Mécanique 1 (PCSI)/Description et paramétrage du mouvement d'un point : Systèmes de coordonnées

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

     Ce chapitre ayant un support mathématique important a déjà été grandement introduit dans le chap.$16$ « Divers repérages d'un point dans l'espace » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Système de coordonnées cartésiennes

Voir le paragraphe « Repérage cartésien d'un point dans l'espace » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » plus particulièrement pour :

Choix d'un repère cartésien associé à la composante d'espace du référentiel d'étude

     Au « référentiel d'espace » $\;{\mathcal {R}}$, on associe un « repère cartésien » c.-à-d.

• une « origine » $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et
• une « base orthonormée » $\;{\big (}$usuellement directe , l'espace étant supposé orienté à droite ${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ également fixe dans $\;{\mathcal {R}}$.

Coordonnées cartésiennes d'un point

     Le vecteur position de $\;M\;$ se décompose dans la base cartésienne selon «$\;{\overrightarrow {OM}}=x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}\;$» dans laquelle «$\;\left(x,\,y,\,z\right)\;$» définissent les « coordonnées cartésiennes du point $\;M\;$», $\;{\big (}$avec «$\;x\;$ son abscisse », «$\;y\;$ son ordonnée » et «$\;z\;$ sa cote »${\big )}$.

Système de coordonnées cylindriques (ou cylindro-polaires), base cylindrique liée au point repéré

Voir le paragraphe « repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » plus particulièrement pour :

Vue en perspective du repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ d'un point $\;M$

Principe du repérage cylindro-polaire d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

     Pour définir un repérage cylindro-polaire d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ pour le point $\;M$, on conserve le repérage cartésien du projeté orthogonal $\;M_{z}\;$ de $\;M\;$ sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et on modifie le repérage du projeté orthogonal $\;M_{xy}\;$ de $\;M\;$ sur le plan $\;(xOy)\;$ en le repérant, dans ce plan, par sa distance à $\;O\;$ et par l'angle que fait $\;{\overrightarrow {OM_{xy}}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;\ldots$

Repérage cylindro-polaire d'axe fixé d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Vues projetées du repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ d'un point $\;M$ : demi-plan méridien et vue de dessus

     Les « coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques) de $\;M\;$» sont «$\;(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$» avec

• «$\;\rho =\left\Vert {\overrightarrow {OM_{xy}}}\right\Vert \geqslant 0\;$» sa « coordonnée radiale » ,
• «$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « coordonnée angulaire »  et
• «$\;z={\overline {OM_{z}}}\;$» sa « cote » ;

     On définit la « base cylindro-polaire (ou cylindrique) liée à $\;M\;$», «$\;({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z})\;$» orthonormée directe $\;{\big (}$l'espace étant orienté à droite ${\big )}\;$ avec

• le 1^er vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\rho }={\dfrac {\overrightarrow {OM_{xy}}}{\rho }}\;$»,
• le 2^nd vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le plan $\;xOy\;$ directement perpendiculaire au précédent »  $\;{\big (}$on peut encore le définir par «$\;{\vec {u}}_{\theta }=$ ${\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }\;$» ${\big )}\;$ et
• le 3^ème vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{z}\;$ identique au 3^ème vecteur de la base cartésienne ».

     Remarque : comme la base orthonormée cartésienne $\;({\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y})\;$ du plan $\;xOy$, la base orthonormée polaire $\;({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta })\;$ permet d'exprimer tout vecteur du plan $\;xOy$, à la différence que ces vecteurs de base polaire dépendent de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ du point alors que les vecteurs de base cartésienne sont constants.

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude

     Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrit dans la base cylindro-polaire liée à $\;M\;$ selon «$\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+z\;{\vec {u}}_{z}\;$» .

Lien entre repérages cylindro-polaire (ou cylindrique) et cartésien

     Voir le paragraphe « lien entre repérages cylindro-polaire et cartésien d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ car, si vous avez choisi ce dernier $\;{\big (}$ou s'il vous a été imposé${\big )}$, c'est parce qu'il simplifie l'étude $\;\ldots$

Système de coordonnées sphériques, base sphérique liée au point repéré

Voir le paragraphe « repérage sphérique d'un point dans l'espace » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » plus particulièrement pour :

Vue en perspective du repérage sphérique d'un point $\;M$

Principe du repérage sphérique d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

     Pour définir un repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ pour le point «$\;M\;\not \in \left(Oz\right)\;$», on définit le « demi-plan contenant l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et passant par $\;M$, appelé demi-plan méridien », repéré par l'angle qu'il fait avec le demi-plan méridien de référence $\;\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right)\;$  ; la position du point $\;M\;$ est alors repérée dans ce demi-plan méridien par sa distance au pôle $\;O\;$ et par l'angle positif que fait $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ; dans ce cas le repérage sphérique utilise une longueur et deux angles ;

     si le point «$\;M\in \left(Oz\right)\;$», le « demi-plan méridien n'est pas défini $\;{\big [}$en fait tous les demi-plans contenant $\;\left(Oz\right)\;$ conviennent${\big ]}\;$» et on repère le point $\;M\;$ sur $\;\left(Oz\right)\;$ par sa distance au pôle $\;O\;$ et par l'angle positif que fait $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ${\big [}$plus exactement cet angle vaut $\;0\;$ si $\;M\;$ est du côté positif de l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et $\;\pi \;$ s'il est du côté négatif${\big ]}$ ; dans ce cas un des angles restant indéfini, le repérage sphérique utilise une longueur et un angle.

