En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Le vecteur position de se décompose dans la base cartésienne selon «» dans laquelle «» définissent les « coordonnées cartésiennes du point », avec « son abscisse », « son ordonnée » et « sa cote ».
Système de coordonnées cylindriques (ou cylindro-polaires), base cylindrique liée au point repéré
Pour définir un repérage cylindro-polaire d'axe pour le point , on conserve le repérage cartésien du projeté orthogonal de sur l'axe et on modifie le repérage du projeté orthogonal de sur le plan en le repérant, dans ce plan, par sa distance à et par l'angle que fait avec l'axe
Repérage cylindro-polaire d'axe fixé d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude
On définit la « base cylindro-polaireou cylindrique liée à », «»[6] orthonormée directe[1]l'espace étant orienté à droite[2] avec
le 1er vecteur de la base «»,
le 2nd vecteur de la base « dans le plan directement au précédent » [7]on peut encore le définir par «»[8] et
le 3ème vecteur de la base « identique au 3ème vecteur de la base cartésienne ».
Remarque : comme la base orthonormée cartésienne du plan , la base orthonormée polaire permet d'exprimer tout vecteur du plan , à la différence près que ces vecteurs de base polaire dépendent de l'abscisse angulaire du point alors que les vecteurs de base cartésienne sont constants.
Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude
Pour définir un repérage sphérique de pôle et d'axe pour le point «», on définit le « demi-plan contenant l'axe et passant par , appelé demi-plan méridien », repéré par l'angle qu'il fait avec le demi-plan méridien de référence [10],[11] ; la position du point est alors repérée dans ce demi-plan méridien par sa distance au pôle [12] et par l'angle positif que fait avec l'axe [13] ; dans ce cas le repérage sphérique utilise une longueur et deux angles ;
si le point «», le « demi-plan méridien n'est pas défini en fait tous les demi-plans contenant conviennent» et on repère le point sur par sa distance au pôle et par l'angle positif que fait avec l'axe cet angle valant si est du côté positif de l'axe et s'il est du côté négatif ; dans ce cas un des angles restant indéfini, le repérage sphérique utilise une longueur et un angle.
Repérage sphérique de pôle et d'axe fixés d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude
On définit la « base sphérique liée à », «»[18] orthonormée directe[1]l'espace étant orienté à droite[2] avec
le 1er vecteur de la base «»,
le 2nd vecteur de la base « dans le demi-plan méridien directement au précédent » [19],[20] et
le 3ème vecteur de la base « au demi-plan méridien et orientant ce dernier » soit «»[21].
Remarque : comme la base orthonormée cylindro-polaire du demi-plan méridien orienté par , la base orthonormée sphérique de ce même demi-plan méridien orienté par permet d'exprimer tout vecteur du demi-plan méridien, à la différence près que ces vecteurs de base sphérique dépendent de la colatitude du point alors que les vecteurs de base cylindro-polaire sont constants pour un demi-plan méridien fixé.
Composantes sphériques du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude
Le vecteur position s'exprimant en repérage cartésien sous la forme «» a pour « composantes cartésiennes » Le vecteur position s'exprimant en repérage cartésien sous la forme «» a pour s'identifiant aux coordonnées cartésiennes de ;
le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'« équation horaire vectorielle paramétrique » l'est, de façon équivalente, le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée des « trois équations horaires scalaires paramétriques» lesquelles sont encore le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire du point » ;
pour déterminer les « deux équations cartésiennes scalaires de » [24] il convient d'éliminer le paramètre entre ces trois équations
La définition intrinsèque du vecteur vitesse de étant «» et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur vitesse en dérivant par rapport à l'équation horaire vectorielle de «» et en utilisant la linéarité de l'opération dérivation temporelle, soit «», les « composantes cartésiennes de étant » ; «», la « norme du vecteur vitesse se calculant selon et s'exprime en ».
Exemple : mouvement du point défini par les trois équations horaires scalaires «», le vecteur vitesse a pour « composantes cartésiennes », Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires sa norme valant «».
Composantes cartésiennes du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude
La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant «» et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur accélération en dérivant «» par rapport à et en utilisant la linéarité de l'opération dérivation temporelle, soit
«», les « composantes cartésiennes de étant » ; la « norme du vecteur accélération se calculant selon et s'exprimant en ».
Exemple : mouvement du point défini par les trois équations horaires scalaires «», le vecteur accélération a pour « composantes cartésiennes », Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires il est donc constant, à , et sa norme vaut «».
Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude
Le vecteur position s'exprimant en repérage cylindro-polaire ou cylindrique d'axe sous la forme «»[9] a pour « composantes cylindro-polaires » Le vecteur position s'exprimant en repérage cylindro-polaire ou cylindrique d'axe sous la forme «» a pour des « coordonnées cylindro-polaires » de ;
le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'« équation horaire vectorielle paramétrique » l'est, de façon équivalente, le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée des « trois équations horaires scalaires paramétriques»[26] lesquelles sont encore le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire du point » ;
pour déterminer les « deux équations cylindro-polaires scalaires de » [27] il convient d'éliminer le paramètre entre ces trois équations
Hélice circulaire droite caractérisée comme intersection d'un cylindre de révolution et d'une "nappe en colimaçon" - ensemble de demi-droites à issues d'un point de l'axe de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire la cote étant fonction de cette dernière
Exemple : soit le mouvement d'un point défini par les trois équations horaires scalaires cylindro-polaires «» lesquelles sont aussi les trois équations scalaires cylindro-polaires paramétriques de la trajectoire du point , nous nous proposons de déterminer la nature de la trajectoire en établissant ses deux équations cylindro-polaires ;
Exemple : une 1ère équation sans calcul « équation cylindro-polaire d'un tuyau cylindrique d'axe et de rayon » ;
Exemple : une 2ème équation s'obtient en éliminant entre les deux dernières équations paramétriques soit que l'on reporte dans donnant « équation cylindro-polaire d'une nappe en colimaçon »[28] ;
Exemple : la trajectoire étant d'équations cylindro-polaires «» avec « constante » c.-à-d. Exemple : la trajectoire étant l'intersection d'un tuyau cylindrique d'axe et d'une « nappe en colimaçon » voir ci-contre Exemple : la trajectoire est une hélice circulaire « droite »[29] dont la constante définit le « pas de l'hélice »[30].
Repérage polaire de Mxy, base polaire qui lui est liée, dérivée de ses vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de Mxy repéré dans le référentiel d'étude
Le « repérage de , projeté orthogonal de sur le plan », utilisant les « coordonnées partielles » des coordonnées cylindro-polaires ou cylindriques de , Le « repérage de , est appelé « repérage polaire de », la « base partielle » de la base cylindro-polaire ou cylindrique liée à définit la « base polaire liée à ».
Dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de Mxy repéré dans le référentiel d'étude
Les « vecteurs de base polaires de » dépendant de l'abscisse angulaire de , leur dérivée par rapport à cette dernière est a priori non nulle ;
pour évaluer chacune d'elle on utilise leur décomposition dans la base cartésienne du plan selon «»[31],
leur dérivée par rapport à donnant, compte-tenu du fait que les vecteurs de base cartésiennes sont constants d'une part et leur dérivée par rapport à donnant, compte-tenu du fait que la dérivée d'un ou d'un par rapport à son argument s'obtient en ajoutant à l'argument[32] d'autre part, leur dérivée par rapport à donnant, «».
À retenir dérivées des vecteurs de base et par rapport à :
«» et «» ;
quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement au vecteur initial, ainsi dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec , on obtient se déduisant de par rotation de , dérivant par rapport à l'angle qu'il fait avec , on obtient se déduisant de par rotation de ; on peut encore écrire avec le vecteur unitaire au plan et orientant les angles de ce dernier
«» et «».
Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude
La définition intrinsèque du vecteur vitesse de étant «» et les « vecteurs de base cylindro-polaires[33] dépendant de fonction de », on trouve les composantes cylindro-polaires ou cylindriques du vecteur vitesse en dérivant « » par rapport à , avec «»[34] soit La définition intrinsèque du vecteur vitesse de étant «» puis, La définition intrinsèque du vecteur vitesse de étant on évalue en utilisant la formule de dérivation de fonction composée appliquée à soit La définition intrinsèque du vecteur vitesse de étant «»[35] d'où finalement l'expression du vecteur vitesse en repérage cylindro-polaire La définition intrinsèque du vecteur vitesse de étant «»[36], La définition intrinsèque du vecteur vitesse de étant les « composantes cylindro-polaires de étant »[37] ; La définition intrinsèque du vecteur vitesse de étant la norme du vecteur vitesse se calculant selon « et s'exprimant en ».
