;R^{2}\;$ » ;
Disque $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {D}}\right)}$ , il reste à évaluer directement « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;\rho ^{2}\;dS_{M}\;$ »^[26] $\;{\big [}$ revoir la note « ⁴⁹ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ par définition de la masse », on en déduit « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=m\;R^{2}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}\;$ ».
Cercle^[46] $\;\left({\mathcal {C}}\right)$ , homogène, de rayon $\;R$ , de centre $\;G\;$ et de masse $\;m=2\;\pi \;\lambda _{0}\;R$ , les axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\,,\,\Delta _{Gz}\right)\;$ issus de son centre $\;G\;$ formant un repère principal d'inertie et la répartition de masse de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ étant identique par symétrie relativement aux axes $\;\left(\Delta _{Gx}\,,\,\Delta _{Gy}\right)$ , on en déduit l'égalité des moments principaux d'inertie correspondants soit $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {C}}\right)\;$ de valeur commune $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)\;$ ou, en les ajoutant au 3^ème moment d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ du cercle, « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)\;$ somme s'écrivant encore $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\left(y^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}+\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\left(x^{2}+z^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}+\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\left(x^{2}+y^{2}\right)d{\mathit {l}}_{M}\;$ »^[29] soit, avec $\;M\;\left(R\,,\,\theta \,,\,0\right)$ , coordonnées en repérage cylindro-polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$ , « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=$ $2\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;R^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}=2\;R^{2}\displaystyle \int \limits _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ ^[29] $\;=2\;m\;R^{2}\;$ par définition de la masse » ;
Cercle $\;\color {transparent}{\left({\mathcal {C}}\right)}$ , il reste à évaluer directement « $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;R^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}=R^{2}\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ ^[29] $\;=m\;R^{2}\;$ par définition de la masse », on en déduit « $\;m\;R^{2}+2\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=2\;m\;R^{2}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;J_{\Delta _{G,\,\perp \,Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ ».

