Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées

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......Ce chapitre ayant un support mathématique important a déjà été grandement introduit dans le chap.$16$ « Divers repérages d'un point dans l'espace » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Système de coordonnées cartésiennes

Voir le paragraphe « Repérage cartésien d'un point dans l'espace » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
plus particulièrement pour :

Choix d'un repère cartésien associé à la composante d'espace du référentiel d'étude

......Au « référentiel d'espace » $\;{\mathcal {R}}$, on associe un « repère cartésien » c'est-à-dire

• une « origine » $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et
• une « base orthonormée » (usuellement directe ) $\;\left({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ également fixe dans $\;{\mathcal {R}}$.

Coordonnées cartésiennes d'un point

......Le vecteur position de $\;M\;$ se décompose dans la base cartésienne selon $\;{\overrightarrow {OM}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}\;$ et
......$\;\left(x,\,y,\,z\right)\;$ définissent les coordonnées cartésiennes du point $\;M\;$ ${\big (}x\;$ abscisse, $\;y\;$ ordonnée et $\;z\;$ cote).

Système de coordonnées cylindriques (ou cylindro-polaires), base cylindrique liée au point repéré

Voir le § « repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
plus particulièrement pour :

Vue en perspective du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point M

Principe du repérage cylindro-polaire d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

......Pour définir un repérage cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ pour le point $\;M$, on conserve le repérage cartésien du projeté orthogonal $\;M_{z}\;$ de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et on modifie le repérage du projeté orthogonal $\;M_{xy}\;$ de $\;M\;$ sur le plan $\;(xOy)\;$ en le repérant, dans ce plan, par sa distance à $\;O\;$ et par l'angle que fait $\;{\overrightarrow {OM_{xy}}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;\ldots$

Repérage cylindro-polaire d'axe fixé d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Vues projetées du repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Les coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) de $\;M\;$ sont $\;(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$ avec

• $\;\rho =\left\Vert {\overrightarrow {OM_{xy}}}\right\Vert \geqslant 0\;$ sa « coordonnée radiale » ,
• $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ sa « coordonnée angulaire »  et
• $\;z={\overline {OM_{z}}}\;$ sa cote ;

......On définit la base « cylindro-polaire » (ou cylindrique) liée à $\;M$, $\;({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z})\;$ orthonormée directe avec

• le premier vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\rho }={\dfrac {\overrightarrow {OM_{xy}}}{\rho }}$,
• le second vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le plan $\;xOy\;$ « directement perpendiculaire au précédent »  (on peut encore le définir par $\;{\vec {u}}_{\theta }=$ ${\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }{\big )}\;$ et
• le troisième vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{z}\;$ identique au troisième vecteur de la base cartésienne.

......Remarque : comme la base orthonormée cartésienne $\;({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y})$, la base orthonormée polaire $\;({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta })\;$ permet d'exprimer tout vecteur du plan $\;xOy$, à la différence que ces vecteurs de base polaire dépendent de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ du point alors que les vecteurs de base cartésienne sont constants.

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude

......Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrit dans la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ selon $\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+z\,{\vec {u}}_{z}\;$.

Lien entre repérages cylindro-polaire (ou cylindrique) et cartésien

......Voir le paragraphe « lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) car, si vous avez choisi ce dernier (ou s'il vous a été imposé), c'est parce qu'il simplifie l'étude …

Système de coordonnées sphériques, base sphérique liée au point repéré

Voir le § « repérage sphérique d'un point dans l'espace » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
plus particulièrement pour :

Vue en perspective du repérage sphérique d'un point M

Principe du repérage sphérique d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

......Pour définir un repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ pour le point $\;M\;\not \in \left(Oz\right)$, on définit le demi-plan contenant l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et passant par $\;M$, appelé demi-plan méridien, que l'on repère par l'angle qu'il fait avec le demi-plan méridien de référence $\;\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right)\;$  ; on repère alors le point $\;M\;$ dans ce demi-plan méridien par sa distance au pôle $\;O\;$ et par l'angle positif que fait $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ; dans ce cas le repérage sphérique utilise une longueur et deux angles ;

......si le point $\;M\in \left(Oz\right)$, le demi-plan méridien n'est pas défini [en fait tous demi-plans contenant $\;\left(Oz\right)\;$ conviennent] et on repère le point $\;M\;$ sur $\;\left(Oz\right)\;$ par sa distance au pôle $\;O\;$ et par l'angle positif que fait $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ [plus exactement cet angle vaut 0 si $\;M\;$ est du côté positif de l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et $\;\pi \;$ s'il est du côté négatif] ; dans ce cas un des angles restant indéfini, le repérage sphérique utilise une longueur et un angle.

