Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les tenseurs, 1ères définitions et divers types de tenseurs d'ordre inférieur à 3

**Les tenseurs, 1ères définitions et divers types de tenseurs d'ordre inférieur à 3**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)

Chapitre n^o 6
Chap. préc. :	Les matrices carrées, leur inversion sous conditions
Chap. suiv. :	Les tenseurs, définition à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels

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Introduction des « tenseurs » en mathématiques

$\succ \;$ La notion de tenseur prolonge celle de scalaire, de vecteur ou de famille finie de vecteurs en dimension finie ;

$\color {transparent}{\succ }\;$ tous ces éléments pris individuellement forment un espace vectoriel de dimension finie et, avec pour corps de construction $\;\mathbb {R}$ , les 1^ers exemples sont :

l'ensemble des scalaires formant le $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;\mathbb {R} \;$ lui-même de dimension $\;1$ , un scalaire étant un tenseur d'ordre zéro,
l'ensemble des vecteurs formant le $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ de dimension $\;n$ , chaque vecteur étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$ , par une matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{j}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]\in M_{n,\,1}\!\left(\mathbb {R} \right)$ , un vecteur d'un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel de dimension $\;n\;$ étant un tenseur d'ordre un ^[1],
l'ensemble des familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ formant le $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel isomorphe à $\;\left\lbrace \mathbb {R} ^{n}\right\rbrace ^{p}$ , chaque famille ordonnée de $\;p\;$ vecteurs étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$ , par une matrice $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}&\cdots &x_{1,\,j}&\cdots &x_{1,\,p}\\&&\vdots &&\\x_{i,\,1}&\cdots &x_{i,\,j}&\cdots &x_{i,\,p}\\&&\vdots &&\\x_{n,\,1}&\cdots &x_{n,\,j}&\cdots &x_{n,\,p}\end{array}}\right]\in M_{n,\,p}\!\left(\mathbb {R} \right)$ ${\Bigg \{}$ en particulier l'ensemble des familles ordonnées de $\;n\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ est le $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel isomorphe à $\;\left\lbrace \mathbb {R} ^{n}\right\rbrace ^{n}$ , chaque famille ordonnée de $\;n\;$ vecteurs étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$ , par une matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}&\cdots &x_{1,\,j}&\cdots &x_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\x_{i,\,1}&\cdots &x_{i,\,j}&\cdots &x_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\x_{n,\,1}&\cdots &x_{n,\,j}&\cdots &x_{n,\,n}\end{array}}\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right){\Bigg \}}$ , une famille ordonnée de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel de dimension $\;n\;$ étant un tenseur d'ordre deux $\;{\big (}$ avec $\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \!{\big )}\;$ ^[2] et
l'ensemble constitué de collections ordonnées comprenant chacune $\;q\;$ familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel isomorphe à $\;\mathbb {R} ^{n}\;$ formant le $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel isomorphe à $\;\left\lbrace \left\lbrace \mathbb {R} ^{n}\right\rbrace ^{p}\right\rbrace ^{q}$ , chaque collection ordonnée de $\;q\;$ familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs étant représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace b_{1}\,,\,\cdots \,,\,b_{i}\,,\,\cdots \,,\,b_{n}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,n}$ , par un tableau parallélépipédique constitué de $\;q\;$ matrices placées en « couches » ^[3] successives, de même dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;\left(n\,,\,p\right)$ , une famille ordonnée de $\;q\;$ familles ordonnées de $\;p\;$ vecteurs du même $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel de dimension $\;n\;$ étant un tenseur d'ordre trois $\;{\Big [}$ à condition que $\;\left(p\,,\,q\right)\,\in \,{\big \{}\mathbb {N} ^{*}\,\backslash \,\left\lbrace 1\right\rbrace \!{\big \}}^{2}{\Big ]}\;$ ^[4],
$\;\ldots \;$

Exemples de tenseurs d'ordre zéro $\;{\big (}$ scalaire ${\big )}$ ,
Exemples de tenseurs d'ordre un $\;{\big (}$ vecteur de l'espace physique ${\big )}$ ,
Exemples de tenseurs d'ordre deux $\;{\big (}$ famille de $\;3\;$ vecteurs de l'espace physique ${\big )}$ ,
Exemples de tenseurs d'ordre trois $\;{\big (}$ collection de $\;3\;$ familles de $\;3\;$ vecteurs de l'espace physique ${\big )}$

      $\succ \;$ Les tenseurs d'ordre $\;p\;\in \mathbb {N} \;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ construit sur $\;\mathbb {R} \;$ forment donc un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel de dimension $\;3^{\,p}$
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{p\;\in \mathbb {N} }\;$ on définit en effet $\bullet \;$ l'addition de deux tenseurs de même ordre $\;p$ $\;{\Big (}$ par loi de composition interne $\;T_{p}\times T_{p}\;{\overset {+}{\rightarrow }}\;T_{p}\;$ où $\;T_{p}\;$ est l'ensemble des tenseurs d'ordre $\;p\;$ ^[5] ${\Big )}\;$ et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{p\;\in \mathbb {N} }\;$ on définit en effet $\bullet \;$ la multiplication d'un tenseur d'ordre $\;p\;$ par un scalaire $\;{\Big (}$ loi de composition externe $\;\mathbb {R} \times T_{p}\;{\overset {\cdot }{\rightarrow }}\;T_{p}\;$ ^[6] ${\Big )}$ ,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{p\;\in \mathbb {N} }\;$ on définit en effet $\bullet \;$ ces deux lois ayant les propriétés nécessaires pour assurer à l'ensemble $\;T_{p}\;$ des tenseurs d'ordre $\;p\;$ d'être un espace vectoriel ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : $\bullet \;$ s'ils sont d'ordre un, leurs représentations en matrices colonnes dépendent de la base,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : $\bullet \;$ s'ils sont d'ordre deux, leurs représentations en matrices rectangulaires dépendent de la base,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : $\bullet \;$ s'ils sont d'ordre trois, leurs représentations en tableaux parallélépipédiques dépendent de la base ou
      $\color {transparent}{\succ }\;$ ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en dépendent : $\bullet \;$ s'ils sont d'ordre $\;>\;$ à trois, leurs représentations en tableaux hyperparallélépipédiques ^[7] dépendent de la base.

1^ères définitions de tenseurs

     Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, un tenseur nécessite de préciser l'espace vectoriel de travail,
     Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, il s'agit d'un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel de dimension $\;3^{\,p}$ , $\;p\;\in \mathbb {N}$ , d'où
     Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\bullet \;$ si $\;p=0$ , l'espace vectoriel est $\;\mathbb {R} \;$ de dimension $\;1$ ,
     Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\bullet \;$ si $\;p=1$ , l'espace vectoriel de dimension $\;3\;$ est, quand c'est utile,
     Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\color {transparent}{\bullet }\;$ si $\;\color {transparent}{p=1}$ , l'espace vectoriel choisi euclidien ^[8] et dans ce cas,
     Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\color {transparent}{\bullet }\;$ si $\;\color {transparent}{p=1}$ , l'espace vectoriel est la direction de l'espace affine ^[9]
     Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\color {transparent}{\bullet }\;$ si $\;\color {transparent}{p=1}$ , l'espace vectoriel est la direction de l'tridimensionnel,
     Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\bullet \;$ si $\;p=2$ , l'espace vectoriel est de dimension $\;9$ , par exemple,
     Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\color {transparent}{\bullet }\;$ si $\;\color {transparent}{p=2}$ , l'ensemble des familles de $\;3\;$ vecteurs de l'espace vectoriel
     Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\color {transparent}{\bullet }\;$ si $\;\color {transparent}{p=2}$ , l'ensemble des familles de $\;\color {transparent}{3}\;$ vecteurs de l’tridimensionnel,
     Préliminaires : Comme nous l'avons vu au paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques » plus haut dans ce chapitre, $\bullet \;$ $\ldots$

Préliminaires : Une grandeur est qualifiée de « covariante » lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel d'étude ^[10] et
Préliminaires : Une grandeur est qualifiée de « contravariante » lorsqu'elle varie de façon contraire à celle des vecteurs de base du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel d'étude ^[11].

Définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro

Définition d'un tenseur d'ordre zéro

« Tout scalaire $\;{\big (}$ c.-à-d. tout élément de $\;\mathbb {R} {\big )}\;$ est un tenseur d'ordre $\;0\;$ ».

Remarque : Un scalaire ne dépendant d'aucune base, un tenseur d'ordre $\;0\;$ est évidemment indépendant du choix d'une telle base ^[12].

Propriété : Comme un scalaire ne dépend d'aucune base ^[13], « un tenseur d'ordre $\;0\;$ est dit invariant », il n'est ni contravariant ni covariant $\;\ldots$

Divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés

Définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre un

Définition d'un 1^er type de tenseur d'ordre un

« Tout élément du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel de dimension $\;3$ $\;{\big (}$ c.-à-d. tout vecteur de cet espace vectoriel tridimensionnel ${\big )}$ ,
« Tout élément du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel de dimension $\;\color {transparent}{3}\;$ est un tenseur d'ordre $\;1\;$ » ^[14].

Remarque : Un tenseur d'ordre $\;1\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci ^[15] $\;\ldots$

Propriété : Vérifiant que « les composantes de ce 1^er type de tenseur d'ordre $\;1\;$ sont contravariantes » ^[16]^, ^[11], on affirmera que
Propriété : Vérifiant que « tout vecteur de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big (}$ c.-à-d. tout vecteur de la direction de l'espace affine physique ${\big )}\;$ » est un « tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant ^[16]^, ^[17] ».

Définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un

Définition d'un 2^ème type de tenseur d'ordre un

« Tout élément du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W^{*}\;$ de dimension $\;3$ $\;{\big (}W^{*}\;$ étant l'espace dual de $\;W\;$ ^[18] direction de l'espace affine ^[9] tridimensionnel ${\big )}$ $\;{\big [}$ c.-à-d. toute forme linéaire du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W{\big ]}$
« Tout élément du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W^{*}}\;$ de dimension $\;\color {transparent}{3}\;$ est un tenseur d'ordre $\;1\;$ ».

Remarques : Un exemple de tenseur d'ordre $\;1\;$ de ce type associé au vecteur $\;{\vec {a}}\;\in \;W\;$ est la forme linéaire de $\;W\;$ « $\;f:={\vec {a}}\cdot \;$ » telle que $\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;W$ , $\;f({\vec {x}})={\vec {a}}\cdot {\vec {x}}$ , $\;{\big [}$ la forme linéaire de $\;W\;$ est un élément de $\;W^{*}\;$ ^[18], chaque élément de $\;W^{*}\;$ ^[18] étant encore appelé « covecteur » ^[19] ${\big ]}\;\ldots$

Remarques : un tenseur d'ordre $\;1\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci ^[15] $\;\ldots$

     Propriété : Vérifiant que « les composantes de ce 2^ème type de tenseur d'ordre $\;1\;$ sont covariantes » ^[16]^, ^[20], on affirmera que
     Propriété : Vérifiant que « toute forme linéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel c.-à-d. de la direction de l'espace affine physique » est un « tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant ^[16]^, ^[21] » ou
     Propriété : Vérifiant que « tout covecteur de l'espace dual de la direction de l'espace affine physique » est un « tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant ^[16]^, ^[21] ».

Lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés

      $\blacktriangleright \;$ Un tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant ^[16]^, ^[17] étant un vecteur $\;{\vec {a}}\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W$ , ses composantes $\;{\big (}$ contravariantes ${\big )}\;$ $\left(a_{1}\,,\,a_{2}\,,\,a_{3}\right)\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$
                    $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Un tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ contravariant étant un vecteur $\;\color {transparent}{\vec {a}}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W}$ , ses composantes ont pour représentation matricielle dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ la « matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}}\right]\;$ » ;
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ ^[22], $\;{\Big \{}$ « $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ étant sa matrice inverse » ${\Big \}}$ ,
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ les composantes $\;{\big (}$ contravariantes ${\big )}\;$ du vecteur $\;{\vec {a}}\;\in \;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation matricielle dans cette base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ les composantes $\;\color {transparent}{\big (}$ contravariantes $\color {transparent}{\big )}\;$ du vecteur $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\;\in \;W}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{W}\;$ ont la « matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}{a'}_{\!1}\\{a'}_{\!2}\\{a'}_{\!3}\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}}\right]\;$ ».