Exemple : mouvement de défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques «» qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme », Exemple : mouvement de défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur vitesse a pour « composantes cylindriques »[38], Exemple : mouvement de défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques sa norme valant «» ou encore, Exemple : mouvement de défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques en introduisant le pas de l'hélice, «»[39].
Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude
La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant «» et les vecteurs de base cylindro-polaires[33] dépendant de qui est fonction de , on trouve les composantes cylindro-polaires ou cylindriques du vecteur accélération en dérivant «» par rapport à en utilisant «»[34] ce qui nous conduit à La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant «» puis, La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant on évalue en utilisant la formule de dérivation de fonction composée appliquée à soit La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant «»[40], évaluée précédemment valant «»[41], La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant d'où une 1ère expression du vecteur accélération en repérage cylindro-polaire nécessitant un regroupement de termes La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant «», ou La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant en regroupant les termes ayant même vecteur de base polaire, l'expression finale du vecteur accélération en repérage cylindro-polaire La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant «»[36], La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant les « composantes cylindro-polaires de étant »[42] ; La définition intrinsèque du vecteur accélération de étant la norme du vecteur accélération se calculant selon « et s'exprimant en ».
Autre forme de l'accélération orthoradialeforme « semi-intégrée »[43] : à partir de «» on met « en facteur »[44] de façon à pouvoir reconnaître, Autre forme de l'accélération orthoradiale forme « semi-intégrée » : dans le facteur restant, la dérivée temporelle d'une fonction du temps soit «» Autre forme de l'accélération orthoradiale forme « semi-intégrée » : dans laquelle on vérifie que le facteur entre crochets « est égal à » d'où Autre forme de l'accélération orthoradiale forme « semi-intégrée » : la forme « semi-intégrée » de l'accélération orthoradiale «»[45],[46].
Exemple : mouvement de défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques «» qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme », Exemple : mouvement de défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur accélération a pour « composantes cylindriques Exemple : mouvement de défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur accélération »[47], Exemple : mouvement de défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques sa norme valant «»[48].
Détermination géométrique des composantes cartésiennes et cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse
Rappel de la notion de déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe ainsi que du lien entre vecteur déplacement élémentaire et vecteur vitesse
« est la différentielle du vecteur position du point décrivant la courbe soit »[49] ; le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe est tangent à la courbe en , dans la mesure où [50].
Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude
Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur-déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude
Dans le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ayant établi «», on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point à l'instant en divisant le vecteur déplacement élémentaire défini à partir du point à l'instant par la durée élémentaire correspondant au déplacement d'où l'expression du vecteur vitesse :
en repérage cylindro-polaire ou cylindrique « soit »[51],[36].
Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse
L'équation horaire vectorielle du mouvement de repéré dans le référentiel d'étude étant «» ou, en utilisant la base sphérique liée à «»[53], «» égal à la fonction vectorielle du temps «» établissant que la connaissance de l'équation horaire du mouvement de dans le référentiel d'étude L'équation horaire vectorielle du mouvement de est équivalente à celle des « trois équations horaires sphériques paramétriques de » dans le référentiel d'étude, L'équation horaire vectorielle du mouvement de est équivalente à celle ces « trois équations horaires sphériques étant aussi les trois équations sphériques paramétriques de la trajectoire de ».
Remarque : on rappelle que le vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude a pour composantes sphériques «» c.-à-d. Remarque : utilisant « uniquement la 1ère équation horaire sphérique » du point mais Remarque : « les deux autres équations horaires sphériques » du point sont néanmoins nécessaires pour savoir dans quelle direction positionner le point à l'instant Remarque : « les deux autres équations horaires sphériques celle de , étant toujours colinéaire à , ce qui nécessite de connaître «»
Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude
l'expression du vecteur vitesse en repérage sphérique «» soit finalement
«»[51],[36], les « composantes sphériques de étant »[54] ; la « norme du vecteur vitesse se calculant selon et s'exprimant en ».
Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de pente par rapport aux parallèles en rouge ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "une spirale de Poinsot"[55]en vert
Exemple : mouvement du point défini par les trois équations horaires scalaires sphériques «» Exemple : qualifié de « mouvement loxodromique de sphère uniforme »[56], le vecteur vitesse ayant pour « composantes sphériques Exemple : » soit, avec «», «»[57] et « Exemple : » dont on déduit finalement Exemple : mouvement du point les « composantes sphériques de »[58] et Exemple : mouvement du point sa norme valant «», c.-à-d. Exemple : mouvement du point sa norme valant une constante, justifiant le caractère « uniforme » du mouvement.
Compléments : détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier, conséquences sur l'étude du mouvement du point en repérage sphérique
Détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier
À partir de la notion de dérivées partielles d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes[59] à revoir dans le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »[60], on introduit celle de dérivées partielles d'une fonction vectorielle de deux variables indépendantes[59] de la même façon c.-à-d. en figeant une variable et en dérivant la fonction vectorielle de la variable laissée libre par rapport à cette dernière[61].
Détermination des dérivées partielles du premier vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude
«» en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement au vecteur que l'on dérive ” et
«» en utilisant la « décomposition de dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir » selon «», suivi de l'utilisation de «», les autres facteurs ne dépendant pas de .
Détermination des dérivées partielles du second vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude
«» en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement au vecteur que l'on dérive ” et
«» en utilisant la « décomposition de dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien à savoir » selon «», suivi de l'utilisation de «», les autres facteurs ne dépendant pas de .
Détermination de la dérivée du troisième vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude
«» en utilisant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement au vecteur que l'on dérive ” soit «»[62] suivi de la « décomposition du 1er vecteur de base cylindro-polaire, vecteur du demi-plan méridien, dans la base sphérique de ce demi-plan à savoir » selon «».
Obtention des composantes sphériques du vecteur vitesse du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur position du point
Le vecteur position de à l'instant s'écrivant, en repérage sphérique, «», on obtient son vecteur vitesse au même instant par Le vecteur position de à l'instant s'écrivant, en repérage sphérique, «» ;
la « détermination de s'établit en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées » dans laquelle la 1ère fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes[63] soit «» dans laquelle on utilise «» d'où
«» ; le report dans l'expression du vecteur vitesse du point nous conduit à «»[36] ; les « composantes sphériques de étant »[54] ; la « norme du vecteur vitesse se calculant selon et s'exprimant en ».
Quelques indications pour avoir la possibilité de déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur vitesse du point
Préliminaire : les composantes sphériques du vecteur accélération ne doivent « JAMAIS être utilisées de votre propre chef » car beaucoup trop compliquées[64].
Le vecteur vitesse de à l'instant s'écrivant, en repérage sphérique, «», on obtient son vecteur accélération au même instant en dérivant temporellement soit
on adopte la même démarche pour évaluer «» en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1ère fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes[63] soit «» dans laquelle on utilise «» d'où
«» ;
on adopte une démarche analogue mais simplifiée pour «» en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1ère fonction est une fonction vectorielle d'une seule variable[65] soit «» dans laquelle on utilise «» d'où
«» ;
le report dans l'expression du vecteur accélération de et le regroupement des composantes de même vecteur de base nous conduit à
«»[36] ; les « composantes sphériques de étant »[66] ; la « norme du vecteur accélération se calculant selon et s'exprimant en ».
Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de pente par rapport aux parallèles en rouge ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "une spirale de Poinsot"[55]en vert
Exemple : mouvement du point défini par les trois équations horaires scalaires sphériques «» Exemple : qualifié de « mouvement loxodromique de sphère uniforme »[56], le vecteur vitesse ayant pour « composantes sphériques Exemple : déterminées précédemment[67]»[58], sa « norme ayant pour valeur également déterminée Exemple : précédemment[67]» c.-à-d. constante, justifiant le caractère Exemple : « uniforme » du mouvement.