Repérage sphérique de pôle et d'axe fixés d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Vues projetées du repérage sphérique d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Les coordonnées sphériques de $\;M\;$ sont $\;(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ avec

• $\;r=\left\Vert {\overrightarrow {OM}}\right\Vert \geqslant 0\;$ son « rayon (polaire) » ,
• $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\in \left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ sa « colatitude »  et
• $\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$ sa « longitude »  ;

......On définit la base « sphérique » liée à $\;M$, $\;({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$ orthonormée directe avec

• le premier vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{r}}$,
• le second vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le demi-plan méridien « directement perpendiculaire au précédent »  et
• le troisième vecteur de la base $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ perpendiculaire au demi-plan méridien et orientant ce dernier soit encore $\;{\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\theta }\;$.

......Remarque : comme la base orthonormée cylindro-polaire $\;({\vec {u}}_{z},\,{\vec {u}}_{\rho })\;$ du demi-plan méridien orienté par $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, la base orthonormée sphérique $\;({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta })\;$ de ce même demi-plan méridien orienté par $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ permet d'exprimer tout vecteur du demi-plan méridien, à la différence que ces vecteurs de base sphérique dépendent de la colatitude $\;\theta \;$ du point alors que les vecteurs de base cylindro-polaire sont constants pour un demi-plan méridien fixé.

Composantes sphériques du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude

......Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrit dans la base sphérique liée à $\;M\;$ selon $\;{\overrightarrow {OM}}=r\,{\vec {u}}_{r}\;$.

Interprétation géographique du repérage sphérique de pôle et d'axe fixés

......Pour un repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}$, l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud $-$ pôle Nord » de la Terre,

• $\;r\;$ est l'altitude augmentée du rayon de la Terre, $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire vertical ascendant,
• $\;\theta \;$ la colatitude , $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud,
• $\;\varphi \;$ la longitude et $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est.

Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire (ou cylindrique)

......Voir le paragraphe « lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cylindro-polaire quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier (ou s'il vous a été imposé), c'est parce qu'il simplifie l'étude …

Lien entre repérages sphérique et cartésien

......Voir le paragraphe « lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez en aucun cas revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier (ou s'il vous a été imposé), c'est parce qu'il simplifie énormément l'étude …

Composantes cartésiennes du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

Composantes cartésiennes du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude

......Le vecteur position s'exprimant en repérage cartésien sous la forme $\;{\overrightarrow {OM}}=x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}$, ses composantes cartésiennes sont $\;\left(x,\,y,\,z\right)\;$ s'identifiant aux coordonnées cartésiennes du point $\;M$ ;

......le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'équation horaire vectorielle paramétrique $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$ l'est, de façon équivalente, par la donnée des trois équations horaires scalaires paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ lesquelles sont encore les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M$ » ;

Tracé des deux surfaces (un plan et un cylindre parabolique de génératrices coupant le plan) dont la parabole est l'intersection

......pour déterminer les « deux équations cartésiennes scalaires de $\;\left({\mathcal {T}}\right)$ »  il convient d'éliminer le paramètre $\;t\;$ entre ces trois équations $\;\ldots \;$

......Voir l'exemple $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$ traité dans le paragraphe « repérage paramétrique d'une courbe » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel on établit que $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ étant l'intersection d'un cylindre parabolique $\;y=4\,x^{2}-1\;$ de génératrices parallèles à l'axe $\;Oz\;$ et d'un plan $\;z=4\,x+1\;$ parallèle à l'axe $\;Oy\;$ est une parabole (voir ci-contre).

