Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe

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Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe
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Chapitre no 3
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chap. préc. :Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un système discret de points matériels
Chap. suiv. :Loi du moment cinétique : Moments de force
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Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La notion de moment cinétique n'est au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien.

Sommaire

Généralisation de la cinétique des systèmes discrets de points matériels au cas des systèmes continus : masse, centre d’inertie et (vecteur) résultante cinétique[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

     Les problèmes de mécanique à base de système discret (fermé) de points matériels ne peuvent être traités sans approximation que si le nombre de points matériels ne dépasse pas «»,

     au-delà de ce nombre et à condition qu'il reste « modéré » [1], le traitement peut être réalisé à l’aide de gros ordinateurs de façon approchée ;

     mais le plus souvent le nombre d'« entités élémentaires » [2] assimilables à des points matériels est beaucoup plus grand [3] et il est nécessaire de réaliser des schématisations :

  • soit partitionner le système en échantillons mésoscopiques [4] ou macroscopiques assimilables à des points matériels, le système ainsi obtenu étant constitué d’un nombre de points matériels ne dépassant pas le seuil critique de traitement par logiciel de calcul [5],
  • soit se placer dans l'« approximation des milieux continus » [6] : remplacement des répartitions « quantifiées » par des répartitions « continues » judicieusement choisies par exemple lors de la définition de la masse «» d'un échantillon mésoscopique fermé de système centré en et contenant entités élémentaires [2] occupant un volume , on remplace «» par «» où «[7] est la masse volumique en » supposée « variant continûment avec » correspondant à une « modélisation volumique » [8], [9]

     Ainsi pour passer d’un système discret de points matériels, dépassant le seuil critique de traitement par logiciel de calcul [10], à un système continu d’expansion tridimensionnelle c.-à-d. faire une « modélisation volumique », on remplace la somme discrète «» dans laquelle est une grandeur scalaire ou vectorielle caractérisant chaque point matériel par l'intégrale volumique «» [11], [12], [13].

Masse d’un système continu de masse volumique « µ(M) »[modifier | modifier le wikicode]

La masse d'un système continu de matière, d'expansion tridimensionnelle , de masse volumique , est définie par

[11] ;

         un système continu de matière dans l'expansion tridimensionnelle est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante c.-à-d.

 ;

         si le volume de contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse volumique moyenne de ce dernier reste constante, ce qui correspond le plus vraisemblablement à ne variant pas par rapport au temps .

La masse d'un système continu de matière, d'expansion surfacique , de masse surfacique , est définie par

[14] ;

         un système continu de matière dans l'expansion surfacique est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante c.-à-d.

 ;

         si l'aire de contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse surfacique moyenne de ce dernier reste constante, ce qui correspond le plus vraisemblablement à ne variant pas par rapport au temps .

La masse d'un système continu de matière, d'expansion linéique , de masse linéique , est définie par

[15] ;

         un système continu de matière dans l'expansion linéique est « fermé » s'il n'y a pas d'échange de matière entre et son extérieur, la conséquence est que la masse du système reste constante c.-à-d.

 ;

         si longueur de contenant le système continu de matière « fermé » ne varie pas, la masse linéique moyenne de ce dernier reste constante, ce qui correspond le plus vraisemblablement à ne variant pas par rapport au temps .

     Remarque : Si le système continu de matière est « ouvert », défini comme le contenu intérieur d'une surface de contrôle fermée, indéformable et fixe, la masse du système peut toujours être définie mais celle-ci est alors dépendante de l'instant considéré «» :

     Remarque : si de la matière sort de l'espace intérieur à sans qu'il y ait d'entrée il y a donc fuite de matière, quand ,

     Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à sans qu'il y ait de sortie il y a donc apport de matière, quand ,

     Remarque : si de la matière entre dans l'espace intérieur à et que, simultanément, il en sort avec le même débit massique cela correspond à un régime stationnaire de matière, quand .

Centre d’inertie (ou centre de masse) d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M)[modifier | modifier le wikicode]

Le centre d'inertie (C.D.I.) [16] du système continu de matière (fermé) d'expansion tridimensionnelle est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant ayant pour densité volumique de cœfficient la masse volumique en chaque point » [17] c.-à-d.

le point tel que [11] est le volume élémentaire défini au point générique dans  ;

         avec point quelconque de l'espace, le vecteur [18] suit la relation [11] la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles [19] d'où [11] et par suite l'une ou l'autre des expressions de .

Le centre d'inertie (C.D.I.) [16] du système continu de matière (fermé) d'expansion surfacique est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant ayant pour densité surfacique de cœfficient la masse surfacique en chaque point » [20] c.-à-d.

le point tel que [14] est l'aire élémentaire définie au point générique dans  ;

         avec point quelconque de l'espace, le vecteur [18] suit la relation [14] la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles [19] d'où [14] et par suite l'une ou l'autre des expressions de .

