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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Les torseurs Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les torseurs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Un espace tridimensionnel
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
affine barycentre [ 1] Un espace tridimensionnel
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
euclidien espace affine »[ 2]
R
−
{\displaystyle \;\mathbb {R} -}
vectoriel [ 3] Un espace tridimensionnel
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
un produit scalaire [ 4] espace affine [ 5] Un espace tridimensionnel
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
l'angle entre deux bipoints[ 6]
Un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel a été introduit dans le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap.
13
{\displaystyle 13}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », sa définition est rappelée ci-dessous :
Champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel
On définit un champ de vecteurs
f
→
{\displaystyle \;{\vec {f}}\;}
en
M
{\displaystyle \;M\;}
point de l'
espace affine euclidien tridimensionnel
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[ 7] selon :
M
→
f
→
f
→
(
M
)
∈
V
,
∀
M
∈
E
{\displaystyle \;M\;{\overset {\vec {f}}{\rightarrow }}\;{\vec {f}}(M)\in {\mathcal {V}},\;\forall \;M\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] , où
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
est l'espace
R
−
{\displaystyle \;\mathbb {R} -}
vectoriel de dimension trois, « direction de l'
espace affine »
[ 2] euclidien
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}
.
Équiprojectivité d'un champ de vecteur d'un espace affine euclidien tridimensionnel
Un champ de vecteurs
f
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {f}}(M)\;}
défini en
M
∈
E
{\displaystyle \;M\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] est «
équiprojectif » si
∀
(
M
,
N
)
∈
E
2
,
f
→
(
M
)
⋅
M
N
→
=
f
→
(
N
)
⋅
M
N
→
{\displaystyle \;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\vec {f}}(M)\cdot {\overrightarrow {MN}}={\vec {f}}(N)\cdot {\overrightarrow {MN}}}
On démontre alors qu'il existe un
endomorphisme [ 8] antisymétrique [ 9]
u
{\displaystyle \;u\;}
tel que
∀
(
M
,
N
)
∈
E
2
,
f
→
(
N
)
=
f
→
(
M
)
+
u
(
M
N
→
)
{\displaystyle \;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\vec {f}}(N)={\vec {f}}(M)+u\!\left({\overrightarrow {MN}}\right)}
Les torseurs sont essentiellement utilisés en mécanique
(
{\displaystyle \;{\big (}}
mécanique du solide
)
{\displaystyle {\big )}}
le champ de vitesses d'un solide [ 10]
[
{\displaystyle \;{\big [}}
solide reste constante
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
le champ de moments de forces de même source[ 11] solide [ 10]
[
{\displaystyle \;{\big [}}
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
…
{\displaystyle \;\ldots \;}
Définition d'un torseur
Un
torseur est un
champ de vecteurs équiprojectif
t
→
(
)
{\displaystyle \;{\vec {t}}()\;}
[ 12] défini sur un
espace affine euclidien
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[ 7] tridimensionnel soit plus précisément
Un torseur est une application
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
de
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[ 7] dans
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
direction
[ 2] de
E
]
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}\;}
telle que
∀
M
∈
E
{\displaystyle \;\forall \;M\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7]
M
→
T
T
(
M
)
=
t
→
M
∈
V
{\displaystyle M\;{\overset {\mathcal {T}}{\rightarrow }}\;{\mathcal {T}}(M)={\vec {t}}_{M}\in {\mathcal {V}}\;}
∀
(
M
,
N
)
∈
E
2
{\displaystyle \;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2}\;}
[ 7]
t
→
M
⋅
M
N
→
=
t
→
N
⋅
M
N
→
{\displaystyle {\vec {t}}_{M}\cdot {\overrightarrow {MN}}={\vec {t}}_{N}\cdot {\overrightarrow {MN}}\;}
[ 13]
Appellation :
T
(
M
)
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}(M)\;}
M
∈
E
{\displaystyle \;M\in {\mathcal {E}}\;}
moment du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
au point
M
{\displaystyle \;M\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
[ 2]
E
]
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}}
Appellation :
T
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}(M)}\;}
M
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{M\in {\mathcal {E}}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
{\displaystyle \;\color {transparent}{M}\;}
le torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[ 7]
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
[ 2]
E
]
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}}
Début d’un théorème
Relation de Varignon (ou règle de transport des moments)
La
relation de Varignon [ 14]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
admise
)
{\displaystyle {\big )}\;}
s'énonce sous une forme directe et une forme réciproque :
Forme directe : Soit un
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
sur
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}
, il existe un unique vecteur
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
de
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
direction
[ 2] de
E
]
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}\;}
vérifiant
∀
(
M
,
N
)
∈
E
2
,
T
(
N
)
=
T
(
M
)
+
R
→
∧
M
N
→
{\displaystyle \;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\quad {\mathcal {T}}(N)={\mathcal {T}}(M)+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}\;}
[ 15]
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
la résultante du torseur ». Forme réciproque : Si
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
[ 2]
E
]
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}\;}
Forme réciproque : s'il existe un couple
(
A
,
R
→
)
∈
E
×
V
{\displaystyle \;\left(A\,,\,{\vec {R}}\right)\in {\mathcal {E}}\times {\mathcal {V}}\;}
∀
M
∈
E
,
T
(
M
)
=
T
(
A
)
+
R
→
∧
A
M
→
{\displaystyle \quad \forall \;M\in {\mathcal {E}},\;{\mathcal {T}}(M)={\mathcal {T}}(A)+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AM}}}
Forme réciproque : alors
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
torseur sur
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
résultante
Fin du théorème
Remarque : D'après la relation de Varignon [ 14]
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
{
T
(
M
)
,
T
(
N
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace \;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[ 16] Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
M
N
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {MN}}\;}
[
M
N
→
{\displaystyle {\Big [}{\overrightarrow {MN}}}
espace Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
M
N
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;}
[
M
N
→
{\displaystyle \color {transparent}{{\Big [}{\overrightarrow {MN}}}}
est nécessairement un vecteur polaire
(
{\displaystyle \;{\big (}}
vrai vecteur
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 17]
]
{\displaystyle {\Big ]}}
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
er type de torseur correspondant à
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
espace affine
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
vecteur polaire Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
er type de torseur correspondant à
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
vrai vecteur
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 17] Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
er type de torseur
≻
{\displaystyle \succ \;}
{
R
→
,
M
N
→
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {MN}}\right\rbrace \;}
vecteurs polaires
(
{\displaystyle \;{\big (}}
vrais vecteurs
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 17] Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
er type de torseur
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
R
→
,
M
N
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {MN}}}\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
espace affine
)
{\displaystyle {\big )}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
er type de torseur
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
R
→
∧
M
N
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}\;}
vecteur axial [ 18]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
pseudo-vecteur
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 19] Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
er type de torseur
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
R
→
∧
M
N
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}}\;}
dépend de l'orientation de l'espace affine et Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
er type de torseur
≻
{\displaystyle \succ \;}
{
T
(
M
)
,
T
(
N
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace \;}
[
{\displaystyle {\big [}}
R
→
∧
M
N
→
]
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}\;}
vecteurs axiaux
(
{\displaystyle \;{\big (}}
pseudo-vecteurs
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 19] Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
er type de torseur
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
T
(
M
)
,
T
(
N
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)}\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\big [}}
R
→
∧
M
N
→
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}}\;}
dépendants de l'orientation de l'espace affine , Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
ème type de torseur correspondant à
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
espace affine
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
vecteur axial Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
ème type de torseur correspondant à
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
pseudo-vecteur
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 19] Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
ème type de torseur comme
M
N
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {MN}}\;}
vecteur polaire
(
{\displaystyle \;{\big (}}
vrai vecteur
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 17] Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
ème type de torseur comme
M
N
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;}
R
→
∧
M
N
→
{\displaystyle {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}\;}
vecteur polaire [ 20]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
vrai vecteur
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 17] Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
ème type de torseur comme
M
N
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;}
R
→
∧
M
N
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}}\;}
vectorielle dépend de l'orientation de l'espace affine , en résumé : Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
ème type de torseur
≻
{\displaystyle \succ \;}
{
T
(
M
)
,
T
(
N
)
}
{\displaystyle \left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace \;}
[
{\displaystyle {\big [}}
M
N
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {MN}}\;}
R
→
∧
M
N
→
]
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}\;}
vecteurs polaires Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
ème type de torseur
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
{
T
(
M
)
,
T
(
N
)
}
{\displaystyle \color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace }\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\big [}}
M
N
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;}
R
→
∧
M
N
→
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}}\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
vrais vecteurs
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 17] Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
ème type de torseur
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
{
T
(
M
)
,
T
(
N
)
}
{\displaystyle \color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace }\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\big [}}
M
N
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;}
R
→
∧
M
N
→
]
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}}\;}
indépendants de l'orientation de l'espace et Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
ème type de torseur
≻
{\displaystyle \succ \;}
R
→
{\displaystyle {\vec {R}}\;}
vecteur axial
(
{\displaystyle \;{\big (}}
pseudo-vecteur
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 19] espace affine .
[ modifier | modifier le wikicode ] Un torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
espace affine euclidien tridimensionnel
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[ 7]
∈
{\displaystyle \;\in \;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
[ 2]
E
]
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}}
types de torseurs suivant que sa résultante
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
vecteur polaire
(
{\displaystyle \;{\big (}}
vrai vecteur
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 17] on distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
un vecteur axial
(
{\displaystyle \;{\big (}}
pseudo-vecteur
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 19]
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou vrai vecteur
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 17] torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
espace affine euclidien tridimensionnel
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[ 7] Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
étant déterminé par un couple de deux vecteurs
{
R
→
,
M
→
A
}
∈
V
2
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right\rbrace \in {\mathcal {V}}^{2}}
[
V
{\displaystyle \;{\big [}{\mathcal {V}}}
[ 2]
E
]
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}}
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante : Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
er vrai vecteur
(
{\displaystyle \;{\big (}}
vecteur polaire
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 17]
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
nd pseudo-vecteur
(
{\displaystyle \;{\big (}}
vecteur axial
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 19]
M
→
A
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;}
[ 21]
A
{\displaystyle \;A\;}
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
ce couple d'un vrai vecteur [ 17] pseudo-vecteur [ 19]
(
R
→
,
M
→
A
)
∈
V
2
{\displaystyle \;\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right)\in {\mathcal {V}}^{2}\;}
[ 22] Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
constitue « la réduction du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
au point
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
er vecteur « polaire »[ 17]
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
la résultante du torseur et Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
nd vecteur « axial »[ 19]
M
→
A
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\;}
le moment du torseur au point
A
{\displaystyle \;A}
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
cette réduction du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7]
T
=
{
R
→
M
→
A
}
A
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;}
[ 23] , [ 24]
Remarques : D'après la note « 24 torseurs formant un espace vectoriel de dimension six, Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur , après avoir choisi une base orthonormée
{
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
,
u
→
l
,
u
→
m
,
u
→
n
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\,,\,{\vec {u}}_{n}\right\rbrace \;}
[ 25] espace vectoriel de dimension six, Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par les six composantes de sa réduction en un point
A
{\displaystyle \;A\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[ 7] Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes[ 26] réduction du torseur au point
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire avec
{
R
→
=
X
u
→
x
+
Y
u
→
y
+
Z
u
→
z
M
→
A
=
L
A
u
→
l
+
M
A
u
→
m
+
N
A
u
→
m
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\vec {R}}\!\!\!&=&\!\!\!X\;{\vec {u}}_{x}+Y\;{\vec {u}}_{y}+Z\;{\vec {u}}_{z}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!\!&=&\!\!\!L_{A}\;{\vec {u}}_{l}+M_{A}\;{\vec {u}}_{m}+N_{A}\;{\vec {u}}_{m}\end{array}}\right\rbrace \;}
[ 27] , [ 28] réduction du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant ses coordonnées plückeriennes
T
=
{
X
L
A
Y
M
A
Z
N
A
}
A
,
(
u
→
x
u
→
l
u
→
y
u
→
m
u
→
z
u
→
n
)
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{l l}X&L_{A}\\Y&M_{A}\\Z&N_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A,\;\left({\begin{array}{l l}{\vec {u}}_{x}&{\vec {u}}_{l}\\{\vec {u}}_{y}&{\vec {u}}_{m}\\{\vec {u}}_{z}&{\vec {u}}_{n}\end{array}}\right)}}
Remarques : D'après la relation de Varignon [ 14] réduction du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] torseur en n'importe quel point
P
∈
E
{\displaystyle \;P\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{A\in {\mathcal {E}}}\;}
M
→
P
=
M
→
A
+
R
→
∧
A
M
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AM}}\;}
[ 29] , [ 30]
Exemples :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
torseurs statiques , voir le paragraphe « torseur statique » plus loin dans ce chapitre, la résultante étant appelée résultante dynamique notée
F
→
ext
{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;}
[ 31] Exemples :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
le moment résultant en
A
{\displaystyle \;A\;}
A
{\displaystyle \;A}
M
→
A
,
ext
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}\;}
[ 32] Exemples :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}\;}
torseur cinématique » plus loin dans ce chapitre, Exemples :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
la résultante étant appelée résultante cinétique , notée
P
→
/
R
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;}
[ 33] Exemples :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
le moment résultant en
A
{\displaystyle \;A\;}
moment cinétique résultant en
A
{\displaystyle \;A}
σ
→
A
/
R
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;}
[ 34] Exemples :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
la relation de Varignon [ 14]
P
{\displaystyle \;P\;}
σ
→
P
/
R
(
t
)
=
σ
→
A
/
R
(
t
)
+
P
→
/
R
(
t
)
∧
A
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!P\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)\;}
[ 35] Exemples :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}\;}
torseur dynamique » plus loin dans ce chapitre, Exemples :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
la résultante étant appelée, par certains, quantité d'accélération [ 36] , [ 37]
(
d
P
→
/
R
d
t
)
R
(
t
)
{\displaystyle \;\left({\dfrac {d\,{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}\right)_{\!{\mathcal {R}}}(t)\;}
[ 38] Exemples :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
le moment résultant en
A
{\displaystyle \;A\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
R
)
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}{\big )}}
torseur dynamique en
A
{\displaystyle \;A}
Exemples :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
(
{\displaystyle \color {transparent}{\big (}}
R
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {R}}{\big )}}}
noté
(
d
σ
→
A
/
R
d
t
)
R
(
t
)
{\displaystyle \;\left({\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}\right)_{\!{\mathcal {R}}}(t)\;}
[ 38] , [ 39] Exemples :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
la relation de Varignon [ 14]
P
{\displaystyle \;P\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
R
)
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}{\big )}}
(
A
{\displaystyle \;{\big (}A\;}
R
)
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}{\big )}}
Exemples :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
d
σ
→
P
/
R
d
t
(
t
)
=
d
σ
→
A
/
R
d
t
(
t
)
+
d
P
→
/
R
d
t
(
t
)
∧
A
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!P\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)={\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)+{\dfrac {d\,{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)\;}
[ 40]
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou pseudo-vecteur
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 19] torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
espace affine euclidien tridimensionnel
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[ 7] Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
étant déterminé par un couple de deux vecteurs
{
R
→
,
M
→
A
}
∈
V
2
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right\rbrace \in {\mathcal {V}}^{2}}
[
V
{\displaystyle \;{\big [}{\mathcal {V}}}
[ 2]
E
]
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}}
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante : Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
er pseudo-vecteur
(
{\displaystyle \;{\big (}}
vecteur axial
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 19]
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
nd vrai vecteur
(
{\displaystyle \;{\big (}}
vecteur polaire
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 17]
M
→
A
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;}
[ 21]
A
{\displaystyle \;A\;}
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
ce couple d'un pseudo-vecteur [ 19] vrai vecteur [ 17]
(
R
→
,
M
→
A
)
∈
V
2
{\displaystyle \;\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right)\in {\mathcal {V}}^{2}\;}
[ 22] Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
constitue « la réduction du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
au point
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
er vecteur « axial »[ 19]
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
la résultante du torseur et Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
nd vecteur « polaire »[ 17]
M
→
A
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\;}
le moment du torseur au point
A
{\displaystyle \;A}
Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
cette réduction du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7]
T
=
{
R
→
M
→
A
}
A
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;}
[ 23] , [ 41]
Remarques : D'après la note « 24 torseurs formant un espace vectoriel de dimension six, Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur , après avoir choisi une base orthonormée
{
u
→
′
x
,
u
→
′
y
,
u
→
′
z
,
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {{\vec {u}}'}_{x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{y}\,,\,{{\vec {u}}'}_{z}\,,\,{\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;}
[ 42] espace vectoriel de dimension six, Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par les six composantes de sa réduction en un point
A
{\displaystyle \;A\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[ 7] Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes[ 26] réduction du torseur au point
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire avec
{
R
→
=
X
u
→
′
x
+
Y
u
→
′
y
+
Z
u
→
′
z
M
→
A
=
L
A
u
→
x
+
M
A
u
→
y
+
N
A
u
→
z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\vec {R}}\!\!\!&=&\!\!\!X\;{{\vec {u}}'}_{x}+Y\;{{\vec {u}}'}_{y}+Z\;{{\vec {u}}'}_{z}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!\!&=&\!\!\!L_{A}\;{\vec {u}}_{x}+M_{A}\;{\vec {u}}_{y}+N_{A}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;}
[ 43] , [ 44] réduction du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] Remarques : D'après la note « 24 », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant ses coordonnées plückeriennes
T
=
{
X
L
A
Y
M
A
Z
N
A
}
A
,
(
u
→
′
x
u
→
x
u
→
′
y
u
→
y
u
→
′
z
u
→
z
)
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{l l}X&L_{A}\\Y&M_{A}\\Z&N_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A,\;\left({\begin{array}{l}{{\vec {u}}'}_{x}&{\vec {u}}_{x}\\{{\vec {u}}'}_{y}&{\vec {u}}_{y}\\{{\vec {u}}'}_{z}&{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right)}}
Remarques : D'après la relation de Varignon [ 14] réduction du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] torseur en n'importe quel point
P
∈
E
{\displaystyle \;P\in {\mathcal {E}}\;}
[ 7] Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{A\in {\mathcal {E}}}\;}
M
→
P
=
M
→
A
+
R
→
∧
A
M
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AM}}\;}
[ 29] , [ 45]
Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}\;}
torseur cinématique » plus loin dans ce chapitre, Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
la résultante étant appelée vecteur rotation instantanée notée
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
[ 46] Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
le moment résultant en un point
A
{\displaystyle \;A\;}
solide étant appelé vecteur vitesse de
A
{\displaystyle \;A\;}
référentiel
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}}
Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
noté
V
→
A
/
R
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;}
[ 47] Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel
R
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;}
la relation de Varignon [ 14]
P
{\displaystyle \;P}
solide , selon
V
→
P
/
R
(
t
)
=
V
→
A
/
R
(
t
)
+
Ω
→
(
t
)
∧
A
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{P\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {V}}_{A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)\;}
[ 48]
Deux torseurs
T
1
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}\;}
T
2
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{2}\;}
éléments de réduction au même point
A
{\displaystyle \;A\;}
T
1
=
T
2
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}={\mathcal {T}}_{2}\;}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
{
R
→
1
=
R
→
2
M
1
→
A
=
M
2
→
A
}
A
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}={\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{1}}}_{A}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{2}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;}
La somme de deux torseurs
T
1
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}\;}
T
2
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{2}\;}
torseur dont les éléments de réduction en un point
A
{\displaystyle \;A\;}
éléments de réduction de chacun des torseurs au même point
A
{\displaystyle \;A\;}
«
T
=
T
1
+
T
2
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{1}+{\mathcal {T}}_{2}\;}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
{
R
→
=
R
→
1
+
R
→
2
M
→
A
=
M
1
→
A
+
M
2
→
A
}
A
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {R}}\!\!&=&\!\!{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{1}}}_{A}+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{2}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;}
Soit
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
torseur quelconque,
∀
λ
∈
R
{\displaystyle \;\forall \;\lambda \in \mathbb {R} }
torseur
λ
×
T
{\displaystyle \;\lambda \times {\mathcal {T}}\;}
torseur dont les éléments de réduction en un point
A
{\displaystyle \;A\;}
λ
{\displaystyle \;\lambda \;}
éléments de réduction du torseur au même point
A
{\displaystyle \;A\;}
«
T
(
×
λ
)
=
λ
×
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{(\times \,\lambda )}=\lambda \times {\mathcal {T}}\;}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
{
R
→
(
×
λ
)
=
λ
×
R
→
M
→
(
×
λ
)
A
=
λ
×
M
→
A
}
A
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {R}}_{(\times \,\lambda )}\!\!&=&\!\!\lambda \times {\vec {R}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{(\times \,\lambda )_{A}}\!\!&=&\!\!\lambda \times {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;}
Un torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
éléments de réduction en un point
A
{\displaystyle \;A\;}
T
=
0
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=0\;}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
{
R
→
=
0
→
M
→
A
=
0
→
}
A
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {R}}\!\!&=&\!\!{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;}
[ 49]
Ce sont :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
résultante
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}}
Ce sont :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
moment
M
→
P
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P},\;\forall P\,\in \,{\mathcal {E}}\;}
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}}
résultante
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}},\;\forall \,P\,\in {\mathcal {E}}\;}
invariant scalaire du torseur Ce sont :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
M
→
P
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P},\;\forall P\,\in \,{\mathcal {E}}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}}
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
[
{\displaystyle {\bigg [}}
relation de Varignon [ 14]
∀
(
P
,
Q
)
∈
E
2
,
M
→
Q
=
M
→
P
+
R
→
∧
P
Q
→
{\displaystyle \;\forall \;\left(P\,,\,Q\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Ce sont :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
M
→
P
