Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance

**Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Chapitre n^o 21
Chap. préc. :	Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D
Chap. suiv. :	Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance
Signaux physiques (PCSI)/Circuits électriques dans l'ARQS : intensité, tension, puissance », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace, échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps[modifier | modifier le wikicode]

Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de l'espace[modifier | modifier le wikicode]

Ces notions ont déjà été évoquées en note « ²⁷ » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous les détaillons un peu plus ci-dessous :

échelle macroscopique de l'espace : toute dimension $\;{\mathit {l}}\gtrsim 1\;mm$ ,
échelle microscopique de l'espace : toute dimension $\;{\mathit {l}}\lesssim 1\;nm\;$ de l'ordre de la distance moyenne séparant deux atomes dans un solide ou deux molécules dans un gaz à pression et température usuelles,
échelle mésoscopique de l'espace : les dimensions $\;{\mathit {l}}\sim 1\;\mu m\;$ qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux dimensions microscopiques » ^[1] et comme « des infiniment petits relativement aux dimensions macroscopiques » ^[2].

Échelles macroscopique, mésoscopique et microscopique de temps[modifier | modifier le wikicode]

Ces notions n'ont pas encore été introduites :

échelle macroscopique de temps : toute durée $\;\tau \gtrsim 0,1\;s\;$ supérieure à l'ordre de grandeur de persistance sur la rétine,
échelle microscopique de temps : toute durée $\;\tau \lesssim 10^{-11}\;s\;$ la limite étant d'ordre de grandeur de la durée moyenne entre deux chocs successifs d'une même molécule dans un gaz à pression et température usuelles,
échelle mésoscopique de temps : les durées $\;\tau \sim 1\;\mu s\;$ qui peuvent être envisagées comme « des infiniment grands relativement aux durées microscopiques » ^[3] et comme « des infiniment petits relativement aux durées macroscopiques » ^[4].

Quantification de la charge électrique, conséquence de la petitesse de la charge élémentaire au niveau mésoscopique : continuité mésoscopique apparente de la charge électrique[modifier | modifier le wikicode]

Quantification de la charge électrique, valeur du quantum de charge[modifier | modifier le wikicode]

Les charges individuelles des porteurs de charge mobiles ainsi que celles des ions fixes étant toutes « multiples d'une même charge élémentaire » ^[5], on en déduit que la charge électrique est une grandeur quantifiée, le quantum de charge étant la charge élémentaire $\;e\simeq 1,602\;10^{-19}\;C$ .

Conséquence de la petitesse de la charge élémentaire au niveau mésoscopique : continuité mésoscopique apparente de la charge électrique[modifier | modifier le wikicode]

Considérons la charge électrique correspondant à une circulation d'un courant de très faible intensité $\;1\;nA\;$ pendant une durée mésoscopique $\;\tau =1\;\mu s$ , la charge circulant valant $\;10^{-9}\;A\times 10^{-6}\;s\simeq$ $10^{-15}\;C\;$ ^[6] ^[7] reste « très grande relativement au quantum de charge » ^[8] ;

il est donc légitime, dans la mesure où on fait une observation mésoscopique (ou macroscopique), de négliger la quantification de la charge c.-à-d. de considérer la charge comme une grandeur « continue » ^[9].

Modélisation filiforme d'un circuit électrique, sens (conventionnel) du courant électrique[modifier | modifier le wikicode]

Cette notion a déjà été introduite dans le paragraphe « modélisation filiforme d'un conducteur, sens conventionnel du courant » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », nous la rappelons ci-dessous :

quand une dimension d'un conducteur est très grande par rapport aux deux autres, on modélise le conducteur en négligeant les dimensions transversales, cette limite définissant une portion de circuit « filiforme » ; le courant qui correspondait à la circulation de porteurs de charge à travers les sections droites du conducteur est maintenant une circulation de porteurs de charge à travers les points successifs de la portion de circuit filiforme, le sens (conventionnel) ^[10] du courant étant le sens de déplacement d'ensemble des porteurs de charge positive $\;{\big [}$ et le sens contraire des porteurs de charge négative ^[11] ${\big ]}$ .

Notion de courant électrique et définition de l'intensité du courant en un point du circuit filiforme[modifier | modifier le wikicode]

Ces notions déjà, en grande partie, introduites dans le paragraphe « définition de l'intensité algébrique du courant » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » sont rappelées ci-après :

la définition du courant électrique ayant été rappelée au paragraphe précédent « modélisation filiforme d'un circuit électrique, sens (conventionnel) du courant électrique » plus haut dans ce chapitre, pour algébriser sa circulation, on définit, arbitrairement, un sens $\;+\;$ de mesure de l’intensité du courant :

Intensité algébrique du courant en un point d'un circuit filiforme :

L'intensité algébrique

\;i\;

du courant traversant le circuit filiforme en un point

\;M\;

est la charge traversant le point

\;M\;

dans le sens

\;+\;

par

\;s\;

ou,
si la charge

\;dq\;

traverse

\;M\;

dans le sens

\;+\;

pendant la durée élémentaire

\;dt\;

^[12],

\;i={\dfrac {dq}{dt}}\;

^[13] s'exprimant en

\;A\;

^[14] ; on représente le courant sur un circuit filiforme par une flèche tracée sur les fils de connexion dans le sens

\;+\;

de mesure de l'intensité algébrique et on indique celle-ci à côté de la flèche.

     La durée élémentaire $\;dt\;$ est en fait une durée mésoscopique ^[15], la charge circulant peut donc s'écrire en utilisant la loi des grands nombres $\;dq=q_{p}\;dN_{p}\;$ ^[16] où $\;dN_{p}\;$ est le nombre moyen de porteurs de charge mobiles circulant dans le sens $\;+\;$ pendant $\;dt$ , $\;q_{p}\;$ étant leur charge individuelle ^[17] ;
     on en déduit l'intensité du courant au point $\;M\;$ sous la forme $\;i=q_{p}\;{\dfrac {dN_{p}}{dt}}$ , dans laquelle $\;{\dfrac {dN_{p}}{dt}}\;$ représente le débit (moyen) de porteurs de charge mobiles de charge individuelle $\;q_{p}\;$ dans le sens $\;+$ ;
     exemple une intensité de $\;1\;nA\;$ dans un conducteur métallique correspond à un débit de porteurs de charge mobiles de charge individuelle (fictive) $\;q_{p}=1,602\;10^{-19}\;C\;$ dans le sens $\;+\;$ égal à $\;{\dfrac {dN_{p}}{dt}}={\dfrac {i}{q_{p}}}\simeq {\dfrac {10^{-9}}{1,602\;10^{-19}}}\simeq 6,2\;10^{9}\;s^{-1}\;$ soit un débit d'électrons de conduction dans le sens $\;-\;$ égal à $\;6,2\;10^{9}\;s^{-1}$ .

Cause de l'existence d'un courant dans un circuit électrique[modifier | modifier le wikicode]

Cause dans une partie réceptrice : force électrique « motrice » due à un champ électrique généré par un générateur[modifier | modifier le wikicode]

Revoir les notions exposées dans le paragraphe « nécessité d'imposer une tension aux bornes d'un récepteur pour qu'il soit traversé par un courant » au chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dont les grandes lignes sont rappelées ci-après :

il y a circulation de courant dans la partie réceptrice d'un circuit filiforme si les porteurs de charge mobiles sont soumis à une force motrice d'origine électrique ;

le récepteur est relié à un générateur qui impose en tout point $\;M\;$ du récepteur un champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$ , un porteur mobile de charge $\;q_{p}\;$ subit alors, quand il est en $\;M$ , la force électrique motrice

\;{\vec {F}}_{\text{élect}}(M)=q_{p}\;{\vec {E}}(M)\;

qui permet sa mise en mouvement dans le sens du courant si

\;q_{p}>0\;

et en sens contraire si

\;q_{p}<0\;

^[18] ;

le courant dans un récepteur est donc toujours dans le sens du champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ ^[19].

Cause dans une partie génératrice : force « motrice » due à un champ électromoteur[modifier | modifier le wikicode]

Revoir les notions exposées dans le paragraphe « tension aux bornes d'un générateur et sens du courant dans ce dernier » au chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dont les grandes lignes sont rappelées ci-après :

en tout point $\;M\;$ d'un générateur, existe aussi un champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$ , un porteur mobile de charge $\;q_{p}\;$ est donc aussi soumis, quand il est au point $\;M$ , à une force électrique $\;{\vec {F}}_{\text{élect}}(M)=$ $q_{p}\;{\vec {E}}(M)\;$ mais celle-ci étant « résistive » ^[20],

il existe donc nécessairement, s'exerçant sur chaque porteur mobile de charge $\;q_{p}$ , une force motrice d'origine dépendant de la nature du générateur $\;{\big [}$ origine électrochimique pour une pile $\;{\big (}$ introduction de phénomènes d'oxydo-réduction ${\big )}\;$ ou origine électromécanique pour un alternateur $\;{\big (}$ introduction de phénomènes d'induction qui seront également vus dans chap. $14$ « circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire : conversion de puissance mécanique en puissance électrique » de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) » ${\big )}{\big ]}\;$ et s'écrivant en fonction d'un champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;$ indépendant du porteur

\;{\vec {F}}_{\text{électrom}}(M)=q_{p}\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;

^[21] ;

le courant dans un générateur est donc toujours dans le sens du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}\;$ ^[22] c.-à-d. encore dans le sens contraire du champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ ^[23].

Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans le sens du courant[modifier | modifier le wikicode]

Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans une partie réceptrice[modifier | modifier le wikicode]

Un porteur mobile de charge $\;q_{p}$ , quand il est au point $\;M\;$ d'une partie réceptrice, dans le champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$ , possède de l'énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}(M)\;$ ^[24] tout comme un objet de masse $\;m$ , quand il est au point $\;M\;$ de l'espace, dans le champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}$ , possède de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)$ ;

si $\;q_{p}\;$ est $\;>0\;$ son énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}\;$ qui est aussi le sens du courant dans la partie réceptrice ^[25], comme l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet $\;U_{\text{pes}}\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {g}}\;$ qui est le sens spontané de déplacement de l'objet ^[26] ;

comme un courant est une circulation de porteurs mobiles dont le sens est celui du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive ^[27], on en déduit que l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge ${\underline {\big (}}$ positive ou négative ${\underline {\big )}}$ dans une partie réceptrice décroît dans le sens du courant.

Variation de l'énergie potentielle électrique d'un porteur de charge mobile dans une partie génératrice[modifier | modifier le wikicode]

Un porteur mobile de charge $\;q_{p}$ , quand il est au point $\;M\;$ d'une partie génératrice, dans le champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$ , possède aussi de l'énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}(M)\;$ ^[24] tout comme un objet de masse $\;m$ , quand il est au point $\;M\;$ de l'espace, dans le champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}$ , possède de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)$ ;

si $\;q_{p}\;$ est $\;>0\;$ son énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}\nearrow \;$ dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}\;$ qui est aussi le sens du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}\;$ et le sens du courant dans la partie génératrice ^[28], comme l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet $\;U_{\text{pes}}\nearrow \;$ dans le sens contraire de $\;{\vec {g}}\;$ qui est le sens provoqué de déplacement de l'objet dont on veut provoquer une remontée ^[26] ;

comme un courant est une circulation de porteurs mobiles dont le sens est celui du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive ^[27], on en déduit que l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge ${\underline {\big (}}$ positive ou négative ${\underline {\big )}}$ dans une partie génératrice croît dans le sens du courant.

Potentiel d'un point d'un circuit électrique, choix de la référence de potentiel, définition de la tension entre deux points d'un circuit[modifier | modifier le wikicode]

Potentiel d'un point d'un circuit électrique[modifier | modifier le wikicode]

Comme l'énergie potentielle de pesanteur terrestre d'un objet en une position $\;M\;$ de l'espace $\;U_{\text{pes}}(M)\;$ est $\;\propto \;$ à la masse $\;m\;$ de l'objet, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge en une position $\;M\;$ d'un circuit électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}(M)\;$ est $\;\propto \;$ à la charge $\;q_{p}\;$ du porteur, l'autre facteur ne dépendant que de la position dans l'espace champ de pesanteur ou électrique ;

pour l'objet de masse $\;m\;$ dans le champ de pesanteur $\;{\vec {g}}$ , l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit

\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z_{M}\;

^[29]
où

\;z_{M}\;

représente l'altitude de la position

\;M\;

où se trouve l'objet par rapport au sol ^[30],

de même on définit l'énergie potentielle électrique du porteur de charge $\;q_{p}\;$ dans le champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ selon

\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}(M)=q_{p}\;V(M)\;

où

\;V(M)\;

représente le potentiel électrique en

\;M\;

où se trouve le porteur,
potentiel mesuré par rapport à une position particulière appelée « masse du circuit » ^[31] ;

le potentiel électrique $\;V(M)\;$ ${\big (}$ exprimé en $\;V{\big )}\;$ décroît dans le sens du champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ ^[32], en effet

dans une partie réceptrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge positive $\;\searrow \;$ dans le sens du courant donc dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)\;$ et, comme $\;q_{p}\;$ est $\;>0$ , le potentiel électrique $\;\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)\;$ ^[33],
dans une partie génératrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge positive $\;\nearrow \;$ dans le sens du courant qui est le sens du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;$ et par suite le sens contraire du champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ et, comme $\;q_{p}\;$ est $\;>0$ , le potentiel électrique qui $\;\nearrow \;$ dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}(M)$ , $\;\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)\;$ ^[34].