Composantes cartésiennes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

......La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;M\;$ étant $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$ et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur vitesse en dérivant $\;{\overrightarrow {OM}}(t)=x(t)\,{\vec {u}}_{x}+y(t)\,{\vec {u}}_{y}+z(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$ par rapport à $\;t$, en utilisant le fait que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, soit

$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}$, les composantes cartésiennes de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x}={\dot {x}}(t)\\V_{y}={\dot {y}}(t)\\V_{z}={\dot {z}}(t)\end{array}}\right\rbrace$ ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{x}^{2}(t)+V_{y}^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}$.

......Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$, le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ a pour composantes cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x}={\dfrac {1}{2}}\\V_{y}=2\,t\\V_{z}=2\end{array}}\right\rbrace$, sa norme valant $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {{\dfrac {1}{4}}+4\,t^{2}+4}}={\sqrt {{\dfrac {17}{4}}+4\,t^{2}}}$.

Composantes cartésiennes du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

......La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;M\;$ étant $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur accélération en dérivant $\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{x}(t)\,{\vec {u}}_{x}+V_{y}(t)\,{\vec {u}}_{y}+V_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$ par rapport à $\;t$, en utilisant le fait que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, soit

$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dot {V}}_{x}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\dot {V}}_{y}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\dot {V}}_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}={\ddot {x}}(t)\,{\vec {u}}_{x}+{\ddot {y}}(t)\,{\vec {u}}_{y}+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}$,
les composantes cartésiennes de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}={\dot {V}}_{x}(t)={\ddot {x}}(t)\\a_{y}={\dot {V}}_{y}(t)={\ddot {y}}(t)\\a_{z}={\dot {V}}_{z}(t)={\ddot {z}}(t)\end{array}}\right\rbrace$ ;
la norme du vecteur accélération se calcule selon $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a_{x}^{2}(t)+a_{y}^{2}(t)+a_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-2}$.

......Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$, le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ a pour composantes cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}=0\\a_{y}=2\\a_{z}=0\end{array}}\right\rbrace$, il est donc constant, parallèle à $\;Oy$, et sa norme vaut $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =2$.

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude

......Le vecteur position s'exprimant en repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ sous la forme $\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+z\,{\vec {u}}_{z}\;$, ses composantes cylindro-polaires sont $\;\left(\rho ,\,0,\,z\right)\;$ ne s'identifiant aux coordonnées cylindro-polaires $\;\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)\;$ du point $\;M\;$ que pour la 1^re et 3^ème composantes ;

......le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'équation horaire vectorielle paramétrique $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$ l'est, de façon équivalente, par la donnée des trois équations horaires scalaires cylindro-polaires paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =\rho (t)\\\theta =\theta (t)\\z=z(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ lesquelles sont encore les « trois équations scalaires cylindro-polaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M$ » ;

Hélice circulaire droite caractérisée comme intersection d'un cylindre de révolution et d'une "nappe en colimaçon" - ensemble de demi-droites parallèles à xOy issues d'un point de l'axe z'z de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire (la cote étant fonction de cette dernière)

......pour déterminer les « deux équations cylindro-polaires scalaires de $\;\left({\mathcal {T}}\right)$ »  il convient d'éliminer le paramètre $\;t\;$ entre ces trois équations $\;\ldots \;$

......Exemple : soit le mouvement d'un point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindro-polaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ lesquelles sont aussi les trois équations scalaires cylindro-polaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M$, nous nous proposons de déterminer la nature de la trajectoire en établissant ses deux équations cylindro-polaires ;

......Exemple : une 1^re équation ne demande aucun calcul c'est $\;\rho =R\;$ équation cylindro-polaire d'un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ et de rayon $\;R$ ;

......Exemple : une 2^ème équation s'obtient en éliminant $\;t\;$ entre les deux dernières équations paramétriques soit $\;t={\dfrac {\theta }{\omega }}\;$ que l'on reporte dans $\;z=v\;t\;$ donnant $\;z={\dfrac {v}{\omega }}\;\theta \;$ équation cylindro-polaire d'une « nappe en colimaçon »  ;

......Exemple : la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ étant d'équations cylindro-polaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\z=h\;{\dfrac {\theta }{2\;\pi }}\end{array}}\right\rbrace \;$ où $\;h=2\;\pi \;{\dfrac {v}{\omega }}\;$ est une constante, c'est-à-dire l'intersection d'un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ et d'une « nappe en colimaçon » est une hélice circulaire « droite » dont la constante $\;\vert h\vert \;$ définit le « pas de l'hélice » (voir ci-dessus).

