Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Les tenseurs

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Les tenseurs
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Chapitre no 3
Leçon : Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)
Chap. préc. :Les matrices
Chap. suiv. :Tenseur d'inertie d'un solide
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Sommaire

Introduction des « tenseurs » en mathématiques[modifier | modifier le wikicode]

......La notion de tenseur prolonge celle de scalaire, de vecteur ou de famille finie de vecteurs en dimension finie ;

......tous ces éléments pris individuellement forment un espace-vectoriel de dimension finie tel que, si le corps sur lequel ils sont construits est  :

  • l'ensemble des scalaires est le -espace vectoriel lui-même de dimension ,
    un scalaire étant un tenseur d'ordre zéro,
  • l'ensemble des vecteurs est le -espace vectoriel isomorphe à de dimension , chaque vecteur étant représentable, avec choix d'une base , par une matrice colonne ,
    un vecteur d'un -espace vectoriel de dimension étant un tenseur d'ordre un,
  • l'ensemble des familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel isomorphe à est le -espace vectoriel isomorphe à , chaque famille ordonnée de vecteurs étant représentable, avec choix d'une base , par une matrice en particulier l'ensemble des familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel isomorphe à est le -espace vectoriel isomorphe à , chaque famille ordonnée de vecteurs étant représentable, avec choix d'une base , par une matrice carrée ,
    une famille ordonnée de vecteurs du même -espace vectoriel de dimension étant un tenseur d'ordre deux (avec et
  • l'ensemble constitué de familles ordonnées comprenant chacune familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel isomorphe à est le -espace vectoriel isomorphe à , chaque famille ordonnée de familles ordonnées de vecteurs étant représentable, avec choix d'une base , par un tableau parallélépipédique constitué de matrices placées en « couches » [1] successives, de même dimension (ou taille) ,
    une famille ordonnée de familles ordonnées de vecteurs du même -espace vectoriel de dimension étant un tenseur d'ordre trois
    à condition que ,
Exemples de tenseurs d'ordre 0 (scalaire), d'ordre 1 (vecteur de l'espace physique), d'ordre 2 (famille de 3 vecteurs de l'espace physique), d'ordre 3 (famille de 3 familles de 3 vecteurs de l'espace physique)

......Les tenseurs de l'espace physique d'ordre construit sur forment donc un -espace vectoriel de dimension on définit en effet l'addition de deux tenseurs de même ordre loi de composition interne dans laquelle est l'ensemble des tenseurs d'ordre ainsi que la multiplication d'un tenseur d'ordre par un scalaire loi de composition externe , ces deux lois ayant les propriétés nécessaires pour assurer à l'ensemble des tenseurs d'ordre d'être un espace vectoriel ;

......ils sont indépendants d'un choix de bases, seules leurs représentations en matrices colonnes s'ils sont d'ordre un ou en matrices rectangulaires s'ils sont d'ordre deux ou en tableaux parallélépipédiques s'ils sont d'ordre trois (ou encore tableaux hyperparallélépipédiques [2] s'ils sont d'ordre supérieur à trois en dépendent.

1ères définitions de tenseurs[modifier | modifier le wikicode]

......Préliminaires : Comme nous l'avons vu en introduction un tenseur nécessite de préciser dans quel espace vectoriel on travaille, nous supposerons que ce dernier est un -espace vectoriel de dimension , ,

......Préliminaires : de plus, si , l'espace vectoriel d'étude sera, quand cela s'avérera utile, choisi euclidien c'est-à-dire muni d'une multiplication scalaire de vecteurs, on le considérera toujours comme la direction de l'espace affine [3] tridimensionnel.

......Préliminaires : Une grandeur est qualifiée de « contravariante » lorsqu'elle varie de façon contraire à celle dont les vecteurs de base sont modifiés (si elle varie de la même façon que celle dont les vecteurs de base sont changés, la grandeur est qualifiée de « covariante »).

Définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque : Un tenseur d'ordre 0 est évidemment indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, pour le vérifier il suffit de considérer le scalaire correspondant comme le produit scalaire de deux vecteurs de la direction de l'espace affine [3], le produit scalaire étant invariant par changement de bases [4].

