Mécanique 1 (PCSI)/Mouvement de particules chargées dans des champs électrique et magnétique : Force de Lorentz

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Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne ;
de plus, sauf avis contraire, nous supposons l'espace physique orienté à droite et y choisissons une base directe .

Sources de champ électrique et de champ magnétique

Sources de champ électrique

     Toute distribution de charges électriques « globalement immobiles » est source de champ électrique ; on distingue

• les distributions réelles qui sont « discrètes » $\;{\big [}$un échantillon solide chargé contient des ions immobiles et des porteurs de charge mobiles que l’on suppose sans mouvement d’ensemble, cette distribution est donc bien constituée de charges quasi ponctuelles séparées de régions vides d'où « une distribution réelle de charges est bien un ensemble constitué d’un nombre fini $\;{\big (}$mais usuellement très grand${\big )}\;$ de charges quasi ponctuelles »${\big ]}\;$ de
• leurs modélisations qui sont « continues » $\;{\big [}$un échantillon d’échelle mésoscopique $\;{\big (}$dont chaque dimension est de l’ordre du $\;\mu m{\big )}\;$ contient beaucoup de charges ponctuelles séparées par du vide correspondant à une structure discontinue à l’échelle microscopique $\;{\big (}$de dimension de l’ordre du $\;nm{\big )}\;$ mais souhaitant faire disparaître cette discontinuité à l’échelle mésoscopique , on réalise une modélisation continue de la distribution c.-à-d. que l’on remplace la distribution réelle discrète de charges de l’échantillon mésoscopique par un « fonds » continue de charges respectant la conservation de la charge totale de l’échantillon${\big ]}$.

Modélisation en distribution continue volumique

Schéma définissant une distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}\;$ de charges d'extension finie

     On considère une expansion tridimensionnelle contenant un grand nombre de charges ponctuelles, ensemble définissant une distribution discrète de charges,
     On considère un point $\;P\;$ quelconque de cette expansion et un volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P$ ;

     ce volume élémentaire d’échelle mésoscopique contient un nombre « suffisant » de charges permettant l’utilisation de la « statistique »  ;

     à cette échelle mésoscopique il est donc possible, si on ne s’intéresse pas aux propriétés microscopiques , de remplacer la distribution discrète de charges dans le volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P\;$ par une distribution continue de charges réparties en volume en conservant la charge totale du volume élémentaire $\;{\big [}$la distribution continue volumique de charges étant notée $\;{\mathcal {D}}{\big ]}$ ;

     pour cela on définit la « densité volumique de charge $\;\rho (P)={\dfrac {dq}{d\tau }}\;$ exprimée en $\;C\cdot m^{-3}\;$» dans laquelle $\;dq\;$ est la charge totale contenue dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d\tau \;$ c.-à-d. «$\;dq=\sum \limits _{O_{i}\,\in \,d\tau }^{O_{i}\,\left(q_{i}\right)}q_{i}\;$», la « densité volumique de charge ainsi définie $\;\rho (P)\;$» étant une fonction « continue de $\;P\in {\mathcal {D}}\;$» $\;{\big [}{\mathcal {D}}$, avec la connaissance de $\;\rho (P)$, définissant la modélisation en distribution continue volumique de la distribution discrète de charges initiale${\big ]}$ ;

     remarque : en dehors de la distribution volumique $\;{\mathcal {D}}$, la densité volumique de charge $\;\rho (P)\;$ est nulle, il est alors possible qu’il y ait discontinuité de 1^ère espèce de $\;\rho (P)\;$ lors du passage de $\;{\mathcal {D}}\;$ à son extérieur, ceci se produisant si $\;\rho (P)\;$ ne s’annule pas sur les « bords de $\;{\mathcal {D}}\;$» $\;{\big [}$bien entendu la question ne se pose que si $\;{\mathcal {D}}\;$ n'est pas d'extension infinie de façon à ce que l’extérieur de $\;{\mathcal {D}}\;$ existe${\big ]}$.

     Conclusion : La caractérisation de la distribution continue volumique de charges $\;{\mathcal {D}}\;$ nécessite la connaissance de la densité volumique de charge $\;\rho (P)\;$ en tout point $\;P\;$ de l'expansion tridimensionnelle de la distribution $\;{\mathcal {D}}$,
     Conclusion : la charge contenue dans le volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P\;$ s'écrivant alors «$\;dq=\rho (P)\;d\tau \;$»,
     Conclusion : cette charge «$\;dq\;$», considérée comme « quasi ponctuelle à l’échelle macroscopique  » ,
     Conclusion : cette charge « dq », est la « source centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}\;$ du champ électrique créé par cette dernière en tout point $\;M\;$ de l'espace ».

Modélisation en distribution continue surfacique

Schéma définissant une distribution continue volumique de charges d'extension finie modélisable en distribution continue surfacique $\;{\mathcal {D}}\;$

Schéma définissant une distribution continue surfacique $\;{\mathcal {D}}\;$ de charges d'extension finie à partir d'une distribution continue volumique dont la dimension «$\;e\;$» est petite devant les deux autres «$\;L\;$ et $\;{\mathit {l}}\;$»

     Une distribution continue volumique de charges peut être modélisée en distribution continue surfacique quand l'une des dimensions de la distribution volumique est petite par rapport aux deux autres $\;{\big [}$sur le schéma ci-contre la distribution volumique est d'extension finie et c'est la dimension d'épaisseur «$\;e\;$» qui est $\;\ll \;$ devant les deux autres «$\;L\;$ et $\;{\mathit {l}}\;$»${\big ]}$ :

     considérons une distribution continue volumique d'extension finie de densité volumique de charge $\;\rho (P')\;$ d'expansion tridimensionnelle de dimension «$\;e\;$» $\;\ll \;$ devant «$\;{\mathit {l}}\;$» ainsi que $\;\ll \;$ devant «$\;L\;$» et notons $\;P\;$ le projeté de $\;P'\;$ sur $\;\left(\Sigma \right)\;$ l’une des surfaces limitant la distribution volumique suivant la dimension «$\;e\;$» $\;{\big [}$surface de dimensions «$\;{\mathit {l}}\;$ et $\;L\;$» et projection parallèlement à la direction transversale $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}{\big ]}$ ;

     réaliser la modélisation surfacique à partir de la modélisation volumique initiale revient à considérer que les charges, au lieu d’être localisées dans l'expansion tridimensionnelle de hauteur «$\;e\;$» dont $\;\left(\Sigma \right)\;$ est l’une des bases, le sont sur $\;\left(\Sigma \right)\;$ et en particulier
     la charge élémentaire «$\;dq=\rho (P')\;d\tau \;$» de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant $\;P'\;$ de volume $\;d\tau =e\;dS\;$ $\;{\big [}dS\;$ étant l'aire de la surface élémentaire entourant $\;P{\big ]}\;$ se retrouve intégralement, dans la distribution surfacique associée $\;{\big [}$que l'on notera $\;{\mathcal {D}}{\big ]}$, sur la surface élémentaire entourant $\;P\;$ d'aire $\;dS$ $\;{\big [}$voir le schéma ci-dessous à droite${\big ]}$ ;