Repérage sphérique de pôle et d'axe fixés d'un point dans la composante d'espace du référentiel d'étude

Vues projetées du repérage sphérique d'un point $\;M$ : demi-plan méridien et vue de dessus

     Les « coordonnées sphériques de $\;M\;$» sont «$\;(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$» avec

• «$\;r=\left\Vert {\overrightarrow {OM}}\right\Vert \geqslant 0\;$» son « rayon $\;{\big (}$polaire${\big )}\;$» ,
• «$\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\in \left[0\,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « colatitude »  et
• «$\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Ox}}\,{\text{,}}\,{\overrightarrow {OM_{xy}}}\right)}}\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,+\pi \right]\;$» sa « longitude »  ;

     On définit la « base sphérique liée à $\;M\;$», «$\;({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{\varphi })\;$» orthonormée directe $\;{\big (}$l'espace étant orienté à droite ${\big )}\;$ avec

• le 1^er vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{r}}\;$»,
• le 2^nd vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans le demi-plan méridien directement $\;\perp \;$ au précédent »  et
• le 3^ème vecteur de la base «$\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ $\perp \;$ au demi-plan méridien et orientant ce dernier » soit encore «$\;{\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\theta }\;$» .

     Remarque : comme la base orthonormée cylindro-polaire $\;({\vec {u}}_{z},\,{\vec {u}}_{\rho })\;$ du demi-plan méridien orienté par $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, la base orthonormée sphérique $\;({\vec {u}}_{r},\,{\vec {u}}_{\theta })\;$ de ce même demi-plan méridien orienté par $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ permet d'exprimer tout vecteur du demi-plan méridien, à la différence que ces vecteurs de base sphérique dépendent de la colatitude $\;\theta \;$ du point alors que les vecteurs de base cylindro-polaire sont constants pour un demi-plan méridien fixé.

Composantes sphériques du vecteur position d'un point M dans la composante d'espace du référentiel d'étude

     Le vecteur position du point $\;M\;$ s'écrit dans la base sphérique liée à $\;M\;$ selon «$\;{\overrightarrow {OM}}=r\;{\vec {u}}_{r}\;$» .

Interprétation géographique du repérage sphérique de pôle et d'axe fixés

     Pour un « repérage sphérique de pôle $\;O\;$ et d'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$», l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ est identifié à l'axe « pôle Sud $-$ pôle Nord » de la Terre,

• «$\;r\;$ est l'altitude augmentée du rayon de la Terre », «$\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire vertical ascendant »,
• «$\;\theta \;$ la colatitude » , «$\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers le Sud »,
• «$\;\varphi \;$ la longitude » et «$\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ le vecteur unitaire horizontal dirigé vers l'Est ».

Lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire (ou cylindrique)

     Voir le paragraphe « lien entre repérages sphérique et cylindro-polaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez jamais revenir au repérage cylindro-polaire quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier $\;{\big (}$ou s'il vous a été imposé${\big )}$, c'est parce qu'il simplifie l'étude $\;\ldots$

Lien entre repérages sphérique et cartésien

     Voir le paragraphe « lien entre repérages sphérique et cartésien d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » mais il faut savoir qu'en principe vous ne devez en aucun cas revenir au repérage cartésien quand vous êtes en repérage sphérique car, si vous avez choisi ce dernier $\;{\big (}$ou s'il vous a été imposé${\big )}$, c'est parce qu'il simplifie énormément l'étude $\;\ldots$

Composantes cartésiennes du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

Composantes cartésiennes du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude

     Le vecteur position s'exprimant en repérage cartésien sous la forme «$\;{\overrightarrow {OM}}=x\;{\vec {u}}_{x}+y\;{\vec {u}}_{y}+z\;{\vec {u}}_{z}\;$» a pour « composantes cartésiennes $\;\left(x,\,y,\,z\right)\;$» $\;{\big [}$s'identifiant aux coordonnées cartésiennes de $\;M{\big ]}$ ;

     le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'« équation horaire vectorielle paramétrique $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» l'est, de façon équivalente,
     le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée des « trois équations horaires scalaires paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» lesquelles sont encore les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M\;$» ;