      $\blacktriangleright \;$ Le tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant ^[16]^, ^[21] associé au vecteur $\;{\vec {a}}\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ étant la forme linéaire de $\;W\;$ « $\;f:=a\cdot \;$ » telle que $\;\forall \;x\;\in \;W$ $\;f(x)=a\cdot x$
                   $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Le tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariant associé au vecteur $\;\color {transparent}{\vec {a}}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W}\;$ étant la forme linéaire de $\;W$ $\;{\big (}$ encore appelé « covecteur » de $\;W^{*}{\big )}\;$
                    $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Le tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariant associé au vecteur $\;\color {transparent}{\vec {a}}\;$ du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W}\;$ étant la forme linéaire de $\;\color {transparent}{W}$ « $\;f:=a\cdot \;$ » étant un élément de $\;W^{*}\;$ ^[18] l'espace dual de $\;W$ ,
                   $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Le tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariant ses composantes dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$
                   $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Le tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariant ses composantes dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{W}\;$ ont la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne $\;\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;$ » ^[23] ;
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$ ,
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ les composantes de $\;\left\lbrace {\vec {a}}\;\cdot \right\rbrace \in \;W^{*}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle dans cette base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ les composantes de $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {a}}\;\cdot \right\rbrace \in \;W^{*}}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{W}\;$ ont la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne $\left[{a'}_{\!1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times =$
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ les composantes de $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {a}}\;\cdot \right\rbrace \in \;W^{*}}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ de $\;\color {transparent}{W}\;$ ont la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne $\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace C\right\rbrace }\times \;$ » ^[23].

      $\blacktriangleright \;$ Propriété : « Le produit scalaire ^[24] des vecteurs $\;\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}\;$ » s'identifiant à « l'image de $\;{\vec {x}}\;\in \;W\;$ par la forme linéaire “ $\;f:={\vec {a}}\;\cdot \;$ ” $\;\in \;W^{*}\;$ » ^[18] à savoir « $\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=f({\vec {x}})\;\in \;\mathbb {R} \;$ »
          $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant par changement de base choisie dans $\;W\;$ en effet
          $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant évalué, dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W$ , par « $\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,3}a_{k}\;x_{k}\;$ ^[25] $=\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$ ^[23] »,
          $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant on vérifie que le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ ^[22]
          $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant on vérifie que conduit à l'évaluation dans la nouvelle base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ selon
          $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant on vérifie que « $\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\\{x'}_{2}\\{x'}_{3}\end{array}}\right]\;$ » ^[23] où « $\;\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times$ $=\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \;$ » ^[23]
                    $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant on vérifie que « $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\end{array}}\right]}\;$ » où « ${\big \{}$ caractère « covariant » de “ $\;f:={\vec {a}}\;\cdot \;$ ” $\;\in \;W^{*}{\big \}}\;$ et
                    $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant on vérifie que « $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\end{array}}\right]}\;$ » où « $\;\left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\\{x'}_{2}\\{x'}_{3}\end{array}}\right]=$ $\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$ »
                    $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant on vérifie que « $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\end{array}}\right]}\;$ » où « ${\big \{}$ caractère « contravariant » de “ $\;{\vec {x}}\;$ ” $\;\in \;W{\big \}}\;$ $\Rightarrow$
          $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant on vérifie que « $\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=\left[{a'}_{1}\;\;{a'}_{2}\;\;{a'}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{1}\\{x'}_{2}\\{x'}_{3}\end{array}}\right]\;$ ^[23] $=\left\lbrace \left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \right\rbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]$
          $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant on vérifie que « $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}}$ $=\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times {\cancel {{\bigg \{}\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}{\bigg \}}}}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$ ^[26]^, ^[27] » soit
          $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant on vérifie que « l'invariance de $\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\;$ par changement de bases » C.Q.F.V. ^[28] ;
          $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ >Propriété : « Le produit scalaire des vecteurs $\;\color {transparent}{\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {x}}\right)\;\in \;W^{2}}\;$ » est invariant on vérifie que « $\;{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\;$ étant un scalaire est un tenseur d'ordre $\;0\;$ d'où son invariance par changement de bases ^[29] » ^[30].

Divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés

     Parmi les tenseurs d'ordre deux nous nous limiterons à ceux dont la représentation matricielle ou opérationnelle fait intervenir des matrices carrées de même dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;3$ ,
     Parmi les tenseurs d'ordre deux nous écartons tout tenseur d'ordre $\;2\;$ à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont une dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ est $\;3$ ,
     Parmi les tenseurs d'ordre deux nous écartons tout tenseur d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont l'autre étant un entier $\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace$ .

Définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux

Définition d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux

« Tout élément du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel de dimension $\;3^{2}=9\;$ ${\big (}$ c.-à-d. toute famille de $\;3\;$ vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel ${\big )}$
« Tout élément du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel de dimension $\;\color {transparent}{3^{2}=9}\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$ » ^[31].

Remarque 1 : Un tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci ^[15].

     Propriété : Vérifiant que « les composantes de ce 1^er type de tenseur d'ordre $\;2\;$ sont contravariantes » ^[16]^, ^[32], on affirmera que
     Propriété : Vérifiant que « toute famille de $\;3\;$ vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big (}$ c.-à-d. toute famille de $\;3\;$ vecteurs de la direction de l'espace affine physique ${\big )}\;$ »
       Propriété : Vérifiant que « toute famille de $\;\color {transparent}{3}\;$ vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel est un « tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant ^[16]^, ^[17] ».

     Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;2\;$ contravariants ^[17] n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;1\;$ contravariants ^[17], mis à part le regroupement de $\;3\;$ vecteurs dans une même famille c.-à-d.
                 Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ contravariants, mis à part le regroupement de $\;3\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ contravariants ^[17]
                 Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ contravariants, mis à part le regroupement en un seul tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant ^[17].

Définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux

Définition d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux

     « Toute famille de $\;3\;$ formes linéaires du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ ${\big (}$ direction de l'espace affine ^[9] tridimensionnel ${\big )}$ ou
     « toute famille de $\;3\;$ éléments du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W^{*}$ $\;{\big (}$ dual de $\;W\;$ ^[18] ${\big )}\;$ $\;{\big \{}$ ou encore toute famille de $\;3\;$ covecteurs de $\;W^{*}{\big \}}\;$
     « Toute famille de $\;\color {transparent}{3}\;$ formes linéaires du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W}\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$ » ^[33].

Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type associé au triplet de vecteurs $\;\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {a'}}\,,\,{\vec {a''}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ est la famille des $\;3\;$ formes linéaires de $\;W\;$ « $\;\left(f:={\vec {a}}\,\cdot \,,\,f':={\vec {a'}}\cdot \,,\,f'':={\vec {a''}}\cdot \right)\;$ » telle que $\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;W$ , $\;\left\lbrace f({\vec {x}})={\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\,,\,f'({\vec {x}})={\vec {a'}}\cdot {\vec {x}}\,,\,f''({\vec {x}})={\vec {a''}}\cdot {\vec {x}}\right\rbrace$ , $\;{\big [}$ les formes linéaires de $\;W\;$ sont des éléments de $\;W^{*}\;$ ^[18] dont chaque élément étant encore appelé « covecteur » ^[19] ${\big ]}\;\ldots$

Remarques 1 : un tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci ^[15].

Propriété : Vérifiant que « les composantes de ce 2^nd type de tenseur d'ordre $\;2\;$ sont covariantes » ^[16]^, ^[34], on affirmera que
Propriété : Vérifiant que « toute famille de ${\underline {\;3\;}}$ formes linéaires de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big (}$ direction de l'espace affine physique ${\big )}\;$ » est un « tenseur d'ordre $\;2\;$ covariant ^[16]^, ^[21] ».

     Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;2\;$ covariants ^[21] n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants ^[21] mis à part le regroupement de $\;3\;$ covecteurs dans une même famille c.-à-d.
                 Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariants mis à part le regroupement de $\;3\;$ tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants ^[21]
                 Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{1}\;$ covariants mis à part le regroupement en un seul tenseur d'ordre $\;2\;$ covariant ^[21].

Définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux

Définition d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux

     « Toute forme bilinéaire du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ direction de l'espace affine ^[9] tridimensionnel $\;{\Big \{}$ c.-à-d.
     « toute application linéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ de $\;W^{2}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ vérifiant “ $\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;W^{2}$ , $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;{\overset {\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)}{\rightarrow }}\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\;\in \;\mathbb {R} \;$ telle que
     « toute application linéaire $\;\color {transparent}{\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)}\;$ de $\;\color {transparent}{W^{2}}\;$ dans $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$ vérifiant “ $\;\color {transparent}{\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;W^{2}}$ , $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ soit linéaire relativement à $\;{\vec {x}}\;$ et $\;{\vec {y}}\;$ ” ${\Big \}}\;$ ^[35]
     « Toute forme bilinéaire du $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }$ -espace vectoriel $\;\color {transparent}{W}\;$ est un tenseur d'ordre $\;2\;$ ».

Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type associé à la multiplication scalaire de $\;W\;$ ^[24] et à l'endomorphisme $\;\varphi \;\in \;L(W)\;$ ^[36] est l'application composée « $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})\;$ » définie sur $\;W^{2}\;$ telle que $\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;W^{2}$ , $\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)={\vec {x}}\cdot \varphi ({\vec {y}})$ $\;{\Big [}$ les formes bilinéaires de $\;W\;$ sont des éléments de « $\;W^{*}\!\times L(W)\;$ » ^[18]^, ^[36] ${\Big ]}\;\ldots$

Remarques 1 : un tenseur d'ordre $\;2\;$ de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci ^[15].

Propriété : Vérifiant que « les composantes de ce 3^ème type de tenseur d'ordre $\;2\;$ sont partiellement covariante et contravariante » ^[16]^, ^[37], on affirmera que
Propriété : Vérifiant que « toute forme bilinéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel $\;{\big (}$ c.-à-d. tout élément de $\;W^{*}\!\times L(W)\;$ ^[18]^, ^[36] ${\big ]}\;$ » est un « tenseur d'ordre $\;2\;$ “mixte” ^[38]^, ^[39]^, ^[40] ».

Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;2\;$ « mixtes » ^[38]^, ^[39]^, ^[40] apportent quelque chose de nouveau par rapport aux tenseurs d'ordre $\;1\;$ covariants ^[21] ou contravariants ^[17] car
Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre $\;\color {transparent}{2}\;$ « mixtes » ils ne peuvent pas se réduire à une famille de $\;3\;$ tenseurs d'ordre $\;1$ $\;\ldots$

Différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux

Parmi les tenseurs d'ordre deux nous nous sommes limités à ceux dont la représentation matricielle ou opérationnelle fait intervenir des matrices carrées de même dimension

\;{\big (}

ou taille

{\big )}

\;3

,
nous avons donc écarté tout tenseur d'ordre

\;2\;

à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont une dimension

\;{\big (}

ou taille

{\big )}

est

\;3

,
nous avons donc écarté tout tenseur d'ordre

\;\color {transparent}{2}\;

à représentation matricielle ou opérationnelle avec au moins une matrice rectangulaire dont l'autre étant un entier

\;p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\,,\,3\right\rbrace

.