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P},\;\forall P\,\in \,{\mathcal {E}}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}}
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\bigg [}}
M
→
Q
⋅
R
→
=
M
→
P
⋅
R
→
+
[
R
→
∧
P
Q
→
]
⋅
R
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\cdot {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}\;{\cancel {+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\cdot {\vec {R}}}}\;}
[ 50]
]
{\displaystyle {\bigg ]}\;}
Ce sont :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
relation d'équiprojectivité «
∀
(
P
,
Q
)
∈
E
2
,
M
→
P
⋅
P
Q
→
=
M
→
Q
⋅
P
Q
→
{\displaystyle \;\forall \;\left(P\,,\,Q\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
torseur [ 51]
]
{\displaystyle {\big ]}}
Définition
Un point
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
en lequel le
moment du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
a même direction que la
résultante
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
de ce dernier
[ 52] est dit «
central »
[ 53] c'est-à-dire
A
{\displaystyle \;A\;}
[ 53] torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
M
→
A
∧
R
→
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\;}
[ 54]
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
∃
λ
∈
R
,
M
→
A
=
λ
R
→
{\displaystyle \;\exists \;\lambda \in \mathbb {R} ,\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}=\lambda \;{\vec {R}}}
Définition
L'ensemble
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
des points centraux du
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
définit «
l'axe central » du
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
c'est-à-dire
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
axe central du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
Δ
T
=
{
A
∈
E
,
M
→
A
∧
R
→
=
0
→
}
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}=\left\lbrace A\in {\mathcal {E}},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\right\rbrace \;}
[ 55]
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\neq {\vec {0}}}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
axe central
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
droite de vecteur directeur
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
[ 56] Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
c'est la droite de vecteur directeur
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
relation de Varignon [ 14]
∀
(
P
,
Q
≠
P
)
∈
E
2
,
M
→
Q
=
M
→
P
+
R
→
∧
P
Q
→
{\displaystyle \;\forall \;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
Q
∧
R
→
=
M
→
P
∧
R
→
+
[
R
→
∧
P
Q
→
]
∧
R
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\wedge {\vec {R}}\;}
[ 57] Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
Q
∧
R
→
=
M
→
P
∧
R
→
−
[
P
Q
→
⋅
R
→
]
R
→
+
R
→
2
P
Q
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;}
∀
(
P
,
Q
≠
P
)
∈
Δ
T
{\displaystyle \;\forall \;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in \Delta _{\mathcal {T}}}
{
M
→
Q
∧
R
→
=
0
→
M
→
P
∧
R
→
=
0
→
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace \;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
Q
∧
R
→
=
M
→
P
∧
R
→
−
[
P
Q
→
⋅
R
→
]
R
→
+
R
→
2
P
Q
→
{\displaystyle {\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;}
P
Q
→
≠
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {PQ}}\neq {\vec {0}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
P
Q
→
=
P
Q
→
⋅
R
→
R
→
2
R
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {PQ}}={\dfrac {{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}}{{\vec {R}}^{2}}}\;{\vec {R}}\;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
« si
(
P
,
Q
≠
P
)
∈
Δ
T
{\displaystyle \;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in \Delta _{\mathcal {T}}}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
l'« ensemble des points centraux[ 56] torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
⊂
{\displaystyle \;\subset \;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
A
Q
→
=
λ
R
→
,
∀
λ
∈
R
∗
{\displaystyle \;{\overrightarrow {AQ}}=\lambda \;{\vec {R}},\;\forall \lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
[ 56] Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
la relation de Varignon [ 14]
M
→
Q
=
M
→
A
+
R
→
∧
A
Q
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;{\cancel {+\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AQ}}}}\;}
[ 58]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
M
→
Q
∧
R
→
=
M
→
A
∧
R
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}\;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
A
∧
R
→
=
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\;}
(
A
{\displaystyle {\big (}A\;}
[ 56]
T
)
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}{\big )}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
M
→
Q
∧
R
→
=
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\;}
Q
{\displaystyle \;Q\;}
[ 56]
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
d'où l'« ensemble des points de la droite de vecteur directeur
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
⊂
{\displaystyle \;\subset \;}
axe central
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
finalement « la droite de vecteur directeur
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
[ 56]
A
{\displaystyle \;A}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
axe central
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
le moment du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
est le même en tout point de l'axe central
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
dans la mesure où on admet l'existence d'un point central
A
{\displaystyle \;A\;}
[ 56] Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
la relation de Varignon [ 14]
M
→
Q
=
M
→
P
+
R
→
∧
P
Q
→
,
∀
(
P
,
Q
≠
P
)
∈
Δ
T
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;{\cancel {+\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}}},\;\forall \;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in \Delta _{\mathcal {T}}\;}
[ 59]
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
la norme du moment du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
est minimale sur son axe central
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;}
dans la mesure où on admet l'existence d'un point central
A
{\displaystyle \;A\;}
[ 56] Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
la relation de Varignon [ 14]
M
→
Q
=
M
→
P
+
R
→
∧
P
Q
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\;}
P
∈
Δ
T
{\displaystyle \;P\in \Delta _{\mathcal {T}}}
∀
Q
∉
Δ
T
{\displaystyle \;\forall \;Q\;\notin \;\Delta _{\mathcal {T}}}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
où
M
→
P
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;}
∥
{\displaystyle \;\parallel \;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
R
→
∧
P
Q
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
M
→
P
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
‖
M
→
Q
‖
2
=
‖
M
→
P
‖
2
+
‖
R
→
∧
P
Q
→
‖
2
{
∀
Q
∉
Δ
T
P
∈
Δ
T
}
{\displaystyle \Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}=\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\Vert ^{2}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\forall \;Q\!\!&\notin \Delta _{\mathcal {T}}\\P\!\!&\in \Delta _{\mathcal {T}}\end{array}}\right\rbrace \;}
[ 60] Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
‖
M
→
Q
‖
2
>
‖
M
→
P
‖
2
{\displaystyle \Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}>\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2}\;}
‖
R
→
∧
P
Q
→
‖
2
≠
0
{\displaystyle \;\Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\Vert ^{2}\neq 0\;}
{
∀
Q
∉
Δ
T
P
∈
Δ
T
}
{\displaystyle \;\left\lbrace \!{\begin{array}{r l}\forall \;Q\!\!\!\!&\notin \Delta _{\mathcal {T}}\\P\!\!\!\!&\in \Delta _{\mathcal {T}}\end{array}}\!\right\rbrace }
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
vrai
∀
P
∈
Δ
T
{\displaystyle \;\forall \;P\;\in \Delta _{\mathcal {T}}}
moment du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
∀
P
∈
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\forall \;P\;\in \Delta _{\mathcal {T}}}}
étant constant sur son axe central
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
Si la résultante
R
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {R}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
‖
M
→
Q
‖
2
>
‖
M
→
P
‖
2
,
{
∀
Q
∉
Δ
T
∀
P
∈
Δ
T
}
{\displaystyle \Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}>\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2},\;\left\lbrace \!{\begin{array}{r l}\forall \;Q\!\!\!\!&\notin \Delta _{\mathcal {T}}\\\forall \;P\!\!\!\!&\in \Delta _{\mathcal {T}}\end{array}}\!\right\rbrace \;}
[ 59]
Le torseur nul
N
{\displaystyle \;{\mathcal {N}}\;}
torseur dont les éléments de réduction en un point quelconque
P
∈
E
{\displaystyle \;P\in {\mathcal {E}}\;}
N
=
{
R
→
=
0
→
M
→
P
=
0
→
}
P
{\displaystyle \;{\mathcal {N}}=\left\lbrace {\begin{array}{r l}{\vec {R}}\!\!\!\!&={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\!\!\!&={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}\;}
[ 61]
Un torseur couple
C
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}\;}
torseur pour lequel les éléments de réduction en n'importe quel point
P
∈
E
{\displaystyle \;P\;\in {\mathcal {E}}\;}
moment non nul
M
→
P
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;}
∀
P
∈
E
,
C
=
{
R
→
=
0
→
M
→
P
≠
0
→
}
P
{\displaystyle \;\forall \;P\in {\mathcal {E}},\;\;{\mathcal {C}}=\left\lbrace {\begin{array}{r l}{\vec {R}}\!\!\!\!&={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\!\!\!&\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}}
« Le moment d'un torseur couple
C
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}\;}
est constant en tout point
P
∈
E
{\displaystyle \;P\;\in {\mathcal {E}}\;}
relation de Varignon [ 14]
C
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}\;}
∀
(
P
,
Q
≠
P
)
∈
E
2
{\displaystyle \;\forall \,\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in {\mathcal {E}}^{2}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
M
→
Q
=
M
→
P
+
0
→
∧
P
Q
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;{\cancel {+\;{\vec {0}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}}}\;}
« Le moment d'un torseur couple
C
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {C}}\;}
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P\;\in {\mathcal {E}}}\;}
C
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {C}}\;}
∀
(
P
,
Q
≠
P
)
∈
E
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\forall \,\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in {\mathcal {E}}^{2}}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
M
→
P
=
cste
→
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {\text{cste}}}\;\;\forall \;P\;\in {\mathcal {E}}}
« Le moment d'un torseur couple
C
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {C}}\;}
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P\;\in {\mathcal {E}}}\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
éléments de réduction du couple sont évalués, « Le moment d'un torseur couple
C
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {C}}\;}
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P\;\in {\mathcal {E}}}\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\big [}}
ainsi le moment du couple
C
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}\;}
M
{\displaystyle \;{\mathcal {M}}\;}
P
{\displaystyle \;_{P}\;}
P
{\displaystyle \;P\;}
]
{\displaystyle {\big ]}}
un torseur couple
C
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}\;}
n'a pas d'axe central
∄
Δ
C
{\displaystyle \;\nexists \;\Delta _{\mathcal {C}}}
[ 56] torseur couple impliquerait qu'en ce point le moment du couple soit nul puisque colinéaire à sa résultante
0
→
{\displaystyle \;{\vec {0}}}
un torseur couple
C
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {C}}\;}
∄
Δ
C
{\displaystyle \;\color {transparent}{\nexists \;\Delta _{\mathcal {C}}}}
ce qui est impossible, le moment d'un torseur couple étant constant
≠
0
→
{\displaystyle \;\neq {\overrightarrow {0}}\;}
[ 62] La somme de deux couples
C
1
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{1}\;}
et
C
2
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{2}\;}
est un couple si leurs moments
M
1
{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{1}\;}
et
M
2
{\displaystyle \;{\mathcal {M}}_{2}\;}
ne sont pas opposés , en effet
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\forall \;P\;\in {\mathcal {E}}}
éléments de réduction de chacun des couples étant La somme de deux couples
C
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{1}}\;}
C
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{2}}\;}
M
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{1}}\;}
M
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{2}}\;}
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{\forall \;P\;\in {\mathcal {E}}}}
C
1
=
{
R
→
1
=
0
→
M
→
1
≠
0
→
}
P
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}\;}
C
2
=
{
R
→
2
=
0
→
M
→
2
≠
0
→
}
P
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}}
La somme de deux couples
C
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{1}}\;}
C
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{2}}\;}
M
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{1}}\;}
M
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{2}}\;}
on en déduit ceux de la somme des deux couples au même point
P
{\displaystyle \;P}
La somme de deux couples
C
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{1}}\;}
C
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{2}}\;}
M
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{1}}\;}
M
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{2}}\;}
C
1
+
C
2
=
{
R
→
1
+
R
→
2
=
0
→
M
→
1
+
M
→
2
≠
0
→
}
P
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{1}+{\mathcal {C}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}\;}
[ 63] La somme de deux couples
C
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{1}}\;}
C
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {C}}_{2}}\;}
M
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{1}}\;}
M
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {M}}_{2}}\;}
cette somme est un couple de moment
M
→
1
+
M
→
2
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2}}
si les moments des deux couples
C
1
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{1}\;}
et
C
2
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{2}\;}
sont opposés , la somme de ces deux couples
C
1
+
C
2
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{1}+{\mathcal {C}}_{2}\;}
est le torseur nul
N
{\displaystyle \;{\mathcal {N}}}
Un torseur glisseur
G
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}\;}
torseur pour lequel il existe un point particulier
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
éléments de réduction non nuls se réduisent à sa résultante
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}}
moment en
A
{\displaystyle \;A\;}
Un torseur glisseur
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;}
∃
A
∈
E
,
G
=
{
R
→
≠
0
→
M
→
A
=
0
→
}
A
{\displaystyle \;\exists \;A\in {\mathcal {E}},\;{\mathcal {G}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A}}
« Le moment d'un torseur glisseur
G
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}\;}
est nul en tout point de son axe central
Δ
G
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {G}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
Δ
G
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {G}}\;}
[ 56] glisseur
G
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}}
« Le moment d'un torseur glisseur
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;}
Δ
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;}
[
{\displaystyle {\Big [}}
M
→
A
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}\;}
M
→
A
∧
R
→
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\;}
M
→
A
=
λ
R
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}=\lambda \;{\vec {R}}\;}
λ
=
0
{\displaystyle \;\lambda =0\;}
[ 64] ère justification ou « Le moment d'un torseur glisseur
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;}
Δ
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\Big [}}
l'axe central
Δ
G
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {G}}\;}
‖
M
→
P
‖
{\displaystyle \;\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert \;}
[ 65]
M
→
A
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
‖
M
→
A
‖
{\displaystyle \;\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\Vert \;}
A
∈
Δ
G
{\displaystyle \;A\in \Delta _{\mathcal {G}}}
« Le moment d'un torseur glisseur
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;}
Δ
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;}
[
{\displaystyle \color {transparent}{\Big [}}
Δ
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;}
‖
M
→
P
‖
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert }\;}
M
→
A
=
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
c'est-à-dire une 2ème justification
]
{\displaystyle {\Big ]}\;}
« Le moment d'un torseur glisseur
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;}
Δ
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;}
le moment du torseur
G
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}\;}
axe central
Δ
G
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {G}}\;}
[ 66]
A
{\displaystyle \;A\;}
« Le moment d'un torseur glisseur
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {G}}\;}
Δ
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {G}}}\;}
∀
P
∈
Δ
G
{\displaystyle \;\forall \;P\;\in \Delta _{\mathcal {G}}}
M
→
P
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {0}}\;}
[ 59]
l'axe central
Δ
G
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {G}}\;}
torseur glisseur
G
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}\;}
support du glisseur ;
en tout point
Q
∉
Δ
G
{\displaystyle \;Q\notin \Delta _{\mathcal {G}}\;}
éléments de réduction du torseur glisseur sont tous deux non nuls c'est-à-dire
∀
Q
∉
Δ
G
,
G
=
{
R
→
≠
0
→
M
→
Q
=
R
→
∧
A
Q
→
≠
0
→
}
Q
{\displaystyle \;\forall \;Q\;\notin \Delta _{\mathcal {G}},\;{\mathcal {G}}=\left\lbrace {\begin{array}{l l l}{\vec {R}}\!\!&\!\!&\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\!\!&={\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AQ}}\!\!&\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{Q}}
en tout point
Q
∉
Δ
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{Q\notin \Delta _{\mathcal {G}}}\;}
le moment du glisseur
G
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}\;}
Q
∉
Δ
G
{\displaystyle \;Q\;\notin \Delta _{\mathcal {G}}\;}
relation de Varignon [ 14]
A
∈
Δ
G
{\displaystyle \;A\;\in \Delta _{\mathcal {G}}\;}
en tout point
Q
∉
Δ
G
{\displaystyle \;\color {transparent}{Q\notin \Delta _{\mathcal {G}}}\;}
M
→
Q
=
M
→
A
+
R
→
∧
A
Q
→
≠
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;+}}{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AQ}}\neq {\overrightarrow {0}}\;}
A
Q
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {AQ}}\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
[ 67] [ 59] Un torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
dont les éléments de réduction en un point
B
∈
E
{\displaystyle \;B\in {\mathcal {E}}\;}
sont non nuls et
⊥
{\displaystyle \;\perp }
T
=
{
R
→
≠
0
→
M
→
B
[
≠
0
→
⊥
à
R
→
]
}
B
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\left[{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}\end{array}}\right]\end{array}}\right\rbrace _{B}\;}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
est un glisseur en effet, appliquant la relation de Varignon [ 14]
P
{\displaystyle \;P\;}
∈
E
{\displaystyle \;\in {\mathcal {E}}\;}
B
{\displaystyle \;B\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
M
→
P
=
M
→
B
+
R
→
∧
B
P
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP}}\;}
M
→
B
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;}
R
→
∧
B
P
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
choisir
P
0
∈
E
{\displaystyle \;P_{0}\in {\mathcal {E}}\;}
M
→
P
0
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}={\overrightarrow {0}}\;}
R
→
∧
B
P
0
→
=
−
M
→
B
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP_{0}}}=-{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
R
→
∧
B
P
0
→
{\displaystyle {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP_{0}}}\;}
M
→
B
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
(
R
→
∧
B
P
0
→
)
∧
M
→
B
=
0
→
{\displaystyle \;\left({\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP_{0}}}\right)\wedge {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}={\vec {0}}\;}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en utilisant une des formules du double produit vectoriel[ 57] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
−
(
B
P
0
→
⋅
M
→
B
)
R
→
+
(
R
→
⋅
M
→
B
)
B
P
0
→
=
0
→
{\displaystyle -\left({\overrightarrow {BP_{0}}}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\right)\,{\vec {R}}\,{\cancel {+\left({\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\right)\,{\overrightarrow {BP_{0}}}}}={\vec {0}}\;}
[ 68] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
B
P
0
→
⊂
{\displaystyle {\overrightarrow {BP_{0}}}\;\subset \;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
M
→
B
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;}
B
{\displaystyle \;B\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
[ 69] [ 70]
)
{\displaystyle {\big )}\;}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
B
P
0
→
⊂
{\displaystyle \;{\overrightarrow {BP_{0}}}\;\subset \;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
B
{\displaystyle \;B\;}
[ 71] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
B
P
0
→
⊂
{\displaystyle {\overrightarrow {BP_{0}}}\;\subset \;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
(
R
→
,
M
→
B
)
{\displaystyle \;\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\right)\;}
B
{\displaystyle \;B\;}
[ 71]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
(
R
→
,
M
→
B
,
B
P
0
→
)
{\displaystyle \left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\,,\,{\overrightarrow {BP_{0}}}\right)\;}
orthogonal [ 72]
B
P
0
→
∧
R
→
=
M
→
B
{\displaystyle \;{\overrightarrow {BP_{0}}}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;}
[ 73] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
(
R
→
,
M
→
B
,
B
P
0
→
)
{\displaystyle \left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\,,\,{\overrightarrow {BP_{0}}}\right)\;}
orthogonal [ 72] [ 74]
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[ 75] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
B
P
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {BP_{0}}}\;}
[ 76] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
B
P
0
→
∧
R
→
=
M
→
B
{\displaystyle \;{\overrightarrow {BP_{0}}}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;}
[ 73]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
‖
B
P
0
→
∧
R
→
‖
=
‖
M
→
B
‖
{\displaystyle \;\Vert {\overrightarrow {BP_{0}}}\wedge {\vec {R}}\Vert =\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\Vert \;}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
‖
B
P
0
→
‖
‖
R
→
‖
|
sin
(
B
P
0
→
R
→
)
^
|
=
‖
M
→
B
‖
{\displaystyle \Vert {\overrightarrow {BP_{0}}}\Vert \;\Vert {\vec {R}}\Vert \;{\bigg \vert }\sin \!{\widehat {{\Big (}{\overrightarrow {BP_{0}}}\,\,{\vec {R}}{\Big )}}}{\bigg \vert }=\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\Vert \;}
[ 77]
B
P
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {BP_{0}}}\;}
⊥
{\displaystyle \perp \;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
P
0
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{P_{0}\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
‖
B
P
0
→
‖
‖
R
→
‖
=
‖
M
→
B
‖
{\displaystyle \Vert {\overrightarrow {BP_{0}}}\Vert \;\Vert {\vec {R}}\Vert =\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\Vert \;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
‖
B
P
0
→
‖
=
‖
M
→
B
‖
‖
R
→
‖
{\displaystyle \;\Vert {\overrightarrow {BP_{0}}}\Vert ={\dfrac {\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\Vert }{\Vert {\vec {R}}\Vert }}\;}
[ 59] , [ 78] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\in {\mathcal {E}}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\perp }}
la déduction que le torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
glisseur de support passant par ce point particulier
P
0
{\displaystyle \;P_{0}}
Un torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
non nul et à résultante non nulle est un glisseur ssi son invariant scalaire [ 79] est nul soit Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
«
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
glisseur et si
P
∈
Δ
T
{\displaystyle \;P\in \Delta _{\mathcal {T}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
axe central
]
{\displaystyle {\big ]}}
M
→
P
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {0}}\;}
[ 80] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
P
∈
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{P\in \Delta _{\mathcal {T}}}}
[
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big [}}
]
{\displaystyle \color {transparent}{\big ]}}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
Δ
T
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in \Delta _{\mathcal {T}}\;}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
si
P
∉
Δ
T
{\displaystyle \;P\notin \Delta _{\mathcal {T}}}
M
→
P
≠
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\neq {\overrightarrow {0}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
[ 81] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
P
∉
Δ
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{P\notin \Delta _{\mathcal {T}}}}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∉
Δ
T
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\notin \Delta _{\mathcal {T}}\;}
[ 82] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}
(
R
→
{\displaystyle \;{\big (}{\vec {R}}\;}
≠
0
→
)
{\displaystyle \;\neq {\vec {0}}{\big )}}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
P
0
{\displaystyle \;P_{0}\;}
M
→
P
0
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}={\overrightarrow {0}}\;}
[ 83]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
le torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
glisseur par définition[ 84] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
P
{\displaystyle \;P\;}
M
→
P
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {0}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
M
→
P
(
≠
0
→
)
⊥
R
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;{\big (}\neq {\overrightarrow {0}}{\big )}\;\perp \;{\vec {R}}\;}
∀
P
∈
E
{\displaystyle \forall \;P\in {\mathcal {E}}}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
on choisit un
P
0
{\displaystyle \;P_{0}\;}
Q
{\displaystyle \;Q\;}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
P
0
Q
→
{\displaystyle {\overrightarrow {P_{0}Q}}\;}
⊥
{\displaystyle \perp \;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
M
→
P
0
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\;}
[ 85] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
la relation de Varignon [ 14]
Q
{\displaystyle \;Q\;}
P
0
{\displaystyle \;P_{0}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
M
→
Q
=
M
→
P
0
+
R
→
∧
P
0
Q
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\;}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
(
R
→
∧
P
0
Q
→
)
∥
M
→
P
0
{\displaystyle \left({\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\right)\,\parallel \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\;}
[ 85]
∥
M
→
Q
{\displaystyle \;\parallel \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\;}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
selon les sens comparés de
R
→
∧
P
0
Q
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\;}
M
→
P
0
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\;}
[ 86] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
‖
M
→
Q
‖
=
|
‖
M
→
P
0
‖
±
‖
R
→
∧
P
0
Q
→
‖
|
{\displaystyle \Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ={\Big \vert }\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\Vert \pm \Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\Vert {\Big \vert }\;}
[ 87] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
‖
M
→
Q
‖
=
|
‖
M
→
P
0
‖
±
‖
R
→
‖
‖
P
0
Q
→
‖
|
{\displaystyle \Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ={\Big \vert }\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\Vert \pm \Vert {\vec {R}}\Vert \;\Vert {\overrightarrow {P_{0}Q}}\Vert {\Big \vert }\;}
[ 88] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
existence de
Q
0
{\displaystyle \;Q_{0}\;}
‖
M
→
Q
0
‖
=
0
{\displaystyle \;\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q_{0}}\Vert =0\;}
[ 89]
M
→
Q
0
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q_{0}}={\overrightarrow {0}}}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
laquelle, étant contraire à l'hypothèse initiale[ 90] Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
il existe des points
P
0
{\displaystyle \;P_{0}\;}
M
→
P
0
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}={\overrightarrow {0}}\;}
Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
le torseur
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
[ 84] glisseur Un torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
M
→
P
⋅
R
→
=
0
,
∀
P
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}=0,\;\forall \;P\in {\mathcal {E}}}}
d'où la proposition réciproque.La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\;}
et
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}\;}
est un glisseur
≻
{\displaystyle \;\succ \;}
si leurs axes centraux
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
et
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
sont concourants soit
Δ
G
1
∩
Δ
G
2
≠
∅
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cap \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\neq \emptyset }
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
si
Δ
G
1
∩
Δ
G
2
=
{
P
0
}
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cap \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}=\{P_{0}\}\;}
[ 91]
P
0
{\displaystyle \,P_{0}}
éléments de réduction des glisseurs étant
G
1
=
{
R
→
1
≠
0
→
M
→
1
,
P
0
=
0
→
}
P
0
{\displaystyle \,{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P_{0}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!P_{0}}\!}
G
2
=
{
R
→
2
≠
0
→
M
→
2
,
P
0
=
0
→
}
P
0
{\displaystyle \,{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P_{0}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!P_{0}}\!}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
∩
Δ
G
2
=
{
P
0
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cap \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}=\{P_{0}\}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
éléments de réduction de la somme des deux glisseurs au même point
P
0
{\displaystyle \;P_{0}\;}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
∩
Δ
G
2
=
{
P
0
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cap \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}=\{P_{0}\}}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
G
1
+
G
2
=
{
R
→
1
+
R
→
2
≠
0
→
M
→
1
,
P
0
+
M
→
2
,
P
0
=
0
→
}
P
0
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P_{0}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P_{0}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P_{0}}\;}
[ 92] glisseur [ 84] La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
∩
Δ
G
2
=
{
P
0
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cap \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}=\{P_{0}\}}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
dont le support est la droite issue de
P
0
{\displaystyle \;P_{0}\;}
R
→
1
+
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\;}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\succ \;}
si leurs axes centraux
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
et
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
sont parallèles
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou confondus
)
{\displaystyle {\big )}\;}
avec leurs résultantes non opposées en effet La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
si
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
∥
{\displaystyle \;\parallel \;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point
Q
∉
Δ
G
1
∪
Δ
G
2
{\displaystyle \;Q\notin \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cup \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
les éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point
Q
{\displaystyle \;Q\;}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
=
{
R
→
1
≠
0
→
M
→
1
,
Q
[
≠
0
→
⊥
à
R
→
1
]
}
Q
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{1}\end{array}}\!\right]\end{array}}\right\rbrace _{\!Q}\!}
G
2
=
{
R
→
2
≠
0
→
M
→
2
,
Q
[
≠
0
→
⊥
à
R
→
2
]
}
Q
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{2}\end{array}}\!\right]\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\!}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
ceux de la somme s'écrivent La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
+
G
2
=
{
R
→
1
+
R
→
2
≠
0
→
M
→
1
,
Q
+
M
→
2
,
Q
}
Q
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;}
[ 93] moment en
Q
{\displaystyle \;Q\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\neq {\overrightarrow {0}}\;}
[ 94]
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
R
→
1
+
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\;}
[ 95]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
+
G
2
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;}
glisseur [ 96]
Q
0
{\displaystyle \;Q_{0}\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
M
→
1
,
Q
0
+
M
→
2
,
Q
0
=
0
→
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q_{0}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q_{0}}={\overrightarrow {0}}{\big ]}\;}
[ 97] La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
+
G
2
{\displaystyle \color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}}\;}
de vecteur directeur
R
→
1
+
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\;}
[ 98] [ 59] La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
remarque : si le moment de
G
1
+
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;}
Q
{\displaystyle \;Q\;}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
que
G
1
+
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;}
glisseur [ 84]
Q
{\displaystyle \;Q\;}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
+
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}}\;}
de vecteur directeur
R
→
1
+
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\;}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
si
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
axes centraux sont communs et par suite,
∀
Q
∈
Δ
G
1
=
Δ
G
2
{\displaystyle \;\forall \;Q\;\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}=\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}}
les éléments de réduction des glisseurs en
Q
{\displaystyle \;Q\;}
G
1
=
{
R
→
1
≠
0
→
M
→
1
,
Q
=
0
→
}
Q
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}}
G
2
=
{
R
→
2
≠
0
→
M
→
2
,
Q
=
0
→
}
Q
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}}
G
1
+
G
2
=
{
R
→
1
+
R
→
2
≠
0
→
M
→
1
,
Q
+
M
→
2
,
Q
=
0
→
}
Q
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;}
[ 93]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
G
1
+
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;}
glisseur [ 84] axe central commun La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}}
G
1
+
G
2
=
{\displaystyle \color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
G
1
+
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}}\;}
Δ
G
1
=
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}=\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}}
G
1
+
G
2
=
{\displaystyle \color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
G
1
+
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}}\;}
de vecteur directeur
R
→
1
+
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\;}
et
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}\;}
n'est pas un glisseur
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
si leurs axes centraux
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
et
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
ne concourent pas c'est-à-dire si
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\;}
et
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}\;}
est un couple
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
si leurs axes centraux
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
et
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
sont parallèles avec leurs résultantes opposées en effet La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
si
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
∥
{\displaystyle \;\parallel \;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
axes centraux n'ont aucun point commun et par suite, en un point
Q
∉
Δ
G
1
∪
Δ
G
2
{\displaystyle \;Q\notin \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cup \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
les éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point
Q
{\displaystyle \;Q\;}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
=
{
R
→
1
≠
0
→
M
→
1
,
Q
[
≠
0
→
⊥
à
R
→
1
]
}
Q
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{1}\end{array}}\!\right]\end{array}}\right\rbrace _{\!Q}\!}
G
2
=
{
R
→
2
≠
0
→
M
→
2
,
Q
[
≠
0
→
⊥
à
R
→
2
]
}
Q
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{2}\end{array}}\!\right]\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
ceux de la somme s'écrivent La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
+
G
2
=
{
R
→
1
+
R
→
2
=
0
→
M
→
1
,
Q
+
M
→
2
,
Q
}
Q
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;}
[ 99]
M
→
1
,
Q
+
M
→
2
,
Q
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\neq {\overrightarrow {0}}\;}
[ 100] , [ 101] La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
∥
{\displaystyle \;\color {transparent}{\parallel }\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
+
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;}
couple [ 102] moment constant[ 103]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
couple [ 104]
)
{\displaystyle {\big )}}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\;}
et
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}\;}
est le torseur nul
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
si leurs axes centraux
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
et
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
sont confondus avec leurs résultantes opposées en effet La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
si
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
axes centraux sont communs et par suite,
∀
Q
∈
Δ
G
1
=
Δ
G
2
{\displaystyle \;\forall \;Q\;\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}=\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}}
les éléments de réduction de chacun des glisseurs en ce point
Q
{\displaystyle \;Q\;}
La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}}
«
G
1
=
{
R
→
1
≠
0
→
M
→
1
,
Q
=
0
→
}
Q
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}}
G
2
=
{
R
→
2
≠
0
→
M
→
2
,
Q
=
0
→
}
Q
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;}
[ 80]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
ceux de la somme s'écrivent La somme de deux glisseurs
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}}
G
1
+
G
2
=
{
R
→
1
+
R
→
2
=
0
→
M
→
1
,
Q
+
M
→
2
,
Q
=
0
→
}
Q
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\!{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;}
[ 99]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
G
1
+
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;}
torseur nul
N
{\displaystyle \;{\mathcal {N}}\;}
[ 59] Début d’un théorème
Théorème
« Tout
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
peut être décomposé de façon unique
« Tout torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
en la somme d'un
torseur glisseur
G
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}\;}
de support identique à l'
axe central
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
du
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
et
« Tout torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
d'un
torseur couple
C
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}\;}
» soit encore
∀
T
,
∃
!
(
G
,
C
)
{\displaystyle \;\forall \;{\mathcal {T}},\;\;\exists \,!\;\left({\mathcal {G}}\,,\,{\mathcal {C}}\right)\;}
{
T
=
G
+
C
Δ
G
=
Δ
T
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {T}}={\mathcal {G}}+{\mathcal {C}}\\\Delta _{\mathcal {G}}=\Delta _{\mathcal {T}}\end{array}}\right\rbrace }
Fin du théorème
Démonstration : Soit le torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
éléments de réduction en un point
A
{\displaystyle \;A\;}
axe central
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}}
T
=
{
R
→
≠
0
→
M
→
A
≠
0
→
}
A
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\;}
[ 105] Démonstration : Soit le torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
les éléments de réduction du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
T
=
{
R
→
≠
0
→
0
→
}
A
+
{
0
→
M
→
A
≠
0
→
}
A
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}+\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}}
Démonstration : Soit le torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
er terme du 2nd membre
{
R
→
≠
0
→
0
→
}
A
{\displaystyle \;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}}
glisseur unique
G
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
[ 106] Démonstration : Soit le torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
er terme de support « la droite issue de
A
{\displaystyle \;A\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
[ 107] Démonstration : Soit le torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
nd terme du 2nd membre
{
0
→
M
→
A
≠
0
→
}
A
{\displaystyle \;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}}
couple unique
C
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
[ 108] Démonstration : Soit le torseur
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
T
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
nd terme de moment constant[ 104]
M
→
A
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}}
Remarque : C'est par le choix des éléments de réduction du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
axe central
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
Remarque : C'est la raison pour laquelle cette décomposition est appelée « décomposition centrale », les trois éléments indispensables pour établir cette décomposition étant
{
Δ
T
,
R
→
,
M
→
A
∈
Δ
T
}
{\displaystyle \;\left\lbrace \Delta _{\mathcal {T}}\,,\,{\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A\,\in \,\Delta _{\mathcal {T}}}\right\rbrace \;}
[ 109] Remarque : C'est la raison pour laquelle cette décomposition est appelée « décomposition centrale », les trois éléments indispensables encore appelés « éléments centraux de
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
Définition
Le
produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou
comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
des deux
torseurs
T
1
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}\;}
et
T
2
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{2}\;}
dont les
éléments de réduction en un même point quelconque
A
∈
E
{\displaystyle \;A\;\in \;{\mathcal {E}}\;}
sont
Le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
T
1
=
{
R
→
1
M
→
1
,
A
}
A
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}}
et
T
2
=
{
R
→
2
M
→
2
,
A
}
A
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}}
est la grandeur
T
1
⊗
T
2
∈
R
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}\in \mathbb {R} \;}
telle que
«
T
1
⊗
T
2
=
{
R
→
1
M
→
1
,
A
}
A
⊗
{
R
→
2
M
→
2
,
A
}
A
=
R
→
1
⋅
M
→
2
,
A
+
R
→
2
⋅
M
→
1
,
A
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}={\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\;}
Le produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
de deux torseurs
T
1
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}\;}
et
T
2
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{2}\;}
est commutatif c'est-à-dire
T
1
⊗
T
2
=
T
2
⊗
T
1
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}\otimes {\mathcal {T}}_{2}={\mathcal {T}}_{2}\otimes {\mathcal {T}}_{1}\;}
[ 110] le produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
de deux torseurs
T
1
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{1}\;}
et
T
2
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{2}\;}
est indépendant du point
A
{\displaystyle \;A\;}
en lequel sont définis les éléments de réduction des torseurs en effet, le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
T
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;}
T
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
avec un point
B
∈
E
{\displaystyle \;B\;\in \;{\mathcal {E}}\;}
≠
A
{\displaystyle \;\neq A}
moment des torseurs est modifié selon la relation de Varignon [ 14] le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
T
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;}
T
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{B\;\in \;{\mathcal {E}}}\;}
≠
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{\neq A}}
[
M
→
1
,
B
=
M
→
1
,
A
+
R
→
1
∧
A
B
→
M
→
2
,
B
=
M
→
2
,
A
+
R
→
2
∧
A
B
→
]
{\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\end{array}}\!\right]\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
T
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;}
T
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
{
R
→
1
M
→
1
,
B
}
B
⊗
{
R
→
2
M
→
2
,
B
}
B
=
R
→
1
⋅
M
→
2
,
B
+
R
→
2
⋅
M
→
1
,
B
{\displaystyle \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!B}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!B}={\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}+{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
T
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;}
T
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
=
R
→
1
⋅
[
M
→
2
,
A
+
R
→
2
∧
A
B
→
]
+
R
→
2
⋅
[
M
→
1
,
A
+
R
→
1
∧
A
B
→
]
{\displaystyle ={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
T
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;}
T
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
=
R
→
1
⋅
M
→
2
,
A
+
R
→
2
⋅
M
→
1
,
A
+
R
→
1
⋅
[
R
→
2
∧
A
B
→
]
+
R
→
2
⋅
[
R
→
1
∧
A
B
→
]
{\displaystyle ={\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]}}\;}
[ 111] , [ 112] le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
T
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;}
T
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
=
R
→
1
⋅
M
→
2
,
A
+
R
→
2
⋅
M
→
1
,
A
=
{
R
→
1
M
→
1
,
A
}
A
⊗
{
R
→
2
M
→
2
,
A
}
A
{\displaystyle ={\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\!{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\;}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
T
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{1}}\;}
T
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{2}}\;}
A
{\displaystyle \;\color {transparent}{A}\;}
{
R
→
1
M
→
1
,
B
}
B
⊗
{
R
→
2
M
→
2
,
B
}
B
=
{
R
→
1
M
→
1
,
A
}
A
⊗
{
R
→
2
M
→
2
,
A
}
A
{\displaystyle \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!B}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!B}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\;}
[ 59] Le produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
de deux torseurs couples
C
1
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{1}\;}
et
C
2
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{2}\;}
est identiquement nul en effet
C
1
⊗
C
2
=
{
0
→
M
→
1
}
⊗
{
0
→
M
→
2
}
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{1}\otimes {\mathcal {C}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\end{array}}\!\right\rbrace \otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2}\end{array}}\!\right\rbrace \;}
[ 113]
=
0
→
(
1
)
⋅
M
→
2
+
0
→
(
2
)
⋅
M
→
1
=
0
{\displaystyle \;={\vec {0}}_{\,(1)}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2}+{\vec {0}}_{\,(2)}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}=0\;}
[ 114] [ 59] le produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
d'un torseur couple et d'un glisseur
C
1
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{1}\;}
et
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}\;}
n'est quasi jamais nul car
C
1
⊗
G
2
=
{
0
→
M
→
1
≠
0
→
}
⊗
{
R
→
2
≠
0
→
M
→
2
,
A
=
0
→
}
A
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace \otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\;}
[ 115]
=
0
→
(
1
)
⋅
0
→
(
2
)
,
A
+
R
→
2
⋅
M
→
1
{\displaystyle \;={\cancel {{\vec {0}}_{\,(1)}\cdot {\overrightarrow {0}}_{\,(2),\,A}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\;}
[ 116] , [ 117]
≠
0
{\displaystyle \;\neq 0\;}
[ 118] le produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
de deux torseurs glisseurs
G
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\;}
et
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}\;}
est nul
≻
{\displaystyle \;\succ \;}
si leurs axes centraux
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
et
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
sont concourants en effet, en notant
A
0
{\displaystyle \;A_{0}}
axes centraux , le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
⊗
G
2
=
{
R
1
→
≠
0
M
→
1
,
A
0
=
0
→
}
A
0
⊗
{
R
→
2
≠
0
→
M
→
2
,
A
0
=
0
→
}
A
0
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{0}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{0}}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{0}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{0}}\;}
[ 84] le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
⊗
G
2
{\displaystyle \color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}}}
=
R
→
1
⋅
0
→
(
2
)
,
A
0
+
R
→
2
⋅
0
→
(
1
)
,
A
0
{\displaystyle \,={\cancel {{\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(2),\,A_{0}}}}\;+\;{\cancel {{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{0}}}}\;}
[ 116]
=
0
{\displaystyle =0\;}
[ 119] le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\succ \;}
si leurs axes centraux
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
et
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
sont confondus , en effet le cas des axes centraux confondus peut être considéré comme le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
le cas particulier d'axes centraux concourants en tous leurs points ou le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\succ \;}
si leurs axes centraux
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
et
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
sont parallèles en effet, avec
A
1
∈
Δ
G
1
{\displaystyle \;A_{1}\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
Δ
G
2
)
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}{\big )}}
G
1
=
{
R
1
→
≠
0
M
→
1
,
A
1
=
0
→
}
A
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\;}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
A
1
∉
Δ
G
2
{\displaystyle \;A_{1}\notin \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
G
2
=
{
R
2
→
≠
0
M
→
2
,
A
1
≠
0
→
}
A
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{2}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\;}
M
→
2
,
A
1
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\;}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
par relation de Varignon [ 14]
A
1
{\displaystyle \;A_{1}\;}
A
2
∈
Δ
G
2
{\displaystyle \;A_{2}\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
M
→
2
,
A
1
=
M
→
2
,
A
2
+
R
→
2
∧
A
2
A
1
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\;}
M
→
2
,
A
2
∈
Δ
G
2
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}\,\in \,\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}={\overrightarrow {0}}}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
soit
G
2
=
{
R
2
→
≠
0
R
→
2
∧
A
2
A
1
→
≠
0
→
}
A
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{2}}}\neq 0\\{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\;}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
⊗
G
2
=
{
R
1
→
≠
0
M
→
1
,
A
1
=
0
→
}
A
1
⊗
{
R
→
2
≠
0
→
R
→
2
∧
A
2
A
1
→
≠
0
→
}
A
1
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
G
1
⊗
G
2
{\displaystyle \color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}}}
=
R
→
1
⋅
[
R
→
2
∧
A
2
A
1
→
]
+
R
→
2
⋅
0
→
(
1
)
,
A
1
{\displaystyle ={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right]\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{1}}}}\;}
[ 116]
=
0
{\displaystyle =0}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
les trois vecteurs
(
R
→
1
,
R
→
2
,
A
2
A
1
→
)
{\displaystyle \;\left({\vec {R}}_{1}\,,\,{\vec {R}}_{2}\,,\,{\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right)\;}
[ 120] le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
≻
{\displaystyle \;\color {transparent}{\succ }\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}\;}
leur produit mixte est nul[ 50] le produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
de deux torseurs glisseurs
G
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\;}
et
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}\;}
est non nul si leurs axes centraux
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
et
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
ne sont pas concourants, parallèles ou confondus , en effet le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
comme il n'existe aucun point commun des axes centraux
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
A
1
∈
Δ
G
1
{\displaystyle \;A_{1}\;\in \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
pour évaluer les éléments de réduction des torseurs
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
M
→
1
,
A
1
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\!}
[
M
→
2
,
A
1
=
M
→
2
,
A
2
+
R
→
2
∧
A
2
A
1
→
≠
0
→
A
2
∈
Δ
G
2
⇒
M
→
2
,
A
2
=
0
→
]
{\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\neq {\overrightarrow {0}}\\A_{2}\;\in \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\Rightarrow {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right]\,}
[ 121] le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
G
1
⊗
G
2
=
{
R
1
→
≠
0
M
→
1
,
A
1
=
0
→
}
A
1
⊗
{
R
→
2
≠
0
→
M
→
2
,
A
1
≠
0
→
}
A
1
=
R
→
1
⋅
[
R
→
2
∧
A
2
A
1
→
]
+
R
→
2
⋅
0
→
(
1
)
,
A
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right]\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{1}}}}\;}
[ 116]
≠
0
{\displaystyle \neq 0}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
G
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
G
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
les trois vecteurs
(
R
→
1
,
R
→
2
,
A
2
A
1
→
)
{\displaystyle \;\left({\vec {R}}_{1}\,,\,{\vec {R}}_{2}\,,\,{\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right)\;}
[ 50] [ 50] Le torseur statique
(
{\displaystyle \;{\big (}}
torseur des actions mécaniques
)
{\displaystyle {\big )}\;}
actions mécaniques lors de la résolution d'un problème de statique tridimensionnel[ 122]
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}
F
→
k
{\displaystyle \;{\vec {F}}_{k}\;}
A
k
{\displaystyle \;A_{k}\;}
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
par une répartition de forces de somme nulle
C
→
(
l
∈
[
[
i
…
j
]
]
)
=
{
F
→
l
,
∑
l
[
[
i
…
j
]
]
F
→
l
=
0
→
}
{\displaystyle \;{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}=\left\lbrace {\vec {F}}_{l},\;\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}={\vec {0}}\right\rbrace \;}
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
définissant un couple au sens de la mécanique s'appliquant au moins Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
en deux points distincts «
A
l
,
l
∈
[
[
i
…
j
]
]
{\displaystyle \;A_{l},\,l\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\;}
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
F
→
k
{\displaystyle \;{\vec {F}}_{k}\;}
A
k
{\displaystyle \;A_{k}\;}
torseur glisseur
G
k
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{k}\;}
Δ
G
k
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{k}}\;}
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
F
→
k
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {F}}_{k}}\;}
A
k
{\displaystyle \;\color {transparent}{A_{k}}\;}
la droite issue de
A
k
{\displaystyle \;A_{k}\;}
F
→
k
{\displaystyle \;{\vec {F}}_{k}}
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
F
→
k
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {F}}_{k}}\;}
A
k
{\displaystyle \;\color {transparent}{A_{k}}\;}
ses éléments de réduction en un point
O
{\displaystyle \;O\;}
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
F
→
k
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {F}}_{k}}\;}
A
k
{\displaystyle \;\color {transparent}{A_{k}}\;}
étant
{
F
→
k
M
→
O
,
F
→
k
=
F
→
k
∧
A
k
O
→
}
O
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{k}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}={\vec {F}}_{k}\wedge {\overrightarrow {A_{k}O}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;}
[ 123]
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
C
→
(
l
∈
[
[
i
…
j
]
]
)
=
{
F
→
l
,
∑
l
[
[
i
…
j
]
]
F
→
l
=
0
→
}
{\displaystyle \;{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}=\left\lbrace {\vec {F}}_{l},\;\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}={\vec {0}}\right\rbrace \;}
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
est un torseur couple
C
(
l
∈
[
[
i
…
j
]
]
)
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}}
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
ses éléments de réduction en un point
O
{\displaystyle \;O\;}
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
{
0
→
M
→
O
,
C
→
(
l
∈
[
[
i
…
j
]
]
)
=
∑
l
[
[
i
…
j
]
]
F
→
l
∧
A
l
O
→
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}\wedge {\overrightarrow {A_{l}O}}\end{array}}\right\rbrace \;}
[ 124] , [ 125]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
actions mécaniques s'exerçant sur le système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
sont représentées par un torseur
T
stat.