Tracé des deux surfaces $\;{\big (}$un plan et un cylindre parabolique de génératrices coupant le plan${\big )}\;$ dont la parabole est l'intersection

     pour déterminer les « deux équations cartésiennes scalaires de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$»  il convient d'éliminer le paramètre $\;t\;$ entre ces trois équations $\;\ldots \;$

     Voir l'exemple «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$» traité dans le paragraphe « repérage paramétrique d'une courbe » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans lequel on établit que «$\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$» étant l'intersection

• d'un « cylindre parabolique $\;y=4\,x^{2}-1\;$ de génératrices $\;\parallel \;$ à l'axe $\;Oz\;$» et
• d'un « plan $\;z=4\,x+1\;$ $\parallel \;$ à l'axe $\;Oy\;$»

                                         Voir l'exemple est une « parabole » $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$.

Composantes cartésiennes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

     La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$» et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur vitesse en dérivant $\;{\overrightarrow {OM}}(t)=x(t)\;{\vec {u}}_{x}+y(t)\;{\vec {u}}_{y}+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ par rapport à $\;t$, en utilisant le fait que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, soit

«$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$», les « composantes cartésiennes de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x}={\dot {x}}(t)\\V_{y}={\dot {y}}(t)\\V_{z}={\dot {z}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{x}^{2}(t)+V_{y}^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}$.

     Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$», le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{x}={\dfrac {1}{2}}\\V_{y}=2\,t\\V_{z}=2\end{array}}\right\rbrace \;$»,
                                              Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires sa norme valant «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {{\dfrac {1}{4}}+4\,t^{2}+4}}={\sqrt {{\dfrac {17}{4}}+4\,t^{2}}}\;$».

Composantes cartésiennes du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$» et les vecteurs de base cartésienne étant des vecteurs constants nous trouvons les composantes cartésiennes du vecteur accélération en dérivant $\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+V_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+V_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ par rapport à $\;t$, en utilisant le fait que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, soit

«$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dot {V}}_{x}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {V}}_{y}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {V}}_{z}(t)\;{\vec {u}}_{z}={\ddot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\ddot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\ddot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
les « composantes cartésiennes de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}={\dot {V}}_{x}(t)={\ddot {x}}(t)\\a_{y}={\dot {V}}_{y}(t)={\ddot {y}}(t)\\a_{z}={\dot {V}}_{z}(t)={\ddot {z}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
la norme du vecteur accélération se calcule selon $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a_{x}^{2}(t)+a_{y}^{2}(t)+a_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-2}$.

     Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x={\dfrac {t}{2}}\\y=t^{2}-1\\z=2\,t+1\end{array}}\right\rbrace \;$», le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cartésiennes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{x}=0\\a_{y}=2\\a_{z}=0\end{array}}\right\rbrace \;$»,
                                              Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires il est donc constant, $\;\parallel \;$ à $\;Oy$, et sa norme vaut «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =2\;$».

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position, du vecteur vitesse et du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude

     Le vecteur position s'exprimant en repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ d'axe «$\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ sous la forme $\;{\overrightarrow {OM}}=\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+z\;{\vec {u}}_{z}\;$» a pour « composantes cylindro-polaires $\;\left(\rho ,\,0,\,z\right)\;$» $\;{\big [}$ne s'identifiant aux coordonnées cylindro-polaires «$\;\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)\;$» du point $\;M\;$ que pour la 1^ère et 3^ème composantes${\big ]}$ ;

     le mouvement du point défini de façon intrinsèque par l'« équation horaire vectorielle paramétrique $\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» l'est, de façon équivalente,
     le mouvement du point défini de façon intrinsèque par la donnée des « trois équations horaires scalaires paramétriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =\rho (t)\\\theta =\theta (t)\\z=z(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» lesquelles sont encore les « trois équations scalaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M\;$» ;

Hélice circulaire droite caractérisée comme intersection d'un cylindre de révolution et d'une "nappe en colimaçon" - ensemble de demi-droites $\;\parallel \;$ à $\;xOy\;$ issues d'un point de l'axe $\;z'z\;$ de cote plus ou moins élevée suivant la valeur de l'abscisse angulaire $\;{\big (}$la cote étant fonction de cette dernière${\big )}$

     pour déterminer les « deux équations cylindro-polaires scalaires de $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$»  il convient d'éliminer le paramètre $\;t\;$ entre ces trois équations $\;\ldots \;$

     Exemple : soit le mouvement d'un point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindro-polaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» lesquelles sont aussi les trois équations scalaires cylindro-polaires paramétriques de la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ du point $\;M$, nous nous proposons de déterminer la nature de la trajectoire en établissant ses deux équations cylindro-polaires ;

     Exemple : une 1^ère équation ne demande aucun calcul c'est «$\;\rho =R\;$ équation cylindro-polaire d'un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ et de rayon $\;R\;$» ;