Notes et références

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 et ^1,5 Au sens de la mécanique des systèmes de points matériels c'est-à-dire un système de points matériels indéformable.
↑ Voir le paragraphe « construction de tenseurs d'ordre deux » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 et ^3,4 $\;W\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien utilisé en physique $\;\ldots$
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 et ^4,4 La note ci-dessous est rédigée à partir du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ mais elle reste applicable au vecteur $\;{\vec {r}}_{k}$ ;
   le carré scalaire $\;{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ est aussi un « crochet de dualité » $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ défini sur $\;W^{*}\times W$ $\;{\Big [}$ c'est-à-dire une forme bilinéaire non dégénérée construite ici à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;W$ $\;{\big (}$ direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien ${\big )}\;$ telle qu’au vecteur $\;{\vec {u}}\in W\;$ on associe le covecteur “ $\;{\vec {u}}\,\cdot \;\in W^{*}\;$ ” $\;{\big (}$ un covecteur de $\;W^{*}$ , lequel est le dual de $\;W$ , étant encore une forme linéaire de ce dernier ${\big )}$ , le « crochet de dualité » entre le covecteur “ $\;{\vec {u}}\,\cdot \;\in W^{*}\;$ ” et le vecteur $\;{\vec {v}}\;\in W\;$ étant défini par $\;\langle {\vec {u}}\;\cdot \,,\,{\vec {v}}\rangle ={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\;\in \mathbb {R}$ , $\;{\Big \{}$ de façon plus générale le « crochet de dualité » entre un covecteur $\;\varphi$ $\;{\big (}$ c'est-à-dire une forme linéaire de $\;W{\big )}\;$ et un vecteur $\;{\vec {v}}\;$ s'évalue selon $\;\langle \varphi \,,\,{\vec {v}}\rangle =\varphi ({\vec {v}})\in \mathbb {R} {\Big \}}{\Big ]}\;$ soit, en « notant $\;{\overset {\sim }{r}}\;$ le covecteur “ $\;{\vec {r}}\,\cdot \;$ ” associé au vecteur $\;{\vec {r}}\;$ », la réécriture du carré scalaire selon « $\;{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}$ $=\langle {\overset {\sim }{r}}\,,\,{\vec {r}}\rangle ={\overset {\sim }{r}}({\vec {r}})\;$ » ;
   d'autre part on a défini dans le paragraphe « produit contracté de deux tenseurs » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » le produit contracté d'un tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant $\;{\overset {\sim }{u}}\in W^{*}\;$ et d'un tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {v}}\in W\;$ que l'on note $\;{\overset {\sim }{u}}\odot {\vec {v}}\;\in \mathbb {R}$ $\;{\Big [}$ le produit contracté de ces deux tenseurs d'ordre $\;1\;$ s'obtient en formant leur produit tensoriel $\;{\overset {\sim }{u}}\otimes {\vec {v}}\;\in W^{*}\otimes W$ $\;{\big (}$ l'espace des tenseurs d'ordre $\;2\;$ monocovariant et monocontravariant ${\big )}\;$ et en contractant ce tenseur d'ordre $\;2\;$ $\;{\big (}$ c'est-à-dire en déterminant les $\;9\;$ composantes de ce tenseur à présenter en matrice $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et en en prenant la trace c'est-à-dire en faisant la somme de ses éléments diagonaux ${\big )}\;$ ce qui donne un tenseur d'ordre $\;2-2=0\;$ c'est-à-dire un scalaire ${\Big ]}$ , soit ici $\;{\overset {\sim }{r}}\odot {\vec {r}}={\overset {\sim }{r}}({\vec {r}})\;$ comme cela a été établi dans le 1^er exemple du paragraphe précité « produit contracté de deux tenseurs » ;
   en conclusion le carré scalaire $\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ est égal au produit contracté du covecteur $\;{\overset {\sim }{r}}\;$ et du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ soit $\;{\vec {r}}^{2}={\overset {\sim }{r}}\odot {\vec {r}}$ .
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 et ^5,5 Le tenseur contravariant de Kronecker $\;\delta \;$ est, comme les deux autres tenseurs de Kronecker $\;{\big (}$ également notés $\;\delta {\big )}\;$ l'un étant covariant et l'autre “ mixte ” $\;{\big (}$ c'est-à-dire monocontravariant et monocovariant ${\big )}$ , un tenseur d'ordre $\;2$ ,
   il est défini relativement à la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]}\;$ de l'espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ auquel il appartient $\;{\big [}$ voir la note « ⁹³ » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}\;$ par $\;\delta =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}$ , ce tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant étant aussi une forme bilinéaire de $\;W^{2}$ ,
   son application sur chaque couple $\;\left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)\;$ de vecteurs de base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}=\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]}\;$ de $\;W\;$ conduit à « $\;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}\right\rbrace \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}\right\rbrace \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)$ $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\langle {\overset {\sim }{u}}_{i}\,,\,{\vec {u}}_{l}\rangle \;\langle {\overset {\sim }{u}}_{i}\,,\,{\vec {u}}_{m}\rangle \;$ » $\;{\big [}$ en notant « $\;{\overset {\sim }{r}}\;$ le covecteur “ $\;{\vec {r}}\,\cdot \;$ ” associé au vecteur $\;{\vec {r}}\;$ », $\;{\big (}$ avec la multiplication scalaire définie sur $\;W\;$ notée « $\;\cdot \;$ » ${\big )}{\big ]}\;$ soit encore « $\;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\delta _{i,\,l}\;\delta _{i,\,m}$ $=\delta _{l,\,m}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;l\neq m\\1\;{\text{si }}\;l=m\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(l\,,\,m\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$ » $\;{\big [}\delta _{l,\,m}\;$ étant le symbole de Kronecker ${\big ]}\;$ et
   son application sur le couple $\;\left({\vec {u}}=\sum \limits _{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;{\vec {u}}_{l}\;\in W\,,\,{\vec {v}}=\sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}v_{m}\;{\vec {u}}_{m}\;\in W\right)$ , « $\;\delta \left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)=\sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}^{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{m}\;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=$ $\sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}^{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{m}\;\delta _{l,\,m}=\sum \limits _{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{l}={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 ^6,4 et ^6,5 Leopold Kronecker (1823 - 1891) mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en $\;1850\;$ la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'équation quintique en utilisant la théorie des groupes.
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 et ^7,3 Voir le paragraphe « détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 et ^8,3 Mais ce choix n'a aucune influence car les composantes du tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant invariantes par permutation des indices, la matrice le représentant est symétrique et par suite nous aurions eu la même matrice en ayant supposé que le numéro de ligne correspondît à la place du 2^ème indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;\ldots$
↑ Le solide est le système indéformable des points matériels $\;\left\lbrace M_{k}\;\left(m_{k}\right),\;k\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right],\;\left[M_{l}M_{m}\right]=cste\;\;\forall \;\left(l\,,\,m\right)\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]^{2}\right\rbrace$ .
↑ Voir le paragraphe « 2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C) $\;{\big \{}$ cas où les deux espaces vectoriels sont confondus avec $\;B=C$ $\;{\big (}$ l'application linéaire étant alors un endomorphisme ${\big )}\;$ et $\;m=n=3{\big \}}\;$ » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ L'ensemble des endomorphismes de $\;W\;$ est un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel noté $\;L_{\mathbb {R} }(W)\;$ ou encore $\;\mathrm {End} _{\mathbb {R} }(W)\;$ mais le plus souvent on se contente de $\;L(W)$ .
↑ Voir les notations du paragraphe « 2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « décomposition spectrale de l'article Matrice symétrique de wikipédia » dans lequel il est précisé la prorpiété suivante « dans un espace euclidien, une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique ssi l'endomorphisme est autoadjoint ».
↑ Soit la matrice carrée $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ symétrique $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}a&d&e\\d&b&f\\e&f&c\end{array}}\right]\;$ représentant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$ , les matrices colonnes de $\;\left[A\right]\;$ étant les composantes de $\;\left\lbrace \varphi ({\vec {u}}_{x})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{y})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{z})\right\rbrace \;$ sur la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi ({\vec {u}}_{x})=a\;{\vec {u}}_{x}+d\;{\vec {u}}_{y}+e\;{\vec {u}}_{z}\\\varphi ({\vec {u}}_{y})=d\;{\vec {u}}_{x}+b\;{\vec {u}}_{y}+f\;{\vec {u}}_{z}\\\varphi ({\vec {u}}_{z})=e\;{\vec {u}}_{x}+f\;{\vec {u}}_{y}+c\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi ({\vec {w}})=\varphi (w_{x}\;{\vec {u}}_{x}+w_{y}\;{\vec {u}}_{y}+w_{z}\;{\vec {u}}_{z})=w_{x}\;\varphi ({\vec {u}}_{x})+w_{y}\;\varphi ({\vec {u}}_{y})+w_{z}\;\varphi ({\vec {u}}_{z})\\\varphi ({\vec {v}})=\varphi (v_{x}\;{\vec {u}}_{x}+v_{y}\;{\vec {u}}_{y}+v_{z}\;{\vec {u}}_{z})=v_{x}\;\varphi ({\vec {u}}_{x})+v_{y}\;\varphi ({\vec {u}}_{y})+v_{z}\;\varphi ({\vec {u}}_{z})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, par multiplication scalaire avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {v}}\\{\text{ou}}\\{\vec {w}}\end{array}}\right\rbrace$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})\\{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\end{array}}\right.$ $\left.{\begin{array}{c}=w_{x}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{x})\right]+w_{y}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{y})\right]+w_{z}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{z})\right]=w_{x}\left[v_{x}\;a+v_{y}\;d+v_{z}\;e\right]+w_{y}\left[v_{x}\;d+v_{y}\;b+v_{z}\;f\right]+w_{z}\left[v_{x}\;e+v_{y}\;f+v_{z}\;c\right]\\=v_{x}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{x})\right]+v_{y}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{y})\right]+v_{z}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{z})\right]=v_{x}\left[w_{x}\;a+w_{y}\;d+w_{z}\;e\right]+v_{y}\left[w_{x}\;d+w_{y}\;b+w_{z}\;f\right]+v_{z}\left[w_{x}\;e+w_{y}\;f+w_{z}\;c\right]\end{array}}\right\rbrace$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})={\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\;$ c'est-à-dire le caractère « autoadjoint » de $\;\varphi$ .
↑ La matrice adjointe $\;\left[A\right]^{*}\;$ d'une matrice $\;\left[A\right]\;$ à cœfficients réels est la matrice transposée $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ de cette dernière $\;{\big \{}$ cette notion n'introduit donc rien de nouveau pour une matrice à cœfficients réels ${\big \}}$ ;
        par contre la matrice adjointe $\;\left[A\right]^{*}\;$ d'une matrice $\;\left[A\right]\;$ à cœfficients complexes est définie comme la matrice transconjuguée $\;{\big (}$ c'est-à-dire transposée de la conjuguée ${\big )}\;$ de cette dernière, elle se distingue de $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ et son introduction a un intérêt évident ;
   une matrice autoadjointe à cœfficients réels étant telle que son adjointe se confond avec elle c'est-à-dire $\;\left[A\right]^{*}=\left[A\right]\;$ ou $\;^{t\!}\left[A\right]=\left[A\right]\;$ est donc aussi une matrice symétrique ;
        par contre si une matrice autoadjointe à cœfficients complexes est toujours telle que son adjointe se confond avec elle, cela s'écrit, en notant $\;{\overline {\left[A\right]}}\;$ la matrice conjuguée de $\;\left[A\right]$ , $\;\left[A\right]^{*}=\left[A\right]\;$ ou $\;^{t}{\overline {\left[A\right]}}=\left[A\right]\;$ ce qui nécessite les cœfficients diagonaux de $\;\left[A\right]\;$ réels et ses cœfficients non diagonaux symétriques par rapport à la diagonale principale deux à deux complexes conjugués.
↑ Voir le paragraphe « caractère auto-adjoint de l'endomorphisme représenté par la matrice d'inertie d'un solide, matrice auto-adjointe (définition d'un endomorphisme auto-adjoint dans le dernier paragraphe [entre crochets]) » plus haut dans ce chapitre.
↑
Le théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes reste applicable si ces derniers sont définis dans un espace hermitien ;
un espace hermitien $\;H\;$ $\;H\;$ est un $\;\mathbb {C}$ $\;\mathbb {C}$ -espace vectoriel de dimension finie, muni d'une multiplication scalaire hermitienne c'est-à-dire une « application $\;\left(\;\vert \;\right)\;:\;H\,\times \,H\mapsto \mathbb {C} \;$ $\;\left(\;\vert \;\right)\;:\;H\,\times \,H\mapsto \mathbb {C} \;$ »
- telle que « $\;\forall \left(x\,,\,y\right)\,\in H\times H,\;\left(x\,,\,y\right)\,{\overset {\left({\text{?}}\,\vert {\text{?}}\right)}{\longmapsto }}\left(x\,\vert y\,\right)\in \mathbb {C} \;$ »,
- sesquilinéaire à gauche c'est-à-dire semi-linéaire par rapport au 1^er argument, le 2^nd étant fixé « $\;\forall \;\lambda \,\in \mathbb {C} ,\;\left(\lambda \;x\,\vert y\,\right)=\lambda ^{*}\,\left(x\,\vert y\,\right)\;$ » $\;{\big [}\lambda ^{*}\;$ étant le conjugué de $\;\lambda {\big ]}$ ,
  sesquilinéaire à gauche c'est-à-dire linéaire par rapport au 2^nd argument, le 1^er étant fixé « $\;\forall \;\lambda \,\in \mathbb {C} ,\;\left(x\,\vert \lambda \;y\,\right)=\lambda \,\left(x\,\vert y\,\right)\;$ »,
- symétrique hermitienne c'est-à-dire « $\;\forall \left(x\,,\,y\right)\,\in H\times H,\;\left(y\,,\,x\right)=\left(x\,,\,y\right)^{*}\;$ »,
- positive c'est-à-dire « $\;\forall \,x\,\in H,\;\left(x\,,\,x\right)\in \mathbb {R} _{+}\;$ » et
- définie c'est-à-dire « $\;\left(x\,,\,x\right)=0\rightarrow x=0\;$ ».
Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes othogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, il fut aussi l'un des 1^ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.
↑ Voir le paragraphe « valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme » du chap. $3$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « tentative de diagonalisation d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n » du chap. $3$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Une matrice orthogonale $\;\left[P\right]\;$ est une matrice carrée $\;{\big (}3\;{\text{x}}\;3\;$ à cœfficients réels dans le cas présent ${\big )}\;$ unitaire c'est-à-dire telle que « $\;\left[P\right]^{*}\times \left[P\right]=$ $\left[P\right]\times \left[P\right]^{*}=\left[I_{3}\right]\;$ » où $\;\left[P\right]^{*}\;$ est la matrice adjointe de $\;\left[P\right]$ $\;{\big \{}$ ou encore, la matrice étant réelle, « $\;^{t\!}\left[P\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times ^{\;t\!}\left[P\right]=\left[I_{3}\right]{\big \}}\;$ » ;
une matrice carrée est orthogonale ssi tous ses vecteurs colonnes sont orthogonaux entre eux et de norme unité, une matrice orthogonale représente donc une base orthonormée.
↑ ^21,0 ^21,1 ^21,2 et ^21,3 Par intégrale volumique $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^22,0 ^22,1 ^22,2 et ^22,3 Un « pseudo-point » $\;{\big (}$ appellation non normalisée ${\big )}\;$ d'une expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)$ , de volume $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ et de masse $\;dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ dans laquelle $\;\mu (M)\;$ est la masse volumique du milieu en $\;M$ , on admet que l'on peut étendre aux « pseudo-points » les notions introduites sur les points $\;\ldots$
↑ ^23,00 ^23,01 ^23,02 ^23,03 ^23,04 ^23,05 ^23,06 ^23,07 ^23,08 ^23,09 ^23,10 ^23,11 ^23,12 ^23,13 ^23,14 ^23,15 ^23,16 ^23,17 et ^23,18 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^24,0 ^24,1 ^24,2 et ^24,3 Par intégrale surfacique $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^25,0 ^25,1 ^25,2 et ^25,3 Un « pseudo-point » (appellation non normalisée ${\big )}\;$ d'une expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left(S\right)$ , d'aire $\;dS_{M}\;$ et de masse $\;dm=\sigma (M)\;dS_{M}\;$ dans laquelle $\;\sigma (M)\;$ est la masse surfacique du milieu en $\;M$ , on admet que l'on peut étendre aux « pseudo-points » les notions introduites sur les points $\;\ldots$
↑ ^26,00 ^26,01 ^26,02 ^26,03 ^26,04 ^26,05 ^26,06 ^26,07 ^26,08 ^26,09 ^26,10 ^26,11 ^26,12 ^26,13 ^26,14 ^26,15 ^26,16 ^26,17 ^26,18 ^26,19 ^26,20 ^26,21 ^26,22 ^26,23 et ^26,24 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^27,0 ^27,1 ^27,2 et ^27,3 Par intégrale curviligne $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^28,0 ^28,1 ^28,2 et ^28,3 Un « pseudo-point » (appellation non normalisée ${\big )}\;$ d'une expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left(\Gamma \right)$ , de longueur $\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ et de masse $\;dm=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ dans laquelle $\;\lambda (M)\;$ est la masse linéique du milieu en $\;M$ , on admet que l'on peut étendre aux « pseudo-points » les notions introduites sur les points $\;\ldots$
↑ ^29,00 ^29,01 ^29,02 ^29,03 ^29,04 ^29,05 ^29,06 ^29,07 ^29,08 ^29,09 ^29,10 ^29,11 ^29,12 ^29,13 ^29,14 ^29,15 ^29,16 ^29,17 ^29,18 et ^29,19 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^30,0 ^30,1 ^30,2 et ^30,3 On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».
↑ ^31,0 ^31,1 et ^31,2 Le volume d'une boule de rayon $\;R\;$ étant $\;{\dfrac {4}{3}}\;\pi \;R^{3}$ , voir le paragraphe « exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑
En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par $\;\Delta _{G}\;$ $\;\Delta _{G}\;$ comme axe de repérage sphérique de pôle $\;G$ $\;G$ , le point $\;M\;$ $\;M\;$ étant alors de coordonnées sphériques $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$ $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$ , on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ $\;xGy$ , $\;xGz\;$ $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=r\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )$ $\;x=r\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )$ , $\;y=r\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )$ $\;y=r\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )$ , $\;z=r\;\cos(\theta )\;$ $\;z=r\;\cos(\theta )\;$ et $\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\;$ $\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\;$ ${\big [}$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage sphérique » du chap. $16$ $16$ , « expression en paramétrage sphérique (de l'élément de volume) » et « méthode (de calcul d'une intégrale volumique) se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du même chap. $17{\big ]}{\big \}}$ $17{\big ]}{\big \}}$ :
- $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {B}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\left[r\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[r\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes des $\;2\;$ autres variables, l'intégrale volumique est le produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {B}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{r=0}^{r=R}r^{4}\;dr\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{3}(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi =\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\left[\sin(\varphi )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\varphi )}{2}}\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,
- $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\left[r\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[r\;\cos(\theta )\right]\left[r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{r=0}^{r=R}r^{4}\;dr\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi =\left[\sin(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,
- $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\left[r\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[r\;\cos(\theta )\right]\left[r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{r=0}^{r=R}r^{4}\;dr\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi =\left[-\cos(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ .
↑ En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par $\;\Delta _{G}\;$ comme axe de repérage sphérique de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées sphériques $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{G}\;$ se calcule par $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=J_{Gz}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\,\left[r\;\sin \!\left(\theta \right)\right]^{2}\left[r^{2}\;\sin \!\left(\theta \right)\;d\theta \;d\varphi \;dr\right]$ , $\;{\big \{}$ on utilise $\;\rho =r\;\sin(\theta )\;$ et $\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique » du chap. $16$ et « expression en paramétrage sphérique (de l'élément de volume) » du chap. $17{\big ]}{\big \}}$ ;
la fonction à intégrer ne dépendant pas de $\;\varphi \;$ on peut prendre une forme semi-intégrée de l'élément de volume correspondant à l'intégration sur $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\;\pi \;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « présentation (de la notion de volume élémentaire semi-intégré) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ soit $\;d{\mathcal {V}}_{\text{semi-intég}}=2\;\pi \;r^{2}\;\sin \!\left(\theta \right)\;d\theta \;dr\;$ et les bornes d'intégration sur les deux intégrales restantes étant des constantes, ces intégrales simples ne sont pas emboîtées d'où $\;J_{Gz}=2\;\pi \;\mu _{0}\;\displaystyle \int _{0}^{R}r^{4}\;dr\times \displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\!\left(\theta \right)\;d\theta$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « méthode se ramenant au calcul de trois intégrales (en fait deux ici) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ avec $\;\displaystyle \int _{0}^{R}r^{4}\;dr={\dfrac {R^{5}}{5}}\;$ et $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\!\left(\theta \right)\;d\theta =\displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\left[1-\cos ^{2}\!\left(\theta \right)\right]d\left[-\cos \!\left(\theta \right)\right]=$ $\left[-\cos \!\left(\theta \right)+{\dfrac {\cos ^{3}\!\left(\theta \right)}{3}}\right]_{0}^{\pi }=\left(1-{\dfrac {1}{3}}\right)-\left(-1+{\dfrac {1}{3}}\right)={\dfrac {4}{3}}$ dont on déduit $\;J_{Gz}=$ $2\;\pi \;\mu _{0}\;{\dfrac {R^{5}}{5}}\;{\dfrac {4}{3}}={\dfrac {8\;\pi }{15}}\;\mu _{0}\;R^{5}\;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse de la boule $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{G}$ , $\;J_{\Delta _{G}}={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{G}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux à celui relativement à $\;(Gz)\;$ $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J({\mathcal {B}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{G}}&0&0\\0&J_{\Delta _{G}}&0\\0&0&J_{\Delta _{G}}\end{array}}\right]=J_{\Delta _{G}}\;\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}\;\left[I_{3}\right]\;$ » $\;{\big \{}$ « $\;\left[I_{3}\right]\;$ » étant la matrice identité ${\big \}}$ .
↑ ^34,0 ^34,1 et ^34,2 En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.
↑ Le volume d'un cylindre de révolution de rayon $\;R\;$ et de longueur $\;H\;$ étant $\;\pi \;R^{2}\;H$ , voir le paragraphe « exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^36,0 et ^36,1
En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par l'axe de révolution $\;\Delta _{Gz}\;$ $\;\Delta _{Gz}\;$ comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle $\;G$ $\;G$ , le point $\;M\;$ $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)$ $\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)$ on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ $\;xGy$ , $\;xGz\;$ $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=\rho \;\cos(\theta )$ $\;x=\rho \;\cos(\theta )$ , $\;y=\rho \;\sin(\theta )\;$ $\;y=\rho \;\sin(\theta )\;$ et $\;d{\mathcal {V}}_{M}=\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\;$ $\;d{\mathcal {V}}_{M}=\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\;$ ${\big [}$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ $16$ , « expression en paramétrage cylindro-polaire (de l'élément de volume) » et « méthode (de calcul d'une intégrale volumique) se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du même chap. $17{\big ]}{\big \}}$ $17{\big ]}{\big \}}$ :
- $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\mu _{0}\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\left[\rho \;\cos(\theta )\right]\left[\rho \;\sin(\theta )\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes des $\;2\;$ autres variables, l'intégrale volumique est le produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{3}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,
- $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\mu _{0}\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\left[\rho \;\cos(\theta )\right]\left[z\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=$ $-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{2}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta =\left[\sin(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,
- $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\mu _{0}\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\left[\rho \;\sin(\theta )\right]\left[z\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {C}})=$ $-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{2}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta =\left[-\cos(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ .
↑ En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par l'axe de révolution $\;\Delta _{Gz}\;$ comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gz}\;$ se calcule par l'intégrale volumique $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{Gz}$ $=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\mu _{0}\,\rho ^{2}\left[\rho \;d\rho \;d\theta \;dz\right]$ , $\;{\big \{}$ la distance de $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gz}\;$ étant $\;\rho$ , $\;d{\mathcal {V}}_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \;dz\;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », le paragraphe « expression en paramétrage cylindro-polaire (de l'élément de volume) » du chap. $17{\big ]}$ ;
la fonction à intégrer ne dépendant pas de $\;\theta \;$ et de $\;z\;$ on peut prendre une forme semi-intégrée de l'élément de volume correspondant à l'intégration sur $\;\theta \;$ de $\;-\pi \;$ à $\;+\pi \;$ et sur $\;z\;$ de $\;-{\dfrac {H}{2}}\;$ à $\;{\dfrac {H}{2}}\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « présentation (de la notion de volume élémentaire semi-intégré, 3^ème sous-paragraphe) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ soit $\;d{\mathcal {V}}_{\text{semi-intég}}=2\;\pi \;H\;\rho \;d\rho \;$ d'où $\;J_{Gz}=2\;\pi \;\mu _{0}\;H\!\displaystyle \int _{0}^{R}\!\rho ^{3}\;d\rho \;$ avec $\;\displaystyle \int _{0}^{R}\!\rho ^{3}\;d\rho ={\dfrac {R^{4}}{4}}\;$ dont on déduit $\;J_{Gz}=2\;\pi \;\mu _{0}\;H\;{\dfrac {R^{4}}{4}}={\dfrac {\pi }{2}}\;\mu _{0}\;H\;R^{4}\;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse du cylindre $\;m=\pi \;\mu _{0}\;R^{2}\;H$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gz}$ , $\;J_{\Delta _{Gz}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{Gz}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux de valeur commune $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$ déterminée dans la note « ³⁸ » plus bas dans ce chapitre $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J({\mathcal {C}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{Gx}}&0&0\\0&J_{\Delta _{Gy}}&0\\0&0&J_{\Delta _{Gz}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}&0&0\\0&{\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}&0\\0&0&{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\end{array}}\right]\;$ »..
↑
En effet, choisissant $\;\Delta _{Gx}\;$ $\;\Delta _{Gx}\;$ comme axe passant par $\;G\;$ $\;G\;$ et $\;\perp \;$ $\;\perp \;$ à l'axe de révolution, puis utilisant a priori le repérage cartésien, le point $\;M\;$ $\;M\;$ étant alors de coordonnées cartésiennes $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)$ $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}\;$ $\;\Delta _{Gx}\;$ se calcule par l'intégrale volumique $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=$ $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=$ $J_{Gx}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {V}}_{\mathcal {c}}\right)}\mu _{0}\,\left[y^{2}+z^{2}\right]\left[dx\;dy\;dz\right]$ $J_{Gx}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {V}}_{\mathcal {c}}\right)}\mu _{0}\,\left[y^{2}+z^{2}\right]\left[dx\;dy\;dz\right]$ , la distance de $\;M\;$ $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gx}\;$ $\;\Delta _{Gx}\;$ étant $\;MH={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\;$ $\;MH={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\;$ avec $\;H\;$ $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ $\;M\;$ sur $\;\Delta _{Gx}$ $\;\Delta _{Gx}$ ;
on utilise la méthode d'intégration du paragraphe « méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du chap. $17$ $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
- en figeant tout d'abord $\;\left(x\,,\,z\right)\;$ et en intégrant sur $\;y\;$ de $\;-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\;$ à $\;{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\;$ puis
- en laissant $\;z\;$ figé et en intégrant sur $\;x\;$ de $\;-R\;$ à $\;R\;$ et enfin
- en intégrant sur $\;z\;$ de $\;-{\dfrac {H}{2}}\;$ à $\;{\dfrac {H}{2}}\;$ soit
$\;J_{Gx}=\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{x=-R}^{x=R}\left[\displaystyle \int _{y=-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}^{y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\left(y^{2}+z^{2}\right)dy\right]dx\right\rbrace dz=2\;\mu _{0}\!\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\left\lbrace \displaystyle \int _{x=-R}^{x=R}\left[{\dfrac {\left(R^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{3}}+z^{2}\;{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right]dx\right\rbrace dz$ $\;J_{Gx}=\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{x=-R}^{x=R}\left[\displaystyle \int _{y=-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}^{y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\left(y^{2}+z^{2}\right)dy\right]dx\right\rbrace dz=2\;\mu _{0}\!\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\left\lbrace \displaystyle \int _{x=-R}^{x=R}\left[{\dfrac {\left(R^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{3}}+z^{2}\;{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right]dx\right\rbrace dz$ , l'intégration sur $\;x\;$ $\;x\;$ se faisant par le changement de variable $\;x=R\;\sin \!\left(\theta \right),\;\theta \;\in \;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ $\;x=R\;\sin \!\left(\theta \right),\;\theta \;\in \;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}=R\;\cos \!\left(\theta \right)\\dx=R\;\cos \!\left(\theta \right)\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}=R\;\cos \!\left(\theta \right)\\dx=R\;\cos \!\left(\theta \right)\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;A=$ $\;A=$ $\displaystyle \int _{x=-R}^{x=R}\left[{\dfrac {\left(R^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{3}}+z^{2}\;{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right]dx=\displaystyle \int _{\theta =-{\frac {\pi }{2}}}^{\theta ={\frac {\pi }{2}}}\left[{\dfrac {R^{4}\;\cos ^{4}\!\left(\theta \right)}{3}}+z^{2}\;R^{2}\;\cos ^{2}\!\left(\theta \right)\right]d\theta$ $\displaystyle \int _{x=-R}^{x=R}\left[{\dfrac {\left(R^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{3}}+z^{2}\;{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right]dx=\displaystyle \int _{\theta =-{\frac {\pi }{2}}}^{\theta ={\frac {\pi }{2}}}\left[{\dfrac {R^{4}\;\cos ^{4}\!\left(\theta \right)}{3}}+z^{2}\;R^{2}\;\cos ^{2}\!\left(\theta \right)\right]d\theta$ , ce qui s'intègre en passant à l'angle double selon $\;\cos ^{2}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1+\cos \!\left(2\;\theta \right)}{2}}\;$ $\;\cos ^{2}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1+\cos \!\left(2\;\theta \right)}{2}}\;$ et $\;\cos ^{4}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1+2\;\cos \!\left(2\;\theta \right)+\cos ^{2}\!\left(2\;\theta \right)}{4}}={\dfrac {3+4\;\cos \!\left(2\;\theta \right)+\cos \!\left(4\;\theta \right)}{8}}$ $\;\cos ^{4}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1+2\;\cos \!\left(2\;\theta \right)+\cos ^{2}\!\left(2\;\theta \right)}{4}}={\dfrac {3+4\;\cos \!\left(2\;\theta \right)+\cos \!\left(4\;\theta \right)}{8}}$ $\;{\bigg \{}$ $\;{\bigg \{}$ en utilisant $\;\cos ^{2}\!\left(2\;\theta \right)=$ $\;\cos ^{2}\!\left(2\;\theta \right)=$ ${\dfrac {1+\cos \!\left(4\;\theta \right)}{2}}{\bigg \}}$ ${\dfrac {1+\cos \!\left(4\;\theta \right)}{2}}{\bigg \}}$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $A={\dfrac {R^{4}}{3}}\left[{\dfrac {3}{8}}\;\theta +\sin \!\left(2\;\theta \right)+{\dfrac {\sin \!\left(4\;\theta \right)}{2}}\right]_{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}+z^{2}\;R^{2}\left[{\dfrac {1}{2}}\;\theta +\sin \!\left(2\;\theta \right)\right]_{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}={\dfrac {R^{4}}{3}}\left[{\dfrac {3\;\pi }{8}}+0+0\right]+z^{2}\;R^{2}\left[{\dfrac {\pi }{2}}+0\right]$ $A={\dfrac {R^{4}}{3}}\left[{\dfrac {3}{8}}\;\theta +\sin \!\left(2\;\theta \right)+{\dfrac {\sin \!\left(4\;\theta \right)}{2}}\right]_{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}+z^{2}\;R^{2}\left[{\dfrac {1}{2}}\;\theta +\sin \!\left(2\;\theta \right)\right]_{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}={\dfrac {R^{4}}{3}}\left[{\dfrac {3\;\pi }{8}}+0+0\right]+z^{2}\;R^{2}\left[{\dfrac {\pi }{2}}+0\right]$ $={\dfrac {\pi \;R^{4}}{8}}+{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}\;z^{2}\;$ $={\dfrac {\pi \;R^{4}}{8}}+{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}\;z^{2}\;$ soit $\;J_{Gx}=2\;\mu _{0}\!\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\left\lbrace {\dfrac {\pi \;R^{4}}{8}}+{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}\;z^{2}\right\rbrace dz$ $\;J_{Gx}=2\;\mu _{0}\!\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\left\lbrace {\dfrac {\pi \;R^{4}}{8}}+{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}\;z^{2}\right\rbrace dz$ $=\mu _{0}\left[{\dfrac {\pi \;R^{4}}{4}}\;z+\pi \;R^{2}\;{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{-{\frac {H}{2}}}^{\frac {H}{2}}=\mu _{0}\;\pi \;R^{2}\left({\dfrac {R^{2}\;H}{4}}+{\dfrac {H^{3}}{3}}\right)\;$ $=\mu _{0}\left[{\dfrac {\pi \;R^{4}}{4}}\;z+\pi \;R^{2}\;{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{-{\frac {H}{2}}}^{\frac {H}{2}}=\mu _{0}\;\pi \;R^{2}\left({\dfrac {R^{2}\;H}{4}}+{\dfrac {H^{3}}{3}}\right)\;$ et finalement, en tenant compte de l'expression de la masse du cylindre $\;m=\pi \;\mu _{0}\;R^{2}\;H$ $\;m=\pi \;\mu _{0}\;R^{2}\;H$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}$ $\;\Delta _{Gx}$ , $\;J_{\Delta _{Gx}}={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}$ $\;J_{\Delta _{Gx}}={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}$ $\;{\big \{}$ $\;{\big \{}$ l'expression de $\;J_{\Delta _{Gy}}\;$ $\;J_{\Delta _{Gy}}\;$ étant la même ${\big \}}$ ${\big \}}$ ;
rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ $\;\Delta _{Gz}\;$ a été déterminée dans la note « ³⁷ » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « ³⁷ » la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)$ $\;\left({\mathcal {C}}\right)$ .
↑ ^39,0 et ^39,1 L'aire de la surface d'une sphère de rayon $\;R\;$ étant $\;4\;\pi \;R^{2}$ , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑
En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par $\;\Delta _{G}\;$ $\;\Delta _{G}\;$ comme axe de repérage sphérique de pôle $\;G$ $\;G$ , le point $\;M\;$ $\;M\;$ étant alors de coordonnées sphériques $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$ $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$ , on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left(S\right)\;$ $\;\left(S\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ $\;xGy$ , $\;xGz\;$ $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=R\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )$ $\;x=R\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )$ , $\;y=R\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )$ $\;y=R\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )$ , $\;z=R\;\cos(\theta )\;$ $\;z=R\;\cos(\theta )\;$ et $\;dS_{M}=R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$ $\;dS_{M}=R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$ ${\big [}$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage sphérique » du chap. $16$ $16$ , « expressions en paramétrage sphérique (de l'aire élémentaire d'une sphère) » et « les grandes lignes de la méthode d'évaluation (d'une intégrale surfacique) » du même chap. $17{\big ]}{\big \}}$ $17{\big ]}{\big \}}$ :
- $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}(S)=-{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sigma _{0}\,\left[R\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[R\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \right]\\\end{array}}=-\sigma _{0}\;R^{4}\,{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sin ^{3}(\theta )\;\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\theta \;d\varphi \\\end{array}}\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {B}})=-\sigma _{0}\;R^{4}\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{3}(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi =\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\left[\sin(\varphi )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\varphi )}{2}}\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,
- $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sigma _{0}\,\left[R\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \right]\\\end{array}}=-\sigma _{0}\;R^{4}\,{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;\cos(\varphi )\;d\theta \;d\varphi \\\end{array}}\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-\sigma _{0}\;R^{4}\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi =\left[\sin(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,
- $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sigma _{0}\,\left[R\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \right]\\\end{array}}=-\sigma _{0}\;R^{4}\,{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;\sin(\varphi )\;d\theta \;d\varphi \\\end{array}}\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-\sigma _{0}\;R^{4}\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi =\left[-\cos(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ .
↑ En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par $\;\Delta _{G}\;$ comme axe de repérage sphérique de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées sphériques $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{G}\;$ se calcule par $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)=J_{Gz}=\left.{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sigma _{0}\,\left[R\;\sin \!\left(\theta \right)\right]^{2}\left[R^{2}\;\sin \!\left(\theta \right)\;d\theta \;d\varphi \right]\\\end{array}}\right.\!$ , $\;{\big \{}$ on utilise $\;\rho =R\;\sin(\theta )\;$ et $\;dS_{M}=R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique » du chap. $16$ et « expressions en paramétrage sphérique (de l'aire élémentaire d'une sphère) » du chap. $17{\big ]}{\big \}}$ ;
la fonction à intégrer ne dépendant pas de la longitude $\;\varphi \;$ on peut prendre une forme semi-intégrée de l'élément de surface correspondant à l'intégration sur $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\;\pi \;$ soit $\;dS_{\text{semi-intég}}=$ $2\;\pi \;R^{2}\;\sin \!\left(\theta \right)\;d\theta$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « notion de surface élémentaire semi-intégrée (1^er sous paragraphe) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , d'où $\;J_{Gz}=$ $2\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\!\left(\theta \right)\;d\theta \;$ dans laquelle $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\!\left(\theta \right)\;d\theta =$ $\displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\left[1-\cos ^{2}\!\left(\theta \right)\right]d\left[-\cos \!\left(\theta \right)\right]=\left[-\cos \!\left(\theta \right)+{\dfrac {\cos ^{3}\!\left(\theta \right)}{3}}\right]_{0}^{\pi }=\left(1-{\dfrac {1}{3}}\right)-\left(-1+{\dfrac {1}{3}}\right)={\dfrac {4}{3}}\;$ $\Rightarrow$ $\;J_{Gz}=2\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}\;{\dfrac {4}{3}}=$ ${\dfrac {8\;\pi }{3}}\;\sigma _{0}\;R^{4}\;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse de la sphère $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{G}$ , $\;J_{\Delta _{G}}={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{G}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left(S\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux à celui relativement à $\;(Gz)\;$ $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left(S\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J(S)\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{G}}&0&0\\0&J_{\Delta _{G}}&0\\0&0&J_{\Delta _{G}}\end{array}}\right]=J_{\Delta _{G}}\;\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;\left[I_{3}\right]\;$ » $\;{\big \{}$ « $\;\left[I_{3}\right]\;$ » étant la matrice identité ${\big \}}$ ..
↑ ^42,0 ^42,1 et ^42,2 L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon $\;R\;$ et de longueur $\;H\;$ étant $\;2\;\pi \;R\;H$ , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^43,0 et ^43,1
En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par l'axe de révolution $\;\Delta _{Gz}\;$ $\;\Delta _{Gz}\;$ comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle $\;G$ $\;G$ , le point $\;M\;$ $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,z\right)$ $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,z\right)$ on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ $\;xGy$ , $\;xGz\;$ $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=R\;\cos(\theta )$ $\;x=R\;\cos(\theta )$ , $\;y=R\;\sin(\theta )\;$ $\;y=R\;\sin(\theta )\;$ et $\;dS_{M}=R\;d\theta \;dz\;$ $\;dS_{M}=R\;d\theta \;dz\;$ ${\big [}$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ $16$ , « expressions en paramétrage cylindro-polaire (de l'aire élémentaire de la surface d'un tuyau cylindrique) » et « les grandes lignes de la méthode d'évaluation (d'une intégrale surfacique) » du même chap. $17{\big ]}{\big \}}$ $17{\big ]}{\big \}}$ :
- $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;x\;y\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R\;\sin(\theta )\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {T}})=-\sigma _{0}\;R^{3}\left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =$ $\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,
- $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;x\;z\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[z\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {T}})=$ $-\sigma _{0}\;R^{2}\left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta =\left[\sin(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,
- $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;y\;z\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\left[R\;\sin(\theta )\right]\left[z\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {T}})=$ $-\sigma _{0}\;R^{2}\left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta =\left[-\cos(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ .
↑ En effet, chaque pseudo-point $\;{\big [}$ c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)$ , d'aire $\;dS_{M}\;$ et de masse $\;dm=\sigma _{0}\;dS_{M}{\big ]}\;$ étant à la même distance $\;R\;$ de l'axe $\;\Delta _{Gz}$ , le moment principal d'inertie de $\;{\mathcal {T}}\;$ relativement à $\;\Delta _{Gz}\;$ défini selon $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;R^{2}\;dS_{M}\;$ se réécrit $\;J_{Gz}=\sigma _{0}\;R^{2}\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}dS_{M}=\sigma _{0}\;R^{2}\left[2\;\pi \;R\;H\right]=\left[\sigma _{0}\;2\;\pi \;R\;H\right]R^{2}=m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{Gz}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux de valeur commune $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$ déterminée dans la note « ⁴⁵ » plus bas dans ce chapitre $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J({\mathcal {T}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{Gx}}&0&0\\0&J_{\Delta _{Gy}}&0\\0&0&J_{\Delta _{Gz}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}&0&0\\0&{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}&0\\0&0&m\;R^{2}\end{array}}\right]\;$ »..
↑
En effet, choisissant $\;\Delta _{Gx}\;$ $\;\Delta _{Gx}\;$ comme axe passant par $\;G\;$ $\;G\;$ et $\;\perp \;$ $\;\perp \;$ à l'axe de révolution, puis utilisant a priori le repérage cylindro-polaire de pôle $\;G\;$ $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$ $\;{\overrightarrow {Gz}}$ , le point $\;M\;$ $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,z\right)$ $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,z\right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}\;$ $\;\Delta _{Gx}\;$ se calcule par l'intégrale surfacique $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $J_{Gx}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\,\left[R^{2}\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)+z^{2}\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]$ $J_{Gx}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\,\left[R^{2}\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)+z^{2}\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]$ $\;{\big \{}$ $\;{\big \{}$ la distance de $\;M\;$ $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gx}\;$ $\;\Delta _{Gx}\;$ étant $\;MH={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\;$ $\;MH={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\;$ avec $\;H\;$ $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ $\;M\;$ sur $\;\Delta _{Gx}\;$ $\;\Delta _{Gx}\;$ et $\;y=R\;\sin \!\left(\theta \right){\big \}}\;$ $\;y=R\;\sin \!\left(\theta \right){\big \}}\;$ ensuite,
par la méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on évalue l'intégrale surfacique
- en figeant tout d'abord $\;z\;$ et en intégrant sur $\;\theta \;$ de $\;-\pi \;$ à $\;+\pi \;$ puis
- en intégrant sur $\;z\;$ de $\;-{\dfrac {H}{2}}\;$ à $\;{\dfrac {H}{2}}\;$ soit
$\;J_{Gx}=\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\sigma _{0}\left\lbrace R^{3}\left[\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \right]+z^{2}\;R\left[\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }d\theta \right]\right\rbrace dz\;$ $\;J_{Gx}=\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\sigma _{0}\left\lbrace R^{3}\left[\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \right]+z^{2}\;R\left[\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }d\theta \right]\right\rbrace dz\;$ dans laquelle $\;A=\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \;$ $\;A=\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \;$ s'intègre en passant à l'angle double selon $\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1-\cos \!\left(2\;\theta \right)}{2}}\;$ $\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1-\cos \!\left(2\;\theta \right)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\;A=\left[{\dfrac {\theta }{2}}-{\dfrac {\sin \!\left(2\;\theta \right)}{4}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=\left[\pi +0\right]=\pi \;$ $\;A=\left[{\dfrac {\theta }{2}}-{\dfrac {\sin \!\left(2\;\theta \right)}{4}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=\left[\pi +0\right]=\pi \;$ soit $\;J_{Gx}=\sigma _{0}\!\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\left\lbrace \pi \;R^{3}+2\;\pi \;R\;z^{2}\right\rbrace dz=\sigma _{0}\;\pi \;R\left[R^{2}\;z+2\;{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{-{\frac {H}{2}}}^{\frac {H}{2}}=\sigma _{0}\;\pi \;R\left(R^{2}\;H+{\dfrac {H^{3}}{6}}\right)\;$ $\;J_{Gx}=\sigma _{0}\!\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\left\lbrace \pi \;R^{3}+2\;\pi \;R\;z^{2}\right\rbrace dz=\sigma _{0}\;\pi \;R\left[R^{2}\;z+2\;{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{-{\frac {H}{2}}}^{\frac {H}{2}}=\sigma _{0}\;\pi \;R\left(R^{2}\;H+{\dfrac {H^{3}}{6}}\right)\;$ et finalement, en tenant compte de l'expression de la masse du tuyau cylindrique $\;m=2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H$ $\;m=2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}$ $\;\Delta _{Gx}$ , $\;J_{\Delta _{Gx}}=$ $\;J_{\Delta _{Gx}}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}$ ;
rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ $\;\Delta _{Gz}\;$ a été déterminée dans la note « ⁴⁴ » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « ⁴⁴ » la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)$ $\;\left({\mathcal {T}}\right)$ .
↑ ^46,0 ^46,1 ^46,2 et ^46,3 On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.
↑ ^47,0 ^47,1 et ^47,2 L'aire de la surface d'un disque de rayon $\;R\;$ étant $\;\pi \;R^{2}$ , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^48,0 et ^48,1
En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par l'axe de révolution $\;\Delta _{Gz}\;$ $\;\Delta _{Gz}\;$ comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle $\;G$ $\;G$ , le point $\;M\;$ $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,0\right)$ $\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,0\right)$ on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ $\;xGy$ , $\;xGz\;$ $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=\rho \;\cos(\theta )$ $\;x=\rho \;\cos(\theta )$ , $\;y=\rho \;\sin(\theta )\;$ $\;y=\rho \;\sin(\theta )\;$ et $\;dS_{M}=\rho \;d\theta \;d\rho \;$ $\;dS_{M}=\rho \;d\theta \;d\rho \;$ ${\big [}$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ $16$ , « expressions en paramétrage cylindro-polaire (de l'aire élémentaire d'un disque) » et « les grandes lignes de la méthode d'évaluation (d'une intégrale surfacique) » du même chap. $17{\big ]}{\big \}}$ $17{\big ]}{\big \}}$ :
- $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {D}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;x\;y\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\left[\rho \;\cos(\theta )\right]\left[\rho \;\sin(\theta )\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {D}})=-\sigma _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{3}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =$ $\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,
- « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {D}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;x\;z\;dS_{M}=0\;$ » car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)$ ,
- « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {D}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;y\;z\;dS_{M}=0\;$ » car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)$ .
↑ En effet, choisissant le repérage polaire des points du disque, chaque pseudo-point $\;{\big [}$ c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)$ , d'aire $\;dS_{M}\;$ et de masse $\;dm=\sigma _{0}\;dS_{M}{\big ]}\;$ étant à la distance $\;\rho$ $\;{\big (}$ rayon polaire de $\;M{\big )}\;$ de l'axe $\;\Delta _{Gz}$ , le moment principal d'inertie de $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à $\;\Delta _{Gz}\;$ défini selon $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;\rho ^{2}\;dS_{M}\;$ se réécrit, avec $\;dS_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta$ , selon $\;J_{Gz}$ $=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{3}\;d\rho \times \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }d\theta$ $\;{\big \{}$ car les bornes d'intégration étant des constantes, les intégrales simples ne sont pas emboîtées $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}{\big \}}\;$ $\Rightarrow$ $\;J_{Gz}=\sigma _{0}\;{\dfrac {R^{4}}{4}}\;2\;\pi ={\dfrac {1}{2}}\;\sigma _{0}\;\pi \;R^{2}\;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse du disque $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gz}$ , $\;J_{\Delta _{Gz}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{Gz}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux de valeur commune $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}\;$ déterminée dans la note « ⁵⁰ » plus bas dans ce chapitre $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J({\mathcal {D}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{Gx}}&0&0\\0&J_{\Delta _{Gy}}&0\\0&0&J_{\Delta _{Gz}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}&0&0\\0&{\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}&0\\0&0&{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\end{array}}\right]\;$ »..
↑
En effet, choisissant $\;\Delta _{Gx}\;$ $\;\Delta _{Gx}\;$ comme axe passant par $\;G\;$ $\;G\;$ et $\;\perp \;$ $\;\perp \;$ à l'axe du disque, puis utilisant a priori le repérage polaire de pôle $\;G\;$ $\;G\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Gx}}$ $\;{\overrightarrow {Gx}}$ , le point $\;M\;$ $\;M\;$ étant alors de coordonnées polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)$ $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}\;$ $\;\Delta _{Gx}\;$ se calcule par l'intégrale surfacique $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{Gx}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\,\left[\rho ^{2}\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)\right]\left[\rho \;d\rho \;d\theta \right]\;$ $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{Gx}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\,\left[\rho ^{2}\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)\right]\left[\rho \;d\rho \;d\theta \right]\;$ dans laquelle la distance de $\;M\;$ $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gx}\;$ $\;\Delta _{Gx}\;$ est $\;y=\rho \;\sin \!\left(\theta \right)$ $\;y=\rho \;\sin \!\left(\theta \right)$ , le contenu du 2^ème crochet étant l'aire élémentaire $\;dS_{M}$ $\;dS_{M}$ ;
on utilise la méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
- en figeant tout d'abord $\;\rho \;$ et en intégrant sur $\;\theta \;$ de $\;-\pi \;$ à $\;+\pi \;$ puis
- en intégrant sur $\;\rho \;$ de $\;0\;$ à $\;R\;$ soit
$\;J_{Gx}=\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\sigma _{0}\left\lbrace \rho ^{3}\left[\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \right]\right\rbrace d\rho =\sigma _{0}\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{3}\;d\rho \times \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta$ $\;J_{Gx}=\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\sigma _{0}\left\lbrace \rho ^{3}\left[\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \right]\right\rbrace d\rho =\sigma _{0}\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{3}\;d\rho \times \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta$ $\;{\big \{}$ $\;{\big \{}$ car les bornes d'intégration étant des constantes, les intégrales simples ne sont pas emboîtées $\;{\big [}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}{\big \}}\;$ ${\big ]}{\big \}}\;$ dans laquelle $\;A=\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \;$ $\;A=\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \;$ s'intègre en passant à l'angle double selon $\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1-\cos \!\left(2\;\theta \right)}{2}}\;$ $\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1-\cos \!\left(2\;\theta \right)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\;A=\left[{\dfrac {\theta }{2}}-{\dfrac {\sin \!\left(2\;\theta \right)}{4}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=$ $\;A=\left[{\dfrac {\theta }{2}}-{\dfrac {\sin \!\left(2\;\theta \right)}{4}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=$ $\left[\pi +0\right]=\pi \;$ $\left[\pi +0\right]=\pi \;$ $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\;J_{Gx}=\sigma _{0}\;{\dfrac {R^{4}}{4}}\;\pi \;$ $\;J_{Gx}=\sigma _{0}\;{\dfrac {R^{4}}{4}}\;\pi \;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse du disque $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}$ $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}$ $\;\Delta _{Gx}$ , $\;J_{\Delta _{Gx}}={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}$ $\;J_{\Delta _{Gx}}={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}$ ;
rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ $\;\Delta _{Gz}\;$ a été déterminée dans la note « ⁴⁹ » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « ⁴⁹ » la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {D}}\right)$ $\;\left({\mathcal {D}}\right)$ .
↑ ^51,0 et ^51,1
En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ $\;\Delta _{Gz}\;$ du cercle comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle $\;G$ $\;G$ , le point $\;M\;$ $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,0\right)$ $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,0\right)$ on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ $\;xGy$ , $\;xGz\;$ $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=R\;\cos(\theta )$ $\;x=R\;\cos(\theta )$ , $\;y=R\;\sin(\theta )\;$ $\;y=R\;\sin(\theta )\;$ et $\;d{\mathit {l}}_{M}=R\;d\theta \;$ $\;d{\mathit {l}}_{M}=R\;d\theta \;$ ${\big [}$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ $16$ et « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. $15{\big ]}{\big \}}$ $15{\big ]}{\big \}}$ :
- $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}=-\lambda _{0}\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R\;\sin(\theta )\right]\left[R\;d\theta \right]=-\lambda _{0}\;R^{3}\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =-\lambda _{0}\;R^{3}\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=-\lambda _{0}\;R^{3}\;\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }\;$ soit finalement « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=0\;$ »,
- « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)$ ,
- « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)$ .
↑ En effet, chaque pseudo-point $\;{\big [}$ c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)$ , de longueur $\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ et de masse $\;dm=\lambda _{0}\;d{\mathit {l}}_{M}{\big ]}\;$ étant à la même distance $\;R\;$ de l'axe $\;\Delta _{Gz}$ , le moment principal d'inertie de $\;{\mathcal {C}}\;$ relativement à $\;\Delta _{Gz}\;$ défini selon $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;R^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ se réécrit $\;J_{Gz}=\lambda _{0}\;R^{2}\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}d{\mathit {l}}_{M}=\lambda _{0}\;R^{2}\left[2\;\pi \;R\right]=\left[\lambda _{0}\;2\;\pi \;R\right]R^{2}=m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{Gz}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux de valeur commune $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ déterminée dans la note « ⁵³ » plus bas dans ce chapitre $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J({\mathcal {C}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{Gx}}&0&0\\0&J_{\Delta _{Gy}}&0\\0&0&J_{\Delta _{Gz}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}&0&0\\0&{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}&0\\0&0&m\;R^{2}\end{array}}\right]\;$ »..
↑ En effet, choisissant $\;\Delta _{Gx}\;$ comme axe passant par $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du cercle, puis utilisant a priori le repérage polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Gx}}$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées polaires $\;\left(R\,,\,\theta \right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}\;$ se calcule par l'intégrale curviligne $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{Gx}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\,\left[R^{2}\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)\right]\left[R\;d\theta \right]\;$ dans laquelle la distance de $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gx}\;$ est $\;y=R\;\sin \!\left(\theta \right)$ , le contenu du 2^ème crochet étant la longueur élémentaire $\;d{\mathit {l}}_{M}$ ;
la méthode d'évaluation d'une intégrale curviligne consistant à paramétrer la courbe $\;{\big [}$ voir le paragraphe « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ et le paramétrage en $\;\theta \;$ étant déjà fait, il reste à préciser les bornes d'intégration sur $\;\theta \;$ à savoir de $\;-\pi \;$ à $\;+\pi \;$ soit $\;J_{Gx}=\lambda _{0}\;R^{3}\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \;$ dans laquelle $\;A=\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \;$ s'intègre en passant à l'angle double selon $\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1-\cos \!\left(2\;\theta \right)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;A=\left[{\dfrac {\theta }{2}}-{\dfrac {\sin \!\left(2\;\theta \right)}{4}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=\left[\pi +0\right]=\pi \;$ $\Rightarrow$ $\;J_{Gx}=\lambda _{0}\;R^{3}\;\pi \;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse du cercle $\;m=2\;\pi \;\lambda _{0}\;R$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}$ , $\;J_{\Delta _{Gx}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}$ ;
rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ a été déterminée dans la note « ⁵² » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « ⁵² » la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {D}}\right)$ .
↑ ^54,0 et ^54,1
En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par le support de la tige comme axe de repérage cartésien d'origine $\;G$ $\;G$ , le point $\;M\;$ $\;M\;$ étant alors de coordonnées cartésiennes $\;\left(0\,,\,0\,,\,z\right)$ $\;\left(0\,,\,0\,,\,z\right)$ on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ $\;xGy$ , $\;xGz\;$ $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ $\;yGz\;$ sont nuls :
- $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ » car $\;\left(x=0\,,\,y=0\right)\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)$ ,
- « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;x=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)$ ,
- « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;y=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)$ .
↑ En effet, chaque pseudo-point $\;{\big [}$ c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)$ , de longueur $\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ et de masse $\;dm=\lambda _{0}\;d{\mathit {l}}_{M}{\big ]}\;$ étant à la même distance nulle de l'axe $\;\Delta _{Gz}$ , le calcul du moment principal d'inertie de $\;{\mathcal {T}}\;$ relativement à $\;\Delta _{Gz}\;$ donne $\;0\;\ldots$
↑ En effet, choisissant $\;\Delta _{Gx}\;$ comme axe passant par $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de la tige, puis utilisant a priori le repérage cartésien d'origine $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de cote $\;z$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}\;$ se calcule par l'intégrale curviligne $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=J_{Gx}=$ $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;z^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}$ , la distance de $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gx}\;$ étant $\;z\;$ et $\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ s'identifiant à $\;dz$ ;
la méthode d'évaluation d'une intégrale curviligne consistant à paramétrer la courbe $\;{\big [}$ voir le paragraphe « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ et le paramétrage en $\;z\;$ étant déjà fait, il reste à préciser les bornes d'intégration sur $\;z\;$ de $\;-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ à $\;+{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ ce qui donne ici $\;J_{Gx}=$ $\lambda _{0}\displaystyle \int _{-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{+{\frac {\mathit {l}}{2}}}z^{2}\;dz=\lambda _{0}\left[{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{+{\frac {\mathit {l}}{2}}}=\lambda _{0}\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,3}}{12}}\;$ soit, avec l'expression de la masse de la tige rectiligne $\;m=\lambda _{0}\;{\mathit {l}}$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}$ , « $\;J_{\Delta _{Gx}}={\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;$ » ;
compte-tenu du fait que la valeur nulle du moment dinertie de la tige rectiligne relativement à son support $\;\Delta _{Gz}\;$ a été déterminée dans la note « ⁵⁵ » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ selon « $\;\left[J({\mathcal {T}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{Gx}}&0&0\\0&J_{\Delta _{Gy}}&0\\0&0&J_{\Delta _{Gz}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}&0&0\\0&{\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}&0\\0&0&0\end{array}}\right]\;$ ».
↑ ^57,0 et ^57,1 En général ce point est le centre d'inertie du solide.
↑ Voir le paragraphe « présentation (de la notion de volume élémentaire semi-intégré, 1^er sous-paragraphe) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^59,0 et ^59,1 Voir le paragraphe « notion de surface élémentaire semi-intégrée (3^ème sous-paragraphe) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)