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{stat.}}\;}
torseur statique [ 126] Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
les éléments de réduction en un point
O
{\displaystyle \;O\;}
Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
T
stat.
=
∑
k
G
k
+
∑
q
,
indexant
[
[
i
…
j
]
]
C
q
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{stat.}}=\sum _{k}{\mathcal {G}}_{k}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\mathcal {C}}_{q}\;}
[ 127] Une action mécanique exercée sur un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
T
stat.
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{stat.}}}}
=
{
∑
k
F
→
k
∑
k
M
→
O
,
F
→
k
+
∑
q
,
indexant
[
[
i
…
j
]
]
M
→
C
→
(
l
∈
[
[
i
…
j
]
]
q
)
}
O
{\displaystyle =\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]_{q}\right)}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;}
[ 128]
Le torseur cinématique sert à représenter pratiquement les comportements de translation et de rotation d'un solide
(
{\displaystyle \;{\big (}}
système indéformable de points matériels
)
{\displaystyle {\big )}\;}
Le torseur cinématique ne peut pas être utilisé pour un système déformable
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 129]
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide
(
S
)
=
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
,
A
i
A
j
=
c
s
t
e
∀
(
i
,
j
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right),\,A_{i}A_{j}\,=\,cste\;\forall (i,\,j)}\;}
référentiel donné
V
→
A
k
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{A_{k}}(t)\;}
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
est équiprojectif donc représentable par un torseur en effet On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
∀
(
A
i
,
A
j
)
∈
(
S
)
,
A
i
A
j
=
c
s
t
e
{\displaystyle \forall \;\left(A_{i}\,,\,A_{j}\right)\in \left({\mathcal {S}}\right),\;A_{i}A_{j}=cste\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
‖
A
i
A
j
→
(
t
)
‖
2
=
c
s
t
e
′
{\displaystyle \;\Vert {\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\Vert ^{2}=cste'\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
2
A
i
A
j
→
(
t
)
⋅
d
A
i
A
j
→
d
t
(
t
)
=
0
(
a
)
{\displaystyle \;2\;{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot {\dfrac {d{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}}{dt}}(t)=0\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
en repérant les positions du solide dans le référentiel d'étude relativement à un point
O
{\displaystyle \;O\;}
référentiel , On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
d
A
i
A
j
→
d
t
(
t
)
=
d
O
A
j
→
d
t
(
t
)
−
d
O
A
i
→
d
t
(
t
)
=
V
→
A
j
(
t
)
−
V
→
A
i
(
t
)
{\displaystyle {\dfrac {d{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}}{dt}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OA_{j}}}}{dt}}(t)-{\dfrac {d{\overrightarrow {OA_{i}}}}{dt}}(t)={\vec {V}}_{A_{j}}(t)-{\vec {V}}_{A_{i}}(t)}
(
a
)
{\displaystyle \;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
A
i
A
j
→
(
t
)
⋅
[
V
→
A
j
(
t
)
−
V
→
A
i
(
t
)
]
=
0
{\displaystyle \;{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{A_{j}}(t)-{\vec {V}}_{A_{i}}(t)\right]=0\;}
On établit en effet que le champ de vitesse des points d'un solide
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
A
i
A
j
→
(
t
)
⋅
V
→
A
j
(
t
)
=
A
i
A
j
→
(
t
)
⋅
V
→
A
i
(
t
)
{\displaystyle {\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{A_{j}}(t)={\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{A_{i}}(t)\;}
équiprojectif [ 130] champ de vitesse d'un solide [ 131]
d'après la forme directe de la relation de Varignon [ 14] , [ 132] torseur du champ de vitesse d'un solide nommé « torseur cinématique d'après la forme directe de la relation de Varignon on peut définir, un vecteur unique
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
V
→
A
j
(
t
)
=
V
→
A
i
(
t
)
+
Ω
→
(
t
)
∧
A
i
A
j
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{A_{j}}(t)={\vec {V}}_{A_{i}}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)}
d'après la forme directe de la relation de Varignon on peut définir, un vecteur unique
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
résultante du torseur cinématique [ 133]
les éléments de réduction du torseur cinématique du solide
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)\;}
T
cinémat. de
(
S
)
=
{
Ω
→
(
t
)
V
→
A
(
t
)
}
A
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\Omega }}(t)\\{\vec {V}}_{A}(t)\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\!}
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)\;}
torseur cinématique :
le torseur cinématique est un torseur couple si
Ω
→
(
t
)
=
0
→
∀
t
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)={\overrightarrow {0}}\;\forall \;t\;}
translation du solide , la relation de Varignon [ 14]
V
→
B
(
t
)
=
V
→
A
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{B}(t)={\vec {V}}_{A}(t)\;}
(
A
,
B
)
∈
(
S
)
2
{\displaystyle \;\left(A,\,B\right)\in ({\mathcal {S}})^{2}}
torseur cinématique n'a pas d'axe central ,
le torseur cinématique est un torseur glisseur si
Ω
→
(
t
)
≠
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\neq {\overrightarrow {0}}\;}
A
∈
(
S
)
{\displaystyle \;A\in ({\mathcal {S}})\;}
V
→
A
(
t
)
=
0
→
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{A}(t)={\vec {0}}}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
[ 56] glisseur
)
{\displaystyle {\big )}}
torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de
A
{\displaystyle \;A\;}
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
[ 134]
B
∈
(
S
)
{\displaystyle \;B\in ({\mathcal {S}})\;}
≠
A
{\displaystyle \;\neq A\;}
V
→
B
(
t
)
=
Ω
→
(
t
)
∧
A
B
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{B}(t)={\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AB}}(t)\;}
relation de Varignon [ 14] solide a un mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
solide [ 135] le torseur cinématique est un torseur non particulier si
Ω
→
(
t
)
≠
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\neq {\overrightarrow {0}}\;}
A
∈
(
S
)
{\displaystyle \;A\in ({\mathcal {S}})\;}
V
→
A
(
t
)
∥
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{A}(t)\;\parallel \;}
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
[ 56] torseur [ 136]
)
{\displaystyle {\big )}}
torseur ayant pour axe central
Δ
T
cinémat. de
(
S
)
(
t
)
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}}(t)\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
[ 136]
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
B
∉
Δ
T
cinémat. de
(
S
)
(
t
)
{\displaystyle \;B\notin \Delta _{{\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}}(t)\;}
V
→
B
(
t
)
=
V
→
A
(
t
)
+
Ω
→
(
t
)
∧
A
B
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{B}(t)={\vec {V}}_{A}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AB}}(t)\;}
relation de Varignon [ 14] solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
axe central
Δ
T
cinémat. de
(
S
)
(
t
)
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}}(t)\;}
translation de vecteur vitesse
V
→
A
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{A}(t)\;}
∥
{\displaystyle \parallel \;}
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
le torseur cinématique est un torseur non particulier si
Ω
→
(
t
)
≠
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\neq {\overrightarrow {0}}\;}
A
∈
(
S
)
{\displaystyle \;A\in ({\mathcal {S}})\;}
V
→
A
(
t
)
∥
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{A}(t)\;\parallel \;}
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
[ 56] torseur
)
{\displaystyle {\big )}}
torseur n'ayant donc pas d'axe central ; le choix d'un point quelconque
P
∈
(
S
)
{\displaystyle \;P\in ({\mathcal {S}})\;}
V
→
P
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{P}(t)\;}
Q
∈
(
S
)
{\displaystyle \;Q\in ({\mathcal {S}})\;}
≠
P
{\displaystyle \;\neq P\;}
V
→
Q
(
t
)
=
V
→
P
(
t
)
+
Ω
→
(
t
)
∧
P
Q
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{Q}(t)={\vec {V}}_{P}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {PQ}}(t)\;}
relation de Varignon [ 14] solide résulte de la composition d'une rotation de vecteur rotation instantanée
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
∥
{\displaystyle \;\parallel \;}
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
P
{\displaystyle \;P\;}
translation de vecteur vitesse
V
→
P
(
t
)
∦
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{P}(t)\;\not \parallel \;}
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)}
Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la cinétique newtonienne .
Le torseur cinétique sert à représenter pratiquement les comportements de « mouvement inertiel »[ 137]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
indéformable
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 138]
La grandeur cinétique d'un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}
référentiel d'étude La grandeur cinétique est représentée, à l'instant
t
{\displaystyle \;t}
vecteur quantité de mouvement
p
→
k
(
t
)
=
m
k
V
→
A
k
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {p}}_{k}(t)=m_{k}\;{\vec {V}}_{A_{k}}(t)\;}
A
k
{\displaystyle \;A_{k}\;}
m
k
{\displaystyle \;m_{k}\;}
V
→
A
k
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{A_{k}}(t)\;}
t
{\displaystyle \;t}
la quantité de mouvement
p
→
k
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {p}}_{k}(t)\;}
A
k
{\displaystyle \;A_{k}\;}
torseur glisseur
G
k
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{k}\;}
Δ
G
k
(
t
)
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{k}}(t)\;}
A
k
{\displaystyle \;A_{k}\;}
p
→
k
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {p}}_{k}(t)}
la quantité de mouvement
p
→
k
(
t
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {p}}_{k}(t)}\;}
A
k
{\displaystyle \;\color {transparent}{A_{k}}\;}
G
k
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{k}}\;}
ses éléments de réduction en un point
O
{\displaystyle \;O\;}
{
p
→
k
(
t
)
=
m
k
V
→
A
k
(
t
)
M
→
O
,
p
→
k
(
t
)
=
p
→
k
(
t
)
∧
A
k
O
→
(
t
)
}
O
{\displaystyle \;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {p}}_{k}(t)=m_{k}\;{\vec {V}}_{A_{k}}(t)\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {p}}_{k}}(t)={\vec {p}}_{k}(t)\wedge {\overrightarrow {A_{k}O}}(t)\end{array}}\!\right\rbrace _{\!O}\;}
[ 139]
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}
l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur
T
cinét.
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}\;}
torseur cinétique l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur
T
cinét.
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;}
dont les éléments de réduction en un point
O
{\displaystyle \;O\;}
T
cinét.
=
∑
k
G
k
=
{
∑
k
p
→
k
(
t
)
∑
k
M
→
O
,
p
→
k
(
t
)
}
O
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}=\sum _{k}{\mathcal {G}}_{k}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {p}}_{k}(t)\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {p}}_{k}}(t)\end{array}}\right\rbrace _{O}\;}
[ 140] l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur
T
cinét.
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
résultante
∑
k
p
→
k
(
t
)
=
∑
k
m
k
V
→
k
(
t
)
{\displaystyle \;\sum _{k}{\vec {p}}_{k}(t)=\sum _{k}m_{k}\;{\vec {V}}_{k}(t)\;}
torseur cinétique notée
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)\;}
résultante cinétique » et l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur
T
cinét.
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
moment
∑
k
M
→
O
,
p
→
k
(
t
)
=
∑
k
p
→
k
(
t
)
∧
A
k
O
→
(
t
)
{\displaystyle \;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {p}}_{k}}(t)=\sum _{k}{\vec {p}}_{k}(t)\wedge {\overrightarrow {A_{k}O}}(t)\;}
torseur cinétique noté, en physique, l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur
T
cinét.
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
σ
→
O
,
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
(
t
)
{\displaystyle {\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)\;}
[ 141] moment résultant cinétique » au point
O
{\displaystyle \;O\;}
[ 142] l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur
T
cinét.
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
σ
→
O
(
t
)
=
∑
k
O
A
k
→
(
t
)
∧
p
→
k
(
t
)
=
∑
k
O
A
k
→
(
t
)
∧
m
V
→
k
(
t
)
{\displaystyle {\overrightarrow {\sigma }}_{O}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{k}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{k}(t)\;}
relation de Varignon [ 14] l'ensemble des quantités de mouvement des points du système est un torseur
T
cinét.
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}\;}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
σ
→
O
′
(
t
)
=
σ
→
O
(
t
)
+
P
→
(
t
)
∧
O
O
′
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\sigma }}_{O'}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{O}(t)+{\vec {P}}(t)\wedge {\overrightarrow {OO'}}\;}
σ
→
O
′
(
t
)
=
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O'}(t)=}
σ
→
O
(
t
)
+
O
′
O
→
∧
P
→
(
t
)
{\displaystyle {\overrightarrow {\sigma }}_{O}(t)+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\vec {P}}(t)}
Le torseur cinétique du système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}
référentiel d'étude à l'instant
t
{\displaystyle \;t\;}
un torseur couple si
P
→
(
t
)
=
0
→
∀
t
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)={\vec {0}}\;\forall \;t\;}
[ 143]
G
{\displaystyle \;G\;}
[ 144] relation de Varignon [ 14]
σ
→
O
′
(
t
)
=
σ
→
O
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O'}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{O}(t)\;}
(
O
,
O
′
)
∈
E
2
{\displaystyle \;\left(O,\,O'\right)\in {\mathcal {E}}^{2}\;}
torseur cinétique n'a pas d'axe central ,
un torseur glisseur si
P
→
(
t
)
≠
0
→
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)\neq {\vec {0}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
σ
→
A
(
t
)
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(t)={\vec {0}}}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
[ 56] glisseur
)
{\displaystyle {\big )}}
torseur glisseur ayant pour support « la droite issue de
A
{\displaystyle \;A\;}
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)\;}
[ 145]
B
∈
(
E
)
{\displaystyle \;B\in ({\mathcal {E}})\;}
≠
A
{\displaystyle \;\neq A\;}
moment résultant cinétique s'écrit
σ
→
B
(
t
)
=
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)=}
P
→
(
t
)
∧
A
B
→
{\displaystyle {\vec {P}}(t)\wedge {\overrightarrow {AB}}}
[
{\displaystyle \;{\Big [}}
σ
→
B
(
t
)
=
B
A
→
∧
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)={\overrightarrow {BA}}\wedge {\vec {P}}(t)\;}
]
{\displaystyle {\Big ]}\;}
relation de Varignon [ 14] moment résultant cinétique du système en
B
{\displaystyle \;B\;}
moment cinétique en
B
{\displaystyle \;B\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système,
un torseur non particulier si
P
→
(
t
)
≠
0
→
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)\neq {\vec {0}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
σ
→
A
(
t
)
∥
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(t)\;\parallel \;}
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
[ 56] torseur [ 146]
)
{\displaystyle {\big )}}
torseur ayant pour axe central
Δ
T
cinét.
(
t
)
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {T}}_{\text{cinét.}}}(t)\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
[ 146]
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)\;}
B
∈
(
E
)
{\displaystyle \;B\in ({\mathcal {E}})\;}
≠
A
{\displaystyle \;\neq A\;}
moment résultant cinétique s'écrit
σ
→
B
(
t
)
=
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)=}
σ
→
A
(
t
)
+
P
→
(
t
)
∧
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\sigma }}_{A}(t)+{\vec {P}}(t)\wedge {\overrightarrow {AB}}}
[
{\displaystyle \;{\Big [}}
σ
→
B
(
t
)
=
σ
→
A
(
t
)
+
B
A
→
∧
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{A}(t)+{\overrightarrow {BA}}\wedge {\vec {P}}(t)\;}
]
{\displaystyle {\Big ]}\;}
relation de Varignon [ 14] moment résultant cinétique du système en
B
{\displaystyle \;B\;}
moment résultant cinétique en
A
{\displaystyle \;A\;}
moment cinétique en
B
{\displaystyle \;B\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants cinétiques étant
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
[ 147]
un torseur non particulier si
P
→
(
t
)
≠
0
→
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)\neq {\vec {0}}\;}
A
∈
E
{\displaystyle \;A\in {\mathcal {E}}\;}
σ
→
A
(
t
)
∥
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(t)\;\parallel \;}
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
[ 56] torseur
)
{\displaystyle {\big )}}
torseur n'ayant pas d'axe central , considérant un point
D
∈
E
{\displaystyle \;D\in {\mathcal {E}}\;}
moment résultant cinétique est
σ
→
D
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{D}(t)\;}
B
∈
E
{\displaystyle \;B\in {\mathcal {E}}\;}
≠
D
{\displaystyle \;\neq D\;}
moment résultant cinétique s'écrit
σ
→
B
(
t
)
=
σ
→
D
(
t
)
+
P
→
(
t
)
∧
D
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{D}(t)+{\vec {P}}(t)\wedge {\overrightarrow {DB}}}
[
{\displaystyle \;{\Big [}}
σ
→
B
(
t
)
=
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{B}(t)=}
σ
→
D
(
t
)
+
B
D
→
∧
P
→
(
t
)
{\displaystyle {\overrightarrow {\sigma }}_{D}(t)+{\overrightarrow {BD}}\wedge {\vec {P}}(t)\;}
]
{\displaystyle {\Big ]}\;}
relation de Varignon [ 14] moment résultant cinétique du système en
B
{\displaystyle \;B\;}
moment résultant cinétique en
D
{\displaystyle \;D}
moment cinétique en
B
{\displaystyle \;B\;}
D
{\displaystyle \;D\;}
quantité de mouvement égale à la résultante cinétique du système, ces deux moments résultants cinétiques étant a priori quelconques. Cette introduction n'est valable que dans le domaine de la dynamique newtonienne .