     pour réaliser la modélisation surfacique $\;{\mathcal {D}}$, on définit la « densité surfacique de charge $\;\sigma (P)={\dfrac {dq}{dS}}\;$ exprimée en $\;C\cdot m^{-2}\;$» dans laquelle $\;dq\;$ est la charge totale contenue dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d\tau =e\;dS\;$ c.-à-d. «$\;dq=\rho (P')\;d\tau$ $=\rho (P')\;e\;dS\;$» , la « densité surfacique de charge ainsi définie $\;\sigma (P)\;$» étant une fonction « continue de $\;P\in {\mathcal {D}}\;$» $\;{\big [}{\mathcal {D}}$, avec la connaissance de $\;\sigma (P)$, définissant la modélisation en distribution continue surfacique de la distribution continue volumique de charges initiale de densité volumique $\;\rho (P')\;$ selon «$\;\sigma (P)=\rho (P')\;e\;$» ${\big ]}$ ;

     remarque : en dehors de la distribution surfacique $\;{\mathcal {D}}$ $\;{\big [}$ou $\;{\mathcal {D}}_{\Sigma }\;$ pour être plus précis${\big ]}\;$, la densité surfacique de charge $\;\sigma (P)\;$ étant nulle, on peut envisager deux façons d'aborder une éventuelle discontinuité suivant que l'extérieur de la distribution surfacique $\;{\mathcal {D}}_{\Sigma }\;$ est
     remarque : $\;\succ \;$le sous-ensemble tridimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,3}}\right\rbrace \;$ obtenu en se déplaçant perpendiculairement à $\;\left(\Sigma \right)\;$ ou
     remarque : $\;\succ \;$le sous-ensemble bidimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,2}}\right\rbrace \;$ obtenu en se déplaçant perpendiculairement à $\;\left(\Gamma \right)\;$ courbe fermée limite de $\;\left(\Sigma \right)\;$ dans $\;\left(\Sigma _{\infty }\right)\;$ « la surface d'extension infinie contenant $\;\left(\Sigma \right)\;$» vers l'extérieur de $\;\left(\Sigma \right)\;$ défini dans $\;\left(\Sigma _{\infty }\right)\;$ ;

     remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution surfacique $\;{\mathcal {D}}$ à son extérieur tridimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,3}}\right\rbrace$, il y a, a priori, discontinuité de 1^ère espèce de $\;\sigma (P)\;$ dans la mesure où $\;\sigma (P)\neq 0,\;\;{\text{pour}}\;P\in \left(\Sigma \right)\;$ ;

     remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution surfacique $\;{\mathcal {D}}$ à son extérieur bidimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,2}}\right\rbrace$, il y a, a priori, discontinuité de 1^ère espèce de $\;\sigma (P)\;$ dans la mesure où $\;\sigma (P)\neq 0,\;\;{\text{pour}}\;P\in \left(\Gamma \right)$, courbe fermée limite de $\;\left(\Sigma \right)\;$ dans $\;\left(\Sigma _{\infty }\right)\;$ « la surface d'extension infinie contenant $\;\left(\Sigma \right)\;$» $\;{\big [}$bien entendu la question de cette discontinuité éventuelle ne se pose que si $\;{\mathcal {D}}\;$ n'est pas d'extension infinie de façon à ce que $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,2}}\right\rbrace \;$ existe${\big ]}$.

     Conclusion : La caractérisation de la distribution continue surfacique de charge $\;{\mathcal {D}}\;$ nécessite la connaissance de la densité surfacique de charge $\;\sigma (P)\;$ en tout point $\;P\;$ de l'expansion bidimensionnelle de la distribution $\;{\mathcal {D}}$,
     Conclusion : la charge contenue dans la surface élémentaire d'aire $\;dS\;$ entourant le point $\;P\;$ s'écrivant alors «$\;dq=\sigma (P)\;dS\;$»,
     Conclusion : cette charge «$\;dq\;$», considérée comme « quasi ponctuelle à l’échelle macroscopique  » ,
     Conclusion : cette charge « dq », est la « source centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}\;$ du champ électrique créé par cette dernière en tout point $\;M\;$ de l'espace ».

     Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues surfaciques : dans la mesure où une distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{3}\;$ de densité volumique de charge $\;\rho (P)\;$ est telle qu'il existe une des $\;3\;$ coordonnées de $\;P$ $\;{\big (}$par exemple $\;x_{1}{\big )}\;$ pour laquelle $\;\rho (P)\;$ ne varie pas avec les deux autres coordonnées $\;{\big (}x_{2}\;$ et $\;x_{3}{\big )}$,
     Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues surfaciques : on peut considérer $\;{\mathcal {D}}_{3}\;$ comme une juxtaposition de distributions continues volumiques élémentaires $\;{\mathcal {D}}_{\left[x_{1}\,,\,x_{1}+dx_{1}\right]}\;$ pour lesquelles la coordonnée $\;x_{1}\;$ est figée à $\;dx_{1}\;$ près, les deux autres coordonnées étant quelconques et
     Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues surfaciques : on peut modéliser chaque distribution continue volumique élémentaire $\;{\mathcal {D}}_{\left[x_{1}\,,\,x_{1}+dx_{1}\right]}\;$ par une distribution continue surfacique de « densité surfacique de charge $\;\rho (P_{x_{1}})\;dx_{1}\;$» $\;{\big [}$correspondant effectivement à la dimension d'une densité surfacique de charge $\;\left(C\cdot m^{-3}\right)\times m=C\cdot m^{-2}{\big ]}$.

Modélisation en distribution continue linéique

Schéma définissant une distribution continue volumique de charges d'extension finie modélisable en distribution continue linéique $\;{\mathcal {D}}\;$

Schéma définissant une distribution continue linéique $\;{\mathcal {D}}\;$ de charges d'extension finie à partir d'une distribution continue volumique dont les dimensions «$\;e\;$» et «$\;e'\;$» sont petites devant la 3^ème «$\;{\mathit {l}}\;$»