Exemple : Pour déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point, il faut évaluer les dérivées 1ère et 2nde temporelles de Exemple : ses coordonnées sphériques soit «» «», Exemple : ses coordonnées sphériques soit «» «», Exemple : ses coordonnées sphériques soit «»[57] «»[68] Exemple : ses coordonnées sphériques soit «» d'où Exemple : «» ou, en explicitant les colatitude et longitude ainsi que les vitesses associées, Exemple : les « composantes sphériques de »[69], Exemple : sa « norme valant » Exemple : ou, après factorisation par «» ainsi que par « entre les deux derniers termes sous le radical », Exemple : «» Exemple : ou encore, en évaluant numériquement la tangente et le cosinus de l'angle que fait la loxodromie de sphère avec le demi-plan méridien, Exemple : «» ;
Exemple : la complication du vecteur accélération de dans son mouvement loxodromique de sphère uniforme montre qu'en ce qui concerne l'accélération le repérage sphérique n'est pas le bon[70].
Choix du système de coordonnées adapté au problème
choix du repérage cylindro-polaireou cylindrique pour un problème « invariant par symétrie de révolution d'axe »,
choix du repérage sphérique pour un problème « invariant par symétrie sphérique de centre » à condition que l'on n'ait pas besoin d'expliciter le vecteur accélération[72] et
choix du repérage cartésien pour un problème « sans invariance par symétries de révolution ou sphérique ».
Compléments : Repérage de Frenet d'un point sur une courbe du référentiel d'étude, base locale de Frenet lié au point
Commentaires préliminaires : L'introduction du repérage de Frenet[73] est présentée « en complément »[74], toutefois Commentaires préliminaires : il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions de la vie quotidienne comme la « longueur parcourue sur une courbe » ou Commentaires préliminaires : il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions de la vie quotidienne comme la « vitesse lue sur un tachymètre » ou Commentaires préliminaires : il est difficile de s'en passer car c'est le seul repérage introduisant les notions de la vie quotidienne comme l'« accélération tangentielle le long d'une courbe »[75]. Commentaires préliminaires : La particularité du repérage de Frenet[73] est qu'il nécessite de connaître la trajectoire suivie par le point , cette courbe pouvant être « plane » ou « gauche »[76] ; Commentaires préliminaires : La particularité ce repérage nécessite de choisir sur une origine notée et un sens arbitraire pour orienter la courbe.
On définit, en tout point non anguleux de , un vecteur unitaire tangent à en orienté dans le sens appelé « vecteur unitaire tangentiel » et constituant le « 1er vecteur de la base locale de Frenet »[73] ;
la relation «» caractérisant la courbe et représentant l'« équation vectorielle paramétrique » de cette dernière, on définit mathématiquement la relation «» le 1er vecteur de base de Frenet[73]équivalente à celle qui a été donnée précédemment par «» c.-à-d. que la relation «» le vecteur unitaire tangentiel peut être obtenu en dérivant par rapport l'équation vectorielle paramétrique de la courbe .
Composante de Frenet du vecteur déplacement élémentaire à partir d'un point d'une courbe continue
Le « vecteur déplacement élémentaire à partir du point de la courbe continue d'équation vectorielle » étant « la différentielle de en suivant », on en déduit Le « vecteur déplacement élémentaire «» soit, en utilisant la définition mathématique précédente de , «».
Notion de cercle osculateur en un point d'une courbe plane, de centre et de rayon de courbure en ce point, 1ère définition du rayon de courbure d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci
Le cercle osculateur en d'une courbe plane est le cercle du plan de la courbe qui lui est « tangent et localement le plus proche » [79],[80].
Autres notions : le « centre du « cercle osculateur » à la courbe en » définit le centre de courbure de en et Autres notions : le « rayon c.-à-d. » du « cercle osculateur » à la courbe en » définit le rayon de courbure[81] de en .
Schéma introductif de la définition du rayon de courbure en un point d'une courbe plane
Définition du rayon de courbure d'une courbe plane en un point non anguleux de celle-ci : Définition du rayon de courbure Le vecteur unitaire tangentiel [82] de la base locale de Frenet[73] en , point non anguleux de , étant Définition du rayon de courbure Le vecteur unitaire tangentiel de direction repérée par l'angle avec la direction fixe du plan de Définition du rayon de courbure Le vecteur unitaire tangentiel c.-à-d. «», on définit Définition du rayon de courbure l'angle algébrisé formé entre les vecteurs unitaires tangentiels[82] en deux points voisins et de Définition du rayon de courbure «» et Définition du rayon de courbure les vecteurs unitaires normaux principaux de Frenet[73][83] en chacun de ces deux points voisins[84] Définition du rayon de courbure les vecteurs unitaires normaux principauxformant le même angle algébrisé «»[85], on définit Définition du rayon de courbure le rayon de courbure moyen sur l'arc de courbe par «»[85] ; on en déduit
Définition du rayon de courbure la définition du « rayon de courbure de en » d'un point d'inflexion de Définition du rayon de courbure la définition du « rayon de courbure de en » comme la « limite du rayon de courbure moyen Définition du rayon de courbure la définition du « rayon de courbure de en » comme la « quand on fait tendre l'écart angulaire entre normales vers zéro » soit Définition du rayon de courbure la définition du « rayon de courbure de en » «»[86] d'où Définition du rayon de courbure une 1ère définition du rayon de courbure de la courbe plane en un point non anguleux «»[78],[87] avec «».
Deuxième et troisième vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue
3ème vecteur de la base locale de Frenet[73] en un point non anguleux d'une courbe plane : ce vecteur unitaire est au plan de la courbe et son sens est choisi tel que le sens des angles du plan de la courbe rende le 2ème vecteur de la base de Frenet[73] directement au 1er vecteur de cette même base[89], la « base de Frenet[73] étant directe »[1] dans l'espace physique supposé orienté à droite[2], on en déduit «».
Notion de plan et de cercle osculateurs en un point d'une courbe « gauche », de centre et de rayon de courbure en ce point, définition simultanée du rayon de courbure et du 2ème vecteur de la base locale de Frenet en un point non anguleux d'une courbe quelconque, complétion de la base locale de Frenet
Le plan osculateur en à la courbe gauche est le plan qui lui est « tangent et localement le plus proche » [90],[91],[92].
Le « cercle osculateur » à la courbe gauche en est le cercle du plan osculateur à la courbe gauche en qui lui est « tangent et localement le plus proche » [79].
Définition simultanée du rayon de courbure et du 2ème vecteur de la base locale de Frenet en un point non anguleux d'une courbe plane, généralisation à une courbe « gauche »
Nous avons vu, dans le paragraphe « notion de 1er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » plus haut dans ce chapitre, que le 1er vecteur de base de Frenet[73] pouvait être défini, pour une courbe quelconque, par «» où « est l'équation paramétrique vectorielle de » et Nous avons vu, en définissant l'angle pour une courbe plane, que la courbure en [94] pouvait être définie par «»[95] où « est la fonction associant à toute valeur d'abscisse curviligne une valeur unique »[96] d'une part et Nous avons vu, en définissant l'angle pour une courbe plane, que le 2ème vecteur de base de Frenet[73] pouvait l'être, d'autre part, par «» [97] ; formant « dans le cas d'une courbe plane » et utilisant la formule de dérivation de fonction composée, nous en déduisons «» soit finalement une expression pouvant servir de « définition simultanée du rayon de courbure et du 2ème vecteur de la base locale de Frenet[73] en un point non anguleux d'une courbe plane » soit
On généralise la définition simultanée du rayon de courbure et du 2ème vecteur de la base locale de Frenet[73] en un point non anguleux d'une courbe non plane :
le 2ème vecteur de base locale de Frenet[73] en un point de la courbe , noté «» et appelé « vecteurunitairenormal principal »[102] le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à en c.-à-d. le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire la normale principale étant la direction où est le centre de courbure[103] et le 2ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire porté par la normale principale » à en de sens dirigé vers le centre de courbure ;
le 3ème vecteur de base locale de Frenet[73] en un point de la courbe , noté «» et appelé « vecteurunitairenormal secondaire » le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » à en c.-à-d. le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire la normale secondaire étant la direction au plan osculateur à en [104] et le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » de sens tel que la « baseest directe »[1], le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , est le « vecteur unitaire porté par la normale secondaire » l'espace étant supposé orienté à droite[2] ; le 3ème vecteur de base locale de Frenet en un point de la courbe , remarque : les angles du plan osculateur à en sont orientés par le vecteur normal secondaire [105] ; le 3ème vecteur de base locale de Frenet une définition équivalente de «», les deux autres vecteurs de base locale de Frenet[73] étant au préalable définis, est «».