Le torseur dynamique sert à représenter les variations de « mouvement inertiel »[ 137]
(
{\displaystyle \;{\big (}}
indéformable
)
{\displaystyle {\big )}\;}
[ 148]
La grandeur dynamique d'un système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}
référentiel d'étude La grandeur dynamique est représentée, à l'instant
t
{\displaystyle \;t}
vecteur quantité de mouvement
d
p
→
k
d
t
(
t
)
=
p
→
k
˙
(
t
)
=
m
k
a
→
A
k
(
t
)
{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)={\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t)=m_{k}\;{\vec {a}}_{A_{k}}(t)\;}
A
k
{\displaystyle \;A_{k}\;}
La grandeur dynamique est représentée, à l'instant
t
{\displaystyle \;\color {transparent}{t}}
m
k
{\displaystyle \;m_{k}\;}
a
→
A
k
(
t
)
=
V
→
k
˙
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {a}}_{A_{k}}(t)={\dot {{\vec {V}}_{k}}}(t)\;}
t
{\displaystyle \;t}
la dérivée temporelle du vecteur quantité de mouvement
p
→
k
˙
(
t
)
{\displaystyle \;{\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t)\;}
A
k
{\displaystyle \;A_{k}\;}
glisseur
G
k
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{k}\;}
Δ
G
k
(
t
)
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{k}}(t)\;}
A
k
{\displaystyle \;A_{k}\;}
p
→
k
˙
(
t
)
=
d
p
→
k
d
t
(
t
)
{\displaystyle \;{\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\;}
la dérivée temporellle du vecteur quantité de mouvement
p
→
k
˙
(
t
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t)}\;}
A
k
{\displaystyle \;\color {transparent}{A_{k}}\;}
G
k
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {G}}_{k}}\;}
pour éléments de réduction en un point
O
{\displaystyle \;O\;}
{
d
p
→
k
d
t
(
t
)
=
m
k
a
→
A
k
(
t
)
M
→
O
,
p
→
k
˙
(
t
)
=
d
p
→
k
d
t
(
t
)
∧
A
k
O
→
(
t
)
}
O
{\displaystyle \;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)=m_{k}\;{\vec {a}}_{A_{k}}(t)\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\dot {{\vec {p}}_{k}}}}(t)={\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {A_{k}O}}(t)\end{array}}\!\right\rbrace _{\!O}\;}
[ 149]
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points du système de points matériels
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur
T
dynam.
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{dynam.}}\;}
torseur dynamique l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur pour éléments de réduction en un point
O
∈
E
{\displaystyle \;O\in {\mathcal {E}}\;}
T
dynam.
=
∑
k
G
k
=
{
∑
k
d
p
→
k
d
t
(
t
)
∑
k
M
→
O
,
p
→
k
˙
(
t
)
}
O
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{dynam.}}=\sum _{k}{\mathcal {G}}_{k}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\sum _{k}{\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\dot {{\vec {p}}_{k}}}}(t)\end{array}}\!\right\rbrace _{\!O}\;}
[ 150] l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur
∙
{\displaystyle \bullet \;}
résultante
∑
k
d
p
→
k
d
t
(
t
)
=
∑
k
p
→
k
˙
(
t
)
=
∑
k
m
k
a
→
k
(
t
)
{\displaystyle \;\sum _{k}{\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)=\sum _{k}{\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t)=\sum _{k}m_{k}\;{\vec {a}}_{k}(t)\;}
torseur dynamique l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
est appelée, par quelques uns, « quantité d'accélération »[ 36] , [ 37] l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur
∙
{\displaystyle \bullet \;}
moment
∑
k
M
→
O
,
p
→
k
˙
(
t
)
=
∑
k
d
p
→
k
d
t
(
t
)
∧
A
k
O
→
(
t
)
{\displaystyle \;\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\dot {{\vec {p}}_{k}}}}(t)=\sum _{k}{\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {A_{k}O}}(t)\;}
torseur dynamique noté, en physique, l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
M
→
O
,
{
A
k
,
p
k
→
˙
,
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
}
(
t
)
=
∑
k
O
A
k
→
(
t
)
∧
d
p
→
k
d
t
(
t
)
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\;}
[ 151] l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
« moment (résultant) dynamique » au point
O
{\displaystyle \;O\;}
[ 152] l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
M
→
O
,
tors. dynam.
(
t
)
=
∑
k
O
A
k
→
(
t
)
∧
d
p
→
k
d
t
(
t
)
=
∑
k
O
A
k
→
(
t
)
∧
m
a
→
k
(
t
)
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{tors. dynam.}}}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge m\;{\vec {a}}_{k}(t)\;}
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
la relation de Varignon [ 14] l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
M
→
O
′
,
tors. dynam.
(
t
)
=
M
→
O
,
tors. dynam.
(
t
)
+
d
P
→
d
t
(
t
)
∧
O
O
′
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O',\,{\text{tors. dynam.}}}(t)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{tors. dynam.}}}(t)+{\dfrac {d{\vec {P}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {OO'}}\;}
l'ensemble des dérivées temporelles des quantités de mouvement des points est un torseur
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
M
→
O
′
,
tors. dynam.
(
t
)
=
M
→
O
,
tors. dynam.
(
t
)
+
O
′
O
→
∧
d
P
→
d
t
(
t
)
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O',\,{\text{tors. dynam.}}}(t)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{tors. dynam.}}}(t)+{\overrightarrow {O'O}}\wedge {\dfrac {d{\vec {P}}}{dt}}(t)}
Soient
T
stat. sur
(
S
)
=
{
∑
k
F
→
k
∑
k
M
→
O
,
F
→
k
+
∑
q
,
indexant
[
[
i
…
j
]
]
M
→
C
→
(
l
∈
[
[
i
…
j
]
]
q
)
}
O
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]_{q}\right)}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;}
[ 128] torseur statique s'exerçant sur le solide
(
S
)
=
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}
T
stat. sur
(
S
)
=
{
F
→
ext
M
→
O
,
ext
}
O
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{\text{ext}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;}
[ 153] Soient
T
cinémat. de
(
S
)
=
{
Ω
→
(
t
)
V
→
O
(
t
)
}
O
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\Omega }}(t)\\{\vec {V}}_{O}(t)\end{array}}\right\rbrace _{O}}
torseur cinématique du solide pour lequel
O
{\displaystyle \;O\;}
solide , produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
torseurs statique et cinématique relatif au solide
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)}
T
stat. sur
(
S
)
⊗
T
cinémat. de
(
S
)
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}}
O
∈
(
S
)
{\displaystyle \;O\in \left({\mathcal {S}}\right)}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
s'écrit
T
stat. sur
(
S
)
⊗
T
cinémat. de
(
S
)
=
{
F
→
ext
M
→
O
,
ext
}
O
⊗
{
Ω
→
(
t
)
V
→
O
(
t
)
}
O
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{\text{ext}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\otimes \left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\Omega }}(t)\\{\vec {V}}_{O}(t)\end{array}}\right\rbrace _{O}}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
T
stat. sur
(
S
)
⊗
T
cinémat. de
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}}}
=
F
→
ext
⋅
V
→
O
(
t
)
+
M
→
O
,
ext
⋅
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle ={\vec {F}}_{\text{ext}}\cdot {\vec {V}}_{O}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
puissance développée par la résultante dynamique
F
→
ext
{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;}
translation de vecteur vitesse
V
→
O
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{O}(t)\;}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
F
→
ext
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{ext}}}\;}
F
→
ext
⋅
V
→
O
(
t
)
{\displaystyle {\vec {F}}_{\text{ext}}\cdot {\vec {V}}_{O}(t)\;}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
puissance développée par le moment résultant dynamique
M
→
O
,
ext
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\;}
rotation autour du point
O
{\displaystyle \;O}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
M
→
O
,
ext
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}}\;}
de vecteur rotation instantanée
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
c'est-à-dire
M
→
O
,
ext
⋅
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
T
stat. sur
(
S
)
⊗
T
cinémat. de
(
S
)
=
P
ext
(
t
)
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;}
puissance développée par les actions extérieures le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}}
T
stat. sur
(
S
)
⊗
T
cinémat. de
(
S
)
=
P
ext
(
t
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)}\;}
s'exerçant sur le solide
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})}
en conclusion le produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
torseurs statique et cinématique relatif au solide
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)\;}
puissance développée par les actions extérieures s'exerçant sur le solide
(
S
)
{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)\;}
en conclusion le produit
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}\;}
(
S
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left({\mathcal {S}}\right)}\;}
dans le référentiel où le torseur cinématique est déterminé soit
T
stat. sur
(
S
)
⊗
T
cinémat. de
(
S
)
=
F
→
ext
⋅
V
→
O
(
t
)
+
M
→
O
,
ext
⋅
Ω
→
(
t
)
=
P
ext
(
t
)
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}\otimes {\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}={\vec {F}}_{\text{ext}}\cdot {\vec {V}}_{O}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\cdot {\overrightarrow {\Omega }}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;}
[ 154]
↑ Voir le paragraphe « définition du barycentre d'un système de n points pondérés » du chap.
24
{\displaystyle 24}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 Représentant l'espace vectoriel auquel on associe l'ensemble des bipoints de l'espace affine .
↑ Les notions élémentaires des vecteurs de l'espace sont suffisants, il n'est pas, pour l'instant, utile de définir un espace vectoriel .
↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Égale à la norme du vecteur associé au bipoint.
↑ Se déterminant à l'aide du produit scalaire des vecteurs associés aux bipoints, voir le paragraphe « calcul de l'angle entre deux vecteurs connaissant leurs composantes dans une même base orthonormée et par l'intermédiaire de leur produit scalaire » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ 7,00 7,01 7,02 7,03 7,04 7,05 7,06 7,07 7,08 7,09 7,10 7,11 7,12 7,13 7,14 7,15 7,16 7,17 7,18 7,19 7,20 7,21 7,22 7,23 7,24 Ou sous-ensemble de
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}
↑ Ici application de
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
E
]
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
↑ L'adjoint d'un endomorphisme
a
{\displaystyle \;a\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
espace affine
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}
endomorphisme
a
∗
{\displaystyle \;a^{*}\;}
∀
(
x
,
y
)
∈
V
2
,
⟨
x
,
a
(
y
)
⟩
=
⟨
a
∗
(
x
)
,
y
⟩
{\displaystyle \;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in {\mathcal {V}}^{2},\;\left\langle x\,,\,a(y)\right\rangle =\left\langle a^{*}(x)\,,\,y\right\rangle \;}
⟨
,
⟩
{\displaystyle \;\left\langle \;,\;\right\rangle \;}
multiplication scalaire définie sur
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \;\left\langle x\,,\,y\right\rangle \;}
produit scalaire de
x
∈
V
{\displaystyle \;x\in {\mathcal {V}}\;}
y
∈
V
}
{\displaystyle \;y\in {\mathcal {V}}{\big \}}}
{
a
(
y
)
{\displaystyle \;{\big \{}a(y)\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
y
{\displaystyle \;y\;}
endomorphisme
a
{\displaystyle \;a}
⟨
x
,
a
(
y
)
⟩
{\displaystyle \;\left\langle x\,,\,a(y)\right\rangle \;}
produit scalaire de
x
{\displaystyle \;x\;}
a
(
y
)
}
{\displaystyle \;a(y){\big \}}\;}
produit scalaire devant être égal à
⟨
a
∗
(
x
)
,
y
⟩
{\displaystyle \;\left\langle a^{*}(x)\,,\,y\right\rangle }
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
produit scalaire de
a
∗
(
x
)
{\displaystyle \;a^{*}(x)}
x
{\displaystyle \;x\;}
endomorphisme adjoint
a
∗
{\displaystyle \;a^{*}}
y
}
{\displaystyle \;y{\big \}}}
endomorphisme adjoint de
a
{\displaystyle \;a}
endomorphismes égaux à leur adjoint sont dits « symétriques »
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
a
=
λ
×
{\displaystyle \;a=\lambda \times \;}
λ
∈
R
∗
{\displaystyle \;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;}
⟨
x
,
λ
y
⟩
=
⟨
λ
x
,
y
⟩
}
{\displaystyle \;\left\langle x\,,\,\lambda \;y\right\rangle =\left\langle \lambda \;x\,,\,y\right\rangle {\big \}}\;}
les endomorphi ceux opposés à leur adjoint sont dits « antisymétriques »
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
a
=
u
∧
{\displaystyle \;a=u\wedge \;}
u
∈
V
∖
{
0
→
}
{\displaystyle \;u\in {\mathcal {V}}\,\backslash \!\left\lbrace {\vec {0}}\right\rbrace \;}
⟨
x
,
u
∧
y
⟩
=
⟨
−
u
∧
x
,
y
⟩
{\displaystyle \;\left\langle x\,,\,u\wedge y\right\rangle =\left\langle -u\wedge x\,,\,y\right\rangle }
produit scalaire
⟨
x
,
u
∧
y
⟩
{\displaystyle \;\left\langle x\,,\,u\wedge y\right\rangle \;}
produit mixte
x
→
⋅
(
u
→
∧
y
→
)
{\displaystyle \;{\vec {x}}\cdot \left({\vec {u}}\wedge {\vec {y}}\right)}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
multiplication scalaire ainsi que celle des vecteurs pour les éléments de
V
]
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}{\big ]}\;}
y
→
⋅
(
x
→
∧
u
→
)
{\displaystyle \;{\vec {y}}\cdot \left({\vec {x}}\wedge {\vec {u}}\right)\;}
produit mixte
[
{\displaystyle \;{\big [}}
propriétés (1ère propriété) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
(
x
→
∧
u
→
)
⋅
y
→
{\displaystyle \;\left({\vec {x}}\wedge {\vec {u}}\right)\cdot {\vec {y}}\;}
produit scalaire
[
{\displaystyle \;{\big [}}
autres propriétés (1ère propriété) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
(
−
u
→
∧
x
→
)
⋅
y
→
{\displaystyle \;\left(-{\vec {u}}\wedge {\vec {x}}\right)\cdot {\vec {y}}\;}
anticommutativité du produit vectoriel
[
{\displaystyle {\big [}}
propriétés (1ère propriété) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
}
{\displaystyle {\big ]}{\Big \}}}
↑ 10,0 10,1 On rappelle qu'au sens de la mécanique un solide est un système de points matériels indéformable .
↑ Par exemple, le moment des forces gravitationnelles crées par la Terre ou forces électrostatiques dues à un corps électrisé
…
{\displaystyle \;\ldots }
[
{\displaystyle \;{\big [}}
définition (du moment vectoriel d'une force) » du chap.
4
{\displaystyle 4}
Mécanique 2 (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ C'est un abus fréquemment utilisé, on devrait énoncer « l'image d'un torseur est un champ de vecteurs
…
{\displaystyle \ldots \;}
torseur étant une application d'un espace affine sur la direction de ce dernier.
↑ L'équiprojectivité du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
∀
(
M
,
N
)
∈
E
2
,
T
(
M
)
⋅
M
N
→
=
T
(
N
)
⋅
M
N
→
{\displaystyle \;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\mathcal {T}}(M)\cdot {\overrightarrow {MN}}={\mathcal {T}}(N)\cdot {\overrightarrow {MN}}}
↑ 14,00 14,01 14,02 14,03 14,04 14,05 14,06 14,07 14,08 14,09 14,10 14,11 14,12 14,13 14,14 14,15 14,16 14,17 14,18 14,19 14,20 14,21 14,22 14,23 14,24 14,25 14,26 14,27 14,28 Pierre Varignon (1654 - 1722)statique
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Le torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
équiprojectif et ayant admis qu'un tel champ équiprojectif vérifiait la propriété « il existe un endomorphisme antisymétrique
u
{\displaystyle \;u\;}
∀
(
M
,
N
)
∈
E
2
,
{\displaystyle \;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;}
T
(
N
)
=
T
(
M
)
+
u
(
M
N
→
)
{\displaystyle {\mathcal {T}}(N)={\mathcal {T}}(M)+u\!\left({\overrightarrow {MN}}\right)\;}
endomorphisme antisymétrique
u
{\displaystyle \;u\;}
u
(
)
=
R
→
∧
(
)
{\displaystyle \;u()={\vec {R}}\wedge ()}
↑ Cette affirmation résultant du fait qu'une multiplication vectorielle dépend de l'orientation de l'espace affine
[
{\displaystyle \;{\big [}}
produit vectoriel de deux vecteurs (introduction sur l'orientation de l'espace affine) » et « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ 17,00 17,01 17,02 17,03 17,04 17,05 17,06 17,07 17,08 17,09 17,10 17,11 17,12 17,13 Voir le paragraphe « définition d'un vrai vecteur (ou vecteur polaire) » du chap.
20
{\displaystyle 20}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « produit vectoriel de deux vrais vecteurs (ou vecteurs polaires) » du chap.
20
{\displaystyle 20}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ 19,00 19,01 19,02 19,03 19,04 19,05 19,06 19,07 19,08 19,09 19,10 19,11 Voir le paragraphe « définition d'un pseudo-vecteur (ou vecteur axial) » du chap.
20
{\displaystyle 20}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « produit vectoriel d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur (ou d'un vecteur axial et d'un vrai vecteur) » du chap.
20
{\displaystyle 20}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ 21,0 21,1 Était noté
T
(
A
)
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}(A)\;}
relation de Varignon (forme réciproque) du paragraphe notion de résultante d'un torseur » plus haut dans ce chapitre.
↑ 22,0 22,1 Ici la distinction entre vrai vecteur et pseudo-vecteur n'est pas faite, raison pour laquelle ils sont considérés comme appartenant au même espace vectoriel
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}
↑ 23,0 23,1
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
M
→
A
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;}
éléments de réduction du torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
torseur
T
)
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}{\big )}}
ème élément
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ème coordonnée
)
{\displaystyle {\big )}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
↑ D'après la réciproque de la relation de Varignon , on voit que l'on peut construire un torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
er vrai vecteur
∈
V
{\displaystyle \;\in {\mathcal {V}}\;}
nd pseudo-vecteur
∈
T
(
E
)
⊂
V
{\displaystyle \;\in {\mathcal {T}}({\mathcal {E}})\subset {\mathcal {V}}}
espace vectoriel
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
torseur noté
V
′
⊃
T
(
E
)
∀
T
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'\supset {\mathcal {T}}({\mathcal {E}})\;\forall \;{\mathcal {T}}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
vrais vecteurs de celui des pseudo-vecteurs
]
{\displaystyle {\big ]}}
ceci établissant que l'ensemble des torseurs forment un espace vectoriel de dimension six dont une base possible est la réunion d'une base de
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
V
′
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'}
V
′
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
V
′
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
…
]
{\displaystyle \;\ldots {\big ]}}
↑
(
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
)
{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
M
N
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {MN}}\;}
(
u
→
l
,
u
→
m
,
u
→
n
)
{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\,,\,{\vec {u}}_{n}\right)\;}
V
′
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'\;}
moments de torseur
M
→
P
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;}
u
→
x
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{x}\;}
u
→
l
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{l}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
u
→
y
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{y}\;}
u
→
m
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{m}\;}
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}\;}
u
→
n
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{n}\;}
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ 26,0 26,1 De Julius Plücker (1801 - 1868)géométrie analytique dans le domaine des mathématiques et effectué des recherches sur les rayons cathodiques , entre autres, dans le domaine de la physique.
↑ Les vrais vecteurs constituent l'espace vectoriel
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}
pseudo-vecteurs forment l'espace vectoriel
V
′
⊃
T
(
E
)
∀
T
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'\supset {\mathcal {T}}({\mathcal {E}})\;\forall \;{\mathcal {T}}\;}
V
′
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'\;}
T
(
E
)
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}({\mathcal {E}})}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}}
↑ Avec la distinction faite en note « 27
{
R
→
,
M
→
A
}
∈
V
×
V
′
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right\rbrace \in {\mathcal {V}}\times {\mathcal {V}}'}
↑ 29,0 29,1 Ou
T
(
P
)
=
T
(
A
)
+
R
→
∧
A
M
→
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}(P)={\mathcal {T}}(A)+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AM}}\;}
M
→
P
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;}
T
(
P
)
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}(P)}
↑ Si on explicite les composantes plückeriennes de cette relation de Varignon , il faut préciser que
M
→
P
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;}
M
→
A
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;}
(
u
→
l
,
u
→
m
,
u
→
n
)
{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\,,\,{\vec {u}}_{n}\right)\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
A
M
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {AM}}\;}
(
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
)
{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)}
{
u
→
x
∧
u
→
y
=
u
→
n
u
→
y
∧
u
→
z
=
u
→
l
u
→
z
∧
u
→
x
=
u
→
m
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{n}\\{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{l}\\{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{m}\end{array}}\right\rbrace \;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur » du chap.
