Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les torseurs

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Notion d'équiprojectivité d'un champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel

Espace affine euclidien tridimensionnel

     Un espace tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$ est dit $\bullet \;$affine si on peut y définir le parallélisme ainsi que la notion de barycentre et
     Un espace tridimensionnel $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$ est dit $\bullet \;$euclidien si la « direction de l'espace affine » est un espace $\;\mathbb {R} -$vectoriel dans lequel on définit
     Un espace tridimensionnel $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$ est dit $\color {transparent}{\bullet }\;$euclidien un produit scalaire permettant de déterminer la distance entre deux points de l'espace affine et
         Un espace tridimensionnel $\;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;$ est dit $\color {transparent}{\bullet }\;$euclidien un produit scalaire permettant de déterminer l'angle entre deux bipoints .

Champ de vecteurs dans un espace affine euclidien tridimensionnel

     Un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel a été introduit dans le paragraphe « définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chap.$13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », sa définition est rappelée ci-dessous :

Champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel

     On définit un champ de vecteurs $\;{\vec {f}}\;$ en $\;M\;$ point de l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$ selon :

$\;M\;{\overset {\vec {f}}{\rightarrow }}\;{\vec {f}}(M)\in {\mathcal {V}},\;\forall \;M\in {\mathcal {E}}\;$, où
$\;{\mathcal {V}}\;$ est l'espace $\;\mathbb {R} -$vectoriel de dimension trois, « direction de l'espace affine » euclidien $\;{\mathcal {E}}$.

Définition de l'équiprojectivité d'un champ de vecteurs d'un espace affine euclidien tridimensionnel

Équiprojectivité d'un champ de vecteur d'un espace affine euclidien tridimensionnel

     Un champ de vecteurs $\;{\vec {f}}(M)\;$ défini en $\;M\in {\mathcal {E}}\;$ est « équiprojectif » si $\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\vec {f}}(M)\cdot {\overrightarrow {MN}}={\vec {f}}(N)\cdot {\overrightarrow {MN}}$.      On démontre alors qu'il existe un endomorphisme antisymétrique $\;u\;$ tel que $\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\vec {f}}(N)={\vec {f}}(M)+u\!\left({\overrightarrow {MN}}\right)$.

Notion de torseur

Domaine pratique d'utilisation de torseurs

     Les torseurs sont essentiellement utilisés en mécanique $\;{\big (}$et plus particulièrement en mécanique du solide${\big )}$, ils servent à modéliser des champs de vecteurs possédant des propriétés particulières comme

• le champ de vitesses d'un solide défini en chacun des points de ce dernier $\;{\big [}$les propriétés particulières traduisant le fait que la distance entre deux points quelconques du solide reste constante${\big ]}\;$ ou
• le champ de moments de forces de même source appliquées en chacun des points d'un solide $\;{\big [}$ici encore les propriétés particulières traduisent le fait que les points d'application des forces restent à une distance constante les uns des autres${\big ]}\;$ ou
• $\;\ldots \;$

Définition d'un torseur

Définition d'un torseur

     Un torseur est un champ de vecteurs équiprojectif $\;{\vec {t}}()\;$ défini sur un espace affine euclidien $\;{\mathcal {E}}\;$ tridimensionnel soit plus précisément
     Un torseur est une application $\;{\mathcal {T}}\;$ de $\;{\mathcal {E}}\;$ dans $\;{\mathcal {V}}$ $\;{\big [}$direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}\;$ telle que $\;\forall \;M\in {\mathcal {E}}\;$, $M\;{\overset {\mathcal {T}}{\rightarrow }}\;{\mathcal {T}}(M)={\vec {t}}_{M}\in {\mathcal {V}}\;$ vérifiant $\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2}\;$, ${\vec {t}}_{M}\cdot {\overrightarrow {MN}}={\vec {t}}_{N}\cdot {\overrightarrow {MN}}\;$.

     Appellation : $\;{\mathcal {T}}(M)\;$ où $\;M\in {\mathcal {E}}\;$ est appelé « moment du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ au point $\;M\;$», c'est donc un élément de $\;{\mathcal {V}}$ $\;{\big [}$direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}$,
     Appellation : $\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}(M)}\;$ où $\;\color {transparent}{M\in {\mathcal {E}}}\;$ est appelé « moment du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ au point $\;\color {transparent}{M}\;$», le torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ étant une application de $\;{\mathcal {E}}\;$ dans $\;{\mathcal {V}}$ $\;{\big [}$direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}$.