......Propriété : Comme un scalaire est indépendant du choix d'une base, un tenseur d'ordre 0 est invariant, il n'est ni contravariant ni covariant

Divers types de tenseurs d'ordre un, définitions et propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre un[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque : Un tenseur d'ordre 1 de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, seules ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci

......Propriété : On vérifie que les composantes de ce 1er type de tenseur d'ordre 1 sont « contravariantes » [6], [7], on en déduit que « tout vecteur de l'espace vectoriel tridimensionnel c'est-à-dire de la direction de l'espace affine physique » est un « tenseur d'ordre 1 contravariant [6] ».

Définition et propriété d'un 2ème type de tenseur d'ordre un[modifier | modifier le wikicode]

......Remarques : Un exemple de tenseur d'ordre 1 de ce type associé au vecteur est la forme linéaire de «» telle que , , [la forme linéaire de est un élément de [8], chaque élément de [8] étant encore appelé « covecteur » [9]

......Remarques : un tenseur d'ordre 1 de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, seules ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci

......Propriété : On vérifie que les composantes de ce 2ème type de tenseur d'ordre 1 sont « covariantes » [6], [10], on en déduit que « toute forme linéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel c'est-à-dire de la direction de l'espace affine physique » (ou « tout covecteur de l'espace dual de la direction de l'espace affine physique » est un « tenseur d'ordre 1 covariant [6] ».

Lien entre tenseurs d'ordre un contravariant et covariant associés[modifier | modifier le wikicode]

  • Un tenseur d'ordre 1 contravariant [6] étant un vecteur du -espace vectoriel , ses composantes dans la base de ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice colonne » ;
    ...le changement de base de étant caractérisé par la matrice , les composantes du vecteur dans la base de ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice colonne ».
  • Le tenseur d'ordre 1 covariant [6] associé au vecteur du -espace vectoriel étant la forme linéaire de «» telle que [la forme linéaire de à savoir «» étant un « covecteur » de [8] espace dual de , ses composantes dans la base de ont pour représentation opérationnelle dans cette base la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne » [11] ;
    ...le changement de base de étant caractérisé par la matrice , les composantes du covecteur dans la base de ont pour représentation opérationnelle dans cette base la « multiplication matricielle à droite de la matrice ligne ».

......Remarque : Le produit scalaire [12] des vecteurs identifié à l'image de par la forme linéaire «» [8] à savoir s'évalue, dans la base de , par [13] ;

......Remarque : on vérifie que le changement de base de caractérisé par la matrice de passage conduit bien à un produit scalaire invariant car ce dernier s'évalue dans la base de selon avec d'une part et d'autre part, soit, après report,

Divers types de tenseurs d'ordre deux, définitions et propriétés[modifier | modifier le wikicode]

......Parmi les torseurs d'ordre deux nous nous limiterons à ceux dont la représentation matricielle ou opérationnelle fait intervenir une matrice carrée de dimension (ou taille) , nous écartons donc tout torseur d'ordre 2 dont la représentation matricielle ou opérationnelle ferait intervenir une matrice rectangulaire dont une dimension (ou taille) serait 3 et l'autre un entier

Définition et propriété d'un 1er type de tenseur d'ordre deux[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque 1 : Un tenseur d'ordre 2 de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel dans la mesure où chaque vecteur l'est, seules leurs composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci

......Propriété : On vérifie que les composantes de ce 1er type de tenseur d'ordre 2 sont « contravariantes » [6], [7], on en déduit que « toute famille de vecteurs de l'espace vectoriel tridimensionnel c'est-à-dire de la direction de l'espace affine physique » est un « tenseur d'ordre 2 contravariant [6] ».

......Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre 2 contravariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre 1 contravariants mis à part le regroupement de 3 vecteurs dans une même famille c'est-à-dire le regroupement de 3 tenseurs d'ordre 1 contravariants en un seul tenseur d'ordre 2 contravariant, ce n'est guère que pour une base du -espace vectoriel direction de l'espace affine physique qu'on peut y trouver un intérêt

Définition et propriété d'un 2ème type de tenseur d'ordre deux[modifier | modifier le wikicode]

......Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre 2 de ce type associé au triplet de vecteurs est la famille des 3 formes linéaires de «» telle que , , [les formes linéaires de sont des éléments de [8], chaque élément de [8] étant encore appelé « covecteur » [9]

......Remarques 1 : un tenseur d'ordre 2 de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, seules ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci

......Propriété : On vérifie que les composantes de ce 2ème type de tenseur d'ordre 2 sont « covariantes » [6], [10], on en déduit que « toute famille de formes linéaires de l'espace vectoriel tridimensionnel c'est-à-dire de la direction de l'espace affine physique » est un « tenseur d'ordre 2 covariant [6] ».

......Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre 2 covariants n'apportent guère plus que les tenseurs d'ordre 1 covariants mis à part le regroupement de 3 covecteurs dans une même famille c'est-à-dire le regroupement de 3 tenseurs d'ordre 1 covariants en un seul tenseur d'ordre 2 covariant, ce n'est guère que pour une base de le dual du -espace vectoriel direction de l'espace affine physique qu'on peut y trouver un intérêt

Définition et propriété d'un 3ème type de tenseur d'ordre deux[modifier | modifier le wikicode]

......Remarques 1 : Un exemple de tenseur d'ordre 2 de ce type associé à la multiplication scalaire de [12] et à l'endomorphisme [16] est l'application composée «» définie sur telle que , les formes bilinéaires de sont des éléments de «» [8], [16]

......Remarques 1 : un tenseur d'ordre 2 de ce type est indépendant du choix d'une base dans l'espace affine euclidien tridimensionnel, seules ses composantes dans la base dépendent du choix de celle-ci

......Propriété : On vérifie que les composantes de ce 3ème type de tenseur d'ordre 2 sont partiellement « covariante et contravariante » [6], [17], on en déduit que « toute forme bilinéaire de l'espace vectoriel tridimensionnel [c'est-à-dire encore tout élément de [8], [16] » est un « tenseur d'ordre 2 “mixte” [18], [19] ».

......Remarque 2 : Les tenseurs d'ordre 2 « mixtes » [18], [19] est pratiquement le seul tenseur d'ordre 2 à ajouter quelque chose de nouveau par rapport aux tenseurs d'ordre 1 contrairement aux tenseurs d'ordre 2 contravariant ou covariant

Différence de représentativités entre les tenseurs d'ordre deux[modifier | modifier le wikicode]

  • Un tenseur d'ordre 2 contravariant [6] étant une famille de 3 vecteurs est un -espace vectoriel, ses composantes dans la base de à savoir ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice » résultant de la juxtaposition des matrices colonnes représentant chaque vecteur (ou tenseur d'ordre 1 contravariant [6]) ;
    ...le changement de base de étant caractérisé par la matrice , les composantes de la famille des 3 vecteurs dans la base de ont pour représentation matricielle dans cette base la « matrice ».
  • Le tenseur d'ordre 2 covariant [6] associé à la famille des 3 vecteurs étant la famille des 3 formes linéaires de définie selon «» telle que , , [les formes linéaires de étant des éléments de [8] espace dual de , c'est-à-dire des « covecteurs » [9] de [8], ses composantes dans la base de ont pour représentation opérationnelle dans cette base la « multiplication matricielle à droite de la matrice » [20] ;
    ...le changement de base de étant caractérisé par la matrice , les composantes de la famille des 3 covecteurs dans la base de ont pour représentation opérationnelle dans cette base la « multiplication matricielle à droite de la matrice ».
  • Un tenseur d'ordre 2 « mixte » [18], [19] étant une forme bilinéaire du -espace vectoriel , à savoir une application linéaire de dans l'image d'un élément de par est donc un scalaire, sa représentation opérationnelle avec matrices, après choix d'une base du -espace vectoriel , doit contenir cœfficients avec, comme exigence finale, un scalaire pour ou encore une matrice de dimension (ou taille) , ce qui nécessite
    ...une représentation matricielle de dimension (ou taille) pour le 1er vecteur et
    ...une représentation matricielle de dimension (ou taille) pour le 2ème vecteur
    ...soit la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire du -espace vectoriel par «» dans laquelle est une matrice carrée de dimension (ou taille) et «» la multiplication matricielle ;
    ... étant un scalaire, est invariant par changement de bases de et se calcule, en utilisant la base , par l'évaluation du produit matriciel «» dans laquelle est la matrice ligne représentant dans la base et la matrice colonne représentant dans la même base avec dans cette base [21], [22] ;
    ...le changement de base de étant caractérisé par la matrice , la représentation opérationnelle de la forme bilinéaire du -espace vectoriel dans la base de est la « multiplication matricielle à droite et à gauche de la matrice exprimée dans la base » soit
    «»
    dans laquelle est la matrice inverse de la matrice [23].