Choix de la référence du potentiel[modifier | modifier le wikicode]

L'énergie potentielle électrique nécessitant, comme toute énergie potentielle, de préciser sa « référence » ^[35], il en est de même du potentiel électrique qui n'est donc défini qu'à une constante additive près, on choisit donc l'endroit où le potentiel est considéré comme nul et cet endroit définit la « masse du circuit » ^[36].

Définition de la tension entre deux points d'un circuit, différence de potentiel (ou d.d.p.)[modifier | modifier le wikicode]

De même que l'on définit une dénivellation dans un champ de pesanteur comme une différence d'altitudes, on définit une tension dans un champ électrique comme une différence de potentiels ou d.d.p., plus précisément la tension entre les points $\;A\;$ et $\;B\;$ d'un même circuit, noté $\;u_{AB}\;$ et égale à la différence de potentiels ou d.d.p. $\;V(A)-V(B)\;$ ou

\;u_{AB}=V(A)-V(B)\;

représentée à côté de la portion de circuit entre $\;A\;$ et $\;B\;$ par une flèche allant de $\;B\;$ vers $\;A\;$ ^[37], la valeur de la tension étant notée à côté de la flèche.

Sens du courant relativement au sens de variation des potentiels[modifier | modifier le wikicode]

Dans une partie réceptrice, le sens du courant étant dans le sens du champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ et ce dernier dans le sens des potentiels $\;\searrow$ ,

le courant est toujours dans le sens des potentiels

\;\searrow

,
par conséquent le sens du courant est toujours opposé au sens de la « flèche tension » choisie positive ;

dans une partie génératrice, le sens du courant étant dans le sens du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}\;$ soit dans le sens contraire du champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$ ,
dans une partie génératrice, le sens du courant étant dans le sens du champ électromoteur $\;\color {transparent}{{\vec {E}}_{\text{électromot}}}\;$ soit dans le sens de ce dernier étant dans le sens des potentiels $\;\searrow$ ,

le courant est toujours dans le sens des potentiels

\;\nearrow

,
par conséquent le sens du courant est toujours de même sens que la « flèche tension » choisie positive.

Notion d'A.R.Q.S. et condition d'application en fonction de la taille du circuit et de la fréquence[modifier | modifier le wikicode]

En régime dépendant du temps, la propagation d'une onde électrique le long d'un circuit est aussi celle du champ électrique, elle se fait donc à la célérité $\;c=3\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\;$ ^[38] ;

ainsi un champ électrique existant en $\;M\;$ à la date $\;t$ , se retrouvera en $\;M'\;$ ${\big (}$ séparé de $\;\Delta {\mathit {l}}>0\;$ de $\;M{\big )}\;$ à la date $\;t+{\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{c}}$ ; on pourra encore affirmer que l'intensité en $\;M'\;$ à la date $\;t\;$ était celle existant en $\;M\;$ à la date $\;t-{\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{c}}\;$ ou

\;i\!\left(M'\,,\,t\right)=i\!\left(M\,,\,t-{\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{c}}\right)

;

l'A.R.Q.S. ${\underline {\big (}}$ approximation des régimes quasi-stationnaires ${\underline {\big )}}$ nécessite qu'à un instant $\;t$ , l'intensité soit indépendante de $\;M\;$ c.-à-d. que

\;i\!\left(M'\,,\,t\right)\simeq i\!\left(M\,,\,t\right)

,

ceci suppose que la durée de propagation $\;\tau ={\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{c}}$ entre deux points quelconques séparés de $\;\Delta {\mathit {l}}\;$ puisse être négligée par rapport à $\;\Delta t_{i}$ , durée caractérisant la variation de $\;i\;$ ^[39] ou encore

\;\tau ={\dfrac {\Delta {\mathit {l}}}{c}}\ll \Delta t_{i}

;

notant $\;{\mathit {l}}\;$ la longueur du circuit, la condition d'A.R.Q.S. sera réalisée pour deux points choisis de façon quelconque sur le circuit si

\;\tau _{\text{max}}={\dfrac {\mathit {l}}{c}}\ll \Delta t_{i}

.

Cas d'un régime dépendant du temps $\;T$ -périodique : choisissant la période $\;T\;$ comme durée caractérisant la variation de l'intensité,

la condition d'A.R.Q.S. s'écrit

\;\tau _{\text{max}}={\dfrac {\mathit {l}}{c}}\ll T\;

\Leftrightarrow

\;{\mathit {l}}=c\;\tau _{\text{max}}\ll c\;T={\dfrac {c}{f}}\;

ou encore

\;{\mathit {l}}\ll \lambda ={\dfrac {c}{f}}\;

^[40] soit aussi

\;f\ll {\dfrac {c}{\mathit {l}}}

.

Exemples de calcul : un circuit de T.P. ayant pour longueur $\;{\mathit {l}}\sim 3,0\;m$ , la condition d'A.R.Q.S. nécessite que la longueur d'onde de l'onde électrique se propageant dans le circuit vérifie $\;\lambda \gg l\sim 3,0\;m\;$ soit, en travaillant à $\;10\,\%$ près, $\;\lambda \gtrsim 30\;m\;$ d'où une fréquence $\;f={\dfrac {c}{\lambda }}$ $\lesssim {\dfrac {3\;10^{8}}{30}}=10^{7}\;Hz\;$ soit $\;f\lesssim 10\;MHz\;$ ce qui, correspondant à la fréquence maximale des générateurs de fonctions « usuels » des salles de T.P., fait que l'A.R.Q.S. sera toujours applicable dans ces dernières ;

Exemples de calcul : avec une fréquence « domestique » $\;f=50\;Hz\;$ correspondant à une longueur d'onde $\;\lambda ={\dfrac {c}{f}}={\dfrac {3\;10^{8}}{50}}=$ $6\;10^{6}\;m\;$ soit $\;\lambda =6000\;km$ , la condition d'A.R.Q.S. de longueur d'un circuit admissible est $\;{\mathit {l}}\ll 6000\;km\;$ soit, en travaillant à $\;10\,\%$ près, $\;{\mathit {l}}\lesssim 600\;km\;$ ce qui reste usuellement réalisé dans la mesure où le circuit ne traverse pas toute la France !

Contre-exemple de calcul : les fréquences utilisées dans les antennes d'émission d'ondes électromagnétiques sont plus élevées pouvant dépasser le $\;GHz\;$ ^[41], une fréquence $\;f=1\;GHz\;$ correspondant à une longueur d'onde $\;\lambda ={\dfrac {c}{f}}={\dfrac {3\;10^{8}}{10^{9}}}=$ $0,3\;m\;$ soit $\;\lambda =30\;cm$ , la condition d'A.R.Q.S. de longueur d'une antenne admissible est $\;{\mathit {l}}\ll 30\;cm\;$ soit, en travaillant à $\;10\,\%$ près, $\;{\mathit {l}}\lesssim 3\;cm\;$ ce qui, ne pouvant pas être réalisé, montre que l'A.R.Q.S. ne sera pas une bonne approximation de courant dans les antennes.

Conservation de la charge en A.R.Q.S. et conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Conservation de la « charge mobile » entre deux points fixés d'un circuit en A.R.Q.S.[modifier | modifier le wikicode]

À l'instant $\;t\;$ on appelle « charge mobile » entre deux points fixés $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ du circuit, « la charge des porteurs de charge mobiles y étant présents à cet instant », cette charge restant constante en régime permanent est supposée, en A.R.Q.S., ne pas varier avec le temps sur l'échelle de temps $\;\Delta t_{i}\;$ caractérisant la variation de l'intensité.

Indépendance de l'intensité du courant d'un circuit série relativement au point considéré[modifier | modifier le wikicode]

Une conséquence de la conservation de la « charge mobile » entre deux points fixés $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ d'un circuit série en A.R.Q.S., est que la « charge mobile $\;dq_{1}\;$ entrant par $\;M_{1}\;$ pendant la durée élémentaire $\;dt\;$ » doit être égale à la « charge mobile $\;dq_{2}\;$ sortant par $\;M_{2}\;$ pendant la même durée élémentaire $\;dt\;$ » ^[42], ce qui implique, en divisant chaque membre par $\;dt$ ,

\;i(M_{1},\,t)=i(M_{2},\,t)

;

en A.R.Q.S., on parle donc d'« intensité du courant traversant la portion de circuit filiforme » sans référence au point traversé, intensité que l'on note $\;i(t)$ ; on représente alors le sens « $\;+\;$ » du courant par une flèche chevauchant le circuit série en un point quelconque de ce dernier en indiquant, à côté de la flèche, la valeur de l'intensité algébrique du courant $\;i(t)\;$ ^[43].

Loi des nœuds[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un nœud

Un nœud est un point d'où partent au moins trois portions de circuits filiformes.

Énoncé de la loi des nœuds

En un nœud, la somme des intensités $\;{\big (}$ algébriques ${\big )}\;$ des courants y arrivant à l'instant $\;t\;$ ^[44] est égale à la somme des intensités des courants en repartant au même instant ^[44].

Démonstration : Cela découle directement de la conservation de la « charge mobile » présente à l'intérieur d'une sphère centrée sur le nœud $\;N\;$ et de très petit rayon ;

Démonstration : s'il y a trois portions de circuit filiforme $\;({\mathfrak {1}})$ , $\;({\mathfrak {2}})\;$ et $\;({\mathfrak {3}})\;$ reliées au nœud $\;N\;$ ^[45] et si on appelle $\;M_{1}$ , $\;M_{2}\;$ et $\;M_{3}\;$ les intersections de la sphère avec les portions $\;({\mathfrak {1}})$ , $\;({\mathfrak {2}})\;$ et $\;({\mathfrak {3}})$ , on doit avoir, dans la mesure où les sens $\;+\;$ des courants sur les portions $\;({\mathfrak {1}})$ , $\;({\mathfrak {2}})\;$ et $\;({\mathfrak {3}})\;$ sont

vers $\;N\;$ pour $\;({\mathfrak {1}})\;$ et $\;({\mathfrak {2}})\;$ ^[45] et
s'éloignant de $\;N\;$ pour $\;({\mathfrak {3}})\;$ ^[45],

la « charge mobile » entrante dans la sphère entre $\;t\;$ et $\;t+dt\;$ égale à la « charge mobile » sortante de la sphère entre les mêmes instants ^[46] soit, avec $\;dq_{1}\;$ ${\big (}$ respectivement $dq_{2}{\big )}\;$ la « charge mobile » entrante dans la sphère par $\;M_{1}\;$ ${\big (}$ respectivement par $M_{2}{\big )}\;$ et $\;dq_{3}\;$ la « charge mobile » sortante de la sphère par $\;M_{3}$ ,

\;dq_{1}+dq_{2}=dq_{3}

,

d'où, en divisant chaque membre par la durée élémentaire considérée $\;dt\;$ et par utilisation des intensités (algébriques) des courants sur chaque fil de connexion $\;i_{k}(t)={\dfrac {dq_{k}}{dt}},\;k\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]$ ^[47],

\;i_{1}(t)+i_{2}(t)=i_{3}(t)\;

^[48] ^[49].

Exemple d'utilisation de la loi des nœuds, nombre d'équations de nœud indépendantes dans un circuit à n nœuds[modifier | modifier le wikicode]

On considère le circuit à $\;4\;$ nœuds ci-dessous et nous allons vérifier qu'il n'y a que $\;3\;$ équations de nœud indépendantes, la 4^ème étant une combinaison linéaire des trois autres ;

on pourra alors retenir que, dans un circuit à

{\underline {n}}

nœuds, il n'y a que

{\underline {n-1}}

équations de nœud indépendantes ;

on choisit d'abord les sens $\;+\;$ de courant sur les $\;6\;$ portions de circuit filiforme en commençant par celle contenant le générateur $\;{\big [}$ si celui-ci est un générateur de tension permanente on a supposé que sa borne $\;+\;$ est à gauche $\;{\big (}$ hypothèse $\;a{\big )}$ , le sens $\;+\;$ choisi correspondant alors à $\;i>0{\big ]}\;$ puis les quatre autres fixant les sens $\;+\;$ dans les portions autres que celles de l'ampèremètre $\;{\big [}$ les choix correspondant là encore à des intensités $\;>0\;$ dans l'hypothèse $\;a{\big ]}\;$ et enfin la portion contenant l'ampèremètre $\;{\big [}$ la seule arbitraire dans l'hypothèse $\;a{\big ]}$ ;

la loi des nœuds appliquée successivement aux nœuds $\;A$ , $\;B\;$ et $\;C\;$ nous conduit aux équations suivantes :

nœud $\;A$ : $\;i=i_{1}+i_{2}$ ,
nœud $\;B$ : $\;i_{1}=i_{3}+i_{5}\;$ introduisant, en plus des précédents, les courants d'intensités $\;i_{3}\;$ et $\;i_{5}$ ,
nœud $\;C$ : $\;i_{2}+i_{5}=i_{4}\;$ introduisant, en plus des précédents, le courant d'intensité $\;i_{4}$ ;

montrons alors que la loi de nœud $\;D\;$ est une combinaison linéaire de celles des nœuds $\;A$ , $\;B\;$ et $\;C\;$ en effet elle donnerait : $\;i_{4}+i_{3}=i\;$ n'adjoignant aucun nouveau courant non introduit précédemment et, cette équation pouvant être réécrite $\;i=i_{4}+i_{3}\;$ est alors la somme membre à membre des trois autres $\;i+i_{1}+\left(i_{2}+i_{5}\right)=\left(i_{1}+i_{2}\right)+\left(i_{3}+i_{5}\right)+i_{4}\;$ soit, par simplification évidente $\;i=i_{4}+i_{3}$ .