Propriétés d'un torseur

Notion de résultante d'un torseur

Début d’un théorème

Relation de Varignon (ou règle de transport des moments)

     La relation de Varignon $\;{\big (}$admise${\big )}\;$ s'énonce sous une forme directe et une forme réciproque :
     Forme directe : Soit un torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ sur $\;{\mathcal {E}}$, il existe un unique vecteur $\;{\vec {R}}\;$ de $\;{\mathcal {V}}$ $\;{\big [}$direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}\;$ vérifiant $\;\forall \;\left(M\,,\,N\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\quad {\mathcal {T}}(N)={\mathcal {T}}(M)+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}\;$, $\;{\vec {R}}\;$ étant « la résultante du torseur ».

     Forme réciproque : Si $\;{\mathcal {T}}\;$ est une application de $\;{\mathcal {E}}\;$ sur $\;{\mathcal {V}}$ $\;{\big [}$direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}\;$ et
     Forme réciproque : s'il existe un couple $\;\left(A\,,\,{\vec {R}}\right)\in {\mathcal {E}}\times {\mathcal {V}}\;$ tel que $\quad \forall \;M\in {\mathcal {E}},\;{\mathcal {T}}(M)={\mathcal {T}}(A)+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AM}}$
     Forme réciproque : alors $\;{\mathcal {T}}\;$ est un torseur sur $\;{\mathcal {E}}\;$ et $\;{\vec {R}}\;$ en est « la résultante ».

Fin du théorème

     Remarque : D'après la relation de Varignon , on constate que $\;{\vec {R}}\;$ d'une part et $\;\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace \;$ d'autre part ne se comportent pas de la même façon lors d'un changement d'orientation de $\;{\mathcal {E}}\;$,
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de $\;{\vec {R}}\;$ et de $\;{\overrightarrow {MN}}\;$ ${\Big [}{\overrightarrow {MN}}$, par construction, ne dépendant pas de l'orientation de l'espace
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs suivant le comportement comparé de $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ et de $\;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;$ $\color {transparent}{{\Big [}{\overrightarrow {MN}}}$, est nécessairement un vecteur polaire $\;{\big (}$ou vrai vecteur${\big )}\;$${\Big ]}$ :
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\blacktriangleright \;$le 1^er type de torseur correspondant à $\;{\vec {R}}\;$ ne dépendant pas de l'orientation de l'espace affine $\Rightarrow$ $\;{\vec {R}}\;$ est un vecteur polaire
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1^er type de torseur correspondant à $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ ne dépendant pas de l'orientation de l'espace affine $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ ${\big (}$ou vrai vecteur${\big )}\;$,
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1^er type de torseur $\succ \;$$\;\left\lbrace {\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {MN}}\right\rbrace \;$ étant des vecteurs polaires $\;{\big (}$ou vrais vecteurs${\big )}\;$,
                  Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1^er type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{{\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {MN}}}\;$ étant des vecteurs ${\big (}$c.-à-d. indépendants de l'orientation de l'espace affine${\big )}\;$ $\Rightarrow$
              Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1^er type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}\;$ est un vecteur axial $\;{\big (}$ou pseudo-vecteur${\big )}\;$ car la multiplication vectorielle
                      Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1^er type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}}\;$ est un vecteur axial dépend de l'orientation de l'espace affine et
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1^er type de torseur $\succ \;$$\;\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace \;$ ${\big [}$comme $\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}\;$ sont des vecteurs axiaux $\;{\big (}$ou pseudo-vecteurs${\big )}\;$ car
               Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 1^er type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\;\color {transparent}{{\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)}\;$ $\color {transparent}{\big [}$comme $\;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}}\;$ sont dépendants de l'orientation de l'espace affine,
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\blacktriangleright \;$le 2^ème type de torseur correspondant à $\;{\vec {R}}\;$ dépendant de l'orientation de l'espace affine $\Rightarrow$ $\;{\vec {R}}\;$ est un vecteur axial
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2^ème type de torseur correspondant à $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ dépendant de l'orientation de l'espace affine $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ ${\big (}$ou pseudo-vecteur${\big )}\;$ et
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2^ème type de torseur comme $\;{\overrightarrow {MN}}\;$ est un vecteur polaire $\;{\big (}$ou vrai vecteur${\big )}\;$ on en déduit que,
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2^ème type de torseur comme $\;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;$ ${\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}\;$ est un vecteur polaire $\;{\big (}$ou vrai vecteur${\big )}\;$ car la multiplication
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2^ème type de torseur comme $\;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;$ $\;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}}\;$ est vectorielle dépend de l'orientation de l'espace affine, en résumé :
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2^ème type de torseur $\succ \;$$\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace \;$ ${\big [}$comme $\;{\overrightarrow {MN}}\;$ et $\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}\;$ sont des vecteurs polaires
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2^ème type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\big [}$comme $\;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}}\;$ sont des ${\big (}$ou vrais vecteurs${\big )}\;$ car
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2^ème type de torseur $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {T}}(M)\,,\,{\mathcal {T}}(N)\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\big [}$comme $\;\color {transparent}{\overrightarrow {MN}}\;$ et $\;\color {transparent}{{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {MN}}{\big ]}}\;$ indépendants de l'orientation de l'espace et
           Remarque : D'après la relation de Varignon, il y a deux types de torseurs $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$le 2^ème type de torseur $\succ \;$${\vec {R}}\;$ est un vecteur axial $\;{\big (}$ou pseudo-vecteur${\big )}\;$, dépendant de l'orientation de l'espace affine.