Le centre d'inertie (C.D.I.) [16] du système continu de matière (fermé) d'expansion linéique est le « barycentre des positions instantanées des points décrivant ayant pour densité linéique de cœfficient la masse linéique en chaque point » [21] c.-à-d.

le point tel que [15] est la longueur élémentaire de l'arc défini au point générique dans  ;

         avec point quelconque de l'espace, le vecteur [18] suit la relation [15] la justification se fait en partant de la définition et en utilisant la relation de Chasles [19] d'où [15] et par suite l'une ou l'autre des expressions de .

« Vecteur résultante cinétique » d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude et son expression classique (ou newtonienne)[modifier | modifier le wikicode]

La résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique classique [22] ou relativiste, est la grandeur vectorielle

[11], [23], [24] dans laquelle est
la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans  ;

         en cinétique classique [22], la résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude se réécrit

[11], [23], [24] dans laquelle
est le vecteur vitesse en à l'instant dans
et la masse volumique du milieu continu en [25] ;

              en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I. [26], [16] du système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle  :

en cinétique classique [22] [27], [28] avec
le vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système à l'instant dans le référentiel .

La résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique classique [22] ou relativiste, est la grandeur vectorielle

[14], [29] dans laquelle est
la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans  ;

         en cinétique classique [22], la résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude se réécrit

[14], [29] dans laquelle
est le vecteur vitesse en à l'instant dans
et la masse surfacique du milieu continu en [30] ;

              en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I. [26], [16] du système continu fermé de matière d'expansion surfacique  :

en cinétique classique [22] [31] avec
le vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système à l'instant dans le référentiel .

La résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion linéique à l'instant dans le référentiel d'étude dans le cadre de la cinétique classique [22] ou relativiste, est la grandeur vectorielle

[15], [32] dans laquelle est
la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans  ;

         en cinétique classique [22], la résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion linéique à l'instant dans le référentiel d'étude se réécrit

[15], [32] dans laquelle
est le vecteur vitesse en à l'instant dans
et la masse linéique du milieu continu en [33] ;

              en cinétique classique lien avec le mouvement du C.D.I. [26], [16] du système continu fermé de matière d'expansion linéique  :

en cinétique classique [22] [34] avec
le vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système à l'instant dans le référentiel .

Complément, expression « relativiste » du « vecteur résultante cinétique » d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude[modifier | modifier le wikicode]

Le vecteur résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude s'écrivant [11], [24] avec dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en , de masse , a pour expression relativiste, à l'instant , est le facteur de Lorentz [35] de l'élément de matière centré en à l'instant dans et la masse volumique de la matière en , on en déduit l'expression relativiste, à l'instant , du vecteur résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion tridimensionnelle en fonction de la vitesse des points dans le référentiel ,

[11], [24] avec
le facteur de Lorentz [35] du milieu en à l'instant .

         Remarques : quand le mouvement du système continu de matière (fermé) d'expansion tridimensionnelle est quelconque, il n'y a pas d'expression de en fonction du vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système car, si [11] s'établit aisément à partir de [11] par dérivation par rapport à [36] dans le cas d'un système fermé [37], on n'en déduit rien sur [11] dans la mesure où dépend effectivement de  ;

         Remarques : dans le cas où le système continu de matière (fermé) d'expansion tridimensionnelle est en translation, tous les points ayant même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26], [16] du système ont même facteur de Lorentz [35] et par suite, pouvant factoriser par ce facteur dans l'expression du vecteur résultante cinétique relativiste [11], [24] du système continu de matière (fermé) d'expansion tridimensionnelle en translation, celui-ci est lié au vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système par

[38], [39].

Le vecteur résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude s'écrivant [14], [29] avec dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en , de masse , a pour expression relativiste à l'instant , où est le facteur de Lorentz [35] de l'élément de matière centré en à l'instant dans et la masse surfacique de la matière en , on en déduit l'expression relativiste, à l'instant , du vecteur résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion surfacique en fonction de la vitesse des points dans le référentiel ,

[14], [29] avec
le facteur de Lorentz [35] du milieu en à l'instant .

         Remarques : quand le mouvement du système continu de matière (fermé) d'expansion surfacique est quelconque, il n'y a pas d'expression de en fonction du vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système car, si [14] s'établit aisément à partir de [14] par dérivation par rapport à [36] dans le cas d'un système fermé [40], on n'en déduit rien sur [14] dans la mesure où dépend effectivement de  ;

         Remarques : dans le cas où le système continu de matière (fermé) d'expansion surfacique est en translation, tous les points ayant même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26], [16] du système ont même facteur de Lorentz [35] et par suite, pouvant factoriser par ce facteur dans l'expression du vecteur résultante cinétique relativiste [14], [29] du système continu de matière (fermé) d'expansion surfacique en translation, celui-ci est lié au vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système par

[38], [41].