« Un tenseur d'ordre $\;2\;$ contravariant » ^[16]^, ^[17] étant une « famille de $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ où $\;W\;$ est un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel » ^[41], ses composantes dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ à savoir $\;\left\lbrace {\vec {x}}\;\left(x_{1}\,,\,x_{2}\,,\,x_{3}\right)\,;\,{\vec {v}}\;\left(v_{1}\,,\,v_{2}\,,\,v_{3}\right)\,;\,{\vec {w}}\;\left(w_{1}\,,\,w_{2}\,,\,w_{3}\right)\right\rbrace \;$ ont pour représentation matricielle dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ la « matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1}&v_{1}&w_{1}\\x_{2}&v_{2}&w_{2}\\x_{3}&v_{3}&w_{3}\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ » résultant de la juxtaposition des matrices colonnes représentant chaque vecteur $\;{\big (}$ ou tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant ^[16]^, ^[17] ${\big )}$ ;
« le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage correspondante $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ ^[22], les composantes de la famille des $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation matricielle dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ la « matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}{x'}_{\!1}&{v'}_{\!1}&{w'}_{\!1}\\{x'}_{\!2}&{v'}_{\!2}&{w'}_{\!2}\\{x'}_{\!3}&{v'}_{\!3}&{w'}_{\!3}\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}&v_{1}&w_{1}\\x_{2}&v_{2}&w_{2}\\x_{3}&v_{3}&w_{3}\end{array}}\right]\;$ ^[42]» ^[32]
${\big \{}$ les composantes des $\;3\;$ vecteurs dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ étant $\;{\vec {x}}\,:\,\left({x'}_{\!1}\,,\,{x'}_{\!2}\,,\,{x'}_{\!3}\right)\,;\,{\vec {v}}\,:\,\left({v'}_{\!1}\,,\,{v'}_{\!2}\,,\,{v'}_{\!3}\right)\,;\,{\vec {w}}\,:\,\left({w'}_{\!1}\,,\,{w'}_{\!2}\,,\,{w'}_{\!3}\right){\big \}}$ .
« Le tenseur d'ordre $\;2\;$ covariant » ^[16]^, ^[21] associé à la famille des $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {r}}\,,\,{\vec {s}}\right)\;\in \;W^{3}\;$ étant la « famille des $\;3\;$ formes linéaires de $\;W\;$ définie selon $\;\left(f:={\vec {a}}\,\cdot \,,\,g:={\vec {r}}\cdot \,,\,h:={\vec {s}}\cdot \right)\;$ » ^[43] telle que $\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;W$ , $\;\left\lbrace f({\vec {x}})={\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\,,\,g({\vec {x}})={\vec {r}}\cdot {\vec {x}}\,,\,h({\vec {x}})={\vec {s}}\cdot {\vec {x}}\right\rbrace$ , $\;{\big [}$ les formes linéaires de $\;W\;$ étant des éléments de $\;W^{*}\;$ ^[18] espace dual de $\;W$ , c.-à-d. des « covecteurs » ^[19] de $\;W^{*}\;$ ^[18] ${\big ]}\;$ , ses composantes dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle la « multiplication matricielle à droite de la matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;\times \;$ » ^[44] ;
« le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage correspondante $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$ , les composantes de la famille des $\;3\;$ covecteurs $\;\left({\vec {a}}\,\cdot \,,\,{\vec {r}}\,\cdot \,,\,{\vec {s}}\,\cdot \right)\in \;\left\lbrace W^{*}\right\rbrace ^{3}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ ont pour représentation opérationnelle la « multiplication matricielle à droite de la matrice $\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]\times$ $=\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\!\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \;$ » ^[34] dans cette base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace$ $\;{\Bigg \langle }$ les composantes des $\;3\;$ vecteurs dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {a}}\,:\,\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\{\vec {r}}\,:\,\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {r}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\\{\vec {s}}\,:\,\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {s}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right\rbrace {\Bigg \rangle }$ .
« Un tenseur d'ordre $\;2\;$ “ mixte ” ^[38]^, ^[39]^, ^[40] » étant une « forme bilinéaire du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ », c.-à-d. une « application linéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ de $\;W^{2}\;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ » $\;{\Big \{}$ l'image d'un élément $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;$ de $\;W^{2}\;$ par $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ est donc un scalaire ${\Big \}}\;$ ^[45], sa représentation opérationnelle $\;{\big (}$ matricielle ${\big )}$ , après choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W$ , doit contenir $\;3^{2}=9\;$ cœfficients avec, comme exigence finale, un scalaire pour $\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\;$ c.-à-d. une matrice de dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;\left(1\,,\,1\right)$ , ce qui nécessite
« $\succ \;$ une représentation matricielle de dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;\left(1\,,\,3\right)\;$ ${\big (}$ c.-à-d. une matrice ligne ${\big )}\;$ pour le 1^er vecteur $\;{\vec {x}}\;$ et
« $\succ \;$ une représentation matricielle de dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;\left(3\,,\,1\right)\;$ ${\big (}$ c.-à-d. une matrice colonne ${\big )}\;$ pour le 2^ème vecteur $\;{\vec {y}}\;$
soit la représentation opérationnelle $\;{\big (}$ matricielle ${\big )}\;$ de la forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ par « $\;\times \left[A\right]\times \;$ » dans laquelle $\;\left[A\right]\;\in \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ est une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;\left(3\,,\,3\right)\;$ et « $\;\times \;$ » la multiplication matricielle $\;{\Big \{}$ on vérifie que la forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)$ , tenseur d'ordre $\;2\;$ de représentation opérationnelle « une multiplication matricielle à gauche et à droite d'une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;3\;$ » est covariante à gauche et covariante à droite ^[46] ${\Big \}}$ ;
« $\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\;$ étant un scalaire, est invariant par changement de bases de $\;W\;$ et se calcule, en utilisant la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace$ , par évaluation du produit matriciel « $\;\left[x_{1}\;\;x_{2}\;\;x_{3}\right]\times \left[A\right]\times \left[{\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{array}}\right]\;$ » dans laquelle $\;\left[x_{1}\;\;x_{2}\;\;x_{3}\right]\;$ et $\;\left[{\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{array}}\right]\;$ sont la matrice ligne représentant $\;{\vec {x}}\;$ et la matrice colonne représentant $\;{\vec {y}}\;$ et $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;$ dans la même base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ ^[47]^, ^[48] ;
« le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ étant caractérisé par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$ , la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ est la « multiplication matricielle à droite et à gauche de la matrice $\;\left[A\right]\;$ exprimée dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ » soit

«

\;\times \;\left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]\times \;=\;\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\end{array}}\right]\times \;

» ^[47]^, ^[48]^, ^[49] avec

\;\left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;

^[42] ou encore

\;\left[{\begin{array}{c}{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\\{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\\{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\end{array}}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;

^[42] soit finalement
«

\;\times \;\left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!1}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!2}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\\\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!1}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!2}\right)\!&\left({\vec {b'}}_{\!3}\,\vert \,{\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]\times \;=\;\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;\times \;

^[42] ou encore

\;\times \;\left[{\begin{array}{c}{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!1}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!2}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\\{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!&\!{\vec {b'}}_{\!3}\cdot \varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\end{array}}\right]\times \;=\;\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace b'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{1}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\\{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{2}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\\{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{1}}})\!&\!{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{2}}})\!&\!{\vec {b_{3}}}\cdot \varphi ({\vec {b_{3}}})\end{array}}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;\times \;

» ^[42]^, ^[37]^, ^[50].

Tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux

Nous pourrions poursuivre la construction des tenseurs d'ordre $\;\geqslant \;$ à $\;3\;$ comme celle exposée pour les tenseurs d'ordre $\;\leqslant \;$ à $\;2\;$ mais la difficulté d'exposé grandissant simultanément à la diminution d'intérêts de tel tenseur dans le domaine de la physique, nous nous contenterons d'une définition de tels tenseurs après l'introduction de deux opérations sur les tenseurs :

la multiplication tensorielle ^[51] d'une part et
la contraction tensorielle ^[52] d'autre part,

leur introduction conduisant à une définition de tenseur nettement plus concise ^[53] $\;\ldots$