Réduction d'un torseur en un point quelconque de l'espace affine euclidien tridimensionnel sur lequel il est défini

     Un torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$ est déterminé par un couple de deux vecteurs $\;\in \;$ chacun à $\;{\mathcal {V}}$ $\;{\big [}$direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}$ ;
     on distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante $\;{\vec {R}}\;$ est un vecteur polaire $\;{\big (}$ou vrai vecteur${\big )}\;$ ou
     on distingue deux types de torseurs suivant que sa résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ est un vecteur axial $\;{\big (}$ou pseudo-vecteur${\big )}\;$ :

Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire (ou vrai vecteur)

     Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;{\big (}$ou vrai vecteur${\big )}\;$ : le torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big (}$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : le torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ étant déterminé par un couple de deux vecteurs $\;\left\lbrace {\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right\rbrace \in {\mathcal {V}}^{2}$ $\;{\big [}{\mathcal {V}}$ étant la direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}$,
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big (}$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big (}$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue $\bullet \;$un 1^er vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}\;$ $\;{\vec {R}}\;$ indépendant du point $\;A\;$ en lequel $\;{\mathcal {T}}\;$ est appliqué et
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big (}$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue $\bullet \;$un 2^nd pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;$ dépendant a priori du point $\;A\;$ où $\;{\mathcal {T}}\;$ est appliqué ;
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big (}$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur $\;\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right)\in {\mathcal {V}}^{2}\;$
                        Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big (}$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple d'un vrai vecteur et d'un pseudo-vecteur constitue « la réduction du torseur$\;{\mathcal {T}}\;$au point$\;A\in {\mathcal {E}}\;$ »,
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big (}$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple $\bullet \;$le 1^er vecteur « polaire » $\;{\vec {R}}\;$ étant la résultante du torseur et
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big (}$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple $\bullet \;$le 2^nd vecteur « axial » $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\;$ le moment du torseur au point$\;A$,
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur polaire$\;\color {transparent}{\big (}$ou vrai vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : cette réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ en $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ s'écrivant symboliquement $\;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$ .

     Remarques : D'après la note « ²⁴ », l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six,
     Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\,,\,{\vec {u}}_{l}\,,\,{\vec {u}}_{m}\,,\,{\vec {u}}_{n}\right\rbrace \;$ de cet espace vectoriel de dimension six,
     Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, par les six composantes de sa réduction en un point $\;A\;$ quelconque de $\;{\mathcal {E}}\;$,
     Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes de la réduction du torseur au point$\;A\in {\mathcal {E}}\;$ soit,
     Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\vec {R}}\!\!\!&=&\!\!\!X\;{\vec {u}}_{x}+Y\;{\vec {u}}_{y}+Z\;{\vec {u}}_{z}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!\!&=&\!\!\!L_{A}\;{\vec {u}}_{l}+M_{A}\;{\vec {u}}_{m}+N_{A}\;{\vec {u}}_{m}\end{array}}\right\rbrace \;$ , il est possible de réécrire la réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ au point $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ par
     Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant ses coordonnées plückeriennes $\;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{l l}X&L_{A}\\Y&M_{A}\\Z&N_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A,\;\left({\begin{array}{l l}{\vec {u}}_{x}&{\vec {u}}_{l}\\{\vec {u}}_{y}&{\vec {u}}_{m}\\{\vec {u}}_{z}&{\vec {u}}_{n}\end{array}}\right)}$.