Repérage polaire de M_xy, base polaire qui lui est liée, dérivée de ses vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy repéré dans le référentiel d'étude

Notion de repérage polaire de M_xy, base polaire liée à M_xy

......Le repérage de $\;M_{xy}$, projeté orthogonal de $\;M\;$ sur le plan $\;\left(xOy\right)$, utilisant les coordonnées partielles $\;\left(\rho ,\,\theta \right)$ des coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) $\;\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)\;$ de $\;M$, est appelé « repérage polaire de $M_{xy}$ »,
......la base partielle $\;\left({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$ de la base cylindro-polaire (ou cylindrique) $\;\left({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ liée à $\;M\;$ définit la « base polaire liée à $M_{xy}$ ».

Dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy repéré dans le référentiel d'étude

......Les vecteurs de base polaires $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;$ de $\;M_{xy}\;\left(\rho ,\,\theta \right)\;$ dépendant de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ de $\;M_{xy}\;$, leur dérivée par rapport à cette dernière est a priori non nulle ; pour évaluer chacune d'elle on utilise leur décomposition dans la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$ du plan $\;\left(xOy\right)\;$ selon

$\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\vec {u}}_{\rho }&=&\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}&+&\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }&=&\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}&+&\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$,

......leur dérivée par rapport à $\;\theta \;$ donnant, compte-tenu du fait que les vecteurs de base cartésiennes sont constants d'une part et d'autre part que la dérivée d'un $\;\sin()\;$ ou d'un $\;\cos()\;$ par rapport à son argument s'obtient en ajoutant $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ à l'argument ,

$\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}&=&\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}&+&\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}&=&{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}&=&\cos \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{x}&+&\sin \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{y}&=&-{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right\rbrace$ ;

À retenir $\rightsquigarrow$ dérivées des vecteurs de base $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à $\;\theta$ :

$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;$............et............$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }$ ;

......quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement perpendiculaire au vecteur initial, ainsi
......dérivant $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rapport à l'angle qu'il fait avec $\;{\vec {u}}_{x}$, on obtient $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}$,
......dérivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à l'angle qu'il fait avec $\;{\vec {u}}_{y}$, on obtient $\;-{\vec {u}}_{\rho }\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}$ ;
...... on peut encore écrire $\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;$............et............$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=-{\vec {u}}_{\rho }$.

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

......La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;M\;$ étant $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$ et les vecteurs de base cylindro-polaires (à l'exception du dernier $\;{\vec {u}}_{z}\;$ qui est constant) dépendant de $\;\theta \;$ qui est fonction de $\;t$, nous trouverons les composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur-vitesse en dérivant $\;{\overrightarrow {OM}}(t)=\rho (t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ par rapport à $\;t$, en utilisant $\;{\dfrac {d\!\left[f\;{\vec {A}}\right]}{dt}}(t)={\dot {f}}(t)\;{\vec {A}}(t)+f(t)\;{\dot {\vec {A}}}(t)\;$ conduisant à

$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)={\dfrac {d\rho }{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+\rho (t)\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)+{\dfrac {dz}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ puis,

......pour évaluer $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)$, utilisation de la formule de dérivation de fonction composée appliquée à $\;{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;$ donnant $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$ dans laquelle la dérivation [dans le plan $\;\left(xOy\right){\big ]}\;$ du vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rapport à l'angle $\;\theta \;$ qu'il fait avec la direction fixe $\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant équivalente à une rotation d'un angle de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ en restant dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ conduit à $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et, par report, à

$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)$ ;

......finalement, par injection dans l'expression du vecteur vitesse, on obtient

$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {\rho }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$,
les composantes cylindro-polaires de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{\rho }&=&{\dot {\rho }}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }&=&\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse axiale}}\;&V_{z}&=&{\dot {z}}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$ ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{\rho }^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}$.

......Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindro-polaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ et qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme », le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ a pour composantes cylindro-polaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }=0\\V_{\theta }=R\;\omega \\V_{z}=v\end{array}}\right\rbrace \;$, sa norme valant $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {R^{2}\;\omega ^{2}+v^{2}}}\;$ ou encore, en introduisant le pas $\;\vert h\vert \;$ de l'hélice, $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =\vert \omega \vert \;{\sqrt {R^{2}+{\dfrac {h^{2}}{4\,\pi ^{2}}}}}\;$.

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

......La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;M\;$ étant $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$ et les vecteurs de base cylindro-polaires (à l'exception du dernier $\;{\vec {u}}_{z}\;$ qui est constant) dépendant de $\;\theta \;$ qui est fonction de $\;t$, nous trouvons les composantes cylindro-polaires du vecteur accélération en dérivant $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ $V_{\rho }(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+V_{\theta }(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+V_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}={\dot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+V_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$ par rapport à $\;t$, en utilisant la formule de dérivation d'un produit de fonctions du type $\;{\dfrac {d\!\left[f\;g\;{\vec {A}}\right]}{dt}}(t)={\dot {f}}(t)\;g(t)\;{\vec {A}}(t)+f(t)\;{\dot {g}}(t)\;{\vec {A}}(t)+f(t)\;g(t)\;{\dot {\vec {A}}}(t)\;$ conduisant à

$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\ddot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$ puis,

......pour évaluer $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)$, utilisation de la formule de dérivation de fonction composée appliquée à $\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;$ donnant $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$ dans laquelle la dérivation [dans le plan $\;\left(xOy\right){\big ]}\;$ du vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à l'angle $\;\theta \;$ qu'il fait avec la direction fixe $\;{\vec {u}}_{y}\;$ étant équivalente à une rotation d'un angle de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ en restant dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ conduit à $\;-{\vec {u}}_{\rho }\;$ et, par report, à

$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]=-{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)$,

......la dérivée de $\;{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;$ par rapport à $\;t\;$ ayant déjà été évaluée au paragraphe précédent et ayant conduit à

$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)$ ;

......finalement, par injection dans l'expression du vecteur accélération, on obtient

$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\ddot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\,{\dot {\theta }}(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)\,{\dot {\theta }}(t)+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$ ou

......en regroupant les termes ayant même vecteur de base polaire, l'expression suivante

$\;{\vec {a}}_{M}(t)=\left[{\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }+\left[\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$,
les composantes cylindro-polaires de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{accélération radiale}}\;&a_{\rho }&=&{\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\\{\text{accélération orthoradiale}}\;&a_{\theta }&=&\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{accélération axiale}}\;&a_{z}&=&{\ddot {z}}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$ ;
la norme du vecteur accélération se calcule selon $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a_{\rho }^{2}(t)+a_{\theta }^{2}(t)+a_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-2}$.

......Autre forme de l'accélération orthoradiale (forme « semi-intégrée » ) : à partir de $\;a_{\theta }(t)=\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;$ on met $\;{\dfrac {1}{\rho (t)}}\;$ en facteur dans le but que le 2^ème facteur se mette sous la forme de la dérivée temporelle d'une fonction du temps soit $\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\left[\rho ^{2}\!(t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,\rho (t)\;{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\;$ dans laquelle on vérifie aisément que le facteur entre crochets $\;\rho ^{2}\!(t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,\rho (t)\;{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;$ est égal à $\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)\;$ d'où

la forme « semi-intégrée » de l'accélération orthoradiale $\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)\;$ .

......Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindro-polaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$ et qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme », le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ a pour composantes cylindro-polaires $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }&=&{\cancel {{\ddot {\rho }}(t)}}-\rho ^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)&=&-R\;\omega ^{2}\\a_{\theta }&=&{\cancel {\rho (t)\;{\ddot {\theta }}(t)}}+{\cancel {2\;{\dot {\rho }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)}}&=&0\\a_{z}&=&{\cancel {{\ddot {z}}(t)}}&=&0\end{array}}\right\rbrace \;$, sa norme valant $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =R\;\omega ^{2}$.