Tenseurs d'ordre strictement supérieur à deux[modifier | modifier le wikicode]

......Nous pourrions poursuivre la construction des tenseurs d'ordre à 3 comme celle exposée pour les tenseurs d'ordre à 2 mais la difficulté d'exposé grandissant simultanément à la diminution d'intérêts de tel tenseur dans le domaine de la physique, nous nous contenterons d'une définition de tels tenseurs après l'introduction de deux opérations sur les tenseurs :

  • la multiplication tensorielle d'une part et
  • la contraction de tenseurs d'autre part,

......leur introduction conduisant à une définition de tenseur nettement plus concise

Produit tensoriel d'espaces vectoriels de dimension finie[modifier | modifier le wikicode]

......Bien que les définitions qui suivent restent valables pour des espaces vectoriels de dimension finie quelconque, nous nous plaçons dans les conditions usuelles d'utilisation en physique c'est-à-dire des -espaces vectoriels isomorphes à avec

Définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque 1 : Pour et la multiplication scalaire définie sur , on construit étant le dual de c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur et est l'image d'un élément quelconque par la forme linéaire ,

......Remarque 1 : pour et la multiplication scalaire définie sur on construit étant le dual de c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur et est l'image d'un élément quelconque par la forme linéaire ,

......Remarque 1 : l'application linéaire de dans «» est aussi la composition de deux applications linéaires
......Remarque 1 : la 1ère de dans étant elle-même la composition de la forme linéaire de appliquée sur le 1er vecteur du couple dont l'image est le réel et de l'homothétie de rapport de appliquée sur le 2ème vecteur du couple dont l'image est le vecteur de soit «» suivi de
......Remarque 1 : la 2nde étant la forme linéaire de , laquelle, appliquée sur , donne l'image définitive soit mathématiquement, «» ;

......Remarque 1 : la 1ère application linéaire de dans étant construite à l'aide de la forme linéaire et la 2nde de dans étant la forme linéaire , on en déduit que l'application linéaire de dans «» est une forme bilinéaire de , l'ensemble des formes bilinéaires de étant noté «».


......Conséquence : Sur l'ensemble des formes bilinéaires de c'est-à-dire , on définit :

  • une addition «» telle que , , vérifiant ,  ; cette addition étant
    ...associative ,
    ...admettant un élément neutre ou car, avec , en effet, pour un élément quelconque , on a ,
    ...telle que tout élément admet un opposé car, avec , , après factorisation sur par et constatation de la nullité du 2ème facteur et
    ...commutative ,
    ... fournit une structure de groupe abélien [24] à muni de l'addition ;
  • une loi de composition externe «» telle que et , , vérifiant ,  ; cette loi de composition externe étant
    ... distributive à gauche par rapport à l'addition de et à droite par rapport à l'addition définie sur [25] et [26],
    ... associative mixte (par rapport à la multiplication dans [27] et
    ... admettant l'élément neutre multiplicatif de , noté , comme neutre à gauche pour «» [28],
    ... fournit une structure de -espace vectoriel à par complétion de sa structure de groupe abélien muni de l'addition.


......Remarque 2 : Théoriquement les multiplications scalaires définies sur et [12] à savoir « et » étant des formes bilinéaires particulières sur et sur peuvent être remplacées par n'importe quelle forme bilinéaire non dégénérée définie sur et sur de façon plus générale une forme bilinéaire «» est non dégénérée si les espaces singuliers à droite et à gauche se réduisent respectivement à et [29] ;
......Remarque 2 : les formes bilinéaires non dégénérées définies sur et sont alors respectivement notées et  ;
......Remarque 2 : avec ce remplacement le produit tensoriel «» est l'application linéaire de dans telle que

,  ;

......Remarque 2 : sous cet aspect «» est toujours une forme bilinéaire de car étant une forme bilinéaire (non dégénérée) de pour , est une forme linéaire de donc un élément de applicable à un élément quelconque de même étant une forme bilinéaire (non dégénérée) de pour , est une forme linéaire de donc un élément de applicable à un élément quelconque d'où «» effectivement une forme bilinéaire de laquelle, appliquée à un élément , fournit l'image .

