Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les tenseurs

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Introduction des « tenseurs » en mathématiques[modifier | modifier le wikicode]

     La notion de tenseur prolonge celle de scalaire, de vecteur ou de famille finie de vecteurs en dimension finie ;

     tous ces éléments pris individuellement forment un espace-vectoriel de dimension finie tel que, si le corps sur lequel ils sont construits est  :

  • l'ensemble des scalaires est le -espace vectoriel lui-même de dimension ,
    un scalaire étant un tenseur d'ordre zéro,
  • l'ensemble des vecteurs est le -espace vectoriel isomorphe à de dimension , chaque vecteur étant représentable, avec choix d'une base , par une matrice colonne ,
    un vecteur d'un -espace vectoriel de dimension étant un tenseur d'ordre un [1],
  • l'ensemble des familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel isomorphe à est le -espace vectoriel isomorphe à , chaque famille ordonnée de vecteurs étant représentable, avec choix d'une base , par une matrice en particulier l'ensemble des familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel isomorphe à est le -espace vectoriel isomorphe à , chaque famille ordonnée de vecteurs étant représentable, avec choix d'une base , par une matrice carrée ,
    une famille ordonnée de vecteurs du même -espace vectoriel de dimension étant un tenseur d'ordre deux avec [2] et
  • l'ensemble constitué de collections ordonnées comprenant chacune familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel isomorphe à est le -espace vectoriel isomorphe à , chaque collection ordonnée de familles ordonnées de vecteurs étant représentable, avec choix d'une base , par un tableau parallélépipédique constitué de matrices placées en « couches » [3] successives, de même dimension ou taille ,
    une famille ordonnée de familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel de dimension étant un tenseur d'ordre trois à condition que [4],
Exemples de tenseurs d'ordre zéro scalaire,
Exemples de tenseurs d'ordre un vecteur de l'espace physique,
Exemples de tenseurs d'ordre deux famille de vecteurs de l'espace physique,
Exemples de tenseurs d'ordre trois collection de familles de vecteurs de l'espace physique

     Les tenseurs d'ordre de l'espace physique construit sur forment donc un -espace vectoriel de dimension on définit en effet l'addition de deux tenseurs de même ordre par loi de composition interne est l'ensemble des tenseurs d'ordre [5] ainsi que la multiplication d'un tenseur d'ordre par un scalaire loi de composition externe [6], ces deux lois ayant les propriétés nécessaires pour assurer à l'ensemble des tenseurs d'ordre d'être un espace vectoriel ;

     ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en matrices colonnes s'ils sont d'ordre un ou en matrices rectangulaires s'ils sont d'ordre deux ou en tableaux parallélépipédiques s'ils sont d'ordre trois ou encore tableaux hyperparallélépipédiques [7] s'ils sont d'ordre supérieur à trois en dépendent.

1ères définitions de tenseurs[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaires : Comme nous l'avons vu en introduction un tenseur nécessite de préciser l'espace vectoriel de travail, nous supposerons que ce dernier est un -espace vectoriel de dimension , ,

     Préliminaires : de plus, si , l'espace vectoriel d'étude sera, quand cela s'avérera utile, choisi euclidien c.-à-d. muni d'une multiplication scalaire de vecteurs l'espace vectoriel d'étude étant alors la direction de l'espace affine [8] tridimensionnel.

     Préliminaires : Une grandeur est qualifiée de « contravariante » lorsqu'elle varie de façon contraire à celle dont les vecteurs de base sont modifiés [9] si elle varie de la même façon que celle dont les vecteurs de base sont changés, la grandeur est qualifiée de « covariante » [10].

Définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : Un tenseur d'ordre est évidemment indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, pour le vérifier il suffit de considérer le scalaire correspondant comme le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine [8], le produit scalaire étant invariant par changement de bases [11].