Conséquences de la notion de potentiel en A.R.Q.S.[modifier | modifier le wikicode]

Même tension aux bornes de deux branches en parallèle[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une branche

Une branche est toute partie filiforme entre deux nœuds successifs ^[50], les différentes branches entre ces deux nœuds successifs étant dites « montées en parallèle » ^[51].

Loi de tension concernant les branches montées en parallèle

Aux bornes de deux branches montées en parallèle on a la même tension.

Justification : cela découle du fait que la tension aux bornes de chaque branche est la différence des potentiels des nœuds limitant chaque branche quelle que soit la branche considérée.

Rappel, représentation de ${\underline {u(t)}}$ sur un circuit : on précise le sens $\;+\;$ de tension par une flèche à côté de la portion de circuit considérée entre deux points $\;{\big (}$ ou de la branche entre deux nœuds ${\big )}\;$ allant du point origine $\;B\;$ de la d.d.p. à son point extrémité finale $\;A$ , en indiquant, à côté de la flèche, la valeur de tension algébrique $\;u(t)=V_{A}(t)-V_{B}(t)\;$ $\;{\big (}$ la flèche précisant le sens $\;+\;$ de tension placée à côté de la portion de circuit considérée est appelée, par la suite, « flèche tension » ${\big )}$ .

Loi des mailles[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une maille

Une maille est un circuit fermé constitué de branches successives décrites une seule fois.

Énoncé de la loi des mailles

La somme des tensions aux bornes des branches successives d'une maille, partant d'un nœud et y revenant, est nulle.

Justification : cela découle du fait que la tension est une d.d.p., ainsi quand on fait la somme des tensions en tournant dans un sens ou dans l'autre, les potentiels de chaque nœud apparaissent deux fois, une fois avec le signe $\;+\;$ et l'autre fois avec le signe $\;-\;$ $\;\ldots$

Choix d'un sens ${\underline {\;+\;}}$ de mesure des tensions d'une maille : on précise le sens $\;+\;$ dans lequel on tourne pour décrire la maille, a priori « arbitraire » ^[52], il doit toujours être rappelé au centre de la maille.

Exemple d'utilisation de la loi des mailles, équations de mailles indépendantes dans un circuit (Γ) à n nœuds et b branches[modifier | modifier le wikicode]

On considère le même circuit que précédemment, circuit à $\;4\;$ nœuds et $\;6\;$ branches ci-dessous où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les $\;6\;$ branches, il nous faut donc $\;6\;$ équations indépendantes ; nous avons vu qu'il y a $\;3\;$ équations de nœud indépendantes, il est donc nécessaire de trouver $\;3\;$ équations de mailles indépendantes ^[53] :

les mailles indépendantes choisies sont :

maille $\;(I)\;$ succession de la branche $\;(1)$ , l'ampèremètre et la branche $\;(2)$ , choix d'un sens $\;+\;$ dans le sens horaire d'où $\;u_{1}+u_{5}+u_{2}=0\;$ ^[54],
maille $\;(II)\;$ succession de l'ampèremètre, la branche $\;(3)\;$ et la branche $\;(4)$ , les branches $\;(3)\;$ et $\;(4)\;$ étant de nouvelles branches non encore introduites, on y choisit un sens $\;+\;$ dans le sens horaire d'où $\;{u'}_{5}+u_{3}+u_{4}=0\;$ ^[55],
maille $\;(III)\;$ succession de la branche $\;(4)$ , le générateur et la branche $\;(2)$ , le générateur étant une nouvelle branche non encore introduite, on y choisit un sens $\;+\;$ dans le sens horaire d'où $\;{u'}_{4}+u+{u'}_{2}$ $=0\;$ ^[56],
pour terminer il conviendra d'exprimer ces tensions en fonction des intensités traversant les branches $\;{\big (}$ et on le fera par la suite directement sans introduire les tensions $\;u$ , $\;u_{1}$ , $\;u_{2}\;$ ou $\;{u'}_{2}$ , $\;u_{3}$ , $\;u_{4}\;$ ou $\;{u'}_{4}$ , $\;u_{5}\;$ ou $\;{u'}_{5}{\big )}$ , voir le paragraphe « Écriture des lois de mailles indépendantes choisies dans un circuit (Γ) à 4 nœuds et 6 branches » plus bas dans ce chapitre.

Lois de Kirchhoff[modifier | modifier le wikicode]

L'ensemble des lois des nœuds et des lois de mailles d'un circuit constitue les lois de Kirchhoff ^[57] du circuit.

Conventions récepteurs et générateurs dans une branche[modifier | modifier le wikicode]

Conventions récepteurs dans une branche[modifier | modifier le wikicode]

« La flèche tension aux bornes de la branche » est « de sens contraire » à « la flèche courant traversant la branche » ^[58] ;

ces conventions sont bien adaptées à un récepteur car le sens $\;+\;$ de courant y est dans le sens $\;-\;$ des tensions c.-à-d. dans le sens $\;+\;$ des potentiels $\;\searrow$ ,

\;i(t)\;

et

\;u(t)\;

en convention récepteur sont donc toujours de même signe dans un récepteur,

mais on est parfois obligé de considérer ces conventions pour un générateur ^[59], lesquelles sont alors mal adaptées car

\;i(t)\;

et

\;u(t)\;

en convention récepteur sont de signe contraire dans un générateur.

Conventions générateurs dans une branche[modifier | modifier le wikicode]

« La flèche tension aux bornes de la branche » est « de même sens » que « la flèche courant traversant la branche » ^[60] ;

ces conventions sont bien adaptées à un générateur car le sens $\;+\;$ de courant y est dans le sens $\;+\;$ des tensions c.-à-d. encore dans le sens $\;+\;$ des potentiels $\;\nearrow$ ,

\;i(t)\;

et

\;u(t)\;

en convention générateur sont donc toujours de même signe dans un générateur,

mais on est parfois obligé de considérer ces conventions pour un récepteur ^[59], lesquelles sont alors mal adaptées car

\;i(t)\;

et

\;u(t)\;

en convention générateur sont de signe contraire dans un récepteur.

Écriture des lois de mailles indépendantes choisies dans un circuit (Γ) à 4 nœuds et 6 branches[modifier | modifier le wikicode]

On considère le même circuit que précédemment, circuit à $\;4\;$ nœuds et $\;6\;$ branches ci-contre où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les $\;6\;$ branches, il nous faut donc $\;6\;$ équations indépendantes ; nous avons vu qu'il y a $\;3\;$ équations de nœud indépendantes et que l'on peut trouver $\;3\;$ équations de mailles indépendantes ^[61] ; on se propose ici de réécrire les équations de mailles choisies sachant que les branches $\;(1)$ , $\;(2)$ , $\;(3)$ , $\;(4)\;$ ou $\;(5)\;$ sont équivalentes à un conducteur ohmique de résistance $\;R_{1}$ , $\;R_{2}$ , $\;R_{3}$ , $\;R_{4}\;$ ou $\;R_{5}\;$ ^[62] :

maille $\;(I)$ : $\;-R_{1}\;i_{1}-R_{5}\;i_{5}+R_{2}\;i_{2}=0\;$ car les branches $\;(1)\;$ et $\;(5)\;$ sont en convention générateur et la branche $\;(2)\;$ en convention récepteur,
maille $\;(II)$ : $\;R_{5}\;i_{5}-R_{3}\;i_{3}+R_{4}\;i_{4}=0$ , les branches $\;(5)\;$ et $\;(4)\;$ étant en convention récepteur ^[63] et la branche $\;(3)\;$ en convention générateur,
maille $\;(III)$ : $\;-R_{4}\;i_{4}+u-R_{2}\;i_{2}=0$ , les branches $\;(4)\;$ et $\;(2)\;$ étant en convention générateur ^[64] avec $\;u\;$ la tension aux bornes du générateur dans le sens $\;+\;$ choisie sur la maille ^[65].

Commentaires : les $\;3\;$ équations de nœud indépendantes et ces $\;3\;$ équations de maille indépendantes conduisent à un système de $\;6\;$ équations linéaires indépendantes aux $\;6\;$ inconnues $\;i$ , $\;i_{1}$ , $\;i_{2}$ , $\;i_{3}$ , $\;i_{4}\;$ et $\;i_{5}$ ; la « résolution de ce système » ^[66] nous permettrait de trouver une solution unique dépendant de la valeur de tension $\;u\;$ et de celles des résistances à savoir « $\;\left(i_{0},\,i_{1,\,0},\,i_{2,\,0},\,i_{3,\,0},\,i_{4,\,0},\,i_{5,\,0}\right)\;$ » $\;\ldots$

Ordres de grandeurs des intensités et des tensions dans différents domaines d'application[modifier | modifier le wikicode]

Domaine de l'électronique[modifier | modifier le wikicode]

Ordre de grandeur des intensités, quelques $\;mA\;$ et
celui des tensions, quelques $\;V$ ;

nous verrons qu'il existe des courants d'intensité nettement plus faible allant jusqu'à quelques $\;nA\;$ mais alors $\;-\;$ sauf exception $\;-\;$ il sera légitime de considérer leur intensité comme nulle comparée aux autres intensités ;

de même il existe des tensions nettement plus faibles allant jusqu'à quelques $\;\mu V\;$ mais il sera aussi légitime de les considérer comme nulles comparées aux autres tensions.

Domaine de l'électricité domestique[modifier | modifier le wikicode]

Ordre de grandeur des intensités, quelques $\;A\;$ et
la tension en régime alternatif du réseau actuel, $\;220\;V\;$ ^[67].

Domaine de l'électrotechnique[modifier | modifier le wikicode]

Ordre de grandeur des intensités, quelques $\;kA\;$ et
celui des tensions, quelques $\;kV$ ;

par exemple les moteurs électriques des T.G.V. délivrent des courants d'intensité de $\;500\;$ à $\;1000\;A$ , les tensions dépendant, quant à elles, du réseau, ainsi le réseau « bicourant » ^[68] T.G.V. S.E. fonctionne en régime permanent sous tension de $\;1500\;V\;$ ou en régime alternatif sous tension de $\;25\;kV\;$ ^[69].

Domaine des phénomènes naturels[modifier | modifier le wikicode]

Les intensités dans les éclairs d'orage peuvent atteindre $\;500\;kA\;$ pendant une durée très brève et
les tensions correspondantes être de $\;100\;MV$ .

Notion de puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit[modifier | modifier le wikicode]

Définition de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit[modifier | modifier le wikicode]

La puissance instantanée électrique $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;$ reçue par la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ à l'instant $\;t\;$ est la puissance instantanée développée par les forces électriques exercées sur tous les porteurs de charge mobiles qui sont présents dans la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ à l'instant $\;t$ ;

si la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ est un récepteur, les forces électriques sont motrices et la puissance instantanée électrique reçue est positive mais

si la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ est un générateur, les forces électriques sont résistives et la puissance instantanée électrique reçue est négative ;

mathématiquement

\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=\sum \limits _{{\text{présents dans }}{\mathcal {C}}\,{\text{à }}t}^{\text{tous les porteurs}}{\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]\;

où

\;M_{t}\;

est la position du porteur à l'instant

\;t

,
avec

\;{\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]=q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}(M_{t})\;

la puissance développée par la force électrique ^[70]
s'exerçant sur le porteur passant en

\;M_{t}\;

avec la vitesse d'entraînement

\;{\vec {v}}(M_{t})\;

^[71].

Expression, en convention récepteur, de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant[modifier | modifier le wikicode]

On admet, pour l'instant ^[72], l'expression de la puissance instantanée électrique reçue par la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}$ , puissance instantanée notée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;$ et exprimée en $\;W$ , la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ étant telle que $\;u(t)\;$ est la tension instantanée en ses bornes exprimée en $\;V\;$ et $\;i(t)\;$ l'intensité instantanée du courant la traversant en $\;A$ , les deux obéissant à une convention récepteur,

\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=u(t)\;i(t)

.

Vérification du signe de la puissance instantanée électrique reçue suivant la nature réceptrice ou génératrice de la portion de circuit[modifier | modifier le wikicode]

En convention récepteur, la tension aux bornes d'un récepteur et l'intensité du courant le traversant étant de même signe, on vérifie $\;-\;$ d'après la formule précédente $\;-\;$ que la puissance instantanée électrique reçue par un récepteur est positive, alors que,

En convention récepteur, la tension aux bornes d'un générateur et l'intensité du courant le traversant étant de signe contraire, on vérifie $\;-\;$ d'après la formule précédente $\;-\;$ que la puissance instantanée électrique reçue par un générateur est négative.