Notes et références

↑ Comme nous le voyons au paragraphe « divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres tenseurs d'ordre un que les vecteurs.
↑ Comme nous le voyons au paragraphe « divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres tenseurs d'ordre deux que les familles de vecteurs.
↑ Le terme « couche » pour un tableau parallélépipédique n'est pas codifié car la représentation en perspective d'un tel tableau parallélépipédique n'est guère utilisée, on préfère représenter chaque « couche » par une matrice de même dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ fixée, chacune à la suite des précédentes comme si on faisait des coupes successives du tableau parallélépipédique au niveau de chaque « couche » $\;\ldots$
↑ Comme cela est évoqué au paragraphe « tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux » plus loin dans ce chapitre il existe d'autres tenseurs d'ordre trois que les collections de familles de vecteurs.
↑ Soient deux tenseurs d'ordre $\;2\;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ construit sur $\;\mathbb {R} \;$ représentables, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace$ , par une matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}&x_{1,\,2}&x_{1,\,3}\\x_{2,\,1}&x_{2,\,2}&x_{2,\,3}\\x_{3,\,1}&x_{3,\,2}&x_{3,\,3}\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et par un autre matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}{x'}_{\!1,\,1}&{x'}_{\!1,\,2}&{x'}_{\!1,\,3}\\{x'}_{\!2,\,1}&{x'}_{\!2,\,2}&{x'}_{\!2,\,3}\\{x'}_{\!3,\,1}&{x'}_{\!3,\,2}&{x'}_{\!3,\,3}\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$ , la somme de ces deux tenseurs d'ordre $\;2\;$ peut être définie par la matrice carrée la représentant, à l'aide de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace$ , c.-à-d. $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}+{x'}_{\!1,\,1}&x_{1,\,2}+{x'}_{\!1,\,2}&x_{1,\,3}+{x'}_{\!1,\,3}\\x_{2,\,1}+{x'}_{\!2,\,1}&x_{2,\,2}+{x'}_{\!2,\,2}&x_{2,\,3}+{x'}_{\!2,\,3}\\x_{3,\,1}+{x'}_{\!3,\,1}&x_{3,\,2}+{x'}_{\!3,\,2}&x_{3,\,3}+{x'}_{\!3,\,3}\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$ ;
on prolonge de la même façon la définition de l'addition de deux tenseurs d'ordre $\;2\;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ construit sur $\;\mathbb {R} \;$ à celle de deux tenseurs d'ordre quelconque $\;p\;\in \;\mathbb {N} \;$ de cet espace physique $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ construit sur $\;\mathbb {R}$ .
↑ Soient un tenseur d'ordre $\;2\;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ construit sur $\;\mathbb {R} \;$ représentable, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace b_{1}\,,\,b_{2}\,,\,b_{3}\right\rbrace$ , par une matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1,\,1}&x_{1,\,2}&x_{1,\,3}\\x_{2,\,1}&x_{2,\,2}&x_{2,\,3}\\x_{3,\,1}&x_{3,\,2}&x_{3,\,3}\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et un scalaire $\;\lambda \;\in \;\mathbb {R}$ , le produit de ce tenseur d'ordre $\;2\;$ par ce scalaire peut être définie par la matrice carrée le représentant, à l'aide de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace$ , c.-à-d. $\;\left[{\begin{array}{c}\lambda \;x_{1,\,1}&\lambda \;x_{1,\,2}&\lambda \;x_{1,\,3}\\\lambda \;x_{2,\,1}&\lambda \;x_{2,\,2}&\lambda \;x_{2,\,3}\\\lambda \;x_{3,\,1}&\lambda \;x_{3,\,2}&\lambda \;x_{3,\,3}\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)$ ;
on prolonge de la même façon la définition de la multiplication d'un tenseur d'ordre $\;2\;$ de l'espace physique $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ construit sur $\;\mathbb {R} \;$ par un scalaire à celle d'un tenseur d'ordre quelconque $\;p\;\in \;\mathbb {N} \;$ de cet espace physique $\;{\mathcal {E}}_{3}\;$ construit sur $\;\mathbb {R}$ .
↑ Un parallélépipède est une expansion tridimensionnelle particulière de l'espace physique à trois dimensions,
   un hyperparallélépipède dans un espace affine euclidien à quatre dimensions est une expansion tétradimensionnelle particulière construite en suivant la même méthode que celle utilisée pour un parallélépipède,
   un hyperparallélépipède dans un espace affine euclidien à cinq dimensions est une expansion pentadimensionnelle particulière construite en suivant la même méthode que celle utilisée pour un parallélépipède,
   un hyperparallélépipède cette appellation restant valable pour tout espace affine euclidien de dimension $\;>3$ .
↑ C.-à-d. muni d'une multiplication scalaire de vecteurs, voir le paragraphe « produit scalaire de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^9,0 ^9,1 ^9,2 et ^9,3 C.-à-d. l'espace vectoriel associé à l'espace affine.
↑ Soit un vecteur $\;{\vec {x}}\;\in \;$ du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel euclidien $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de dimension $\;3\;$ et ses composantes selon la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ choisie dans $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ à savoir $\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ où « $\;\cdot \;$ est la multiplication scalaire définie sur $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ et
   Soit une autre base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ dans laquelle les composantes du vecteur $\;{\vec {x}}\;\in \;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ sont $\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ ,
   considérant la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace$ « $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&a_{1,\,2}&a_{1,\,3}\\a_{2,\,1}&a_{2,\,2}&a_{2,\,3}\\a_{3,\,1}&a_{3,\,2}&X_{3,\,3}\end{array}}\right]\;$ » telle que la j^ème matrice colonne est la décomposition de $\;{\vec {b'}}_{\!j}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ ce qui se traduit par « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {b'}}_{\!1}=\sum \limits _{i=1}^{3}a_{i,\,1}\;{\vec {b}}_{i}\\{\vec {b'}}_{\!2}=\sum \limits _{i=1}^{3}a_{i,\,2}\;{\vec {b}}_{i}\\{\vec {b'}}_{\!3}=\sum \limits _{i=1}^{3}a_{1,\,3}\;{\vec {b}}_{i}\end{array}}\right\rbrace \;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ » ou matriciellement selon $\;\left[{\vec {b'}}_{\!1}\;\;{\vec {b'}}_{\!2}\;\;{\vec {b'}}_{\!3}\right]=\left[{\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {b}}_{3}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {b}}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&a_{1,\,2}&a_{1,\,3}\\a_{2,\,1}&a_{2,\,2}&a_{2,\,3}\\a_{3,\,1}&a_{3,\,2}&a_{3,\,3}\end{array}}\right]$ $\;{\big [}$ voir, dans le chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les paragraphes « matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m » appliqué à $\;m=3\;$ et prolongé au cas d'un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel quelconque ainsi que « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » ${\big ]}$ , on en déduit
   par report des relations $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ dans les composantes de $\;{\vec {x}}\;$ dans $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ exprimées selon $\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\;\left({\mathfrak {b}}'\right)$ , « $\;\left({\vec {x}}\cdot \left\lbrace \sum \limits _{i=1}^{3}a_{i,\,1}\;{\vec {b}}_{i}\right\rbrace \,,\,{\vec {x}}\cdot \left\lbrace \sum \limits _{i=1}^{3}a_{i,\,2}\;{\vec {b}}_{i}\right\rbrace \,,\,{\vec {x}}\cdot \left\lbrace \sum \limits _{i=1}^{3}a_{i,\,3}\;{\vec {b}}_{i}\right\rbrace \right)=$ $\left(\sum \limits _{i=1}^{3}a_{i,\,1}\,\left\lbrace {\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{i}\right\rbrace \,,\,\sum \limits _{i=1}^{3}a_{i,\,2}\,\left\lbrace {\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{i}\right\rbrace \,,\,\sum \limits _{i=1}^{3}a_{i,\,3}\,\left\lbrace {\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{i}\right\rbrace \right)\;$ » par distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ ou, matriciellement
   par report des relations $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {b}}\right)}\;$ dans les composantes de $\;\color {transparent}{\vec {x}}\;$ dans $\;\color {transparent}{\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ exprimées selon $\;\left[{\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right]=\left[{\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&a_{1,\,2}&a_{1,\,3}\\a_{2,\,1}&a_{2,\,2}&a_{2,\,3}\\a_{3,\,1}&a_{3,\,2}&a_{3,\,3}\end{array}}\right]\;$ ou encore $\;\left[{\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right]=\left[{\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ prouvant que le triplet de composantes d'un vecteur écrites sous forme de produits scalaires avec la base utilisée est une grandeur covariante $\;{\big \{}$ on parle de « composantes covariantes du vecteur », « le triplet étant représenté par une matrice ligne » ${\big \}}$ .
↑ ^11,0 et ^11,1 Soit le triplet de scalaires réels $\;\left(x_{1}\,,\,x_{2}\,,\,x_{3}\right)\;$ défini comme composantes d'un vecteur $\;{\vec {x}}\;\in \;$ au $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ de dimension $\;3$ , composantes selon la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ choisie dans $\;\left({\mathcal {V}}\right)$ , c.-à-d. telles que « $\;{\vec {x}}=\sum \limits _{i=1}^{3}x_{i}\;{\vec {b}}_{i}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ » et
                   Soit une autre base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ selon laquelle le vecteur $\;{\vec {x}}\;\in \;\left({\mathcal {V}}\right)\;$ a pour composantes le triplet de scalaires réels $\;\left({x'}_{\!1}\,,\,{x'}_{\!2}\,,\,{x'}_{\!3}\right)\;$ telles que « $\;{\vec {x}}=$ $\sum \limits _{i=1}^{3}{x'}_{\!i}\;{\vec {b'}}_{\!i}\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ »,
   considérant la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace$ « $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&a_{1,\,2}&a_{1,\,3}\\a_{2,\,1}&a_{2,\,2}&a_{2,\,3}\\a_{3,\,1}&a_{3,\,2}&a_{3,\,3}\end{array}}\right]\;$ » telle que la j^ème matrice colonne est la décomposition de $\;{\vec {b'}}_{\!j}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ ce qui se traduit par « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {b'}}_{\!1}=\sum \limits _{i=1}^{3}a_{i,\,1}\;{\vec {b}}_{i}\\{\vec {b'}}_{\!2}=\sum \limits _{i=1}^{3}a_{i,\,2}\;{\vec {b}}_{i}\\{\vec {b'}}_{\!3}=\sum \limits _{i=1}^{3}a_{1,\,3}\;{\vec {b}}_{i}\end{array}}\right\rbrace \;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ » ou matriciellement selon $\;\left[{\vec {b'}}_{\!1}\;\;{\vec {b'}}_{\!2}\;\;{\vec {b'}}_{\!3}\right]=\left[{\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {b}}_{3}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {b}}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&a_{1,\,2}&a_{1,\,3}\\a_{2,\,1}&a_{2,\,2}&a_{2,\,3}\\a_{3,\,1}&a_{3,\,2}&a_{3,\,3}\end{array}}\right]$ $\;{\big [}$ voir, dans le chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les paragraphes « matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m » appliqué à $\;m=3\;$ et prolongé au cas d'un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel quelconque ainsi que « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » ${\big ]}$ , on en déduit
   par report des relations $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ dans la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)$ , « $\;{\vec {x}}=\sum \limits _{i=1}^{3}{x'}_{\!i}\,\left(\sum \limits _{j=1}^{3}a_{j,\,i}\;{\vec {b}}_{j}\right)=\sum \limits _{j=1}^{3}\left(\sum \limits _{i=1}^{3}a_{j,\,i}\;{x'}_{\!i}\right)\,{\vec {b}}_{j}\;$ » par distributivité de la multiplication par un scalaire relativement à une addition vectorielle et par factorisation par un vecteur dans cette addition vectorielle ou, en permutant le nom des indices « $\;{\vec {x}}=\sum \limits _{i=1}^{3}\left(\sum \limits _{j=1}^{3}a_{i,\,j}\;{x'}_{\!j}\right)\,{\vec {b}}_{i}\;$ » soit, en identifiant à $\;{\vec {x}}=\sum \limits _{i=1}^{3}x_{i}\;{\vec {b}}_{i}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;x_{i}=$ $\sum \limits _{j=1}^{3}a_{i,\,j}\;{x'}_{\!j},\;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$ $\Leftrightarrow$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x_{1}=\sum \limits _{i=1}^{3}a_{1,\,j}\;{x'}_{\!j}\\x_{2}=\sum \limits _{i=1}^{3}a_{2,\,j}\;{x'}_{\!j}\\x_{3}=\sum \limits _{i=1}^{3}a_{3,\,j}\;{x'}_{\!j}\end{array}}\right\rbrace \;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ » ou matriciellement selon $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&a_{1,\,2}&a_{1,\,3}\\a_{2,\,1}&a_{2,\,2}&a_{2,\,3}\\a_{3,\,1}&a_{3,\,2}&a_{3,\,3}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{\!1}\\{x'}_{\!2}\\{x'}_{\!3}\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\times \left[{\begin{array}{c}{x'}_{\!1}\\{x'}_{\!2}\\{x'}_{\!3}\end{array}}\right]$ ;
   dans la mesure où tout changement de bases peut être inverser, la matrice de passage de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ à la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace$ « $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ » est inversible, son inverse est notée « $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ » et les composantes du vecteur $\;{\vec {x}}\;$ sont modifiées selon $\;\left[{\begin{array}{c}{x'}_{\!1}\\{x'}_{\!2}\\{x'}_{\!3}\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$ prouvant que le triplet de composantes d'un vecteur est une grandeur contravariante $\;{\big \{}$ on parle de « composantes contravariantes du vecteur », « le triplet étant représenté par une matrice colonne » ${\big \}}$ .