     Exemple : une 2^ème équation s'obtient en éliminant $\;t\;$ entre les deux dernières équations paramétriques soit $\;t={\dfrac {\theta }{\omega }}\;$ que l'on reporte dans $\;z=v\;t\;$ donnant «$\;z={\dfrac {v}{\omega }}\;\theta \;$ équation cylindro-polaire d'une nappe en colimaçon »  ;

     Exemple : la trajectoire $\;\left({\mathcal {T}}\right)\;$ étant d'équations cylindro-polaires «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\z=h\;{\dfrac {\theta }{2\;\pi }}\end{array}}\right\rbrace \;$» où «$\;h=2\;\pi \;{\dfrac {v}{\omega }}\;$ est une constante », c.-à-d. l'intersection d'un tuyau cylindrique d'axe $\;Oz\;$ et d'une « nappe en colimaçon » est une hélice circulaire « droite » dont la constante $\;\vert h\vert \;$ définit le « pas de l'hélice » $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$.

Repérage polaire de M_xy, base polaire qui lui est liée, dérivée de ses vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy repéré dans le référentiel d'étude

Notion de repérage polaire de M_xy, base polaire liée à M_xy

     Le « repérage de $\;M_{xy}$, projeté orthogonal de $\;M\;$ sur le plan $\;\left(xOy\right)\;$», utilisant les « coordonnées partielles $\;\left(\rho ,\,\theta \right)\;$» des coordonnées cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}$ $\;\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)\;$ de $\;M$, est appelé « repérage polaire de $\;M_{xy}\;$»,
     la « base partielle $\;\left({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$» de la base cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}$ $\;\left({\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta },\,{\vec {u}}_{z}\right)\;$ liée à $\;M\;$ définit la « base polaire liée à $\;M_{xy}\;$».

Dérivée des vecteurs de base polaires relativement à l'abscisse angulaire de M_xy repéré dans le référentiel d'étude

     Les « vecteurs de base polaires $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho },\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;$ de $\;M_{xy}\;\left(\rho ,\,\theta \right)\;$» dépendant de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ de $\;M_{xy}\;$, leur dérivée par rapport à cette dernière est a priori non nulle ;

     pour évaluer chacune d'elle on utilise leur décomposition dans la base cartésienne $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{x},\,{\vec {u}}_{y}\right\rbrace \;$ du plan $\;\left(xOy\right)\;$ selon

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\vec {u}}_{\rho }&=&\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}&+&\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\\{\vec {u}}_{\theta }&=&\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}&+&\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}\end{array}}\right\rbrace \;$» ,

     leur dérivée par rapport à $\;\theta \;$ donnant, compte-tenu du fait que les vecteurs de base cartésiennes sont constants d'une part et d'autre part que la dérivée d'un $\;\sin()\;$ ou d'un $\;\cos()\;$ par rapport à son argument s'obtient en ajoutant $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ à l'argument ,

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}&=&\cos \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{x}&+&\sin \!\left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)\,{\vec {u}}_{y}&=&{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}&=&\cos \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{x}&+&\sin \!\left(\theta +\pi \right)\,{\vec {u}}_{y}&=&-{\vec {u}}_{\rho }\end{array}}\right\rbrace \;$».

À retenir $\rightsquigarrow$ dérivées des vecteurs de base $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à $\;\theta$ :

«$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;$»          et          «$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }\;$» ;

     quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan par rapport à l'angle qu'il fait avec une direction fixe de ce plan, on obtient un vecteur unitaire de ce plan directement $\;\perp \;$ au vecteur initial, ainsi
          $\succ \;$dérivant $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rapport à l'angle $\;\theta \;$ qu'il fait avec $\;{\vec {u}}_{x}$, on obtient $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}$,
          $\succ \;$dérivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à l'angle $\;\theta \;$ qu'il fait avec $\;{\vec {u}}_{y}$, on obtient $\;-{\vec {u}}_{\rho }\;$ se déduisant de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}$ ;
     on peut encore écrire $\;{\big [}$avec $\;{\vec {u}}_{z}\;$ le vecteur unitaire $\;\perp \;$ au plan $\;\left(xOy\right)\;$ et orientant les angles de ce dernier${\big ]}$

«$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;$»          et          «$\;{\dfrac {d\!\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{d\theta }}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=-{\vec {u}}_{\rho }\;$».