Compléments : composantes locales de Frenet du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude
Le vecteur vitesse du point à la date sur sa trajectoire peut s'obtenir en divisant « son vecteur déplacement élémentaire pendant la durée »[106] Le vecteur vitesse du point à la date sur sa trajectoire peut s'obtenir en divisant par « la durée élémentaire correspondante » soit «» ou Le vecteur vitesse du point à la date sur sa trajectoire s'obtient finalement par «» ;
la composante tangentielle[107] de Frenet du vecteur vitesse du point sur sa trajectoire définissant la vitesse instantanée de ce dernier, on en déduit
«» «»[108] soit l'expression de la vitesse instantanée du point sur : «».
Composantes locales de Frenet du vecteur accélération du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, accélérations tangentielle et normale du point
Le vecteur accélération du point à la date sur sa trajectoire s'obtient en « dérivant l'expression de Frenet[73] du vecteur vitesse par rapport à », Le vecteur accélération du point à la date sur sa trajectoire s'obtient considéré comme une fonction vectorielle composée de c.-à-d. d'où Le vecteur accélération du point à la date sur sa trajectoire s'obtient en « Le vecteur accélération du point à la date sur sa trajectoire s'obtient en «» soit, avec «», Le vecteur accélération du point à la date sur sa trajectoire s'obtient en «»[109].
Propriétés : Le « vecteur accélération est dans le plan osculateur de la trajectoire en », Propriétés : il s'écrit «» avec « les accélérations respectivement tangentielle et normale », Propriétés : les « composantes de Frenet de sont donc respectivement »[110] ; Propriétés : la norme du vecteur accélération se calcule selon « et s'exprime en ».
Exemple d'utilisation du repérage de Frenet : mouvement loxodromique de sphère uniforme
Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de pente par rapport aux parallèles en rouge ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "une spirale de Poinsot"[55]en vert
Nous revenons sur le « mouvement loxodromique de sphère uniforme » défini par les trois équations horaires scalaires sphériques «»[56] pour lequel nous avons évalué les « composantes sphériques du vecteur vitesse »[111] par «»[58], sa norme valant «»[112] ;
compte-tenu de l'extrême complication des composantes sphériques du vecteur accélération et dans la mesure où la trajectoire est connue, nous reprenons l'étude avec le repérage de Frenet[73] en orientant la trajectoire dans le sens du mouvement c.-à-d. en identifiant la vitesse instantanée avec la norme du vecteur vitesse soit «» d'où les « composantes sphériques du vecteur unitaire tangentiel de Frenet[73][113],[114]»[115] ;
le mouvement étant uniforme, l'« accélération tangentielle », et par suite le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par le vecteur unitaire normal principal de Frenet[73] le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par que l'on peut déterminer simultanément au rayon de courbure de la loxodromie de sphère par «»[116] le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par avec «[114]» et le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par d'où « le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par d'où » ;
dérivées temporelles des 2ème et 3ème vecteurs de la base sphérique liée à M
dérivée temporelle du 2ème vecteur de base sphérique liée au point : la formule de dérivation de fonction composée, fonction de deux variables indépendantes dépendant d'une variable commune dérivée temporelle du 2ème vecteur de base sphérique liée au point : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à donne «» dérivée temporelle du 2ème vecteur de base sphérique liée au point : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à donne dans laquelle «»[117] soit dérivée temporelle du 2ème vecteur de base sphérique liée au point : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à donne «» ;
dérivée temporelle du 3ème vecteur de base sphérique liée au point : la formule de dérivation de fonction composée, fonction d'une variable dépendant d'une autre variable dérivée temporelle du 3ème vecteur de base sphérique liée au point : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à donne «» dérivée temporelle du 3ème vecteur de base sphérique liée au point : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à donne dans laquelle «»[118] soit dérivée temporelle du 3ème vecteur de base sphérique liée au point : la formule de dérivation de fonction composée, appliquée à donne «» ;
conclusion : les dérivées temporelles du 2ème et 3ème vecteurs de la base sphérique liée à se calculent selon «» ;
le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par d'où reportant dans «»[119] «»[120] le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par d'où on obtient «» ;
le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par d'où reportant dans «»[119] les expressions évaluées précédemment le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par d'où «»[120] on obtient le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par d'où « le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par d'où » ;
le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par d'où reportant dans «» les expressions de
le mouvement étant uniforme, le vecteur accélération est porté par d'où on obtient «» d'où le mouvement étant uniforme, la courbure[94] «» et par suite le mouvement étant uniforme, le « rayon de courbure » exprimé en fonction de la « colatitude », «»[121] ;
le mouvement étant uniforme, on en déduit les « composantes sphériques de »[122] soit
le mouvement étant uniforme, numériquement, «» c.-à-d. «» ;
le mouvement étant uniforme, l'« accélération normale vaut donc » ou encore le mouvement étant uniforme, l'« accélération normale vaut donc «»[123],[124].
↑ 9,0 et 9,1 Le vecteur position dépend explicitement de et implicitement de par l'intermédiaire de .
↑ Cet angle est l'analogue géographique de la longitude.
↑ L'angle entre deux demi-plans est l'angle entre les demi-droites d'une même section droite une section droite est la figure obtenue en réalisant une coupe par un plan à la droite d'intersection des deux demi-plans, cet angle est algébrisé selon le vecteur unitaire de .
↑ Cette distance est l'analogue géographique de l'altitude à laquelle on ajoute le rayon de la Terre.
↑ Cet angle est l'analogue géographique de la colatitude.
↑ Ou encore « coordonnée radiale » s'exprimant en .
↑ Domaine de définition large de seulement car on décrit un demi-plan méridien, la « colatitude » s'exprimant en .
↑ Angle orienté par le 3ème vecteur de la base sphérique lié au point .
↑ Domaine de définition large de , on peut choisir encore une détermination comprise entre et .
↑ Cette base est liée à car les deux 1ers vecteurs de la base dépendent de et de , le 3ème dépendant uniquement de :
le 1er «» est appelé « vecteur radial »,
le 2nd «» est appelé« vecteur orthoradial » et
le 3ème «» est appelé « vecteur longitudal ».
↑ Ce qui signifie que «», les angles du demi-plan méridien étant orientés par .
↑ Soit encore, en remarquant que les demi-plans méridiens dans les repérages sphérique et cylindro-polaire étant identiques la seule différence étant qu'en repérage cylindro-polaire le demi-plan est repéré par son angle polaire et qu'en repérage sphérique il l'est par sa longitude quand les deux repérages sont utilisés simultanément on note à la place de et par suite « le 2ème vecteur de base cylindro-polaire » directement à le 1er vecteur de base cylindro-polaire, Soit encore, une définition équivalente du 2ème vecteur de la base sphérique «».
↑ On rappelle que ce 3ème vecteur de base sphérique est identique au 2ème vecteur de base cylindro-polaire.
↑ Le vecteur position dépend explicitement de et implicitement de par l'intermédiaire de .
↑ En géographie on utilise préférentiellement la « latitude notée » pour repérer le point dans un demi-plan méridien à partir du « point d'intersection de ce demi-plan avec le plan de l'équateur » ; En géographie « la latitude est orientée en sens inverse de la colatitude » c.-à-d. « comptée positivement du pôle Sud vers le pôle Nord », elle est définie selon «», nulle quand est sur l'équateur, valant au pôle Nord et au pôle Sud ; En géographie son lien avec la colatitude est «» donnant effectivement une valeur nulle au pôle Nord, à l'équateur et au pôle Sud.
↑ On rappelle qu'une équation cartésienne scalaire est l'équation d'une surface, il faut donc deux équations cartésiennes pour définir une courbe, celle-ci étant l'intersection de deux surfaces.
↑ Il s'agit donc des coordonnées cylindro-polaires de exprimées en fonction du paramètre et non des composantes cylindro-polaires de en fonction du paramètre qui ne fournirait pas la dépendance de .
↑ Une équation scalaire cylindro-polaire est l'équation d'une surface par exemple est l'équation du tuyau cylindrique de révolution d'axe de rayon , est l'équation du demi-plan méridien repéré par l'abscisse angulaire constante , pour obtenir une courbe il faut deux équations scalaires cylindro-polaires par exemple est l'équation de la droite parallèle à passant par le point du plan de coordonnées radiale et angulaire respectives et .