     Une distribution continue volumique de charges peut être modélisée en distribution continue linéique quand deux des dimensions de la distribution volumique sont petites par rapport la 3^ème $\;{\big [}$sur le schéma ci-contre la distribution volumique est d'extension finie et ce sont les dimensions «$\;e\;$ et $\;e'\;$» $\;{\big (}$dites transversales${\big )}\;$ qui sont $\;\ll \;$ devant la 3^ème «$\;{\mathit {l}}\;$» $\;{\big (}$dite longitudinale${\big )}{\big ]}$ :

     considérons une distribution continue volumique d'extension finie de densité volumique de charge $\;\rho (P')\;$ d'expansion tridimensionnelle de dimensions transversales «$\;e\;$ et $\;e'\;$» $\;\ll \;$ devant la dimension longitudinale «$\;{\mathit {l}}\;$» et notons $\;P\;$ le projeté de $\;P'\;$ sur $\;\left(\Gamma \right)\;$ l’une des courbes de dimension «$\;{\mathit {l}}\;$» générant transversalement la distribution volumique $\;{\big [}$la projection se faisant parallèlement à toute section transversale $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}{\big ]}$ ;

     réaliser la modélisation linéique à partir de la modélisation volumique initiale revient à considérer que les charges, au lieu d’être localisées dans l'expansion tridimensionnelle de section droite «$\;e\;$ x $\;e'\;$» dont $\;\left(\Gamma \right)\;$ est l’une des courbes génératrices, le sont sur $\;\left(\Gamma \right)\;$ et en particulier
     la charge élémentaire «$\;dq=\rho (P')\;d\tau \;$» de l'expansion tridimensionnelle élémentaire entourant $\;P'\;$ de volume $\;d\tau =e\;e'\;d{\mathit {l}}\;$ $\;{\big [}d{\mathit {l}}\;$ étant la longueur de la portion de courbe élémentaire entourant $\;P{\big ]}\;$ se retrouve intégralement, dans la distribution linéique associée $\;{\big [}$que l'on notera $\;{\mathcal {D}}{\big ]}$, sur la portion de courbe élémentaire entourant $\;P\;$ de longueur $\;d{\mathit {l}}$ $\;{\big [}$voir le schéma ci-dessous à droite${\big ]}$ ;

     pour réaliser la modélisation linéique $\;{\mathcal {D}}$, on définit la « densité linéique de charge $\;\lambda (P)={\dfrac {dq}{d{\mathit {l}}}}\;$ exprimée en $\;C\cdot m^{-1}\;$» dans laquelle $\;dq\;$ est la charge totale contenue dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d\tau =e\;e'\;d{\mathit {l}}\;$ c.-à-d. «$\;dq=\rho (P')\;d\tau =$ $\rho (P')\;e\;e'\;d{\mathit {l}}\;$» , la « densité linéique de charge ainsi définie $\;\lambda (P)\;$» étant une fonction « continue de $\;P\in {\mathcal {D}}\;$» $\;{\big [}{\mathcal {D}}$, avec la connaissance de $\;\lambda (P)$, définissant la modélisation en distribution continue linéique de la distribution continue volumique de charges initiale de densité volumique $\;\rho (P')\;$ selon «$\;\lambda (P)=\rho (P')\;e\;e'\;$» ${\big ]}$ ;

     remarque : en dehors de la distribution linéique $\;{\mathcal {D}}$ $\;{\big [}$ou $\;{\mathcal {D}}_{\Gamma }\;$ pour être plus précis${\big ]}\;$, la densité linéique de charge $\;\lambda (P)\;$ étant nulle, on peut envisager deux façons d'aborder une éventuelle discontinuité suivant que l'extérieur de la distribution linéique $\;{\mathcal {D}}_{\Gamma }\;$ est
     remarque : $\;\succ \;$le sous-ensemble tridimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,3}}\right\rbrace \;$ obtenu en se déplaçant perpendiculairement à $\;\left(\Gamma \right)\;$ ou
     remarque : $\;\succ \;$le sous-ensemble unidimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,1}}\right\rbrace \;$ obtenu en se déplaçant à travers $\;E\;$ ou $\;E'\;$ extrémités de $\;\left(\Gamma \right)\;$ dans $\;\left(\Gamma _{\infty }\right)\;$ « la courbe d'extension infinie contenant $\;\left(\Gamma \right)\;$» vers l'extérieur de $\;\left(\Gamma \right)\;$ défini dans $\;\left(\Gamma _{\infty }\right)\;$ ;

     remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution linéique $\;{\mathcal {D}}$ à son extérieur tridimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,3}}\right\rbrace$, il y a, a priori, discontinuité de 1^ère espèce de $\;\lambda (P)\;$ dans la mesure où $\;\lambda (P)\neq 0,\;\;{\text{pour}}\;P\in \left(\Gamma \right)\;$ ;

     remarque : en ce qui concerne le passage de la distribution linéique $\;{\mathcal {D}}$ à son extérieur unidimensionnel $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,1}}\right\rbrace$, il y a, a priori, discontinuité de 1^ère espèce de $\;\lambda (P)\;$ dans la mesure où $\;\lambda (P)\neq 0,\;\;{\text{pour}}\;P\in \left(E\,,\,E'\right)$, extrémités de $\;\left(\Gamma \right)\;$ dans $\;\left(\Gamma _{\infty }\right)\;$ « la courbe d'extension infinie contenant $\;\left(\Gamma \right)\;$» $\;{\big [}$bien entendu la question de cette discontinuité éventuelle ne se pose que si $\;{\mathcal {D}}\;$ n'est pas d'extension infinie de façon à ce que $\;\left\lbrace {\mathcal {S}}_{{\text{ext. de}}\,{\mathcal {D}},\,{{\text{dim.}}\,1}}\right\rbrace \;$ existe${\big ]}$.

     Conclusion : La caractérisation de la distribution continue linéique de charge $\;{\mathcal {D}}\;$ nécessite la connaissance de la densité linéique de charge $\;\lambda (P)\;$ en tout point $\;P\;$ de l'expansion unidimensionnelle de la distribution $\;{\mathcal {D}}$,
     Conclusion : la charge contenue dans la portion de courbe élémentaire de longueur $\;d{\mathit {l}}\;$ entourant le point $\;P\;$ s'écrivant alors «$\;dq=\lambda (P)\;d{\mathit {l}}\;$»,
     Conclusion : cette charge «$\;dq\;$», considérée comme « quasi ponctuelle à l’échelle macroscopique  » ,
     Conclusion : cette charge « dq », est la « source centrée en $\;P\in {\mathcal {D}}\;$ du champ électrique créé par cette dernière en tout point $\;M\;$ de l'espace ».

     Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues linéiques : dans la mesure où une distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{3}\;$ de densité volumique de charge $\;\rho (P)\;$ est telle qu'il existe deux des $\;3\;$ coordonnées de $\;P$ $\;{\big (}$par exemple $\;x_{1}\;$ et $\;x_{2}{\big )}\;$ pour laquelle $\;\rho (P)\;$ ne varie pas avec la 3^ème coordonnée $\;{\big (}x_{3}{\big )}$,
     Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues linéiques : on peut considérer $\;{\mathcal {D}}_{3}\;$ comme une juxtaposition de distributions continues volumiques élémentaires $\;{\mathcal {D}}_{\left\lbrace \left[x_{1}\,,\,x_{1}+dx_{1}\right]\times \left[x_{2}\,,\,x_{2}+dx_{2}\right]\right\rbrace }\;$ pour lesquelles les coordonnées $\;x_{1}\;$ et $\;x_{2}\;$ sont figées respectivement à $\;dx_{1}\;$ et $\;dx_{2}\;$ près, l'autre coordonnée étant quelconque et
     Décomposition d'une distribution continue volumique en une juxtaposition de distributions continues linéiques : on peut modéliser chacune des distributions continues volumiques élémentaires précédemment définies $\;{\mathcal {D}}_{\left\lbrace \left[x_{1}\,,\,x_{1}+dx_{1}\right]\times \left[x_{2}\,,\,x_{2}+dx_{2}\right]\right\rbrace }\;$ par une distribution continue linéique de « densité linéique de charge $\;\rho (P_{x_{1},\,x_{2}})\;dx_{1}\;dx_{2}\;$» $\;{\big [}$correspondant effectivement à la dimension d'une densité linéique de charge $\;\left(C\cdot m^{-3}\right)\times m\times m=C\cdot m^{-1}{\big ]}$.

Sources de champ magnétique

     Toute distribution de charges électriques « globalement mobiles » dans un référentiel d’étude est source de champ magnétique dans ce référentiel, ce peut être :

• un conducteur immobile relativement au référentiel d’étude traversé par un courant,
• un corps « chargé » se déplaçant dans le référentiel d’étude,
• un « faisceau de particules chargées » ,
• de la matière « aimantée » $\;{\big (}$c.-à-d. des aimants${\big )}\;$ ;

     en conclusion, à l’aide des remarques faites dans les notes « ¹⁷, ¹⁸ et ¹⁹ » plus haut dans ce chapitre, nous constatons qu’« une source de champ magnétique peut être considérée comme la circulation d’un courant dans le référentiel où on étudie le champ magnétique ».

Distribution réelle discrète

     Les deux principaux exemples de distribution réelle discrète de charges mobiles dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ sont

• un ensemble fini d'échantillons mésoscopiques de porteurs de charge mobiles $\;P_{k}\;$ de charge $\;q_{k}\;$ se déplaçant à la vitesse moyenne $\;{\vec {V}}_{k}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, chaque échantillon mésoscopique contenant un nombre de porteurs de charge fini mais néanmoins suffisamment grand pour la mise en œuvre de la statistique dont découle alors une modélisation continue $\;{\big (}$voir les paragraphes suivants « modélisation en distribution continue volumique », « modélisation en distribution continue surfacique » ou « modélisation en distribution continue linéique » plus bas dans ce chapitre${\big )}\;$ ou
• un faisceau monocinétique de particules chargées, identiques et indépendantes, chaque particule $\;P\left(q\right)\;$ se déplaçant à la même vitesse moyenne $\;{\vec {V}}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ sans interagir avec ses plus proches voisines $\;{\big (}$ce qui nécessite que la distance minimale séparant deux particules distinctes soit toujours $\;\gtrsim \;$ à $\;{\mathit {d}}_{\text{min}}{\big )}$, le débit instantané des particules du faisceau en chaque point de ce dernier $\;{\big (}$c.-à-d. successivement $\;0\;$ ou $\;1\;$ à l'échelle microscopique de temps ${\big )}\;$ pouvant être remplacé, à l'échelle mésoscopique de temps , par un débit particulaire moyen $\;n\;$ exprimé en $\;s^{-1}$, ceci correspond, là encore, à une modélisation mais en gardant le caractère particulaire du faisceau .

Modélisation en distribution continue volumique

     Remarque préliminaire : Nous n'insisterons pas sur la justification du caractère continu de la distribution volumique de charges mobiles ni sur l'éventuelle discontinuité aux frontières de cette distribution, sachez que tout ce qui a été exposé dans le paragraphe étudiant les sources de champ électrique « modélisation en distribution continue volumique (remarque) » plus haut dans ce chapitre, peut être répété dans ce paragraphe et ses sous paragraphes.

     On considère une expansion tridimensionnelle contenant un ensemble de charges ponctuelles définissant une distribution discrète de charges mobiles dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$,
     On considère un point $\;P\;$ quelconque de cette expansion et un volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P$ ;

     ce volume élémentaire d’échelle mésoscopique contient un nombre « suffisant » de charges mobiles permettant l’utilisation de la « statistique »  ;

     à cette échelle mésoscopique il est donc possible, si on ne s’intéresse pas aux propriétés microscopiques , de remplacer la distribution discrète de charges mobiles dans le volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P\;$ par une distribution continue de charges mobiles réparties en volume en conservant le nombre total de porteurs de charge mobiles de chaque type du volume élémentaire $\;{\big [}$la distribution continue volumique de charges mobiles étant notée $\;{\mathcal {D}}_{m}{\big ]}$ ;

     pour cela on définit la « densité volumique de porteurs de charge mobiles du type $\;_{k}\;$ $\;N_{V,\,m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)={\dfrac {\delta N_{m}(\,_{k})}{d\tau }}\;$ exprimée en $\;m^{-3}\;$» dans laquelle $\;\delta N_{m}(\,_{k})\;$ est le nombre total moyen de porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ contenus dans l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d\tau$ $\;{\big (}$nombre fluctuant à une échelle de temps microscopique devenant constant par introduction d'une moyenne à une échelle de temps mésoscopique ${\big )}$, la « densité volumique de porteurs de charge mobiles du type $\;_{k}\;$ ainsi définie $\;N_{V,\,m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$» étant une fonction « continue de $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$» $\;{\big [}{\mathcal {D}}_{m}$ étant la modélisation en distribution continue volumique de la distribution discrète de charges mobiles initiale, la définition de $\;N_{V,\,m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$ de tous les types de porteurs de charge mobiles étant nécessaire à la caractérisation de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ sans qu'elle soit suffisante${\big ]}$ ;

     en notant «$\;q_{\,_{k}}\;$» la charge d’un porteur de type $\;_{k}\;$, la « densité volumique de charge des porteurs de type $\;_{k}\;$ dans l’échantillon mésoscopique centré en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}$ $\;{\big (}$la distribution volumique continue de charges mobiles${\big )}\;$» à savoir «$\;\rho _{m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$» s'écrit selon «$\;\rho _{m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)=q_{\,_{k}}\;N_{V,\,m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$ exprimée en $\;C\cdot m^{-3}\;$» .