Notion de puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit[modifier | modifier le wikicode]

Bilan de puissance instantanée électrique reçue par un circuit série fermé[modifier | modifier le wikicode]

Considérons le circuit série fermé constitué

d'une portion de circuit $\;({\mathcal {C}})\;$ limitée par les points $\;A\;$ et $\;A'$ , portion de circuit que nous noterons par la suite $\;A({\mathcal {C}})A'\;$ et, pour assurer la fermeture du circuit,
d'un fil de connexion $\;({\mathcal {f}})\;$ reliant les points $\;A'\;$ et $\;A\;$ , fil de connexion que nous noterons par la suite $\;A'({\mathcal {f}})A$ ;

on peut évaluer la puissance instantanée électrique reçue par la portion de circuit $\;A({\mathcal {C}})A'\;$ avec choix d'une convention récepteur pour cette portion selon $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left[A({\mathcal {C}})A'\right]=u(t)\;i(t)\;$ où $\;u(t)\;$ est la tension aux bornes de la portion de circuit, $\;i(t)\;$ étant l'intensité du courant la traversant ;

raccourcissant le fil de connexion $\;A'({\mathcal {f}})A\;$ de façon à ce que $\,A'\;$ tende vers $\;A$ , la portion de circuit $\;A({\mathcal {C}})A'\;$ tend alors vers le circuit fermé $\;A({\mathcal {C}})A\;$ et simultanément $\;u(t)\rightarrow V_{A}(t)-V_{A}(t)=0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left[A({\mathcal {C}})A'\right]\rightarrow {\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left[A({\mathcal {C}})A\right]=0\;$ établissant que

la puissance instantanée électrique reçue par un circuit série fermé est nulle.

Définition de la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit[modifier | modifier le wikicode]

Considérons un circuit série fermé constitué d'une partie réceptrice $\;(\mathrm {recept} )\;$ et d'une partie génératrice $\;(\mathrm {generat} )$ , du bilan de puissance établi au paragraphe précédent on en déduit :

\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {recept} ,\;t\right)+{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {generat} ,\;t\right)=0\;

ou que

\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {generat} ,\;t\right)=-{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {recept} ,\;t\right)

;

ayant choisi la convention récepteur pour la partie réceptrice (voir figure ci-contre), les mêmes grandeurs correspondent à la convention générateur pour la partie génératrice ;

sachant que $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {recept} ,\;t\right)=u(t)\;i(t)\;$ ^[73] on déduit, du bilan de puissance reçue, la puissance instantanée électrique reçue par la partie génératrice $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left(\mathrm {generat} ,\;t\right)=-u(t)\;i(t)$ ;

ainsi en convention générateur, la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ s'évalue selon $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=-u(t)\;i(t)\;$ ^[74] ;

on définit alors la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;$ comme l'opposé de la puissance instantanée électrique reçue $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;$ soit

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=-{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;

.

Expression, en convention générateur, de la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant[modifier | modifier le wikicode]

Ayant vu qu'en convention générateur, la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit s'écrit $\;-u(t)\;i(t)\;$ et
Ayant vu que la puissance instantanée électrique fournie en est l'opposé, on en déduit :

l'expression de la puissance instantanée électrique fournie par la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}$ , puissance instantanée notée $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)\;$ et exprimée en $\;W$ , la portion de circuit $\;{\mathcal {C}}\;$ étant telle que $\;u(t)\;$ est la tension instantanée en ses bornes exprimée en $\;V\;$ et $\;i(t)\;$ l'intensité instantanée du courant la traversant en $\;A$ , les deux obéissant à une convention générateur,

\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=u(t)\;i(t)

.

Remarque : pour être complet il convient d'ajouter que la puissance instantanée électrique fournie par une portion de circuit s'écrira en convention récepteur $\;{\mathcal {P}}_{e,\,f}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=-u(t)\;i(t)$ $\;\ldots$

Vérification du signe de la puissance instantanée électrique fournie suivant la nature génératrice ou réceptrice de la portion de circuit[modifier | modifier le wikicode]

En convention générateur, la tension aux bornes d'un générateur et l'intensité du courant le traversant étant de même signe, on vérifie $\;-\;$ d'après la formule précédente $\;-\;$ que la puissance instantanée électrique fournie par un générateur est positive, alors que,

En convention générateur, la tension aux bornes d'un récepteur et l'intensité du courant le traversant étant de signe contraire, on vérifie $\;-\;$ d'après la formule précédente $\;-\;$ que la puissance instantanée électrique fournie par un récepteur est négative.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