↑ En fait la surface d'équation «» n'a pas de nom mathématique c'est donc une appellation personnelle, elle est constituée de demi-droites à , dans la direction et issues du point de l'axe de côte c.-à-d. d'autant plus grande que l'est.
↑ Elle est donc tracée sur un tuyau cylindrique de révolution avec si on « développe » le tuyau cylindrique de façon à ce que sa surface latérale devienne un plan, l'hélice devient une droite de pente égale au cœfficient de proportionnalité entre et , elle est qualifiée de « dextre » ou « droite » si le cœfficient de proportionnalité entre et est positif, ce qui correspond au fait qu'elle « monte » dans le sens trigonométrique, un observateur placé à l’extérieur la voit, lorsqu'elle est devant, « monter de gauche à droite » ; elle serait qualifiée de « senestre » ou « gauche » si le cœfficient de proportionnalité entre et était négatif, elle « monterait » dans le sens trigonométrique indirect ou rétrograde ou encore dans le sens horaire.
↑ C.-à-d. la valeur absolue de la différence de cotes pour une augmentation d'abscisse angulaire de .
↑ On écrit sous cette forme car il est directement à .
↑ 36,036,136,236,336,4 et 36,5 Pour simplifier nous n'avons pas rappelé que les vecteurs de base polaires ou sphériques dépendent eux aussi de .
↑ À connaître sans hésiter chaque composante devant être homogène à une vitesse linéaire et faisant intervenir respectivement la dérivée temporelle de la grandeur scalaire associée à la composante de la vitesse à savoir , seule la 2ème n'a pas la bonne homogénéité, il lui manque une longueur et c'est et évidemment à savoir aussi redémontrer.
↑ L'hélice étant tracée sur le tuyau cylindrique de rayon et le vecteur vitesse étant tangent à l'hélice, il n'a pas de composante radiale car il est tangent au tuyau cylindrique.
↑ L'introduction de la grandeur «» dont la valeur absolue est le pas de l'hélice conduisant à «»
↑ À connaître sans hésiter en utilisant les moyens mnémotechniques exposés ci-après et évidemment à savoir aussi redémontrer ; chaque composante homogène à une accélération linéaire contient au moins un terme faisant intervenir la dérivée temporelle seconde de la grandeur scalaire associée à la composante de l'accélération à savoir ce qui satisfait à l'homogénéité sauf pour la 2ème, laquelle doit être multipliée par une longueur pour avoir la bonne homogénéité, cette longueur étant ; à l'exception de la 3ème composante où l'accélération axiale est la dérivée temporelle de la vitesse axiale , l'accélération radiale respectivement orthoradiale n'est en général pas la dérivée temporelle de la vitesse radiale respectivement orthoradiale sauf cas particuliers ; dans chacune des deux 1ères composantes il y a un terme additif à lesquels sont respectivement nuls, le 1er dans un mouvement circulaire et le 2nd dans un mouvement uniforme pour obtenir : dans la 1ère, ce terme le seul restant dans un mouvement circulaire où , dépend du carré de la vitesse angulaire multiplié par de façon à justifier l'homogénéité et précédé d'un signe dans un mouvement circulaire la composante radiale est centripète, le 1er terme étant la dérivée temporelle de la vitesse radiale nous pouvons écrire l'accélération radiale selon «» ; dans la 2ème, ce terme le seul restant dans un mouvement uniforme où , dépend de la vitesse radiale multipliée par la vitesse angulaire de façon à justifier l'homogénéité et précédé d'un facteur pour lequel il n'y a pas de moyen mnémotechnique pour le retenir, on peut aussi remarquer que la vitesse orthoradiale étant et sa dérivée temporelle , l'accélération orthoradiale peut se réécrire selon «», « le terme additif à ajouter à pour obtenir est le double du terme à ajouter à la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale pour obtenir le même »
↑ C'est une appellation « personnelle » fondée sur le fait que cette forme étant à la dérivée temporelle d'une fonction du temps permet d'intégrer facilement
↑ On retient « un 1er facteur » donc en , « le 2nd facteur étant une dérivée par rapport à d'une grandeur devant, pour des raisons d'homogénéité, être exprimée en » c.-à-d. homogène à une vitesse aréolaire la dérivation temporelle donnant des et la division par des effectivement homogène à une accélération, « la grandeur que l'on dérive dépendant du rayon et de la vitesse angulaire et devant être en homogène une vitesse aréolaire» ne peut être que le « produit du carré du rayon » seul facteur apportant des « et de la vitesse angulaire » seul facteur apportant des d'où « la grandeur à dériver » et le « 2nd facteur »
↑ L'hélice étant tracée sur le tuyau cylindrique de rayon et le mouvement étant uniforme , il n'y a qu'une composante radiale de l'accélération laquelle, étant toujours dirigée vers l'axe , pourrait être qualifiée de « axipète » appellation « personnelle » traduisant un vecteur de support coupant un axe fixe et de sens toujours dirigé vers ce dernier, appellation construite sur « centripète » traduisant un vecteur de support passant par un point fixe et de sens toujours dirigé vers ce dernier.
↑ Elle dépend du rayon du tuyau cylindrique sur laquelle est tracée l'hélice, de la vitesse angulaire de rotation sur ce tuyau, et Elle ne dépend pas de la vitesse de translation parallèlement à l'axe du tuyau et par conséquent ne dépend pas non plus du pas de l'hélice.
↑ Ce vecteur est unique à condition que ne soit pas un point anguleux de la courbe.
↑ Dans le cas général, le vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue n'est pas nul, ceci n'arrivant que très rarement.
↑ 51,051,1 et 51,2 Ce qui revient à remplacer l'élément différentiel de chaque variable par sa dérivée temporelle.
↑ C'est cette détermination géométrique qui est au programme de physique de P.C.S.I. et c'est elle qu'il faut savoir refaire.
↑ On rappelle que les deux 1ers vecteurs de base sphériques dépendent de la colatitude et de la longitude alors que le dernier ne dépend que de la longitude .
↑ 54,0 et 54,1 À connaître sans hésiter chaque composante devant être homogène à une vitesse linéaire et faisant intervenir respectivement la dérivée temporelle de la grandeur scalaire associée à la composante de la vitesse à savoir , seule la 1ère a la bonne homogénéité, mais dans la 2nde il lui manque une longueur, c'est , le rayon du méridien et dans la 3ème il lui manque aussi une longueur, c'est , le rayon du parallèle et évidemment à savoir aussi retrouver à partir des composantes sphériques de obtenues par détermination géométrique.
↑ 57,0 et 57,1 Dérivation de fonctions composées : on dérive « le logarithme népérien par rapport à son argument » d'où , on multiplie par « la dérivée de l'argument par rapport à l'argument de ce dernier » soit et on termine en multipliant par « la dérivée de par rapport à » soit
↑ 58,058,1 et 58,2 La loxodromie de sphère étant tracée sur la sphère de rayon et le vecteur vitesse étant tangent à la loxodromie de sphère, il n'a pas de composante radiale car il est tangent à la sphère ; le rapport «» établit que la direction du vecteur vitesse fait l'angle avec les parallèles
↑ 59,0 et 59,1 Généralisable aisément au cas de plus de deux variables indépendantes.
↑ Mais, contrairement à ce qui est fait dans le paragraphe précité, les dérivées partielles seront définies à l'aide des coordonnées sphériques et non cartésiennes.
↑ Si la fonction vectorielle dépend de plus de deux variables indépendantes, on fige toutes les variables sauf une et on dérive la fonction vectorielle de la variable laissée libre par rapport à cette dernière.
↑ 63,0 et 63,1 Soit une fonction scalaire ou vectorielle de deux ou plus variables indépendantes lesquelles dépendent individuellement d'une 3ème variable , la formule de dérivation de fonctions composées s'écrit «» ou «».
↑ Soit une fonction scalaire ou vectorielle d'une variable laquelle dépend d'une 2ème variable , la formule de dérivation de fonctions composées s'écrit «» ou «».
↑ Pour simplifier on n'indique pas que toutes les grandeurs dépendent de .
↑ En effet l'accélération longitudale vaut soit, après simplification, «».
↑ Le bon repérage sera vu en complément plus loin dans le chapitre, c'est le repérage de Frenet.