Détermination géométrique des composantes cartésiennes et cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse

Rappel de la notion de déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe ainsi que du lien entre vecteur déplacement élémentaire et vecteur vitesse

......La notion de vecteur déplacement élémentaire a déjà été introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ à partir du point $\;M$ » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et elle a été identifiée à celle de « vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe continue » du chapitre$15$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :

$\;{\overrightarrow {dM}}\;$ est la différentielle du vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ du point $\;M\;$ décrivant la courbe soit $\;{\overrightarrow {dM}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$ ;
le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ est tangent à la courbe en $\;M$, dans la mesure où $\;{\overrightarrow {dM}}\neq {\vec {0}}\;$.

Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

......Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails (à savoir refaire) ;

à retenir $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}$.

Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur-déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

......Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails (à savoir refaire) ;

à retenir $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}$.

Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

......Dans le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse » du chapitre$1$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ayant établi $\;{\overrightarrow {dM}}={\vec {V}}_{M}(t)\;dt\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}$, on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en divisant le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ défini à partir du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant au déplacement d'où l'expression du vecteur vitesse :

• en repérage cartésien $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}}{dt}}={\dfrac {dx}{dt}}\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dy}{dt}}\;{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dz}{dt}}\;{\vec {u}}_{z}={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ et
• en repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}}{dt}}={\dfrac {d\rho }{dt}}\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;{\dfrac {d\theta }{dt}}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {dz}{dt}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ soit finalement $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {\rho }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ .

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

......Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails (à savoir refaire) ;

à retenir $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$.

Équations horaires sphériques du mouvement du point repéré dans le référentiel d'étude

......L'équation horaire vectorielle du mouvement du point $\;M\;$ repéré dans le référentiel d'étude étant $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$ ou, en utilisant la base sphérique liée au point $\;M$, à savoir $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(\theta ,\,\varphi )\;;\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;;\;{\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\right\rbrace \;$, $\;{\overrightarrow {OM}}=r\;{\vec {u}}_{r}(\theta ,\,\varphi )=\;$ à la fonction vectorielle du temps $\;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$ établissant que la connaissance de l'équation horaire du mouvement du point $\;M\;$ dans le référentiel d'étude est équivalente à celle des trois équations horaires sphériques du point $\;M\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=r(t)\\\theta =\theta (t)\\\varphi =\varphi (t)\end{array}}\right\rbrace \;$ dans le référentiel d'étude, ces trois équations horaires sphériques étant aussi les trois équations sphériques paramétriques de la trajectoire du point considéré.

......Remarque : on rappelle que le vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude a pour composantes sphériques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overline {OM}}_{r}=r=r(t)\\{\overline {OM}}_{\theta }=0\quad \;\forall \;t\\{\overline {OM}}_{\varphi }=0\quad \;\forall \;t\end{array}}\right\rbrace \;$ c'est-à-dire utilisant uniquement la 1^re équation horaire sphérique du point compte-tenu du fait que $\;{\vec {u}}_{r}\;$ est toujours colinéaire à $\;{\overrightarrow {OM}}$, mais les deux autres équations horaires sphériques du point sont indispensables pour connaître $\;{\vec {u}}_{r}\;$ à l'instant $\;t\;$ selon $\;{\vec {u}}_{r}(t)={\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;\ldots$

Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

......Dans le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse » du chapitre$1$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ayant établi $\;{\overrightarrow {dM}}={\vec {V}}_{M}(t)\;dt\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}$, on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en divisant le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ défini à partir du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant au déplacement d'où l'expression du vecteur vitesse en repérage sphérique :

......$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}={\dfrac {dr}{dt}}\;{\vec {u}}_{r}+r\;{\dfrac {d\theta }{dt}}\;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ soit finalement

$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ ,
les composantes sphériques de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{r}&=&{\dot {r}}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }&=&r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse azimutale}}\;&V_{\varphi }&=&r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$ ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{\varphi }^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}$.

......Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires sphériques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\qquad {\text{avec }}\qquad \omega >0\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ et qualifié

Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de pente 30° par rapport aux parallèles (en rouge) ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "la spirale de Poinsot" (en vert)

de « mouvement loxodromique de sphère uniforme » , le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ a pour composantes sphériques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{r}={\cancel {\dot {r}}}\\V_{\theta }=r\;{\dot {\theta }}\\V_{\varphi }=r\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, avec $\;{\dot {\theta }}=-\omega$, $\;{\dot {\varphi }}=-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\;{\dfrac {1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}}\;{\dfrac {-\omega }{2}}\;$ et $\;\sin(\theta )=$ $\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)={\dfrac {2\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}{1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}}$, on en déduit les composantes sphériques de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{r}=\\V_{\theta }=\\V_{\varphi }=\end{array}}\right.\;$ $\;\left.{\begin{array}{l}0\\-a\;\omega \\a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$, sa norme valant $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =$ ${\sqrt {a^{2}\;\omega ^{2}+a^{2}\,\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega ^{2}}}={\dfrac {a}{\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;\omega =2\;a\;\omega$ $=cste\;$ justifiant le caractère « uniforme » du mouvement.