↑ Exemple d'une chaîne linéaire d'atomes : la distance entre deux atomes est d'échelle microscopique, une distance de $\;1\;\mu m\;$ sur cette chaîne d'échelle mésoscopique et celle de $\;1\;mm\;$ sur cette même chaîne d'échelle macroscopique ;
nous pourrions déterminer la masse d'un échantillon mésoscopique de $\;1\;\mu m\;$ de chaîne d'atomes en multipliant la masse d'un atome par le nombre d'atomes comptés mais ce dernier étant grand et difficilement comptable, nous déduirons la masse de l'échantillon en multipliant la masse d'un atome par le nombre moyen d'atomes c.-à-d. en appliquant la loi des grands nombres à l'échantillon mésoscopique $\;{\big (}$ ou encore en y faisant une étude statistique ${\big )}$ .
↑ Reprenant l'exemple de la chaîne linéaire d'atomes précédente :
ayant évalué la masse d'un échantillon mésoscopique de $\;1\;\mu m\;$ de chaîne d'atomes, la masse d'un échantillon macroscopique de $\;1\;mm\;$ de chaîne d'atomes pourrait être déterminée en ajoutant les masses de tous les échantillons mésoscopiques mais ce serait trop fastidieux, elle sera calculée en définissant la masse linéique des échantillons mésoscopiques suivant leur abscisse de positionnement $\;\lambda (x)\simeq {\dfrac {m_{1\,\mu m\;{\text{de chaine}}}(x)}{1\;\mu m}}\;$ et en intégrant $\;m_{1\,mm\;{\text{de chaine}}}=\displaystyle \int _{0}^{1\,mm}\lambda (x)\;dx\;$ ${\big (}$ le caractère petit des échantillons mésoscopiques relativement aux échantillons macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de la matière ${\big )}$ ;
si la masse linéique des échantillons mésoscopiques ne dépend pas de leur abscisse de positionnement, la masse de l'échantillon macroscopique de $\;1\;mm\;$ de chaîne d'atomes s'obtiendra simplement en multipliant la masse linéique par le nombre moyen d'échantillons mésoscopiques dans l'échantillon macroscopique c.-à-d. en multipliant par $\;1000$ .
↑ On pourra donc appliquer la loi des grands nombres sur la durée mésoscopique $\;{\big (}$ ou encore y faire une étude statistique ${\big )}$ .
↑ On pourra remplacer la définition d'une grandeur $\;g\;$ sur une durée mésoscopique $\;\tau \sim 1\;\mu s\;$ repérée à l'instant $\;t\;$ ${\big (}$ par exemple le nombre d'atomes passant par un trou pendant $\;1\;\mu s\;$ à partir de l'instant $\;t{\big )}\;$ par le débit de cette grandeur $\;D_{g}(t)={\dfrac {g_{1\,\mu s}(t)}{1\;\mu s}}\;$ ${\big (}$ sur l'exemple le débit d'atomes passant par le trou à l'instant $\;t{\big )}\;$ et calculer la grandeur $\;g\;$ sur une durée macroscopique $\;0,1\;s\;$ à partir d'une date $\;t_{0}\;$ en intégrant $\;g_{0,1\,s}(t_{0})=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{0}+0,1\,s}D_{g}(t)\;dt\;$ ${\big (}$ sur l'exemple on obtient le nombre d'atomes passant par le trou pendant $\;0,1\;s\;$ à partir de l'instant $\;t_{0}{\big )}\;$ ${\big [}$ le caractère petit des durées mésoscopiques de temps relativement aux durées macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de l'évolution de grandeur relativement au temps ${\big ]}$ ;
si le débit de la grandeur $\;g\;$ sur des durées mésoscopiques ne dépend pas de leur date de détermination, la grandeur $\;g\;$ sur la durée macroscopique de $\;0,1\;s\;$ à partir de $\;t_{0}\;$ s'obtiendra simplement en multipliant le débit de la grandeur $\;g\;$ sur des durées mésoscopiques par le nombre moyen de durées mésoscopiques dans la durée macroscopique c.-à-d. en multipliant par $\;10^{5}$ .
↑
Exemples de porteurs de charge mobiles et d'ions fixes ou mobiles dans les conducteurs, semi-conducteurs intrinsèques ou extrinsèques :
- dans un conducteur métallique les porteurs de charge mobiles sont les électrons de conduction de charge $\;-e$ , les ions fixes nécessairement de charge positif dépendent du métal $\;{\big (}$ pour le cuivre c'est le cation $\;Cu^{+}{\big )}$ ,
- dans un semi-conducteur intrinsèque les porteurs de charge mobile sont les électrons de conduction et les trous, ces derniers fictifs étant de charge $\;+e\;$ $\;{\big [}$ on rappelle que leur introduction permet de simplifier le traitement : quand des électrons de valence sont devenus des électrons de conduction, ils ont laissé derrière eux des sites de valence vides que des électrons de valence voisins peuvent venir occuper en libérant leur propre site de valence ; pour éviter d'avoir deux types de porteurs de charge mobile électroniques les électrons de conduction et les électrons de valence sautant d'un site occupé à un site vide, les sites vides sont remplacés par des sites dans lequel on trouve un électron de valence fictif et un trou fictif, le premier ne pouvant pas se déplacer mais le second étant mobile, ainsi quand un site vide $\;({\mathfrak {a}})\;$ est occupé par un électron de valence du site occupé voisin $\;({\mathfrak {b}})$ , on peut dire que le trou du site vide $\;({\mathfrak {a}})\;$ recouvre l'électron de valence du site occupé voisin $\;({\mathfrak {b}})\;$ rendant l'électron de valence de ce site $\;({\mathfrak {b}})\;$ fictif en même temps que l'électron de valence fictif du site $\;({\mathfrak {a}})\;$ est rendu réel par le départ du trou, tous les électrons de valence restant fixes, seule leur nature réelle ou fictive étant modifiée, et les porteurs de charge mobiles pour la conduction due aux électrons de valence étant les trous ${\big ]}$ ,
- dans un semi-conducteur extrinsèque les porteurs de charge mobile sont des électrons de conduction si le semi-conducteur est dopé avec des atomes pentavalents, et des trous si le semi-conducteur est dopé avec des atomes trivalents,
- dans un électrolyte les porteurs de charge mobiles sont des cations de charge $\;+n\;e\;$ et des anions de charge $\;-n'\;e\;$ ${\big [}$ pour une solution de chlorure de sodium $\;Na_{aq}^{+}\;$ et $\;Cl_{aq}^{-}$ , pour une solution de sulfate de sodium $\;Na_{aq}^{+}\;$ et $\;\left(SO_{4}^{2-}\right)_{aq}\;$ ainsi que $\;H_{3}O_{aq}^{+}\;$ et $\;HO_{aq}^{-}\;$ que l'on trouve dans toute solution aqueuse ${\big ]}$ .
↑ La formule utilisée est établie au paragraphe « notion de courant électrique et définition de l'intensité du courant en un point du circuit » plus bas dans ce chapitre.
↑ Si ces porteurs sont de charge individuelle égale en valeur absolue à la charge élémentaire leur nombre étant $\;{\dfrac {10^{-15}}{1,602\;10^{-19}}}\simeq 6000\;$ reste très grand et autorise une utilisation de la loi des grands nombres c.-à-d. encore une étude statistique.
↑ A fortiori cela sera vérifié pour la circulation de charge correspondant une très faible intensité pendant une durée macroscopique ou pour la circulation de charge correspondant une intensité plus importante pendant une durée mésoscopique ou macroscopique.
↑ Il ne s'agit bien sûr que d'une continuité apparente de la charge aux échelles mésoscopique et macroscopique, à l'échelle microscopique la charge nécessitant bien sûr de conserver son aspect quantifié, par exemple pour l'explication des réactions aux électrodes dans une électrolyse.
↑ Ce sens est qualifié de « conventionnel » car, dans la plupart des matériaux conduisant plus ou moins l'électricité, il y a deux types de porteurs de charge mobiles circulant en sens inverse (quand un mouvement d'ensemble est imposé) [voir note « ¹¹ » ci-dessous], il y avait donc deux choix possibles ; c'est en $1820$ que le français Ampère définit la grandeur « courant » matérialisée par la circulation des deux types de porteurs de charge mobiles en définissant, par convention, le sens du courant comme le sens de circulation de l'un des types de porteurs de charge mobiles, les porteurs de charge mobiles de signe opposé correspondant au sens contraire du courant $\ldots$ mais le choix aurait pu être l'inverse, il s'agit donc d'un choix historique ;
André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
↑ Les porteurs de charge de signe opposé se déplaçant effectivement en sens contraire car, pour qu'il y ait déplacement d'ensemble de porteurs de charge mobiles, il faut que le conducteur soit branché dans un circuit dans lequel il y a au moins un générateur qui impose une différence de potentiel (d.d.p.) entre ses bornes par laquelle les porteurs mobiles de charge de signe opposé sont entraînés en sens contraire $\;{\big [}$ cette notion de d.d.p. est vue dans le paragraphe « définition de la tension entre deux points d'un circuit, différence de potentiel (ou d.d.p.) » plus bas dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ Élémentaire dans l'échelle macroscopique de temps.
↑ Sauf dans des cas très particuliers, cette relation ne doit pas être interprétée comme la dérivée d'une grandeur $\;q(t)$ , car cette dernière n'a en général aucun intérêt physique $\;{\big [}$ circuit basique comprenant un générateur et un conducteur ohmique, $\;q(t)\;$ définirait la charge ayant circulé depuis un instant arbitraire choisi comme origine et l'instant $\;t\;$ considéré $\;\rightarrow \;$ sans signification physique, par contre dans les exemples de la charge $\;{\big (}$ ou décharge ${\big )}\;$ d'un condensateur et les phénomènes électrolytiques, $\;q(t)\;$ a un sens physique $\;{\big (}$ dans le 1^er exemple c'est la charge du condensateur et dans le 2^ème cela correspond aux charges absorbées ou libérées aux électrodes ${\big )}{\big ]}$ .
↑ $\;1\;A=1\;C\cdot s^{-1}$ .
↑ Elle est donc bien élémentaire dans l'échelle macroscopique de temps.
↑ Dans le cas le plus fréquent il y a plusieurs types de porteurs de charge mobile, la relation doit donc être écrite $\;dq=\sum \limits _{k}q_{p,\,k}\;dN_{p,\,k}\;$ où la somme est faite sur tous les types $\;_{k}$
↑ On rappelle que la circulation de porteurs de charge mobiles de charge individuelle positive $\;{\big (}$ ou négative ${\big )}\;$ dans un sens est équivalente à la circulation de porteurs de charge mobiles de charge individuelle opposée dans l'autre sens ; si ce sont des porteurs de charge mobiles de charge individuelle positive $\;{\big (}$ ou négative ${\big )}\;$ qui circulent dans le sens $\;+\;$ on considère leur nombre et leur charge individuelle mais s'ils circulent dans le sens $\;-\;$ on considère leur nombre et la charge opposée de leur charge individuelle.
↑ En effet on rappelle que le sens conventionnel du courant est le sens $\;{\big (}$ respectivement le sens contraire ${\big )}\;$ de déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive $\;{\big (}$ respectivement négative ${\big )}$ .
↑ En effet si $\;q_{p}\;$ est $\;>0$ , le sens de son déplacement définissant le sens du courant et la force électrique motrice agissant sur la charge $\;{\vec {F}}_{\text{élect}}(M)\;$ étant dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)$ , le courant est dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)$ ,
En effet si $\;q_{p}\;$ est $\;<0$ , le sens de son déplacement définissant le sens contraire du courant et la force électrique motrice agissant sur la charge $\;{\vec {F}}_{\text{élect}}(M)\;$ étant dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}(M)$ , le courant est encore dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)$ .
↑ En effet, dans le générateur, le champ électrique allant de la borne « $\;+\;$ » à la borne « $\;-$ », les porteurs mobiles de charge individuelle positive sont soumis à une force électrique allant de la borne « $\;+\;$ » à la borne « $\;-\;$ » alors que le courant (donc le sens de déplacement d'ensemble des porteurs de charge positive) circule en sens contraire ;
de même les porteurs mobiles de charge individuelle négative sont soumis à une force électrique allant de la borne « $\;-\;$ » à la borne « $\;+\;$ » alors que le courant (donc le sens contraire de déplacement d'ensemble des porteurs de charge négative) circule en sens contraire ;
ceci établit que la force électrique est résistive dans un générateur.
↑ On rappelle qu'il ne faut pas dire « force électromotrice » car celle-ci a une autre signification (historique) qui n'est absolument pas une force, on dira « force due au champ électromoteur » s'exerçant sur le porteur de charge mobile.
↑ En effet si $\;q_{p}\;$ est $\;>0$ , le sens de son déplacement définissant le sens du courant et la force due au champ électromoteur agissant sur la charge $\;{\vec {F}}_{\text{électrom}}(M)\;$ étant dans le sens de $\;{\vec {E}}_{\text{électrom}}(M)$ , le courant est dans le sens de $\;{\vec {E}}_{\text{électrom}}(M)$ ,
En effet si $\;q_{p}\;$ est $\;<0$ , le sens de son déplacement définissant le sens contraire du courant et la force due au champ électromoteur agissant sur la charge $\;{\vec {F}}_{\text{électrom}}(M)\;$ étant dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}_{\text{électrom}}(M)$ , le courant est encore dans le sens de $\;{\vec {E}}_{\text{électrom}}(M)$ .
↑ Puisque le champ électrique et le champ électromoteur sont de sens opposé.
↑ ^24,0 et ^24,1 Dans le cours de mécanique les énergies potentielles seront notées $\;U\;$ mais ici, en électricité, il y aurait risque de confusion, $\;U\;$ étant réservée à la tension, d'où la notation $\;{\mathcal {E}}_{p}$ .
↑ Si $\;q_{p}\;$ est $\;<0\;$ son énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}\searrow \;$ dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}\;$ qui est aussi le sens du courant dans la partie réceptrice.
↑ ^26,0 et ^26,1 Une masse étant toujours $\;>0\;$ il n'y a pas de comparaison possible pour un porteur mobile de charge négative !
↑ ^27,0 et ^27,1 Ou le sens contraire du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge négative.
↑ Si $\;q_{p}\;$ est $\;<0\;$ son énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}\nearrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}\;$ qui est aussi le sens contraire du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}\;$ et le sens du courant dans la partie génératrice.
↑ Voir le paragraphe « énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) » du chap. $16$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ L'altitude de $\;M\;$ étant nulle sur le sol on dit que la référence de l'altitude est le sol $\;{\big (}$ mais ce choix est arbitraire, si nous intéressons à une expérience réalisée dans une pièce située au quatrième étage d'un immeuble, nous choisirons comme référence de l'altitude le plancher de cette pièce et non le sol où est implanté l'immeuble ${\big )}$ , simultanément l'énergie potentielle de pesanteur étant nulle au niveau du sol, on dit que la référence de l'énergie potentielle est le sol, le choix de cette référence comme celui de celle de l'altitude étant arbitraire.
↑ Cette position particulière étant l'endroit du circuit électrique où le potentiel électrique est choisi nul, le choix de cet endroit étant arbitraire tout comme l'est l'endroit où l'altitude d'un objet est choisie nulle, cet endroit étant la référence du potentiel électrique et simultanément la référence de l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobile du circuit.
↑ Retenir que le champ électrique est toujours dans le sens $\;\searrow \;$ du potentiel électrique.
↑ De même, dans une partie réceptrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge négative $\;\nearrow \;$ dans le sens du courant donc dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)\;$ et, comme $\;q_{p}\;$ est $\;<0$ , le potentiel électrique $\;\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)$ .
↑ De même, dans une partie génératrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge négative $\;\searrow \;$ dans le sens du courant qui est le sens du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;$ et par suite le sens contraire du champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ et, comme $\;q_{p}\;$ est $\;<0$ , le potentiel électrique qui $\;\nearrow \;$ dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}(M)$ , $\;\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)$ .
↑ C.-à-d. l'endroit où elle est choisie nulle.
↑ La masse « théorique » d'un circuit est choisie arbitrairement sur ce circuit, la résolution d'un exercice en est indépendante mais le choix d'un point plutôt qu'un autre peut faciliter cette résolution ;
dans la pratique, un circuit comporte naturellement une masse dans certains appareils car ce point particulier d'appareil est relié à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur comme dans les générateurs B.F. et dans les oscilloscopes, il faut vérifier que ces « masses pratiques » d'appareil sont reliées entre elles car si ce n'est pas le cas tout ce qui les séparent est court-circuité $\;{\big (}$ ce qui peut être très dommageable pour tout ce qui est entre ces « masses pratiques » ${\big )}$ , il convient donc de relier ces « masses pratiques » si cela est possible ou de les supprimer toutes à l'exception d'une.
↑ Flèche allant du point origine de la d.d.p. vers le point extrémité finale de la d.d.p..
↑ Nous avons vu dans le paragraphe « célérité de propagation d'un signal électrique » et dans la note « ⁴¹ » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que la célérité de propagation d'une onde électromagnétique dans un diélectrique dépend de sa nature, sa célérité pouvant être inférieure à $\;c=3\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\;$ mais, quand le diélectrique est remplacé par un conducteur, elle vaut toujours $\;c=$ $3\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}$ .
↑ Si l'intensité est périodique, on prendra comme valeur de $\;\Delta t_{i}\;$ la période $\;T$ .
↑ On rappelle que la longueur d'onde de l'onde électrique est liée à sa période $\;{\big (}$ ou sa fréquence ${\big )}\;$ et à la célérité de propagation de l'onde dans le milieu conducteur par $\;\lambda =c\;T={\dfrac {c}{f}}\;$ .
↑ Le domaine des hautes fréquences $\;H.F.\;$ va de $\;3\;MHz\;$ à $\;30\;MHz$ , il est utilisé par les cibistes, les radioamateurs,
le domaine des très hautes fréquences $\;V.H.F.\;$ va de $\;30\;MHz\;$ à $\;300\;MHz$ , il est utilisé essentiellement par la radiophonie et
le domaine des ultra hautes fréquences $\;U.H.F.\;$ va de $\;300\;MHz\;$ à $\;3\;GHz$ , il est utilisé par la T.N.T., le G.P.S. et le wi-fi.
↑ Le sens $\;+\;$ de mesure de l'intensité étant choisi de $\;M_{1}\;$ vers $\;M_{2}$ , il correspond au sens « entrant » pour $\;M_{1}\;$ et au sens « sortant » pour $\;M_{2}$ .
↑ C'est ce que nous appellerons, par la suite, la « flèche courant ».
↑ ^44,0 et ^44,1 Les courants étant considérés comme arrivant au nœud $\;{\big (}$ respectivement repartant du nœud ${\big )}\;$ si le sens $\;+\;$ de leur mesure sur les fils de connexion correspondant est dirigé vers le nœud $\;{\big (}$ respectivement dirigé s'éloignant du nœud ${\big )}$ .
↑ ^45,0 ^45,1 et ^45,2 Le résultat est évidemment indépendant du nombre de portions de circuit filiforme reliées au nœud d'une part et du choix des sens $\;+\;$ de la mesure des intensités des courants d'autre part.
↑ La « charge mobile » de la sphère étant conservée sur la durée $\;dt$ .
↑ Un double crochet ouvrant et un double crochet fermant autour de deux entiers séparés par une virgule signifiant intervalle d'entiers.
↑ On peut remarquer que la loi des nœuds faisant intervenir les intensités des courants en un même point $\;-\;$ le nœud $\;-\;$ et en un même instant $\;t$ , ne nécessite pas l'indépendance de ces dernières mesurées à l'instant $\;t\;$ relativement au point considéré sur chaque fil de connexion, la loi des nœuds reste donc applicable hors A.R.Q.S. à condition de considérer, en ce même instant $\;t$ , les intensités des courants sur chaque fil de connexion au nœud et non en un point quelconque en amont du nœud $\;{\big (}$ ce qui, par contre, est possible dans le cadre de l'A.R.Q.S. ${\big )}$ !
↑ Une autre forme de la loi des nœuds consiste à choisir les sens $\;+\;$ de mesure des courants tous dans le sens arrivant au nœud $\;{\big (}$ ou tous dans le sens repartant du nœud ${\big )}$ , la loi s'écrivant alors $\;\sum \limits _{k=1..n}i_{k}(t)=0\;$ avec $\;n\;$ fils de connexion reliés au nœud.
↑ Le caractère « successif » des nœuds $\;A\;$ et $\;B\;$ est fondamental pour définir la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ partant de $\;A\;$ pour aller jusqu'à $\;B$ , on peut alors définir le courant traversant la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ sans aucune ambiguïté dans la mesure où le sens $\;+\;$ y a été précisé.
↑ Ou « montées en dérivation ».
↑ En fait on le choisit $\;-\;$ dans la mesure du possible $\;-\;$ pour qu'il y ait le plus grand nombre de tensions positives.
↑ De façon plus générale, dans un circuit à $\;n\;$ nœuds et $\;b\;$ branches où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les $\;b\;$ branches, il y a $\;n-1\;$ équations de nœud indépendantes et il est nécessaire pour déterminer les valeurs des $\;b\;$ inconnues de trouver $\;b-n+1\;$ équations de mailles indépendantes.
↑ On peut alors affirmer, dans l'hypothèse $\;(a)\;$ où le générateur serait un générateur de tension permanente avec la borne $\;+\;$ à gauche, que $\;u_{2}\;$ est $\;>0$ , $\;u_{1}<0$ , le signe de $\;u_{5}\;$ n'étant pas fixé à l'avance.
↑ En fait la tension aux bornes de l'ampèremètre dans cette maille est de sens opposé à celle dans la maille $\;(I)\;$ d'où la notation $\;{u'}_{5}=$ $-u_{5}$ ;
on peut encore affirmer, dans l'hypothèse $\;(a)\;$ où le générateur serait un générateur de tension permanente avec la borne $\;+\;$ à gauche, que $\;u_{4}\;$ est $\;>0$ , $\;u_{3}<0$ , le signe de $\;{u'}_{5}\;$ n'étant pas plus fixé à l'avance que ne l'est celui de $\;u_{5}$ .
↑ En fait les tensions aux bornes des branches $\;(4)\;$ et $\;(2)\;$ dans cette maille sont de sens opposé à celles dans les mailles $\;(I)\;$ et $\;(II)\;$ d'où la notation $\;{u'}_{4}=$ $-u_{4}$ et $\;{u'}_{2}=$ $-u_{2}$ ;
on peut encore affirmer, dans l'hypothèse $\;(a)\;$ où le générateur serait un générateur de tension permanente avec la borne $\;+\;$ à gauche, que $\;u\;$ est $\;>0$ , $\;{u'}_{4}<0\;$ et $\;{u'}_{2}<0$ .
↑ Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande $\;{\big (}$ prussienne ${\big )}\;$ du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec Robert Whilhelm Bunsen (1811 - 1899) chimiste allemand, de la spectroscopie qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.
↑ Comme il y a deux sens $\;+\;$ possibles de courant dans la branche, et qu'alors le sens $\;+\;$ de tension aux bornes de la branche est imposé, il y a deux conventions récepteurs possibles.
↑ ^59,0 et ^59,1 La raison de cette obligation étant qu'elles aient été précédemment définies.
↑ Comme il y a deux sens $\;+\;$ possibles de courant dans la branche, et qu'alors le sens $\;+\;$ de tension aux bornes de la branche est imposé, il y a deux conventions générateurs possibles.
↑ Dans ce circuit à $\;n=4\;$ nœuds et $\;b=6\;$ branches où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les $\;b=6\;$ branches, il y a $\;n-1=3\;$ équations de nœud indépendantes et il est nécessaire pour déterminer les valeurs des $\;b=6\;$ inconnues d'écrire $\;b-n+1$ $=6-4+1=3\;$ équations de mailles indépendantes.
↑ Voir le paragraphe « dipôle passif linéaire au sens du régime permanent : conducteur ohmique » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans lequel nous y verrons la loi d'Ohm.
↑ Nous avions noté $\;u_{5}\;$ la tension aux bornes de la branche $\;(5)\;$ dans la maille $\;(I)\;$ ${\big [}$ on a écrit $\;u_{5}=-R_{5}\;i_{5}\;$ car convention générateur ${\big ]}\;$ et $\;{u'}_{5}\;$ celle aux bornes de la branche $\;(5)\;$ dans la maille $\;(II)$ ${\big [}$ on a $\;{u'}_{5}=R_{5}\;i_{5}\;$ car convention récepteur ${\big ]}\;$ en accord avec $\;{u'}_{5}=-u_{5}\;$ correspondant à un changement de sens $\;+\;$ de tension.
↑ Nous avions noté $\;u_{4}\;$ la tension aux bornes de la branche $\;(4)\;$ dans la maille $\;(II)\;$ ${\big [}$ on a écrit $\;u_{4}=R_{4}\;i_{4}\;$ car convention récepteur ${\big ]}\;$ et $\;{u'}_{4}\;$ celle aux bornes de la branche $\;(4)\;$ dans la maille $\;(III)$ ${\big [}$ on a $\;{u'}_{4}=-R_{4}\;i_{4}\;$ car convention générateur ${\big ]}\;$ en accord avec $\;{u'}_{4}=-u_{4}\;$ correspondant à un changement de sens $\;+\;$ de tension ;
nous avions noté $\;u_{2}\;$ la tension aux bornes de la branche $\;(2)\;$ dans la maille $\;(I)\;$ ${\big [}$ on a écrit $\;u_{2}=R_{2}\;i_{2}\;$ car convention récepteur ${\big ]}\;$ et $\;{u'}_{2}\;$ celle aux bornes de la branche $\;(2)\;$ dans la maille $\;(III)$ ${\big [}$ on a $\;{u'}_{2}=-R_{2}\;i_{2}\;$ car convention générateur ${\big ]}\;$ en accord avec $\;{u'}_{2}=-u_{2}\;$ correspondant à un changement de sens $\;+\;$ de tension.
↑ Si le générateur est un générateur de tension permanente et si la borne $\;+\;$ est à gauche $\;{\big (}$ hypothèse $\;a{\big )}\;$ la tension $\;u\;$ sera $\;>0\;$ et l'intensité $\;i\;$ aussi car en convention générateur.
↑ Que nous n'exposerons pas dans le cas général car beaucoup trop compliqué !
↑ Il s'agit de la tension efficace que nous définirons ultérieurement dans le paragraphe « notions de grandeurs efficaces associées à une grandeur instantanée alternative, mesure des tensions et intensités efficaces » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », il suffit de savoir qu'en régime sinusoïdal, la valeur de crête est la valeur efficace multipliée par $\;{\sqrt {2}}\;$ soit $\;220\times {\sqrt {2}}\simeq 311\;V$ .
↑ Qualifié ainsi car il peut fonctionner en régime permanent ou en régime alternatif.
↑ Tension efficace définie ultérieurement dans le paragraphe « Notions de grandeurs efficaces associées à une grandeur instantanée alternative, mesure des tensions et intensités efficaces » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la valeur de crête étant, en régime sinusoïdal, la valeur efficace multipliée par $\;{\sqrt {2}}\;$ soit $\;25\times {\sqrt {2}}\simeq 35\;kV$ .
↑ La notion de puissance développée par une force sera introduite dans le chap. $14$ « définition de la puissance d'une force, dépendance du référentiel d'étude, caractère moteur ou résistant de cette dernière » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ La détermination étant faite à l'échelle macroscopique ou éventuellement à l'échelle mésoscopique, on peut appliquer la loi des grands nombres concernant le nombre de porteurs de charge mobiles présents dans $\;{\mathcal {C}}\;$ à l'instant $\;t$ , on en déduit alors, en appelant $\;{\overline {N_{\mathcal {C}}}}(t)\;$ la valeur moyenne de ce nombre de porteurs de charge mobiles présents dans $\;{\mathcal {C}}\;$ à l'instant $\;t$ , $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=$ ${\overline {N_{\mathcal {C}}}}(t)\left\langle {\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]\right\rangle \;$ où $\;\left\langle {\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]\right\rangle \;$ est la valeur moyenne de la puissance instantanée développée par la force électrique exercée sur un porteur de charge mobile passant en $\;M_{t}\;$ à l'instant $\;t\;$ soit, avec $\;{\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]=q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}(M_{t})\;$ dont la moyenne s'évalue selon $\;\left\langle {\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]\right\rangle =\left\langle q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}(M_{t})\right\rangle =q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\Big \langle }{\vec {v}}(M_{t}){\Big \rangle }\;$ où $\;{\Big \langle }{\vec {v}}(M_{t}){\Big \rangle }={\vec {v}}_{e}(t)\;$ est la vitesse moyenne d'entraînement des porteurs à l'instant $\;t\;$ ${\big [}$ ne dépendant pas de $\;M_{t}\;$ dans le cadre de l'A.R.Q.S. ${\big ]}\;$ soit finalement l'expression suivante $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=$ ${\overline {N_{\mathcal {C}}}}(t)\;q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}_{e}(t)$ .
↑ La démonstration est faite au paragraphe « en complément, démonstration de l'expression de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant (en convention récepteur) » du chap. $4$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».
↑ Car en convention récepteur.
↑ Établie si la portion de circuit est génératrice mais reste valable si celle-ci est réceptrice.