     Conclusion : La caractérisation de la distribution continue volumique de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ nécessite, non seulement la connaissance de la densité volumique de charge des porteurs de charge mobiles de chaque différent type $\;_{k}\;$ «$\;\rho _{m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$» en tout point $\;P\;$ de l'expansion tridimensionnelle de la distribution $\;{\mathcal {D}}_{m}$ $\;{\big [}$la charge des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ contenue dans le volume élémentaire $\;d\tau \;$ entourant le point $\;P\;$ s'écrivant alors «$\;dq_{k}=\rho _{m,\,{\text{type}}\,_{k}}(P)\;d\tau \;$»${\big ]}$,
        Conclusion : La caractérisation de la distribution continue volumique de charges mobiles Dm nécessite, mais aussi celle du vecteur vitesse moyen des porteurs de charge mobiles de chaque différent type $\;_{k}\;$ en tout point $\;P\;$ de l'expansion tridimensionnelle de la distribution $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;{\vec {V}}_{{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$» ,
     Conclusion : toutes les charges mobiles «$\;dq_{k}\;$», considérées comme « quasi ponctuelles à l’échelle macroscopique  » de vecteur vitesse «$\;{\vec {V}}_{{\text{type}}\,_{k}}(P)\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$
     Conclusion : toutes les charges mobiles « dqk », sont les « sources centrées en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}\;$ du champ magnétique créé par ces dernières en tout point $\;M\;$ de l'espace » ;
     Conclusion : remarque : tous les porteurs de charge mobiles d’un même type $\;_{k}\;$ ayant un même vecteur vitesse moyen dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ en traversant l'expansion tridimensionnelle de volume élémentaire $\;d\tau \;$ centrée en $\;P$, on peut remplacer « le déplacement des porteurs de ce type » par un « courant » associé à ce type,
     Conclusion : remarque : ce remplacement entraînant l'introduction d'autant de « courants » qu’il y a de « types de porteurs de charge mobiles » $\;\ldots$

Notion de vecteur densité volumique de courant associé à un type de porteurs de charge mobiles défini en un point d'une distribution continue volumique

Vecteur densité volumique de courant associé à un type de porteurs de charge mobiles défini en un point P d'une distribution continue volumique

     Le vecteur densité volumique de courant associé à un type $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles défini en tout point $\;P\;$ de la distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ est le champ vectoriel «$\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$»

• de direction $\;\parallel \;$ à celle de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ le vecteur vitesse d'entraînement du porteur de charge mobile de type $\;_{k}\;$ en $\;P\;$,
• de sens identique au sens de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ pour des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ dont la charge individuelle $\;q_{p,\,_{k}}\;$ est $\;>0\;$
  de sens contraire au sens de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ pour des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ dont la charge individuelle $\;q_{p,\,_{k}}\;$ est $\;<0$,
• de norme égale à la quantité d'électricité des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ traversant $\;P\;$ par $\;s\;$ et par $\;m^{2}\;$ de section droite, $\;\Vert {\vec {j}}_{k}(P)\Vert \;$ s'exprime donc en «$\;C\cdot s^{-1}\cdot m^{-2}=A\cdot m^{-2}\;$» ;

le sens de $\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$ définit le sens du courant associé aux porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$.

Lien entre le vecteur densité volumique de courant associé à un type de porteur de charge mobile et le vecteur vitesse d'ensemble de ce type

Schéma de définition du vecteur densité volumique de courant en $\;P$, associé à un type de porteurs de charge mobiles d'une distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ dans le but d'établir son lien avec le vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteurs dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$

     Le vecteur densité volumique de courant associé à un type $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles défini en tout point $\;P\;$ de la distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$» est lié

• au vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteur défini au même point $\;P\;$ de la même distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» $\;{\big [}$de norme «$\;\Vert {\vec {V}}(P)\Vert \;$» notée simplement «$\;v\;$» sur le schéma ci-contre${\big ]}\;$ et
• à la densité volumique de charge en porteurs de charge mobiles de ce type définie en $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;\rho _{m,\,_{k}}(P)\;$»

     par la relation suivante $\;{\big (}$à retenir et à savoir retrouver${\big )}\;$

«$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» .

     Démonstration : Les porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ qui traversent une section droite élémentaire centrée en $\;P$ $\;{\big (}$surface hachurée sur le schéma ci-contre${\big )}$, d’aire $\;dS$, entre $\;t\;$ et $\;t+dt$, se trouvaient, à l’instant $\;t\;$ dans le cylindre de même section droite et de longueur $\;v\;dt$ $\;{\big (}$cylindre matérialisé sur le schéma ci-dessus à droite${\big )}$ ;

     Démonstration : la densité volumique de porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ étant «$\;N_{V,\,m,\,_{k}}(P)\;$» au point $\;P$, le nombre de porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ traversant la section droite élémentaire centrée en $\;P$, d’aire $\;dS$, entre $\;t\;$ et $\;t+dt$, est donc «$\;\delta N_{m,\,dS,\,dt,\,_{k}}=N_{V,\,m,\,_{k}}(P)\times \left(dS\;v\,dt\right)\;$ » et
     Démonstration : en notant $\;q_{p,\,_{k}}\;$ la charge d'un porteur de charge mobile de type $\;_{k}\;$, la charge traversant la même section droite élémentaire centrée en $\;P$, d’aire $\;dS$, entre $\;t\;$ et $\;t+dt$, est égale à «$\;\delta q_{dS,\,dt,\,_{k}}=$ $q_{p,\,_{k}}\times \delta N_{m,\,dS,\,dt,\,_{k}}=q_{p,\,_{k}}\;N_{V,\,m,\,_{k}}(P)\;dS\;v\;dt\;$» ou encore,
     Démonstration : en introduisant la densité volumique de charge des porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ au point $\;P\;$ «$\;\rho _{m,\,_{k}}(P)=q_{p,\,_{k}}\;N_{V,\,m,\,_{k}}(P)\;$», «$\;\delta q_{dS,\,dt,\,_{k}}=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;dS\;v\;dt\;$» ;

     Démonstration : la quantité d’électricité associée aux porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ traversant $\;dS\;$ entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$ «$\;\delta Q_{dS,\,dt,\,_{k}}\;$» étant, par définition, la valeur absolue de la charge associée aux mêmes porteurs traversant la même section pendant la même durée «$\;\vert \delta q_{dS,\,dt,\,_{k}}\vert \;$» est donc «$\;\delta Q_{dS,\,dt,\,_{k}}=\vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert \;dS\;v\;dt\;$» et
     Démonstration : la norme du vecteur densité volumique de courant associé aux porteurs de charge mobiles de type $\;_{k}\;$ «$\;\Vert {\vec {j}}_{k}(P)\Vert \;$» étant la quantité d’électricité traversant par $\;m^{2}\;$ de section droite centrée en $\;P\;$ et par $\;s$, on en déduit «$\;\Vert {\vec {j}}_{k}(P)\Vert ={\dfrac {\delta Q_{dS,\,dt,\,_{k}}}{dS\;dt}}\;$» soit finalement

«$\;\Vert {\vec {j}}_{k}(P)\Vert =\vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert \;v=\Vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\Vert \;$» ;

     Démonstration : sachant que, par définition, la direction de $\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$ est celle de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$, on en déduit que «$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\pm \vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert \;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» et
     Démonstration : sachant que, par définition, le sens de $\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$ est celui de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ si $\;q_{p,\,_{k}}\;$ est $\;>0\;$ et contraire à celui de $\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$ si $\;q_{p,\,_{k}}\;$ est $\;<0$, on en déduit :

     Démonstration : $\;\succ \;$pour «$\;q_{p,\,_{k}}>0\;$», «$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert \;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» ou, $\;\rho _{m,\,_{k}}(P)\;$ étant $\;>0$, soit

pour «$\;q_{p,\,_{k}}>0\;$», «$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» C.Q.F.D. ,

     Démonstration : $\;\succ \;$pour «$\;q_{p,\,_{k}}<0\;$», «$\;{\vec {j}}_{k}(P)=-\vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert \;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» ou, $\;\rho _{m,\,_{k}}(P)\;$ étant $\;<0\;$ $\Rightarrow$ $\;\rho _{m,\,_{k}}(P)=-\vert \rho _{m,\,_{k}}(P)\vert$, soit

pour «$\;q_{p,\,_{k}}<0\;$», «$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» C.Q.F.D. .