↑ Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;W$ $\;{\big (}$ la direction d'un espace affine est l'espace vectoriel associé à l'espace affine ${\big )}$ $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$
    Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;\color {transparent}{W}$ étant un scalaire et
    Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;\color {transparent}{W}$ étant invariant par changement de bases de $\;W$ $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace (remarque) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ ,
    Le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;\color {transparent}{W}$ nous vérifions bien le caractère inchangé $\;{\big (}$ on dit invariant ${\big )}\;$ d'un tenseur d'ordre $\;0$ .
↑ Ou s'il est défini comme le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel $\;W$ $\;{\big (}$ la direction d'un espace affine est l'espace vectoriel associé à l'espace affine ${\big )}$ $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ , le scalaire obtenu ne dépend pas d'un éventuel changement de bases de $\;W$ $\;{\big [}$ voir la note « ¹² » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ Mais tout tenseur d'ordre $\;1\;$ n'est pas un vecteur de l'espace vectoriel tridimensionnel c.-à-d. de la direction de l'espace affine physique.
↑ ^15,0 ^15,1 ^15,2 ^15,3 et ^15,4 Pour définir les composantes contravariantes d'un vecteur il n'est pas utile que l'espace vectoriel de définition soit euclidien par contre
pour définir les composantes covariantes du même vecteur, son espace vectoriel de définition doit être euclidien.
↑ ^16,00 ^16,01 ^16,02 ^16,03 ^16,04 ^16,05 ^16,06 ^16,07 ^16,08 ^16,09 ^16,10 ^16,11 ^16,12 ^16,13 et ^16,14 Une grandeur est dite covariante lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et contravariante quand elle varie de façon contraire.
↑ ^17,00 ^17,01 ^17,02 ^17,03 ^17,04 ^17,05 ^17,06 ^17,07 ^17,08 et ^17,09 C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont contravariantes.
↑ ^18,00 ^18,01 ^18,02 ^18,03 ^18,04 ^18,05 ^18,06 ^18,07 ^18,08 ^18,09 et ^18,10 Le dual de $\;W\;$ étant l'ensemble des formes linéaires de $\;W\;$ est encore noté $\;L(W,\,\mathbb {R} )\;$ ou $\;L_{\mathbb {R} }(W,\,\mathbb {R} )\;$ ou encore $\;\mathrm {End} _{\mathbb {R} }(W,\,\mathbb {R} )\;$ mais le plus souvent on se contente de $\;W^{*}$ .
↑ ^19,0 ^19,1 et ^19,2 La justification de cette appellation venant du fait que ses composantes dans une base de $\;W\;$ sont « covariantes ».
↑ Le caractère covariant des composantes du vecteur $\;{\vec {x}}\;\in \;W$ $\;{\big (}$ direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel ${\big )}\;$ écrites sous forme de produits scalaires ayant été établi dans la note « ¹⁰ » plus haut dans ce chapitre, nous allons l'expliciter en terme de vecteur de $\;W^{*}$ $\;{\big (}W^{*}\;$ étant le dual de $\;W{\big )}\;$ ${\big \{}$ encore appelé covecteur de $\;W^{*}$ ${\big (}$ ou de forme linéaire sur $\;W{\big )}{\big \}}$ ;
   soit $\;{\vec {a}}\;$ un vecteur de $\;W\;$ se décomposant dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ selon $\;{\vec {a}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{i}\right)b_{i}\;$ et
   soit le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ défini par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\alpha _{1,\,2}&\alpha _{1,\,3}\\\alpha _{2,\,1}&\alpha _{2,\,2}&\alpha _{2,\,3}\\\alpha _{3,\,1}&\alpha _{3,\,2}&\alpha _{3,\,3}\end{array}}\right]\;$ ${\Big (}$ obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de décomposition des vecteurs de $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \!{\Big )}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[{\vec {b'}}_{\!1}\;\;{\vec {b'}}_{\!2}\;\;{\vec {b'}}_{\!3}\right]=\left[{\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {b}}_{3}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {b}}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\alpha _{1,\,2}&\alpha _{1,\,3}\\\alpha _{2,\,1}&\alpha _{2,\,2}&\alpha _{2,\,3}\\\alpha _{3,\,1}&\alpha _{3,\,2}&\alpha _{3,\,3}\end{array}}\right]$ , on en a déduit,
   le vecteur $\;{\vec {a}}\;$ se décomposant dans la nouvelle base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ selon $\;{\vec {a}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!i}\right){\vec {b'}}_{\!i}$ , l'influence du changement de bases de $\;W\;$ sur les somposantes de $\;{\vec {a}}\;$ écrites en terme de produit scalaire $\;\left[{\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right]=\left[{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\alpha _{1,\,2}&\alpha _{1,\,3}\\\alpha _{2,\,1}&\alpha _{2,\,2}&\alpha _{2,\,3}\\\alpha _{3,\,1}&\alpha _{3,\,2}&\alpha _{3,\,3}\end{array}}\right]=\left[{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }$ , d'où une 1^ère justification du qualificatif « covariantes » données aux composantes du vecteur $\;{\vec {a}}\;$ exprimées sous forme de produit scalaire avec les vecteurs de base de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ ou $\;\left\lbrace B'\right\rbrace$ ;
   considérant la forme linéaire de $\;W\;$ associée à $\;{\vec {a}}\;\in \;W\;$ « $\;f:={\vec {a}}\cdot \;$ telle que $\;\forall \;{\vec {x}}\;\in \;W$ , $\;f({\vec {x}})={\vec {a}}\cdot {\vec {x}}\;$ » $\;{\big [}f\;\in \;W^{*}\;$ est encore appelé « covecteur de $\;W^{*}\;$ » ${\big ]}$ , l'image de $\;{\vec {x}}\;$ par $\;f\;$ s'écrivant encore, dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace$ , « $\;f({\vec {x}})={\vec {a}}\cdot \sum \limits _{k=1}^{3}x_{k}\;{\vec {b}}_{k}=\sum \limits _{k=1}^{3}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{k}\;x_{k}\;$ » par distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ ou, sous forme matricielle « $\;f({\vec {x}})=\left[{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right]\times \left[X\right]\;$ » où $\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$ est la matrice colonne des composantes de ${\vec {x}}\;$ sur cette base, on déduit,
   considérant la forme linéaire de $\;\color {transparent}{W}\;$ associée à $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\;\in \;W}\;$ « $\;\color {transparent}{f:={\vec {a}}\cdot }\;$ du caractère invariant par changement de bases du scalaire $\;f(x)\;$ et
   considérant la forme linéaire de $\;\color {transparent}{W}\;$ associée à $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\;\in \;W}\;$ « $\;\color {transparent}{f:={\vec {a}}\cdot }\;$ de celui contravariant des composantes de $\;{\vec {x}}\;$ représentées par la matrice colonne $\;\left[X\right]\;$
   considérant la forme linéaire de $\;\color {transparent}{W}\;$ associée à $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\;\in \;W}\;$ « $\;\color {transparent}{f:={\vec {a}}\cdot }\;$ de celui ${\big (}$ caractère contravariant établi dans la note « ¹¹ » plus haut dans ce chapitre ${\big )}$ ,
   considérant la forme linéaire de $\;\color {transparent}{W}\;$ associée à $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\;\in \;W}\;$ « $\;\color {transparent}{f:={\vec {a}}\cdot }\;$ le caractère covariant des composantes de $\;{\vec {a}}\;$ exprimées sous forme de produit scalaire avec les vecteurs de base et
   considérant la forme linéaire de $\;\color {transparent}{W}\;$ associée à $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\;\in \;W}\;$ « $\;\color {transparent}{f:={\vec {a}}\cdot }\;$ le caractère covariant représentées par la matrice ligne $\;\left[{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right]$
   considérant la forme linéaire de $\;\color {transparent}{W}\;$ associée à $\;\color {transparent}{{\vec {a}}\;\in \;W}\;$ « $\;\color {transparent}{f:={\vec {a}}\cdot }\;$ ${\big \{}$ ceci constituant la 2^ème justification du qualificatif « covariantes » données à ces composantes ${\big \}}$ .
↑ ^21,00 ^21,01 ^21,02 ^21,03 ^21,04 ^21,05 ^21,06 ^21,07 ^21,08 et ^21,09 C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont covariantes.
↑ ^22,0 ^22,1 et ^22,2 Voir le paragraphe « matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m » appliqué à $\;m=3\;$ et prolongé au cas d'un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ ^23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 et ^23,5 Pour simplifier l'écriture on dira que « le covecteur associé au vecteur $\;a\;\in \;W\;$ » est représenté, « dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ par la matrice ligne $\;\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\;$ au lieu de $\;\left[{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right]\;$ », idem pour la représentation dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;\ldots$
↑ ^24,0 et ^24,1 Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée (1^ère propriété, associativité) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », propriété prolongée à tous les cas où la multiplication matricielle est possible.
↑ $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ étant la matrice inverse de $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\,$ on a $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}=\left[I_{3}\right]\\\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[I_{3}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ où $\;\left[I_{3}\right]\;$ est la matrice identité de $\;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ laquelle est l'élément neutre de la multiplication matricielle quand celle-ci est possible $\;{\big \{}$ voir le « particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée (4^ème propriété, élément neutre) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », propriété prolongée à tous les cas où la multiplication matricielle est possible ${\big \}}$ .
↑ Ce Qu'il Fallait Vérifier.
↑ Voir le paragraphe « définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro (propriété) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Autre justification.
↑ Mais tout tenseur d'ordre $\;2\;$ n'est pas une famille de $\;3\;$ vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel c.-à-d. de la direction de l'espace affine physique.
↑ ^32,0 et ^32,1 Le caractère contravariant des composantes d'un vecteur $\;{\vec {x}}\;\in \;W$ $\;{\big (}$ direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel ${\big )}\;$ ayant été établi dans la note « ¹¹ » plus haut dans ce chapitre, nous rappelons ci-dessous, les principaux résultats :
   soit $\;{\vec {x}}\;$ un vecteur quelconque de $\;W\;$ se décomposant dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ selon $\;{\vec {x}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}x_{i}\;b_{i}\;$ représenté matriciellement par la matrice colonne $\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;$ et
    soit le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ défini par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\alpha _{1,\,2}&\alpha _{1,\,3}\\\alpha _{2,\,1}&\alpha _{2,\,2}&\alpha _{2,\,3}\\\alpha _{3,\,1}&\alpha _{3,\,2}&\alpha _{3,\,3}\end{array}}\right]\;$ ${\Big (}$ obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de décomposition des vecteurs de $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \!{\Big )}\;$ $\Leftrightarrow$ « $\;\left[{\vec {b'}}_{\!1}\;\;{\vec {b'}}_{\!2}\;\;{\vec {b'}}_{\!3}\right]=\left[{\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {b}}_{3}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {b}}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\alpha _{1,\,2}&\alpha _{1,\,3}\\\alpha _{2,\,1}&\alpha _{2,\,2}&\alpha _{2,\,3}\\\alpha _{3,\,1}&\alpha _{3,\,2}&\alpha _{3,\,3}\end{array}}\right]\;$ », on en a déduit,
   la représentation matricielle du vecteur $\;{\vec {x}}\;$ dans la nouvelle base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ par la matrice colonne $\;\left[X'\right]=\left[{\begin{array}{c}{x'}_{\!1}\\{x'}_{\!2}\\{x'}_{\!3}\end{array}}\right]\;$ dans laquelle le triplet $\;\left\lbrace {x'}_{\!1}\,,\,{x'}_{\!2}\,,\,{x'}_{\!3}\right\rbrace \;$ sont les composantes de $\;{\vec {x}}\;$ sur $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ c.-à-d. telles que $\;{\vec {x}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}{x'}_{\!i}\;{\vec {b'}}_{\!i}\;$ soit « $\;\left[X'\right]=\left[{\begin{array}{c}{x'}_{\!1}\\{x'}_{\!2}\\{x'}_{\!3}\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[X\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ », $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ étant la matrice inverse de $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }$ , la relation $\;({\mathfrak {1}})\;$ établissant le caractère contravariant des composantes de $\;x$ ;
   considérant maintenant une famille de $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;\in \;W^{3}$ , de composantes sur la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {x}}\,:\,\left(x_{1}\,,\,x_{2}\,,\,x_{3}\right)\\{\vec {v}}\,:\,\left(v_{1}\,,\,v_{2}\,,\,v_{3}\right)\\{\vec {w}}\,:\,\left(w_{1}\,,\,w_{2}\,,\,w_{3}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ et représentées matriciellement par les matrices colonnes $\;\left\lbrace {\vec {x}}\,:\,\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}}\right]\;;\;{\vec {v}}\,:\,\left[V\right]=\left[{\begin{array}{c}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{array}}\right]\;;\;{\vec {w}}\,:\,\left[W\right]=\left[{\begin{array}{c}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{array}}\right]\right\rbrace \;$ et