20
{\displaystyle 20}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ Voir le paragraphe « définition de la résultante dynamique s'exerçant sur un système de points matériels fermé » du chap.
6
{\displaystyle 6}
Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « vecteur moment résultant dynamique appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point origine quelconque A » du chap.
4
{\displaystyle 4}
Mécanique 2 (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « définition de la résultante cinétique d'un système de points matériels, 1ère grandeur cinétique associée au système » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « définition du vecteur moment cinétique d'un système discret (fermé) de points matériels dans le référentiel d'étude par rapport à un point origine A » du chap.
2
{\displaystyle 2}
Mécanique 2 (PCSI) ».
↑ Ou, si le point
A
{\displaystyle \;A\;}
centre d'inertie
G
{\displaystyle \;G\;}
σ
→
P
/
R
(
t
)
=
σ
→
G
/
R
(
t
)
+
P
→
/
R
(
t
)
∧
A
G
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!P\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {\sigma }}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)\;}
P
→
/
R
(
t
)
=
m
syst
V
→
G
/
R
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Mécanique 1 (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
m
syst
{\displaystyle \;m_{\text{syst}}\;}
σ
→
P
/
R
(
t
)
=
σ
→
G
/
R
(
t
)
+
m
syst
V
→
G
/
R
(
t
)
∧
A
G
→
(
t
)
=
σ
→
G
/
R
(
t
)
+
G
A
→
(
t
)
∧
m
syst
V
→
G
/
R
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!P\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {\sigma }}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)={\vec {\sigma }}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\overrightarrow {GA}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)}
↑ 36,0 36,1 Ce que je désapprouve car cette appellation ne fait pas référence à l'aspect inertiel de la résultante .
↑ 37,0 37,1 Pourrait être appelée « résultante dynamique » mais je réserve déjà cette appellation à la résultante du torseur statique
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
théorème de la résultante cinétique appliquée au système
[
{\displaystyle \;{\big [}}
énoncé du théorème de la résultante cinétique » du chap.
9
{\displaystyle 9}
Mécanique 1 (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
résultante du torseur statique est égale à la résultante du torseur dynamique et par suite la confusion pourrait être faite dans le cas d'un système fermé, toutefois, comme la confusion n'est plus possible pour un système ouvert, je préfère dire « résultante du torseur dynamique » pour nommer
∑
k
p
→
k
˙
(
t
)
}
{\displaystyle \sum _{k}{\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t){\Big \}}}
↑ 38,0 38,1 A priori, quand on dérive temporellement une grandeur vectorielle, il faut préciser dans quel référentiel cette dérivation est effectuée car, suivant ce dernier, le résultat diffère
[
{\displaystyle \;{\big [}}
référentiel peuvent être, suivant le cas, fixes ou mobiles
]
{\displaystyle {\big ]}}
référentiel , les vecteurs de base du repère lié au référentiel sont évidemment fixes dans le référentiel de dérivation et il serait inutile de le préciser d'où noter
d
P
→
/
R
d
t
(
t
)
{\displaystyle \;{\dfrac {d\,{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)\;}
d
σ
→
A
/
R
d
t
(
t
)
{\displaystyle \;{\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)\;}
(
{\displaystyle \;{\big (}}
)
{\displaystyle {\big )}}
↑ La définition est en fait, pour un système de n points matériels fermé
{
M
k
}
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
{\displaystyle \;\left\lbrace M_{k}\right\rbrace _{k\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}}
∑
k
1
,
,
n
A
M
k
→
(
t
)
∧
p
→
k
˙
(
t
)
{\displaystyle \;\sum _{k}^{1\,,,\,n}{\overrightarrow {AM_{k}}}(t)\wedge {\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t)\;\;}
σ
→
A
/
R
(
t
)
=
∑
k
1
,
,
n
A
M
k
→
(
t
)
∧
p
→
k
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)=\sum _{k}^{1\,,,\,n}{\overrightarrow {AM_{k}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{k}(t)\;}
d
σ
→
A
/
R
d
t
(
t
)
=
∑
k
1
,
,
n
d
A
M
k
→
d
t
(
t
)
∧
p
→
k
(
t
)
+
∑
k
1
,
,
n
A
M
k
→
(
t
)
∧
d
p
→
k
d
t
(
t
)
{\displaystyle \;{\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)={\cancel {\sum _{k}^{1\,,,\,n}{\dfrac {d\,{\overrightarrow {AM_{k}}}}{dt}}(t)\wedge {\vec {p}}_{k}(t)\;+}}\;\sum _{k}^{1\,,,\,n}{\overrightarrow {AM_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d\,{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
référentiel ,
d
A
M
k
→
d
t
(
t
)
=
V
→
M
k
(
t
)
=
p
→
k
(
t
)
m
k
{\displaystyle \;{\dfrac {d\,{\overrightarrow {AM_{k}}}}{dt}}(t)={\vec {V}}_{M_{k}}(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{k}(t)}{m_{k}}}\;}
m
k
{\displaystyle \;m_{k}\;}
M
k
{\displaystyle \;M_{k}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
d
A
M
k
→
d
t
(
t
)
∧
p
→
k
(
t
)
=
0
→
{\displaystyle \;{\dfrac {d\,{\overrightarrow {AM_{k}}}}{dt}}(t)\wedge {\vec {p}}_{k}(t)={\vec {0}}\;}
↑ Ou, si le point
A
{\displaystyle \;A\;}
centre d'inertie
G
{\displaystyle \;G\;}
d
σ
→
P
/
R
d
t
(
t
)
=
d
σ
→
G
/
R
d
t
(
t
)
+
d
P
→
/
R
d
t
(
t
)
∧
A
G
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!P\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)={\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)+{\dfrac {d\,{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)\;}
P
→
/
R
(
t
)
=
m
syst
V
→
G
/
R
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Mécanique 1 (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
m
syst
{\displaystyle \;m_{\text{syst}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
d
P
→
/
R
d
t
(
t
)
=
m
syst
d
V
→
G
/
R
d
t
(
t
)
=
m
syst
a
→
G
/
R
(
t
)
{\displaystyle \;{\dfrac {d\,{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\dfrac {d\,{\vec {V}}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;}
a
→
G
/
R
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {a}}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;}
G
{\displaystyle \;G}
d
σ
→
P
/
R
d
t
(
t
)
=
d
σ
→
G
/
R
d
t
(
t
)
+
m
syst
a
→
G
/
R
(
t
)
∧
A
G
→
(
t
)
=
d
σ
→
G
/
R
d
t
(
t
)
+
G
A
→
(
t
)
∧
m
syst
a
→
G
/
R
(
t
)
{\displaystyle \;{\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!P\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)={\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)+m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)={\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)+{\overrightarrow {GA}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{\!G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)}
↑ D'après la réciproque de la relation de Varignon , on voit que l'on peut construire un torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
er pseudo-vecteur
∈
V
′
{\displaystyle \;\in {\mathcal {V}}'\;}
nd vrai vecteur
∈
T
(
E
)
⊂
V
{\displaystyle \;\in {\mathcal {T}}({\mathcal {E}})\subset {\mathcal {V}}}
espace vectoriel
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
torseur , de
V
′
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'\;}
résultante
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
torseur est générée, pour concrétiser la différenciation
[
{\displaystyle \;{\big [}}
vrais vecteurs de celui des pseudo-vecteurs
]
{\displaystyle {\big ]}}
ceci établissant que l'ensemble des torseurs forment un espace vectoriel de dimension six dont une base possible est la réunion d'une base de
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
V
′
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'}
V
′
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
V
′
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
…
]
{\displaystyle \;\ldots {\big ]}}
↑
(
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
)
{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
M
N
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {MN}}\;}
moments de torseur
M
→
P
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;}
(
u
→
′
x
,
u
→
′
y
,
u
→
′
z
)
{\displaystyle \;\left({{\vec {u}}'}_{x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{y}\,,\,{{\vec {u}}'}_{z}\right)\;}
V
′
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
u
→
x
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{x}\;}
u
→
′
x
{\displaystyle \;{{\vec {u}}'}_{x}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
u
→
y
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{y}\;}
u
→
′
y
{\displaystyle \;{{\vec {u}}'}_{y}\;}
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}\;}
u
→
′
z
{\displaystyle \;{{\vec {u}}'}_{z}\;}
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ Les vrais vecteurs constituent l'espace vectoriel
V
⊃
T
(
E
)
∀
T
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;\supset {\mathcal {T}}({\mathcal {E}})\;\forall \;{\mathcal {T}}\;}
V
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
torseur , alors que pseudo-vecteurs forment l'espace vectoriel
V
′
{\displaystyle \;{\mathcal {V}}'\;}
résultante des torseurs
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
↑ Avec la distinction faite en note « 33
{
R
→
,
M
→
A
}
∈
V
′
×
V
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right\rbrace \in {\mathcal {V}}'\times {\mathcal {V}}}
↑ Si on explicite les composantes plückeriennes de cette relation de Varignon , il faut préciser que
M
→
P
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}}
M
→
A
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;}
A
M
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {AM}}\;}
(
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
)
{\displaystyle \;\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right)\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
(
u
→
′
x
,
u
→
′
y
,
u
→
′
z
)
{\displaystyle \;\left({{\vec {u}}'}_{x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{y}\,,\,{{\vec {u}}'}_{z}\right)}
{
u
→
′
x
∧
u
→
y
=
u
→
z
u
→
′
y
∧
u
→
z
=
u
→
x
u
→
′
z
∧
u
→
x
=
u
→
y
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}{{\vec {u}}'}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}\\{{\vec {u}}'}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}\\{{\vec {u}}'}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
propriété du produit vectoriel de deux vrais vecteurs, de deux pseudo-vecteurs ou d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur » du chap.
20
{\displaystyle 20}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ On généralise la propriété développée dans le paragraphe « propriété de la vitesse angulaire d'un point quelconque d'un solide en rotation autour d'un axe fixe » du chap.
5
{\displaystyle 5}
Mécanique 1 (PCSI) » au cas d'un solide en mouvement quelconque, ce dernier étant la composition d'un mouvement de translation du solide identifié au mouvement d'un de ses points
A
{\displaystyle \;A\;}
rotation autour de l'axe instantané de rotation
Δ
A
{\displaystyle \;\Delta _{A}\;}
solide
[
Δ
A
{\displaystyle \;{\big [}\Delta _{A}\;}
A
{\displaystyle \;A}
A
{\displaystyle \;A\;}
référentiel
R
{\displaystyle \;{\mathcal {R}}}
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
Δ
A
]
{\displaystyle \;\Delta _{A}{\big ]}}
A
{\displaystyle \;A\;}
solide son centre d'inertie
G
…
{\displaystyle \;G\;\ldots }
↑ Voir le paragraphe « définition (intrinsèque) du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude » du chap.
1
{\displaystyle 1}
Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Ou, si le point
A
{\displaystyle \;A\;}
solide est choisi en son centre d'inertie
G
{\displaystyle \;G}
V
→
P
/
R
(
t
)
=
V
→
G
/
R
(
t
)
+
Ω
→
(
t
)
∧
A
G
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{P\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {V}}_{G\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)}
↑ Il s'agit de l'élément neutre de l'addition des torseurs .
↑ 50,0 50,1 50,2 50,3 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ N'est donc pas à démontrer à partir de la relation de Varignon
[
{\displaystyle \;{\big [}}
relation de Varignon que nous avons admise et qui peut être démontrée à partir de la relation d'équiprojectivité , démonstration non exposée
]
{\displaystyle {\big ]}}
relation de Varignon étant admise, nous pouvons vérifier aisément que la relation d'équiprojectivité en découle en effet
∀
(
P
,
Q
)
∈
E
2
,
M
→
Q
=
M
→
P
+
R
→
∧
P
Q
→
{\displaystyle \;\forall \;\left(P\,,\,Q\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
M
→
Q
⋅
P
Q
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\cdot {\overrightarrow {PQ}}}
=
M
→
P
⋅
P
Q
→
+
[
R
→
∧
P
Q
→
]
⋅
P
Q
→
{\displaystyle ={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;{\cancel {+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ Si le moment du torseur en
A
{\displaystyle \;A\;}
résultante
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ 53,0 53,1 L'existence d'au moins un point de ce type étant admise.
↑ Ou
T
(
A
)
∧
R
→
=
0
→
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}(A)\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}}
↑ Ou
Δ
T
=
{
A
∈
E
,
T
(
A
)
∧
R
→
=
0
→
}
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}=\left\lbrace A\in {\mathcal {E}},\;{\mathcal {T}}(A)\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\right\rbrace }
↑ 56,00 56,01 56,02 56,03 56,04 56,05 56,06 56,07 56,08 56,09 56,10 56,11 56,12 56,13 56,14 56,15 Voir le paragraphe « définition de point central d'un torseur » plus haut dans ce chapitre.
↑ 57,0 57,1 Voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Car
A
Q
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {AQ}}\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}}
↑ 59,0 59,1 59,2 59,3 59,4 59,5 59,6 59,7 59,8 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ On utilise
R
→
∧
P
Q
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
M
→
P
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
M
→
P
⋅
[
R
→
∧
P
Q
→
]
=
0
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot \left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]=0\;}
‖
M
→
Q
‖
2
=
‖
M
→
P
‖
2
+
‖
R
→
∧
P
Q
→
‖
2
+
2
M
→
P
⋅
[
R
→
∧
P
Q
→
]
{\displaystyle \Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}=\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\Vert ^{2}{\cancel {+\;2\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot \left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]}}}
↑ On vérifie que les éléments de réduction en un autre point
Q
∈
E
{\displaystyle \;Q\in {\mathcal {E}}\;}
P
{\displaystyle \;P\;}
résultante étant invariante reste nulle en
Q
{\displaystyle \;Q\;}
moment du torseur en
Q
{\displaystyle \;Q\;}
relation de Varignon donne
M
→
Q
=
M
→
P
+
R
→
∧
P
Q
→
=
0
→
∧
P
Q
→
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}}}\;+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}={\vec {0}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {0}}}
↑ Sinon le torseur serait le torseur nul .
↑ Le moment de la somme des deux couples est non nul car les moments
M
→
1
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\;}
M
→
1
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\;}
↑ Voir le paragraphe « définition d'axe central d'un torseur » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « propriétés du torseur sur son axe central (3ème propriété) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « propriétés du torseur sur son axe central (2ème propriété) » plus haut dans ce chapitre.
↑
A
∈
Δ
G
{\displaystyle A\;\in \Delta _{\mathcal {G}}\;}
Q
∉
Δ
G
{\displaystyle \;Q\;\notin \Delta _{\mathcal {G}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
A
Q
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {AQ}}\;}
Δ
G
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {G}}\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}}
↑
M
→
B
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
R
→
⋅
M
→
B
=
0
{\displaystyle \;{\vec {R}}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}=0}
↑ Condition Nécessaire.
↑ (Condition) Suffisante.
↑ 71,0 71,1 La condition «
B
P
0
→
⊂
{\displaystyle \;{\overrightarrow {BP_{0}}}\;\subset \;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
M
→
B
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;}
B
{\displaystyle \;B\;}
B
P
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {BP_{0}}}}
↑ 72,0 72,1 C.-à-d. deux à deux
⊥
{\displaystyle \;\perp }
(
R
→
{\displaystyle \;{\Big (}{\vec {R}}\;}
M
→
B
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
)
{\displaystyle {\Big )}}
↑ 73,0 73,1 S'obtenant à partir de
R
→
∧
B
P
0
→
=
−
M
→
B
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP_{0}}}=-{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\;}
propriétés (1ère propriété) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir l'introduction du paragraphe « produit vectoriel de deux vecteurs (orienté à droite) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir la note « 17
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs (norme) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Autre démonstration en adoptant les coordonnées plückeriennes du torseur
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
vecteurs polaires et axiaux , ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment du glisseur , les vecteurs de base
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}\;}
résultante
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
R
→
=
Z
u
→
z
]
{\displaystyle \;{\vec {R}}=Z\;{\vec {u}}_{z}{\big ]}\;}
u
→
x
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{x}\;}
moment du glisseur en
B
{\displaystyle \;B\;}
M
→
B
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}}
[
{\displaystyle \;{\Big [}}
M
→
B
=
L
u
→
x
]
}
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}=L\;{\vec {u}}_{x}{\Big ]}{\Big \}}}
Autre démonstration en choisissant
B
{\displaystyle \;B\;}
P
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \;P\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)}
relation de Varignon appliquée en
P
{\displaystyle \;P\;}
B
{\displaystyle \;B\;}
M
→
P
=
M
→
B
+
R
→
∧
B
P
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {BP}}\;}
M
→
P
=
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}=}
L
u
→
x
+
Z
u
→
z
∧
[
x
u
→
x
+
y
u
→
y
+
z
u
→
z
]
=
[
L
−
Z
y
]
u
→
x
+
Z
x
u
→
y
{\displaystyle L\;{\vec {u}}_{x}+Z\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}\right]=\left[L-Z\;y\right]{\vec {u}}_{x}+Z\;x\;{\vec {u}}_{y}\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
P
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle \;P_{0}\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\,,\,z_{0}\right)\;}
{
x
0
=
0
y
0
=
L
Z
∀
z
0
∈
R
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}x_{0}=0\\y_{0}={\dfrac {L}{Z}}\\\forall \;z_{0}\in \mathbb {R} \end{array}}\right\rbrace }
↑ Voir le paragraphe « invariants d'un torseur (invariant scalaire) » plus haut dans ce chapitre.
↑ 80,0 80,1 Voir le paragraphe « propriétés d'un torseur glisseur (1ère propriété) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Plus exactement pour
P
∉
Δ
T
{\displaystyle \;P\notin \Delta _{\mathcal {T}}}
M
→
P
=
R
→
∧
A
P
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AP}}\;}
A
{\displaystyle \;A\;}
moment du glisseur est nul, voir le paragraphe « propriétés d'un torseur glisseur (3ème propriété) » plus haut dans ce chapitre.
↑
M
→
P
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}}
P
∉
Δ
T
{\displaystyle \;P\notin \Delta _{\mathcal {T}}}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
R
→
{\displaystyle {\vec {R}}}
↑ En les autres points
Q
{\displaystyle \;Q\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
M
→
Q
≠
0
→
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\neq {\overrightarrow {0}}{\big )}}
M
→
Q
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}}
↑ 84,0 84,1 84,2 84,3 84,4 84,5 Voir le paragraphe « définition d'un torseur glisseur » plus haut dans ce chapitre.
↑ 85,0 85,1 De ces choix on en déduit
R
→
∧
P
0
Q
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\;}
∥
{\displaystyle \parallel \;}
M
→
P
0
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}}
(
R
→
,
P
0
Q
→
,
M
→
P
0
)
{\displaystyle \;\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {P_{0}Q}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\right)\;}
orthogonal .