Les tenseurs

Notion d'angle solide

[solide-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 et ^1,5 Au sens de la mécanique des systèmes de points matériels c'est-à-dire un système de points matériels indéformable.

[tenseur_d'ordre_deux-2] Voir le paragraphe « construction de tenseurs d'ordre deux » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

[définition_de_W-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 et ^3,4 $\;W\;$ étant la direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien utilisé en physique $\;\ldots$

[carré_scalaire_en_tant_que_carré_contracté_de_tenseurs_d'ordre_un-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 et ^4,4 La note ci-dessous est rédigée à partir du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ mais elle reste applicable au vecteur $\;{\vec {r}}_{k}$ ;
le carré scalaire $\;{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ est aussi un « crochet de dualité » $\;\langle {\text{?}}\,,\,{\text{?}}\rangle \;$ défini sur $\;W^{*}\times W$ $\;{\Big [}$ c'est-à-dire une forme bilinéaire non dégénérée construite ici à l'aide de la multiplication scalaire sur $\;W$ $\;{\big (}$ direction de l'espace affine tridimensionnel euclidien ${\big )}\;$ telle qu’au vecteur $\;{\vec {u}}\in W\;$ on associe le covecteur “ $\;{\vec {u}}\,\cdot \;\in W^{*}\;$ ” $\;{\big (}$ un covecteur de $\;W^{*}$ , lequel est le dual de $\;W$ , étant encore une forme linéaire de ce dernier ${\big )}$ , le « crochet de dualité » entre le covecteur “ $\;{\vec {u}}\,\cdot \;\in W^{*}\;$ ” et le vecteur $\;{\vec {v}}\;\in W\;$ étant défini par $\;\langle {\vec {u}}\;\cdot \,,\,{\vec {v}}\rangle ={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\;\in \mathbb {R}$ , $\;{\Big \{}$ de façon plus générale le « crochet de dualité » entre un covecteur $\;\varphi$ $\;{\big (}$ c'est-à-dire une forme linéaire de $\;W{\big )}\;$ et un vecteur $\;{\vec {v}}\;$ s'évalue selon $\;\langle \varphi \,,\,{\vec {v}}\rangle =\varphi ({\vec {v}})\in \mathbb {R} {\Big \}}{\Big ]}\;$ soit, en « notant $\;{\overset {\sim }{r}}\;$ le covecteur “ $\;{\vec {r}}\,\cdot \;$ ” associé au vecteur $\;{\vec {r}}\;$ », la réécriture du carré scalaire selon « $\;{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}$ $=\langle {\overset {\sim }{r}}\,,\,{\vec {r}}\rangle ={\overset {\sim }{r}}({\vec {r}})\;$ » ;
d'autre part on a défini dans le paragraphe « produit contracté de deux tenseurs » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » le produit contracté d'un tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant $\;{\overset {\sim }{u}}\in W^{*}\;$ et d'un tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\;{\vec {v}}\in W\;$ que l'on note $\;{\overset {\sim }{u}}\odot {\vec {v}}\;\in \mathbb {R}$ $\;{\Big [}$ le produit contracté de ces deux tenseurs d'ordre $\;1\;$ s'obtient en formant leur produit tensoriel $\;{\overset {\sim }{u}}\otimes {\vec {v}}\;\in W^{*}\otimes W$ $\;{\big (}$ l'espace des tenseurs d'ordre $\;2\;$ monocovariant et monocontravariant ${\big )}\;$ et en contractant ce tenseur d'ordre $\;2\;$ $\;{\big (}$ c'est-à-dire en déterminant les $\;9\;$ composantes de ce tenseur à présenter en matrice $\;3\,{\text{x}}\,3\;$ et en en prenant la trace c'est-à-dire en faisant la somme de ses éléments diagonaux ${\big )}\;$ ce qui donne un tenseur d'ordre $\;2-2=0\;$ c'est-à-dire un scalaire ${\Big ]}$ , soit ici $\;{\overset {\sim }{r}}\odot {\vec {r}}={\overset {\sim }{r}}({\vec {r}})\;$ comme cela a été établi dans le 1^er exemple du paragraphe précité « produit contracté de deux tenseurs » ;
en conclusion le carré scalaire $\;{\vec {r}}^{2}={\vec {r}}\cdot {\vec {r}}\;$ est égal au produit contracté du covecteur $\;{\overset {\sim }{r}}\;$ et du vecteur $\;{\vec {r}}\;$ soit $\;{\vec {r}}^{2}={\overset {\sim }{r}}\odot {\vec {r}}$ .