   considérant le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ précédemment défini par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\alpha _{1,\,2}&\alpha _{1,\,3}\\\alpha _{2,\,1}&\alpha _{2,\,2}&\alpha _{2,\,3}\\\alpha _{3,\,1}&\alpha _{3,\,2}&\alpha _{3,\,3}\end{array}}\right]\!$ , nous en déduisons
   les composantes des trois vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;$ dans la nouvelle base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ à savoir $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {x}}\,:\,\left({x'}_{\!1}\,,\,{x'}_{\!2}\,,\,{x'}_{\!3}\right)\\{\vec {v}}\,:\,\left({v'}_{\!1}\,,\,{v'}_{\!2}\,,\,{v'}_{\!3}\right)\\{\vec {w}}\,:\,\left({w'}_{\!1}\,,\,{w'}_{\!2}\,,\,{w'}_{\!3}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ respectivement représentées matriciellement par les matrices colonnes suivantes $\;\left\lbrace {\vec {x}}\,:\,\left[X'\right]=\left[{\begin{array}{c}{x'}_{\!1}\\{x'}_{\!2}\\{x'}_{\!3}\end{array}}\right]\;;\;{\vec {v}}\,:\,\left[V'\right]=\left[{\begin{array}{c}{v'}_{\!1}\\{v'}_{\!2}\\{v'}_{\!3}\end{array}}\right]\;;\;{\vec {w}}\,:\,\left[W'\right]=\left[{\begin{array}{c}{w'}_{\!1}\\{w'}_{\!2}\\{w'}_{\!3}\end{array}}\right]\right\rbrace$ , liées aux matrices colonnes de $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;$ dans $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[X'\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[X\right]\\\left[V'\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[V\right]\\\left[W'\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[W\right]\end{array}}\right\rbrace$ , $\;{\Big \{}\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\;$
étant la matrice inverse de $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }{\Big \}}\;$ et
   la représentation matricielle de la famille des $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ ou $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ étant une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;3\;$ obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de chaque vecteur selon $\;\left[{\mathcal {F}}_{\left\lbrace B\right\rbrace }\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1}&v_{1}&w_{1}\\x_{2}&v_{2}&w_{2}\\x_{3}&v_{3}&w_{3}\end{array}}\right]\;$ dans $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ ou $\;\left[{\mathcal {F}}_{\left\lbrace B'\right\rbrace }\right]=\left[{\begin{array}{c}{x'}_{\!1}&{v'}_{\!1}&{w'}_{\!1}\\{x'}_{\!2}&{v'}_{\!2}&{w'}_{\!2}\\{x'}_{\!3}&{v'}_{\!3}&{w'}_{\!3}\end{array}}\right]\;$ dans $\;\left\lbrace B'\right\rbrace$ , nous en déduisons
   le lien entre ces dernières lors du changement de bases, compte-tenu de la définition de la multiplication matricielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}\;$ « $\;\left[{\mathcal {F}}_{\left\lbrace B'\right\rbrace }\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\mathcal {F}}_{\left\lbrace B\right\rbrace }\right]\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ » $\;{\bigg \{}$ la j^ème colonne de $\;\left[{\mathcal {F}}_{\left\lbrace B'\right\rbrace }\right]\;$ résultant de la multiplication matricielle à gauche par $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ de la j^ème colonne de $\;\left[{\mathcal {F}}_{\left\lbrace B\right\rbrace }\right]\!{\bigg \}}$ , la relation $\;({\mathfrak {2}})\;$ établissant le caractère contravariant des composantes de la famille des $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {v}}\,,\,{\vec {w}}\right)$ .
↑ Mais tout tenseur d'ordre $\;2\;$ n'est pas une famille de $\;3\;$ formes linéaires de l'espace vectoriel dual de la direction de l'espace affine physique.
↑ ^34,0 et ^34,1 Le caractère covariant des composantes d'un vecteur $\;{\vec {a}}\;\in \;W$ $\;{\big (}$ direction de l'espace affine euclidien tridimensionnel ${\big )}\;$ écrites sous forme de produits scalaires ayant été établi dans la note « ¹⁰ » plus haut dans ce chapitre, on sait, en considérant la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ que les composantes de $\;{\vec {a}}\;$ écrites selon $\;\left\lbrace {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ sont covariantes et on en a déduit
   le caractère covariant de la forme linéaire $\;{\big (}$ ou covecteur ${\big )}\;$ “ $\;f:={\vec {a}}\;\cdot \;$ ” $\;\in \;W^{*}$ $\;{\big (}$ dual de $\;W{\big )}\;$ dans le paragraphe « lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant (propriété) » plus haut dans ce chapitre,
   soit, en considérant sa représentation opérationnelle dans cette base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ c.-à-d. la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne $\;\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;$ » ainsi que
   soit, en considérant le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ défini par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\alpha _{1,\,2}&\alpha _{1,\,3}\\\alpha _{2,\,1}&\alpha _{2,\,2}&\alpha _{2,\,3}\\\alpha _{3,\,1}&\alpha _{3,\,2}&\alpha _{3,\,3}\end{array}}\right]\;$ ${\Big (}$ obtenue en juxtaposant les matrices colonnes de décomposition des vecteurs de $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \!{\Big )}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[{\vec {b'}}_{\!1}\;\;{\vec {b'}}_{\!2}\;\;{\vec {b'}}_{\!3}\right]=\left[{\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {b}}_{3}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }$ , on en a déduit, dans le paragraphe « lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant (propriété) » plus haut dans ce chapitre,
   soit, la représentation opérationnelle dans cette base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ de la forme linéaire $\;{\big (}$ ou covecteur ${\big )}\;$ “ $\;f:={\vec {a}}\;\cdot \;$ ” $\;\in \;W^{*}\;$ en fonction de celle dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace$ , la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne $\;\left[{a'}_{\!1}\;\;{a'}_{\!2}\;\;{a'}_{\!3}\right]\times =\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \;:\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ » $\;{\big [}$ voir la note « ²³ pour la simplification d'écriture des composantes covariantes d'un vecteur » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ , la relation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ traduisant le caractère covariant du triplet de formes linéaires $\;\left\lbrace a_{1}\;({\vec {b}}_{1}\;\cdot )\;,\;a_{2}\;({\vec {b}}_{2}\;\cdot )\;,\;a_{3}\;({\vec {b}}_{3}\;\cdot )\right\rbrace \;$ appelé, par abus, « composantes $\;{\big (}$ covariantes ${\big )}\;$ du covecteur $\;({\vec {a}}\;\cdot )\;\in \;W^{*}\;$ » ;
   considérant une famille de $\;3\;$ covecteurs $\;\left\lbrace ({\vec {a}}\;\cdot )\,,\,({\vec {r}}\;\cdot )\,,\,({\vec {s}}\;\cdot )\right\rbrace \;\in \;\left(W^{*}\right)^{3}$ , de « composantes $\;{\big (}$ covariantes ${\big )}\;$ » sur la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {a}}\,\cdot \,:\,\left(a_{1}\,{\vec {b_{1}}}\,\cdot \;,\;a_{2}\,{\vec {b_{2}}}\,\cdot \;,\;a_{3}\,{\vec {b_{3}}}\,\cdot \right)\\{\vec {r}}\,\cdot \,:\,\left(r_{1}\,{\vec {b_{1}}}\,\cdot \;,\;r_{2}\,{\vec {b_{2}}}\,\cdot \;,\;r_{3}\,{\vec {b_{3}}}\,\cdot \right)\\{\vec {s}}\,\cdot \,:\,\left(s_{1}\,{\vec {b_{1}}}\,\cdot \;,\;s_{2}\,{\vec {b_{2}}}\,\cdot \;,\;s_{3}\,{\vec {b_{3}}}\,\cdot \right)\end{array}}\right\rbrace$ ,
   considérant une famille de $\;\color {transparent}{3}\;$ covecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace ({\vec {a}}\;\cdot )\,,\,({\vec {r}}\;\cdot )\,,\,({\vec {s}}\;\cdot )\right\rbrace \;\in \;\left(W^{*}\right)^{3}}$ , de « composantes $\;\color {transparent}{\big (}$ covariantes $\color {transparent}{\big )}\;$ » représentées opérationnellement par la « multiplication matricielle à droite des
   considérant une famille de $\;\color {transparent}{3}\;$ covecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace ({\vec {a}}\;\cdot )\,,\,({\vec {r}}\;\cdot )\,,\,({\vec {s}}\;\cdot )\right\rbrace \;\in \;\left(W^{*}\right)^{3}}$ , de « composantes $\;\color {transparent}{\big (}$ covariantes $\color {transparent}{\big )}\;$ » matrices lignes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {a}}\,\cdot \,:\,\left(\left[A\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\;\times \right)\\{\vec {r}}\,\cdot \,:\,\left(\left[R\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[r_{1}\;\;r_{2}\;\;r_{3}\right]\;\times \right)\\{\vec {s}}\,\cdot \,:\,\left(\left[S\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[s_{1}\;\;s_{2}\;\;s_{3}\right]\;\times \right)\end{array}}\right\rbrace \;$ » et
   considérant une famille de $\;\color {transparent}{3}\;$ covecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace ({\vec {a}}\;\cdot )\,,\,({\vec {r}}\;\cdot )\,,\,({\vec {s}}\;\cdot )\right\rbrace \;\in \;\left(W^{*}\right)^{3}}$ , de « composantes $\;{\big (}$ covariantes ${\big )}\;$ » sur la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace$ $\left\lbrace \!\!{\begin{array}{c}{\vec {a}}\,\cdot \,:\,\left({a'}_{\!1}\,{\vec {b'}}_{\!1}\,\cdot \;,\;{a'}_{\!2}\,{\vec {b'}}_{\!2}\,\cdot \;,\;{a'}_{\!3}\,{\vec {b'}}_{\!3}\,\cdot \right)\\{\vec {r}}\,\cdot \,:\,\left({r'}_{\!1}\,{\vec {b'}}_{\!1}\,\cdot \;,\;{r'}_{\!2}\,{\vec {b'}}_{\!2}\,\cdot \;,\;{r'}_{\!3}\,{\vec {b'}}_{\!3}\,\cdot \right)\\{\vec {s}}\,\cdot \,:\,\left({s'}_{\!1}\,{\vec {b'}}_{\!1}\,\cdot \;,\;{s'}_{\!2}\,{\vec {b'}}_{\!2}\,\cdot \;,\;{s'}_{\!3}\,{\vec {b'}}_{\!3}\,\cdot \right)\end{array}}\!\!\right\rbrace$ ,
   considérant une famille de $\;\color {transparent}{3}\;$ covecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace ({\vec {a}}\;\cdot )\,,\,({\vec {r}}\;\cdot )\,,\,({\vec {s}}\;\cdot )\right\rbrace \;\in \;\left(W^{*}\right)^{3}}$ , de « composantes $\;\color {transparent}{\big (}$ covariantes $\color {transparent}{\big )}\;$ » représentées opérationnellement par la « multiplication matricielle à droite des
   considérant une famille de $\;\color {transparent}{3}\;$ covecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace ({\vec {a}}\;\cdot )\,,\,({\vec {r}}\;\cdot )\,,\,({\vec {s}}\;\cdot )\right\rbrace \;\in \;\left(W^{*}\right)^{3}}$ , de « composantes $\;\color {transparent}{\big (}$ covariantes $\color {transparent}{\big )}\;$ » matrices lignes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {a}}\,\cdot \,:\,\left(\left[A'\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[{a'}_{\!1}\;\;{a'}_{\!2}\;\;{a'}_{\!3}\right]\;\times \right)\\{\vec {r}}\,\cdot \,:\,\left(\left[R'\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[{r'}_{\!1}\;\;{r'}_{\!2}\;\;{r'}_{\!3}\right]\;\times \right)\\{\vec {s}}\,\cdot \,:\,\left(\left[S'\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[{s'}_{\!1}\;\;{s'}_{\!2}\;\;{s'}_{\!3}\right]\;\times \right)\end{array}}\right\rbrace \;$ » avec
   considérant le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ précédemment défini par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\alpha _{1,\,2}&\alpha _{1,\,3}\\\alpha _{2,\,1}&\alpha _{2,\,2}&\alpha _{2,\,3}\\\alpha _{3,\,1}&\alpha _{3,\,2}&\alpha _{3,\,3}\end{array}}\right]\!$ , nous déduisons
   les « composantes $\;{\big (}$ covariantes ${\big )}\;$ » sur $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ des trois covecteurs $\;\left\lbrace ({\vec {a}}\;\cdot )\,,\,({\vec {r}}\;\cdot )\,,\,({\vec {s}}\;\cdot )\right\rbrace \;$ en fonction de celles sur $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ selon leur représentation opérationnelle correspondant à une « multiplication matricielle à droite des matrices lignes $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {a}}\,\cdot \,:\,\left(\left[A'\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[{a'}_{\!1}\;\;{a'}_{\!2}\;\;{a'}_{\!3}\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right]\;\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;\times \right)\;=\;\left(\left[A\right]\;\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;\times \right)\\{\vec {r}}\,\cdot \,:\,\left(\left[R'\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[{r'}_{\!1}\;\;{r'}_{\!2}\;\;{r'}_{\!3}\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[r_{1}\;\;r_{2}\;\;r_{3}\right]\;\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;\times \right)\;=\;\left(\left[R\right]\;\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;\times \right)\\{\vec {s}}\,\cdot \,:\,\left(\left[S'\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[{s'}_{\!1}\;\;{s'}_{\!2}\;\;{s'}_{\!3}\right]\;\times \right)\;=\;\left(\left[s_{1}\;\;s_{2}\;\;s_{3}\right]\;\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;\times \right)\;=\;\left(\left[S\right]\;\times \;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;\times \right)\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\Rightarrow$
   la représentation opérationnelle de la famille des $\;3\;$ covecteurs $\;\left\lbrace ({\vec {a}}\;\cdot )\,,\,({\vec {r}}\;\cdot )\,,\,({\vec {s}}\;\cdot )\right\rbrace \;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ étant la multiplication matricielle à droite d'une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;3\;$ obtenue en empilant les matrices lignes associées à chaque covecteur selon $\;\left[{\mathcal {G}}_{\left\lbrace B\right\rbrace }\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\r_{1}&r_{2}&r_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\end{array}}\right]\;$ et