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

     La définition intrinsèque du vecteur vitesse de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)\;$» et les « vecteurs de base cylindro-polaires $\;{\big (}$à l'exception du dernier $\;{\vec {u}}_{z}\;$ constant${\big )}\;$ dépendant de $\;\theta \;$ fonction de $\;t\;$», nous trouverons les composantes cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}$ du vecteur-vitesse en « dérivant $\;{\overrightarrow {OM}}(t)=\rho (t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+z(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$ par rapport à $\;t\;$», avec «$\;{\dfrac {d\!\left[f\;{\vec {A}}\right]}{dt}}(t)={\dot {f}}(t)\;{\vec {A}}(t)+f(t)\;{\dot {\vec {A}}}(t)\;$» $\Rightarrow$

«$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)={\dfrac {d\rho }{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }(t)+\rho (t)\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)+{\dfrac {dz}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» puis,

     pour évaluer $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)$, nous utilisons la formule de dérivation de fonction composée appliquée à $\;{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans laquelle la dérivation $\;{\big [}$dans le plan $\;\left(xOy\right){\big ]}\;$ du vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ par rapport à l'angle $\;\theta \;$ qu'il fait avec la direction fixe $\;{\vec {u}}_{x}\;$ étant équivalente à une rotation d'un angle de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ en restant dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ conduit à $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ d'où

«$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;$» ;

     finalement, par injection dans l'expression du vecteur vitesse, on obtient

«$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {\rho }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» ,
les « composantes cylindro-polaires de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{\rho }&=&{\dot {\rho }}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }&=&\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse axiale}}\;&V_{z}&=&{\dot {z}}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$»  ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{\rho }^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}$.

     Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme »,
                                      Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cylindriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{\rho }=0\\V_{\theta }=R\;\omega \\V_{z}=v\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
                                      Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques sa norme valant «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {R^{2}\;\omega ^{2}+v^{2}}}\;$» ou encore, en introduisant le pas $\;\vert h\vert \;$ de l'hélice, «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert =\vert \omega \vert \;{\sqrt {R^{2}+{\dfrac {h^{2}}{4\,\pi ^{2}}}}}\;$» .

Composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude

     La définition intrinsèque du vecteur accélération de $\;M\;$ étant «$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)\;$» et les vecteurs de base cylindro-polaires $\;{\big (}$à l'exception du dernier $\;{\vec {u}}_{z}\;$ constant${\big )}\;$ dépendant de $\;\theta \;$ qui est fonction de $\;t$, nous trouvons les composantes cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}$ du vecteur accélération « en dérivant $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ $V_{\rho }(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+V_{\theta }(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+V_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}={\dot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+V_{z}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$ par rapport à $\;t\;$», en utilisant la formule de dérivation d'un produit de fonctions du type «$\;{\dfrac {d\!\left[f\;g\;{\vec {A}}\right]}{dt}}(t)={\dot {f}}(t)\;g(t)\;{\vec {A}}(t)+f(t)\;{\dot {g}}(t)\;{\vec {A}}(t)+f(t)\;g(t)\;{\dot {\vec {A}}}(t)\;$» conduisant à

«$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\ddot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$» puis,

     pour évaluer $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}(t)$, nous utilisons la formule de dérivation de fonction composée appliquée à $\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans laquelle la dérivation $\;{\big [}$dans le plan $\;\left(xOy\right){\big ]}\;$ du vecteur de base polaire $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ par rapport à l'angle $\;\theta \;$ qu'il fait avec la direction fixe $\;{\vec {u}}_{y}\;$ étant équivalente à une rotation d'un angle de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ en restant dans le plan $\;\left(xOy\right)\;$ conduit à $\;-{\vec {u}}_{\rho }\;$ d'où

«$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]=-{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;$»,

     la dérivée de $\;{\vec {u}}_{\rho }\!\left[\theta (t)\right]\;$ par rapport à $\;t\;$ ayant déjà été évaluée au paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre et ayant conduit à

«$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dt}}\!\left[\theta (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)$\;» ;

     finalement, par injection dans l'expression du vecteur accélération, on obtient

«$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\ddot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\,{\dot {\theta }}(t)+{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)+\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\theta }(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}(t)\,{\vec {u}}_{\rho }(t)\,{\dot {\theta }}(t)+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$» ou,

     en regroupant les termes ayant même vecteur de base polaire, l'expression suivante

«$\;{\vec {a}}_{M}(t)=\left[{\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }+\left[\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }+{\ddot {z}}(t)\,{\vec {u}}_{z}\;$» ,
les « composantes cylindro-polaires de $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{accélération radiale}}\;&a_{\rho }&=&{\ddot {\rho }}(t)-\rho (t)\,{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\\{\text{accélération orthoradiale}}\;&a_{\theta }&=&\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{accélération axiale}}\;&a_{z}&=&{\ddot {z}}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$»  ;
la norme du vecteur accélération se calcule selon $\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a_{\rho }^{2}(t)+a_{\theta }^{2}(t)+a_{z}^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-2}$.