↑ C.-à-d. que l'on ne considère pas le repérage de Frenet introduit en complément ci-après, même si c'est ce dernier qui est le mieux adapté si c'est le cas on donnera aussi la solution l'utilisant.
↑ Si ce n'est pas le cas, on choisira le repérage s'en rapprochant le plus à savoir le repérage cylindro-polaire ou cylindrique.
↑ Il n'est donc pas exigible pour un étudiant de classe préparatoire option PCSI.
↑ Traduisant le fait que la vitesse lue sur le tachymètre augmente ou diminue.
↑ Une courbe non plane étant qualifiée de « gauche ».
↑ La distance non algébrisée séparant de sur étant .
↑ 78,078,1 et 78,2 Cette définition ou propriété n'est pas applicable à une courbe « gauche » c.-à-d. non plane.
↑ 79,0 et 79,1 Une définition plus précise également valable pour une courbe gauche pourrait être : « soient un point de et un point voisin de sur , le cercle osculateurencore appelé cercle de courbure de la courbe au point est la limite du cercle passant par et en étant tangent à en quand tend vers » voir aussi le paragraphe « Définitions et propriétés » de l'article « cercle osculateur » de « wikipédia ».
↑ 83,0 et 83,1 Le vecteur unitaire normal principal de Frenet en un point non anguleux d'une courbe plane est défini, dans le plan de cette courbe , Le vecteur unitaire normal principal de Frenet en un point non anguleux d'une courbe plane est de direction au vecteur unitaire tangentiel au même point et Le vecteur unitaire normal principal de Frenet en un point non anguleux d'une courbe plane est de sens vers le centre de courbure associé ; Le vecteur unitaire normal principal de Frenet en un point non anguleux d'une courbe plane il est directement au vecteur unitaire tangentiel en de « directement » car on choisit d'orienter le plan de la courbe tel que l'angle algébrisé , le vecteur unitaire normal secondaire au plan de la courbe orientant ces angles étant, dans le cas de la figure, de sens opposé à il serait dans le sens de si la courbure de en était inversée, c.-à-d. si le centre de courbure associé était de l'autre côté de . Pour une courbe plane, le vecteur unitaire normal secondaire , de direction indépendante de , ne nécessitant pas usuellement d'introduction particulière le qualificatif « normal secondaire » est usuellement non utilisé et par suite, pour le vecteur unitaire normal principal le qualificatif « principal » est omis d'où sa mise entre parenthèses.
↑ Le caractère « voisin » doit être précisé pour que les vecteurs normaux principaux en ces deux points voisins soient définis relativement à un même sens de la courbe plane de , ceci nécessitant qu'il n'y ait pas de point d'inflexion deentre ces deux pointsvoir la note « 83 » plus haut dans ce chapitre sur le sens du vecteur normal secondaire par rapport au sens de .
↑ 85,0 et 85,1 par égalité d'angles à côtés respectivement , cette propriété étant applicable à condition qu'il n'y ait pas de point d'inflexion de entre et c.-à-d. que ces points soient voisins au sens précisé par la note « 84 » plus haut dans ce chapitre.
↑ À chaque valeur d'abscisse curviligne «» on associe un point «» que la courbe soit ouverte ou fermée et à chaque point « non anguleux », on associe une valeur de «», aussi peut-on définir de façon unique la fonction «» sur toute courbe plane sans point anguleux ; en restreignant éventuellement le domaine de définition de il est toujours possible d'inverser la fonction pour obtenir la fonction inverse «» ; dans «» on reconnaît alors la définition de la « dérivée par rapport à de ».
↑ 88,0 et 88,1 Pour une courbe plane, le qualificatif « principal » n'est pas utile car dans le plan de la courbe il n'y a qu'une normale à la courbe en un point non anguleux d'où la mise entre parenthèses.
↑ est donc égal à si la courbe est dans le plan , sa direction étant fixe, le baptiser n'apporterait rien de nouveau, ce n'est que le vecteur unitaire orientant les angles du plan de la courbe.
↑ Pour définir un plan osculateur il faut bien sûr que les plans tangents existent c.-à-d. qu'il existe une tangente unique au point , tout plan contenant cette tangente et il y en a une infinité définissant alors un plan tangent particulier, parmi tous ces plans il en existe un se rapprochant localement le plus de la courbe c'est le plan osculateur ; pour qu'il existe une tangente unique à la courbe au point il est nécessaire que ce dernier n'y soit pas un point anguleux, dans le cas contraire on y définit usuellement des demi-tangentes distinctes à gauche et à droite permettant d'introduire des demi-plans tangents distincts à gauche et à droite et par suite des demi-plans osculateur distincts à gauche et à droite.
↑ La notion de plan osculateur a été introduite par Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765)mathématicien français particulièrement précoce à l'âge de douze ans il écrit un mémoire sur quatre courbes géométriques et entre à l'Académie des Sciences à dix-huit ans, on lui doit des travaux en analyse mathématique, en géométrie différentielle et en géodésiescience s'attachant à résoudre les dimensions et la forme de la Terre.
↑ Cette définition est encore applicable à une courbe plane mais elle est d'un intérêt limité car le plan osculateur d'une courbe plane en chacun de ses points est le plan de la courbe.
↑ En effet, à toute valeur de on peut associer un point unique que la courbe plane soit ouverte ou fermée et En effet, à tout point non anguleux, on peut associer une valeur de unique, d'où, par transitivité, « à toute valeur de on peut associer une valeur de unique » ce qui définit la fonction «» sans avoir besoin de restreindre le domaine de définition de .
↑ 98,0 et 98,1 On vérifie l'homogénéité « étant en » et « en », « et étant sans dimension ».
↑ Bien sûr cette formule démontrée pour une courbe plane est moins intéressante que les deux formules individuelles à partir desquelles elle est établie «» mais Bien sûr cette elle devient intéressante par sa généralisation admise à toute courbe non plane alors que les formules individuelles n'ont plus aucune signification.
↑ La généralisation à une courbe « gauche » du résultat trouvé pour une courbe plane est admise, elle sert en fait de seule définition possible et simultanée du rayon de courbure et du 2ème vecteur de base de Frenet pour une courbe « gauche » car et ne peuvent pas être utilisés pour une courbe « gauche ».
↑ Plus exactement fini ou infini ; la définition simultanée du rayon de courbure et du 2ème vecteur de base de Frenet, seule définition possible pour une courbe « gauche », ne permet pas de choisir le sens de si on n'impose pas le signe du rayon de courburela difficulté ne se pose pas pour une courbe plane car la définition « assure le signe du rayon de courbure » et celle « le sens de vers le centre de courbure ».
↑ Ou simplement « vecteurunitairenormal » pour une courbe plane.
↑ La normale principale à en est encore la direction normale dans le plan osculateur ou le plan de la courbe si cette dernière est plane.
↑ Ou, si cette dernière est plane, au plan de la courbe.
↑ Ainsi l'angle entre le vecteur unitaire tangentiel et le vecteur normal principal est «». Si la courbe est plane dans le plan , le « sens des mesures d'angle de ce plan » doit être tel que «» ; or ce sens est déterminé par le sens du vecteur normal secondaire, d'où ce dernier est si ou si .
↑ Entre parenthèses car il est inutile de le rappeler dans la mesure où il n'y a pas d'autres composantes.
↑ Contrairement à qui est évidemment positive, la vitesse instantanée est algébrique, si est dans le sens du mouvement sur la trajectoire, est positive selon et si est dans le sens du mouvement sur la trajectoire, est négative selon d'où «» ou «» suivant le sens du mouvement.
↑ Pour simplifier nous n'avons pas indiqué que les vecteurs de base de Frenet dépendent eux aussi de .
↑ L'accélération tangentielle est algébrique, elle est positive si la vitesse instantanée est on dit que le mouvement est « accéléré », L'accélération tangentielle est algébrique, elle est négative si la vitesse instantanée est le mouvement est alors dit « freiné », L'accélération tangentielle est algébrique, elle est nulle pour tout instant si la vitesse instantanée est constante le mouvement est alors « uniforme » et L'accélération tangentielle est algébrique, elle s'annule lorsque la vitesse instantanée est algébriquement extrémale maximale ou minimale ; l'accélération normale étant toujours le vecteur accélération est donc toujours dirigé vers la concavité de la trajectoire, l'accélération normale étant toujours elle est nulle pour tout si la trajectoire est rectiligne, le rayon de courbure étant infini en tout point, l'accélération normale étant toujours sur une trajectoire non rectiligne elle s'annule temporairement quand le point y rebrousse chemin la vitesse instantanée y étant nulle, l'accélération normale étant toujours sur une trajectoire non rectiligne elle s'annule temporairement quand le point y rebrousse chemin l'accélération y étant alors uniquement tangentielle.