     Remarques : D'après la relation de Varignon , la connaissance de « la réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ en un point quelconque $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ » permet de déduire le torseur en n'importe quel point $\;P\in {\mathcal {E}}\;$ selon
               Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ en un point quelconque $\;\color {transparent}{A\in {\mathcal {E}}}\;$ » permet de déduire le torseur $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AM}}\;$ .

     Exemples : $\bullet \;$les torseurs statiques, voir le paragraphe « torseur statique » plus loin dans ce chapitre, la résultante étant appelée résultante dynamique notée $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ et
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs statiques, voir le paragraphe « torseur statique » plus loin dans ce chapitre, le moment résultant en $\;A\;$ appelé moment résultant dynamique en $\;A$, noté $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}\;$ ;
     Exemples : $\bullet \;$les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ fixé, voir le paragraphe « torseur cinématique » plus loin dans ce chapitre,
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la résultante étant appelée résultante cinétique, notée $\;{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ et
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, le moment résultant en $\;A\;$ appelé moment cinétique résultant en $\;A$, noté $\;{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$,
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs cinétiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la relation de Varignon s'écrivant en $\;P\;$ selon $\;{\vec {\sigma }}_{\!P\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)\;$ ;
     Exemples : $\bullet \;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ fixé, voir le paragraphe « torseur dynamique » plus loin dans ce chapitre,
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la résultante étant appelée, par certains, quantité d'accélération , notée $\;\left({\dfrac {d\,{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}\right)_{\!{\mathcal {R}}}(t)\;$ et
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, le moment résultant en $\;A\;$ ${\big (}$fixe dans $\;{\mathcal {R}}{\big )}$, appelé moment résultant du torseur dynamique en $\;A$,
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, le moment résultant en $\;\color {transparent}{A}\;$ $\color {transparent}{\big (}$fixe dans $\;\color {transparent}{{\mathcal {R}}{\big )}}$, noté $\;\left({\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}\right)_{\!{\mathcal {R}}}(t)\;$ ,
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la relation de Varignon s'écrivant en $\;P\;$ ${\big (}$fixe dans $\;{\mathcal {R}}{\big )}$, $\;{\big (}A\;$ étant aussi fixe dans $\;{\mathcal {R}}{\big )}$, selon
          Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$les torseurs dynamiques des systèmes fermés définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la relation de Varignon s'écrivant $\;{\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!P\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)={\dfrac {d\,{\vec {\sigma }}_{\!A\,/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)+{\dfrac {d\,{\vec {P}}_{/\,{\mathcal {R}}}}{dt}}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)\;$.

Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial (ou pseudo-vecteur)

     Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;{\big (}$ou pseudo-vecteur${\big )}\;$ : le torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big (}$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : le torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ étant déterminé par un couple de deux vecteurs $\;\left\lbrace {\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right\rbrace \in {\mathcal {V}}^{2}$ $\;{\big [}{\mathcal {V}}$ étant la direction de $\;{\mathcal {E}}{\big ]}$,
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big (}$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue chacun d'eux suivant leur dépendance à l'orientation de l'espace de la façon suivante :
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big (}$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue $\bullet \;$un 1^er pseudo-vecteur $\;{\big (}$ou vecteur axial${\big )}\;$ $\;{\vec {R}}\;$ indépendant du point $\;A\;$ en lequel $\;{\mathcal {T}}\;$ est appliqué et
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big (}$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : on distingue $\bullet \;$un 2^nd vrai vecteur $\;{\big (}$ou vecteur polaire${\big )}\;$ $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;$ dépendant a priori du point $\;A\;$ où $\;{\mathcal {T}}\;$ est appliqué ;
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big (}$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur $\;\left({\vec {R}}\,,\,{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\right)\in {\mathcal {V}}^{2}\;$
                        Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big (}$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple d'un pseudo-vecteur et d'un vrai vecteur constitue « la réduction du torseur$\;{\mathcal {T}}\;$au point$\;A\in {\mathcal {E}}\;$ »,
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big (}$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple $\bullet \;$le 1^er vecteur « axial » $\;{\vec {R}}\;$ étant la résultante du torseur et
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big (}$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : ce couple $\bullet \;$le 2^nd vecteur « polaire » $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\;$ le moment du torseur au point$\;A$,
          Cas d'un torseur dont la résultante est un vecteur axial$\;\color {transparent}{\big (}$ou pseudo-vecteur$\color {transparent}{\big )}\;$ : cette réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ en $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ s'écrivant symboliquement $\;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$ .