     Autre forme de l'accélération orthoradiale $\;{\big (}$forme « semi-intégrée » ${\big )}$ : à partir de «$\;a_{\theta }(t)=\rho (t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;$» on met «$\;{\dfrac {1}{\rho (t)}}\;$ en facteur » dans le but que le 2^ème facteur se mette sous la forme de la dérivée temporelle d'une fonction du temps soit «$\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\left[\rho ^{2}\!(t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,\rho (t)\;{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\right]\;$» dans laquelle on vérifie aisément que le facteur entre crochets «$\;\rho ^{2}\!(t)\,{\ddot {\theta }}(t)+2\,\rho (t)\;{\dot {\rho }}(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;$ est égal à $\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)\;$» d'où

la forme « semi-intégrée » de l'accélération orthoradiale «$\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{\rho (t)}}\;{\dfrac {d\!\left[\rho ^{2}\,{\dot {\theta }}\right]}{dt}}(t)\;$» .

     Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\rho =R\\\theta =\omega \;t\\z=v\;t\end{array}}\right\rbrace \;$» qualifié de « mouvement hélicoïdal droit uniforme »,
                                      Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes cylindriques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}a_{\rho }&=&\color {white}{\cancel {{\ddot {\rho }}(t)}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\a_{\theta }&=&\color {white}{\cancel {{\ddot {\rho }}(t)}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\\a_{z}&=&\color {white}{\cancel {{\ddot {\rho }}(t)}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\end{array}}\right.$ $\;\left.{\begin{array}{l}{\cancel {{\ddot {\rho }}(t)}}-\rho ^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)&=&-R\;\omega ^{2}\\{\cancel {\rho (t)\;{\ddot {\theta }}(t)}}+{\cancel {2\;{\dot {\rho }}(t)\;{\dot {\theta }}(t)}}&=&0\\{\cancel {{\ddot {z}}(t)}}&=&0\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
                                      Exemple : mouvement du point M défini par les trois équations horaires scalaires cylindriques sa norme valant «$\;\Vert {\vec {a}}_{M}(t)\Vert =R\;\omega ^{2}\;$».

Détermination géométrique des composantes cartésiennes et cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse

Rappel de la notion de déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe ainsi que du lien entre vecteur déplacement élémentaire et vecteur vitesse

     La notion de vecteur déplacement élémentaire a déjà été introduite dans le paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ à partir du point $\;M\;$» du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
     La notion de vecteur déplacement élémentaire a été identifiée à celle du paragraphe « définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue » du chap.$15$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :

«$\;{\overrightarrow {dM}}\;$ est la différentielle du vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ du point $\;M\;$ décrivant la courbe soit $\;{\overrightarrow {dM}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$»  ;
le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ est tangent à la courbe en $\;M$, dans la mesure où $\;{\overrightarrow {dM}}\neq {\vec {0}}\;$ .

Détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

     Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes cartésiennes du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails $\;{\big (}$à savoir refaire${\big )}$ ;

à retenir «$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$».

Détermination géométrique des composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur-déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

     Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes cylindro-polaires du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails $\;{\big (}$à savoir refaire${\big )}$ ;

à retenir «$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$».

Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

     Dans le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ayant établi «$\;{\overrightarrow {dM}}={\vec {V}}_{M}(t)\;dt\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}\;$», on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en divisant le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ défini à partir du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant au déplacement d'où l'expression du vecteur vitesse :

• en repérage cartésien «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}+dz\;{\vec {u}}_{z}}{dt}}={\dfrac {dx}{dt}}\;{\vec {u}}_{x}+{\dfrac {dy}{dt}}\;{\vec {u}}_{y}+{\dfrac {dz}{dt}}\;{\vec {u}}_{z}={\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}+{\dot {y}}(t)\;{\vec {u}}_{y}+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
• en repérage cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}$ «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}}{dt}}={\dfrac {d\rho }{dt}}\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;{\dfrac {d\theta }{dt}}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {dz}{dt}}\;{\vec {u}}_{z}\;$ soit finalement $\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {\rho }}(t)\;{\vec {u}}_{\rho }+\rho (t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {z}}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» .

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude, déduction des composantes correspondantes du vecteur-vitesse

Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire du point repéré dans le référentiel d'étude

     Revoir le paragraphe « détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où cela a été traité en détails $\;{\big (}$à savoir refaire${\big )}$ ;

à retenir «$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» .

Équations horaires sphériques du mouvement du point repéré dans le référentiel d'étude

     L'équation horaire vectorielle du mouvement du point $\;M\;$ repéré dans le référentiel d'étude étant «$\;{\overrightarrow {OM}}={\overrightarrow {OM}}(t)\;$» ou, en utilisant la base sphérique liée à $\;M$ «$\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(\theta ,\,\varphi )\;;\;{\vec {u}}_{\theta }(\theta ,\,\varphi )\;;\;{\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\right\rbrace \;$» , «$\;{\overrightarrow {OM}}=$ $r\;{\vec {u}}_{r}(\theta ,\,\varphi )\;$» égal à la fonction vectorielle du temps «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» établissant que la connaissance de l'équation horaire du mouvement du point $\;M\;$ dans le référentiel d'étude
         L'équation horaire vectorielle du mouvement du point M est équivalente à celle des « trois équations horaires sphériques paramétriques du point $\;M\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=r(t)\\\theta =\theta (t)\\\varphi =\varphi (t)\end{array}}\right\rbrace \;$» dans le référentiel d'étude, ces « trois équations horaires sphériques étant aussi les trois équations sphériques paramétriques de la trajectoire du point considéré ».