[tenseurs_de_Kronecker-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 et ^5,5 Le tenseur contravariant de Kronecker $\;\delta \;$ est, comme les deux autres tenseurs de Kronecker $\;{\big (}$ également notés $\;\delta {\big )}\;$ l'un étant covariant et l'autre “ mixte ” $\;{\big (}$ c'est-à-dire monocontravariant et monocovariant ${\big )}$ , un tenseur d'ordre $\;2$ ,
il est défini relativement à la base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{j}\right\rbrace _{\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]}\;$ de l'espace vectoriel $\;W^{\,\otimes \,2}\;$ auquel il appartient $\;{\big [}$ voir la note « ⁹³ » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}\;$ par $\;\delta =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}$ , ce tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant étant aussi une forme bilinéaire de $\;W^{2}$ ,
son application sur chaque couple $\;\left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)\;$ de vecteurs de base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{i}=\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[\,1\,,\,3\,\right]\right]}\;$ de $\;W\;$ conduit à « $\;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}\right\rbrace \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{i}\right\rbrace \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)$ $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\langle {\overset {\sim }{u}}_{i}\,,\,{\vec {u}}_{l}\rangle \;\langle {\overset {\sim }{u}}_{i}\,,\,{\vec {u}}_{m}\rangle \;$ » $\;{\big [}$ en notant « $\;{\overset {\sim }{r}}\;$ le covecteur “ $\;{\vec {r}}\,\cdot \;$ ” associé au vecteur $\;{\vec {r}}\;$ », $\;{\big (}$ avec la multiplication scalaire définie sur $\;W\;$ notée « $\;\cdot \;$ » ${\big )}{\big ]}\;$ soit encore « $\;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\delta _{i,\,l}\;\delta _{i,\,m}$ $=\delta _{l,\,m}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;l\neq m\\1\;{\text{si }}\;l=m\end{array}}\right\rbrace \;\;\forall \;\left(l\,,\,m\right)\in \left\lbrace \left[\left[1\,,\,3\right]\right]\right\rbrace ^{2}\;$ » $\;{\big [}\delta _{l,\,m}\;$ étant le symbole de Kronecker ${\big ]}\;$ et
son application sur le couple $\;\left({\vec {u}}=\sum \limits _{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;{\vec {u}}_{l}\;\in W\,,\,{\vec {v}}=\sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}v_{m}\;{\vec {u}}_{m}\;\in W\right)$ , « $\;\delta \left({\vec {u}}\,,\,{\vec {v}}\right)=\sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}^{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{m}\;\delta \left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\right)=$ $\sum \limits _{m\,=\,1\,..\,3}^{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{m}\;\delta _{l,\,m}=\sum \limits _{l\,=\,1\,..\,3}u_{l}\;v_{l}={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[Kronecker-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 ^6,3 ^6,4 et ^6,5 Leopold Kronecker (1823 - 1891) mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en $\;1850\;$ la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'équation quintique en utilisant la théorie des groupes.

[composantes_du_tenseur_d'inertie_d'un_point_matériel-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 et ^7,3 Voir le paragraphe « détermination des composantes du tenseur d'inertie d'un point matériel sur la base orthonormée de l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre deux contravariants défini sur le corps des réels » plus haut dans ce chapitre.

[choix_sans_influence-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 et ^8,3 Mais ce choix n'a aucune influence car les composantes du tenseur d'inertie du solide $\;({\mathcal {S}})\;$ étant invariantes par permutation des indices, la matrice le représentant est symétrique et par suite nous aurions eu la même matrice en ayant supposé que le numéro de ligne correspondît à la place du 2^ème indice dans son ensemble ordonné de valeurs $\;\left\lbrace x\,,\,y\,,\,z\right\rbrace \;\ldots$

[constituants_du_solide-9] Le solide est le système indéformable des points matériels $\;\left\lbrace M_{k}\;\left(m_{k}\right),\;k\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right],\;\left[M_{l}M_{m}\right]=cste\;\;\forall \;\left(l\,,\,m\right)\;\in \;\left[\left[1\,,\,N\right]\right]^{2}\right\rbrace$ .

[représentation_d'un_endomorphisme_par_une_matrice_carrée-10] Voir le paragraphe « 2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C) $\;{\big \{}$ cas où les deux espaces vectoriels sont confondus avec $\;B=C$ $\;{\big (}$ l'application linéaire étant alors un endomorphisme ${\big )}\;$ et $\;m=n=3{\big \}}\;$ » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

[autre_notation_de_l'ensemble_des_endomorphismes_d'un_espace_vectoriel-11] L'ensemble des endomorphismes de $\;W\;$ est un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel noté $\;L_{\mathbb {R} }(W)\;$ ou encore $\;\mathrm {End} _{\mathbb {R} }(W)\;$ mais le plus souvent on se contente de $\;L(W)$ .

[notation_de_matrice_représentant_un_endomorphisme-12] Voir les notations du paragraphe « 2^ème interprétation linéaire d'une matrice de dimension (ou taille) (m , n), matrice d'une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension n de base B dans un autre espace vectoriel de dimension m de base C dans le couple de bases (B,C) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

[justification_endomorphisme_autoadjoint-13] Voir le paragraphe « décomposition spectrale de l'article Matrice symétrique de wikipédia » dans lequel il est précisé la prorpiété suivante « dans un espace euclidien, une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique ssi l'endomorphisme est autoadjoint ».

[justification_du_caractère_autoadjoint_d'un_endomorphisme_représenté_par_une_matrice_symétrique-14] Soit la matrice carrée $\;3\;{\text{x}}\;3\;$ symétrique $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}a&d&e\\d&b&f\\e&f&c\end{array}}\right]\;$ représentant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace$ , les matrices colonnes de $\;\left[A\right]\;$ étant les composantes de $\;\left\lbrace \varphi ({\vec {u}}_{x})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{y})\,,\,\varphi ({\vec {u}}_{z})\right\rbrace \;$ sur la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi ({\vec {u}}_{x})=a\;{\vec {u}}_{x}+d\;{\vec {u}}_{y}+e\;{\vec {u}}_{z}\\\varphi ({\vec {u}}_{y})=d\;{\vec {u}}_{x}+b\;{\vec {u}}_{y}+f\;{\vec {u}}_{z}\\\varphi ({\vec {u}}_{z})=e\;{\vec {u}}_{x}+f\;{\vec {u}}_{y}+c\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi ({\vec {w}})=\varphi (w_{x}\;{\vec {u}}_{x}+w_{y}\;{\vec {u}}_{y}+w_{z}\;{\vec {u}}_{z})=w_{x}\;\varphi ({\vec {u}}_{x})+w_{y}\;\varphi ({\vec {u}}_{y})+w_{z}\;\varphi ({\vec {u}}_{z})\\\varphi ({\vec {v}})=\varphi (v_{x}\;{\vec {u}}_{x}+v_{y}\;{\vec {u}}_{y}+v_{z}\;{\vec {u}}_{z})=v_{x}\;\varphi ({\vec {u}}_{x})+v_{y}\;\varphi ({\vec {u}}_{y})+v_{z}\;\varphi ({\vec {u}}_{z})\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, par multiplication scalaire avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {v}}\\{\text{ou}}\\{\vec {w}}\end{array}}\right\rbrace$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})\\{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\end{array}}\right.$ $\left.{\begin{array}{c}=w_{x}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{x})\right]+w_{y}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{y})\right]+w_{z}\left[{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{z})\right]=w_{x}\left[v_{x}\;a+v_{y}\;d+v_{z}\;e\right]+w_{y}\left[v_{x}\;d+v_{y}\;b+v_{z}\;f\right]+w_{z}\left[v_{x}\;e+v_{y}\;f+v_{z}\;c\right]\\=v_{x}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{x})\right]+v_{y}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{y})\right]+v_{z}\left[{\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {u}}_{z})\right]=v_{x}\left[w_{x}\;a+w_{y}\;d+w_{z}\;e\right]+v_{y}\left[w_{x}\;d+w_{y}\;b+w_{z}\;f\right]+v_{z}\left[w_{x}\;e+w_{y}\;f+w_{z}\;c\right]\end{array}}\right\rbrace$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {v}}\cdot \varphi ({\vec {w}})={\vec {w}}\cdot \varphi ({\vec {v}})\;$ c'est-à-dire le caractère « autoadjoint » de $\;\varphi$ .

[matrices_réelles_adjointes-15] La matrice adjointe $\;\left[A\right]^{*}\;$ d'une matrice $\;\left[A\right]\;$ à cœfficients réels est la matrice transposée $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ de cette dernière $\;{\big \{}$ cette notion n'introduit donc rien de nouveau pour une matrice à cœfficients réels ${\big \}}$ ;
par contre la matrice adjointe $\;\left[A\right]^{*}\;$ d'une matrice $\;\left[A\right]\;$ à cœfficients complexes est définie comme la matrice transconjuguée $\;{\big (}$ c'est-à-dire transposée de la conjuguée ${\big )}\;$ de cette dernière, elle se distingue de $\;^{t\!}\left[A\right]\;$ et son introduction a un intérêt évident ;
une matrice autoadjointe à cœfficients réels étant telle que son adjointe se confond avec elle c'est-à-dire $\;\left[A\right]^{*}=\left[A\right]\;$ ou $\;^{t\!}\left[A\right]=\left[A\right]\;$ est donc aussi une matrice symétrique ;
par contre si une matrice autoadjointe à cœfficients complexes est toujours telle que son adjointe se confond avec elle, cela s'écrit, en notant $\;{\overline {\left[A\right]}}\;$ la matrice conjuguée de $\;\left[A\right]$ , $\;\left[A\right]^{*}=\left[A\right]\;$ ou $\;^{t}{\overline {\left[A\right]}}=\left[A\right]\;$ ce qui nécessite les cœfficients diagonaux de $\;\left[A\right]\;$ réels et ses cœfficients non diagonaux symétriques par rapport à la diagonale principale deux à deux complexes conjugués.

[endomorphisme_auto-adjoint-16] Voir le paragraphe « caractère auto-adjoint de l'endomorphisme représenté par la matrice d'inertie d'un solide, matrice auto-adjointe (définition d'un endomorphisme auto-adjoint dans le dernier paragraphe [entre crochets]) » plus haut dans ce chapitre.

[validité_du_théorème_spectral_en_dimension_finie_pour_les_endomorphismes_d'un_espace_hermitien-17] Le théorème spectral en dimension finie pour les endomorphismes reste applicable si ces derniers sont définis dans un espace hermitien ;
un espace hermitien $\;H\;$ est un $\;\mathbb {C}$ -espace vectoriel de dimension finie, muni d'une multiplication scalaire hermitienne c'est-à-dire une « application $\;\left(\;\vert \;\right)\;:\;H\,\times \,H\mapsto \mathbb {C} \;$ »
telle que « $\;\forall \left(x\,,\,y\right)\,\in H\times H,\;\left(x\,,\,y\right)\,{\overset {\left({\text{?}}\,\vert {\text{?}}\right)}{\longmapsto }}\left(x\,\vert y\,\right)\in \mathbb {C} \;$ »,

sesquilinéaire à gauche c'est-à-dire semi-linéaire par rapport au 1^er argument, le 2^nd étant fixé « $\;\forall \;\lambda \,\in \mathbb {C} ,\;\left(\lambda \;x\,\vert y\,\right)=\lambda ^{*}\,\left(x\,\vert y\,\right)\;$ » $\;{\big [}\lambda ^{*}\;$ étant le conjugué de $\;\lambda {\big ]}$ ,
sesquilinéaire à gauche c'est-à-dire linéaire par rapport au 2^nd argument, le 1^er étant fixé « $\;\forall \;\lambda \,\in \mathbb {C} ,\;\left(x\,\vert \lambda \;y\,\right)=\lambda \,\left(x\,\vert y\,\right)\;$ »,

symétrique hermitienne c'est-à-dire « $\;\forall \left(x\,,\,y\right)\,\in H\times H,\;\left(y\,,\,x\right)=\left(x\,,\,y\right)^{*}\;$ »,

positive c'est-à-dire « $\;\forall \,x\,\in H,\;\left(x\,,\,x\right)\in \mathbb {R} _{+}\;$ » et

définie c'est-à-dire « $\;\left(x\,,\,x\right)=0\rightarrow x=0\;$ ».
Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes othogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, il fut aussi l'un des 1^ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.

[18] telle que « $\;\forall \left(x\,,\,y\right)\,\in H\times H,\;\left(x\,,\,y\right)\,{\overset {\left({\text{?}}\,\vert {\text{?}}\right)}{\longmapsto }}\left(x\,\vert y\,\right)\in \mathbb {C} \;$ »,

[19] sesquilinéaire à gauche c'est-à-dire semi-linéaire par rapport au 1^er argument, le 2^nd étant fixé « $\;\forall \;\lambda \,\in \mathbb {C} ,\;\left(\lambda \;x\,\vert y\,\right)=\lambda ^{*}\,\left(x\,\vert y\,\right)\;$ » $\;{\big [}\lambda ^{*}\;$ étant le conjugué de $\;\lambda {\big ]}$ ,
sesquilinéaire à gauche c'est-à-dire linéaire par rapport au 2^nd argument, le 1^er étant fixé « $\;\forall \;\lambda \,\in \mathbb {C} ,\;\left(x\,\vert \lambda \;y\,\right)=\lambda \,\left(x\,\vert y\,\right)\;$ »,

[20] symétrique hermitienne c'est-à-dire « $\;\forall \left(x\,,\,y\right)\,\in H\times H,\;\left(y\,,\,x\right)=\left(x\,,\,y\right)^{*}\;$ »,

[21] sitive c'est-à-dire « $\;\forall \,x\,\in H,\;\left(x\,,\,x\right)\in \mathbb {R} _{+}\;$ » et

[22] éfinie c'est-à-dire « $\;\left(x\,,\,x\right)=0\rightarrow x=0\;$ ».