Le vecteur résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion linéique à l'instant dans le référentiel d'étude s'écrivant [15], [32] avec dans laquelle le vecteur quantité de mouvement de l'élément de matière centré en , de masse , a pour expression relativiste à l'instant , où est le facteur de Lorentz [35] de l'élément de matière centré en à l'instant dans et la masse linéique de la matière en , on en déduit l'expression relativiste, à l'instant , du vecteur résultante cinétique du système continu de matière (fermé) d'expansion linéique en fonction de la vitesse des points dans le référentiel ,

[15], [32] avec
le facteur de Lorentz [35] du milieu en à l'instant .

         Remarques : quand le mouvement du système continu de matière (fermé) d'expansion linéique est quelconque, il n'y a pas d'expression de en fonction du vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système car, si [15] s'établit aisément à partir de [15] par dérivation par rapport à [36] dans le cas d'un système fermé [42], on n'en déduit rien sur [15] dans la mesure où dépend effectivement de  ;

         Remarques : dans le cas où le système continu de matière (fermé) d'expansion linéique est en translation, tous les points ayant même vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26], [16] du système ont même facteur de Lorentz [35] et par suite, pouvant factoriser par ce facteur dans l'expression du vecteur résultante cinétique relativiste [15], [32] du système continu de matière (fermé) d'expansion linéique en translation, celui-ci est lié au vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système par

[38], [43].

Vecteur moment cinétique d’un système continu de matière par rapport à un point « A »[modifier | modifier le wikicode]

Définition du vecteur moment cinétique d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A[modifier | modifier le wikicode]

     Remarque : , le point origine d'évaluation du vecteur moment cinétique du système relativement à , est un point quelconque de ce dernier, il peut y être fixe ou mobile

Cas d’un système continu de matière en translation dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A[modifier | modifier le wikicode]

Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion tridimensionnelle , de masse volumique , en translation dans le référentiel d'étude , les points ont tous, dans , même vecteur vitesse à un instant , vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26], [16] du système fermé , chaque élément de matière, centré en , de masse , a donc, dans le cadre de la cinétique classique [22], pour vecteur quantité de mouvement et par suite
         le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle , par rapport à un point origine quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans , [11], on peut « factoriser vectoriellement par à droite » [51] d’où [11] et on reconnaît dans le facteur de gauche du membre de droite «» soit [52] ;

         en choisissant le C.D.I. [26], [16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique du système en translation dans , on en déduit [53] ;

         dans le cas d’un système continu « quasi-quelconque » [54] de matière, le vecteur résultante cinétique du système étant lié à sa masse et au vecteur vitesse de son C.D.I. [26], [16] par la relation [55], on peut écrire, pour un système en translation,

[53] et
son cas particulier [53].

Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion surfacique , de masse surfacique , en translation dans le référentiel d'étude , les points ont tous, dans , même vecteur vitesse à un instant , vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26], [16] du système fermé , chaque élément de matière, centré en , de masse , a donc, dans le cadre de la cinétique classique [22], pour vecteur quantité de mouvement et par suite
         le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion surfacique , par rapport à un point origine quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans , [14], on peut « factoriser vectoriellement par à droite » [51] d’où [14] et on reconnaît dans le facteur de gauche du membre de droite «» soit [56] ;

         en choisissant le C.D.I. [26], [16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique du système en translation dans , on en déduit [57] ;

         dans le cas d’un système continu « quasi-quelconque » [54] de matière, le vecteur résultante cinétique du système étant lié à sa masse et au vecteur vitesse de son C.D.I. [26], [16] par la relation [55], on peut écrire, pour un système en translation,

[57] et
son cas particulier [57].

Dans un système continu de matière, fermé, d'expansion linéique , de masse linéique , en translation dans le référentiel d'étude , les points ont tous, dans , même vecteur vitesse à un instant , vecteur vitesse égal à celui du C.D.I. [26], [16] du système fermé , chaque élément de matière, centré en , de masse , a donc, dans le cadre de la cinétique classique [22], pour vecteur quantité de mouvement et par suite
         le vecteur moment cinétique du système continu, fermé, d'expansion linéique , par rapport à un point origine quelconque s'écrivant, pour un système en translation dans , [15], on peut « factoriser vectoriellement par à droite » [51] d’où [15] et on reconnaît dans le facteur de gauche du membre de droite «» soit [58] ;

         en choisissant le C.D.I. [26], [16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique du système en translation dans , on en déduit [59] ;

         dans le cas d’un système continu « quasi-quelconque » [54] de matière, le vecteur résultante cinétique du système étant lié à sa masse et au vecteur vitesse de son C.D.I. [26], [16] par la relation [55], on peut écrire, pour un système en translation,

[59] et
son cas particulier [59].