Divers produits tensoriels de deux espaces vectoriels tridimensionnels formés à partir de ces derniers ou de leurs duals[modifier | modifier le wikicode]

Notion d'espace bidual[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un -espace vectoriel de dimension , le dual de [c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur , nous nous proposons de préciser la signification à donner à le bidual de [l'existence de étant assurée, étant lui-même un -espace vectoriel de dimension  ;

......pour cela introduisons tout d'abord la forme bilinéaire non dégénérée appelée « crochet de dualité » définie sur [31] selon

,,

......puis définissons une application linéaire « de dans » telle que

et , [32] ,

......nous en déduisons que

, est la forme linéaire définie sur qui,
à toute forme linéaire définie sur associe .

......Remarque : Si le « crochet de dualité » défini sur [31] est construit à l'aide de la multiplication scalaire sur [12] avec la correspondance entre éléments de et de suivante « à on associe » et la définition du « crochet de dualité » appliqué sur le couple selon ,
......Remarque : l'élément « dual de » ou « bidual de » est tel que , ce qui, avec ce « crochet de dualité », identifie et [33] une identification entre et [34]

Les quatre produits tensoriels de deux espaces vectoriels tridimensionnels formés à partir de ces derniers ou de leurs duals[modifier | modifier le wikicode]

......Soit deux -espaces vectoriels de dimension 3 et leur dual respectif (c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires définies sur chaque espace vectoriel tridimensionnel et , chacun constituant « un -espace vectoriel de dimension 3 »,
......à partir de ces espaces vectoriels et en utilisant les « crochets de dualité » et respectivement définis sur et sur selon , on peut former les quatre produits tensoriels ci-dessous :

  • ensemble des formes bilinéaires de  :
    , avec auquel on associe , on a ,
    ou, avec les « crochets de dualité » définis à l'aide de la multiplication scalaire sur ou sur ,
    , avec auquel on associe , on a  ;
  • ensemble des formes bilinéaires de on identifie et  :
    , avec auquel on associe , on a ,
    ou, avec les « crochets de dualité » définis à l'aide de la multiplication scalaire sur ou sur ,
    , avec auquel on associe , on a  ;
  • ensemble des formes bilinéaires de on identifie et  :
    , avec auquel on associe , on a ,
    ou, avec les « crochets de dualité » définis à l'aide de la multiplication scalaire sur ou sur ,
    , avec auquel on associe , on a  ;
  • ensemble des formes bilinéaires de on identifie et ainsi que et  :
    , avec auquel on associe , on a ,
    ou, avec les « crochets de dualité » définis à l'aide de la multiplication scalaire sur ou sur ,
    , avec et associé, on a .

Propriétés de la multiplication tensorielle d'espaces vectoriels[modifier | modifier le wikicode]

......Les vecteurs d'un -espace vectoriel étant des tenseurs d'ordre 1 contravariants de et les covecteurs du -espace vectoriel dual des tenseurs d'ordre 1 covariants de , le produit tensoriel de deux vecteurs définit donc la multiplication tensorielle sur les tenseurs d'ordre , loi possédant les propriétés énoncées ci-après.

Associativité de la multiplication tensorielle[modifier | modifier le wikicode]

...... sont -espaces vectoriels tridimensionnels, on a en effet , soit encore, d'après l'associativité de la multiplication des scalaires,  ;

......on en déduit (la mise entre parenthèses devenant inutile avec

l'ensemble des formes trilinéaires de .

......En itérant la propriété d'associativité on peut affirmer

avec
l'ensemble des formes k-linéaires de .

Le corps des réels, élément « neutre » de la multiplication tensorielle[modifier | modifier le wikicode]

...... étant un -espace vectoriel de dimension , on peut, avec un -espace vectoriel de dimension , définir deux produits tensoriels :

  • «» avec le produit tensoriel «» défini pour tout couple « réel, vecteur de » [la forme bilinéaire non dégénérée de étant la multiplication définie sur et celle de formée à l'aide de la multiplication scalaire selon ,