[valeurs_propres_d'un_endomorphisme-18] Voir le paragraphe « valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d'un endomorphisme » du chap. $3$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

[signification_de_matrice_carrée_diagonalisable-19] Voir le paragraphe « tentative de diagonalisation d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n » du chap. $3$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

[matrice_orthogonale-20] Une matrice orthogonale $\;\left[P\right]\;$ est une matrice carrée $\;{\big (}3\;{\text{x}}\;3\;$ à cœfficients réels dans le cas présent ${\big )}\;$ unitaire c'est-à-dire telle que « $\;\left[P\right]^{*}\times \left[P\right]=$ $\left[P\right]\times \left[P\right]^{*}=\left[I_{3}\right]\;$ » où $\;\left[P\right]^{*}\;$ est la matrice adjointe de $\;\left[P\right]$ $\;{\big \{}$ ou encore, la matrice étant réelle, « $\;^{t\!}\left[P\right]\times \left[P\right]=\left[P\right]\times ^{\;t\!}\left[P\right]=\left[I_{3}\right]{\big \}}\;$ » ;
une matrice carrée est orthogonale ssi tous ses vecteurs colonnes sont orthogonaux entre eux et de norme unité, une matrice orthogonale représente donc une base orthonormée.

[somme_continue-21] 21,0 ^21,1 ^21,2 et ^21,3 Par intégrale volumique $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[pseudo-point_d'une_expansion_tridimensionnelle-22] 22,0 ^22,1 ^22,2 et ^22,3 Un « pseudo-point » $\;{\big (}$ appellation non normalisée ${\big )}\;$ d'une expansion tridimensionnelle $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {V}}\right)$ , de volume $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ et de masse $\;dm=\mu (M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ dans laquelle $\;\mu (M)\;$ est la masse volumique du milieu en $\;M$ , on admet que l'on peut étendre aux « pseudo-points » les notions introduites sur les points $\;\ldots$

[intégrale_volumique-23] 23,00 ^23,01 ^23,02 ^23,03 ^23,04 ^23,05 ^23,06 ^23,07 ^23,08 ^23,09 ^23,10 ^23,11 ^23,12 ^23,13 ^23,14 ^23,15 ^23,16 ^23,17 et ^23,18 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[somme_continue_-_bis-24] 24,0 ^24,1 ^24,2 et ^24,3 Par intégrale surfacique $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[pseudo-point_d'une_expansion_surfacique-25] 25,0 ^25,1 ^25,2 et ^25,3 Un « pseudo-point » (appellation non normalisée ${\big )}\;$ d'une expansion surfacique $\;\left(S\right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left(S\right)$ , d'aire $\;dS_{M}\;$ et de masse $\;dm=\sigma (M)\;dS_{M}\;$ dans laquelle $\;\sigma (M)\;$ est la masse surfacique du milieu en $\;M$ , on admet que l'on peut étendre aux « pseudo-points » les notions introduites sur les points $\;\ldots$

[intégrale_surfacique-26] 26,00 ^26,01 ^26,02 ^26,03 ^26,04 ^26,05 ^26,06 ^26,07 ^26,08 ^26,09 ^26,10 ^26,11 ^26,12 ^26,13 ^26,14 ^26,15 ^26,16 ^26,17 ^26,18 ^26,19 ^26,20 ^26,21 ^26,22 ^26,23 et ^26,24 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[somme_continue_-_ter-27] 27,0 ^27,1 ^27,2 et ^27,3 Par intégrale curviligne $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[pseudo-point_d'une_expansion_linéique-28] 28,0 ^28,1 ^28,2 et ^28,3 Un « pseudo-point » (appellation non normalisée ${\big )}\;$ d'une expansion linéique $\;\left(\Gamma \right)\;$ est un élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left(\Gamma \right)$ , de longueur $\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ et de masse $\;dm=\lambda (M)\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ dans laquelle $\;\lambda (M)\;$ est la masse linéique du milieu en $\;M$ , on admet que l'on peut étendre aux « pseudo-points » les notions introduites sur les points $\;\ldots$

[intégrale_curviligne-29] 29,00 ^29,01 ^29,02 ^29,03 ^29,04 ^29,05 ^29,06 ^29,07 ^29,08 ^29,09 ^29,10 ^29,11 ^29,12 ^29,13 ^29,14 ^29,15 ^29,16 ^29,17 ^29,18 et ^29,19 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[boule_ou_sphère-30] 30,0 ^30,1 ^30,2 et ^30,3 On rappelle qu'une « boule » est, par définition, « pleine » alors qu'une « sphère » est, par définition, « creuse ».

[volume_d'une_boule-31] 31,0 ^31,1 et ^31,2 Le volume d'une boule de rayon $\;R\;$ étant $\;{\dfrac {4}{3}}\;\pi \;R^{3}$ , voir le paragraphe « exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique (établissement du volume d'une boule de rayon R) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[32] En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par $\;\Delta _{G}\;$ comme axe de repérage sphérique de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées sphériques $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$ , on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ , $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=r\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )$ , $\;y=r\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )$ , $\;z=r\;\cos(\theta )\;$ et $\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage sphérique » du chap. $16$ , « expression en paramétrage sphérique (de l'élément de volume) » et « méthode (de calcul d'une intégrale volumique) se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du même chap. $17{\big ]}{\big \}}$ :
$\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {B}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\left[r\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[r\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes des $\;2\;$ autres variables, l'intégrale volumique est le produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {B}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{r=0}^{r=R}r^{4}\;dr\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{3}(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi =\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\left[\sin(\varphi )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\varphi )}{2}}\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,

$\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\left[r\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[r\;\cos(\theta )\right]\left[r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{r=0}^{r=R}r^{4}\;dr\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi =\left[\sin(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,

$\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\left[r\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[r\;\cos(\theta )\right]\left[r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{r=0}^{r=R}r^{4}\;dr\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi =\left[-\cos(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ .

[38] $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {B}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\left[r\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[r\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes des $\;2\;$ autres variables, l'intégrale volumique est le produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {B}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{r=0}^{r=R}r^{4}\;dr\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{3}(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi =\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\left[\sin(\varphi )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\varphi )}{2}}\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,

[39] $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\left[r\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[r\;\cos(\theta )\right]\left[r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{r=0}^{r=R}r^{4}\;dr\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi =\left[\sin(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,

[40] $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\left[r\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[r\;\cos(\theta )\right]\left[r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{r=0}^{r=R}r^{4}\;dr\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi =\left[-\cos(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ .

[33] En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par $\;\Delta _{G}\;$ comme axe de repérage sphérique de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées sphériques $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{G}\;$ se calcule par $\;J_{\Delta _{G}}\!\left({\mathcal {B}}\right)=J_{Gz}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {V}}_{\mathcal {B}}\right)}\mu _{0}\,\left[r\;\sin \!\left(\theta \right)\right]^{2}\left[r^{2}\;\sin \!\left(\theta \right)\;d\theta \;d\varphi \;dr\right]$ , $\;{\big \{}$ on utilise $\;\rho =r\;\sin(\theta )\;$ et $\;d{\mathcal {V}}_{M}=r^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;dr\;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique » du chap. $16$ et « expression en paramétrage sphérique (de l'élément de volume) » du chap. $17{\big ]}{\big \}}$ ;
la fonction à intégrer ne dépendant pas de $\;\varphi \;$ on peut prendre une forme semi-intégrée de l'élément de volume correspondant à l'intégration sur $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\;\pi \;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « présentation (de la notion de volume élémentaire semi-intégré) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ soit $\;d{\mathcal {V}}_{\text{semi-intég}}=2\;\pi \;r^{2}\;\sin \!\left(\theta \right)\;d\theta \;dr\;$ et les bornes d'intégration sur les deux intégrales restantes étant des constantes, ces intégrales simples ne sont pas emboîtées d'où $\;J_{Gz}=2\;\pi \;\mu _{0}\;\displaystyle \int _{0}^{R}r^{4}\;dr\times \displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\!\left(\theta \right)\;d\theta$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « méthode se ramenant au calcul de trois intégrales (en fait deux ici) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ avec $\;\displaystyle \int _{0}^{R}r^{4}\;dr={\dfrac {R^{5}}{5}}\;$ et $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\!\left(\theta \right)\;d\theta =\displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\left[1-\cos ^{2}\!\left(\theta \right)\right]d\left[-\cos \!\left(\theta \right)\right]=$ $\left[-\cos \!\left(\theta \right)+{\dfrac {\cos ^{3}\!\left(\theta \right)}{3}}\right]_{0}^{\pi }=\left(1-{\dfrac {1}{3}}\right)-\left(-1+{\dfrac {1}{3}}\right)={\dfrac {4}{3}}$ dont on déduit $\;J_{Gz}=$ $2\;\pi \;\mu _{0}\;{\dfrac {R^{5}}{5}}\;{\dfrac {4}{3}}={\dfrac {8\;\pi }{15}}\;\mu _{0}\;R^{5}\;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse de la boule $\;m={\dfrac {4}{3}}\;\pi \;\mu _{0}\;R^{3}$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{G}$ , $\;J_{\Delta _{G}}={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{G}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux à celui relativement à $\;(Gz)\;$ $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {B}}\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J({\mathcal {B}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{G}}&0&0\\0&J_{\Delta _{G}}&0\\0&0&J_{\Delta _{G}}\end{array}}\right]=J_{\Delta _{G}}\;\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]={\dfrac {2}{5}}\;m\;R^{2}\;\left[I_{3}\right]\;$ » $\;{\big \{}$ « $\;\left[I_{3}\right]\;$ » étant la matrice identité ${\big \}}$ .

[Cylindre_ou_tuyau_cylindrique-34] 34,0 ^34,1 et ^34,2 En mathématique un cylindre peut a priori être « plein » ou « creux », toutefois afin de faire une distinction plus aisée, je réserve la terminologie « cylindre » à l’objet plein et en appelant « tuyau cylindrique » l’objet creux.

[volume_d'un_cylindre-35] Le volume d'un cylindre de révolution de rayon $\;R\;$ et de longueur $\;H\;$ étant $\;\pi \;R^{2}\;H$ , voir le paragraphe « exemples de volume d'expansion tridimensionnelle classique (établissement du volume d'un cylindre de révolution de rayon R et de hauteur H) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[produits_d'inertie_de_cylindre_de_révolution-36] 36,0 et ^36,1 En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par l'axe de révolution $\;\Delta _{Gz}\;$ comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)$ on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ , $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=\rho \;\cos(\theta )$ , $\;y=\rho \;\sin(\theta )\;$ et $\;d{\mathcal {V}}_{M}=\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ , « expression en paramétrage cylindro-polaire (de l'élément de volume) » et « méthode (de calcul d'une intégrale volumique) se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du même chap. $17{\big ]}{\big \}}$ :
$\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\mu _{0}\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\left[\rho \;\cos(\theta )\right]\left[\rho \;\sin(\theta )\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes des $\;2\;$ autres variables, l'intégrale volumique est le produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{3}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,

$\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\mu _{0}\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\left[\rho \;\cos(\theta )\right]\left[z\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=$ $-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{2}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta =\left[\sin(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,

$\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\mu _{0}\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\left[\rho \;\sin(\theta )\right]\left[z\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {C}})=$ $-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{2}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta =\left[-\cos(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ .

[45] $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\mu _{0}\;x\;y\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\left[\rho \;\cos(\theta )\right]\left[\rho \;\sin(\theta )\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes des $\;2\;$ autres variables, l'intégrale volumique est le produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{3}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,

[46] $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\mu _{0}\;x\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\left[\rho \;\cos(\theta )\right]\left[z\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=$ $-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{2}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta =\left[\sin(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,

[47] $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\mu _{0}\;y\;z\;d{\mathcal {V}}_{M}=-\mu _{0}\,\displaystyle \iiint _{M\,\in \,\left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\left[\rho \;\sin(\theta )\right]\left[z\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;3\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {C}})=$ $-\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{2}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta =\left[-\cos(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ .

[cylindre_de_révolution-37] En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par l'axe de révolution $\;\Delta _{Gz}\;$ comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,z\right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gz}\;$ se calcule par l'intégrale volumique $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{Gz}$ $=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {V}}_{\mathcal {C}}\right)}\mu _{0}\,\rho ^{2}\left[\rho \;d\rho \;d\theta \;dz\right]$ , $\;{\big \{}$ la distance de $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gz}\;$ étant $\;\rho$ , $\;d{\mathcal {V}}_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta \;dz\;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », le paragraphe « expression en paramétrage cylindro-polaire (de l'élément de volume) » du chap. $17{\big ]}$ ;
la fonction à intégrer ne dépendant pas de $\;\theta \;$ et de $\;z\;$ on peut prendre une forme semi-intégrée de l'élément de volume correspondant à l'intégration sur $\;\theta \;$ de $\;-\pi \;$ à $\;+\pi \;$ et sur $\;z\;$ de $\;-{\dfrac {H}{2}}\;$ à $\;{\dfrac {H}{2}}\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « présentation (de la notion de volume élémentaire semi-intégré, 3^ème sous-paragraphe) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ soit $\;d{\mathcal {V}}_{\text{semi-intég}}=2\;\pi \;H\;\rho \;d\rho \;$ d'où $\;J_{Gz}=2\;\pi \;\mu _{0}\;H\!\displaystyle \int _{0}^{R}\!\rho ^{3}\;d\rho \;$ avec $\;\displaystyle \int _{0}^{R}\!\rho ^{3}\;d\rho ={\dfrac {R^{4}}{4}}\;$ dont on déduit $\;J_{Gz}=2\;\pi \;\mu _{0}\;H\;{\dfrac {R^{4}}{4}}={\dfrac {\pi }{2}}\;\mu _{0}\;H\;R^{4}\;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse du cylindre $\;m=\pi \;\mu _{0}\;R^{2}\;H$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gz}$ , $\;J_{\Delta _{Gz}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{Gz}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux de valeur commune $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$ déterminée dans la note « ³⁸ » plus bas dans ce chapitre $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J({\mathcal {C}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{Gx}}&0&0\\0&J_{\Delta _{Gy}}&0\\0&0&J_{\Delta _{Gz}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}&0&0\\0&{\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}&0\\0&0&{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\end{array}}\right]\;$ »..