Complément : expression « relativiste » du vecteur moment cinétique d’un système continu (fermé) de masse volumique µ(M) dans le référentiel d’étude par rapport à un point origine A[modifier | modifier le wikicode]

En cinétique relativiste, le moment cinétique du système continu (fermé) d'expansion tridimensionnelle à l'instant dans le référentiel d'étude évalué relativement au point origine reste défini selon

[11], [24] avec
[60]
la densité volumique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans  ;
soit encore, [11], [24] avec
la masse volumique du milieu en ,
« le vecteur vitesse de dans au même instant » et
le facteur de Lorentz [35] du point à l'instant dans .

         Remarque : S'il est toujours possible, avec point fixe du référentiel , de définir le vecteur position du C.D.I. [26], [16] d'un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en cinétique relativiste selon [11] et
         Remarque : s'il est toujours possible de dériver la relation ci-dessus par rapport à pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système fermé à l'instant dans le référentiel selon [11], il devient impossible, dans le cas général, d'utiliser le 2nd membre de la relation explicitant pour simplifier «» [11] c.-à-d. le moment cinétique relativiste du système [61] et par suite
         Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste du système continu fermé d'expansion tridimensionnelle évalué au point origine à l'instant dans le référentiel et les grandeurs caractérisant le C.D.I. [26], [16] du système fermé à savoir , au même instant, dans le même référentiel

         Cas d'un système continu fermé d'expansion tridimensionnelle en translation dans le référentiel  : tous les points matériels ayant même vecteur vitesse avec le vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système fermé, ont même facteur de Lorentz [35] et par suite, ce dernier pouvant être factorisé dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste [11] du système continu, fermé, d'expansion tridimensionnelle , en translation, évalué en selon [11] dans laquelle pour tout point d'où, par factorisation vectorielle à droite par [51], [11] soit encore, par propriété du C.D.I. [26], [16] du système fermé « » [11], l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport à «» d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation de ce dernier ainsi que le vecteur positionnant son C.D.I. [26], [16]

[62], [39], [63] dans laquelle
est le facteur de Lorentz [35] du système en translation ;

         en choisissant le C.D.I. [26], [16] du système continu fermé de matière comme origine de calcul, à l'instant , du vecteur moment cinétique relativiste du système en translation dans , on en déduit [64] ;

         dans le cas d’un système continu « quelconque » [65] de points en translation dans le référentiel , le vecteur résultante cinétique relativiste du système en translation étant lié à sa masse , à son facteur de Lorentz [35] et à son vecteur vitesse de translation par la relation [66], on peut écrire, pour un système en translation,

[64] et
son cas particulier [64].

En cinétique relativiste, le moment cinétique du système continu (fermé) d'expansion surfacique à l'instant dans le référentiel d'étude évalué relativement au point origine reste défini selon

[14], [29] avec
[67]
la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement relativiste en à l'instant dans  ;
soit encore, [14], [29] avec
la masse surfacique du milieu en ,
« le vecteur vitesse de dans au même instant » et
le facteur de Lorentz [35] du point à l'instant dans .

         Remarque : S'il est toujours possible, avec point fixe du référentiel , de définir le vecteur position du C.D.I. [26], [16] d'un système continu fermé d'expansion surfacique en cinétique relativiste selon [14] et
         Remarque : s'il est toujours possible de dériver la relation ci-dessus par rapport à pour obtenir le vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système fermé à l'instant dans le référentiel selon [14], il devient impossible, dans le cas général, d'utiliser le 2nd membre de la relation explicitant pour simplifier «» [14] c.-à-d. le moment cinétique relativiste du système [68] et par suite
         Remarque : dans le cas général, il n'y a aucun lien entre le moment cinétique relativiste du système continu fermé d'expansion surfacique évalué au point origine à l'instant dans le référentiel et les grandeurs caractérisant le C.D.I. [26], [16] du système fermé à savoir , au même instant, dans le même référentiel

         Cas d'un système continu fermé d'expansion surfacique en translation dans le référentiel  : tous les points matériels ayant même vecteur vitesse avec le vecteur vitesse du C.D.I. [26], [16] du système fermé, ont même facteur de Lorentz [35] et par suite, ce dernier pouvant être factorisé dans la définition du vecteur moment cinétique relativiste [14] du système continu, fermé, d'expansion surfacique , en translation, évalué en selon [14] dans laquelle pour tout point d'où, par factorisation vectorielle à droite par [51], [14] soit encore, par propriété du C.D.I. [26], [16] du système fermé « » [14], l'expression d'un lien entre le vecteur moment cinétique relativiste évalué par rapport à «» d'un système fermé en translation et le vecteur vitesse de translation de ce dernier ainsi que le vecteur positionnant son C.D.I. [26], [16]