     Remarques : D'après la note « ²⁴ », l'ensemble des torseurs formant un espace vectoriel de dimension six,
     Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, après avoir choisi une base orthonormée $\;\left\lbrace {{\vec {u}}'}_{x}\,,\,{{\vec {u}}'}_{y}\,,\,{{\vec {u}}'}_{z}\,,\,{\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {u}}_{y}\,,\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \;$ de cet espace vectoriel de dimension six,
     Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, par les six composantes de sa réduction en un point $\;A\;$ quelconque de $\;{\mathcal {E}}\;$,
     Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant les coordonnées plückeriennes de la réduction du torseur au point$\;A\in {\mathcal {E}}\;$ soit,
     Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\vec {R}}\!\!\!&=&\!\!\!X\;{{\vec {u}}'}_{x}+Y\;{{\vec {u}}'}_{y}+Z\;{{\vec {u}}'}_{z}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!\!&=&\!\!\!L_{A}\;{\vec {u}}_{x}+M_{A}\;{\vec {u}}_{y}+N_{A}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ , il est possible de réécrire la réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ au point $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ par
     Remarques : D'après la note « ²⁴ », il est possible de décrire un torseur, par ces six composantes constituant ses coordonnées plückeriennes $\;{\mathcal {T}}=\left\lbrace {\begin{array}{l l}X&L_{A}\\Y&M_{A}\\Z&N_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A,\;\left({\begin{array}{l}{{\vec {u}}'}_{x}&{\vec {u}}_{x}\\{{\vec {u}}'}_{y}&{\vec {u}}_{y}\\{{\vec {u}}'}_{z}&{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right)}$.

     Remarques : D'après la relation de Varignon , la connaissance de « la réduction du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ en un point quelconque $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ » permet de déduire le torseur en n'importe quel point $\;P\in {\mathcal {E}}\;$ selon
               Remarques : D'après la relation de Varignon, la connaissance de « la réduction du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ en un point quelconque $\;\color {transparent}{A\in {\mathcal {E}}}\;$ » permet de déduire le torseur $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AM}}\;$ .

     Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ fixé, voir le paragraphe « torseur cinématique » plus loin dans ce chapitre,
     Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la résultante étant appelée vecteur rotation instantanée notée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$,
     Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, le moment résultant en un point $\;A\;$ du solide étant appelé vecteur vitesse de $\;A\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$,
     Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, le moment résultant en un point $\;\color {transparent}{A}\;$ du solide étant noté $\;{\vec {V}}_{A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$,
     Exemple : les torseurs cinématiques des solides définis dans un référentiel $\;\color {transparent}{\mathcal {R}}\;$ fixé, la relation de Varignon s'écrivant en $\;P$, point du solide, selon $\;{\vec {V}}_{P\,/\,{\mathcal {R}}}(t)={\vec {V}}_{A\,/\,{\mathcal {R}}}(t)+{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AP}}(t)\;$

Diverses opérations sur les torseurs

Égalité de torseurs

     Deux torseurs $\;{\mathcal {T}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {T}}_{2}\;$ sont égaux ssi leurs éléments de réduction au même point $\;A\;$ sont égaux soit «$\;{\mathcal {T}}_{1}={\mathcal {T}}_{2}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {R}}_{1}={\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{1}}}_{A}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{2}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$».

Somme de deux torseurs

     La somme de deux torseurs $\;{\mathcal {T}}_{1}\;$ et $\;{\mathcal {T}}_{2}\;$ est le torseur dont les éléments de réduction en un point $\;A\;$ sont la somme des éléments de réduction de chacun des torseurs au même point $\;A\;$ soit

«$\;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{1}+{\mathcal {T}}_{2}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {R}}\!\!&=&\!\!{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{1}}}_{A}+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{2}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$».