Généralisation de la notion de vecteur densité volumique de courant au cas de plusieurs types de porteurs de charge mobiles

     Le vecteur densité volumique de courant en un point $\;P\;$ d'une distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {j}}(P)\;$» dans laquelle il y a plusieurs types $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles est la somme des
     Le vecteurs densités volumiques de courant associés à chaque type $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles définis au même point $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ «$\;{\vec {j}}_{k}(P)\;$» pour lesquels

«$\;{\vec {j}}_{k}(P)=\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$»

     avec «$\;\rho _{m,\,_{k}}(P)\;$» la densité volumique de charge en porteurs de charge mobiles de ce type définie en $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ et
     avec «$\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» le vecteur vitesse d'entraînement de ce type de porteur défini au même point $\;P\;$ de $\;{\mathcal {D}}_{m}$,
     d'où la relation déduite de la définition du vecteur densité volumique de courant en un point $\;P\;$ de la distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ à plusieurs types $\;_{k}\;$ de porteurs de charge mobiles

«$\;{\vec {j}}(P)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,n}{\vec {j}}_{k}(P)=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,n}\rho _{m,\,_{k}}(P)\;{\vec {V}}_{k}(P)\;$» avec $\;n\;$ le nombre de types de porteurs de charge mobiles de $\;{\mathcal {D}}_{m}$.

     Remarque : Le sens du vecteur densité volumique de courant en un point $\;P\;$ d'une distribution continue volumique $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ à savoir le sens de $\;{\vec {j}}(P)\;$ définit le sens $\;{\big (}$conventionnel${\big )}\;$ du courant en $\;P\in {\mathcal {D}}_{m}$, c'est aussi le sens de déplacement des porteurs de charge mobiles de charge positive et le sens contraire de déplacement des porteurs de charge mobiles de charge négative.

     Exemples : $\;\succ \;$Un 1^er exemple reprend celui cité en note « ²³ (dans une solution aqueuse électrolytique) » plus haut dans ce chapitre à savoir une solution aqueuse décimolaire de chlorure cuivrique contenant deux types de porteurs de charge mobiles « des anions $\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$» et « des cations $\;Cu_{\text{aq}}^{2+}\;$»
          Exemples : Un 1^er exemple de charge et de densité volumique de charge respectives «$\;q_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\simeq -1,6\;10^{-19}\;C\;$ avec $\;\rho _{m,\,Cl_{\text{aq}}^{-}}=q_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\;N_{V,\,m,\,Cl_{\text{aq}}^{-}}\;$» et «$\;q_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\simeq 3,2\;10^{-19}\;C\;$ avec $\;\rho _{m,\,Cu_{\text{aq}}^{2+}}=$ $q_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;N_{V,\,m,\,Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;$»,
          Exemples : Un 1^er exemple la densité volumique en anions $\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$ et en cations $\;Cu_{\text{aq}}^{2+}\;$ se déduisant de la « concentration volumique molaire $\;c=10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ de la solution aqueuse de $\;\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}\;$» associée à la « réaction de dissolution du soluté $\;\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}\;{\overset {H_{2}O}{\;\rightarrow \;}}\;Cu_{\text{aq}}^{2+}+2\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$» soit «$\;N_{V,\,m,\,Cl_{\text{aq}}^{-}}={\mathcal {N}}\times \left(2\;n_{V}\right)\;$ et $\;N_{V,\,m,\,Cu_{\text{aq}}^{2+}}={\mathcal {N}}\times \left(n_{V}\right)\;$» dans lesquelles $\;{\mathcal {N}}\simeq$ $6,02\;10^{23}\;mol^{-1}\;$ est la constante d'Avogadro $\Rightarrow$ la densité volumique en anions $\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$ s'évalue par «$\;N_{V,\,m,\,Cl_{\text{aq}}^{-}}\simeq 6,02\;10^{23}\times \left[2\times \left(1000\times 10^{-1}\right)\right]\simeq 12\;10^{25}\;m^{-3}\;$» et celle en cations $\;Cu_{\text{aq}}^{2+}\;$ par «$\;N_{V,\,m,\,Cu_{\text{aq}}^{2+}}\simeq$ $6,02\;10^{23}\times \left(1000\times 10^{-1}\right)\simeq 6\;10^{25}\;m^{-3}\;$» soit finalement
          Exemples : Un 1^er exemple les densités volumiques de charge respectives «$\;\rho _{m,\,Cl_{\text{aq}}^{-}}\simeq -1,6\;10^{-19}\times 12\;10^{25}\simeq -1,9\;10^{7}\;C\cdot m^{-3}\;$» et «$\;\rho _{m,\,Cu_{\text{aq}}^{2+}}\simeq 3,2\;10^{-19}\times 6\;10^{25}\simeq 1,9\;10^{7}\;C\cdot m^{-3}\;$» $\;{\big (}$les densités volumiques de charge de chaque type de porteurs de charge mobiles sont opposées en accord avec l'électroneutralité de la solution${\big )}$ ;
          Exemples : Un 1^er exemple notant $\;{\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;$ les vecteurs vitesse d'entraînement respectifs des anions $\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$ et des cations $\;Cu_{\text{aq}}^{2+}\;$ dans la solution aqueuse décimolaire de chlorure cuivrique plongée dans un électrolyseur aux bornes duquel on impose une tension électrique pour engendrer un courant $\;{\big [}{\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;$ étant de direction et de sens du champ électrique local imposé de l'extérieur et $\;{\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\;$ de direction mais de sens contraire à ce champ électrique local , ces deux vecteurs vitesse ont même direction mais sont de sens contraire soit, en notant $\;{\vec {\tau }}\;$ le vecteur unitaire définissant la direction et le sens du champ électrique local, «$\;{\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}=\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» et «$\;{\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}=-\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$»${\big ]}$,
          Exemples : Un 1^er exemple la densité volumique de courant associée aux anions $\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$ de la solution aqueuse décimolaire de $\;\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}\;$ plongée dans un champ électrique extérieur s'écrit $\;{\vec {j}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}=$ $\rho _{Cl_{\text{aq}}^{-}}\;{\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}=-\vert \rho _{Cl_{\text{aq}}^{-}}\vert \left[-\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;$ ou «$\;{\vec {j}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}=\vert \rho _{Cl_{\text{aq}}^{-}}\vert \;\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» dans le sens du champ électrique local $\;{\big [}$c.-à-d. le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}$,
                                                      Exemples : Un 1^er exemple celle associée aux cations $\;Cu_{\text{aq}}^{2+}\;$ de la même solution aqueuse décimolaire de $\;\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}\;$ plongée dans un même champ électrique extérieur s'écrit $\;{\vec {j}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}=\rho _{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;{\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}=\vert \rho _{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\vert \left[\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;$ ou «$\;{\vec {j}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}=\vert \rho _{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\vert \;\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» également dans le sens du champ électrique local $\;{\big [}$c.-à-d. le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}$, d'où
          Exemples : Un 1^er exemple la densité volumique de courant circulant dans la solution aqueuse décimolaire de $\;\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}\;$ plongée dans un champ électrique «$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}}={\vec {j}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}+{\vec {j}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\;$» s'écrivant finalement, en notant «$\;\vert \rho _{m}\vert \;$ la valeur commune de $\;\vert \rho _{Cl_{\text{aq}}^{-}}\vert =\vert \rho _{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\vert \simeq 1,9\;10^{7}\;C\cdot m^{-3}\;$»,