↑ Ce résultat est en accord avec la définition de la loxodromie de sphère de pente par rapport aux parallèles, le mouvement se faisant de l'Équateur d'équations vers le pôle Nord de coordonnées d'où Ce résultat est en accord « à » étant tangent à la sphère «» puis,
les angles du plan tangent à la sphère en étant orientés par ,
Ce résultat est en accord «» chaque parallèle étant tangent à «» et Ce résultat est en accord «» montant vers le pôle en faisant l'angle avec , descendant vers l'Équateur en étant à «».
↑ Lequel de au départ de l'Équateur jusqu'à à l'arrivée au pôle Nord.
↑ De «» on tire «». En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction vectorielle « 2ème vecteur de la base locale de Frenet au point en fonction de » dont la valeur est est notée d'où la notation simplifiée alors qu'en mathématique la fonction « 2ème vecteur de la base locale de Frenet au point en fonction de » dont la valeur est serait notée, par exemple, d'où la notation simplifiée ; en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, en physique, lors d'un changement de variable, par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple en physique, la fonction « 2ème vecteur de la base locale de Frenet au point en fonction de » dont la valeur est et la fonction « 2ème vecteur de la base locale de Frenet au point en fonction de fonction de » de même valeur sont respectivement notées d'où la notation simplifiée alors qu'en mathématique la fonction « 2ème vecteur de la base locale de Frenet au point en fonction de » dont la valeur est serait notée, par exemple, et la fonction « 2ème vecteur de la base locale de Frenet au point en fonction de fonction de » de même valeur seraient notées, par exemple, d'où la notation simplifiée .
↑ Laquelle de au départ de l'Équateur à à l'arrivée au pôle Nord.
![{\displaystyle \;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6101f10d214bef769dd9482448bec3100ed4711)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\in \left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b6e22cc56594affb962665a116a54f99a0938c)
![{\displaystyle \;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a815a7aac2161be56752772a47d4d455e3b99f)
![{\displaystyle \;M{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee29e700212816b70e22cc23ed37656d4fe18f3)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba803b0769fe9c8070075752ac0dbfc73e7be629)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec9439ea9e8abf99198d040299b598a3e7ccede)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03044ada35b58702aea3fa820775e4873da2477)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=-{\vec {u}}_{\rho }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4f6bf81f543f590c4c640808a75c9a39d7ea4a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[f\;{\vec {A}}\right]}{dt}}(t)={\dot {f}}(t)\;{\vec {A}}(t)+f(t)\;{\dot {\vec {A}}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da1fffc5dbd5aaf29a2c6fbc09497a9efbc33aa)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2e9e03d87e7b2cbeb7b47b0e420c00a7bbfcca)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ba7c6146ead36d2efa9ed5f826a48e239f61cf)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[f\;{\vec {A}}\right]}{dt}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f9eb1c2f78913963b6f0810bfc9bb89ba610e5)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aaecb4d94b3c8b86d041dfc7f0b8cfaa094ba6a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)=-{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914ce28991d0505bd77b57aad18775cfcd707b9e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb30b1ba98fbfe1fcfd282de6d7b23da934b1d38)
![{\displaystyle \;{\vec {a}}_{M}(t)=\left[{\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }+\left[\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145227132d40696c0579ca4755ea35b509bbc286)
![{\displaystyle \;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\left[\rho ^{2}\!(t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,\rho (t)\;{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c62bae66f6242e81f40e49e06ddaa8f7cb761981)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4267e0e0b67e77e8a8bbc1e72cbd1e1d7940c8)
![{\displaystyle \;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c991d41d74c30d5330e1d82455564eb721c856d)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d2b67ff4a937d5bb35460379e14065141e66e6)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd6f5e43b6f5a8b5b62d8794662cbb802436ac2)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{r}(t)={\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3683a4ef62272537595998605fe42503caf1e306)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e361cab37f578841c34f02de0d22b8eba6f1ae9a)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{r}&=&{\dot {r}}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }&=&r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse longitudale}}\;&V_{\varphi }&=&r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e608025751c52746e9e60eca289dd291c97e00)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\qquad {\text{avec }}\qquad \omega >0\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa8416c5ee259dd1c729aefeb37996a9ad2732f)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6afe83ffbd0955e5577b4307771d6548e7f5f7d)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba390ba5d086bd5eff814ea36ceb4fbdf646789)
![{\displaystyle \;\left[{\vec {u}}_{z},\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12113dcaa07bbf1b1e9b4067dd32cdf14d9f786)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a59edab0e19b4ed939893044aea82940c412c0f)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e0433c429aa1f8f7a914346b247cc54c22c4ec)
![{\displaystyle \;\left[{\vec {u}}_{r},\;{\vec {u}}_{\theta }\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3186d73b9e557224aca3110a438cc3cc90fb8334)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7cc85f513fae7b41e0e78953e4d906cc7ebd08)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)={\dot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085b3fb1f7c11011482515f3070a1151a37b2393)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fae99e3377330c0c629f3ef58ab46165c1180b)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)+\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f4105fb611369a2d49b63a586bbf14f214b220)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3799601a9e8eac64a3ff0d4a3bbe6e5a2dfbeb2)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfb985e6f62f4e9c509b780140f621971fbfd20)
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a0f0ab0c8eb73fd2d4ef6fab2bda8f4c00abb22)
![{\displaystyle \;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)={\ddot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+{\dot {r}}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+{\dot {r}}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\ddot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9204063528aadaedfc9c85aa64e3af39a0d7db7)
![{\displaystyle {\dot {r}}(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]+r(t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\ddot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c1ab17b8c1b40d71fb97dd2878052a325d2cbc3)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a396b6697344899716750b44429b28bfe9b91791)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)+\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4068d674343e19c962917382822d2e2887a77df0)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=-{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afb0411dba62e5fff98d7391e740fa5c4c1f676)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b7affeebdb05bef720400d3e6c9cc8d2ef42f7)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe4c22d8a3566f9fc4dd7e9d41e86d2e2923926)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]=-\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)-\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62f92dc1001c2ffbfa79dd93b404169ff1a6bd7)
![{\displaystyle \;{\vec {a}}_{M}(t)=\left\lbrace {\ddot {r}}(t)-r(t)\,{\dot {\theta }}^{2}(t)-r(t)\,\sin ^{2}\!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}^{2}(t)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{r}+\left\lbrace r(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {r}}(t)\,{\dot {\theta }}(t)-r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}^{2}(t)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\theta }+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054f21d7a85d02fdd202c46fb3b767ab88192055)
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left\lbrace 2\,{\dot {r}}(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)+2\,r(t)\,\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;{\dot {\varphi }}(t)+r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\ddot {\varphi }}(t)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901060ee6a0bcc0d77901facb9584819d7adc473)
![{\displaystyle \;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {{\dfrac {a^{2}}{\cos ^{4}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;\omega ^{4}+a^{2}\,\tan ^{4}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;\omega ^{4}+\left[-a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;\omega ^{2}\right]^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee54594e5a58a128637186a4609b8a826f5c9363)
![{\displaystyle \;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =a\;\omega ^{2}\,{\sqrt {{\dfrac {1}{\cos ^{4}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\,\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab01af7c08db204383cca1e709db35916363010)
![{\displaystyle \;A{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2843d12e0f85b01796870d9938a7b6088cb78b07)
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{ds}}(s)\;ds\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f267a13c7e27c4b4f857b1b4162fa477d41a7149)
![{\displaystyle \;{\mathcal {R}}_{M_{1}}=\lim \limits _{M_{2}\rightarrow M_{1}}\left[{\mathcal {R}}_{{\text{moy sur }}{\overset {\frown }{M_{1}M_{2}}}}\right]=\lim \limits _{\delta \alpha \rightarrow 0}\left[{\dfrac {\delta s}{\delta \alpha }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2b5f530a32b58c269dd447f71e0f8292834916)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds}}\!\left[\alpha (s)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2750220002f730fc40b759e5ce7c6093248868e2)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds}}\!\left[\alpha (s)\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095895c729bd71d69da9db759c2961f81824dfe8)