   a représentation opérationnelle de la famille des $\;\color {transparent}{3}\;$ covecteurs $\;\color {transparent}{\left\lbrace ({\vec {a}}\;\cdot )\,,\,({\vec {r}}\;\cdot )\,,\,({\vec {s}}\;\cdot )\right\rbrace }\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ étant la multiplication matricielle à droite d'une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;3\;$ obtenue en empilant les matrices lignes associées à chaque covecteur selon $\;\left[{\mathcal {G}}_{\left\lbrace B'\right\rbrace }\right]=\left[{\begin{array}{c}{a'}_{\!1}&{a'}_{\!2}&{a'}_{\!3}\\{r'}_{\!1}&{r'}_{\!2}&{r'}_{\!3}\\{s'}_{\!1}&{s'}_{\!2}&{s'}_{\!3}\end{array}}\right]$ , nous en déduisons
   le lien entre ces dernières lors du changement de bases, compte-tenu de la définition de la multiplication matricielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}\;$ « $\;\left[{\mathcal {G}}_{\left\lbrace B'\right\rbrace }\right]=\left[{\mathcal {G}}_{\left\lbrace B\right\rbrace }\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ » $\;{\bigg \{}$ la i^ème ligne de $\;\left[{\mathcal {G}}_{\left\lbrace B'\right\rbrace }\right]\;$ résultant de la multiplication matricielle à droite par $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ de la i^ème ligne de $\;\left[{\mathcal {G}}_{\left\lbrace B\right\rbrace }\right]\!{\bigg \}}\;$ soit finalement,
   le lien entre ces dernières lors du changement de bases, en représentation opérationnelle, « $\;\left(\left[{\mathcal {G}}_{\left\lbrace B'\right\rbrace }\right]\;\times \right)=\left(\left[{\mathcal {G}}_{\left\lbrace B\right\rbrace }\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }\;\times \right)\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ », la relation $\;({\mathfrak {2}})\;$ établissant le caractère covariant des « composantes $\;{\big (}$ covariantes ${\big )}\;$ » de la famille des $\;3\;$ covecteurs $\;\left\lbrace ({\vec {a}}\;\cdot )\,,\,({\vec {r}}\;\cdot )\,,\,({\vec {s}}\;\cdot )\right\rbrace$ .
↑
C.-à-d. telle que « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(\alpha _{1}\;{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}\;{\vec {x}}_{2}\,\vert \,{\vec {y}}\right)=\alpha _{1}\;\left({\vec {x}}_{1}\,\vert \,{\vec {y}}\right)+\alpha _{2}\;\left({\vec {x}}_{2}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\\\left({\vec {x}}\,\vert \,\beta _{1}\;{\vec {y}}_{1}+\beta _{2}\;{\vec {y}}_{2}\right)=\beta _{1}\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}_{1}\right)+\beta _{2}\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}_{2}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(\alpha _{1}\;{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}\;{\vec {x}}_{2}\,\vert \,{\vec {y}}\right)=\alpha _{1}\;\left({\vec {x}}_{1}\,\vert \,{\vec {y}}\right)+\alpha _{2}\;\left({\vec {x}}_{2}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\\\left({\vec {x}}\,\vert \,\beta _{1}\;{\vec {y}}_{1}+\beta _{2}\;{\vec {y}}_{2}\right)=\beta _{1}\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}_{1}\right)+\beta _{2}\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}_{2}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ » ce qui aurait pour conséquence
- « $\;\left(\alpha _{1}\;{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}\;{\vec {x}}_{2}\,\vert \,\beta _{1}\;{\vec {y}}_{1}+\beta _{2}\;{\vec {y}}_{2}\right)=\alpha _{1}\;\left({\vec {x}}_{1}\,\vert \,\beta _{1}\;{\vec {y}}_{1}+\beta _{2}\;{\vec {y}}_{2}\right)+\alpha _{2}\;\left({\vec {x}}_{2}\,\vert \,\beta _{1}\;{\vec {y}}_{1}+\beta _{2}\;{\vec {y}}_{2}\right)\;$ » en développant par rapport à la 1^ère variable puis
- « $\;\left(\alpha _{1}\;{\vec {x}}_{1}+\alpha _{2}\;{\vec {x}}_{2}\,\vert \,\beta _{1}\;{\vec {y}}_{1}+\beta _{2}\;{\vec {y}}_{2}\right)=\alpha _{1}\;\beta _{1}\;\left({\vec {x}}_{1}\,\vert \,{\vec {y}}_{1}\right)+\alpha _{1}\;\beta _{2}\;\left({\vec {x}}_{1}\,\vert \,{\vec {y}}_{2}\right)+\alpha _{2}\;\beta _{1}\;\left({\vec {x}}_{2}\,\vert \,{\vec {y}}_{1}\right)+\alpha _{2}\;\beta _{2}\;\left({\vec {x}}_{2}\,\vert \,{\vec {y}}_{2}\right)\;$ » en développant par rapport à la 2^ème variable.
↑ ^36,0 ^36,1 et ^36,2 L'ensemble des endomorphismes de $\;W\;$ est un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel noté $\;L_{\mathbb {R} }(W)\;$ ou encore $\;\mathrm {End} _{\mathbb {R} }(W)\;$ mais le plus souvent on se contente de $\;L(W)$ .
↑ ^37,0 et ^37,1 Les composantes de la forme bilinéaire « $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})\;$ » du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ dans laquelle $\;\varphi \;\in \;L_{\mathbb {R} }\!\left(W\right)\;$ est un endomorphisme de $\;W\;$ sont, avec choix d'une base $\;\left\lbrace B\right\rbrace =$ $\left\lbrace {\vec {b}}_{1}\,,\,{\vec {b}}_{2}\,,\,{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;$ de $\;W$ , effectivement « covariantes à droite » et « contravariantes à gauche » en effet,
   considérant deux vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;$ de $\;W\;$ se décomposant dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {x}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{i}\right){\vec {b}}_{i}\\{\vec {y}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,3}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{i}\right){\vec {b}}_{i}\end{array}}\right\rbrace$ ,
   considérant l'endomorphisme $\;\varphi \;$ de $\;W\;$ représenté, dans la même base $\;\left\lbrace B\right\rbrace$ , par sa matrice $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[{\begin{array}{c}\varphi ({\vec {b}}_{1})\cdot {\vec {b}}_{1}&\varphi ({\vec {b}}_{2})\cdot {\vec {b}}_{1}&\varphi ({\vec {b}}_{3})\cdot {\vec {b}}_{1}\\\varphi ({\vec {b}}_{1})\cdot {\vec {b}}_{2}&\varphi ({\vec {b}}_{2})\cdot {\vec {b}}_{2}&\varphi ({\vec {b}}_{3})\cdot {\vec {b}}_{2}\\\varphi ({\vec {b}}_{1})\cdot {\vec {b}}_{3}&\varphi ({\vec {b}}_{2})\cdot {\vec {b}}_{3}&\varphi ({\vec {b}}_{3})\cdot {\vec {b}}_{3}\end{array}}\right]$ obtenue en juxtaposant les matrices coordonnées de $\;\varphi ({\vec {b}}_{j}),\;j\;\in \;\left[\left[1\,,\,3\right]\right]\;$ dans la base des $\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,3\right]\right]}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « 2^ème interprétation d'une matrice de dimension (ou taille) (m, n), matrice d'une application linéaire d'un espace de dimension n de base B dans un autre espace de dimension m de base C dans le couple de bases (B, C) (1^ère propriété) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » dans le cas où les espaces définition et image de dimension commune $\;m=n=3\;$ sont confondus avec choix d'une même base $\;C=B{\big ]}\;$ et
   considérant le changement de base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b'}}_{\!1}\,,\,{\vec {b'}}_{\!2}\,,\,{\vec {b'}}_{\!3}\right\rbrace \;$ de $\;W\;$ défini matriciellement par la matrice de passage $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ de la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ vers la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace$ $\;{\big [}$ s'obtenant en juxtaposant les matrices colonnes de décomposition des vecteurs de $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace {\big ]}\;$ selon $\;\left[{\vec {b'}}_{\!1}\;\;,{\vec {b'}}_{\!2}\;\;{\vec {b'}}_{\!3}\right]=\left[{\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {b}}_{3}\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \,\rightarrow \,\left\lbrace B'\right\rbrace }=\left[{\vec {b}}_{1}\;\;{\vec {b}}_{2}\;\;{\vec {b}}_{3}\right]\times \left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}&\alpha _{1,\,2}&\alpha _{1,\,3}\\\alpha _{2,\,1}&\alpha _{2,\,2}&\alpha _{2,\,3}\\\alpha _{3,\,1}&\alpha _{3,\,2}&\alpha _{3,\,3}\end{array}}\right]$ $\;{\big [}$ voir, dans le chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les paragraphes « matrice de passage entre deux bases de R^m, réécriture de la matrice coordonnée d'un m-uplet par changement de base de R^m » appliqué à $\;m=3\;$ et prolongé au cas d'un $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel ainsi que « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » ${\big ]}$ , conduisant aux modifications
   considérant le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ $\succ \;$ sur la forme linéaire « multiplication scalaire par le vecteur $\;{\vec {x}}\;$ » « $\;{\vec {x}}\cdot \;$ » de représentation opérationnelle « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne $\;\left[\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\right]\times =\left[\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \;$ » selon le paragraphe « lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés (2^ème sous-paragraphe) » plus haut dans ce chapitre,
   considérant le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ $\succ \;$ sur le vecteur $\;{\vec {y}}\;$ représenté matriciellement par la matrice colonne $\;\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;$ dans laquelle $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ est la matrice inverse de $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ selon la note « ¹¹ » plus haut dans le chapitre ainsi que
   considérant le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ $\succ \;$ sur l'endomorphisme $\;\varphi \;$ représenté matriciellement par la matrice carrée $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\left\lbrace B'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)=\left[{\begin{array}{c c c}\varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!\cdot \!{\vec {b'}}_{\!1}\!&\!\varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!\cdot \!{\vec {b'}}_{\!1}\!&\!\varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\!\cdot \!{\vec {b'}}_{\!1}\\\varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!\cdot \!{\vec {b'}}_{\!2}\!&\!\varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!\cdot \!{\vec {b'}}_{\!2}\!&\!\varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\!\cdot \!{\vec {b'}}_{\!2}\\\varphi ({\vec {b'}}_{\!1})\!\cdot \!{\vec {b'}}_{\!3}\!&\!\varphi ({\vec {b'}}_{\!2})\!\cdot \!{\vec {b'}}_{\!3}\!&\!\varphi ({\vec {b'}}_{\!3})\!\cdot \!{\vec {b'}}_{\!3}\end{array}}\right]$ $=\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_matrices,_généralités#Changement_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image_d'une_application_linéaire_et_conséquence_s ur_la_matrice_de_l'application_linéaire_dans_le_couple_de_bases_des_espaces_vectoriels_définition_et_image|changement de bases des espaces vectoriels définition et image d'une application linéaire et conséquence sur la matrice de l'application linéaire dans le couple de bases des espaces vectoriels définition et image]] (cas particulier) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) » ${\big ]}\;$ et par suite
   considérant le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ $\succ \;$ sur le vecteur $\;\varphi ({\vec {y}})\;$ représenté matriciellement par la matrice colonne $\;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\,\left\lbrace B'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]=$ $\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\right\rbrace =$ $\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times {\cancel {\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\right\rbrace }}\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée (1^ère propriété, associativité) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », propriété prolongée à tous les cas où la multiplication matricielle est possible ${\big ]}\;$ soit enfin
   considérant le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ $\succ \;$ sur le scalaire $\;{\vec {x}}\cdot \,\varphi ({\vec {y}})\;$ représenté matriciellement par le produit matriciel
   considérant le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$ sur le scalaire $\;\color {transparent}{{\vec {x}}\cdot \,\varphi ({\vec {y}})}\;$ représenté $\left[\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\right]\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ ou
   considérant le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$ sur le scalaire $\;\color {transparent}{{\vec {x}}\cdot \,\varphi ({\vec {y}})}\;$ représenté $\left[\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\right]\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace B'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ soit,
   considérant le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$ en y reportant les relations de changement de bases ci-dessus, $\;\left[\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\right]\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace B'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!1}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!2}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b'}}_{\!3}\right)\end{array}}\right]$
   considérant le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$ $=\left\lbrace \left[\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\right]\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\right\rbrace \times \left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\right\rbrace$