Multiplication d'un torseur par un scalaire

     Soit $\;{\mathcal {T}}\;$ un torseur quelconque, $\;\forall \;\lambda \in \mathbb {R}$, le torseur $\;\lambda \times {\mathcal {T}}\;$ est le torseur dont les éléments de réduction en un point $\;A\;$ sont $\;\lambda \;$ fois les éléments de réduction du torseur au même point $\;A\;$ soit

«$\;{\mathcal {T}}_{(\times \,\lambda )}=\lambda \times {\mathcal {T}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {R}}_{(\times \,\lambda )}\!\!&=&\!\!\lambda \times {\vec {R}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{(\times \,\lambda )_{A}}\!\!&=&\!\!\lambda \times {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$».

Nullité d'un torseur

     Un torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ est nul ssi ses éléments de réduction en un point $\;A\;$ sont tous deux nuls soit «$\;{\mathcal {T}}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\vec {R}}\!\!&=&\!\!{\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{A}\;$» .

Invariants d'un torseur

Définition

     Les invariants d'un torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ défini sur l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;{\mathcal {E}}\;$
     Les invariants d'un torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ sont les grandeurs liées au torseur indépendantes du point où ce dernier est appliqué.

     Ce sont : $\bullet \;$la résultante$\;{\vec {R}}\;$ du torseur $\;{\mathcal {T}}$,
     Ce sont : $\bullet \;$la projection du moment $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P},\;\forall P\,\in \,{\mathcal {E}}\;$ du torseur $\;{\mathcal {T}}$ sur sa résultante $\;{\vec {R}}\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}},\;\forall \,P\,\in {\mathcal {E}}\;$» appelée « invariant scalaire du torseur »
     Ce sont : $\color {transparent}{\bullet }\;$la projection du moment $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P},\;\forall P\,\in \,{\mathcal {E}}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}$ sur sa résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ ${\bigg [}$se démontre d'après la relation de Varignon  : $\;\forall \;\left(P\,,\,Q\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\;$ $\Rightarrow$
     Ce sont : $\color {transparent}{\bullet }\;$la projection du moment $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P},\;\forall P\,\in \,{\mathcal {E}}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}$ sur sa résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ $\color {transparent}{\bigg [}$$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\cdot {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\vec {R}}\;{\cancel {+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\cdot {\vec {R}}}}\;$${\bigg ]}\;$ et
     Ce sont : $\bullet \;$la relation d'équiprojectivité «$\;\forall \;\left(P\,,\,Q\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\cdot {\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\cdot {\overrightarrow {PQ}}\;$» $\;{\big [}$contenu dans la définition d'un torseur ${\big ]}$.

Notion d'axe central d'un torseur

Définition de point central d'un torseur

Définition

     Un point $\;A\in {\mathcal {E}}\;$ en lequel le moment du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ a même direction que la résultante $\;{\vec {R}}\;$ de ce dernier est dit « central » c.-à-d. $\;A\;$ est un point central du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ ssi $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\exists \;\lambda \in \mathbb {R} ,\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}=\lambda \;{\vec {R}}$.

Définition d'axe central d'un torseur

Définition

     L'ensemble $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ des points centraux du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ définit « l'axe central » du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ c.-à-d. $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ est l'axe central du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Delta _{\mathcal {T}}=\left\lbrace A\in {\mathcal {E}},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\right\rbrace \;$.

Propriétés du torseur sur son axe central

     Si la résultante $\;{\vec {R}}\;$ du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ est $\;\neq {\vec {0}}$, $\bullet \;$son axe central $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ est une droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$ et dans la mesure où on admet l'existence d'un point central $\;A\;$
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ c'est la droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$ issue de $\;A\;$ en effet,
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\succ \;$d'après la relation de Varignon on peut écrire $\;\forall \;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in {\mathcal {E}}^{2},\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\;$ dont on déduit
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}+\left[{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\right]\wedge {\vec {R}}\;$ ou, en utilisant une formule du double produit vectoriel
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;$ et par suite, $\;\forall \;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in \Delta _{\mathcal {T}}$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, son $\color {transparent}{\bullet }\;$axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$${\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}}}={\cancel {{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\wedge {\vec {R}}}}-\left[{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}\right]{\vec {R}}+{\vec {R}}^{2}\;{\overrightarrow {PQ}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {PQ}}\neq {\vec {0}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {PQ}}={\dfrac {{\overrightarrow {PQ}}\cdot {\vec {R}}}{{\vec {R}}^{2}}}\;{\vec {R}}\;$ établissant la propriété directe
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in \Delta _{\mathcal {T}}$, alors ils sont sur une droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$» ou encore
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$l'« ensemble des points centraux du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$ est $\;\subset \;$ dans la droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$ passant par $\;A\;$»,
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\succ \;$réciproquement, si $\;{\overrightarrow {AQ}}=\lambda \;{\vec {R}},\;\forall \lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$ avec $\;A\;$ point central dont l'existence est admise,
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$réciproquement, la relation de Varignon donne $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\;{\cancel {+\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {AQ}}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}\;$ et par suite,
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$réciproquement, ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{A}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\;$ ${\big (}A\;$ point central de $\;{\mathcal {T}}{\big )}\;$ $\Rightarrow$ ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}\;$ c.-à-d. $\;Q\;$ est un point central de $\;{\mathcal {T}}$,
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$réciproquement, d'où l'« ensemble des points de la droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$ passant par $\;A\;$ est $\;\subset \;$ dans l'axe central $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$»,
     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$son axe central $\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ finalement « la droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$ issue du point central $\;A$ $\;{\big (}$existence admise${\big )}\;$ est l'axe central $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$» ;