↑ Sens identiques sur la direction commune si le trièdre orthogonal
(
R
→
,
P
0
Q
→
,
M
→
P
0
)
{\displaystyle \;\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {P_{0}Q}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\right)\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
74 75
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
orthogonal
(
R
→
,
P
0
Q
→
,
M
→
P
0
)
{\displaystyle \;\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {P_{0}Q}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\right)\;}
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
base directe d'un espace orienté à droite (base indirecte) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et la note « 75
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ Signe
+
{\displaystyle \;+\;}
R
→
∧
P
0
Q
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\;}
M
→
P
0
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
86
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
Signe
−
{\displaystyle \;-\;}
R
→
∧
P
0
Q
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\;}
M
→
P
0
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
86
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ En effet
R
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
M
→
P
0
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}}
‖
R
→
∧
P
0
Q
→
‖
=
‖
R
→
‖
‖
P
0
Q
→
‖
{\displaystyle \;\Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\Vert =\Vert {\vec {R}}\Vert \;\Vert {\overrightarrow {P_{0}Q}}\Vert }
77
↑ Correspondant à «
R
→
∧
P
0
Q
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {P_{0}Q}}\;}
M
→
P
0
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\;}
‖
M
→
P
0
‖
=
‖
R
→
‖
‖
P
0
Q
→
‖
{\displaystyle \;\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\Vert =\Vert {\vec {R}}\Vert \;\Vert {\overrightarrow {P_{0}Q}}\Vert \;}
‖
P
0
Q
→
‖
=
‖
M
→
P
0
‖
‖
R
→
‖
{\displaystyle \;\Vert {\overrightarrow {P_{0}Q}}\Vert ={\dfrac {\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P_{0}}\Vert }{\Vert {\vec {R}}\Vert }}}
↑ Il n'existe aucun point
P
{\displaystyle \;P\;}
M
→
P
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {0}}}
↑
P
0
{\displaystyle P_{0}\,}
↑ La résultante de la somme des deux glisseurs est non nulle car la direction de la résultante de chacun des glisseurs étant celle de son axe central et ces dernières étant différentes,
R
→
1
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\;}
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}\;}
↑ 93,0 93,1 La résultante de la somme des deux glisseurs est non nulle car
R
→
1
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\;}
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}\;}
↑ Le cas du moment de
G
1
+
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;}
↑ Car chaque moment de glisseur étant
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
R
→
1
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\;}
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}}
↑ Voir le paragraphe « autres caractérisations d'un torseur glisseur (1ère caractérisation) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le point
Q
0
{\displaystyle \;Q_{0}\;}
M
→
1
,
Q
0
+
M
→
2
,
Q
0
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q_{0}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q_{0}}={\overrightarrow {0}}\;}
(
Δ
G
1
,
Δ
G
2
)
{\displaystyle \;\left(\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\,,\,\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\right)}
{
Q
0
,
1
∈
Δ
G
1
Q
0
,
2
∈
Δ
G
2
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}Q_{0,\,1}\;\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\\Q_{0,\,2}\;\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\end{array}}\right\rbrace \;}
Q
0
{\displaystyle \;Q_{0}\;}
axes centraux respectifs des glisseurs tels que
{
M
→
1
,
Q
0
,
1
=
0
→
M
→
2
,
Q
0
,
2
=
0
→
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q_{0,\,1}}={\overrightarrow {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q_{0,\,2}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace \;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
relation de Varignon à
G
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\;}
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}\;}
Q
0
{\displaystyle \;Q_{0}}
{
M
→
1
,
Q
0
=
M
→
1
,
Q
0
,
1
+
R
→
1
∧
Q
1
,
0
Q
0
→
M
→
2
,
Q
0
=
M
→
2
,
Q
0
,
2
+
R
→
2
∧
Q
2
,
0
Q
0
→
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q_{0}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q_{0,\,1}}\;+}}\;{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {Q_{1,\,0}Q_{0}}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q_{0}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q_{0,\,2}}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {Q_{2,\,0}Q_{0}}}\end{array}}\right\rbrace \;}
Q
0
{\displaystyle \;Q_{0}}
R
→
1
∧
Q
1
,
0
Q
0
→
+
R
→
2
∧
Q
2
,
0
Q
0
→
=
0
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {Q_{1,\,0}Q_{0}}}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {Q_{2,\,0}Q_{0}}}={\overrightarrow {0}}\;}
Q
0
,
1
{\displaystyle \;Q_{0,\,1}\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}
en résumé : on projette orthogonalement
Q
0
,
1
{\displaystyle \;Q_{0,\,1}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
Q
0
,
2
{\displaystyle \;Q_{0,\,2}\;}
en résumé : on définit
Q
0
{\displaystyle \;Q_{0}\;}
(
Q
0
,
1
Q
0
,
2
)
{\displaystyle \;\left(Q_{0,\,1}\,Q_{0,\,2}\right)\;}
R
→
1
∧
Q
1
,
0
Q
0
→
+
R
→
2
∧
Q
2
,
0
Q
0
→
=
0
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {Q_{1,\,0}Q_{0}}}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {Q_{2,\,0}Q_{0}}}={\overrightarrow {0}}}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
R
→
1
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\;}
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}\;}
Q
0
∈
{\displaystyle \;Q_{0}\;\in \;}
[
Q
0
,
1
Q
0
,
2
]
{\displaystyle \;\left[Q_{0,\,1}\,Q_{0,\,2}\right]}
en résumé : on définit
Q
0
{\displaystyle \;\color {transparent}{Q_{0}}\;}
(
Q
0
,
1
Q
0
,
2
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left(Q_{0,\,1}\,Q_{0,\,2}\right)}\;}
R
→
1
∧
Q
1
,
0
Q
0
→
+
R
→
2
∧
Q
2
,
0
Q
0
→
=
0
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {Q_{1,\,0}Q_{0}}}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {Q_{2,\,0}Q_{0}}}={\overrightarrow {0}}}}
{
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big \{}}
si
R
→
1
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\;}
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}\;}
Q
0
∈
(
Q
0
,
1
Q
0
,
2
)
{\displaystyle \;Q_{0}\;\in \;\left(Q_{0,\,1}\,Q_{0,\,2}\right)\;}
[
Q
0
,
1
Q
0
,
2
]
}
{\displaystyle \;\left[Q_{0,\,1}\,Q_{0,\,2}\right]{\big \}}}
↑ Autre démonstration en adoptant les coordonnées plückeriennes des glisseurs
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
vecteurs polaires et axiaux , ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment des glisseurs , les vecteurs de base
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}\;}
résultantes
R
→
1
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\;}
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
R
→
1
=
Z
1
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}=Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\;}
R
→
2
=
Z
2
u
→
z
]
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}=Z_{2}\;{\vec {u}}_{z}{\big ]}\;}
u
→
x
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{x}\;}
Q
1
,
0
Q
2
,
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {Q_{1,\,0}Q_{2,\,0}}}}
(
Q
0
,
1
{\displaystyle \;{\big (}Q_{0,\,1}\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}
Q
0
,
2
{\displaystyle \;Q_{0,\,2}\;}
Q
0
,
1
{\displaystyle \;Q_{0,\,1}\;}
Δ
G
2
)
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}{\big )}}
[
{\displaystyle \;{\Big [}}
Q
1
,
0
Q
2
,
0
→
=
d
u
→
x
]
}
{\displaystyle \;{\overrightarrow {Q_{1,\,0}Q_{2,\,0}}}=d\;{\vec {u}}_{x}{\Big ]}{\Big \}}}
Autre démonstration en choisissant
Q
1
,
0
{\displaystyle \;Q_{1,\,0}\;}
Q
0
(
x
,
0
,
0
)
{\displaystyle \;Q_{0}\;\left(x\,,\,0\,,\,0\right)}
Q
0
{\displaystyle \;Q_{0}\;}
R
→
1
∧
Q
1
,
0
Q
0
→
+
R
→
2
∧
Q
2
,
0
Q
0
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {Q_{1,\,0}Q_{0}}}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {Q_{2,\,0}Q_{0}}}\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
97
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
Z
1
u
→
z
∧
[
x
u
→
x
]
+
Z
2
u
→
z
∧
[
−
(
d
−
x
)
u
→
x
]
=
[
Z
1
x
−
Z
2
(
d
−
x
)
]
u
→
y
{\displaystyle \;Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[x\;{\vec {u}}_{x}\right]+Z_{2}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[-\left(d-x\right){\vec {u}}_{x}\right]=\left[Z_{1}\;x-Z_{2}\left(d-x\right)\right]{\vec {u}}_{y}\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
x
0
=
{\displaystyle \;x_{0}=}
Z
2
Z
2
+
Z
1
d
{\displaystyle {\dfrac {Z_{2}}{Z_{2}+Z_{1}}}\;d}
↑ 99,0 99,1 La résultante de la somme des deux glisseurs est nulle car
R
→
1
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\;}
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}\;}
↑ Le cas du moment de
G
1
+
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;}
axes centraux
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
M
→
1
,
Q
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}\;}
M
→
2
,
Q
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\;}
Q
{\displaystyle \;Q}
Q
1
∈
Δ
G
1
{\displaystyle \;Q_{1}\;\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}}
M
→
1
,
Q
1
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q_{1}}={\overrightarrow {0}}\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
propriétés d'un torseur glisseur (1ère propriété) » plus haut dans ce chapitre
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
M
→
2
,
Q
1
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q_{1}}\;}
Q
1
∉
Δ
G
2
{\displaystyle \;Q_{1}\;\notin \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
↑ Autre démonstration en adoptant les coordonnées plückeriennes des glisseurs
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
vecteurs polaires et axiaux , ce qui revient à choisir la même base cartésienne pour la résultante et le moment des glisseurs , les vecteurs de base
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}\;}
résultantes
R
→
1
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\;}
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
R
→
1
=
Z
1
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}=Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\;}
R
→
2
=
Z
2
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}=Z_{2}\;{\vec {u}}_{z}\;}
Z
2
=
−
Z
1
]
{\displaystyle \;Z_{2}=-Z_{1}{\big ]}\;}
u
→
x
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{x}\;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
axes centraux dans le plan commun de ces derniers, orienté de
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
[
{\displaystyle \;{\Big [}}
d
{\displaystyle \;d\;}
axes centraux
]
}
{\displaystyle {\Big ]}{\Big \}}}
Autre démonstration en notant
Q
1
,
0
{\displaystyle \;Q_{1,\,0}\;}
Q
2
,
0
{\displaystyle \;Q_{2,\,0}\;}
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
Q
{\displaystyle \;Q\;}
éléments de réduction sont évalués, en prenant le milieu de
[
Q
1
,
0
Q
2
,
0
]
{\displaystyle \;\left[Q_{1,\,0}Q_{2,\,0}\right]\;}
Q
(
x
,
y
,
z
=
0
)
{\displaystyle \;Q\;\left(x\,,\,y\,,\,z=0\right)}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
Q
]
{\displaystyle \;Q{\big ]}}
M
→
1
,
Q
+
M
→
2
,
Q
=
R
→
1
∧
Q
1
,
0
Q
→
+
R
→
2
∧
Q
2
,
0
Q
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}={\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {Q_{1,\,0}Q}}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {Q_{2,\,0}Q}}\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
97
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
Z
1
u
→
z
∧
[
(
x
−
d
2
)
u
→
x
+
y
u
→
y
]
−
Z
1
u
→
z
∧
[
(
x
+
d
2
)
u
→
x
+
y
u
→
y
]
=
Z
1
d
u
→
y
{\displaystyle \;Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[\left(x-{\dfrac {d}{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}\right]-Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[\left(x+{\dfrac {d}{2}}\right){\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}\right]=Z_{1}\;d\;{\vec {u}}_{y}\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
≠
0
→
{\displaystyle \;\neq {\overrightarrow {0}}}
↑ Voir le paragraphe « définition d'un torseur couple » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet l'application de la relation de Varignon à
G
1
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\;}
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}\;}
Q
′
≠
Q
{\displaystyle \;Q'\,\neq \,Q\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
{
M
→
1
,
Q
′
=
M
→
1
,
Q
+
R
→
1
∧
Q
Q
′
→
M
→
2
,
Q
′
=
M
→
2
,
Q
+
R
→
2
∧
Q
Q
′
→
}
{\displaystyle \;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q'}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q'}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\end{array}}\!\right\rbrace \;}
moment de
G
1
+
G
2
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}+{\mathcal {G}}_{2}\;}
Q
′
{\displaystyle \;Q'\;}
celui en
Q
{\displaystyle \;Q\;}
M
→
1
,
Q
′
+
M
→
2
,
Q
′
=
[
M
→
1
,
Q
+
R
→
1
∧
Q
Q
′
→
]
+
[
M
→
2
,
Q
+
R
→
2
∧
Q
Q
′
→
]
=
M
→
1
,
Q
+
M
→
2
,
Q
+
[
R
→
1
+
R
→
2
]
∧
Q
Q
′
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q'}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q'}=\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\right]+\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}+\left[{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\right]\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\;}
Q
Q
′
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {QQ'}}\;}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
propriétés (2ème propriété) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
}
{\displaystyle {\big ]}{\big \}}\;}
R
→
1
+
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\;}
M
→
1
,
Q
′
+
M
→
2
,
Q
′
=
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q'}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q'}=}
M
→
1
,
Q
+
M
→
2
,
Q
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\;}
↑ 104,0 104,1 Voir le paragraphe « propriétés d'un torseur couple (1ère propriété) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Nous supposons que le torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
couple
[
{\displaystyle \;{\big [}}
R
→
=
0
→
]
{\displaystyle \;{\vec {R}}={\vec {0}}{\big ]}}
glisseur
[
{\displaystyle \;{\Big [}}
M
→
A
=
0
→
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}{\Big ]}}
torseur nul
[
{\displaystyle \;{\Big [}}
R
→
=
0
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}={\vec {0}}\;}
M
→
A
=
0
→
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}{\Big ]}}
Nous supposons
∙
{\displaystyle \bullet \;}
R
→
=
0
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}={\vec {0}}}
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
couple
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Nous supposons
∙
{\displaystyle \bullet \;}
M
→
A
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}}
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
glisseur
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Nous supposons
∙
{\displaystyle \bullet \;}
R
→
=
0
→
{\displaystyle \;{\vec {R}}={\vec {0}}\;}
M
→
A
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}}
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\;}
torseur nul
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
↑ En effet
{
R
→
≠
0
→
0
→
}
A
{\displaystyle \;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\;}
éléments de réduction d'un glisseur , voir le paragraphe « définition d'un torseur glisseur » plus haut dans ce chapitre.
↑ Droite qui est aussi l'axe central
Δ
T
{\displaystyle \;\Delta _{\mathcal {T}}\;}
torseur
T
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}}
↑ En effet
{
0
→
M
→
A
≠
0
→
}
A
{\displaystyle \;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A}\;}
éléments de réduction d'un couple , voir le paragraphe « définition d'un torseur couple » plus haut dans ce chapitre.
↑ On rappelle que le moment d'un torseur est constant sur son axe central , il est donc indépendant du point
A
{\displaystyle \;A\;}
↑ Cela résultant de la commutativité de la multiplication scalaire, voir le paragraphe « autres propriétés (1ère propriété de la multiplication scalaire) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (2ème propriété) de la multiplication vectorielle » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Une permutation entre deux vecteurs d'un produit mixte de trois vecteurs change ce dernier en son opposé, voir le paragraphe « propriétés (2ème propriété) d'un produit mixte » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ On rappelle que le moment d'un torseur couple est indépendant du point où l'élément de réduction est évalué d'où l'absence d'indication du point dans les éléments de réduction
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Les indices
(
1
)
{\displaystyle \;_{(1)}\;}
(
2
)
{\displaystyle \;_{(2)}\;}
0
→
{\displaystyle \;{\vec {0}}\;}
couple mais mis entre parenthèses pour rappeler leur inutilité
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ On rappelle que le moment d'un torseur couple est indépendant du point où l'élément de réduction est évalué d'où l'absence d'indication du point dans les éléments de réduction de ce dernier, les éléments de réduction du glisseur étant indiqués évalués en un point
A
{\displaystyle \;A\;}
axe central
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
M
→
2
,
A
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}={\overrightarrow {0}}}
↑ 116,0 116,1 116,2 116,3 Les indices chiffrés
(
1
)
{\displaystyle \;_{(1)}\;}
(
2
)
{\displaystyle \;_{(2)}\;}
0
→
{\displaystyle \;{\vec {0}}\;}
torseur mais mis entre parenthèses pour rappeler leur inutilité
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Les éléments de réduction du glisseur pourraient être évalués en un point
B
{\displaystyle \;B\;}
axe central sans que le résultat de
C
1
⊗
G
2
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}\;}
ème propriété du produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
torseurs établie dans ce paragraphe, de plus le développement du produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
{
0
→
M
→
1
≠
0
→
}
⊗
{
R
→
2
≠
0
→
M
→
2
,
B
≠
0
→
}
B
=
0
→
(
1
)
⋅
M
→
2
,
B
+
R
→
2
⋅
M
→
1
{\displaystyle \;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace \otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!B}={\cancel {{\vec {0}}_{\,(1)}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\;}
↑ Sauf dans le cas où la résultante
R
→
2
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}\;}
glisseur est
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
moment
M
→
1
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1}\;}
couple
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point
A
1
{\displaystyle \;A_{1}\;}
axe central
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\,}
[
⇒
{\displaystyle \;{\Big [}\!\Rightarrow }
M
→
1
,
A
1
=
0
→
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}{\Big ]}\;}
Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point
A
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{A_{1}}\;}
hors de l'axe central
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\;}
ème glisseur
[
M
→
2
,
A
1
=
M
→
2
,
A
1
+
R
→
2
∧
A
0
A
1
→
≠
0
→
{\displaystyle \;{\Big [}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}A_{1}}}\neq {\overrightarrow {0}}\;}
relation de Varignon
]
{\displaystyle {\Big ]}}
Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point
A
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{A_{1}}\;}
on en déduit
G
1
⊗
G
2
=
{
R
1
→
≠
0
M
→
1
,
A
1
=
0
→
}
A
1
⊗
{
R
→
2
≠
0
→
M
→
2
,
A
1
≠
0
→
}
A
1
=
R
→
1
⋅
[
R
→
2
∧
A
0
A
1
→
]
+
R
→
2
⋅
0
→
(
1
)
,
A
1
=
0
{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\!\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}A_{1}}}\right]\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{1}}}}=0\;}
Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point
A
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{A_{1}}\;}
{
{\displaystyle {\Big \{}}
R
→
1
⋅
[
R
→
2
∧
A
0
A
1
→
]
{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}A_{1}}}\right]\;}
Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point
A
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{A_{1}}\;}
{
{\displaystyle \color {transparent}{\Big \{}}
« définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Si les éléments de réduction du 1er glisseur sont pris en un point
A
1
{\displaystyle \;\color {transparent}{A_{1}}\;}
{
{\displaystyle \color {transparent}{\Big \{}}
« Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
}
{\displaystyle {\Big \}}}
éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point
P
{\displaystyle \;P\;}
axes centraux
Δ
G
1
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\;}
Δ
G
2
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
moments de glisseur n'est nul, ces derniers s'écrivant si les éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point
P
{\displaystyle \;\color {transparent}{P}\;}
[
M
→
1
,
P
=
M
→
1
,
A
0
+
R
→
1
∧
A
0
P
→
≠
0
→
M
→
2
,
P
=
M
→
2
,
A
0
+
R
→
2
∧
A
0
P
→
≠
0
→
]
{\displaystyle \!\left[{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{0}}\;+}}\;{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\neq {\overrightarrow {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{0}}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right]\!}
relation de Varignon avec
Δ
G
1
∩
Δ
G
2
=
A
0
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{1}}\cap \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}=A_{0}}
si les éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point
P
{\displaystyle \;\color {transparent}{P}\;}
G
1
⊗
G
2
=
{
R
1
→
≠
0
M
→
1
,
P
≠
0
→
}
P
⊗
{
R
→
2
≠
0
→
M
→
2
,
P
≠
0
→
}
P
=
R
→
1
⋅
[
R
→
2
∧
A
0
P
→
]
+
R
→
2
⋅
[
R
→
1
∧
A
0
P
→
]
=
0
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!P}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!P}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right]=0\;}
si les éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point
P
{\displaystyle \;\color {transparent}{P}\;}
une permutation entre deux vecteurs d'un produit mixte de trois vecteurs change ce dernier en son opposé, si les éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point
P
{\displaystyle \;\color {transparent}{P}\;}
voir le paragraphe « propriétés (2ème propriété) d'un produit mixte » du chap.
7
{\displaystyle 7}
si les éléments de réduction du 1er et du 2ème glisseur sont pris en un point
P
{\displaystyle \;\color {transparent}{P}\;}
ème propriété) d'un produit mixte » « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; produit
(
{\displaystyle \;{\big (}}
comoment
)
{\displaystyle {\big )}\;}
torseurs est indépendant du point en lequel sont définis leurs éléments de réduction , voir la 2ème propriété établie plus haut dans ce paragraphe.
↑ Si on applique
R
1
{\displaystyle \;R_{1}\;}
A
1
{\displaystyle \;A_{1}\;}
R
2
{\displaystyle \;R_{2}\;}
A
2
{\displaystyle \;A_{2}}
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Par application de la relation de Varignon en
A
1
{\displaystyle \;A_{1}\;}
A
2
∈
Δ
G
2
{\displaystyle \;A_{2}\in \Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}}
↑ Voir le 1er exemple du paragraphe « cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
M
→
O
,
F
→
k
=
O
A
k
→
∧
F
→
k
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}={\overrightarrow {OA_{k}}}\wedge {\vec {F}}_{k}}
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
éléments de réduction du torseur glisseur par
O
A
k
→
=
−
A
k
O
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {OA_{k}}}=-{\overrightarrow {A_{k}O}}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
propriétés de la multiplication vectorielle » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
}
{\displaystyle {\big ]}{\Big \}}}
O
A
k
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {OA_{k}}}\;}
A
k
{\displaystyle \;A_{k}}
↑ Le point
O
{\displaystyle \;O\;}
réduction n'est pas indiqué en indice des accolades car les éléments de réduction d'un torseur couple ne dépendent pas de ce point.