     Propriété : Comme un scalaire est indépendant du choix d'une base, « un tenseur d'ordre est invariant », il n'est ni contravariant ni covariant

Divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre un[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : Un tenseur d'ordre de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci [13]

     Propriété : On vérifie que « les composantes de ce 1er type de tenseur d'ordre sont contravariantes » [14], [9], on en déduit que « tout vecteur de l'espace vectoriel tridimensionnel c.-à-d. tout vecteur de la direction de l'espace affine physique» est un « tenseur d'ordre contravariant [14] ».

Définition et propriété d'un 2ème type de tenseur d'ordre un[modifier | modifier le wikicode]

     Remarques : Un exemple de tenseur d'ordre de ce type associé au vecteur est la forme linéaire de «» telle que , , la forme linéaire de est un élément de [15], chaque élément de [15] étant encore appelé « covecteur » [16]

     Remarques : un tenseur d'ordre de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci [13]

     Propriété : On vérifie que « les composantes de ce 2ème type de tenseur d'ordre sont covariantes » [14], [17], on en déduit que « toute forme linéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel c.-à-d. de la direction de l'espace affine physique » ou « tout covecteur de l'espace dual de la direction de l'espace affine physique » est un « tenseur d'ordre covariant [14] ».

Lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés[modifier | modifier le wikicode]

     Un tenseur d'ordre contravariant [14] étant un vecteur du -espace vectoriel , ses composantes dans la base de ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice colonne » ;
     le changement de base de étant caractérisé par la matrice , les composantes du vecteur dans la base de ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice colonne » étant la matrice de passage de la base à la base [18] et sa matrice inverse.

     Le tenseur d'ordre covariant [14] associé au vecteur du -espace vectoriel étant la forme linéaire de «» telle que la forme linéaire de encore appelé « covecteur » de «» étant un élément de [15] l'espace dual de , ses composantes dans la base de ont pour représentation opérationnelle dans cette base la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne » [19] ;
     le changement de base de étant caractérisé par la matrice de passage , les composantes de dans la base de ont pour représentation opérationnelle dans cette base la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne » [19].

     Propriété : « Le produit scalaire [20] des vecteurs » s'identifiant à « l'image de par la forme linéaire» [15] à savoir «» est invariant par changement de base choisie dans en effet
     Propriété : évalué, dans la base de , par «[19] » [21], on vérifie que
     Propriété : le changement de base de caractérisé par la matrice de passage [18] conduit à l'évaluation dans la nouvelle base de selon «» [19] avec « » [19] caractère « covariant » de “ et « » caractère « contravariant » de “ « » validant l'invariance de par changement de bases en tant que scalaire est un tenseur d'ordre en accord avec son invariance par changement de bases.

Divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés[modifier | modifier le wikicode]

     Parmi les tenseurs d'ordre deux nous nous limiterons à ceux dont la représentation matricielle ou opérationnelle fait intervenir une matrice carrée de dimension ou taille , nous écartons donc tout tenseur d'ordre dont la représentation matricielle ou opérationnelle ferait intervenir une matrice rectangulaire dont une dimension ou taille serait et l'autre un entier

Définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre deux[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque 1 : Un tenseur d'ordre de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel dans la mesure où chaque vecteur l'est, mais leurs composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci

     Propriété : On vérifie que les composantes de ce 1er type de tenseur d'ordre sont « contravariantes » [14], [23], c.-à-d. que « toute famille devecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel direction de l'espace affine physique» est un « tenseur d'ordre contravariant [14] ».

     Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre contravariants mis à part le regroupement de vecteurs dans une même famille c.-à-d. le regroupement de tenseurs d'ordre contravariants en un seul tenseur d'ordre contravariant

Définition et propriété d'un 2ème type de tenseur d'ordre deux[modifier | modifier le wikicode]

     Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre de ce type associé au triplet de vecteurs est la famille des formes linéaires de «» telle que , , les formes linéaires de sont des éléments de [15] dont chaque élément étant encore appelé « covecteur » [16]

     Remarques 1 : un tenseur d'ordre de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci

     Propriété : On vérifie que les composantes de ce 2ème type de tenseur d'ordre sont « covariantes » [14], [25], c.-à-d. que « toute famille deformes linéaires de l'espace vectoriel tridimensionnel direction de l'espace affine physique» est un « tenseur d'ordre covariant [14] ».

     Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre covariants mis à part le regroupement de covecteurs dans une même famille c.-à-d. le regroupement de tenseurs d'ordre covariants en un seul tenseur d'ordre covariant

Définition et propriété d'un 3ème type de tenseur d'ordre deux[modifier | modifier le wikicode]

     Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre de ce type associé à la multiplication scalaire de [20] et à l'endomorphisme [27] est l'application composée «» définie sur telle que , les formes bilinéaires de sont des éléments de «» [15], [27]

     Remarques 1 : un tenseur d'ordre de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel mais ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci

     Propriété : On vérifie que les composantes de ce 3ème type de tenseur d'ordre sont partiellement « covariante et contravariante » [14], [28], c.-à-d. que « toute forme bilinéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel ou encore tout élément de [15], [27] » est un « tenseur d'ordre “mixte” [29], [30] ».

     Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre « mixtes » [29], [30] est pratiquement le seul tenseur d'ordre à ajouter quelque chose de nouveau par rapport aux tenseurs d'ordre contrairement aux tenseurs d'ordre contravariant ou covariant

Différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux[modifier | modifier le wikicode]

  • « Un tenseur d'ordre contravariant » [14] étant une « famille de vecteurs est un -espace vectoriel » [31], ses composantes dans la base de à savoir ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice » résultant de la juxtaposition des matrices colonnes représentant chaque vecteur ou tenseur d'ordre contravariant [14] ;
       le changement de base de étant caractérisé par la matrice de passage correspondante , les composantes de la famille des vecteurs dans la base de ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice » les composantes des vecteurs dans la base étant .
  • « Le tenseur d'ordre covariant » [14] associé à la famille des vecteurs étant la « famille des formes linéaires de définie selon » [32] telle que , , les formes linéaires de étant des éléments de [15] espace dual de , c.-à-d. des « covecteurs » [16] de [15], ses composantes dans la base de ont pour représentation opérationnelle la « multiplication matricielle à droite de la matrice » [33] dans cette base  ;
       le changement de base de étant caractérisé par la matrice de passage correspondante , les composantes de la famille des covecteurs dans la base de ont pour représentation opérationnelle la « multiplication matricielle à droite de la matrice » dans cette base les composantes des vecteurs dans la base étant .
  • « Un tenseur d'ordre “ mixte ” [29], [30] » étant une « forme bilinéaire du -espace vectoriel », c.-à-d. une « application linéaire de dans » l'image d'un élément de par est donc un scalaire[34], sa représentation opérationnelle matricielle, après choix d'une base du -espace vectoriel , doit contenir cœfficients avec, comme exigence finale, un scalaire pour c.-à-d. une matrice de dimension ou taille , ce qui nécessite
       une représentation matricielle de dimension ou taille c.-à-d. une matrice ligne pour le 1er vecteur et
       une représentation matricielle de dimension ou taille c.-à-d. une matrice colonne pour le 2ème vecteur
    soit la représentation opérationnelle matricielle de la forme bilinéaire du -espace vectoriel par «» dans laquelle est une matrice carrée de dimension ou taille et «» la multiplication matricielle on verifie que la forme bilinéaire , tenseur d'ordre de représentation opérationnelle « une multiplication matricielle à gauche et à droite d'une matrice carrée de dimension ou taille » est covariante à gauche et covariante à droite [35] ;
    étant un scalaire, est invariant par changement de bases de et se calcule, en utilisant la base , par évaluation du produit matriciel «» dans laquelle est la matrice ligne représentant dans la base et la matrice colonne représentant dans la même base avec dans cette base [36], [37] ;
       le changement de base de étant caractérisé par la matrice de passage , la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire du -espace vectoriel dans la base de est la « multiplication matricielle à droite et à gauche de la matrice exprimée dans la base » soit
    «»
    dans laquelle est la matrice inverse de la matrice [38].

Tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux[modifier | modifier le wikicode]

     Nous pourrions poursuivre la construction des tenseurs d'ordre à comme celle exposée pour les tenseurs d'ordre à mais la difficulté d'exposé grandissant simultanément à la diminution d'intérêts de tel tenseur dans le domaine de la physique, nous nous contenterons d'une définition de tels tenseurs après l'introduction de deux opérations sur les tenseurs :

     leur introduction conduisant à une définition de tenseur nettement plus concise

Produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimension finie[modifier | modifier le wikicode]

     Bien que les définitions qui suivent restent valables pour des espaces vectoriels de dimension finie quelconque, nous nous plaçons dans les conditions usuelles d'utilisation en physique c.-à-d. des -espaces vectoriels isomorphes à avec

Définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque 1 : À partir du « vecteur » et de « la multiplication scalaire définie sur »,
          Remarque 1 : on construit le « covecteur » étant le dual de c.-à-d. l'ensemble des formes linéaires définies sur , une forme linéaire sur étant un « covecteur de » et
          Remarque 1 : on en déduit l'« image d'un élément quelconque par la forme linéaire définie comme le scalaire »,

     Remarque 1 : à partir du « vecteur » et de « la multiplication scalaire définie sur »,
          Remarque 1 : on construit le « covecteur » étant le dual de c.-à-d. l'ensemble des formes linéaires définies sur , une forme linéaire sur étant un « covecteur de » et
          Remarque 1 : on en déduit l'« image d'un élément quelconque par la forme linéaire définie comme le scalaire » ;

     Remarque 1 : en utilisant les deux observations précédentes, l'« application linéaire de dans ” » peut être considérée comme la « composition de deux applications linéaires »
     Remarque 1 : « la 1ère de dans » étant la « composition de la forme linéaire de appliquée sur du couple dont l'image est et
     Remarque 1 : « la 1ère de dans » étant la « composition de l'homothétie de rapport de appliquée sur du couple dont l'image est » soit

«» [39] suivi de

     Remarque 1 : « la 2nde étant la forme linéaire de », laquelle, « appliquée sur , donne » soit

«»
                                                 c.-à-d. l'image définitive » ;

     Remarque 1' : « la 1ère application linéaire ci-dessus de dans étant construite à l'aide de la forme linéaire » et
     Remarque 1' : « la 2nde application linéaire ci-dessusde dans étant la forme linéaire », on en déduit que

« l'application linéaire de dans ” » est une « forme bilinéaire de »
                                                                                   construite en utilisant un élément particulier de
et définie selon « avec »

« » ;

     Remarque 1' : réciproquement on admet que « toute forme bilinéaire de » peut être mise sous la forme
     Remarque 1' : réciproquement on admet que d'une « application linéaire de dans du type “” » avec couple particulier caractérisant la forme bilinéaire  ;
     Remarque 1' : nous en déduisons que l'ensemble des formes bilinéaires de noté «» [40] est isomorphe [41] à
     Remarque 1' : nous en déduisons que l'ensemble des applications linéaires de dans du type “” avec ».

     Conséquence : Sur l'ensemble des formes bilinéaires de c.-à-d. «» [42], on définit :

     Conséquence : une addition «» telle que «, » [40], vérifiant
     Conséquence : une addition «» telle que «, » ;
     Conséquence : cette addition ayant les propriétés suivantes
     Conséquence : associative «»,
     Conséquence : admettant un élément neutre «» [40] c.-à-d. tel que «» [43],
     Conséquence : tout élément «» admet un opposé «» c.-à-d. tel que «» [44] et
     Conséquence :