Signaux physiques (PCSI)

Introduction au monde quantique : particule libre confinée 1D

Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires

[1] Exemple d'une chaîne linéaire d'atomes : la distance entre deux atomes est d'échelle microscopique, une distance de $\;1\;\mu m\;$ sur cette chaîne d'échelle mésoscopique et celle de $\;1\;mm\;$ sur cette même chaîne d'échelle macroscopique ;
nous pourrions déterminer la masse d'un échantillon mésoscopique de $\;1\;\mu m\;$ de chaîne d'atomes en multipliant la masse d'un atome par le nombre d'atomes comptés mais ce dernier étant grand et difficilement comptable, nous déduirons la masse de l'échantillon en multipliant la masse d'un atome par le nombre moyen d'atomes c.-à-d. en appliquant la loi des grands nombres à l'échantillon mésoscopique $\;{\big (}$ ou encore en y faisant une étude statistique ${\big )}$ .

[2] Reprenant l'exemple de la chaîne linéaire d'atomes précédente :
ayant évalué la masse d'un échantillon mésoscopique de $\;1\;\mu m\;$ de chaîne d'atomes, la masse d'un échantillon macroscopique de $\;1\;mm\;$ de chaîne d'atomes pourrait être déterminée en ajoutant les masses de tous les échantillons mésoscopiques mais ce serait trop fastidieux, elle sera calculée en définissant la masse linéique des échantillons mésoscopiques suivant leur abscisse de positionnement $\;\lambda (x)\simeq {\dfrac {m_{1\,\mu m\;{\text{de chaine}}}(x)}{1\;\mu m}}\;$ et en intégrant $\;m_{1\,mm\;{\text{de chaine}}}=\displaystyle \int _{0}^{1\,mm}\lambda (x)\;dx\;$ ${\big (}$ le caractère petit des échantillons mésoscopiques relativement aux échantillons macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de la matière ${\big )}$ ;
si la masse linéique des échantillons mésoscopiques ne dépend pas de leur abscisse de positionnement, la masse de l'échantillon macroscopique de $\;1\;mm\;$ de chaîne d'atomes s'obtiendra simplement en multipliant la masse linéique par le nombre moyen d'échantillons mésoscopiques dans l'échantillon macroscopique c.-à-d. en multipliant par $\;1000$ .

[3] On pourra donc appliquer la loi des grands nombres sur la durée mésoscopique $\;{\big (}$ ou encore y faire une étude statistique ${\big )}$ .

[4] On pourra remplacer la définition d'une grandeur $\;g\;$ sur une durée mésoscopique $\;\tau \sim 1\;\mu s\;$ repérée à l'instant $\;t\;$ ${\big (}$ par exemple le nombre d'atomes passant par un trou pendant $\;1\;\mu s\;$ à partir de l'instant $\;t{\big )}\;$ par le débit de cette grandeur $\;D_{g}(t)={\dfrac {g_{1\,\mu s}(t)}{1\;\mu s}}\;$ ${\big (}$ sur l'exemple le débit d'atomes passant par le trou à l'instant $\;t{\big )}\;$ et calculer la grandeur $\;g\;$ sur une durée macroscopique $\;0,1\;s\;$ à partir d'une date $\;t_{0}\;$ en intégrant $\;g_{0,1\,s}(t_{0})=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{0}+0,1\,s}D_{g}(t)\;dt\;$ ${\big (}$ sur l'exemple on obtient le nombre d'atomes passant par le trou pendant $\;0,1\;s\;$ à partir de l'instant $\;t_{0}{\big )}\;$ ${\big [}$ le caractère petit des durées mésoscopiques de temps relativement aux durées macroscopiques permettant de faire l'approximation continue de l'évolution de grandeur relativement au temps ${\big ]}$ ;
si le débit de la grandeur $\;g\;$ sur des durées mésoscopiques ne dépend pas de leur date de détermination, la grandeur $\;g\;$ sur la durée macroscopique de $\;0,1\;s\;$ à partir de $\;t_{0}\;$ s'obtiendra simplement en multipliant le débit de la grandeur $\;g\;$ sur des durées mésoscopiques par le nombre moyen de durées mésoscopiques dans la durée macroscopique c.-à-d. en multipliant par $\;10^{5}$ .

[5] Exemples de porteurs de charge mobiles et d'ions fixes ou mobiles dans les conducteurs, semi-conducteurs intrinsèques ou extrinsèques :
dans un conducteur métallique les porteurs de charge mobiles sont les électrons de conduction de charge $\;-e$ , les ions fixes nécessairement de charge positif dépendent du métal $\;{\big (}$ pour le cuivre c'est le cation $\;Cu^{+}{\big )}$ ,

dans un semi-conducteur intrinsèque les porteurs de charge mobile sont les électrons de conduction et les trous, ces derniers fictifs étant de charge $\;+e\;$ $\;{\big [}$ on rappelle que leur introduction permet de simplifier le traitement : quand des électrons de valence sont devenus des électrons de conduction, ils ont laissé derrière eux des sites de valence vides que des électrons de valence voisins peuvent venir occuper en libérant leur propre site de valence ; pour éviter d'avoir deux types de porteurs de charge mobile électroniques les électrons de conduction et les électrons de valence sautant d'un site occupé à un site vide, les sites vides sont remplacés par des sites dans lequel on trouve un électron de valence fictif et un trou fictif, le premier ne pouvant pas se déplacer mais le second étant mobile, ainsi quand un site vide $\;({\mathfrak {a}})\;$ est occupé par un électron de valence du site occupé voisin $\;({\mathfrak {b}})$ , on peut dire que le trou du site vide $\;({\mathfrak {a}})\;$ recouvre l'électron de valence du site occupé voisin $\;({\mathfrak {b}})\;$ rendant l'électron de valence de ce site $\;({\mathfrak {b}})\;$ fictif en même temps que l'électron de valence fictif du site $\;({\mathfrak {a}})\;$ est rendu réel par le départ du trou, tous les électrons de valence restant fixes, seule leur nature réelle ou fictive étant modifiée, et les porteurs de charge mobiles pour la conduction due aux électrons de valence étant les trous ${\big ]}$ ,

dans un semi-conducteur extrinsèque les porteurs de charge mobile sont des électrons de conduction si le semi-conducteur est dopé avec des atomes pentavalents, et des trous si le semi-conducteur est dopé avec des atomes trivalents,

dans un électrolyte les porteurs de charge mobiles sont des cations de charge $\;+n\;e\;$ et des anions de charge $\;-n'\;e\;$ ${\big [}$ pour une solution de chlorure de sodium $\;Na_{aq}^{+}\;$ et $\;Cl_{aq}^{-}$ , pour une solution de sulfate de sodium $\;Na_{aq}^{+}\;$ et $\;\left(SO_{4}^{2-}\right)_{aq}\;$ ainsi que $\;H_{3}O_{aq}^{+}\;$ et $\;HO_{aq}^{-}\;$ que l'on trouve dans toute solution aqueuse ${\big ]}$ .