Compléments : détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier, conséquences sur l'étude du mouvement du point en repérage sphérique

Détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier

......À partir de la notion de dérivées partielles d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à revoir dans le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chapitre$6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , on introduit celle de dérivées partielles d'une fonction vectorielle de deux variables indépendantes de la même façon c'est-à-dire en figeant une variable et en dérivant la fonction vectorielle de la variable laissée libre par rapport à cette dernière .

Détermination des dérivées partielles du premier vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

Vues projetées du repérage sphérique d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

......Voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi :

• $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\;$ en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement perpendiculaire au vecteur que l'on dérive ” et
• $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ en utilisant la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{z},\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\right]\;$ selon $\;{\vec {u}}_{r}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )$, suivi de l'utilisation de $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\varphi }}(\varphi )={\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )$, les autres facteurs ne dépendant pas de $\;\varphi$.

Détermination des dérivées partielles du second vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

......Voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi :

• $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\;$ en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement perpendiculaire au vecteur que l'on dérive ” et
• $\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ en utilisant la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{z},\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\right]\;$ selon $\;{\vec {u}}_{\theta }=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )$, suivi de l'utilisation de $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\varphi }}(\varphi )={\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )$, les autres facteurs ne dépendant pas de $\;\varphi$.

Détermination de la dérivée du troisième vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

......Voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chapitre$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi

......$\;{\dfrac {d\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ en utilisant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement perpendiculaire au vecteur que l'on dérive ” soit $\;{\dfrac {d\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}(\varphi )=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$ suivi de la décomposition du 1^er vecteur de base cylindro-polaire, vecteur du demi-plan méridien, dans la base sphérique de ce demi-plan à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{r},\;{\vec {u}}_{\theta }\right]\;$ selon $\;{\vec {u}}_{\rho }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }$.

Obtention des composantes sphériques du vecteur vitesse du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur position du point

......Le vecteur position du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'écrivant, en repérage sphérique, $\;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]$, on obtient le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)={\dot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]$ ;

......la détermination de $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$ s'établissant en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1^re fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes soit $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)+\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;$ dans laquelle on utilise $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\\\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)$ ;

......le report dans l'expression du vecteur vitesse du point $\;M\;$ nous conduit à

$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ ;
les composantes sphériques de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{r}&=&{\dot {r}}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }&=&r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse azimutale}}\;&V_{\varphi }&=&r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$ ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{\varphi }^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}$.

Quelques indications pour avoir la possibilité de déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur vitesse du point

Préliminaire : les composantes sphériques du vecteur accélération ne doivent JAMAIS être utilisées de votre propre chef car beaucoup trop compliquées .

......Le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'écrivant, en repérage sphérique, $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]$, on obtient le vecteur accélération du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par $\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)={\ddot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+{\dot {r}}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+{\dot {r}}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\ddot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\cdots$ $+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+{\dot {r}}(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]+r(t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\ddot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\cdots$ $+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]$ ;

......la dérivée $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$ a été établie au paragraphe précédent en donnant $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)$ ;
......on adopte la même démarche pour $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$ en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1^re fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes soit $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)+\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;$ dans laquelle on utilise $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\\\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=-{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)$ ;
......on adopte une démarche analogue mais simplifiée pour $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]\;$ en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1^re fonction est une fonction vectorielle d'une variable soit $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;$ dans laquelle on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ d'où $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]=-\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)-\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)$ ;

......le report dans l'expression du vecteur accélération du point $\;M\;$ et le regroupement des composantes de même vecteur de base nous conduit à

