Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes

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Fonction de plusieurs variables indépendantes
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Chapitre no 6
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Théorème de Fourier
Chap. suiv. :Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte
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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes
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     Pour simplifier l'exposé nous nous placerons dans le cas de deux variables indépendantes, la « généralisation à plus de deux s'imaginant aisément » [1].

Définition d'une fonction scalaire à deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

Graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes en fonction de ces dernières[modifier | modifier le wikicode]

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes dans un repère à trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]

     Le plus facile à concevoir mais non le plus pratique consiste à représenter le graphe dans un repère à trois dimensions , les axes permettant de préciser les valeurs des deux variables indépendantes et l'axe la valeur de correspondante ; le graphe de la fonction dans ce repère est alors la surface d'équation «» [3] ;

     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir l'altitude par la fonction «» mais aussi
     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir la composition surfacique en lombrics par «» [4] ou
     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir d'autres grandeurs encore

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à l'aide de courbes de niveaux dans un repère à deux dimensions[modifier | modifier le wikicode]

     Dans l'exemple de l'altitude, il existe une façon plus pratique utilisant un repère à deux dimensions consistant à tracer, sur ce repère, les courbes de niveaux par exemple la courbe de niveau est la courbe joignant les pointsdont l'image parest on trace alors les courbes de niveaux pour les niveaux «» [5], si les courbes sont très resserrées cela signifie que l'altitude varie très rapidement alors que si elles sont très écartées l'altitude varie très lentement ;

     on peut bien sûr étendre cela à n'importe quelle fonction de deux variables indépendantes en traçant dans un repère à deux dimensions les courbes de niveaux c.-à-d. les courbes joignant les pointsdont l'image parest de valeur constante [6].

Graphe d'une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

     Pour fixer le propos, considérons une fonction scalaire à trois variables indépendantes «» ; par exemple la température ou la pression en chaque point de l'espace ;

     il est impossible de généraliser la 1ère représentation car ceci nécessiterait de définir un repère à quatre dimensions ce que notre cerveau est incapable de représenter ;

     par contre la généralisation de la 2ème représentation nécessitant de définir un repère à trois dimensions et des niveaux associés à des valeurs de constante, est possible même si cela reste peu pratique on obtiendrait alors des « surfaces de niveaux » par exemple dans le cas de la température en chaque point de l'espace, la surface isotherme [7] ;

     les surfaces de niveaux restant d'utilisation peu pratique, on peut peaufiner leur connaissance en représentant diverses coupes par un plan à ou par un plan à ou encore par un plan à , l'avantage étant que ces coupes donnant des courbes dans un repère à deux dimensions sont facilement transportables.

Dérivées partielles relativement à chaque variable d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

     Soient deux variables réelles indépendantes, et la fonction scalaire de ces deux variables

«»

     dont on veut étudier la variation en fonction de chaque variable en définissant des dérivées adéquates.

Définition des dérivées partielles[modifier | modifier le wikicode]

     Si on fige une des variables par exemple , la fonction devient pendant la durée du maintien constant de la variable fonction d'une seule variable sur l'exemple, fonction de notée et sachant définir la dérivée d'une fonction d'une variable sur l'exemple, de la variable , on obtient la variation de relativement à à figé par : que l'on notera «» [8], appelée « dérivée partielle de par rapport à à figé, calculée au point » [9] ;

     si on fige l'autre variable donc la variable , la fonction devient pendant la durée du maintien constant de la variable fonction de la seule variable notée et sachant définir la dérivée d'une fonction de la variable , on obtient la variation de relativement à à figé par : que l'on notera «» [10], appelée « dérivée partielle de par rapport à à figé, calculée au point » [11].

Exemple de calcul de dérivées partielles[modifier | modifier le wikicode]

     Calculer les dérivées partielles premières de la fonction définie par «» :

  • dérivée partielle de par rapport à figé : «» [12],
  • dérivée partielle de par rapport à figé : «» [13] dérivée partielle qui finalement se réécrit selon «».