[6] s un conducteur métallique les porteurs de charge mobiles sont les électrons de conduction de charge $\;-e$ , les ions fixes nécessairement de charge positif dépendent du métal $\;{\big (}$ pour le cuivre c'est le cation $\;Cu^{+}{\big )}$ ,

[7] s un semi-conducteur intrinsèque les porteurs de charge mobile sont les électrons de conduction et les trous, ces derniers fictifs étant de charge $\;+e\;$ $\;{\big [}$ on rappelle que leur introduction permet de simplifier le traitement : quand des électrons de valence sont devenus des électrons de conduction, ils ont laissé derrière eux des sites de valence vides que des électrons de valence voisins peuvent venir occuper en libérant leur propre site de valence ; pour éviter d'avoir deux types de porteurs de charge mobile électroniques les électrons de conduction et les électrons de valence sautant d'un site occupé à un site vide, les sites vides sont remplacés par des sites dans lequel on trouve un électron de valence fictif et un trou fictif, le premier ne pouvant pas se déplacer mais le second étant mobile, ainsi quand un site vide $\;({\mathfrak {a}})\;$ est occupé par un électron de valence du site occupé voisin $\;({\mathfrak {b}})$ , on peut dire que le trou du site vide $\;({\mathfrak {a}})\;$ recouvre l'électron de valence du site occupé voisin $\;({\mathfrak {b}})\;$ rendant l'électron de valence de ce site $\;({\mathfrak {b}})\;$ fictif en même temps que l'électron de valence fictif du site $\;({\mathfrak {a}})\;$ est rendu réel par le départ du trou, tous les électrons de valence restant fixes, seule leur nature réelle ou fictive étant modifiée, et les porteurs de charge mobiles pour la conduction due aux électrons de valence étant les trous ${\big ]}$ ,

[8] s un semi-conducteur extrinsèque les porteurs de charge mobile sont des électrons de conduction si le semi-conducteur est dopé avec des atomes pentavalents, et des trous si le semi-conducteur est dopé avec des atomes trivalents,

[9] s un électrolyte les porteurs de charge mobiles sont des cations de charge $\;+n\;e\;$ et des anions de charge $\;-n'\;e\;$ ${\big [}$ pour une solution de chlorure de sodium $\;Na_{aq}^{+}\;$ et $\;Cl_{aq}^{-}$ , pour une solution de sulfate de sodium $\;Na_{aq}^{+}\;$ et $\;\left(SO_{4}^{2-}\right)_{aq}\;$ ainsi que $\;H_{3}O_{aq}^{+}\;$ et $\;HO_{aq}^{-}\;$ que l'on trouve dans toute solution aqueuse ${\big ]}$ .

[6] La formule utilisée est établie au paragraphe « notion de courant électrique et définition de l'intensité du courant en un point du circuit » plus bas dans ce chapitre.

[7] Si ces porteurs sont de charge individuelle égale en valeur absolue à la charge élémentaire leur nombre étant $\;{\dfrac {10^{-15}}{1,602\;10^{-19}}}\simeq 6000\;$ reste très grand et autorise une utilisation de la loi des grands nombres c.-à-d. encore une étude statistique.

[8] A fortiori cela sera vérifié pour la circulation de charge correspondant une très faible intensité pendant une durée macroscopique ou pour la circulation de charge correspondant une intensité plus importante pendant une durée mésoscopique ou macroscopique.

[9] Il ne s'agit bien sûr que d'une continuité apparente de la charge aux échelles mésoscopique et macroscopique, à l'échelle microscopique la charge nécessitant bien sûr de conserver son aspect quantifié, par exemple pour l'explication des réactions aux électrodes dans une électrolyse.

[10] Ce sens est qualifié de « conventionnel » car, dans la plupart des matériaux conduisant plus ou moins l'électricité, il y a deux types de porteurs de charge mobiles circulant en sens inverse (quand un mouvement d'ensemble est imposé) [voir note « ¹¹ » ci-dessous], il y avait donc deux choix possibles ; c'est en $1820$ que le français Ampère définit la grandeur « courant » matérialisée par la circulation des deux types de porteurs de charge mobiles en définissant, par convention, le sens du courant comme le sens de circulation de l'un des types de porteurs de charge mobiles, les porteurs de charge mobiles de signe opposé correspondant au sens contraire du courant $\ldots$ mais le choix aurait pu être l'inverse, il s'agit donc d'un choix historique ;
André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.

[11] Les porteurs de charge de signe opposé se déplaçant effectivement en sens contraire car, pour qu'il y ait déplacement d'ensemble de porteurs de charge mobiles, il faut que le conducteur soit branché dans un circuit dans lequel il y a au moins un générateur qui impose une différence de potentiel (d.d.p.) entre ses bornes par laquelle les porteurs mobiles de charge de signe opposé sont entraînés en sens contraire $\;{\big [}$ cette notion de d.d.p. est vue dans le paragraphe « définition de la tension entre deux points d'un circuit, différence de potentiel (ou d.d.p.) » plus bas dans ce chapitre ${\big ]}$ .

[12] Élémentaire dans l'échelle macroscopique de temps.

[13] Sauf dans des cas très particuliers, cette relation ne doit pas être interprétée comme la dérivée d'une grandeur $\;q(t)$ , car cette dernière n'a en général aucun intérêt physique $\;{\big [}$ circuit basique comprenant un générateur et un conducteur ohmique, $\;q(t)\;$ définirait la charge ayant circulé depuis un instant arbitraire choisi comme origine et l'instant $\;t\;$ considéré $\;\rightarrow \;$ sans signification physique, par contre dans les exemples de la charge $\;{\big (}$ ou décharge ${\big )}\;$ d'un condensateur et les phénomènes électrolytiques, $\;q(t)\;$ a un sens physique $\;{\big (}$ dans le 1^er exemple c'est la charge du condensateur et dans le 2^ème cela correspond aux charges absorbées ou libérées aux électrodes ${\big )}{\big ]}$ .

[14] $\;1\;A=1\;C\cdot s^{-1}$ .

[15] Elle est donc bien élémentaire dans l'échelle macroscopique de temps.

[16] Dans le cas le plus fréquent il y a plusieurs types de porteurs de charge mobile, la relation doit donc être écrite $\;dq=\sum \limits _{k}q_{p,\,k}\;dN_{p,\,k}\;$ où la somme est faite sur tous les types $\;_{k}$

[17] On rappelle que la circulation de porteurs de charge mobiles de charge individuelle positive $\;{\big (}$ ou négative ${\big )}\;$ dans un sens est équivalente à la circulation de porteurs de charge mobiles de charge individuelle opposée dans l'autre sens ; si ce sont des porteurs de charge mobiles de charge individuelle positive $\;{\big (}$ ou négative ${\big )}\;$ qui circulent dans le sens $\;+\;$ on considère leur nombre et leur charge individuelle mais s'ils circulent dans le sens $\;-\;$ on considère leur nombre et la charge opposée de leur charge individuelle.

[18] En effet on rappelle que le sens conventionnel du courant est le sens $\;{\big (}$ respectivement le sens contraire ${\big )}\;$ de déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge positive $\;{\big (}$ respectivement négative ${\big )}$ .

[19] En effet si $\;q_{p}\;$ est $\;>0$ , le sens de son déplacement définissant le sens du courant et la force électrique motrice agissant sur la charge $\;{\vec {F}}_{\text{élect}}(M)\;$ étant dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)$ , le courant est dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)$ ,
En effet si $\;q_{p}\;$ est $\;<0$ , le sens de son déplacement définissant le sens contraire du courant et la force électrique motrice agissant sur la charge $\;{\vec {F}}_{\text{élect}}(M)\;$ étant dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}(M)$ , le courant est encore dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)$ .

[20] En effet, dans le générateur, le champ électrique allant de la borne « $\;+\;$ » à la borne « $\;-$ », les porteurs mobiles de charge individuelle positive sont soumis à une force électrique allant de la borne « $\;+\;$ » à la borne « $\;-\;$ » alors que le courant (donc le sens de déplacement d'ensemble des porteurs de charge positive) circule en sens contraire ;
de même les porteurs mobiles de charge individuelle négative sont soumis à une force électrique allant de la borne « $\;-\;$ » à la borne « $\;+\;$ » alors que le courant (donc le sens contraire de déplacement d'ensemble des porteurs de charge négative) circule en sens contraire ;
ceci établit que la force électrique est résistive dans un générateur.

[21] On rappelle qu'il ne faut pas dire « force électromotrice » car celle-ci a une autre signification (historique) qui n'est absolument pas une force, on dira « force due au champ électromoteur » s'exerçant sur le porteur de charge mobile.

[22] En effet si $\;q_{p}\;$ est $\;>0$ , le sens de son déplacement définissant le sens du courant et la force due au champ électromoteur agissant sur la charge $\;{\vec {F}}_{\text{électrom}}(M)\;$ étant dans le sens de $\;{\vec {E}}_{\text{électrom}}(M)$ , le courant est dans le sens de $\;{\vec {E}}_{\text{électrom}}(M)$ ,
En effet si $\;q_{p}\;$ est $\;<0$ , le sens de son déplacement définissant le sens contraire du courant et la force due au champ électromoteur agissant sur la charge $\;{\vec {F}}_{\text{électrom}}(M)\;$ étant dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}_{\text{électrom}}(M)$ , le courant est encore dans le sens de $\;{\vec {E}}_{\text{électrom}}(M)$ .

[23] Puisque le champ électrique et le champ électromoteur sont de sens opposé.

[notation_énergie_potentielle-24] 24,0 et ^24,1 Dans le cours de mécanique les énergies potentielles seront notées $\;U\;$ mais ici, en électricité, il y aurait risque de confusion, $\;U\;$ étant réservée à la tension, d'où la notation $\;{\mathcal {E}}_{p}$ .

[25] Si $\;q_{p}\;$ est $\;<0\;$ son énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}\searrow \;$ dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}\;$ qui est aussi le sens du courant dans la partie réceptrice.

[pas_de_masse_négative-26] 26,0 et ^26,1 Une masse étant toujours $\;>0\;$ il n'y a pas de comparaison possible pour un porteur mobile de charge négative !

[sens_du_courant-27] 27,0 et ^27,1 Ou le sens contraire du déplacement d'ensemble des porteurs mobiles de charge négative.

[28] Si $\;q_{p}\;$ est $\;<0\;$ son énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}\nearrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}\;$ qui est aussi le sens contraire du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}\;$ et le sens du courant dans la partie génératrice.

[énergie_potentielle_de_pesanteur-29] Voir le paragraphe « énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) » du chap. $16$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[30] L'altitude de $\;M\;$ étant nulle sur le sol on dit que la référence de l'altitude est le sol $\;{\big (}$ mais ce choix est arbitraire, si nous intéressons à une expérience réalisée dans une pièce située au quatrième étage d'un immeuble, nous choisirons comme référence de l'altitude le plancher de cette pièce et non le sol où est implanté l'immeuble ${\big )}$ , simultanément l'énergie potentielle de pesanteur étant nulle au niveau du sol, on dit que la référence de l'énergie potentielle est le sol, le choix de cette référence comme celui de celle de l'altitude étant arbitraire.

[31] Cette position particulière étant l'endroit du circuit électrique où le potentiel électrique est choisi nul, le choix de cet endroit étant arbitraire tout comme l'est l'endroit où l'altitude d'un objet est choisie nulle, cet endroit étant la référence du potentiel électrique et simultanément la référence de l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobile du circuit.

[32] Retenir que le champ électrique est toujours dans le sens $\;\searrow \;$ du potentiel électrique.

[33] De même, dans une partie réceptrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge négative $\;\nearrow \;$ dans le sens du courant donc dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)\;$ et, comme $\;q_{p}\;$ est $\;<0$ , le potentiel électrique $\;\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)$ .

[34] De même, dans une partie génératrice, l'énergie potentielle électrique d'un porteur mobile de charge négative $\;\searrow \;$ dans le sens du courant qui est le sens du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;$ et par suite le sens contraire du champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ et, comme $\;q_{p}\;$ est $\;<0$ , le potentiel électrique qui $\;\nearrow \;$ dans le sens contraire de $\;{\vec {E}}(M)$ , $\;\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}(M)$ .

[35] C.-à-d. l'endroit où elle est choisie nulle.

[36] La masse « théorique » d'un circuit est choisie arbitrairement sur ce circuit, la résolution d'un exercice en est indépendante mais le choix d'un point plutôt qu'un autre peut faciliter cette résolution ;
dans la pratique, un circuit comporte naturellement une masse dans certains appareils car ce point particulier d'appareil est relié à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur comme dans les générateurs B.F. et dans les oscilloscopes, il faut vérifier que ces « masses pratiques » d'appareil sont reliées entre elles car si ce n'est pas le cas tout ce qui les séparent est court-circuité $\;{\big (}$ ce qui peut être très dommageable pour tout ce qui est entre ces « masses pratiques » ${\big )}$ , il convient donc de relier ces « masses pratiques » si cela est possible ou de les supprimer toutes à l'exception d'une.

[37] Flèche allant du point origine de la d.d.p. vers le point extrémité finale de la d.d.p..