     Remarque : on rappelle que le vecteur position du point repéré dans le référentiel d'étude a pour composantes sphériques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\overline {OM}}_{r}=r=r(t)\\{\overline {OM}}_{\theta }=0\quad \;\forall \;t\\{\overline {OM}}_{\varphi }=0\quad \;\forall \;t\end{array}}\right\rbrace \;$» c.-à-d.
     Remarque : utilisant « uniquement la 1^ère équation horaire sphérique $\;r=r(t)\;$» du point mais
     Remarque : « les deux autres équations horaires sphériques $\;\left\lbrace \theta =\theta (t)\,,\,\varphi =\varphi (t)\right\rbrace \;$» du point sont néanmoins nécessaires pour savoir dans quelle direction positionner le point à l'instant $\;t\;$ ${\big (}$celle de $\;{\vec {u}}_{r}$, $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ étant toujours colinéaire à $\;{\vec {u}}_{r}{\big )}$, ce qui nécessite de connaître «$\;{\vec {u}}_{r}(t)={\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» $\;\ldots$

Déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude

     Dans le paragraphe « vecteur déplacement élémentaire du point M, autre définition de son vecteur vitesse » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ayant établi «$\;{\overrightarrow {dM}}={\vec {V}}_{M}(t)\;dt\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {V}}_{M}(t)=$ ${\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}\;$», on peut déduire simplement le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ en divisant le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ défini à partir du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant au déplacement d'où l'expression du vecteur vitesse en repérage sphérique :

     «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {\overrightarrow {dM}}{dt}}={\dfrac {dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}={\dfrac {dr}{dt}}\;{\vec {u}}_{r}+r\;{\dfrac {d\theta }{dt}}\;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» soit finalement

«$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» ,
les « composantes sphériques de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{r}&=&{\dot {r}}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }&=&r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse azimutale}}\;&V_{\varphi }&=&r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$»  ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{\varphi }^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}$.

Tracé de l'Équateur au pôle Nord de la loxodromie de pente $\;30\,{\text{°}}\;$ par rapport aux parallèles $\;{\big (}$en rouge${\big )}\;$ ainsi que de sa projetée sur le plan équatorial "une spirale de Poinsot" $\;{\big (}$en vert${\big )}$

     Exemple : mouvement du point $\;M\;$ défini par les trois équations horaires scalaires sphériques «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}r=a\\\theta ={\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\qquad {\text{avec }}\qquad \omega >0\\\varphi =-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\ln \!\left[\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» qualifié de « mouvement loxodromique de sphère uniforme » , le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ a pour « composantes sphériques $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{r}={\cancel {\dot {r}}}\\V_{\theta }=r\;{\dot {\theta }}\\V_{\varphi }=r\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit, avec «$\;{\dot {\theta }}=-\omega \;$», «$\;{\dot {\varphi }}=-\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\;{\dfrac {1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}{\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}}\;{\dfrac {-\omega }{2}}\;$» et «$\;\sin(\theta )=$ $\sin \!\left({\dfrac {\pi }{2}}-\omega \;t\right)={\dfrac {2\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}{1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{4}}-{\dfrac {\omega \;t}{2}}\right)}}\;$» $\Rightarrow$
     Exemple : les « composantes sphériques de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;\left\lbrace {\begin{array}{l}V_{r}=0\\V_{\theta }=-a\;\omega \\V_{\varphi }=a\;\tan \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$» et
     Exemple : sa norme valant «$\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {a^{2}\;\omega ^{2}+a^{2}\,\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\,\omega ^{2}}}={\dfrac {a}{\cos \!\left({\dfrac {\pi }{3}}\right)}}\;\omega =2\;a\;\omega \;$», c.-à-d. une constante, justifie le caractère « uniforme » du mouvement.

Compléments : détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier, conséquences sur l'étude du mouvement du point en repérage sphérique

Détermination des dérivées partielles des vecteurs de base sphériques liés, dans le référentiel d'étude, au point M en fonction de la colatitude et de la longitude de ce dernier

     À partir de la notion de dérivées partielles d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à revoir dans le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap.$6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » , on introduit celle de dérivées partielles d'une fonction vectorielle de deux variables indépendantes de la même façon c.-à-d. en figeant une variable et en dérivant la fonction vectorielle de la variable laissée libre par rapport à cette dernière .