«$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}}=\vert \rho _{m}\vert \,\left[\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}\simeq 1,9\;10^{7}\,\left[\Vert {\vec {V}}_{Cl_{\text{aq}}^{-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{Cu_{\text{aq}}^{2+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}$
$\;{\big (}$le vecteur densité volumique de courant étant de norme exprimée en $\;A\cdot m^{-2}\;$ et les vitesses en $\;m\cdot s^{-1}{\big )}\;$
avec $\;{\vec {\tau }}\;$ le vecteur unitaire définissant la direction et le sens du champ électrique local,
«$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left(CuCl_{2}\right)_{(s)}}\;$ est dans le sens du champ électrique local » $\;{\big [}$c.-à-d. le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}$.

     Exemples : $\;\succ \;$2^ème exemple : une solution aqueuse décimolaire de sulfate d'ammonium dont l'acidité a été renforcée par ajout d'un même volume d'une solution aqueuse décimolaire d'acide sulfurique contient trois types de porteurs de charge mobiles « des anions $\;\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;$» et « deux cations différents $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ et $\;H_{\text{aq}}^{+}\;$»
          Exemples : 2^ème exemple : de charge et de densité volumique de charge respectives «$\;q_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\simeq -3,2\;10^{-19}\;C\;$ avec $\;\rho _{m,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}=q_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\;N_{V,\,m,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\;$» ainsi que «$\;q_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;$ avec $\;\rho _{m,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=q_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;N_{V,\,m,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;$» et «$\;q_{H_{\text{aq}}^{+}}\simeq 1,6\;10^{-19}\;C\;$ avec $\;\rho _{m,\,H_{\text{aq}}^{+}}=q_{H_{\text{aq}}^{+}}\;N_{V,\,m,\,H_{\text{aq}}^{+}}\;$»,
          Exemples : 2^ème exemple : la densité volumique en anions $\;\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;$ ainsi qu'en cations $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ et $\;H_{\text{aq}}^{+}\;$ se déduisant des « concentrations volumiques molaires $\;{\big (}$dans le mélange étudié${\big )}$ $\;c=$ $5\;10^{-2}\;mol\cdot L^{-1}\;$ de la solution aqueuse de $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;$ et de celle de $\;\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;$»
          Exemples : 2^ème exemple : associée aux « réactions de dissolution de chaque soluté $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;{\overset {H_{2}O}{\;\rightarrow \;}}\;2\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}+\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et $\;\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;{\overset {H_{2}O}{\;\rightarrow \;}}\;2\;H_{\text{aq}}^{+}+\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» ainsi qu'à
          Exemples : 2^ème exemple : « la réaction acido-basique de Brønsted-Lowry $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;{\overset {H_{2}O}{\;\rightleftharpoons \;}}\;\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}+H_{\text{aq}}^{+}\;\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$» de constante d'équilibre égale à la constante d'acidité de l'acide $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ «$\;K_{a}$ $=10^{-9,25}\;$», valeur faible autorisant une réaction très peu avancée $\;{\big (}$hypothèse à valider${\big )}\;$ d'où
               Exemples : 2^ème exemple : une concentration volumique molaire d'ammoniac $\;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\ll \;$ devant celle en ammonium $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\;$ dont on déduit, en utilisant le caractère total de la réaction $\;\left({\mathfrak {a}}\right)$, $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\simeq 2\times 5\;10^{-2}=10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ ou $\;n_{V,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\simeq 100\;mol\cdot m^{-3}\;$ dont on tire la densité volumique en cations $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ «$\;N_{V,\,m,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}={\mathcal {N}}\times n_{V,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;$» soit «$\;N_{V,\,m,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}$ $\simeq 6\;10^{25}\;m^{-3}\;$» et
               Exemples : 2^ème exemple : une concentration volumique molaire en ion hydrogène hydraté fourni par la réaction $\;\left({\mathfrak {c}}\right)$ $\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {c}}\right)}\ll \;$ devant celle en ion hydrogène hydraté fourni par la réaction $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$ $\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$ dont on déduit la valeur, en utilisant le caractère total de la réaction $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$, $\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}=2\times 5\;10^{-2}\;mol\cdot L^{-1}=10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ d'où $\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]=\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}\;{\cancel {+\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]_{\left({\mathfrak {c}}\right)}}}\simeq 10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ ou $\;n_{V,\,H_{\text{aq}}^{+}}\simeq 100\;mol\cdot m^{-3}\;$ dont on tire la densité volumique en cations $\;H_{\text{aq}}^{+}\;$ «$\;N_{V,\,m,\,H_{\text{aq}}^{+}}={\mathcal {N}}\times n_{V,\,H_{\text{aq}}^{+}}\;$» soit «$\;N_{V,\,m,\,H_{\text{aq}}^{+}}\simeq$ $6\;10^{25}\;m^{-3}\;$», enfin
          Exemples : 2^ème exemple : la concentration volumique molaire en ion sulfate hydraté résultant des deux réactions totales $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {b}}\right)$, on en déduit $\;\left[\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\right]=\left[\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\right]_{\left({\mathfrak {a}}\right)}+\left[\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\right]_{\left({\mathfrak {b}}\right)}\simeq$ $10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ ou $\;n_{V,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\simeq 100\;mol\cdot m^{-3}\;$ dont on tire la densité volumique en anions $\;\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;$ «$\;N_{V,\,m,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}={\mathcal {N}}\times n_{V,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\;$» soit «$\;N_{V,\,m,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\simeq$ $6\;10^{25}\;m^{-3}\;$», au final