   considérant le changement de base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$ $=\left[\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\right]\times {\cancel {\left\lbrace \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\right\rbrace \times }}\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée (1^ère propriété, associativité) » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », propriété prolongée à tous les cas où la multiplication matricielle est possible ${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ le caractère invariant du scalaire $\;{\vec {x}}\cdot \,\varphi ({\vec {y}})$ ;
   de la représentation matricielle de l'image de la forme bilinéaire « $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})\;$ » de $\;W\;$ appliquée à $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;$ soit $\;\left[\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\;\left({\vec {x}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\right]\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\\\left({\vec {y}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;$
   de la représentation matricielle de l'image de la forme bilinéaire « $\;\color {transparent}{\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})}\;$ » de $\;\color {transparent}{W}\;$ appliquée à $\;\color {transparent}{\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)}\;$ représentant $\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)={\vec {x}}\cdot \,\varphi ({\vec {y}})\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace$ , on en déduit
   de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire « $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})\;$ » de $\;W\;$ dans la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ selon une « multiplication matricielle à gauche et à droite de la matrice carrée
   de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire « $\;\color {transparent}{\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})}\;$ » de $\;\color {transparent}{W}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B\right\rbrace }\;$ selon une « de dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;3\;$ “ $\;\times \;\mathrm {mat} _{\left\lbrace B\right\rbrace ,\left\lbrace B\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\;\times \;$ ” » et
   de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire « $\;\color {transparent}{\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})}\;$ » de $\;\color {transparent}{W}\;$ dans la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ selon une « multiplication matricielle à gauche et à droite du produit de $\;3\;$ matrices carrées
   de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire « $\;\color {transparent}{\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})}\;$ » de $\;\color {transparent}{W}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ selon une « “ $\;\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\times \mathrm {mat} _{\left\lbrace B'\right\rbrace ,\left\lbrace B'\right\rbrace }\!\left(\varphi \right)\times \left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\times \;$ ” ${\big \{}$ chaque matrice
   de la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire « $\;\color {transparent}{\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})}\;$ » de $\;\color {transparent}{W}\;$ dans la base $\;\color {transparent}{\left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ selon une « étant de dimension $\;{\big (}$ ou taille ${\big )}$ $\;3{\big \}}\;$ » d'où
   le caractère « covariant à droite » et « contravariant à gauche » de la forme bilinéaire « $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})\;$ » de $\;W$ .
↑ ^38,0 ^38,1 et ^38,2 Appellation personnelle pour traduire que le tenseur n'est ni covariant ni contravariant mais un mélange des deux, plus exactement
Appellation personnelle un torseur d'ordre $\;p\;$ « mixte » est contravariant d'ordre partiel $\;l\;\in \;\left[\left[1\,,\,p\right[\right[\;$ et covariant d'ordre partiel $\;m=p-l\;\ldots$
↑ ^39,0 ^39,1 et ^39,2 Le tenseur d'ordre $\;2\;$ « mixte » est donc contravariant d'ordre partiel $\;1\;$ et covariant d'ordre partiel $\;1\;\ldots$
↑ ^40,0 ^40,1 et ^40,2 C'est une façon raccourcie pour dire que les composantes du tenseur sont partiellement covariante et contravariante.
↑ Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 1^er type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^42,0 ^42,1 ^42,2 ^42,3 et ^42,4 $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }^{\,-1}\;$ étant la matrice inverse de $\;\left[P\right]_{\left\lbrace B\right\rbrace \rightarrow \left\lbrace B'\right\rbrace }\;$ et traduisant le changement de la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ vers la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace$ .
↑ Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 2^ème type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre.
↑ Par abus on dira que la famille des $\;3\;$ covecteurs « $\;\left(f:={\vec {a}}\,\cdot \,,\,g:={\vec {r}}\cdot \,,\,h:={\vec {s}}\cdot \right)\;$ » est représentée par la matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]$ $\;{\big \{}$ obtenue en mettant les matrices lignes représentant chaque covecteur en couches les unes au-dessous des autres ${\big \}}$ , c'est aussi la transposée de la matrice carrée $\;\left[{\begin{array}{c}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{1}\right)\\\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{2}\right)\\\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)&\left({\vec {r}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)&\left({\vec {s}}\cdot {\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\;$ représentant la famille des $\;3\;$ vecteurs $\;\left({\vec {a}}\,,\,{\vec {r}}\,,\,{\vec {s}}\right)\,\in W^{3}$ $\;{\big \{}$ obtenue en juxtaposant les matrices colonnes représentant chaque vecteur les unes à côté des autres ${\big \}}$ , chaque matrice colonne étant la transposée de la matrice ligne correspondante
↑ Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 3^ème type de tenseur d'ordre deux » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet l'image $\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)\;$ du couple de vecteurs $\;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;$ par la forme bilinéaire $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ étant un scalaire c.-à-d. un tenseur d'ordre $\;0\;$ invariant,
En effet son évaluation nécessitant l'intervention à gauche d'une matrice ligne représentant un tenseur d'ordre $\;1\;$ covariant, $\Rightarrow$ le côté gauche du tenseur représentant $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ est contravariant et
En effet son évaluation nécessitant l'interve celle à droite d'une matrice colonne représentant un tenseur d'ordre $\;1\;$ contravariant $\Rightarrow$ le côté droit du tenseur représentant $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)\;$ est covariant.
↑ ^47,0 et ^47,1 On justifie la forme de la matrice $\;\left[A\right]\;$ en évaluant $\;\left({\vec {b}}_{i}\,\vert \,{\vec {b}}_{j}\right)\;$ par calcul matriciel $\;\left[\delta _{1,\,i}\;\;\delta _{2,\,i}\;\;\delta _{3,\,i}\right]\times \left[A\right]\times \left[{\begin{array}{c}\delta _{1,\,j}\\\delta _{2,\,j}\\\delta _{3,\,j}\end{array}}\right]=\left[\delta _{1,\,i}\;\;\delta _{2,\,i}\;\;\delta _{3,\,i}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!&\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!&\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}\delta _{1,\,j}\\\delta _{2,\,j}\\\delta _{3,\,j}\end{array}}\right]\;$ effectivement égal à $\;\left({\vec {b}}_{i}\,\vert \,{\vec {b}}_{j}\right)\;$ compte-tenu de $\;\delta _{k,\,l}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;{\text{si }}\;k\neq l\\1\;{\text{si }}\;k=l\end{array}}\right\rbrace$ $\;{\big (}$ symbole de Kronecker ${\big )}$ , en effet :
    $\succ \;$ si $\;j=1$ : $\left[\delta _{1,\,i}\;\;\delta _{2,\,i}\;\;\delta _{3,\,i}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right]=\left[\delta _{1,\,i}\;\;\delta _{2,\,i}\;\;\delta _{3,\,i}\right]\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\end{array}}\right]$ $=\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\;\delta _{1,\,i}+\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\;\delta _{2,\,i}+\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\;\delta _{3,\,i}$ $=\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right){\text{ si }}i=1\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right){\text{ si }}i=2\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right){\text{ si }}i=3\end{array}}\right.$ ;
    $\succ \;$ si $\;j=2$ : $\left[\delta _{1,\,i}\;\;\delta _{2,\,i}\;\;\delta _{3,\,i}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}}\right]=\left[\delta _{1,\,i}\;\;\delta _{2,\,i}\;\;\delta _{3,\,i}\right]\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\end{array}}\right]$ $=\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\;\delta _{1,\,i}+\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\;\delta _{2,\,i}+\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\;\delta _{3,\,i}$ $=\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right){\text{ si }}i=1\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right){\text{ si }}i=2\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right){\text{ si }}i=3\end{array}}\right.$ ;
    $\succ \;$ si $\;j=3$ : $\;\left[\delta _{1,\,i}\;\;\delta _{2,\,i}\;\;\delta _{3,\,i}\right]\times \left[{\begin{array}{c c c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b_{2}}}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{1}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{2}\right)\!\!&\!\!\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right]=\left[\delta _{1,\,i}\;\;\delta _{2,\,i}\;\;\delta _{3,\,i}\right]\times \left[{\begin{array}{c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\end{array}}\right]$ $=\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\;\delta _{1,\,i}+\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\;\delta _{2,\,i}+\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right)\;\delta _{3,\,i}$ $=\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\left({\vec {b}}_{1}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right){\text{ si }}i=1\\\left({\vec {b}}_{2}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right){\text{ si }}i=2\\\left({\vec {b}}_{3}\,\vert \,{\vec {b}}_{3}\right){\text{ si }}i=3\end{array}}\right.$ ;
   Leopold Kronecker (1823 - 1891) mathématicien et logicien allemand, s'est intéressé entre autres à la résolution algébrique des équations, publiant en $\;1850\;$ la démonstration de la non-résolubilité par radicaux de l'équation quintique en utilisant la théorie des groupes.
↑ ^48,0 et ^48,1 On vérifie l'accord sur la forme bilinéaire particulière du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ associée à la multiplication scalaire de $\;W\;$ et à l'endomorphisme $\;\varphi \;\in \;L(W)\;$ c.-à-d. l'application composée « $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)=$ ${\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})\;$ » définie sur $\;W^{2}\;$ telle que $\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;W^{2}$ , $\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)={\vec {x}}\cdot \varphi ({\vec {y}})$ $\;{\Big [}$ les formes bilinéaires de $\;W\;$ sont des éléments de « $\;W^{*}\!\times L(W)\;$ » ${\Big ]}\;$ la matrice $\;\left[A\right]\;$ étant $\;{\big (}$ voir la note « ⁴⁷ » plus haut dans ce chapitre ${\big )}$ $\;\left[{\begin{array}{c}{\vec {b}}_{1}\cdot \varphi ({\vec {b}}_{1})\!&\!{\vec {b}}_{1}\cdot \varphi ({\vec {b}}_{2})\!&\!{\vec {b}}_{1}\cdot \varphi ({\vec {b}}_{3})\\{\vec {b}}_{2}\cdot \varphi ({\vec {b}}_{1})\!&\!{\vec {b}}_{2}\cdot \varphi ({\vec {b}}_{2})\!&\!{\vec {b}}_{2}\cdot \varphi ({\vec {b}}_{3})\\{\vec {b}}_{3}\cdot \varphi ({\vec {b}}_{1})\!&\!{\vec {b}}_{3}\cdot \varphi ({\vec {b}}_{2})\!&\!{\vec {b}}_{3}\cdot \varphi ({\vec {b}}_{3})\end{array}}\right]\;$ avec $\;\left({\vec {b}}_{i}\,\vert \,{\vec {b}}_{j}\right)={\vec {b}}_{i}\cdot \varphi ({\vec {b}}_{j})\;\ldots$
↑ Obtenue en remplaçant la base $\;\left\lbrace B\right\rbrace \;$ par la base $\;\left\lbrace B'\right\rbrace \;$ dans la note « ⁴⁸ » plus haut dans ce chapitre.
↑ On vérifie l'accord avec le résultat de la note « ³⁷ » exposée dans le cadre de la forme bilinéaire particulière du $\;\mathbb {R}$ -espace vectoriel $\;W\;$ associée à la multiplication scalaire de $\;W\;$ et à l'endomorphisme $\;\varphi \;\in \;L(W)\;$ c.-à-d. l'application composée « $\;\left({\text{?}}\,\vert \,{\text{?}}\right)={\text{?}}\cdot \,\varphi ({\text{?}})\;$ » définie sur $\;W^{2}\;$ telle que $\;\forall \;\left({\vec {x}}\,,\,{\vec {y}}\right)\;\in \;W^{2}$ , $\;\left({\vec {x}}\,\vert \,{\vec {y}}\right)={\vec {x}}\cdot \varphi ({\vec {y}})$ $\;{\Big [}$ on rappelle que les formes bilinéaires de $\;W\;$ sont des éléments de « $\;W^{*}\!\times L(W)\;$ » ${\Big ]}\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimension finie » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « contraction tensorielle » du chap. $8$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « définition de tenseurs à l'aide de la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels tridimensionnels » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».