     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\bullet \;$le moment du torseur$\;{\mathcal {T}}\;$est le même en tout point de l'axe central$\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ en effet, $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ étant une droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}\;$
      Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$le moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est le même en tout point de l'axe central$\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ en effet, dans la mesure où on admet l'existence d'un point central $\;A\;$,
      Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$le moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est le même la relation de Varignon nous donne $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;{\cancel {+\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}}},\;\forall \;\left(P\,,\,Q\neq P\right)\in \Delta _{\mathcal {T}}\;$ C.Q.F.D.  ;

     Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\bullet \;$la norme du moment du torseur$\;{\mathcal {T}}\;$est minimale sur son axe central$\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ en effet, $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ étant une droite de vecteur directeur $\;{\vec {R}}$
      Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale sur son axe central$\;\color {transparent}{\Delta _{\mathcal {T}}}\;$ en effet, dans la mesure où on admet l'existence d'un point central $\;A\;$,
      Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}+{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\;$ avec $\;P\in \Delta _{\mathcal {T}}$, $\;\forall \;Q\;\notin \;\Delta _{\mathcal {T}}$,
             Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne où $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\vec {R}}\;$ et $\;{\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}$ $\;\perp \;$ à $\;{\vec {R}}\;$ donc à $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\;$ $\Rightarrow$
             Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne $\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}=\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\Vert ^{2}\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\forall \;Q\!\!&\notin \Delta _{\mathcal {T}}\\P\!\!&\in \Delta _{\mathcal {T}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où
             Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne $\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}>\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2}\;$ car $\;\Vert {\vec {R}}\wedge {\overrightarrow {PQ}}\Vert ^{2}\neq 0\;$ pour $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{r l}\forall \;Q\!\!\!\!&\notin \Delta _{\mathcal {T}}\\P\!\!\!\!&\in \Delta _{\mathcal {T}}\end{array}}\!\right\rbrace$,
             Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne vrai $\;\forall \;P\;\in \Delta _{\mathcal {T}}$, le moment du torseur $\;{\mathcal {T}}\;$
             Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne vrai $\;\color {transparent}{\forall \;P\;\in \Delta _{\mathcal {T}}}$, étant constant sur son axe central $\;\Delta _{\mathcal {T}}\;$ d'où
             Si la résultante $\;\color {transparent}{\vec {R}}\;$ du torseur $\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq {\vec {0}}}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$la norme du moment du torseur$\;\color {transparent}{\mathcal {T}}\;$est minimale la relation de Varignon nous donne $\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{Q}\Vert ^{2}>\Vert {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\Vert ^{2},\;\left\lbrace \!{\begin{array}{r l}\forall \;Q\!\!\!\!&\notin \Delta _{\mathcal {T}}\\\forall \;P\!\!\!\!&\in \Delta _{\mathcal {T}}\end{array}}\!\right\rbrace \;$ C.Q.F.D. .

Torseurs particuliers et décomposition centrale d'un torseur quelconque

Torseur nul

     Le torseur nul $\;{\mathcal {N}}\;$ est le torseur dont les éléments de réduction en un point quelconque $\;P\in {\mathcal {E}}\;$ sont nuls soit $\;{\mathcal {N}}=\left\lbrace {\begin{array}{r l}{\vec {R}}\!\!\!\!&={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{P}\!\!\!\!&={\overrightarrow {0}}\end{array}}\right\rbrace _{P}\;$.

Torseur couple

Définition d'un torseur couple

     Un torseur couple