Détermination des dérivées partielles du premier vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

Vues projetées du repérage sphérique d'un point M : demi-plan méridien et vue de dessus

     Voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi :

• «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\;$» en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive ” et
• «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» en utilisant la « décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien » à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{z},\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\right]\;$ selon «$\;{\vec {u}}_{r}=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$», suivi de l'utilisation de «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\varphi }}(\varphi )={\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\;$», les autres facteurs ne dépendant pas de $\;\varphi$.

Détermination des dérivées partielles du second vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

     Voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi :

• «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\;$» en se plaçant dans le demi-plan méridien, lequel est figé pendant le temps de la dérivation, et en appliquant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive ” et
• «$\;\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» en utilisant la « décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ dans la base cylindro-polaire du demi-plan méridien » à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{z},\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\right]\;$ selon «$\;{\vec {u}}_{\theta }=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{z}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$», suivi de l'utilisation de «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\varphi }}(\varphi )={\vec {u}}_{\varphi }(\varphi )\;$», les autres facteurs ne dépendant pas de $\;\varphi$.

Détermination de la dérivée du troisième vecteur de base sphérique lié au point M repéré dans le référentiel d'étude

     Voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on y a établi

     «$\;{\dfrac {d\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}=-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» en utilisant la propriété “ quand on dérive un vecteur unitaire dans un plan fixe par rapport à l'angle que fait ce vecteur avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan fixe directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive ” soit «$\;{\dfrac {d\left({\vec {u}}_{\varphi }\right)}{d\varphi }}(\varphi )=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(\varphi )\;$» suivi de la « décomposition du 1^er vecteur de base cylindro-polaire, vecteur du demi-plan méridien, dans la base sphérique de ce demi-plan » à savoir $\;\left[{\vec {u}}_{r},\;{\vec {u}}_{\theta }\right]\;$ selon «$\;{\vec {u}}_{\rho }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\;$».

Obtention des composantes sphériques du vecteur vitesse du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur position du point

     Le vecteur position du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'écrivant, en repérage sphérique, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$», on obtient le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}(t)=$ ${\dot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» ;

     la « détermination de $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$ s'établit en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées » dans laquelle la 1^ère fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes soit «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)+\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;$» dans laquelle on utilise «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\\\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où

«$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;$» ;

     le report dans l'expression du vecteur vitesse du point $\;M\;$ nous conduit à

«$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$»  ;
les « composantes sphériques de $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\text{vitesse radiale}}\;&V_{r}&=&{\dot {r}}(t)\\{\text{vitesse orthoradiale}}\;&V_{\theta }&=&r(t)\,{\dot {\theta }}(t)\\{\text{vitesse azimutale}}\;&V_{\varphi }&=&r(t)\,\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\varphi }}(t)\\\end{array}}\right\rbrace \;$»  ;
la norme du vecteur vitesse se calcule selon $\;\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert ={\sqrt {V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)+V_{\varphi }^{2}(t)}}\;$ et s'exprime en $\;m\cdot s^{-1}$.

Quelques indications pour avoir la possibilité de déterminer les composantes sphériques du vecteur accélération du point M repéré dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur vitesse du point

     Préliminaire : les composantes sphériques du vecteur accélération ne doivent « JAMAIS être utilisées de votre propre chef » car beaucoup trop compliquées .

     Le vecteur vitesse du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ s'écrivant, en repérage sphérique, «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;$», on obtient le vecteur accélération du point $\;M\;$ à l'instant $\;t\;$ par

«$\;{\vec {a}}_{M}(t)={\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt}}(t)={\ddot {r}}(t)\;\;{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+{\dot {r}}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+{\dot {r}}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\ddot {\theta }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]+\cdots$
                                             ${\dot {r}}(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]+r(t)\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\ddot {\varphi }}(t)\;\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]\;$» ;

     $\succ \;$la dérivée «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» a été établie au paragraphe « obtention des composantes sphériques du vecteur vitesse du point M dans le référentiel d'étude par dérivation temporelle du vecteur position du point » plus haut dans ce chapitre $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{r}}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]={\vec {u}}_{\theta }\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;$» ;

     $\succ \;$on adopte la même démarche pour évaluer «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;$» en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1^ère fonction est une fonction vectorielle de deux variables indépendantes soit «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)+\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }\!\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dfrac {d\varphi }{dt}}(t)\;$» dans laquelle on utilise «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\\\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où

«$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dt}}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]=-{\vec {u}}_{r}\!\left[\theta (t),\,\varphi (t)\right]\;{\dot {\theta }}(t)+\cos \!\left[\theta (t)\right]\;{\vec {u}}_{\varphi }\!\left[\varphi (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;$» ;

     $\succ \;$on adopte une démarche analogue mais simplifiée pour «$\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{dt}}\!\left[\varphi (t)\right]\;$» en utilisant la formule de dérivation de fonctions composées dans laquelle la 1^ère fonction est une fonction vectorielle d'une seule variable soit «$\frac{d{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}{dt}\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)\right]=\frac{d{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}{d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}\left[\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)\right]$