Vérification du théorème de Schwarz sur un exemple[modifier | modifier le wikicode]

     Le théorème de Schwarz [14] énonce : « lors du calcul d'une dérivée partielle seconde croisée, on peut effectuer les dérivations successives dans n'importe quel ordre » c.-à-d.

«».

     Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent :  :

  • dérivée partielle de par rapport à figé :
    «» [15],
    soit finalement «»,
  • dérivée partielle de par rapport à figé :
    «» [16],
    soit finalement «» bien identique à la dérivée seconde précédente.

     Conséquence : Du fait du théorème de Schwartz les dérivées secondes croisées seront notées indifféremment «» ou «».

Définition des dérivées logarithmiques partielles[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé ou relativement à à figé en et telle que soit », on définit le « nombre dérivé logarithmique partiel de relativement à à figé ou relativement à à figé en » selon

«» dans lequel est le nombre dérivé logarithmique partiel de relativement à à figé en ou
«» dans lequel est le nombre dérivé logarithmique partiel de relativement à à figé en .

     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : Si la fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes est dérivable partiellement relativement à à figé ou relativement à à figé sur un domaine de dérivabilité partielle relativement à à figé ou sur un domaine de dérivabilité partielle relativement à à figé, la fonction dérivée partielle de relativement à à figé ou relativement à à figé est définie par «» [17] ou par «» [18] et
     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : si l'image de ou de par ne contient pas [19] c.-à-d. «» ou [19] ou «» ou [19],
     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : « ses nombres dérivés logarithmiques partiels de relativement à à figé en [17] définis pour chaque couple » [19] sont les « images de par une fonction » [20] définie par «» [19] appelée « dérivée logarithmique partielle de la fonction relativement à à figé » c'est aussi la « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée » et
     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : « ses nombres dérivés logarithmiques partiels de relativement à à figé en [18] définis pour chaque couple » [19] sont les « images de par une fonction » [20] définie par «» [19] appelée « dérivée logarithmique partielle de la fonction relativement à à figé » c'est aussi la « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée ».

Différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

     Soient deux variables réelles indépendantes, et la fonction scalaire de ces deux variables

«»

     dont on veut définir la notion de différentielle comme cela a été fait pour une fonction d'une variable à partir de la dérivée de cette fonction par rapport à la variable et de la différentielle de la variable, à la différence près qu'ici il y a deux variables et deux dérivées partielles

Petite variation de la fonction des deux variables indépendantes sur un pavé de ces deux variables de petite extension[modifier | modifier le wikicode]

     On définit la petite variation de la fonction sur le pavé par

«» ;

     par généralisation de l'approximation linéaire à une fonction de deux variables indépendantes, on établit la relation suivante :

«»
avec « et ».
En physique on note «».

Définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

Propriété de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes dans son utilisation en physique[modifier | modifier le wikicode]

     Justification : s'identifie à quand et selon l'approximation linéaire,
     Justification : or par définition devient, à la limite où et ,
     Justification : or par définition , se substituant à et à .

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

     Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable à savoir :

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Exemple de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

     Soit à calculer la différentielle de «» ; nous voyons deux méthodes,

  • l'une utilisant les règles de différenciation précédentes ainsi que la différenciation de fonctions composées,
  • l'autre calculant au préalable les dérivées partielles et utilisant la définition de la différentielle.

Par calcul direct utilisant les règles de différenciation précédemment introduites[modifier | modifier le wikicode]

     «» avec

  • «»,
  • «», enfin
  • «» et «»,

     finalement on obtient, en regroupant toutes les informations, «» ou

«».

Par calcul préalable des dérivées partielles[modifier | modifier le wikicode]

     Ces calculs ayant déjà été faits on rappelle les résultats :

  • «» et
  • «» d'où :

     «» [24].