↑ Le moment de ce torseur couple sera écrit, en physique, sous la forme
Γ
→
(
l
∈
[
[
i
…
j
]
]
)
=
∑
l
[
[
i
…
j
]
]
O
A
l
→
∧
F
→
l
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Gamma }}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {OA_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}}
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
élément de réduction du torseur couple par
O
A
k
→
=
{\displaystyle \;{\overrightarrow {OA_{k}}}=}
−
A
k
O
→
{\displaystyle -{\overrightarrow {A_{k}O}}\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
propriétés (1ère propriété) de la multiplication vectorielle » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
}
{\displaystyle {\big ]}{\Big \}}}
moment du couple relativement au point de réduction, en effet, si nous prenons un autre point
O
′
≠
O
{\displaystyle \;O'\neq O}
moment du couple évalué en
O
′
{\displaystyle \;O'\;}
∑
l
[
[
i
…
j
]
]
O
′
A
l
→
∧
F
→
l
=
∑
l
[
[
i
…
j
]
]
[
O
′
O
→
+
O
A
l
→
]
∧
F
→
l
{\displaystyle \;\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {O'A_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}\left[{\overrightarrow {O'O}}+{\overrightarrow {OA_{l}}}\right]\wedge {\vec {F}}_{l}\;}
=
O
′
O
→
∧
[
∑
l
[
[
i
…
j
]
]
F
→
l
]
+
∑
l
[
[
i
…
j
]
]
O
A
l
→
∧
F
→
l
{\displaystyle =\;{\cancel {{\overrightarrow {O'O}}\wedge \left[\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}\right]}}\;+\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {OA_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
propriétés (2ème propriété) de la multiplication vectorielle » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
↑ Ou torseur des actions mécaniques .
↑ Voir le paragraphe « décomposition centrale d'un torseur quelconque » plus haut dans ce chapitre.
↑ 128,0 128,1 Le torseur statique est aussi la somme du torseur des actions extérieures s'exerçant sur le système
T
ext
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{ext}}\;}
torseur des actions intérieures au système
T
int
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{int}}\;}
torseur nul d'après le principe des actions réciproques
[
{\displaystyle \;{\big [}}
1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels fermé » du chap.
6
{\displaystyle 6}
Mécanique 1 (PCSI) » et « vecteur moment résultant des forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque » du chap.
4
{\displaystyle 4}
Mécanique 2 (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
résultante du torseur des actions extérieures
T
ext
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{ext}}\;}
F
→
ext
{\displaystyle \;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;}
résultante dynamique » est aussi celle du torseur statique
T
stat.
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{stat.}}}
moment évalué en
O
{\displaystyle \;O\;}
torseur des actions extérieures
T
ext
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{ext}}\;}
M
→
O
,
ext
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\;}
O
{\displaystyle \;O\;}
torseur statique
T
ext
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{ext}}\;}
O
{\displaystyle \;O}
torseur statique s'écrit donc, en physique
T
ext
+
T
int
=
{
F
→
ext
M
→
O
,
ext
}
O
+
{
F
→
int
=
0
→
M
→
O
,
ext
=
0
→
}
O
=
{
F
→
ext
M
→
O
,
ext
}
O
{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{ext}}+{\mathcal {T}}_{\text{int}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{\text{ext}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\end{array}}\right\rbrace _{O}+\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{O}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {F}}_{\text{ext}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\end{array}}\right\rbrace _{O}}
↑ Voir le 1er exemple du paragraphe « cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « définition d'un torseur » plus haut dans ce chapitre.
↑ La relation
A
i
A
j
→
(
t
)
⋅
V
→
A
j
(
t
)
=
A
i
A
j
→
(
t
)
⋅
V
→
A
i
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{A_{j}}(t)={\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{A_{i}}(t)\;}
V
→
A
j
(
t
)
⋅
A
i
A
j
→
(
t
)
=
V
→
A
i
(
t
)
⋅
A
i
A
j
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{A_{j}}(t)\cdot {\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)={\vec {V}}_{A_{i}}(t)\cdot {\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\;}
autres propriétés (1ère propriété de la multiplication scalaire) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe notion de résultante d'un torseur plus haut dans le chapitre.
↑ Appelé, dans le domaine de la physique, vecteur « rotation instantanée »
(
{\displaystyle \;{\big (}}
vecteur vitesse angulaire quand on s'intéresse plus particulièrement au mouvement d'un point ou, plus rarement encore, vecteur taux de rotation pour un système indéformable
)
{\displaystyle {\big )}}
↑ Le vecteur rotation instantanée
Ω
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;}
torseur glisseur ne l'est pas non plus bien qu'ayant un point
A
{\displaystyle \;A\;}
↑ En effet la rotation de
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
t
{\displaystyle \;t\;}
torseur cinématique
Δ
T
cinémat. de
(
S
)
(
t
)
{\displaystyle \;\Delta _{{\mathcal {T}}_{{\text{cinémat. de}}\,({\mathcal {S}})}}(t)\;}
A
{\displaystyle \;A}
↑ 136,0 136,1 Point de
(
S
)
{\displaystyle \;({\mathcal {S}})\;}
↑ 137,0 137,1 Appellation personnelle : introduction de la notion de « mouvement inertiel » d'un système de points matériels quand les grandeurs utilisées dépendent à la fois du mouvement du système et de l'inertie de ce dernier qui s'oppose à toute modification de son mouvement.
↑ Voir le 2ème exemple du paragraphe « cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
σ
→
O
,
A
k
(
t
)
=
O
A
k
→
(
t
)
∧
p
→
k
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,A_{k}}(t)={\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{k}(t)}
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
élément de réduction du torseur glisseur par
O
A
k
→
(
t
)
=
{\displaystyle \;{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)=}
−
A
k
O
→
(
t
)
{\displaystyle -{\overrightarrow {A_{k}O}}(t)\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
propriétés (1ère propriété) de la multiplication vectorielle » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
}
{\displaystyle {\big ]}{\Big \}}}
O
A
k
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {OA_{k}}}\;}
A
k
{\displaystyle \;A_{k}}
Le moment de ce torseur glisseur sera appelé, en physique, moment cinétique (vectoriel) du point matériel
A
k
{\displaystyle \;A_{k}}
↑ Le moment de ce torseur cinétique sera écrit, en physique, sous la forme
σ
→
O
,
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
(
t
)
=
∑
k
O
A
k
→
(
t
)
∧
p
→
k
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{k}(t)}
↑ «
σ
→
O
,
{
A
k
}
(
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
)
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)\;}
σ
→
O
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(t)\;}
↑ Ou parfois « moment cinétique résultant » au point
O
{\displaystyle \;O}
↑ Centre D'Inertie.
↑ Voir le paragraphe « énoncé du lien entre résultante cinétique et vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Mécanique 1 (PCSI) » où on a établi que
P
→
(
t
)
=
m
syst
V
→
G
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;}
m
syst
=
∑
k
m
k
{\displaystyle \;m_{\text{syst}}=\sum _{k}m_{k}\;}
V
→
G
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{G}(t)\;}
G
{\displaystyle \;G}
↑ Le vecteur résultante cinétique
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)\;}
torseur glisseur ne l'est pas non plus et il en est de même du point
A
{\displaystyle \;A\;}
↑ 146,0 146,1 Point de
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
↑ En effet
σ
→
A
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{A}(t)\;}
∥
{\displaystyle \;\parallel \;}
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)\;}
B
A
→
∧
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {BA}}\wedge {\vec {P}}(t)\;}
⊥
{\displaystyle \;\perp \;}
P
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {P}}(t)}
↑ Voir le 3ème exemple du paragraphe « cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le moment de ce torseur glisseur sera écrit, en physique, sous la forme
M
→
O
,
p
→
k
˙
(
t
)
=
O
A
k
→
(
t
)
∧
d
p
→
k
d
t
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\dot {{\vec {p}}_{k}}}}(t)={\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)}
{
{\displaystyle \;{\bigg \{}}
d
p
→
k
d
t
(
t
)
∧
A
k
O
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {A_{k}O}}(t)\;}
O
A
k
→
(
t
)
=
−
A
k
O
→
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)=-{\overrightarrow {A_{k}O}}(t)\;}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
propriétés de la multiplication vectorielle » du chap.
7
{\displaystyle 7}
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
}
{\displaystyle {\bigg \}}}
O
A
k
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {OA_{k}}}\;}
A
k
{\displaystyle \;A_{k}}
↑ Le moment de ce torseur dynamique sera écrit, en physique, sous la forme
M
→
O
,
{
A
k
,
p
k
→
˙
,
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
}
(
t
)
=
∑
k
O
A
k
→
(
t
)
∧
d
p
→
k
d
t
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)}
↑ «
M
→
O
,
{
A
k
,
p
k
→
˙
,
k
∈
[
[
1
,
n
]
]
,
n
∈
N
∗
∖
{
1
}
}
(
t
)
=
∑
k
O
A
k
→
(
t
)
∧
d
p
→
k
d
t
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\;}
M
→
O
,
tors. dynam.
(
t
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{tors. dynam.}}}(t)\;}
↑ Ce que je désapprouve car je réserve déjà l'appellation « moment résultant dynamique » au moment du torseur statique
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
théorème du moment cinétique vectoriel appliquée au système
[
{\displaystyle \;{\big [}}
théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen en
O
{\displaystyle \;O\;}
5
{\displaystyle 5}
Mécanique 2 (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
moment résultant du torseur statique en un point fixe est égale au moment résultant du torseur dynamique et par suite la confusion pourrait être faite dans le cas d'un système fermé avec
O
{\displaystyle \;O\;}
moment du torseur dynamique » pour nommer
∑
k
O
A
k
→
(
t
)
∧
p
→
k
˙
(
t
)
}
{\displaystyle \sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dot {{\vec {p}}_{k}}}(t){\Big \}}}
↑ En tenant compte des remarques développées dans la note « 128
↑ La raison pour laquelle ceci ne peut pas être étendu à un système de points matériels fermé déformable alors que l'expression du torseur statique reste valable La raison pour laquelle ceci ne peut pas être étendu à un système de points matériels fermé déformable est que celle du torseur cinématique est exclusivement réservée à un système indéformable La raison pour laquelle ceci ne peut pas être étendu à un système de points matériels fermé déformable est que celle du torseur
(
{\displaystyle {\big (}}
équiprojectif
)
{\displaystyle {\big )}}
actions mécaniques s'exerçant sur un système déformable aux actions extérieures car la résultante et le moment résultant des actions intérieures sont nuls, dès qu'on envisage un mouvement accompagné d'une déformation, la puissance des actions intérieures n'étant plus nulle ne doit plus être omise, ceci se traduisant par le fait que les éléments de réduction du torseur cinématique écrits pour un solide sont insuffisants pour un système déformable car ils ne traduisent pas les mouvements relatifs internes
…
{\displaystyle \;\ldots }
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc95aabb089123a3a9c34904cef1a9b17264fb1)
![{\displaystyle \;{\mathcal {E}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be48b6183b6c5d6bc0479d97362bb437e7500c3d)
![{\displaystyle {\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3562ad363226e09873d4861d879d5d4116de3287)
![{\displaystyle \;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7463660324780d715def26c9bcaa08043f7478a2)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1858dd5b0e83839be6868bdb67f0425f688a8d3)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\cdot {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}\;{\cancel {+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\cdot {\vec {R}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5084e0b57ee026d77bacb8d4928b04a068217c16)
![{\displaystyle {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9e51d2d3cafc3e7d1a34196d9b65ac61640ed1)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\wedge {\vec {R}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc995fb7620064df269c04e94fc0f5108a5e919)
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc46a257eeb7f1d9e11afd7a000704796dc4c8b)
![{\displaystyle {\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2fc235833a497a8fabbbc4f2dad1bd68fdb35f0)
![{\displaystyle {\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5ec6bb7771c982c131bdb53858ed6e79e456a4)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}\left[{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}\end{array}}\right]\end{array}}\right\rbrace _{B}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0057944ac9074a6642adabb19fe541648f6a4988)
![{\displaystyle \color {transparent}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36e3aeba89a1a84cb71d709e925b4d3d1cfbbee6)
![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{1}\end{array}}\!\right]\end{array}}\right\rbrace _{\!Q}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7ad4b8f103f5ec80f3540b0d4f853154fb522f)
![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{2}\end{array}}\!\right]\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f286a82a150c3ed878e04c8326ce5ef0f6584a)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q_{0}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q_{0}}={\overrightarrow {0}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a844cb032d77a703bfc6779f1483d4c62561d1b)
![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}\left[\!{\begin{array}{c}\neq {\overrightarrow {0}}\\\perp \;{\text{à}}\;{\vec {R}}_{2}\end{array}}\!\right]\end{array}}\!\right\rbrace _{\!Q}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a54a1e4eef0feb7fbe2214eb3653efc5176834e3)
![{\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,B}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,B}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\end{array}}\!\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf1d42261585fa3d67281f9b688cfbaaa16eaef)
![{\displaystyle ={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f94330554721908d40fdaaf2f87a2481b7b284c)
![{\displaystyle ={\vec {R}}_{1}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A}+{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A}\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {AB}}\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c78bb22359034946e18eb805533eea89f994b6c)
![{\displaystyle ={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right]\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{1}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dcad1e112b4938ac7762275620fae393dfcaa3)
![{\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\neq {\overrightarrow {0}}\\A_{2}\;\in \;\Delta _{{\mathcal {G}}_{2}}\Rightarrow {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{2}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6605c01a76a1fc80a2ac4bc200f40a419674d0cc)
![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}\right]\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{1}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450ba764cc3fd00ad372350e0c41c45a88887420)
![{\displaystyle \;\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ee3138e2c2628b45459878815a5dc9c70f99d34)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef441b4f21d1fdcf5baf929d39632ce5250033b)
![{\displaystyle \;{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}=\left\lbrace {\vec {F}}_{l},\;\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}={\vec {0}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135e26517ec8c2557e95beb95d263d2f3eac994c)
![{\displaystyle \;A_{l},\,l\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b25ac2ac69c7501ec1fa47530ef5298f1735aa)
![{\displaystyle \;{\mathcal {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad9d64a42e73d03ae7f5da8cbc1252df83d3be6)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}\wedge {\overrightarrow {A_{l}O}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cf68b6365be6f178b8f901bd596a56f90b7e1e)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{\text{stat.}}=\sum _{k}{\mathcal {G}}_{k}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\mathcal {C}}_{q}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3977da809e63365faf01bb4931e9ccbbec08c252)
![{\displaystyle =\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]_{q}\right)}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ec0e0a78b1e85f28f3db862d060d4d15210f1c)
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right),\,A_{i}A_{j}\,=\,cste\;\forall (i,\,j)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5577b2a02afffbfa4ab93d16eed6e5f5152b7b)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {A_{i}A_{j}}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{A_{j}}(t)-{\vec {V}}_{A_{i}}(t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1486800999652ce82123e6d0ad61422f82096f)
![{\displaystyle {\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4074f5e4cbcc3a2b2c0146a31ef6415af6316f)
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1390255cdac4b6c347d4e005f4181f5dff7e2a85)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}_{{\text{stat. sur}}\,({\mathcal {S}})}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\sum _{k}{\vec {F}}_{k}\\\sum _{k}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\vec {F}}_{k}}+\sum \limits _{q,\,{\text{indexant}}}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{{\vec {C}}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]_{q}\right)}}\end{array}}\right\rbrace _{O}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566547c0d5d51b797d5287a40dbaed1ab26f55c0)
![{\displaystyle \;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44bdef13e59a7b027547c07b8fe90ab55026400d)
![{\displaystyle \;{\mathcal {V}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2b668064a7faf1a02dd5d0752b04eee129267a)
![{\displaystyle {\big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5577b661a1dfefecf33aefa485d1af26c7d4af26)
![{\displaystyle \;\ldots {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad3ffc88399e77946910eb87c77e2259b1247ea)
![{\displaystyle \;\left\lbrace M_{k}\right\rbrace _{k\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd9192e33ff6d669fdee4b62b58fed5105ca975)
![{\displaystyle \;\Delta _{A}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd2d172165a3bfdcda7fd7c4319a7041a6476cd)
![{\displaystyle ={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;{\cancel {+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\cdot {\overrightarrow {PQ}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c958524e72804ba62a55c7d9e89066e6406daa68)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot \left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf46ddb213340318a835e17dae3b285d890db765)
![{\displaystyle \Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}=\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\Vert ^{2}{\cancel {+\;2\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot \left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972655beb32b13d718aa7b7ec6ea4b33171c8a82)
![{\displaystyle \;{\vec {R}}=Z\;{\vec {u}}_{z}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2921723debe7f549fc0f7b4b0a3d8843fd00e61)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{B}=L\;{\vec {u}}_{x}{\Big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21985a5583d44866ba3bde3c8a58212080e029f6)
![{\displaystyle L\;{\vec {u}}_{x}+Z\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}\right]=\left[L-Z\;y\right]{\vec {u}}_{x}+Z\;x\;{\vec {u}}_{y}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f7491e5c9f12311a0a8350218f4f4f0b261377)
![{\displaystyle \;\left[Q_{0,\,1}\,Q_{0,\,2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53cd69b48a94ee797416728208111578a0c3359)
![{\displaystyle \;\left[Q_{0,\,1}\,Q_{0,\,2}\right]{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e6b343a246d73eebce1543a55b64b19353ad84)
![{\displaystyle \;{\vec {R}}_{2}=Z_{2}\;{\vec {u}}_{z}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678f59fb5f6f1bdaa0a43d0d5631227e00e8cadd)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {Q_{1,\,0}Q_{2,\,0}}}=d\;{\vec {u}}_{x}{\Big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dd10d00ed5bd006d281ac59dfca1e3c42d7190)
![{\displaystyle \;Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[x\;{\vec {u}}_{x}\right]+Z_{2}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[-\left(d-x\right){\vec {u}}_{x}\right]=\left[Z_{1}\;x-Z_{2}\left(d-x\right)\right]{\vec {u}}_{y}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9654b31cde494aa4cd66311e18eac17fa773355)
![{\displaystyle \;Z_{2}=-Z_{1}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1673b40ad0771591387c1ac723743d2e451c8ea)
![{\displaystyle {\Big ]}{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccbaccb284ec90d4ee4fe09b7ac4255bd5f36d9d)
![{\displaystyle \;\left[Q_{1,\,0}Q_{2,\,0}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0932b585132622e2c6a1c78bad1f4cf70b1c129)
![{\displaystyle \;Q{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d3e7a49a23f6ba3bbb640762f64f666a0f23c5)
![{\displaystyle \;Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[\left(x-{\dfrac {d}{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}\right]-Z_{1}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[\left(x+{\dfrac {d}{2}}\right){\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}\right]=Z_{1}\;d\;{\vec {u}}_{y}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4b5e88741753faa2d2bccd42d44f3c1c183d9e)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q'}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q'}=\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\right]+\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}+{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,Q}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,Q}+\left[{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\right]\wedge {\overrightarrow {QQ'}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fa3133c254f95100530b58e754e423ef8f5367)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a034fcc6c80b600edbfced2889da54722687c9)
![{\displaystyle \;{\vec {R}}={\vec {0}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bacb1800b0b6e43558e960408e6296e36aa70f5)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}={\overrightarrow {0}}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e55c8fb17c7acf64226144735bed219da776a11)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/700d9ea22d39bfb6bcc26db3076dfa661de02542)
![{\displaystyle \;{\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{1}}={\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}\!\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{1}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!A_{1}}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}A_{1}}}\right]\;{\cancel {+\;{\vec {R}}_{2}\cdot {\overrightarrow {0}}_{(1),\,A_{1}}}}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c633dd78666cd47dd303fd60161ae727ea781c)
![{\displaystyle \;{\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}A_{1}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed6296d10dee78079bd9a1ef8753726a0568f06)
![{\displaystyle \!\left[{\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,A_{0}}\;+}}\;{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\neq {\overrightarrow {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,A_{0}}\;+}}\;{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\right]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559daca73a470ce2a5c35da572c14d635806dfe8)
![{\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\otimes {\mathcal {G}}_{2}=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R_{1}}}\neq 0\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{1,\,P}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!P}\otimes \left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\vec {R}}_{2}\neq {\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{2,\,P}\neq {\overrightarrow {0}}\end{array}}\!\right\rbrace _{\!P}={\vec {R}}_{1}\cdot \left[{\vec {R}}_{2}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right]+{\vec {R}}_{2}\cdot \left[{\vec {R}}_{1}\wedge {\overrightarrow {A_{0}P}}\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5579fc3377a23136d9393529deb5ebb860d5b6d)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\Gamma }}_{\left(l\,\in \left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]\right)}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {OA_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34553da9884814f1d4ad2ff8e68e082d10ead638)
![{\displaystyle \;\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {O'A_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}=\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}\left[{\overrightarrow {O'O}}+{\overrightarrow {OA_{l}}}\right]\wedge {\vec {F}}_{l}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8fc35bcfcc7ad772adb09229e9658d32bb9d11c)
![{\displaystyle =\;{\cancel {{\overrightarrow {O'O}}\wedge \left[\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\vec {F}}_{l}\right]}}\;+\sum \limits _{l}^{\left[\left[i\,\ldots \,j\right]\right]}{\overrightarrow {OA_{l}}}\wedge {\vec {F}}_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad04b3c9a1eb3cce1c06fa8decd340b4553354ae)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{k}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268d7edad82e0d859471d6cbf80f764a0c8bdd84)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\sigma }}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\right\rbrace _{\left(k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right)}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55f4cac8f9a06dab8b1cd1303832679217eaac)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd90b9e2e7ebad7405ecb2ae361dc92e5e2f3d3)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,\left\lbrace A_{k}\,,\,{\dot {\vec {p_{k}}}}\,,\,k\in \left[\left[1\,,\,n\right]\right],\,n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \right\rbrace }(t)=\sum _{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{k}}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfb06f50e2b0ae71896caa18173a1670ad9e297)