[38] Nous avons vu dans le paragraphe « célérité de propagation d'un signal électrique » et dans la note « ⁴¹ » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » que la célérité de propagation d'une onde électromagnétique dans un diélectrique dépend de sa nature, sa célérité pouvant être inférieure à $\;c=3\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}\;$ mais, quand le diélectrique est remplacé par un conducteur, elle vaut toujours $\;c=$ $3\;10^{8}\;m\cdot s^{-1}$ .

[39] Si l'intensité est périodique, on prendra comme valeur de $\;\Delta t_{i}\;$ la période $\;T$ .

[40] On rappelle que la longueur d'onde de l'onde électrique est liée à sa période $\;{\big (}$ ou sa fréquence ${\big )}\;$ et à la célérité de propagation de l'onde dans le milieu conducteur par $\;\lambda =c\;T={\dfrac {c}{f}}\;$ .

[41] Le domaine des hautes fréquences $\;H.F.\;$ va de $\;3\;MHz\;$ à $\;30\;MHz$ , il est utilisé par les cibistes, les radioamateurs,
le domaine des très hautes fréquences $\;V.H.F.\;$ va de $\;30\;MHz\;$ à $\;300\;MHz$ , il est utilisé essentiellement par la radiophonie et
le domaine des ultra hautes fréquences $\;U.H.F.\;$ va de $\;300\;MHz\;$ à $\;3\;GHz$ , il est utilisé par la T.N.T., le G.P.S. et le wi-fi.

[42] Le sens $\;+\;$ de mesure de l'intensité étant choisi de $\;M_{1}\;$ vers $\;M_{2}$ , il correspond au sens « entrant » pour $\;M_{1}\;$ et au sens « sortant » pour $\;M_{2}$ .

[43] C'est ce que nous appellerons, par la suite, la « flèche courant ».

[définition_sens_+_des_courants-44] 44,0 et ^44,1 Les courants étant considérés comme arrivant au nœud $\;{\big (}$ respectivement repartant du nœud ${\big )}\;$ si le sens $\;+\;$ de leur mesure sur les fils de connexion correspondant est dirigé vers le nœud $\;{\big (}$ respectivement dirigé s'éloignant du nœud ${\big )}$ .

[choix_arbitraire-45] 45,0 ^45,1 et ^45,2 Le résultat est évidemment indépendant du nombre de portions de circuit filiforme reliées au nœud d'une part et du choix des sens $\;+\;$ de la mesure des intensités des courants d'autre part.

[46] La « charge mobile » de la sphère étant conservée sur la durée $\;dt$ .

[47] Un double crochet ouvrant et un double crochet fermant autour de deux entiers séparés par une virgule signifiant intervalle d'entiers.

[48] On peut remarquer que la loi des nœuds faisant intervenir les intensités des courants en un même point $\;-\;$ le nœud $\;-\;$ et en un même instant $\;t$ , ne nécessite pas l'indépendance de ces dernières mesurées à l'instant $\;t\;$ relativement au point considéré sur chaque fil de connexion, la loi des nœuds reste donc applicable hors A.R.Q.S. à condition de considérer, en ce même instant $\;t$ , les intensités des courants sur chaque fil de connexion au nœud et non en un point quelconque en amont du nœud $\;{\big (}$ ce qui, par contre, est possible dans le cadre de l'A.R.Q.S. ${\big )}$ !

[49] Une autre forme de la loi des nœuds consiste à choisir les sens $\;+\;$ de mesure des courants tous dans le sens arrivant au nœud $\;{\big (}$ ou tous dans le sens repartant du nœud ${\big )}$ , la loi s'écrivant alors $\;\sum \limits _{k=1..n}i_{k}(t)=0\;$ avec $\;n\;$ fils de connexion reliés au nœud.

[50] Le caractère « successif » des nœuds $\;A\;$ et $\;B\;$ est fondamental pour définir la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ partant de $\;A\;$ pour aller jusqu'à $\;B$ , on peut alors définir le courant traversant la branche $\;({\mathfrak {1}})\;$ sans aucune ambiguïté dans la mesure où le sens $\;+\;$ y a été précisé.

[51] Ou « montées en dérivation ».

[52] En fait on le choisit $\;-\;$ dans la mesure du possible $\;-\;$ pour qu'il y ait le plus grand nombre de tensions positives.

[53] De façon plus générale, dans un circuit à $\;n\;$ nœuds et $\;b\;$ branches où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les $\;b\;$ branches, il y a $\;n-1\;$ équations de nœud indépendantes et il est nécessaire pour déterminer les valeurs des $\;b\;$ inconnues de trouver $\;b-n+1\;$ équations de mailles indépendantes.

[54] On peut alors affirmer, dans l'hypothèse $\;(a)\;$ où le générateur serait un générateur de tension permanente avec la borne $\;+\;$ à gauche, que $\;u_{2}\;$ est $\;>0$ , $\;u_{1}<0$ , le signe de $\;u_{5}\;$ n'étant pas fixé à l'avance.

[55] En fait la tension aux bornes de l'ampèremètre dans cette maille est de sens opposé à celle dans la maille $\;(I)\;$ d'où la notation $\;{u'}_{5}=$ $-u_{5}$ ;
on peut encore affirmer, dans l'hypothèse $\;(a)\;$ où le générateur serait un générateur de tension permanente avec la borne $\;+\;$ à gauche, que $\;u_{4}\;$ est $\;>0$ , $\;u_{3}<0$ , le signe de $\;{u'}_{5}\;$ n'étant pas plus fixé à l'avance que ne l'est celui de $\;u_{5}$ .

[56] En fait les tensions aux bornes des branches $\;(4)\;$ et $\;(2)\;$ dans cette maille sont de sens opposé à celles dans les mailles $\;(I)\;$ et $\;(II)\;$ d'où la notation $\;{u'}_{4}=$ $-u_{4}$ et $\;{u'}_{2}=$ $-u_{2}$ ;
on peut encore affirmer, dans l'hypothèse $\;(a)\;$ où le générateur serait un générateur de tension permanente avec la borne $\;+\;$ à gauche, que $\;u\;$ est $\;>0$ , $\;{u'}_{4}<0\;$ et $\;{u'}_{2}<0$ .

[57] Gustav Robert Kirchhoff (1824 – 1887) est l'un des plus grands physiciens d'origine allemande $\;{\big (}$ prussienne ${\big )}\;$ du XIX^ème siècle ; bien qu'il doive sa célébrité aux lois relatives au courant électrique dans les circuits, lois qu'il a établies alors qu'il était encore étudiant, c'est surtout en tant que fondateur, avec Robert Whilhelm Bunsen (1811 - 1899) chimiste allemand, de la spectroscopie qu'il a apporté sa plus grande contribution à la science.

[58] Comme il y a deux sens $\;+\;$ possibles de courant dans la branche, et qu'alors le sens $\;+\;$ de tension aux bornes de la branche est imposé, il y a deux conventions récepteurs possibles.

[obligation-59] 59,0 et ^59,1 La raison de cette obligation étant qu'elles aient été précédemment définies.

[60] Comme il y a deux sens $\;+\;$ possibles de courant dans la branche, et qu'alors le sens $\;+\;$ de tension aux bornes de la branche est imposé, il y a deux conventions générateurs possibles.

[61] Dans ce circuit à $\;n=4\;$ nœuds et $\;b=6\;$ branches où on cherche à exprimer les intensités des courants dans les $\;b=6\;$ branches, il y a $\;n-1=3\;$ équations de nœud indépendantes et il est nécessaire pour déterminer les valeurs des $\;b=6\;$ inconnues d'écrire $\;b-n+1$ $=6-4+1=3\;$ équations de mailles indépendantes.

[62] Voir le paragraphe « dipôle passif linéaire au sens du régime permanent : conducteur ohmique » du chap. $22$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » dans lequel nous y verrons la loi d'Ohm.

[63] Nous avions noté $\;u_{5}\;$ la tension aux bornes de la branche $\;(5)\;$ dans la maille $\;(I)\;$ ${\big [}$ on a écrit $\;u_{5}=-R_{5}\;i_{5}\;$ car convention générateur ${\big ]}\;$ et $\;{u'}_{5}\;$ celle aux bornes de la branche $\;(5)\;$ dans la maille $\;(II)$ ${\big [}$ on a $\;{u'}_{5}=R_{5}\;i_{5}\;$ car convention récepteur ${\big ]}\;$ en accord avec $\;{u'}_{5}=-u_{5}\;$ correspondant à un changement de sens $\;+\;$ de tension.

[64] Nous avions noté $\;u_{4}\;$ la tension aux bornes de la branche $\;(4)\;$ dans la maille $\;(II)\;$ ${\big [}$ on a écrit $\;u_{4}=R_{4}\;i_{4}\;$ car convention récepteur ${\big ]}\;$ et $\;{u'}_{4}\;$ celle aux bornes de la branche $\;(4)\;$ dans la maille $\;(III)$ ${\big [}$ on a $\;{u'}_{4}=-R_{4}\;i_{4}\;$ car convention générateur ${\big ]}\;$ en accord avec $\;{u'}_{4}=-u_{4}\;$ correspondant à un changement de sens $\;+\;$ de tension ;
nous avions noté $\;u_{2}\;$ la tension aux bornes de la branche $\;(2)\;$ dans la maille $\;(I)\;$ ${\big [}$ on a écrit $\;u_{2}=R_{2}\;i_{2}\;$ car convention récepteur ${\big ]}\;$ et $\;{u'}_{2}\;$ celle aux bornes de la branche $\;(2)\;$ dans la maille $\;(III)$ ${\big [}$ on a $\;{u'}_{2}=-R_{2}\;i_{2}\;$ car convention générateur ${\big ]}\;$ en accord avec $\;{u'}_{2}=-u_{2}\;$ correspondant à un changement de sens $\;+\;$ de tension.

[65] Si le générateur est un générateur de tension permanente et si la borne $\;+\;$ est à gauche $\;{\big (}$ hypothèse $\;a{\big )}\;$ la tension $\;u\;$ sera $\;>0\;$ et l'intensité $\;i\;$ aussi car en convention générateur.

[66] Que nous n'exposerons pas dans le cas général car beaucoup trop compliqué !

[67] Il s'agit de la tension efficace que nous définirons ultérieurement dans le paragraphe « notions de grandeurs efficaces associées à une grandeur instantanée alternative, mesure des tensions et intensités efficaces » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », il suffit de savoir qu'en régime sinusoïdal, la valeur de crête est la valeur efficace multipliée par $\;{\sqrt {2}}\;$ soit $\;220\times {\sqrt {2}}\simeq 311\;V$ .

[68] Qualifié ainsi car il peut fonctionner en régime permanent ou en régime alternatif.

[69] Tension efficace définie ultérieurement dans le paragraphe « Notions de grandeurs efficaces associées à une grandeur instantanée alternative, mesure des tensions et intensités efficaces » du chap. $24$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », la valeur de crête étant, en régime sinusoïdal, la valeur efficace multipliée par $\;{\sqrt {2}}\;$ soit $\;25\times {\sqrt {2}}\simeq 35\;kV$ .

[70] La notion de puissance développée par une force sera introduite dans le chap. $14$ « définition de la puissance d'une force, dépendance du référentiel d'étude, caractère moteur ou résistant de cette dernière » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[71] La détermination étant faite à l'échelle macroscopique ou éventuellement à l'échelle mésoscopique, on peut appliquer la loi des grands nombres concernant le nombre de porteurs de charge mobiles présents dans $\;{\mathcal {C}}\;$ à l'instant $\;t$ , on en déduit alors, en appelant $\;{\overline {N_{\mathcal {C}}}}(t)\;$ la valeur moyenne de ce nombre de porteurs de charge mobiles présents dans $\;{\mathcal {C}}\;$ à l'instant $\;t$ , $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=$ ${\overline {N_{\mathcal {C}}}}(t)\left\langle {\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]\right\rangle \;$ où $\;\left\langle {\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]\right\rangle \;$ est la valeur moyenne de la puissance instantanée développée par la force électrique exercée sur un porteur de charge mobile passant en $\;M_{t}\;$ à l'instant $\;t\;$ soit, avec $\;{\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]=q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}(M_{t})\;$ dont la moyenne s'évalue selon $\;\left\langle {\mathcal {P}}\!\left[q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\right]\right\rangle =\left\langle q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}(M_{t})\right\rangle =q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\Big \langle }{\vec {v}}(M_{t}){\Big \rangle }\;$ où $\;{\Big \langle }{\vec {v}}(M_{t}){\Big \rangle }={\vec {v}}_{e}(t)\;$ est la vitesse moyenne d'entraînement des porteurs à l'instant $\;t\;$ ${\big [}$ ne dépendant pas de $\;M_{t}\;$ dans le cadre de l'A.R.Q.S. ${\big ]}\;$ soit finalement l'expression suivante $\;{\mathcal {P}}_{e,\,r}\!\left({\mathcal {C}},\;t\right)=$ ${\overline {N_{\mathcal {C}}}}(t)\;q_{p}\;{\vec {E}}(M_{t})\cdot {\vec {v}}_{e}(t)$ .

[72] La démonstration est faite au paragraphe « en complément, démonstration de l'expression de la puissance instantanée électrique reçue par une portion de circuit en fonction de la tension entre ses bornes et de l'intensité du courant la traversant (en convention récepteur) » du chap. $4$ de la leçon « Thermodynamique (PCSI) ».

[73] Car en convention récepteur.

[74] Établie si la portion de circuit est génératrice mais reste valable si celle-ci est réceptrice.

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