[cylindre_de_révolution_-_bis-38] En effet, choisissant $\;\Delta _{Gx}\;$ comme axe passant par $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution, puis utilisant a priori le repérage cartésien, le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées cartésiennes $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}\;$ se calcule par l'intégrale volumique $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=$ $J_{Gx}=\displaystyle \iiint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {V}}_{\mathcal {c}}\right)}\mu _{0}\,\left[y^{2}+z^{2}\right]\left[dx\;dy\;dz\right]$ , la distance de $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gx}\;$ étant $\;MH={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\;$ avec $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta _{Gx}$ ;
on utilise la méthode d'intégration du paragraphe « méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
en figeant tout d'abord $\;\left(x\,,\,z\right)\;$ et en intégrant sur $\;y\;$ de $\;-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\;$ à $\;{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\;$ puis

en laissant $\;z\;$ figé et en intégrant sur $\;x\;$ de $\;-R\;$ à $\;R\;$ et enfin

en intégrant sur $\;z\;$ de $\;-{\dfrac {H}{2}}\;$ à $\;{\dfrac {H}{2}}\;$ soit
$\;J_{Gx}=\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\mu _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{x=-R}^{x=R}\left[\displaystyle \int _{y=-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}^{y={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\left(y^{2}+z^{2}\right)dy\right]dx\right\rbrace dz=2\;\mu _{0}\!\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\left\lbrace \displaystyle \int _{x=-R}^{x=R}\left[{\dfrac {\left(R^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{3}}+z^{2}\;{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right]dx\right\rbrace dz$ , l'intégration sur $\;x\;$ se faisant par le changement de variable $\;x=R\;\sin \!\left(\theta \right),\;\theta \;\in \;\left[-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}=R\;\cos \!\left(\theta \right)\\dx=R\;\cos \!\left(\theta \right)\;d\theta \end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;A=$ $\displaystyle \int _{x=-R}^{x=R}\left[{\dfrac {\left(R^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{3}}+z^{2}\;{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right]dx=\displaystyle \int _{\theta =-{\frac {\pi }{2}}}^{\theta ={\frac {\pi }{2}}}\left[{\dfrac {R^{4}\;\cos ^{4}\!\left(\theta \right)}{3}}+z^{2}\;R^{2}\;\cos ^{2}\!\left(\theta \right)\right]d\theta$ , ce qui s'intègre en passant à l'angle double selon $\;\cos ^{2}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1+\cos \!\left(2\;\theta \right)}{2}}\;$ et $\;\cos ^{4}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1+2\;\cos \!\left(2\;\theta \right)+\cos ^{2}\!\left(2\;\theta \right)}{4}}={\dfrac {3+4\;\cos \!\left(2\;\theta \right)+\cos \!\left(4\;\theta \right)}{8}}$ $\;{\bigg \{}$ en utilisant $\;\cos ^{2}\!\left(2\;\theta \right)=$ ${\dfrac {1+\cos \!\left(4\;\theta \right)}{2}}{\bigg \}}$ $\Rightarrow$ $A={\dfrac {R^{4}}{3}}\left[{\dfrac {3}{8}}\;\theta +\sin \!\left(2\;\theta \right)+{\dfrac {\sin \!\left(4\;\theta \right)}{2}}\right]_{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}+z^{2}\;R^{2}\left[{\dfrac {1}{2}}\;\theta +\sin \!\left(2\;\theta \right)\right]_{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}={\dfrac {R^{4}}{3}}\left[{\dfrac {3\;\pi }{8}}+0+0\right]+z^{2}\;R^{2}\left[{\dfrac {\pi }{2}}+0\right]$ $={\dfrac {\pi \;R^{4}}{8}}+{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}\;z^{2}\;$ soit $\;J_{Gx}=2\;\mu _{0}\!\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\left\lbrace {\dfrac {\pi \;R^{4}}{8}}+{\dfrac {\pi \;R^{2}}{2}}\;z^{2}\right\rbrace dz$ $=\mu _{0}\left[{\dfrac {\pi \;R^{4}}{4}}\;z+\pi \;R^{2}\;{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{-{\frac {H}{2}}}^{\frac {H}{2}}=\mu _{0}\;\pi \;R^{2}\left({\dfrac {R^{2}\;H}{4}}+{\dfrac {H^{3}}{3}}\right)\;$ et finalement, en tenant compte de l'expression de la masse du cylindre $\;m=\pi \;\mu _{0}\;R^{2}\;H$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}$ , $\;J_{\Delta _{Gx}}={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}$ $\;{\big \{}$ l'expression de $\;J_{\Delta _{Gy}}\;$ étant la même ${\big \}}$ ;
rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ a été déterminée dans la note « ³⁷ » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « ³⁷ » la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)$ .

[50] t tout d'abord $\;\left(x\,,\,z\right)\;$ et en intégrant sur $\;y\;$ de $\;-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\;$ à $\;{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\;$ puis

[51] ssant $\;z\;$ figé et en intégrant sur $\;x\;$ de $\;-R\;$ à $\;R\;$ et enfin

[52] tégrant sur $\;z\;$ de $\;-{\dfrac {H}{2}}\;$ à $\;{\dfrac {H}{2}}\;$ soit

[aire_d'une_sphère-39] 39,0 et ^39,1 L'aire de la surface d'une sphère de rayon $\;R\;$ étant $\;4\;\pi \;R^{2}$ , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire d'une sphère de rayon R) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[40] En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par $\;\Delta _{G}\;$ comme axe de repérage sphérique de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées sphériques $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$ , on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left(S\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ , $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=R\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )$ , $\;y=R\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )$ , $\;z=R\;\cos(\theta )\;$ et $\;dS_{M}=R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage sphérique » du chap. $16$ , « expressions en paramétrage sphérique (de l'aire élémentaire d'une sphère) » et « les grandes lignes de la méthode d'évaluation (d'une intégrale surfacique) » du même chap. $17{\big ]}{\big \}}$ :
$\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}(S)=-{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sigma _{0}\,\left[R\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[R\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \right]\\\end{array}}=-\sigma _{0}\;R^{4}\,{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sin ^{3}(\theta )\;\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\theta \;d\varphi \\\end{array}}\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {B}})=-\sigma _{0}\;R^{4}\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{3}(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi =\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\left[\sin(\varphi )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\varphi )}{2}}\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,

$\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sigma _{0}\,\left[R\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \right]\\\end{array}}=-\sigma _{0}\;R^{4}\,{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;\cos(\varphi )\;d\theta \;d\varphi \\\end{array}}\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-\sigma _{0}\;R^{4}\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi =\left[\sin(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,

$\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sigma _{0}\,\left[R\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \right]\\\end{array}}=-\sigma _{0}\;R^{4}\,{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;\sin(\varphi )\;d\theta \;d\varphi \\\end{array}}\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-\sigma _{0}\;R^{4}\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi =\left[-\cos(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ .

[55] $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}(S)=-{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sigma _{0}\,\left[R\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[R\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \right]\\\end{array}}=-\sigma _{0}\;R^{4}\,{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sin ^{3}(\theta )\;\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\theta \;d\varphi \\\end{array}}\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {B}})=-\sigma _{0}\;R^{4}\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{3}(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;\cos(\varphi )\;d\varphi =\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\left[\sin(\varphi )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\varphi )}{2}}\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,

[56] $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sigma _{0}\,\left[R\;\sin(\theta )\;\cos(\varphi )\right]\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \right]\\\end{array}}=-\sigma _{0}\;R^{4}\,{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;\cos(\varphi )\;d\theta \;d\varphi \\\end{array}}\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {B}})=-\sigma _{0}\;R^{4}\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\cos(\varphi )\;d\varphi =\left[\sin(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ ,

[57] $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sigma _{0}\,\left[R\;\sin(\theta )\;\sin(\varphi )\right]\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \right]\\\end{array}}=-\sigma _{0}\;R^{4}\,{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;\sin(\varphi )\;d\theta \;d\varphi \\\end{array}}\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {B}})=-\sigma _{0}\;R^{4}\left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\;\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\varphi =0}^{\varphi =2\,\pi }\sin(\varphi )\;d\varphi =\left[-\cos(\varphi )\right]_{0}^{2\,\pi }=0$ .

[41] En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par $\;\Delta _{G}\;$ comme axe de repérage sphérique de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées sphériques $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{G}\;$ se calcule par $\;J_{\Delta _{G}}\!\left(S\right)=J_{Gz}=\left.{\begin{array}{c}\\\displaystyle \oiint \limits _{M\,\in \left(S\right)}\sigma _{0}\,\left[R\;\sin \!\left(\theta \right)\right]^{2}\left[R^{2}\;\sin \!\left(\theta \right)\;d\theta \;d\varphi \right]\\\end{array}}\right.\!$ , $\;{\big \{}$ on utilise $\;\rho =R\;\sin(\theta )\;$ et $\;dS_{M}=R^{2}\;\sin(\theta )\;d\theta \;d\varphi \;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cylindro-polaire en fonction du repérage sphérique » du chap. $16$ et « expressions en paramétrage sphérique (de l'aire élémentaire d'une sphère) » du chap. $17{\big ]}{\big \}}$ ;
la fonction à intégrer ne dépendant pas de la longitude $\;\varphi \;$ on peut prendre une forme semi-intégrée de l'élément de surface correspondant à l'intégration sur $\;\varphi \;$ de $\;0\;$ à $\;2\;\pi \;$ soit $\;dS_{\text{semi-intég}}=$ $2\;\pi \;R^{2}\;\sin \!\left(\theta \right)\;d\theta$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « notion de surface élémentaire semi-intégrée (1^er sous paragraphe) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , d'où $\;J_{Gz}=$ $2\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\!\left(\theta \right)\;d\theta \;$ dans laquelle $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\!\left(\theta \right)\;d\theta =$ $\displaystyle \int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\left[1-\cos ^{2}\!\left(\theta \right)\right]d\left[-\cos \!\left(\theta \right)\right]=\left[-\cos \!\left(\theta \right)+{\dfrac {\cos ^{3}\!\left(\theta \right)}{3}}\right]_{0}^{\pi }=\left(1-{\dfrac {1}{3}}\right)-\left(-1+{\dfrac {1}{3}}\right)={\dfrac {4}{3}}\;$ $\Rightarrow$ $\;J_{Gz}=2\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}\;{\dfrac {4}{3}}=$ ${\dfrac {8\;\pi }{3}}\;\sigma _{0}\;R^{4}\;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse de la sphère $\;m=4\;\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{G}$ , $\;J_{\Delta _{G}}={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{G}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left(S\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux à celui relativement à $\;(Gz)\;$ $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left(S\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J(S)\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{G}}&0&0\\0&J_{\Delta _{G}}&0\\0&0&J_{\Delta _{G}}\end{array}}\right]=J_{\Delta _{G}}\;\left[{\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]={\dfrac {2}{3}}\;m\;R^{2}\;\left[I_{3}\right]\;$ » $\;{\big \{}$ « $\;\left[I_{3}\right]\;$ » étant la matrice identité ${\big \}}$ ..

[aire_latérale_d'un_tuyau_cylindrique-42] 42,0 ^42,1 et ^42,2 L'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayon $\;R\;$ et de longueur $\;H\;$ étant $\;2\;\pi \;R\;H$ , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de rayon R et de hauteur H) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[produits_d'inertie_de_tuyau_cylindrique_de_révolution-43] 43,0 et ^43,1 En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par l'axe de révolution $\;\Delta _{Gz}\;$ comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,z\right)$ on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ , $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=R\;\cos(\theta )$ , $\;y=R\;\sin(\theta )\;$ et $\;dS_{M}=R\;d\theta \;dz\;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ , « expressions en paramétrage cylindro-polaire (de l'aire élémentaire de la surface d'un tuyau cylindrique) » et « les grandes lignes de la méthode d'évaluation (d'une intégrale surfacique) » du même chap. $17{\big ]}{\big \}}$ :
$\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;x\;y\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R\;\sin(\theta )\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {T}})=-\sigma _{0}\;R^{3}\left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =$ $\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,

$\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;x\;z\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[z\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {T}})=$ $-\sigma _{0}\;R^{2}\left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta =\left[\sin(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,

$\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;y\;z\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\left[R\;\sin(\theta )\right]\left[z\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {T}})=$ $-\sigma _{0}\;R^{2}\left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta =\left[-\cos(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ .

[61] $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;x\;y\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R\;\sin(\theta )\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {T}})=-\sigma _{0}\;R^{3}\left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =$ $\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,

[62] $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;x\;z\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[z\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {T}})=$ $-\sigma _{0}\;R^{2}\left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;d\theta =\left[\sin(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,

[63] $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;y\;z\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\left[R\;\sin(\theta )\right]\left[z\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]\;$ ${\big \{}\!\Rightarrow$ produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle pour les mêmes raisons que ci-dessus ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {T}})=$ $-\sigma _{0}\;R^{2}\left\lbrace \displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z=+{\frac {H}{2}}}z\;dz\right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\theta =\left[-\cos(\theta )\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ .

[tuyau_cylindrique_de_révolution-44] En effet, chaque pseudo-point $\;{\big [}$ c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)$ , d'aire $\;dS_{M}\;$ et de masse $\;dm=\sigma _{0}\;dS_{M}{\big ]}\;$ étant à la même distance $\;R\;$ de l'axe $\;\Delta _{Gz}$ , le moment principal d'inertie de $\;{\mathcal {T}}\;$ relativement à $\;\Delta _{Gz}\;$ défini selon $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\;R^{2}\;dS_{M}\;$ se réécrit $\;J_{Gz}=\sigma _{0}\;R^{2}\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}dS_{M}=\sigma _{0}\;R^{2}\left[2\;\pi \;R\;H\right]=\left[\sigma _{0}\;2\;\pi \;R\;H\right]R^{2}=m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{Gz}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux de valeur commune $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {T}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}\;$ déterminée dans la note « ⁴⁵ » plus bas dans ce chapitre $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J({\mathcal {T}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{Gx}}&0&0\\0&J_{\Delta _{Gy}}&0\\0&0&J_{\Delta _{Gz}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}&0&0\\0&{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}&0\\0&0&m\;R^{2}\end{array}}\right]\;$ »..

[tuyau_cylindrique_de_révolution_-_bis-45] En effet, choisissant $\;\Delta _{Gx}\;$ comme axe passant par $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de révolution, puis utilisant a priori le repérage cylindro-polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,z\right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}\;$ se calcule par l'intégrale surfacique $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=$ $J_{Gx}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\sigma _{0}\,\left[R^{2}\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)+z^{2}\right]\left[R\;d\theta \;dz\right]$ $\;{\big \{}$ la distance de $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gx}\;$ étant $\;MH={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\;$ avec $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;M\;$ sur $\;\Delta _{Gx}\;$ et $\;y=R\;\sin \!\left(\theta \right){\big \}}\;$ ensuite,
par la méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on évalue l'intégrale surfacique
en figeant tout d'abord $\;z\;$ et en intégrant sur $\;\theta \;$ de $\;-\pi \;$ à $\;+\pi \;$ puis

en intégrant sur $\;z\;$ de $\;-{\dfrac {H}{2}}\;$ à $\;{\dfrac {H}{2}}\;$ soit
$\;J_{Gx}=\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\sigma _{0}\left\lbrace R^{3}\left[\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \right]+z^{2}\;R\left[\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }d\theta \right]\right\rbrace dz\;$ dans laquelle $\;A=\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \;$ s'intègre en passant à l'angle double selon $\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1-\cos \!\left(2\;\theta \right)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;A=\left[{\dfrac {\theta }{2}}-{\dfrac {\sin \!\left(2\;\theta \right)}{4}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=\left[\pi +0\right]=\pi \;$ soit $\;J_{Gx}=\sigma _{0}\!\displaystyle \int _{z=-{\frac {H}{2}}}^{z={\frac {H}{2}}}\left\lbrace \pi \;R^{3}+2\;\pi \;R\;z^{2}\right\rbrace dz=\sigma _{0}\;\pi \;R\left[R^{2}\;z+2\;{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{-{\frac {H}{2}}}^{\frac {H}{2}}=\sigma _{0}\;\pi \;R\left(R^{2}\;H+{\dfrac {H^{3}}{6}}\right)\;$ et finalement, en tenant compte de l'expression de la masse du tuyau cylindrique $\;m=2\;\pi \;\sigma _{0}\;R\;H$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}$ , $\;J_{\Delta _{Gx}}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}+{\dfrac {1}{12}}\;m\;H^{2}$ ;
rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ a été déterminée dans la note « ⁴⁴ » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « ⁴⁴ » la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)$ .

[66] t tout d'abord $\;z\;$ et en intégrant sur $\;\theta \;$ de $\;-\pi \;$ à $\;+\pi \;$ puis

[67] tégrant sur $\;z\;$ de $\;-{\dfrac {H}{2}}\;$ à $\;{\dfrac {H}{2}}\;$ soit

[disque_ou_cercle-46] 46,0 ^46,1 ^46,2 et ^46,3 On rappelle qu'un « disque » est, par définition, « plein » alors qu'un « cercle » est, par définition, le « contour » du disque.