![{\displaystyle {\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{d\alpha }}\!\left[\alpha (s)\right]\;{\dfrac {d\alpha }{ds}}(s)={\vec {n}}_{M}\;{\dfrac {1}{{\mathcal {R}}_{M}}}(s)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb684ff010955dfe04211cb2ffb5826c6d3fc36)
![{\displaystyle \;{\vec {\tau }}_{M}(t)={\vec {\tau }}_{M}\!\left[s_{M}(t)\right]\!{\Big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb952a79b666acd6b77228e5830f7122120a79b)
![{\displaystyle \;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[v_{M}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}\right]}{dt}}(t)={\dfrac {dv_{M}}{dt}}(t)\;{\vec {\tau }}_{M}(t)+v_{M}(t)\;{\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{dt}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac660bf9d9c35d18e066c7f2f503c46aff3cea8d)
![{\displaystyle \;{\dfrac {{\vec {n}}_{M}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(t)={\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{ds_{M}}}(t)={\dfrac {d{\vec {\tau }}_{M}}{dt}}(t)\;{\dfrac {dt}{ds_{M}}}={\dfrac {d\!\left[-\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\vec {u}}_{\theta }(t)+\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\vec {u}}_{\varphi }(t)\right]}{dt}}\;{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\omega }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175aa986c672d9747ec5fb218670fbf0064d9745)
![{\displaystyle =\left[-\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)+\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)\right]\;{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\omega }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255548b4d42d68c9c34fcd882a230fb7e12903fe)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\,,\,\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6616bff216f90b18dccb03c019fe8a58f4fc5623)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\,,\,\varphi (t)\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2efcb6d3a18ef2e9cf461e6dd6545a7b82d27101)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)=-{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{r}+\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25da06c41f880ee9ff2abdf39ea395b0454a63a2)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6fcff66c2a8ea6d6287789774eb2d325ba0d16f)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)={\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c555a0a63e8641b6ccb88639aa42613e8c842c1d)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6700ba1c24c4ce1e278e9b793aeee1a7f90a957)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)=-\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{r}-\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15191b12557fe6cbc1602b2221d88d5495820a57)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l c r c l c l}{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)\!\!&=&\!\!-{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{r}\!\!&&\!\!\!\!\!\!\!\!&+&\!\!\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\\{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)\!\!&=&\!\!-\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{r}\!\!&-&\!\!\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ad24e0ad33170cebbc01271c6de2d8135c2785)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)=\omega \;{\vec {u}}_{r}+\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {\omega }{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;{\vec {u}}_{\varphi }=\omega \left[{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8700c8e06b1cc470174f3bc89fb948b121fdb14)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)=-\left\lbrace \sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{r}+\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;{\dot {\varphi }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef57c9123de02a4c14eedbca88b1dbe0b608ea61)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)=-\left[\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right){\vec {u}}_{r}+\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right){\vec {u}}_{\theta }\right]\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {\omega }{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb820da5f8ceb22e54ae2e5335a4eb2b03fd442)
![{\displaystyle =-\omega \;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\left[{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3478b6e60159da6426ddb2b3a83ea1227bd5b085)
![{\displaystyle \;{\dfrac {{\vec {n}}_{M}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(t)=\left[-\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)+\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right){\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}(t)\right]\;{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\omega }}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc99d71d7c8c24bbd9cca099e70ffc8c3e8885b3)
![{\displaystyle \;{\dfrac {{\vec {n}}_{M}}{{\mathcal {R}}_{M}}}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{r}\;{\text{:}}\;-{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a}}\left[\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)+\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\right]=-{\dfrac {1}{a}}\\{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{\theta }\;{\text{:}}\;-{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a}}\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}=-{\dfrac {\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\\{\text{sur }}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;{\text{:}}\;-{\dfrac {\cos ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a}}\;{\dfrac {\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}=-{\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}{a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970e198fc95bc82929395334fcdfee9e510708bb)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle \;A\,\left(0\,,\,-1\right){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a3d99e878662633bccd2eddb5122fc6f132d1e)
![{\displaystyle \;z{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d565a0566c58be3a47f3ed34a32325154bddb3ee)
![{\displaystyle \;\left(xOy\right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6a2c3d21ddd08b170fcca0965eb15825f804c6)
![{\displaystyle \;\rho {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169df3504fe25911e086ce2a8ab9030effeb67f0)
![{\displaystyle \;\left[{\ddot {\rho }}(t),\;\rho (t)\;{\ddot {\theta }}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5fa337fed296902b0ffdac52e1b25c3268860a9)
![{\displaystyle \;\left[a_{\rho }(t),\;a_{\theta }(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce73852e59cc4e6e45292e99b34f59e31985d9d)
![{\displaystyle \;\rho =cste{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cde37368ffed67936d8faa513704955545be29)
![{\displaystyle \;{\dot {\theta }}=cste{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a7022bb7b4396ce10b8917d42dbde682b87efe)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\;{\dot {\theta }}\right]}{dt}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f542811f5ea44bdef3835daea63c157f7df13f)
![{\displaystyle \;{\big [}\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {R^{2}\;\omega ^{2}+v^{2}}}=cste{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25660455fa9c1d38988bb57c8eb0187f2b5f42ba)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da33d1f075ba2329629737df49c58542688f0385)
![{\displaystyle \;{\dfrac {df}{dt}}(t)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!\!\left[x(t),\,y(t)\right]\;{\dfrac {dx}{dt}}(t)+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!\!\left[x(t),\,y(t)\right]\;{\dfrac {dy}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa21c016e63119281941fd562d9baf774a97511)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {F}}}{dt}}(t)=\left({\dfrac {\partial {\vec {F}}}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!\!\left[x(t),\,y(t)\right]\;{\dfrac {dx}{dt}}(t)+\left({\dfrac {\partial {\vec {F}}}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!\!\left[x(t),\,y(t)\right]\;{\dfrac {dy}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b4aecf3b9831e8e71122798176af83cd9f513e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {df}{dt}}(t)={\dfrac {df}{dx}}\!\left[x(t)\right]\;{\dfrac {dx}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d14f24dd12f7ab475df67a3a1ff8b2f70129574)
![{\displaystyle {\dfrac {d{\vec {F}}}{dx}}\!\left[x(t)\right]\;{\dfrac {dx}{dt}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef92974a52db5a528888251ac23b569985e1f29)
![{\displaystyle \;a_{\varphi }=2\,r\,\cos(\theta )\;{\dot {\theta }}\;{\dot {\varphi }}+r\,\sin(\theta )\;{\ddot {\varphi }}=2\,a\,\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)\,(-\omega )\left[\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\;{\dfrac {\omega }{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\right]+a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,{\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}{\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)}}\;\omega ^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76c3ef142e0de01387b4450d8b51137384451d69)
![{\displaystyle \;M{\big \}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2b6faa27fc92b137ae30b4262287037c97150c)
![{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9caa5118cf3f051248a8940bd30b3d5f43ac63)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{\delta \alpha \rightarrow 0}\left[{\dfrac {\delta s}{\delta \alpha }}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f00ce4b4848164b34d62df711d535512e8578f)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;{\widehat {\left({\vec {\tau }}_{M},\;{\vec {n}}_{M}\right)}}={\widehat {\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y}\right)}}{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cd4b8884d7d1c2f9f92bb792790d931b263cc6)
![{\displaystyle -{\widehat {\left({\vec {u}}_{x},\;{\vec {u}}_{y}\right)}}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0201271735ef7272b97d13acd8a7e1856c88cb77)
![{\displaystyle \;\left.{\begin{array}{l}r=a\\\theta ={\dfrac {\pi }{2}}\end{array}}\right.{\Bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6fd761c02986c31eef0999e13529b005288026)
![{\displaystyle \;\left.{\begin{array}{l}r=a\\\theta =0\end{array}}\right.{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0920bb179ac6c24b32bd5826e1eada691ffd5ee)
![{\displaystyle \;{\vec {n}}_{M}={\vec {A}}(t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dda67cb309e8244b0f844bbe61b6f0068e705c9)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {n}}_{M}={\vec {A}}(t)\\{\vec {n}}_{M}={\vec {B}}(\theta )\end{array}}\right\rbrace {\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363046763999ca3b31ac9a837b636f7f8c46d808)