Définition de la différentielle logarithmique d'une fonction de deux variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé et relativement à à figé en et telle que soit », on a défini, au paragraphe « définition des dérivées logarithmiques partielles » plus haut dans ce chapitre,

  • la « dérivée logarithmique partielle de la fonction relativement à à figé » par «» [19] c'est aussi la « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée » et
  • la « dérivée logarithmique partielle de la fonction relativement à à figé » par «» [19] c'est aussi la « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée » ;

Différentielle d'une fonction d'une variable, laquelle est fonction de deux autres variables indépendantes, théorème de dérivation partielle d'une fonction composée[modifier | modifier le wikicode]

     Soit d'une part la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé et relativement à à figé en ainsi que
     Soit d'autre part la « fonction scalaire d'une variable réelle dérivable en »,

     nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée des deux variables réelles indépendantes en », la « différentielle de en » s'écrivant

«» [26] ;

     parallèlement, la « fonction scalaire des deux variables réelles indépendantes étant différentiable en », la « différentielle de en » s'écrit

«» [26]
pouvant s'écrire encore, en posant «»,
«» ;

     de même, la « fonction scalaire de la variable réelle étant différentiable en », la « différentielle de en » s'écrit

«» [28] ;

     reportant l'expression «» dans «» nous obtenons la « différentielle de en c.-à-d. l'expression de en » soit «» à identifier à ou encore

avec «», «»,
  avec «», «» ;

     par identification des deux expressions de nous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction scalaire composée dans laquelle est une fonction de deux variables indépendantes et une fonction scalaire de la variable » :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable ou de deux autres variables indépendantes, extension du théorème de dérivation (partielle) d'une fonction composée[modifier | modifier le wikicode]

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable[modifier | modifier le wikicode]

     Soit d'une part la « fonction d'une variable réelle à valeurs dans dérivable en ainsi que
     Soit d'autre part la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé et relativement à à figé en »,

     nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée de la variable réelle en », la « différentielle de en » s'écrivant

«» [28] ;

     parallèlement, la « fonction de la variable réelle à valeurs dans étant différentiable en », la « différentielle de en » s'écrit

«» [29] ;

     de même, la « fonction scalaire des deux variables réelles indépendantes étant différentiable en », la « différentielle de en » s'écrit

«» [26]
avec «» et «» ;

     reportant les expressions «» et «» dans «» nous obtenons la « différentielle de en c.-à-d. en » soit «» à identifier à ou encore

avec «», «»,
avec «», «» ;

     par identification des deux expressions de nous en déduisons l'« extension du théorème de dérivation d'une fonction scalaire composée dans laquelle est une fonction de la variable à valeurs dans et une fonction de deux variables indépendantes » :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une autres variables indépendantes[modifier | modifier le wikicode]

     Soit d'une part la « fonction de deux variables réelles indépendantes à valeurs dans dérivable partiellement relativement à à figé et relativement à à figé en » ainsi que
     Soit d'autre part la « fonction scalaire de deux autres variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé et relativement à à figé en »,

     nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée des deux variables réelles indépendantes en », la « différentielle de en » s'écrivant

«» [26] ;

     parallèlement, la « fonction des deux variables réelles indépendantes à valeurs dans étant différentiable en », la « différentielle de en » s'écrit

«» [30] ;

     de même, la « fonction scalaire des deux variables réelles indépendantes étant différentiable en », la « différentielle de en » s'écrit

«» [26]
avec «» et «» ;

     reportant les expressions «» et «» dans «» nous obtenons la « différentielle de en c.-à-d. l'expression de en » soit « » ou, en regroupant les termes à ainsi que ceux à , «» à identifier à soit

avec «»,
«
                    »
formellement identique à «» ;

     par identification des deux expressions de nous en déduisons l'« extension du théorème de dérivation d'une fonction scalaire composée dans laquelle est une fonction des deux variables réelles indépendantes à valeurs dans et une fonction scalaire des deux variables indépendantes » :

Début d’un théorème