$\;{\vec {a}}_{M}(t)=\left\lbrace {\ddot {r}}(t)-r(t)\,{\dot {\theta }}^{2}(t)-r(t)\,\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}^{2}(t)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{r}+\left\lbrace r(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {r}}(t)\,{\dot {\theta }}(t)-r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}^{2}(t)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\theta }+\cdots$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\lbrace 2\,{\dot {r}}(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)+2\,r(t)\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;{\dot {\varphi }}(t)+r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\ddot {\varphi }}(t)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ ;
les composantes sphériques de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{accélération radiale}}\;&a_{r}&=&{\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,\sin ^{2}(\theta )\,{\dot {\varphi }}^{2}\\{\text{accélération orthoradiale}}\;&a_{\theta }&=&r\;{\ddot {\theta }}+2\,{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,\sin(\theta )\,\cos(\theta )\,{\dot {\varphi }}^{2}\\{\text{accélération azimutale}}\;&a_{\varphi }&=&2\,{\dot {r}}\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}+2\,r\,\cos(\theta )\;{\dot {\theta }}\;{\dot {\varphi }}+r\,\sin(\theta )\;{\ddot {\varphi }}\\\end{array}}\right\rbrace \;$ ;
la norme du vecteur accélération se calcule selon $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a_{r}^{2}(t)+a_{\theta }^{2}(t)+a_{\varphi }^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-2}$.

......Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires sphériques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\qquad {\text{avec }}\qquad \omega >0\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ et qualifié de « mouvement loxodromique de sphère uniforme » pour lequel $\;{\dot {r}}=0\;$ et $\;{\ddot {r}}=0$, $\;{\dot {\theta }}=-\omega \;$ et $\;{\ddot {\theta }}=0$, enfin $\;{\dot {\varphi }}=$ $\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\;{\dfrac {1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}}\;{\dfrac {\omega }{2}}=$ $\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\;{\dfrac {\omega }{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;$ et $\;{\ddot {\varphi }}=-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\;{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)\,\omega ^{2}}{\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;$ d'où, en reportant dans les

Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de pente 30° par rapport aux parallèles (en rouge) ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "la spirale de Poinsot" (en vert)

composantes sphériques du vecteur accélération de $\;M\;$ décrivant la loxodromie de sphère de l'équateur au pôle Nord $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{r}={\cancel {\ddot {r}}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,\sin ^{2}(\theta )\,{\dot {\varphi }}^{2}\\a_{\theta }={\cancel {r\;{\ddot {\theta }}+2\,{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}}}-r\,\sin(\theta )\,\cos(\theta )\,{\dot {\varphi }}^{2}\\a_{\varphi }={\cancel {2\,{\dot {r}}\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}}}+2\,r\,\cos(\theta )\;{\dot {\theta }}\;{\dot {\varphi }}+r\,\sin(\theta )\;{\ddot {\varphi }}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, en explicitant les colatitude et longitude ainsi que les vitesses associées, $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{r}=-a\;\omega ^{2}-a\;\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega ^{2}=-{\dfrac {a}{\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;\omega ^{2}\\a_{\theta }=-a\;\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\,\omega ^{2}\\a_{\varphi }=0\end{array}}\right\rbrace \;$, sa norme valant $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {{\dfrac {a^{2}}{\cos ^{4}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;\omega ^{4}+a^{2}\,\tan ^{4}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;\omega ^{4}}}\;$ ou, après factorisation, $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert$ $=a\;\omega ^{2}\,{\sqrt {{\dfrac {1}{\cos ^{4}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}+\tan ^{4}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}}}\;$ ou encore, en évaluant numériquement la tangente et le cosinus de l'angle que fait la loxodromie de sphère avec le demi-plan méridien, $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =a\;\omega ^{2}\,{\sqrt {16+{\dfrac {9}{\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}}}$ ;

......Exemple : la complication du vecteur accélération du point $\;M\;$ dans son mouvement loxodromique de sphère uniforme ainsi que le peu d'informations positives que l'on peut en tirer (mis à part la nullité de l'accélération azimutale) montre qu'en ce qui concerne l'accélération le repérage sphérique n'est pas le bon .

Choix du système de coordonnées adapté au problème

......Voir, pour plus de détails, le paragraphe « choix du système de coordonnées adapté au problème » du chapitre$16$