[aire_d'un_disque-47] 47,0 ^47,1 et ^47,2 L'aire de la surface d'un disque de rayon $\;R\;$ étant $\;\pi \;R^{2}$ , voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (établissement de l'aire d'un disque de rayon R) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[produits_d'inertie_de_disque-48] 48,0 et ^48,1 En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par l'axe de révolution $\;\Delta _{Gz}\;$ comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \,,\,0\right)$ on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ , $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=\rho \;\cos(\theta )$ , $\;y=\rho \;\sin(\theta )\;$ et $\;dS_{M}=\rho \;d\theta \;d\rho \;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ , « expressions en paramétrage cylindro-polaire (de l'aire élémentaire d'un disque) » et « les grandes lignes de la méthode d'évaluation (d'une intégrale surfacique) » du même chap. $17{\big ]}{\big \}}$ :
$\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {D}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;x\;y\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\left[\rho \;\cos(\theta )\right]\left[\rho \;\sin(\theta )\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {D}})=-\sigma _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{3}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =$ $\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,

« $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {D}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;x\;z\;dS_{M}=0\;$ » car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)$ ,

« $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {D}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;y\;z\;dS_{M}=0\;$ » car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)$ .

[71] $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {D}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;x\;y\;dS_{M}=-\sigma _{0}\,\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\left[\rho \;\cos(\theta )\right]\left[\rho \;\sin(\theta )\right]\left[\rho \;d\theta \;d\rho \right]\;$ ${\big \{}$ les bornes de variation de chaque variable étant indépendantes de l'autre, l'intégrale surfacique est le produit de $\;2\;$ intégrales sur un intervalle ${\big \}}$ soit « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {D}})=-\sigma _{0}\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{3}\;d\rho \right\rbrace \left\lbrace \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \right\rbrace =0\;$ », la dernière intégrale valant $\;\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =$ $\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=0$ ,

[72] « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {D}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;x\;z\;dS_{M}=0\;$ » car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)$ ,

[73] « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {D}})=-\displaystyle \iint _{M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;y\;z\;dS_{M}=0\;$ » car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)$ .

[disque-49] En effet, choisissant le repérage polaire des points du disque, chaque pseudo-point $\;{\big [}$ c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {D}}\right)$ , d'aire $\;dS_{M}\;$ et de masse $\;dm=\sigma _{0}\;dS_{M}{\big ]}\;$ étant à la distance $\;\rho$ $\;{\big (}$ rayon polaire de $\;M{\big )}\;$ de l'axe $\;\Delta _{Gz}$ , le moment principal d'inertie de $\;{\mathcal {D}}\;$ relativement à $\;\Delta _{Gz}\;$ défini selon $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\;\rho ^{2}\;dS_{M}\;$ se réécrit, avec $\;dS_{M}=\rho \;d\rho \;d\theta$ , selon $\;J_{Gz}$ $=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{3}\;d\rho \times \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }d\theta$ $\;{\big \{}$ car les bornes d'intégration étant des constantes, les intégrales simples ne sont pas emboîtées $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}{\big \}}\;$ $\Rightarrow$ $\;J_{Gz}=\sigma _{0}\;{\dfrac {R^{4}}{4}}\;2\;\pi ={\dfrac {1}{2}}\;\sigma _{0}\;\pi \;R^{2}\;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse du disque $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gz}$ , $\;J_{\Delta _{Gz}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{Gz}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux de valeur commune $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {D}}\right)={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}\;$ déterminée dans la note « ⁵⁰ » plus bas dans ce chapitre $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {D}}\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J({\mathcal {D}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{Gx}}&0&0\\0&J_{\Delta _{Gy}}&0\\0&0&J_{\Delta _{Gz}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}&0&0\\0&{\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}&0\\0&0&{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\end{array}}\right]\;$ »..

[disque_-_bis-50] En effet, choisissant $\;\Delta _{Gx}\;$ comme axe passant par $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du disque, puis utilisant a priori le repérage polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Gx}}$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées polaires $\;\left(\rho \,,\,\theta \right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}\;$ se calcule par l'intégrale surfacique $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {D}}\right)=J_{Gx}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \left({\mathcal {D}}\right)}\sigma _{0}\,\left[\rho ^{2}\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)\right]\left[\rho \;d\rho \;d\theta \right]\;$ dans laquelle la distance de $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gx}\;$ est $\;y=\rho \;\sin \!\left(\theta \right)$ , le contenu du 2^ème crochet étant l'aire élémentaire $\;dS_{M}$ ;
on utilise la méthode d'intégration exposée dans le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
en figeant tout d'abord $\;\rho \;$ et en intégrant sur $\;\theta \;$ de $\;-\pi \;$ à $\;+\pi \;$ puis

en intégrant sur $\;\rho \;$ de $\;0\;$ à $\;R\;$ soit
$\;J_{Gx}=\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\sigma _{0}\left\lbrace \rho ^{3}\left[\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \right]\right\rbrace d\rho =\sigma _{0}\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R}\rho ^{3}\;d\rho \times \displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta$ $\;{\big \{}$ car les bornes d'intégration étant des constantes, les intégrales simples ne sont pas emboîtées $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}{\big \}}\;$ dans laquelle $\;A=\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \;$ s'intègre en passant à l'angle double selon $\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1-\cos \!\left(2\;\theta \right)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;A=\left[{\dfrac {\theta }{2}}-{\dfrac {\sin \!\left(2\;\theta \right)}{4}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=$ $\left[\pi +0\right]=\pi \;$ $\Rightarrow$ $\;J_{Gx}=\sigma _{0}\;{\dfrac {R^{4}}{4}}\;\pi \;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse du disque $\;m=\pi \;\sigma _{0}\;R^{2}$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}$ , $\;J_{\Delta _{Gx}}={\dfrac {1}{4}}\;m\;R^{2}$ ;
rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ a été déterminée dans la note « ⁴⁹ » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « ⁴⁹ » la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {D}}\right)$ .

[76] t tout d'abord $\;\rho \;$ et en intégrant sur $\;\theta \;$ de $\;-\pi \;$ à $\;+\pi \;$ puis

[77] tégrant sur $\;\rho \;$ de $\;0\;$ à $\;R\;$ soit

[produits_d'inertie_de_cercle-51] 51,0 et ^51,1 En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ du cercle comme axe de repérage cylindro-polaire de pôle $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées cylindro-polaires $\;\left(R\,,\,\theta \,,\,0\right)$ on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ , $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ sont nuls $\;{\big \{}$ on utilise $\;x=R\;\cos(\theta )$ , $\;y=R\;\sin(\theta )\;$ et $\;d{\mathit {l}}_{M}=R\;d\theta \;$ ${\big [}$ voir, dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les paragraphes « repérage cartésien en fonction du repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ et « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. $15{\big ]}{\big \}}$ :
$\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}=-\lambda _{0}\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R\;\sin(\theta )\right]\left[R\;d\theta \right]=-\lambda _{0}\;R^{3}\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =-\lambda _{0}\;R^{3}\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=-\lambda _{0}\;R^{3}\;\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }\;$ soit finalement « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=0\;$ »,

« $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)$ ,

« $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)$ .

[79] $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}=-\lambda _{0}\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\left[R\;\cos(\theta )\right]\left[R\;\sin(\theta )\right]\left[R\;d\theta \right]=-\lambda _{0}\;R^{3}\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta =-\lambda _{0}\;R^{3}\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin(\theta )\;d\left[\sin(\theta )\right]=-\lambda _{0}\;R^{3}\;\left[{\dfrac {\sin ^{2}(\theta )}{2}}\right]_{-\pi }^{+\pi }\;$ soit finalement « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {C}})=0\;$ »,

[80] « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)$ ,

[81] « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {C}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;z=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)$ .

[cercle-52] En effet, chaque pseudo-point $\;{\big [}$ c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {C}}\right)$ , de longueur $\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ et de masse $\;dm=\lambda _{0}\;d{\mathit {l}}_{M}{\big ]}\;$ étant à la même distance $\;R\;$ de l'axe $\;\Delta _{Gz}$ , le moment principal d'inertie de $\;{\mathcal {C}}\;$ relativement à $\;\Delta _{Gz}\;$ défini selon $\;J_{\Delta _{Gz}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\;R^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ se réécrit $\;J_{Gz}=\lambda _{0}\;R^{2}\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}d{\mathit {l}}_{M}=\lambda _{0}\;R^{2}\left[2\;\pi \;R\right]=\left[\lambda _{0}\;2\;\pi \;R\right]R^{2}=m\;R^{2}$ ;
$\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ étant maintenu porté par $\;\Delta _{Gz}$ , les moments principaux d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ relativement à $\;(Gx)\;$ ou $\;(Gy)\;$ sont égaux de valeur commune $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{\Delta _{Gy}}\!\left({\mathcal {C}}\right)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;$ déterminée dans la note « ⁵³ » plus bas dans ce chapitre $\Rightarrow$ la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ s'écrit « $\;\left[J({\mathcal {C}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{Gx}}&0&0\\0&J_{\Delta _{Gy}}&0\\0&0&J_{\Delta _{Gz}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}&0&0\\0&{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}&0\\0&0&m\;R^{2}\end{array}}\right]\;$ »..

[cercle_-_bis-53] En effet, choisissant $\;\Delta _{Gx}\;$ comme axe passant par $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe du cercle, puis utilisant a priori le repérage polaire de pôle $\;G\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Gx}}$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées polaires $\;\left(R\,,\,\theta \right)$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}\;$ se calcule par l'intégrale curviligne $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {C}}\right)=J_{Gx}=\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)}\lambda _{0}\,\left[R^{2}\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)\right]\left[R\;d\theta \right]\;$ dans laquelle la distance de $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gx}\;$ est $\;y=R\;\sin \!\left(\theta \right)$ , le contenu du 2^ème crochet étant la longueur élémentaire $\;d{\mathit {l}}_{M}$ ;
la méthode d'évaluation d'une intégrale curviligne consistant à paramétrer la courbe $\;{\big [}$ voir le paragraphe « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ et le paramétrage en $\;\theta \;$ étant déjà fait, il reste à préciser les bornes d'intégration sur $\;\theta \;$ à savoir de $\;-\pi \;$ à $\;+\pi \;$ soit $\;J_{Gx}=\lambda _{0}\;R^{3}\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \;$ dans laquelle $\;A=\displaystyle \int _{\theta =-\pi }^{\theta =+\pi }\sin ^{2}\!\left(\theta \right)d\theta \;$ s'intègre en passant à l'angle double selon $\;\sin ^{2}\!\left(\theta \right)={\dfrac {1-\cos \!\left(2\;\theta \right)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;A=\left[{\dfrac {\theta }{2}}-{\dfrac {\sin \!\left(2\;\theta \right)}{4}}\right]_{-\pi }^{+\pi }=\left[\pi +0\right]=\pi \;$ $\Rightarrow$ $\;J_{Gx}=\lambda _{0}\;R^{3}\;\pi \;$ soit, en tenant compte de l'expression de la masse du cercle $\;m=2\;\pi \;\lambda _{0}\;R$ , l'expression du moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}$ , $\;J_{\Delta _{Gx}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}$ ;
rappel : l'expression du moment principal d'inertie relativement à l'axe $\;\Delta _{Gz}\;$ a été déterminée dans la note « ⁵² » plus haut dans ce chapitre et on trouve également dans cette note « ⁵² » la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {D}}\right)$ .

[produits_d'inertie_de_tige_rectiligne-54] 54,0 et ^54,1 En effet, choisissant $\;{\overrightarrow {Gz}}\;$ porté par le support de la tige comme axe de repérage cartésien d'origine $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de coordonnées cartésiennes $\;\left(0\,,\,0\,,\,z\right)$ on vérifie aisément que les produits d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ dans les plans $\;xGy$ , $\;xGz\;$ et $\;yGz\;$ sont nuls :
$\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ » car $\;\left(x=0\,,\,y=0\right)\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)$ ,

« $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;x=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)$ ,

« $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;y=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)$ .

[85] $\;{\mathcal {I}}_{x,\,y}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;x\;y\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ » car $\;\left(x=0\,,\,y=0\right)\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)$ ,

[86] « $\;{\mathcal {I}}_{x,\,z}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;x\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;x=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)$ ,

[87] « $\;{\mathcal {I}}_{y,\,z}({\mathcal {T}})=-\displaystyle \int _{M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;y\;z\;d{\mathit {l}}_{M}=0\;$ », car $\;y=0\;\;\forall \;M\,\in \left({\mathcal {C}}\right)$ .

[tige_rectiligne-55] En effet, chaque pseudo-point $\;{\big [}$ c'est-à-dire chaque élément de matière, centré en $\;M\,\in \,\left({\mathcal {T}}\right)$ , de longueur $\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ et de masse $\;dm=\lambda _{0}\;d{\mathit {l}}_{M}{\big ]}\;$ étant à la même distance nulle de l'axe $\;\Delta _{Gz}$ , le calcul du moment principal d'inertie de $\;{\mathcal {T}}\;$ relativement à $\;\Delta _{Gz}\;$ donne $\;0\;\ldots$

[tige_rectiligne_-_bis-56] En effet, choisissant $\;\Delta _{Gx}\;$ comme axe passant par $\;G\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe de la tige, puis utilisant a priori le repérage cartésien d'origine $\;G$ , le point $\;M\;$ étant alors de cote $\;z$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}\;$ se calcule par l'intégrale curviligne $\;J_{\Delta _{Gx}}\!\left({\mathcal {T}}\right)=J_{Gx}=$ $\;\displaystyle \int \limits _{M\,\in \left({\mathcal {T}}\right)}\lambda _{0}\;z^{2}\;d{\mathit {l}}_{M}$ , la distance de $\;M\;$ à $\;\Delta _{Gx}\;$ étant $\;z\;$ et $\;d{\mathit {l}}_{M}\;$ s'identifiant à $\;dz$ ;
la méthode d'évaluation d'une intégrale curviligne consistant à paramétrer la courbe $\;{\big [}$ voir le paragraphe « méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ et le paramétrage en $\;z\;$ étant déjà fait, il reste à préciser les bornes d'intégration sur $\;z\;$ de $\;-{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ à $\;+{\dfrac {\mathit {l}}{2}}\;$ ce qui donne ici $\;J_{Gx}=$ $\lambda _{0}\displaystyle \int _{-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{+{\frac {\mathit {l}}{2}}}z^{2}\;dz=\lambda _{0}\left[{\dfrac {z^{3}}{3}}\right]_{-{\frac {\mathit {l}}{2}}}^{+{\frac {\mathit {l}}{2}}}=\lambda _{0}\;{\dfrac {{\mathit {l}}^{\,3}}{12}}\;$ soit, avec l'expression de la masse de la tige rectiligne $\;m=\lambda _{0}\;{\mathit {l}}$ , le moment principal d'inertie relativement à $\;\Delta _{Gx}$ , « $\;J_{\Delta _{Gx}}={\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}\;$ » ;
compte-tenu du fait que la valeur nulle du moment dinertie de la tige rectiligne relativement à son support $\;\Delta _{Gz}\;$ a été déterminée dans la note « ⁵⁵ » plus haut dans ce chapitre, on en déduit l'expression de la matrice d'inertie de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ selon « $\;\left[J({\mathcal {T}})\right]=\left[{\begin{array}{c c c}J_{\Delta _{Gx}}&0&0\\0&J_{\Delta _{Gy}}&0\\0&0&J_{\Delta _{Gz}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}&0&0\\0&{\dfrac {1}{12}}\;m\;{\mathit {l}}^{\,2}&0\\0&0&0\end{array}}\right]\;$ ».

[choix_du_point-57] 57,0 et ^57,1 En général ce point est le centre d'inertie du solide.

[forme_semi-intégrée_de_l'élément_de_volume-58] Voir le paragraphe « présentation (de la notion de volume élémentaire semi-intégré, 1^er sous-paragraphe) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[forme_semi-intégrée_de_l'élément_de_surface-59] 59,0 et ^59,1 Voir le paragraphe « notion de surface élémentaire semi-intégrée (3^ème sous-paragraphe) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

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