          Exemples : 2^ème exemple : les densités volumiques de charge respectives «$\;\rho _{m,\,\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\simeq -3,2\;10^{-19}\times 6\;10^{25}\simeq -1,92\;10^{7}\;C\cdot m^{-3}\;$», «$\;\rho _{m,\,H_{\text{aq}}^{+}}\simeq 1,6\;10^{-19}\times 6\;10^{25}\simeq$ $9,6\;10^{6}\;C\cdot m^{-3}\;$» et «$\;\rho _{m,\,\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\simeq 1,6\;10^{-19}\times 6\;10^{25}\simeq 9,6\;10^{6}\;C\cdot m^{-3}\;$» $\;{\big (}$la somme des densités volumiques de charge en chaque type de cations est opposée à la densité volumique de charge en anions en accord avec l'électroneutralité de la solution${\big )}$ $\;{\bigg \{}$avant de poursuivre on valide l'hypothèse de réaction $\;\left({\mathfrak {c}}\right)\;$ très peu avancée c.-à-d. qu'on doit valider $\;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\ll \left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\simeq 10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ en utilisant $\;\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]\simeq$ $10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\;$ et la constante d'acidité de $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ soit $\;K_{a}={\dfrac {\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\times \left[H_{\text{aq}}^{+}\right]}{\left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]={\dfrac {K_{a}\times \left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]}{\left[H_{\text{aq}}^{+}\right]}}\;$ soit numériquement $\;\left[\left(NH_{3}\right)_{\text{aq}}\right]\simeq 10^{-9,25}\;mol\cdot L^{-1}\;$ effectivement $\;\ll \;$ devant $\;10^{-1}\;mol\cdot L^{-1}\simeq \left[\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\right]\;$ C.Q.F.V. ${\bigg \}}$ ;
          Exemples : 2^ème exemple : notant $\;{\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}$, $\;{\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\;$ les vecteurs vitesse d'entraînement respectifs des anions $\;\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;$ ainsi que des cations $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ et $\;H_{\text{aq}}^{+}\;$ dans le mélange à volume égal de deux solutions aqueuses décimolaires de sulfate d'ammonium et d'acide sulfurique plongé dans un électrolyseur aux bornes duquel on impose une tension électrique pour engendrer un courant $\;{\big [}{\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;$ et $\;{\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\;$ étant de direction et de sens du champ électrique local imposé de l'extérieur et $\;{\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\;$ de direction mais de sens contraire à ce champ électrique local , les vecteurs vitesse des anions et ceux des cations ont même direction mais sont de sens contraire soit, en notant $\;{\vec {\tau }}\;$ le vecteur unitaire définissant la direction et le sens du champ électrique local, «$\;{\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$», «$\;{\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}$ $=\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» et «$\;{\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}=-\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$»${\big ]}$,
          Exemples : 2^ème exemple la densité volumique de courant associée aux anions $\;\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}\;$ du mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;$ et d'$\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;$ plongé dans un champ électrique extérieur s'écrit $\;{\vec {j}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}=$ $\rho _{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\;{\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}=-\vert \rho _{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\vert \left[-\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;$ ou «$\;{\vec {j}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}=\vert \rho _{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\vert \;\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» dans le sens du champ électrique local $\;{\big [}$c.-à-d. le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}$,
                                                      Exemples : 2^ème exemple celle associée aux cations $\;\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}\;$ du même mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;$ et d'$\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;$ plongé dans un même champ électrique extérieur s'écrit $\;{\vec {j}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=\rho _{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\;{\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=\vert \rho _{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\vert \left[\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;$ ou «$\;{\vec {j}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}=\vert \rho _{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\vert \;\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» également dans le sens du champ électrique local $\;{\big [}$c.-à-d. le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}\;$ ainsi que
                                                      Exemples : 2^ème exemple celle associée aux cations $\;H_{\text{aq}}^{+}\;$ du même mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;$ et d'$\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;$ plongé dans un même champ électrique extérieur s'écrit $\;{\vec {j}}_{H_{\text{aq}}^{+}}=\rho _{H_{\text{aq}}^{+}}\;{\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}=\vert \rho _{H_{\text{aq}}^{+}}\vert \left[\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\right]\;$ ou «$\;{\vec {j}}_{H_{\text{aq}}^{+}}=\vert \rho _{H_{\text{aq}}^{+}}\vert \;\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \;{\vec {\tau }}\;$» également dans le sens du champ électrique local $\;{\big [}$c.-à-d. le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}$, d'où
          Exemples : 2^ème exemple la densité volumique de courant circulant dans le mélange à volume égal des deux solutions aqueuses décimolaires de $\;\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\;$ et d'$\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}\;$ plongé dans un champ électrique «$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\,\cup \,\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}}={\vec {j}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}+{\vec {j}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}+{\vec {j}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\;$» soit, en notant «$\;\vert \rho _{m}\vert \;$ la valeur commune de $\;{\dfrac {\vert \rho _{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\vert }{2}}=\vert \rho _{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\vert =\vert \rho _{H_{\text{aq}}^{+}}\vert \simeq 9,6\;10^{6}\;C\cdot m^{-3}\;$»,

«$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\,\cup \,\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}}=\vert \rho _{m}\vert \,\left[2\;\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}\simeq 9,6\;10^{6}\,\left[2\;\Vert {\vec {V}}_{\left(SO_{4}\right)_{\text{aq}}^{2-}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{\left(NH_{4}\right)_{\text{aq}}^{+}}\Vert +\Vert {\vec {V}}_{H_{\text{aq}}^{+}}\Vert \right]\,{\vec {\tau }}$
$\;{\big (}$le vecteur densité volumique de courant étant de norme exprimée en $\;A\cdot m^{-2}\;$ et les vitesses en $\;m\cdot s^{-1}{\big )}\;$
avec $\;{\vec {\tau }}\;$ le vecteur unitaire définissant la direction et le sens du champ électrique local,
«$\;{\vec {j}}_{{\text{sol. de}}\,\left[\left(NH_{4}\right)_{2}SO_{4}\right]_{(s)}\,\cup \,\left(H_{2}SO_{4}\right)_{({\mathit {l}})}}\;$ est dans le sens du champ électrique local » $\;{\big [}$c.-à-d. le sens des potentiels $\;\searrow \;$${\big ]}$.

Notion de vecteur élément de courant en un point P de la distribution continue volumique de charges mobiles, source du champ magnétique en tout point M de l'espace

Vecteur élément de courant en un point d'une distribution continue volumique de charges mobiles

     Le vecteur élément de courant défini en un point quelconque $\;P\;$ de la distribution continue volumique de charges mobiles $\;{\mathcal {D}}_{m}\;$ est le champ vectoriel élémentaire «$\;{\overrightarrow {dC}}(P)={\vec {j}}(P)\;d\tau \;$»      dans lequel «$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$